32平面直角坐标系(2)

北师大版 数学 八年级 上册A B CD如图，有一个长为10，宽为8的长方形，你能说出四个顶点的坐标吗？请进入我们今天的知识海洋，遨游吧！导入新知素养目标2.能根据几个点的坐标确定直角坐标系.1.能根据图形建立适当的平面直角坐标系，并能准确求出图形上点的坐标 .如图,长方形ABCD 的长与宽分别是6和4，建立适当的直角坐标系,并写出各个顶点的坐标.（1）你是如何建立的直角坐标系?（2）各顶点坐标如何求得?BC D A知识点例1思考46xy B C D A o4（0，4）（6，0）（0，0）（6，4）（1）确定坐标原点；（2）确定x 轴和y 轴，建立直角坐标系；（3）根据条件中线段长度表示各顶点的坐标.交流探究B C DA 解:如图,以点C 为坐标原点, 分别以CD , CB 所在的直线为x 轴,y 轴建立直角坐标系. 此时C 点坐标为( 0 , 0 ).xy 0(0 , 0 )( 0 , 4 )( 6 , 4 )( 6 , 0)由CD 长为6, CB 长为4, 可得D , B , A 的坐标分别为D ( 6 , 0 ), B ( 0 , 4 ),A ( 6 , 4 ) . 46还可以建立其他平面直角坐标系，表示长方形的四个顶点A ,B ,C ,D 的坐标吗？46y（C ）DAB O 思考探究xy o（0，0） （6，-4）（ 0，-4 ）（6，0）B C D A 成果交流B C DAx yo （-6，4）（0，0）（-6，0）（0，4）成果交流x yo B C D A （0，0）（-6，0）（ 0，-4 ）（-6，-4）成果交流BC D Axy （-3，2） （3，-2）（-3，-2）（3，2）O 成果交流B C D Ax y（-3，4） （3，0）（ -3，0 ）（3，4）12成果交流0y x 0y x 0xy 0y x y 0x (5)y 0x (6)1.选原点;2.画x ，y 坐标轴;3.建立平面直角坐标系.根据图形的特点，建立简单直角坐标系.建立直角坐标系的步骤：成果交流汇展 (1) (2) (3) (4)探究新知思考由前面得知，建立的平面直角坐标系不同，则各点的坐标也不同．你认为怎样建立直角坐标系才比较适当？小结：建立平面直角坐标系，一般要使图形上的点的坐标容易确定，例如以长方形的两条边所在的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系,又如以长方形的中心为原点建立平面直角坐标系．需要说明的是，虽然建立不同的平面直角坐标系，同一个点会有不同的坐标，但图形的形状和性质不会改变．正方形ABCD 的边长为4，请建立一个平面直角坐标系，并写出正方形的四个顶点A,B,C,D 在这个平面直角坐标系中的坐标.A BC D44yx （A ）BC D 解：如图，以顶点A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．此时，正方形四个顶点A ,B ,C ,D 的坐标分别为：A (0，0),B (4，0),C (4，4),D (0，4).OA BC D A (0，-4), B (4，-4),C (4，0), D (0，0).yxO 讨论 还可以建立其他平面直角坐标系，表示正方形的四个顶点A ,B ,C ,D 的坐标吗？A (-4，0),B (0，0),C (0，4),D (-4，4).A (-4，-4), B (0，-4),C (0，0), D (-4，0).A (-2，-2), B (2，-2),C (2，2), D (-2，2)...等xy A BCDxyA BC DxyA BCDyA BCD巩固练习x巩固练习归纳总结（1）选取的坐标系不同，同一点的坐标不同；（2）为使计算简化，证明方便，需要恰当地选取坐标系；（3）“恰当”意味着要充分利用图形的特点：垂直关系、对称关系、平行关系、中点等.解: 如图,以边AB所在的直线为x 轴,以边AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系.由正三角形的性质可知A O = 23,正三角形ABC 各个顶点A ,B ,C 的坐标分别为A (0, 23 );B ( -2 , 0 );C ( 2 , 0).例2 如图，对于边长为 4的正三角形ABC, 建立适当的直角坐标系 ,并写出各个顶点的坐标 .A B Cxy．32224O想一想，还有其他方法吗？CABxyD 32224A （2， ）C （4 ， 0）B （ 0， 0 ）32如图，对于边长为 4的正三角形ABC, 建立适当的直角坐标系 ,并写出各个顶点的坐标 .不同解法展示CAByD 32如图，对于边长为 4的正三角形ABC, 建立适当的直角坐标系 ,并写出各个顶点的坐标 .224A （-2， ） C （0， 0）B （ -4， 0 ）32不同解法展示ABCxy o2243232-D EA （0，C （2 ， ）B （ -2，）32-32-不同解法展示如图，对于边长为 4的正三角形ABC, 建立适当的直角坐标系 ,并写出各个顶点的坐标 .O 东北5050单位：m 张明李强同学家在学校以东100m 再往北150m 处，张明同学家在学校以西100m 再往南50m 处，王玲同学家在学校以南150m 处，如图，在坐标系中画出这三位同学家的位置，并用坐标表示出来.李强王玲(100,150)(-100,-50)(0,-150)巩固练习学校解：如图所示中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点___________　．（﹣1，1）连接中考1.如图所示，小明在与同伴玩“找宝”游戏，他们准备到A 、B 、C 三个点去找宝，现已知点A 的坐标是（1，0），点B 的坐标是（3，2），则点C 的坐标是___________.（5，1）课堂检测基础巩固题x y A B C 2．(1)已知A (1,4), B (-4,0),C (2,0). △ABC 的面积是＿＿＿．(2)若BC 的坐标不变, △ABC 的面积为6,点A 的横坐标为-1,那么点A 的坐标为 ．12O(1,4)(-4,0)(2,0)Cx yAB(-4,0)(2,0)(-1,2)或(-1,-2)O课堂检测基础巩固题3.在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了坐标为（3，2）和（3，-2）的两个标志点，并且知道藏宝地点的坐标为（4，4），如何确定直角坐标系找到“宝藏”？·12345-4-3-2-131425-2-1-3y ·O（3，-2）x（3，2）··（4，4）解：如图所示基础巩固题4.长方形的两条边长分别为4，6，建立适当的直角坐标系，使它的一个顶点的坐标为(-2，-3)．请你写出另外三个顶点的坐标．解：如图, 建立直角坐标系,因为长方形的一个顶点的坐标为A (-2，-3)，所以长方形的另外三个顶点的坐标分别为B (2，-3)，C (2，3)，D (-2，3)．基础巩固题·仙鹤（2，1）·大树（8，2）已知仙鹤的坐标为（2，1）大树的坐标为（8，2）而狮子的坐标为（6，6）你能在图中标出狮子的位置吗？（向上、向右为正）12845673xy12634578狮子（6，6）·提示：由仙鹤和大树的坐标确定原点位置和单位长度解：如右图所示：课堂检测能力提升题在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （2，2），点Q 在y 轴上，△PQO 是等腰三角形，则满足条件的点Q 共有( )A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 解析：如图所示，当以OP 为腰时，分别以O 、P 为圆心OP 为半径画弧，与y 轴有三个交点Q 2，Q 4，Q 3，当以OP 为底时，OP 的垂直平分线与y 轴有一个交点Q 1.B 课堂检测拓广探索题建立适当的平面直角坐标系表示位置：(1)建立坐标系,选择一个适当的点为原点、确定x 轴、 y 轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内画出这些点、写出各点的坐标和各个地点的名称.课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习谢谢观看 Thank You。

第二课时 平面直角坐标系1. 认识平面直角坐标系，在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，能由点的位置写出点的坐标.2.能根据实际条件建立适当的平面直角坐标系.3.重难点:正确建立平面直角坐标系，根据坐标描出点的位置，由点的位置确定点的坐标的.知识导入如何用一对实数来表示平面内的位置呢？早在1637年以前，法国数学家笛卡儿受到了经、纬线的启发，地理上的经纬度是以赤道和本初子午线为标准的，这两条线从局部上看是平面内互相垂直的两条直线。

