2.3_三角形的内切圆

2.3 三角形的内切圆1．三角形内切圆定义：与三角形三边相切的圆叫做三角形的内切圆．2．三角形的内心是__________________________交点．3．如图，⊙I 内切于△ABC ，切点分别为D ，E ，F .(1)∠BIC ＝90°＋12∠BAC ；∠DEF ＝90°－12∠BAC ； (2)△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，⊙I 的半径为r ，则有S △ABC ＝12r (a ＋b ＋c )； (3)若∠ACB ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，则内切圆半径r ＝CE ＝a ＋b －c 2.A 组 基础训练1．下列命题正确的是( )A ．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B ．三角形的内心不一定在三角形的内部C ．等边三角形的内心，外心重合D ．一个圆一定有唯一一个外切三角形第2题图2．如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE等于()A．70°B．110°C．120°D．130°第3题图3．如图，⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F为三个切点，若∠DEF＝52°，则∠A的度数为()A．76°B．68°C．52°D．38°4．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则它的内切圆与外接圆半径分别为() A．1.5，2.5B．2，5 C．1，2.5D．2，2.55．如图，∠A＝70°，若O为△ABC的外心，则∠BOC＝________，若O为△ABC 的内心，则∠BOC＝________．第5题图第6题图6．如图，△ABC的三边分别切⊙O于点D，E，F.若AB＝7，BC＝8，AC＝9，则BE ＝_______，CF＝_______．7．⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．8．已知△ABC的面积为4cm2，周长为10cm，则△ABC的内切圆半径为________cm.第9题图9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的内切圆⊙O切AB于点D，切BC 于点E，切AC于点F，AD＝4，BD＝6，求Rt△ABC的面积．10.如图，在△ABC中，AB＝AC，内切圆⊙O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F.(1)求证：BF＝CE；(2)若∠C＝30°，CE＝23，求AC的长．第10题图B组自主提高第11题图11.(遵义中考)将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝3，则四边形AB1ED的内切圆半径为()A.3＋12 B.3－32C.3＋13 D.3－33第12题图12.如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC ＝1，则⊙O 的半径等于________．13.如图，点I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交边BC 于点D ，交△ABC 的外接圆于点E.(1)求证：IE ＝BE ；(2)若IE ＝4，AE ＝8，求DE 的长．第13题图C 组 综合运用14.如图，在锐角△ABC 中，BC ＝5，sin ∠BAC ＝45，点I 为三角形ABC 的内心，AB ＝BC ，求AI 的长．第14题图参考答案【课堂笔记】2．三角形的三条角平分线的【课时训练】1－4.CBAC 5.140° 125° 6.3 5 7.33 8.45 9.连结OE ，OF ，OD ，设△ABC 的内切圆⊙O 的半径为r.∵△ABC 的内切圆⊙O 切AB 于点D ，切BC 于点E ，切AC 于点F ，∴∠OFC ＝∠OEC ＝∠C ＝90°，AF ＝AD ＝4，BD ＝BE ＝6，∴四边形OECF 是矩形．∵OE ＝OF ，∴四边形OECF 是正方形．在Rt △ABC 中，AB 2＝BC 2＋AC 2，∴102＝(6＋r)2＋(4＋r)2，解得r ＝2或r ＝－12(舍去)，∴BC ＝8，AC ＝6，∴Rt △ABC 的面积为12×6×8＝24.第10题图10．(1)证明：∵AE ，AF 是⊙O 的切线，∴AE ＝AF ，又∵AC ＝AB ，∴AC －AE ＝AB －AF ，∴CE ＝BF ，即BF ＝CE ； (2)连结AO 、OD ，∵O 是△ABC 的内心，∴OA 平分∠BAC ，∵⊙O 是△ABC 的内切圆，D 是切点，∴OD ⊥BC ；又∵AC ＝AB ，∴A 、O 、D 三点共线，即AD ⊥BC ，∵CD 、CE 是⊙O 的切线，∴CD ＝CE ＝23，∴在Rt △ACD 中，由∠C ＝30°，CD ＝23，得AC ＝CD cos 30°＝2332＝4. 11.B 12.45 13.(1)连结IB.∵点I 是△ABC 的内心，∴∠BAD ＝∠CAD ，∠ABI ＝∠IBD.第13题图又∵∠BIE ＝∠BAD ＋∠ABI ，∴∠BIE ＝∠CAD ＋∠IBD ＝∠DBE ＋∠IBD ＝∠IBE ，∴BE ＝IE; (2)在△BED 和△AEB 中，∵∠EBD ＝∠CAD ＝∠EAB ，∠BED ＝∠AEB ，∴△BED ∽△AEB ，∴BE AE ＝DE BE .∵IE ＝4，∴BE ＝4.∵AE ＝8，∴DE ＝BE 2AE＝2.第14题图14．连结CI ，BI ，且延长BI 交AC 于点F ，过点I 作IG ⊥BC 于点G ，IE ⊥AB 于点E.∵AB ＝BC ＝5，点I 为△ABC 的内心，∴BF ⊥AC ，AF ＝CF.在Rt △ABF 中，∵sin ∠BAC ＝45＝BF AB，∴BF ＝4.∴AF ＝BA 2－BF 2＝3，∴AC ＝6.∵点I 是△ABC 的内心，IE ⊥AB ，IF ⊥AC ，IG ⊥BC ，∴IE ＝IF ＝IG.∴S △ABC ＝12(AB ＋AC ＋BC)·IF ＝12AC ·BF ，∴IF ＝AC ·BF AB ＋AC ＋BC ＝6×45＋5＋6＝32，∴AI ＝AF 2＋IF 2＝32 5.。