所以笛卡儿在平面内画两条互相垂直且有公共原点的的数轴，其中水平的数轴叫x 轴（或横轴）取向右为正方向，竖直的数轴叫y 轴（或纵轴），取向上为正方向，X 轴或Y 轴统称为坐标轴，这个平面叫做坐标平面．这就是今天要研究的笛卡儿的平面直角坐标系．如下图所示知识讲解 知识点一：平面直角坐标系、坐标面平面内两条互相垂直并且原点重合的数轴组成平面直角坐标系．其中，水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点叫做平面直角坐标系的原点．直角坐标系所在的平面叫做坐标平面．例 (1)在如图6.1-10的平面直角坐标系中描出下列各点:A(4,5),B(-2,3),C(-4,-1),D(2.5,-2),E(0,-4),F(3,0)(2)观察各点在坐标系中的位置，总结各象限内的符号规律及坐标轴上点的坐标特点.分析要根据坐标描出点的具体位置，应先找到该点横坐标在x轴上的位置，过该位置作y轴的平行线；再找到该点纵坐标在y轴上的位置，过该位置作x轴的平行线，两线的交点即为要描出的点的位置.解析 (1)先在x轴上找出表示4的点.再在y轴上找出表示5的点,过这两个点分别作x轴和y轴的垂线,垂线的交点为A.同理可描出点B、C、D、E、F.点A、B、C、D、E、F在坐标平面内的位置如图6.1-11所示(2)符号规律第一象限（+，+），第二象限（—，+），第三象限（—，—），第四象限（+，—）.x轴上的点的纵坐标为0即x轴上的点的坐标为（a，0）. y轴上的点的横坐标为0即y轴上的点的坐标为（0，a）.点拨平面内点的坐标是一对有序数对，即有序数对与坐标面内的点对应的，对于平面直角坐标系内的任意一点，都有一对有序数对和它对应.因此平面内的点与有序数对是一一对应的.明确各象限内坐标的符号及坐标轴上点的特点.以便快捷解题.知识点二：有序数对表示平面内的点例2 一图形在平面直角坐标系中如图6.1-12所示.(1)分别写出A、B、C、D、E、F、G、H、L各点的坐标(2)注意观察点B、H、L、E的坐标和坐标轴的位置关系，你发现了什么？并用自己的语言总结这个规律.(3)再分别观察H、F、C的坐标和坐标轴的位置关系？点L、G、D的坐标和坐标轴的位置关系，又能得到什么规律？（4）注意观察点F和点G的坐标，你又能发现什么？如果在y轴上的点又有什么特点呢？分析（1）写坐标系中点的坐标时要确定各点的纵横坐标，也就是要确定各点对应的横轴（x轴）和纵轴（y轴）的数据, 把横坐标写在纵坐标的前面即可.如A点先找到对应横轴(x轴)的数据-2,再找到对应纵轴（y轴）的数据3,写成坐标的形式为(-2,3);再如坐标轴上的点亦按同样做法.如点E,先确定横轴(x轴)上的数据位0,纵轴(y轴)上的数据1,写成坐标的形式为(0,1).（2）通过观察点B、H、L、E的坐标可以发现它们的纵坐标都相等，与横轴(x 轴)平行，与纵轴(y轴)垂直.(3)通过观察H、F、C的坐标可以发现它们的横坐标都相等，与纵轴(y轴)平行，与横轴(x轴)垂直.(4) )通过观察点F和点G的坐标发现它们的横坐标都为0,在横轴(x轴)上.结合图形可以得到y轴上的点的横坐标为0.解析 (1)各点坐标分别为A(-2,3),B(-4,1),C(-3,-1),D(-1,-1),E(0,1),F(-3,0),G(-1,0),H(-3,1),L(-1,1).(2) 点B、H、L、E的纵坐标相同都为1,都平行于横轴（x轴）.与纵轴(y轴)垂直.(3)通过观察H、F、C的坐标可以发现它们的横坐标都相等，与纵轴(y轴)平行，与横轴(x轴)垂直.(4) )通过观察点F和点G的坐标发现它们的横坐标都为0,在横轴(x轴)上.结合图形可以得到y轴上的点的横坐标为0.点拨由此题要归纳出规律,以便快捷解答. 纵坐标相同的点,都平行于横轴（x 轴）；与纵轴(y轴)垂直.横坐标都相同的点，与纵轴(y轴)平行；与横轴(x轴)垂直.坐标轴上的点的坐标中至少有一个是0；横轴上的点的纵坐标为0，纵轴上的点的横坐标为0.知识点三：建立平面直角坐标糸例3 如图6.1-13,正方形ABCD的边长为6.(1)如果以点A为原点,AB所在的直线为x轴,建立平面坐标系,那么y轴是哪条线?(2)写出正方形的顶点A、B、C、D的坐标.(3)请你另建立一个平面直角坐标系,此时正方形的顶点A、B、C、D的坐标又分别是多少?分析（1）根据平面直角坐标系的定义：平面内两条互相垂直并且原点重合的数轴组成平面直角坐标系．可知y轴是AD所在直线.(2)根据坐标系写出各点坐标.（3）建立的直角坐标系不同,则各点的坐标也不同.要尽量使更多的点落在坐标轴上.解 (1)y轴是AD所在直线.(2）A(0,0),B(0,6),C(6,6),D(6,0).(3)以点B为原点,AB所在的直线为x轴,建立平面坐标系,那么y轴是BC所在的直线. A(-6,0),B(0,0),C(0,6),D(-6,-6).点拨建立平面直角坐标系时要尽量使更多的点落在坐标轴上.知识探究1.平面直角坐标系的相关概念及点符号特征(1)定义：平面内两条互相垂直并且原点重合的数轴组成平面直角坐标系．其中，水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点叫做平面直角坐标系的原点．直角坐标系所在的平面叫做坐标平面．(2)相关概念：建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，如图所示，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．注意坐标轴上的点不属于任何象限．平面直角坐标系内一点A的坐标用（a，b）来表示，a是横坐标、b是纵坐标这里的两个数据，一个表示水平方向与A点的距离，另一个表示竖直方向上到A 点的距离。

压轴题06直线和圆中的隐形圆问题在考查直线与圆的综合问题时，有些时候题设条件中没有直接给出相关圆的信息，而是隐含在题目中，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而可以利用圆的知识来求解，这类问题称为“隐圆”问题隐圆问题是高中数学中难度较大的一个跨单元主题，它承接于初中的圆，融入了高中的平面向量，解三角形，解析几何等内容，综合性很高，更是学生学习的难点之一！当然，这部分内容在课本上也多有涉及，比如阿波罗尼斯圆，圆的参数方程等，基于此，本节将系统梳理相关内容，力争做成一份全面，完整的隐圆资料.○热○点○题○型1利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆○热○点○题○型2圆的内接四边形与托勒密定理○热○点○题○型3向量隐圆○热○点○题○型4米勒圆与最大视角1.如图32­3所示，已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|PA →＋PB →|的取值范围为________．图32­32.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,0)，B (5,0)．若圆M ：(x －4)2＋(y －m )2＝4上存在唯一点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为_________．3.如果圆4)3()2(22=--+-a y a x 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围为_______.4.已知点()3,0P -在动直线()30mx ny m n +-+=上的投影为点M ，若点32,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则MN 的最大值为A ．1B ．32C ．2D ．1125.若对于圆22:2220C x y x y +---=上任意的点A ，直线:4380l x y ++=上总存在不同两点M ，N ，使得90MAN ∠≥︒，则MN 的最小值为______.6.在ABC ∆中，CB C B A sin sin sin sin sin 222⋅=--（1）求A ；（2）若3=BC ，求ABC ∆周长的最大值.7.已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是__________.8.已知向量→→→c b a ,,满足12||,1||-=⋅==→→→→b a b a ，且向量→→→→--c b c a ,的夹角为4π，则||→c 的最大值为_________.9.已知平面向量a 、b 、c 满足0a b ⋅= ，1a b == ，()()12c a c b -⋅-= ，则c a - 的最大值为（）A B ．