【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 三角形的内切圆2. 切线长定理二. 重点、难点： 1. 内心的特点：（1）角平分线的交点 （2）到三边等距（3）内心张角必为钝角 （4）内心必在形内（5）三角形面积等于周长的一半与内切圆半径之积 （6）四边形有内心的条件2. 常见的切线长定理模型及其中蕴含的定理结论。

ANH OPBL【典型例题】[例1] 已知ABC ∆外心为O ，内心为I ，AI 延长线交外接圆O 于D ，求证：（1）D 为BIC ∆的外心；（2）若DE=1，AE=3，求DI 长。

证明：（1）连BD 、CD ∵ I 为ABC ∆内心 ∴ 21∠=∠，43∠=∠∵ 1∠与5∠对圆弧⋂BD ∴ 251∠=∠=∠ 又 ∵ 32∠+∠=∠DIC ，54∠+∠=∠DCI∴ DCI DIC ∠=∠ ∴ DI=DC 又 ∵ 21∠=∠ ∴ BD=DC=DI ∴ D 为BIC ∆的外心（2）∵ 52∠=∠，ADC ∠为公共角 ∴ EDC ∆∽CDA ∆∴DA DCDC DE = ∴ 4412=⨯=⋅=DA DE DC ∴ DC=2 ∴ DI=DC=2[例2] ⊙I 为ABC ∆的内切圆，与三边分别切于D 、E 、F 三点，若AC=4，AB=6，BC=7，求AE 的长。

ABC DEF.I解：由切线长定理，设x AF AE ==，y BD BF ==，z CD CE ==，则有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+476x z z y y x解得23=x ∴ AE 的长为23[例3] 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90C ，以CD 为直径的半圆切AB 于E 点，若梯形面积为221cm ，周长为20cm ，求圆的半径。

.OA BCEFK D解：如图，将之补成一个等腰梯形ABKF ，设⊙O 半径为r ，易知⊙O 为梯形ABKE 的内切圆。

∴ 221)220(221⨯=⋅-⋅=r r S ABKF 即021102=+-r r ，3=r 或7但7=r 时，AB=3，CD=14，CD AB <，矛盾 ∴ 圆O 的半径为cm 3[例4] ABC ∆中，AB=AC=17cm ，BC=16cm ，求ABC ∆内切圆的半径。

第2章直线与圆的位置关系2.3 三角形的内切圆知识点1 三角形内切圆的有关概念及性质1．三角形的内心是( )A．三角形的三条中线的交点B．三角形的三条角平分线的交点C．三角形的三条高所在直线的交点D．三角形的三条边的垂直平分线的交点2．下列说法中正确的是( )A．内心一定在三角形内部，外心一定在三角形外部B．任何三角形只有一个内切圆，任何圆只有一个外切三角形C．到三角形三边所在的直线的距离相等的点只有1个D．若PA，PB分别切⊙O于A，B两点，则PA＝PB3．如图2－3－1，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F.若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，连结OE，OF，则∠EOF的度数为( )A．80° B．100° C．120° D．140°图2－3－1图2－3－24．如图2－3－2，△ABC中，∠A＝45°，I是内心，则∠BIC的度数为( )A．112.5° B．112° C．125° D．55°5．如图2－3－3，已知△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，CB ，AC 分别相切于点D ，E ，F .若DE ︵的度数为80°，则下列结论错误的是( )A ．∠DOE ＝80°B ．∠DFE ＝40°C ．∠ABC ＝100°D ．∠ABC ＝140°2－3－3图2－3－46．如图2－3－4所示，⊙O 为△ABC 的内切圆，D ，E ，F 为切点，∠DOB ＝73°，∠DOE ＝120°，则∠DOF ＝________°，∠C ＝________°，∠A ＝________°.知识点2 特殊三角形内切圆的半径图2－3－57．如图2－3－5所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，它的内切圆的半径为( ) A ．3 B ．2.5 C ．2 D ．18．边长为1的正三角形的内切圆的半径为________．9．如图2－3－6，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝90°，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，CD ＝1，求⊙O 的半径．图2－3－610．如图2－3－7，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F.求证：BE＝CE.图2－3－711．2017·滨州若正方形外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为( )A. 2 B．2 2 C.22D．112．如图2－3－8，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，⊙O内切于△ABC，则阴影部分的面积为( ) A．12－π B．12－2πC．14－4π D．6－π2－3－82－3－913．如图2－3－9，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，连结AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是( )A.52B. 5C.52D．2 2图2－3－1014．如图2－3－10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与Rt△ABC的三边AB，BC，AC分别相切于点D，E，F.若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为________．15．如图2－3－11，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9 cm，BC＝14 cm，CA＝13 cm，求AF，BD，CE的长．图2－3－1116．如图2－3－12，△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O的半径为 3.求：(1)BF＋CE的值；(2)△ABC的周长．图2－3－1217．如图2－3－13，在△ABC中，BC＝6 cm，CA＝8 cm，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，点P从点B开始沿BC边向点C以1 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CA边向点A以2 cm/s的速度移动．(1)求⊙O的半径；(2)若点P，Q分别从点B，C同时出发，当点Q移动到点A时，点P与⊙O有什么位置关系？(3)若点P，Q分别从点B，C同时出发，当点Q移动到点A时，停止移动，则经过几秒，△PCQ的面积等于5 cm2?图2－3－13。