12+C ．32D ．210.已知点)0,3(),0,1(B A -.点P 为圆45:22=+y x O 上一个动点，则APB ∠sin 的最大值为__________.解析：如图，设D 是圆O 上不同于点P 的任意一点，连结DA 与圆O 交于点E ，连接EC ，由三角形外角的性质，可知ADC AEC ∠>∠，由圆周角定理：=∠APC AEC ∠，因此ADC APC ∠>∠，当且仅当ACP ∆的外接圆与圆O 相切于点P 时，APC ∠最大.此时，可设ACP ∆的外接圆圆心),1(t M ，由于此时P M O ,,三点共线且MP OM OP +=，而42+==t MC MP ，则531422=+++t t ，解得：5442=t ，于是58=M R ，由正弦定理，则APB ∠sin 的最大值为45.11.如图32­2所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A (1,1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围是________．图32­212.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆x 2＋y 2＝4上，且AB ＝22，点P (3,1)，PO →·(PA →＋PB →)＝16，设AB 的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为________．13.在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上两个动点，且AB ＝211.若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得P A →＋PB →＝OC →，求实数a 的值．。

X平面直角坐标系知识点归纳1、在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系;2、坐标平面上的任意一点 P 的坐标，都和惟一的一对有序实数对（a,b ）一一对应；其中，a 为横坐标，b 为纵坐标坐标；3、 x 轴上的点，纵坐标等于 0; y 轴上的点，横坐标等于 0； 坐标轴上的点 不属于任何象限;4、 四个象限的点的坐标具有如下特征：小结：（1 ）点P （ x, y ）所在的象限 —►横、纵坐标X 、y 的取值的正负性;（2 ）点P （ X, y ）所在的数轴 —*■横、纵坐标X 、y 中必有一数为零；5、 在平面直角坐标系中，已知点p （a,b ），则（1） 点P 到X 轴的距离为b ；（ 2 ）点P 到y 轴的距离为（3） 点P 到原点o 的距离为PO = .a 2 b 26、 平行直线上的点的坐标特征：a ）在与x 轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等;b ）在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等;d bJ_____ P(a,b) 1____________ 1-3 -2 -1 0 -1-2 -31a X点A 、B 的纵坐标都等于m ；象限 横坐标X 纵坐标y 第一象限 正 正 第二象限 负 正 第三象限负 负 第四象限正负b YC点C、D的横坐标都等于n ；，nD 'XX7、对称点的坐标特征:8、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征:a)若点P ( m,n )在第一、三象限的角平分线上，则 b)若点P ( m,n )在第二、四象限的角平分线上，贝Um基本练习：练习 仁在平面直角坐标系中，已知点 P ( m 5,m2 )在x 轴上，贝U P 点坐标为 _________2练习2 :在平面直角坐标系中，点P ( m 2, 4 ) 一定在 _____________ 象限；2练习3 :已知点P ( a 1, a 9)在x 轴的负半轴上，则 P 点坐标为___________________ ;练习4 :已知X 轴上一点A (3 , 0) , y 轴上一点B ( 0 , b ),且AB=5，则b 的值为 ______________ ; 练习5 :点M (2 , - 3)关于x 轴的对称点N 的坐标为 _______________ ;关于y 轴的对称点P的坐标为 ________ ;关于原点的对称点 Q 的坐标为 ___________ 。

新版北师大版八年级数学上册第3章《位置与坐标》同步练习及答案—3.2平面直角坐标系（2）一、填空题1._____________________________________________________组成平面直角坐标系.2.（1）图1中多边形ABCDEF各顶点坐标为______________________________________________________________________.(2)A与B和E与D的横坐标有什么关系_______________________________________.(3)B与D、C与F坐标的特点是_______________________________________.(4)线段AB与ED所在直线的位置关系是____________________________________________________________________________________________________.3.图2是画在方格纸上的某行政区简图，（1）则地点B，E，H，R的坐标分别为：______________________________________.(2)(2,4),(5,3),(7,7),(11,4)所代表的地点分别为___________________4.已知：如图3等腰△ABC的腰长为22，底边BC=4，以BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的直角坐标系，则B( )、C( )、A( ).5、到x轴距离为2的所有点组成的图形是__________.6.点Q(-5,6)到x轴的距离为________;到y轴的距离为________.7.已知AB∥x轴,A的坐标为(3,2),并且AB=4,则B的坐标为________.8.把点A(4,3)向上平移两个单位,再向下平移3个单位,得到点A ′的坐标为_______.二、选择题：1.已知M(a,b)在x轴下方,且ab<0,那么点M在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.如果点P(x,y)满足xy=0,那么点P必定在( )A.原点上B.x轴上C.y轴上D.坐标轴上3.横坐标和纵坐标都是正数的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.点P(m+3,m+1)在直角坐标系的x轴上,则点P的坐标为( )A.(0,-2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,-4)5.与直角坐标平面内的点对应的坐标是( )A.一对实数B.一对有序实数C.一对有理数D.一对有序有理数6.已知点A(m,n)在第二象限,则点B(│m│,-n)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.点M(0,-4)的位置在( )A.第二象限B.第三象限C.第四象限D.不在任何象限8．点P到x轴距离是1，到y轴距离是2，则P点坐标为（）A （2，1）B （1，2）C （－2，1）D 2，1）（－2，1）（－2，－1）（2，－1）三. 如图1,在所给的直角坐标系中,作出点A(2,-3),B(3,-5),C(0,-3),D(-2,-4)的点,并答出点P、G、M的坐标.参考答案：一、1.有公共原点且互相垂直的两条数轴2.(1)A(－4，3)，B(－4，0)，C(0，－2)，D(5，0)，E(5，3)，F(0，5)(2)相同 (3)均有个坐标为0，B、D纵坐标为0，C、F横坐标为0 (4)平行3.(1)B(4，8)，E(11，4)，H(10，4)，R(6，1) (2)M，I，C，E4.(－2，0)，(2，0)，A(0，2)5.平行于x轴,与x轴距离为2的两条平行线.6.6, 57.(-1,2)(7,2);8.(4,2)二、选择题：1.D2.D3.A4.B5.B6.D7.D 8、D三.P(4,2),G(-2,-3),M(-1,1);良好的学习态度能够更好的提高学习能力。