1 22.3三角形的内切圆学习单复习回顾1、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？2、叙述角平分线的性质与判定定理3、下图中△ABC与圆O的关系？4、切线长定理善于自学11、如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心2、如图2，如果⊙O与△ABC的内角∠ABC的两边相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？3、如何确定一个与三角形三边都相切的圆的圆心位置与半径的长？4、你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？内切圆圆心能否在三角形外部?5、⊙O是△ABC的__________,△ABC是⊙O的_____________.O是三角形的_________,它是____________的交点,到三角形_________的距离相等乐于合作：完成书本50页作业题2，每个学习小组请交流你们的画图方法善于自学2：自学书本49页例1和例2勤于巩固2：完成书本P50课内练习题１、2、3乐于合作：设△ABC是直角三角形，∠C=90°，它的内切圆的半径为r，△ABC 的各边长分别为a、b、c，试探讨r与a、b、c的关系.变：1.直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm 则其内切圆的半径为______。

2.若直角三角形斜边长为10cm，其内切圆的半径为2cm，则它的周长为( )A．24cm B．22cmC．14cm D．12cm勤于巩固3：如图,O是△ABC的内心, ∠BAC与∠BOC有何数量关系? 试着作一推导.COBA•2.完成书本作业题4喜于收获本节课有什么收获？还有什么疑问？CNO图2AB C。

2.3 三角形的内切圆A练就好基础基础达标1．如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D，E是切点，若∠C＝90，OD＝1，则四边形OECD的周长是()A．3 B．4 C．2 2 D．232.下列三角形的内心和外心重合的是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形3.如图所示，某石油公司计划在三条公路围成的一块平地上建一个加油站，综合各种因素，要求这个加油站到三条公路的距离相等，则应建在（）A．△ABC的三条角平分线的交点处B．△ABC的三条高线的交点处C．△ABC的三边的中垂线的交点处D．△ABC的三条中线的交点处第3题图第5题图第6题图第7题图4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则它的内切圆与外接圆半径分别为() A．1.5，2.5 B．2，5C．1，2.5 D．2，2.55．（2018·湖州中考）如图所示，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是_________．6．如图所示，在半径为r的圆内作一个内接正三角形，然后作这个正三角形的一个内切圆，那么这个内切圆的半径是_________．7．如图所示，在△ABC中，∠A＝70°.(1)若O为△ABC的外心，则∠BOC＝_________；(2)若O为△ABC的内心，则∠BOC＝____________．8．如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，若AB＝AC＝3 cm，BC＝4 cm.(1)求AE的长；(2)求△ABC的内切圆半径r.9．如图所示，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，与三边的切点分别为E ，F ，G.∠C ＝90°，AO 的延长线交BC 于点D.若AC ＝6，CD ＝3.(1)求证：四边形OECF 为正方形；(2)求⊙O 的半径．B 更上一层楼 能力提升10．已知AC ⊥BC 于点C ，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，下列选项中⊙O 的半径为ab a ＋b的是( )A ．B ．C ． D.11．如图所示，△ABC 的内切圆⊙O 与BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，且AB ＝9 cm ，BC ＝14 cm ，CA ＝13 cm ，则AF 的长为( )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．9 cm12．如图所示，在平面直角坐标系中有一个正方形AOBC ，反比例函数y＝k x的图象经过正方形AOBC 两对角线的交点，半径为6－32的圆内切于△ABC ，则k 的值为________．13．如图所示，在△ABC 中，AB=7cm ，AC=8cm ，BC=6cm ，点O 是△ABC的内心，过点O 作EF//AB ，与AC ，BC 分别交于点E 和点F ，求△14．如图所示，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E.(1)求证：IE＝BE；(2)若IE＝4，AE＝8，求DE的长．/C开拓新思路拓展创新)15．如图所示，在△ABC中，AD是边BC 上的中线，∠BAD＝∠CAD，CE∥AD，CE 交BA 的延长线于点E，BC＝8, AD＝3.(1)求CE 的长；(2)求证：△ABC 为等腰三角形；(3)求△ABC 的外接圆圆心P 与内切圆圆心Q 之间的距离．。