专题32 二次函数与旋转问题1．（2021—2022辽宁千山九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于点A 和(1,0)C ，交y 轴于点(0,3)B ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，交抛物线于点F ． （1）求抛物线的解析式；（2）将线段OE 绕着点O 沿顺时针方向旋转得到线段OE '，旋转角为()090αα︒<<︒，连接,AE BE ''，求13BE AE '+'的最小值； （3）M 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--+；（2（3）存在，N 1-，2．【分析】 （1）根据待定系数法即可求出解析式；（2）先取OE 的三等分点D ，得出DE '=13AE '，当B ，E '，D 三点共线时即为最小值； （3）先设出点N 的坐标，根据矩形的性质列出关于N 点坐标的方程组，即可求出N 点的坐标．【详解】解：（1）把C （1，0），B （0，3）代入y =-x 2+bx +c 中，得：103b c c -++⎧⎨⎩＝＝， ∴b =-2，c =3，∴y =-x 2-2x +3，（2）在OE 上取一点D ，使得OD =13OE ， 连接DE '，BD ，∵OD ＝13OE ＝13OE ′，对称轴x =-1， ∴E （-1，0），OE =1，∴OE '=OE =1，OA =3， ∴13OE OD OA OE ='='， 又∵∠DOE '=∠E 'OA ，△DOE '∽△E 'OA ，∴DE ′＝13AE ′， ∴BE ′+13AE ′＝BE ′+DE ′， 当B ，E '，D 三点共线时，BE ′+DE ′最小为BD ，BD ===∴BE ′+13AE ′； （3）存在，∵A （-3，0），B （0，3），设N （n ，-n 2-2n +3），则AB 2=18，AN 2=（n 2+2n -3）2+（n +3）2，BN 2=n 2+（n 2+2n ）2，∵以点A ，B ，M ，N 为顶点构成的四边形是矩形，∴△ABN 是直角三角形，若AB 是斜边，则AB 2=AN 2+BN 2，即18=（n 2+2n -3）2+（n +3）2+n 2+（n 2+2n ）2，解得：12n n ==，∴N 若AN 是斜边，则AN 2=AB 2+BN 2，即（n 2+2n -3）2+（n +3）2=18+n 2+（n 2+2n ）2，解得n =0（与点B 重合，舍去）或n =-1，∴N 的横坐标是-1，若BN 是斜边，则BN 2=AB 2+AN 2，即n 2+（n 2+2n ）2=18+（n 2+2n -3）2+（n +3）2，解得n =-3（与点B 重合，舍去）或n =2，∴N 的横坐标为2，综上N -1，2． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，求解析式常用的是待定系数法，一般都是第一问，也是后面内容的基础，必须掌握且不能出错，否则后面的两问没法做，对于相似三角形，要牢记它的判定与性质，考试中一般都是先判定，在用性质． 2．（2021—2022辽宁连山九年级期中）如图，在半面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B ，其中点A 的坐标为(4,0)-，与y 轴交于点(0,2)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D 为抛物线上AC 上方的一个动点，过点D 作DE y ∥轴，交AC 于点E ，过D 作DF DE ⊥，交直线AC 于点F ，以DE 、DF 为边作矩形DEGF ，设矩形DEGF 的周长为l ，求l 的最大值；（3）点P 是x 轴上一动点，将线段PC 绕点P 旋转90︒得到PQ ，当点Q 刚好落在抛物线上时，请直接写出点Q 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为213222y x x =--+；（2）l 的最大值为12；（3）1Q ⎝⎭，2Q ⎝⎭，3Q ⎝⎭，4Q ⎝⎭【分析】（1）将(4,0)(0,2)A C -、代入212y x bx c =-++求解即可得出答案； （2）由待定系数法求出直线AC 解析式，设点D 的横坐标为t ，即可表示出D 、E 、F 三点坐标，即可表示出矩形长宽，可表示矩形周长，即可求出最值；（3）分两种情况：当逆时针旋转90︒落在抛物线上和顺时针旋转90︒落在抛物线上，求出Q 点所在直线，与二次函数联立即可求出Q 的坐标．【详解】（1）将(4,0)(0,2)A C -、代入212y x bx c =-++得： 1164022b c c ⎧-⨯-+=⎪⎨⎪=⎩， 解得：322b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为213222y x x =--+； （2）设直线AC 解析式为y kx b '=+，将(4,0)(0,2)A C -、代入得：1,22k b ='=， ∴直线AC 解析式为122y x =+， 设点D 的横坐标为t ， 则有213,222D t t t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，1,22E t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵DF DE ⊥，∴DE y ∥轴，∴DF x ∥轴，∴D ，F 的纵坐标相同， ∴22133,222F t t t t ⎛⎫----+ ⎪⎝⎭， ∴2213112222222DE t t t t t ⎛⎫=--+-+=-- ⎪⎝⎭，2234DF t t t t t =---=--， ∴矩形DEGF 的周长为222()3123(2)12l DE DF t t t =+=--=-++，∴当2t =-时，l 的最大值为12；（3）当逆时针旋转90︒落在抛物线上时，如下图：设(,)Q x y ，(,0)P m ，2x m y m =-⎧∴⎨=-⎩， 2x y ∴+=-，即Q 在2y x =--上，2132222y x x y x ⎧=--+⎪⎨⎪=--⎩，解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1Q ∴⎝⎭，2Q ⎝⎭， 当顺时针旋转90︒落在抛物线上时，如下图：2x m y m =+⎧⎨=⎩， 2y x ∴=-，即Q 在2y x =-上，2132222y x x y x ⎧=--+⎪⎨⎪=-⎩，解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3Q ∴⎝⎭，4Q ⎝⎭． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，掌握用待定系数法求函数解析式以及矩形的性质是解题的关键．3．（2021—2022湖南长沙市九年级阶段练习）如图1，抛物线2224y mx mx m =--（0m >）与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）若tan ∠BCO ＝2，点P 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，作PQ ⊥x 轴于点Q ，连接P A ，当△APQ 与△BOC 相似时，求点P 的坐标；（3）如图2，在第（2）问的条件下，若P A 与y 轴交于点E ，且OE ＜OB ，连接BE ，以BE 为直径画圆交抛物线于点D ，连接DB 、DE ．①直接写出点D 的坐标；②作DF 平分∠BDE 交BE 于点F ，过点F 作直线l 与射线DB 、DE 分别交于点M 、N，当直线l 绕点F 旋转时，试判断11DM DN+的值是否变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）点A 的坐标为()4,0-，点B 的坐标为()6,0；（2）点P 的坐标为()10,7或()22,52；（3）①()4,2-；②不变，11DM DN +=【解析】【分析】（1）令2224y mx mx m =--=0，解方程即可求得两点A 与B 的坐标；（2）由tan ∠BCO ＝2可求得m 的值；分两种情况：△APQ ∽△BCO ，可得AQ =2PQ ；△APQ ∽△CBO ，PQ =2AQ ；设点P 的坐标，根据线段AQ 与PQ 的关系，即可求得点P 的坐标； （3）①可求得直线PE 的解析式，从而求得点E 的坐标；设D (,)a b ，BE 的中点为G ，连接GD ，则由圆的性质可得GD =12BE ，由此可得a 与b 的关系，再由点D 在抛物线上，解方程可求得a 的值，从而求得点D 的坐标；②先求得直线BE 、DB 的解析式，设DB 与y 轴的交点为S ，由题意易得DF 垂直于x 轴，故可求得点F 的坐标，设过点F 的直线MN 的解析式为y =kx +c ，其中k ≠0，进而可求得MN 的解析式；再用待定系数法求出直线DE 的解析式，则可分别求得直线MN 与直线DE 、直线DB 的交点的横坐标；过点D 作y 轴的垂线与过点N 的垂直于x 轴的直线交于点K ，则△DNK 为等腰直角三角形，过点M 作y 轴的垂线交DF 的延长线于点H ，则△DMH 为等腰直角三角形，因此可用k 分别表示DN 、DM 的长，并代入11DM DN+中即可求得结果为定值． 