浙教版数学九年级下册2.3《三角形的内切圆》说课稿2一. 教材分析《三角形的内切圆》是浙教版数学九年级下册第2.3节的内容，本节课主要介绍三角形的内切圆的概念、性质及其在几何中的应用。

通过学习本节课，学生能够理解三角形的内切圆的定义，掌握其基本性质，并能运用内切圆解决一些几何问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和定理有一定的了解。

但是，对于三角形的内切圆这一概念，学生可能较为陌生，需要通过具体的实例和引导，让学生逐渐理解和掌握。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解三角形的内切圆的定义和性质，并能够运用内切圆解决一些几何问题。

2.过程与方法目标：通过观察、思考、交流等过程，学生能够培养自己的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，对数学产生兴趣，并能够自主探究问题，培养良好的学习习惯。

四. 说教学重难点1.重点：三角形的内切圆的定义和性质。

2.难点：理解和运用三角形的内切圆解决几何问题。

五. 说教学方法与手段本节课采用问题驱动的教学方法，通过引导学生观察、思考、交流等方式，让学生主动探索三角形的内切圆的性质。

同时，利用多媒体课件和实物模型等手段，帮助学生更好地理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入：通过复习平面几何中与圆有关的基本知识，引导学生进入本节课的学习。

2.探究三角形的内切圆的定义和性质：通过具体的实例和问题，引导学生观察和思考，让学生自主探索三角形的内切圆的定义和性质。

3.应用内切圆解决几何问题：通过一些具体的例题，引导学生运用内切圆的知识解决几何问题，巩固所学知识。

4.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并给出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。

七. 说板书设计板书设计主要包括三角形的内切圆的定义、性质和应用等内容，通过板书的设计，帮助学生更好地理解和掌握知识。

八. 说教学评价通过课堂表现、作业完成情况和几何问题的解决能力等方面进行评价，全面了解学生对三角形的内切圆的理解和掌握情况。

浙教版数学九年级下册2.3《三角形的内切圆》教学设计1一. 教材分析《三角形的内切圆》是浙教版数学九年级下册第2.3节的内容，主要介绍了三角形的内切圆的概念、性质和求法。

本节内容是在学生掌握了圆的定义、性质以及切线的性质的基础上进行的，是学生进一步学习几何图形的内在联系的重要环节。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何图形的基础知识，对圆的定义和性质有一定的了解。

但对于三角形的内切圆这一概念，学生可能较为陌生，因此需要教师通过生动的例子和形象的图形，帮助学生理解和掌握。

三. 教学目标1.了解三角形的内切圆的概念，掌握其性质。

2.学会求解三角形的内切圆的方法。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.三角形的内切圆的概念和性质。

2.求解三角形的内切圆的方法。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法进行教学。

通过生动的例子和形象的图形，引导学生探索和发现三角形的内切圆的性质，从而达到理解并掌握知识的目的。

六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件。

2.准备一些实际的三角形案例，以便进行案例分析。

3.准备小组合作的学习材料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际的三角形案例，引导学生思考三角形的内切圆的概念。

例如，可以给学生展示一个三角形，然后问学生：“如果在这个三角形的内部画一个圆，使得这个圆与三角形的每条边都相切，那么这个圆叫做什么？”2.呈现（15分钟）在学生对三角形的内切圆有了初步的理解之后，教师可以呈现一些三角形的内切圆的图形，让学生观察和思考，引导学生发现三角形的内切圆的性质。

例如，可以让学生观察以下图形，并回答以下问题：(1)三角形的内切圆与三角形的三条边有什么关系？(2)三角形的内切圆与三角形的内心有什么关系？3.操练（10分钟）让学生通过实际的操作，进一步理解和掌握三角形的内切圆的性质。

可以给学生发放一些实际的三角形案例，让学生用直尺和圆规画出三角形的内切圆，并观察和分析三角形的内切圆的性质。

浙教版数学九年级下册2.3《三角形的内切圆》教案1一. 教材分析《三角形的内切圆》是浙教版数学九年级下册第2.3节的内容，本节主要让学生了解三角形的内切圆的概念，性质及其在几何中的应用。

通过学习，学生能更好地理解三角形的内心，提高解题能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了圆的基本概念和性质，对几何图形的认知有一定的基础。

但是，对于三角形的内切圆这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和讲解让学生逐步理解和掌握。

三. 教学目标1.了解三角形的内切圆的定义及其性质。

2.学会运用三角形的内切圆解决相关几何问题。

3.提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.三角形的内切圆的定义及其性质。

2.运用三角形的内切圆解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生探究、讨论，激发学生的学习兴趣，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.课件、教案。

2.三角板、直尺、圆规等几何画图工具。

3.相关例题和练习题。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）通过复习圆的定义和性质，引导学生思考：圆与三角形有什么联系？进而引入三角形的内切圆的概念。

2. 呈现（15分钟）利用课件展示三角形的内切圆的定义和性质，通过几何画图工具，演示内切圆的画法及其与三角形的关系。

同时，给出相关例题，让学生理解并掌握内切圆的性质。

3. 操练（15分钟）学生分组讨论，运用三角形的内切圆的性质解决实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4. 巩固（10分钟）教师给出一些有关三角形的内切圆的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

5. 拓展（10分钟）引导学生思考：内切圆与三角形的内心有什么关系？内切圆在实际问题中的应用。

可以给出一些相关的几何问题，让学生探讨。

6. 小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，让学生明确三角形的内切圆的定义、性质及其应用。

7. 家庭作业（5分钟）布置一些有关三角形的内切圆的练习题，让学生课后巩固所学知识。

第2章直线与圆的位置关系2.3 三角形的内切圆一、单选题1．如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值是（）A．4B．4C．4D．4【答案】B【分析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD＋PG转化为D′G找到最小值．【详解】取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆．连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG．连CG并延长交AB于点E．由以上作图可知，BG⊥EC于G．PD＋PG＝PD′＋PG＝D′G由两点之间线段最短可知，此时PD＋PG最小．∵D′C′＝8，OC′＝12∴D′O=∴D′G＝4∴PD＋PG的最小值为4故选B．【点睛】本题考查与圆有关的线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短． 2．如图，在O 中，AB 是直径，点D 是O 上一点，点C 是弧AD 的中点，CE AB ⊥于点E ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE ，CB 于点PQ ．连接AC ，关于下列结论：①BAD ∠= ABC ∠；②GP GD =；③点P 是ACQ ∆的外心，其中正确结论是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】C【分析】 由于AC 与BD 不一定相等，根据圆周角定理可知①错误；连接OD ，利用切线的性质，可得出∠GPD ＝∠GDP ，利用等角对等边可得出GP ＝GD ，可知②正确；先由垂径定理得到A 为CF 的中点，再由C 为AD 的中点，得到CD AF =，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP ＝∠ACP ，利用等角对等边可得出AP ＝CP ，又AB 为直径得到∠ACQ 为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ ＝∠PQC ，得出CP ＝PQ ，即P 为直角三角形ACQ 斜边上的中点，即为直角三角形ACQ 的外心，可知③正确；【详解】∵在⊙O 中，AB 是直径，点D 是⊙O 上一点，点C 是弧AD 的中点，∴AC ＝CD ≠BD ，∴∠BAD ≠∠ABC ，故①错误；连接OD ，则OD ⊥GD ，∠OAD ＝∠ODA ，∵∠ODA ＋∠GDP ＝90︒，∠EPA ＋∠EAP ＝∠EAP ＋∠GPD ＝90︒，∴∠GPD ＝∠GDP ；∴GP ＝GD ，故②正确；∵弦CF ⊥AB 于点E ，∴A 为CF 的中点，即AF AC =，又∵C 为AD 的中点，∴AC CD =，∴CD AF =，∴∠CAP ＝∠ACP ，∴AP ＝CP ．∵AB 为圆O 的直径，∴∠ACQ ＝90︒，∴∠PCQ ＝∠PQC ，∴PC ＝PQ ，∴AP ＝PQ ，即P 为Rt △ACQ 斜边AQ 的中点，∴P 为Rt △ACQ 的外心，故③正确；故选C ．【点睛】此题是圆的综合题，其中涉及到切线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，平行线的判定，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．3．如图，把ABC ∆剪成三部分，边AB ，BC ，AC 放在同一直线l 上，点O 都落在直线MN 上，直线//MN l .在ABC ∆中，若130BOC ∠=︒，则BAC ∠的度数为（ ）A ．70︒B ．75︒C ．80︒D ．