【详解】（1）令0y =，则20224mx mx m =--，解得6x =或－4．∴点A 的坐标为()4,0-，点B 的坐标为()6,0B（2）∵tan ∠BCO ＝2 ∴2OB OC =即OB =2OC ∵点B 的坐标为()6,0B ，点A 坐标为(−4，0)∴OB =6，OA =4∴OC =3即点C 的坐标为(0，−3)把点C 坐标代入抛物线解析式中得：−24m =−3 ∴18m =故函数解析式为211384y x x =-- 设点P 的坐标为(p ，q )，且点P 在第一象限，则p >0，q >0∴OQ =p ，PQ =q则AQ =OQ +OA =p +4若△APQ ∽△BCO ，则2AQ OB PQ OC==，即AQ =2PQ ∴p +4=2q ∴122q p =+ 即点P 坐标为1,22p p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭由点P 在抛物线上，则有211132842p p p --=+ 解得：110p =，24p =-（舍去） 则110272q =⨯+= 即点P 的坐标为(10，7)若△APQ ∽△CBO ，则2PQ OB AQ OC==，即PQ =2AQ ∴q =2(p +4)即点P 坐标为(p ，2(p +4))由点P 在抛物线上，则有21132(4)84p p p --=+ 解得：122p =，24p =-（舍去）则2(224)52q =⨯+=即点P 的坐标为(22，52)综上所述，点P 的坐标为()10,7或()22,52（3）①由题意OE <OB ，则点P 的坐标只能为(10，7)，由待定系数法可求得直线P A 的解析式为：122y x =+，则点E 的坐标为(0，2)，OE =2 设D (,)a b ，BE 的中点为G ，连接GD ，则12GD BE =则点G 的坐标为(3，1)，由勾股定理得BE∴GD = 即GD 2=10∴22(3)(1)10a b -+-=即(6)(2)0a a b b -+-=由点D 在抛物线上，则有21113(6)(4)848b a a a a =--=-+ ∴2111(6)(6)(4)(5)0884a a a a a a -+-+--= ∵a ≠6 ∴2111(4)(5)0884a a a a ++--= 整理得：322161600ab b ++-=即2(4)(640)0a a a -++=∵22640(3)310a a a ++=++>∴a −4=0∴a =4此时b =−2∴点D 的坐标为()4,2-② 不变由待定系数法可得直线BE 的解析式为123y x =-+，直线DB 的解析式为y =x −6，而当x =0时，y =−6，即直线DB 与y 轴的交点S 的坐标为(0，−6)，所以OS =OB =6∴∠OBD =45゜∵DF 平分∠BDE∴∠BDF =EDF =45゜∴∠OBD =∠BDF =45゜∴DF ⊥x 轴∴点F 的坐标为243⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设过点F 的直线MN 的解析式为y =kx +c ，其中k ≠0，把点F 的坐标代入得：243c k =- ∴243y kx k =+- 由待定系数法得直线DE 的解析式为2y x =-+ 解方程组2436y kx k y x ⎧=+-⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，可得12203(1)M k x k -=-，此即为点M 的横坐标； 同理可求得点N 的横坐标为1243(1)N k x k +=+ 过点D 作y 轴的垂线与过点N 的垂直于x 轴的直线交于点K ，则△DNK 为等腰直角三角形，过点M 作y 轴的垂线交DF 的延长线于点H ，则△DMH 为等腰直角三角形∴)N DN x -=，4)M DM x =-=∴11DM DN +==∴11DM DN +=．【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数与一元二次方程的关系，圆的有关性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与二元一次方程组，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解方程等知识，综合性强，运算量大，有技巧性，涉及的知识点多，关键和难点是灵活运用这些知识，深挖题目中的隐含条件，达到简便．4．（2021·江苏宜兴市中考二模）抛物线2132y x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，线段AC 的中点为点D ．将ACO △绕着点A 逆时针旋转，点O 的对应点为1O ，点C 的对应点为1C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）当旋转至13OO =时，求此时C 、1C 两点间的距离；（3）点P 是线段OC 上的动点，旋转后的对应点为1P ，当1O 恰巧落在AC 边上时，连接1AP ，1PO ，试求11AP PO +最小时点P 的坐标；（4）连接1DC ，1DO ，则在旋转过程中，11DC O △的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值，若不存在，说明理由．【答案】（1）A （0）、B （0）、C （0，3）；（2）6；（3）P （0，1）；（4） 【解析】 【分析】（1）令y =0建立一元二次方程，求其根即得到A ，B 的横坐标，令x =0，得到y 值即得到点C 的坐标；（2）分两种情形计算即可，注意三角形全等和三点共线原理的运用；（3）利用旋转的全等性，把线段和的最小值问题转化为将军饮马河问题，利用函数的解析式确定坐标即可；（4）根据旋转的全等性质，得到OC =11O C =3，直角三角形的性质AD =DO =AOO 在以A DO 是圆的直径时，三角形面积最大． 【详解】（1）∵2132y x x =-+，令y =0得213=02x -++，解得12x == ∵点A 在点B 的左侧，∴A （0）、B （0）； 令x =0，得到y =3， ∴点C 的坐标（0，3）；（2）当点C '落在x 轴的负半轴上时，∵A （0）,C （0，3）,∴OA OC =3，∴tan ∠ACO =OA OC =∴∠ACO =30°，∠OAC =60°，根据旋转的性质，得∠O 'C 'A =30°，∠O ' A C ' =60°， ∵O ' A =OA ，∴∠A O 'O =∠A O O '= 30°， ∴∠O 'O C =60°， ∵O ' O =3=OC ，∴△O 'O C 是等边三角形， ∴O ' C = O C ，∵AO =AO ，∴△A O ' C ≌△AOC ， ∴∠A O 'C = ∠AOC = 90°， ∴∠A O 'C '+ ∠A O 'C =180°， ∴O '、C '、C 三点一线， ∴C 'C =6；当点C '落在y 轴的负半轴上时，C C '=2OC =6； （3）根据旋转的性质,得1AP =AP ，∴11AP PO +=AP +1PO 作点1O 关于Y 轴的对称点M ，作直线AM ，交y 轴与点P ，此时的点P 就是11AP PO +取得最小值的位置，∵A （0）,C （0，3）,∴OA OC =3，∴tan ∠ACO =OA OC =∴∠ACO =30°，∠OAC =60°，∴A 1O过点1O 作1O N ⊥x 轴，垂足为N ，∴AN 1ON =32，∴1O（32），∴M32），设直线AM的解析式为y=kx+b，根据题意，得32bb⎧+=+=，解得1kb⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AM的解析式为y+1，令x=0，得y=1，∴P（0，1）；（4）根据旋转的全等性质，得到OC=11O C=3，在直角三角形AOC中，根据直角三角形的性质AD=DO=AOO在以A故当D1O是圆的直径时，三角形面积最大，面积最大值为：132⨯【点睛】本题考查了旋转的性质，特殊角的三角函数，线段之和的最小值，一次函数的解析式，三角形的全等，圆的基本性质，等边三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法，将军饮马河模型，直径是圆中最大的弦是解题的关键．5．如图1，抛物线2:C y ax bx=+经过点(4,0)A-、(1,3)B-两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180，得到新的抛物线'C．（1）求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标； （2）如图2，直线12:5l y kx =-经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为m （2m <-），连接DO 并延长，交抛物线'C 于点E ，交直线l 于点M ，2DE EM =，求m 的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG 、AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P ，使得DEP GAB ∠=∠？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24y x x =--，顶点为：(2,4)G -；（2）m 的值为﹣3；（3）存在，点P 的横坐标为： 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，即可求得a 和b 的值和抛物线C 解析式，再利用配方法将抛物线C 解析式化为顶点式即可求得顶点G 的坐标； （2）根据抛物线C 绕点O 旋转180，可求得新抛物线'C 的解析式，再将(4,0)A -代入125y kx =-中，即可求得直线l 解析式，根据对称性可得点E 坐标，过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ，过E 作//EK y 轴交直线l 于K ，由2DE EM =，即可得13ME MD =，再证明MEK ∆∽MDH ∆，即可得3DH EK =，建立方程求解即可；（3）连接BG ，易证ABG ∆是Rt ∆，90ABG ∠=，可得1tan tan 3DEP GAB ∠=∠=，在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH 上截取13OH OE ==过点E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点；通过建立方程组求解即可． 【详解】（1）将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，得16403a b a b -=⎧⎨-=⎩ 解得14a b =-⎧⎨=-⎩∴抛物线C 解析式为：24y x x =--，配方，得：224(2)4y x x x =--=-++，∴顶点为：(2,4)G -； （2）∵抛物线C 绕点O 旋转180，得到新的抛物线'C ． ∴新抛物线'C 的顶点为：'(2,4)G -，二次项系数为：'1a = ∴新抛物线'C 的解析式为：22(2)44y x x x =--=- 将(4,0)A -代入125y kx =-中，得12045k =--，解得35k =-， ∴直线l 解析式为31255y x =--，∵2(,4)D m m m --，∴直线DO 的解析式为(4)y m x =-+，由抛物线C 与抛物线'C 关于原点对称，可得点D 、E 关于原点对称， ∴2(,4)E m m m -+如图2，过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ，过E 作//EK y 轴交直线l 于K ，则312(,)55H m m --，312(,)55K m m --，∴2231217124()5555DH m m m m m =-----=--+，2231217124()5555EK m m m m m =+--=++，∵2DE EM = ∴13ME MD =， ∵//DH y 轴，//EK y 轴 ∴//DH EK ∴MEK ∆∽MDH ∆ ∴13EK ME DH MD ==，即3DH EK = ∴22171217123()5555m m m m --+=++ 解得：13m =-，225m =-，∵2m <-∴m 的值为：﹣3；（3）由（2）知：3m =-， ∴(3,3)D -，(3,3)E -，OE =如图3，连接BG ，在ABG ∆中，∵222(14)(30)18AB =-++-=，22BG =，220AG = ∴222AB BG AG +=∴ABG ∆是直角三角形，90ABG ∠=，∴1tan 3BG GAB AB ∠==， ∵DEP GAB ∠=∠ ∴1tan tan 3DEP GAB ∠=∠=， 在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH上截取13OH OE =过点E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点； ∵(3,3)E -， ∴45EOT ∠= ∵90EOH ∠= ∴45HOT ∠=∴(1,1)H --，设直线EH 解析式为y px q =+， 则331p q p q +=-⎧⎨-+=-⎩，解得1232p q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴直线EH 解析式为1322y x =--，解方程组213224y x y x x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩，得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点P的横坐标为：【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，旋转变换，相似三角形判定和性质，直线与抛物线交点，解直角三角形等知识点；属于中考压轴题型，综合性强，难度较大．C：二次函数6．（2021·广东广州市中考二模）在平面直角坐标系xOy中，1(2=+0y mx m xm>）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）且AB=，与y轴交于点C．4（1）求二次函数的表达式；（2）将抛物线1C 向上平移n 个单位，得到抛物线2C ，当302x ≤≤时，抛物线2C 与x 轴只有一个公共点，结合函数图象，求出n 的取值范围；（3）将ACB △绕AB 的中点Q 旋转180︒，得到BDA ，若点M 是线段AD 上一动点，MB NB ⊥交直线AC 于点N ，点P 为线段MN 的中点，当点M 从点D 向点A 运动时． ①求tan NMB ∠的值如何变化？请说明理由； ②求点到达点A 时，直接写出点P 经过的路线长．【答案】（1）2y x =-（2n n =（3）①不变，理由见解析；②【解析】 【分析】（1）将二次函数解析式变为交点式，可求点A 的坐标，根据4AB =，可得抛物线对称轴为：1x =，根据对称轴公式可求m ．即可得到二次函数1C 的表达式；（2）设抛物线2C 的表达式为223y x x n =--+，当抛物线2C 经过点3(2，0)时，代入可求n 的值，计算此时在302x ≤≤时与x 轴的两个交点，当抛物线2C 经过点(0,0)时，代入可求n 的值，再计算抛物线2C 与x 轴只有一个公共点时n 的值，从而求解；（3）①先求得四边形ACBD 是矩形，证明BDM BCN ∆∆∽，列比例式并结合三角函数定义可得结论；②首先证明点P 经过的路径是线段PQ 的长，如图2，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：（1）2((1)y mx m x mx x =++，当1x =-时，0y =，(1,0)A ∴-，4AB =，(1,0)A -，∴抛物线对称轴为：1x =，1=，m ∴=∴抛物线1C 的表达式为2y x =（2）设抛物线2C 的表达式为2y n ，当抛物线2C 经过点3(2，0)时，得n 2C ：在302x ≤≤时与x 轴有两个交点，当抛物线2C 经过点(0,0)时，得n =若2(4()0n -=，解得：n =当n =2C 与x 轴只有一个公共点，此公共点为(1,0)，综上所述，n n n = （3）①tan NMB ∠的值为定值，不发生变化； 如图1中，Rt AOC ∆中，1OA =，OC =30ACO ∴∠=︒，60OAC ∠=︒，Rt BCO ∆中，3OB =，BC ∴30OBC ∴∠=︒，60BCO ∠=︒，90ACB ∴∠=︒，由旋转得：90D ACB ∠=∠=︒，60ABD OAC ∠=∠=︒，D ，90CBD ∴∠=︒，∴四边形ADBC 是矩形，(3,0)B ，D ，2BD ∴，90MBN DBC ∠=∠=︒，DBM CBN ∴∠=∠，90MAN MBN ∠=∠=︒，M ∴，A ，N ，B 四点共圆， DMB BNC ∴∠=∠， BDM BCN ∴∆∆∽，∴BM BD BN BC =tan BNNMB BM∠=tan NMB ∴∠的值为定值，不发生变化；②如图2，当M 在点D 时，P 与Q 重合，当M 与A 重合时，P 在直线AC 上，∴点P 经过的路线长是线段PQ 的长，Rt MBN ∆中，4AB =，30BNM ∠=︒，8MN ∴=，BN =Q 是AB 的中点，P 是MN 的中点，PQ ∴是ABN ∆的中位线，12PQ BN ∴==即点M 到达点A 时，点P 经过的路线长是 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角函数，含30度角的直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用相似三角形解决问题，属于中考压轴题．