85︒【答案】C【分析】 首先利用平行线间的距离处处相等，得到点O 是△ABC 的内心，点O 为三个内角平分线的交点，从而容易得到∠BOC=90°+12∠BAC ，通过计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点O 分别作OD ⊥AC 于D ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥BC 于F ，∵直线MN ∥l ，∴OD=OE=OF ，∴点O 是△ABC 的内心，点O 为三个内角平分线的交点，∴∠BOC=180-12（180-∠BAC ）=90°+12∠BAC=130°， ∴∠BAC=80°.故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形内心的性质及判定，利用平行线间的距离处处相等判定点O 是△ABC 的内心是解题的关键．4．一个等腰直角三角形的内切圆与外接圆的半径之比为（ ）A B ．2 C 1 D 1【分析】设等腰直角三角形的直角边是1．根据直角三角形的内切圆半径是两条直角边的和与斜边的差的一半，得其内切圆半径是22-；其外接圆半径是斜边的一半，得其外接圆半径是2．所以它们21． 【详解】解：设等腰直角三角形的直角边是1；∵内切圆半径是22-，外接圆半径是2，1． 故选：D ．【点睛】本题考查三角形的内切圆与外接圆的知识，解题的关键是熟记直角三角形外接圆的半径和内切圆的半径公式：直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半；直角三角形外接圆的半径是斜边的一半．5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？“其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，求直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径”则该圆的直径为（ ）A ．6步B ．5步C ．4步D ．3步【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，可确定出内切圆半径，即可求得直径．【详解】=17，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r=815172+-=3（步），即直径为6步， 故选：A ．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，掌握Rt △ABC 中，三边长为a ，b ，c （斜边），其内切圆半径r=2a b c +-是解题的关键．6．下列关于三角形的内心说法正确的是（ ）A ．内心是三角形三条角平分线的交点B ．内心是三角形三边中垂线的交点C ．内心到三角形三个顶点的距离相等D ．钝角三角形的内心在三角形外【答案】A【分析】根据三角形内心定义即可得到答案.【详解】∵内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，∴A 正确，B 、C 、D 均错误，故选：A.【点睛】此题考查三角形的内心，熟记定义是解题的关键.7．如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ，连接BD ，BE ，CE ，若∠CBD=32°，则∠BEC 的度数为（ ）A ．128°B ．126°C ．122°D ．120°【答案】C【分析】 根据圆周角定理推论可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC ，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB ，再根据三角形内角和定理可求∠BEC 的度数．【详解】在⊙O 中，∵∠CBD=32°，∵∠CAD=32°，∵点E 是△ABC 的内心，∴∠BAC=64°，∴∠EBC+∠ECB=（180°-64°）÷2=58°，∴∠BEC=180°-58°=122°．故选：C ．【点睛】考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理推论，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB 的度数． 8．如图，O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE OB =，84AOC ∠=，则E ∠＝( )A ．28B ．42C ．21D ．20【答案】A【分析】 根据示意图结合已知条件可得出,2E DOE OCD ODC E ∠=∠∠=∠=∠，因此，1804COD E ∠=︒-∠，即可得出180(18044)8E E =︒-∠-︒-∠，计算即可得出答案．【详解】解：∵DE OB =∴DE OD =∴,2E DOE OCD ODC E ∠=∠∠=∠=∠∴1804COD E ∠=︒-∠∴180(18044)8E E =︒-∠-︒-∠∴28E ∠=︒故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是圆的综合题目，根据示意图得出,2E DOE OCD ODC E ∠=∠∠=∠=∠是解此题的关键．二、填空题9．阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：已知：ABC.求作：ABC 的内切圆．小明的作法如下：如图2，()1作ABC ∠，ACB ∠的平分线BE 和CF ，两线相交于点O ；()2过点O 作OD BC ⊥，垂足为点D ；()3点O 为圆心，OD 长为半径作O.所以，O 即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是______．【答案】到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【分析】根据三角形的内切圆，三角形的内心的定义，角平分线的性质即可解答.【详解】解：该尺规作图的依据是到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故答案为到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点睛】此题主要考查了复杂作图，三角形的内切圆与内心，关键是掌握角平分线的性质．10．边长分别为3、4、5的三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为________.【答案】1:2.5【解析】设三角形为△ABC，∵32+42=52，∴△ABC为直角三角形，∴外接圆的直径为5，∴外接圆的半径为2.5，设内切圆的半径为r，∵S△ABC=12，AB+BC+CA，•r，即12×3×4=12×，3+4+5，r，解得r=1，∴该三角形内切圆半径与外接圆半径之比为1，2.5，故答案是，1，2.5，11．已知等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，则△ABC的内切圆半径为cm．【答案】r=103【解析】试题分析：如图，设，ABC的内切圆半径为r，由勾股定理得AD=12，再由切线长定理得AE=8，根据勾股定理求得r 即可．试题解析：如图，，AB=AC=13cm ，BC=10cm ，，BD=5cm ，，AD=12cm ，根据切线长定理，AE=AB -BE=AB -BD=13-5=8，设，ABC 的内切圆半径为r ，，AO=12-r ，，（12-r ）2-r 2=64，解得r=103．考点：1．三角形的内切圆与内心；2．等腰三角形的性质．12．如图，已知点O 是ABC ∆的内心，若120BOC ∠=，则A ∠=__________．【答案】60【分析】先利用120BOC ∠=，可求出∠OBC ＋∠OCB ，再利用三角形的内心即为三个内角角平分线的交点，可求出∠ABC ＋∠ACB ，然后就可求出∠A.【详解】∵120BOC ∠=∴∠OBC ＋∠OCB=180°－∠BOC=60°又∵点O 是ABC ∆的内心∴BO、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB∴∠ABC ＋∠ACB=2（∠OBC ＋∠OCB ）=120°∴∠A=180°－（∠ABC ＋∠ACB ）=60°故答案为：60【点睛】此题考查的是三角形内心的定义和三角形内角和定理.13．如图，在O 中，弦4AB =，点C 在AB 上移动，连结OC ，过点C 作CD OC ⊥交O 于点D ，则CD 的最大值为__________．【答案】2【分析】连接OD ，根据勾股定理求出CD ，利用垂线段最短得到当OC ⊥AB 时，OC 最小，根据垂径定理计算即可；【详解】如图，连接OD ，∵CD ⊥OC ，∴∠DCO=90︒，∴CD当OC 的值最小时，CD 的值最大，OC ⊥AB 时，OC 最小，此时D 、B 两点重合，∴CD=CB=12AB=2，即CD 的最大值为2； 故答案为：2.【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键.14．在ABC ∆中，70A ∠=︒，若O 为ABC ∆的外心，则BOC ∠=______度；若O 为ABC ∆的内心，则BOC ∠=______度.【答案】140 125【分析】若O 为ABC ∆的外心，根据圆周角定理，即可求解；若O 为ABC ∆的内心，根据内心是角平分线的交点，再结合三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：如图一，点O 是三角形的外心．根据圆周角定理，得∠BOC=2∠A=140°；如图二，点O 是三角形的内心．∴BO 、CO 平分∠ABC 、∠ACB ，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-12（∠ABC+∠ACB ） =180°-12（180°-∠A ） =90°+12∠A=125°．故答案为140，125．【点睛】本题考查三角形外心和内心的定义，熟练掌握圆周角定理，熟记内心为三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．三、解答题15．如图，点D 是ABC 外接圆的圆心，点O 是ABC 内切圆的圆心，已知110A ∠=︒，求BOC ∠和BDC ∠的度数．【答案】145BOC ∠=︒，140BDC ∠=︒【分析】如图，在D 上取点H ，连接,,BH CH 由圆的内接四边形的性质求解H ∠， 再利用圆周角定理求解,BDC ∠ O 为ABC 的内心，可得,OB OC 分别平分,,ABC ACB ∠∠结合三角形的内角和定理可得()()1118022OBC OCB ABC ACB A ∠+∠=∠+∠=︒-∠，再利用内角和定理可得BOC ∠的大小． 【详解】解：如图，在D 上取点H ，连接,,BH CH四边形ABHC 为D 的内接四边形，110A ∠=︒，18011070H ∴∠=︒-︒=︒，2140,BDC H ∴∠=∠=︒O 为ABC 的内心，,OB OC ∴分别平分,,ABC ACB ∠∠11,,22OBC ABC OCB ACB ∴∠=∠∠=∠ ()()1118022OBC OCB ABC ACB A ∴∠+∠=∠+∠=︒-∠ ()1180110352=⨯︒-︒=︒， ()180********.BOC OBC OCB ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，圆周角定理的应用，三角形内心的含义，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．16．如图所示,AB 为☉O 的直径,CD 是☉O 的弦,AB ,CD 的延长线交于点E ,已知AB=2DE ,∠AEC=20°.求∠AOC 的度数.【答案】∠AOC=60°.【分析】连接OD ，如图，由AB，2DE，AB，2OD 得到OD，DE ，根据等腰三角形的性质得∠DOE，∠E，20°，再利用三角形外角性质得到∠CDO，40°，加上∠C，∠ODC，40°，然后再利用三角形外角性质即可计算出∠AOC，【详解】解:连接OD.∵AB=2DE ,AB=2OD ,∴OD=DE ,∴∠DOE=∠E=20°,∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°,∵OC=OD ,∴∠C=∠ODC=40°,∴∠AOC=∠C+∠E=60°.【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．17．如图，AB 是O 的直径，点D 是O 上一点，DC AB ⊥于点C .