7．如图所示，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过()A ，()B ，()0,3C 三点，线段BC 与抛物线的对称轴l 相交于点D ．设抛物线的顶点为P ，连接P A ，AD ，DP ，线段AD 与y 轴相交于点E ．（1）求该抛物线的表达式．（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q ，使以Q ，C ，D 为顶点的三角形与△ADP 全等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．（3）将CED ∠绕点E 顺时针旋转，边EC 旋转后与线段BC 相交于点M ，边ED 旋转后与对称轴l 相交于点N ，连接PM ，DN ，若2PM DN =，求点N 的坐标（直接写出结果）．【答案】（1）2133y x =-+；（2）存在，点Q 的坐标为())2-，()0,7或()-；（3）点N 的坐标为⎭【解析】 【分析】（1）已知抛物线经过的三点坐标，直接利用待定系数法求解即可；（2）先求出直线BC 的解析式，求出点D 的坐标；方法1，设点Q 的坐标为(),x y ，利用两点间距离公式AB =22226704210x y y x y y ⎧+--=⎪⎨+---=⎪⎩，从而求解；方法2，利用全等条件先确定点Q 的几何位置，从而利用全等的条件得到对应线段的长来解决问题；注意分类讨论；（3）先证明CEM DEN ≌，设点M 的坐标为,3x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，可得22443PM x =+，22221433CM x x x =+=，根据224PM CM =求出x 的值，然后根据2FN DF DN =-==【详解】解：（1）设抛物线的表达式为(y a x x =-，将点()0,3C 代入后，得(003a -=，解得13a =-．∴抛物线的表达式为(211333y x x x =--=-+． （2）设直线BC 的解析式为y kx b =+，由题意，得03b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得3k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴直线BC的解析式为3y =+．由抛物线的表达式2133y x =-+，得顶点P的坐标为)4．当x =32y =+=， ∴点D的坐标为)2．方法1：设点Q 的坐标为(),x y ．∴()()222220369QC x y x y y =-+-=+-+，(()22222247QD x y x y y =+-=+--+，(()2220428AP =+-=，(()2220216AD =+-=，2CD DP ==．∵在QCD 和APD △中，CD PD =，若两个三角形全等，则有以下两种情况． ①当QC AP =，QD AD =时，22QC AP =，22QD AD =，则222269284716x y y x y y ⎧+-+=⎪⎨+--+=⎪⎩，解得114x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩222x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴点Q的坐标为()，)2-．②当QC AD =，QD AP =时，22QC AD =，22QD AP =，则222269164728x y y x y y ⎧+-+=⎪⎨+--+=⎪⎩， 解得3307x y =⎧⎨=⎩，441x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩∴点Q 的坐标为()0,7，()-．综上所述，点Q 的坐标为()，)2-，()0,7或()-．方法2：∵点A 的坐标为()，点B 的坐标为()，点C 的坐标为()0,3，点F 的坐标为)，∴AF =4=AD ，OB =3OC =，6BC =，2PD DF CD ===． ∴60BDF ADF ADC PDC ∠=∠=∠=∠=︒，120ADP CDF ∠=∠=︒． 如图所示，分以下四种情况．①当1Q 在y 轴上，且1Q C AD =时，()1SAS ADP QCD ≅． 此时1Q 的坐标为()0,7．②当2Q 在 PD 延长线上，且2Q D AD =时，()2SAS ADP Q DC ≅．∴此时2Q 的坐标为)2-．③当3Q 在AD 延长线上，且3Q D AD =时，()3SAS ADP Q DC ≅． 连接3Q P ，∵3ADF Q DP ∠=∠，∴()3SAS ADF Q DP ≅．∴3Q P AF =．此时3Q 的坐标为()．④当4120Q CD ADP ∠=∠=︒且4Q C AD =时，()4SAS ADP Q CD ≅，同理可得，()4SAS ADP Q CE ≅，∴4Q 的坐标为()-．综上所述，点Q 的坐标为()0,7，)2-，()或()-．（3）如图所示，∵点D 的坐标为)2，点B 的坐标为()，∴2DF =，BF =∴60BDF ADF CDE DCE ∠=∠=∠=∠=︒． ∴CEO 为等边三角形．在CEM 和DEN 中，60CEM DEN ECM EDN CE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴CEM DEN ≌．∴CM DN =，22PM CM DN ==，设点M的坐标为,3x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴)222244343PM x x x ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭． 又∵22221433CM x x x =+=，∴224PM CM =，即22444433x x +=⨯，解得)16x =（负值舍去）．∴)16CM DN x ==，∴2FN DF DN =-==∴点N的坐标为⎭解后反思本题第（2）问考查“在平面直角坐标系中是否存在点Q ，使以Q ，C ，D 为顶点的三角形与ADP △全等”，这里要注意由于对应点的不同，需要有分类讨论的意识．方法1，设点Q 的坐标为(),x y ，利用两点间距离公式AB =22226704210x y y x y y ⎧+--=⎪⎨+---=⎪⎩，从而求解；方法2，利用全等条件先确定点Q 的几何位置，从而利用全等的条件得到对应线段的长来解决问题．相对于以上两种解法，因为方法1需要解复杂的二元二次方程组，所以方法2的几何方法更为简捷．8．如图，直线l ：33y x =-+与x 轴，y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线22y x x b =-++过点B ．（1）该抛物线的函数解析式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '． ①写出点M '的坐标；②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l '与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l '与线段BM '交于点C ，设点B ，M '到直线l '的距离分别为1d ，2d ，当12d d +最大时，求直线l '旋转的角度（即BAC ∠的度数）．