（1）如图①，连接,OD BD ，若点C 是AO 的中点，求ODB ∠的大小；（2）如图②，过点D 作O 的切线，交AB 的延长线于点E ，DF OE 交O 于点F ，且DF OE =.若O 的半径为2，求CE 的长.【答案】（1）30°；（2【分析】（1）连接AD ，根据已知条件可得出AD=OD=OA ，因此，AOD 是等边三角形，得出DAO 60∠=︒，继而得出30ODB OBD ∠=∠=︒；（2）连接, OF OD ，可得四边形OFDE 为平行四边形，有2OF OD DE ===，DE 为圆的切线，90ODE ∠=︒，因此，ODE 为等腰直角三角形，可求出OE 的值，进一步求出CE 的长．【详解】解：（I ）如图，连接AD ，∵点C 是AO 的中点，∴AC OC =，∵DC AB ⊥，∴AD OD =，∵OA OD =，∴OA OD AD ==，∴AOD △为等边三角形，∴60AOD ∠=︒，∴30OBD ∠=︒，∵OB OD =，∴30ODB OBD ∠=∠=︒．（2）如图，连接, OF OD ，∵DE 为O 的切线，∴90ODE ∠=︒，∵,DF OE DF OE =，∴四边形OFDE 为平行四边形，∴2OF OD DE ===，∴ODE 为等腰直角三角形，∴OE =∵DC AB ⊥，∴12CE OE == 【点睛】本题是一道关于圆的综合题目，涉及到的知识点有圆的切线的性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理等，属于容易题，失分原因：（1）不能根据AC OC =判断出AOD △是等边三角形；（2）不能正确的作出辅助线证明四边形OFDE 是平行四边形；未能掌握等腰直角三角形的性质． 18．如图：在三角形ABC 中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径．【分析】作AD BC ⊥，根据勾股定理求解ABC S，再结合内切圆的性质，利用等面积转换的方法求解即可． 【详解】如图，作AD BC ⊥，设BD x =，则8CD x =-，由勾股定理可知：2222AB BD AC CD -=-，则()2225498x x -=--，解得52x =，则2AD =，故11822ABC S BC AD ==⨯=△ 由三角形的内切圆性质，可得：()12ABC S r AB BC AC =++△2578ABC S r AB BC AC ∴===++++△．【点睛】本题考查了勾股定理计算以及三角形的内切圆性质，能够灵活利用三角形的面积转换是解决问题的关键． 19．在同一平面直角坐标系中有6个点：A （1，1），B （−3，−1），C （−3，1），D （−2，−2），E （−2，−3），F （0，−4）．（1）画出△ABC 的外接圆P ，则点D 与P 的位置关系___；（2）△ABC 的外接圆的半径=___，△ABC 的内切圆的半径=___．（3）若将直线EF 沿y 轴向上平移，当它经过点D 时，设此时的直线为1l ，则直线1l 与⊙P 的位置关系____【答案】（1）见解析，在圆上；（2）△ABC ABC 的内切圆的半径：3（3）直线与圆相交【分析】（1）分别找出AC 与BC 的垂直平分线，交于点P ，即为圆心，求出AP 的长即为圆的半径，画出圆P ，如图所示，求出D 到圆心P 的距离，与半径比较即可做出判断；（2）求出三角形ABC 的外接圆半径，内切圆半径即可；（3）根据图形及直线与圆的位置关系即可判断．【详解】（1）画出△ABC 的外接圆P ，如图所示，∵DP r ===，∴点D 与P 的位置关系是点在圆上；故答案为：在圆上；（2）△ABC 的外接圆的半径AP ABC 的内切圆的半径为242+-3=3（3）画图之后由网格图得，直线与圆相交故答案为：相交． 【点睛】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，两点间的距离公式，点与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．20．如图，在ABC 中，8AB =，6AC =，O 是其内部一点，AO 平分BAC ∠，连接OC ，在AB 上取一点D ，使6AD =，连接OD ．（1）求证：ADO △△ACO △；（2）若130AOD ∠=︒，连接CD ，求OCD ∠的度数；（3）若O 是ABC 的内心，过O 作OM BC ⊥于M ，求CM 的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）40︒；（3）06CM <<．【分析】（1）由SAS 证明三角形全等；（2）根据全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，解得100DOC ∠=︒，再由等腰三角形等边对等角的性质解题即可；（3）过O 作ON AC ⊥于N ，OQ AB ⊥于Q ，由于三角形内心是三角形三个内角平分线的交点，可知OCN OCM ∠=∠，再由ASA 证明OCN ，OCM ，最后有全等三角形对应边相等的性质，解得CN CM =，同理解得BM BQ =，AN AQ =，根据三角形三边关系解出答案即可．【详解】解：（1）证明：，6AD AC ==，DAO CAO ∠=∠，AO AO =，，ADO △，ACO △．（2），ADO △，ACO △，，OD OC =，130AOD AOC ∠=∠=︒，，100DOC ∠=︒，，OD OC =，，40OCD ODC ∠=∠=︒．（3）过O 作ON AC ⊥于N ，OQ AB ⊥于Q ，，O 是ABC 的内心，，OCN OCM ∠=∠，，OC OC =，90ONC OMC ∠=∠=︒，，OCN ，OCM ，，CN CM =．同理可得BM BQ =，AN AQ =，，AN CN CM BM BQ AQ AB BC AC +++++=++，，22CM AB AB AC BC +=++，，22BC CM =+，，214BC <<，，22214CM <+<，，06CM <<【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内心的性质、等腰三角形的性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．。