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）21525228S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，S 的最大值为258；（3）①5(2，7)4；②45° 【解析】 【分析】（1）利用直线l 的解析式求出B 点坐标，再把B 点坐标代入二次函数解析式即可求出b 的值； （2）设M 的坐标为2(,23)m m m -++，然后根据面积关系将ABM ∆的面积进行转化； （3）①由（2）可知52m =，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值； ②可将求12d d +最大值转化为求AC 的最小值． 【详解】解：（1）令0x =代入33y x =-+，3y ∴=，(0,3)B ∴，把(0,3)B 代入22y x x b =-++并解得：3b =，∴二次函数解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）令0y =代入2y x 2x 3=-++，2023x x ∴=-++，1x ∴=-或3，∴抛物线与x 轴的交点横坐标为1-和3，M 在抛物线上，且在第一象限内，03m ∴<<，令0y =代入33y x =-+， 1x ∴=，A ∴的坐标为(1,0)，由题意知：M 的坐标为2(,23)m m m -++，()221111525312313()222228AOB OBM OAM AOB OAMB S S S S S S m m m m ∆∆∆∆=-=+-=⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯=--+四边形，∴当52m =时，S 取得最大值258． （3）①由（2）可知：M '的坐标为5(2，7)4； ②过点M '作直线1//l l '，过点B 作1BF l ⊥于点F ，根据题意知：12d d BF +=，此时只要求出BF 的最大值即可，90BFM ∠'=︒，∴点F 在以BM '为直径的圆上，设直线AM '与该圆相交于点H ， 点C 在线段BM '上，F ∴在BM H '上，∴当F 与M '重合时， BF 可取得最大值，此时1BM l '⊥，(1,0)A ，(0,3)B ，5(2M '，7)4，∴由勾股定理可求得：10AB，M B '，M A ' 过点M '作M G AB '⊥于点G ， 设BG x =，∴由勾股定理可得：2222M B BG M A AG '-='-，∴2285125)1616x x -=-，x ∴=cos BG M BG M B ∠'='， 1//l l '，45MBG ∠=︒，90BCA ∴∠=︒，∴45BAC ∠=︒． 【点睛】本题属于二次函数的综合问题，考查待定系数求二次函数解析式，求三角形面积，圆的相关性质等知识，内容较为综合，学生需要认真分析题目．9．（2021·江苏江都·中考二模）如图，已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -、()6,0B 两点，与y 轴交于C 点，设抛物线的顶点为D ．过点D 作DE x ⊥轴，垂足为E ．P 为线段DE 上一动点，(),0F m 为x 轴上一点，且PC PF ⊥．（1）求抛物线的解析式：（2）①当点P 与点D 重合时，求m 的值；②在①的条件下，将COF 绕原点按逆时针方向旋转90︒并平移，得到111C O F △，点C ，O ，F 的对应点分别是点1C ，1O ，1F ，若COF 的两个顶点恰好落在抛物线上，直接写出点1F 的坐标；（3）当点P 在线段DE 上运动时，求m 的变化范围． 【答案】（1）2134y x x =--；（2）①4；②1(2，9)16或13(6-，49)144；（3）748m ≤≤【解析】 【分析】（1）将A 、B 两点坐标代入即可，（2）讨论点坐标得变化，找到变化规律分情况讨论，即可找出1F 得坐标．（3）当P 点在DE 方向运动时，通过数形结合分别找到最大值和最小值即可找到m 的取值范围． 【详解】解：（1）将(2,0)A -、(6,0)B 代入抛物线解析式23y ax bx =+-中得：423036630a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴该抛物线的解析式为：2134y x x =--， （2）①D 为抛物线的顶点，(2,4)D ∴-，当点P 与点D 重合时，如图所示：过点D 作//GD x 轴，过F 点作y 轴平行线交GD 延长线于点H ，由题意易得：1CG =，2GD =，4FH =，而PC PF ⊥，即90CDF ∠=︒，90CGD DHF ∠=∠=︒，CDG DFH ∠=∠，CGD DHF ∴∆∆∽， ∴CG GD DH HF =，即124DH =， 2DH ∴=，而四边形EDFH 为矩形，2EF DH ∴==，4OF ∴=，即(4,0)F ，4m ∴=，②按题意，将COF ∆绕原点按逆时针方向旋转90︒得到△C O F '''，如图所示：显然此时C '、O '、F '三点都不在抛物线上，故需要将△C O F '''平移才能得到两个顶点恰好落在抛物线上，根据C '、O '、F '三点特点，可设：1(,)O x y ，则1(3,)C x y +，1(,4)F x y +，当11O C 经平移后在抛物线上，把10(,)x y ，1(3,)C x y +代入2134y x x =--中： 221341(3)(3)34y x x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+-+-⎪⎩，解得：12x =， 故11(2F ，9)16， 当11F C 经平移后在抛物线上，把1(,4)F x y +，1(3,)C x y +代入2134y x x =--中： 2214341(3)(3)34y x x y x x ⎧+=--⎪⎪⎨⎪=+-+-⎪⎩， 解得：136x =-， 故113(6F -，49)144， 当11O F 经平移后在抛物线上，因为1O 、1F 在竖直方向，故不成立． 综上所述：11(2F ，9)16或13(6-，49)144， （3）(2,4)D -，(2,0)E ，(0,3)C -，点P 为线段DE 上一动点，(,0)F m 为x 轴上一点，且PC PF ⊥，如（2）①中当点P 与点D 重合时，4m =，取得最大，随着P 向E 移动，m 随之变化，设存在一点P 使m 最小，如图所示：设OF m =，则2FE m =-；设EP y =，则3PQ y =-，根据FEP PQC ∆∆∽得：FE EP PQ QC =即：232m y y -=-， 可得关系式：2137()228m y =-+102>，当32y =时，m 取得最小值78， 综上所述：748m ≤≤．【点睛】本题考查二次函数的综合性质，属于二次函数的综合大题，是中考压轴题形，从题干中筛选出有用条件，二次函数的综合性质，坐标的变化规律以及相似三角形知识点灵活运用是解决本题的关键．10．（2021·辽宁皇姑·中考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴于点0()6,B -和点(2,0)C ，点Q 在第一象限的抛物线上，连接AB 、AQ 、BQ ，BQ 与y 轴交于点N ．（1）求抛物线表达式；（2）当ABQ △的面积等于7时，设点Q 的横坐标为m ，求m 的值；（3）在（2）的条件下，点M 在x 轴上，点E 在平面内，若BME AOM ≌，且四边形ANEM是平行四边形．①直接写出．．．．点E 的坐标； ②设射线AM 与BN 相交于点P ，交BE 于点H ，将BPH 绕点B 旋转一周，旋转后的三角形记为1I BP H ，直接写出．．．．11BP的最小值． 【答案】（1）214433y x x =--+；（2）1m =；（3）①(2,2)--；②【解析】【分析】(1)将点B 、C 的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式；(2)先将BQ 的解析式求出，根据ABQ ABN ANQ S S S =+△△△和点N 坐标求得7S =△ABQ ，再根据点Q 在抛物线214433y x x =--+上求得m 的值； (3)①由Q 坐标求出BQ 解析式，然后根据四边形ANEM 是平行四边形和BME AOM ≌得出BM =OA =4，再分类讨论求得M 和E 的坐标；②求出AM 解析式，交点为P ，再求出H 坐标，然后由两点间距离公式求出BP 和BH 长度，因为旋转不改变长度，所以1BP 长度不变，当H旋转到x 轴上时，此时1OH 最短，所以此时1OH 等于BO -BH ，然后带入计算即可．【详解】（1）∵点B 、C 在抛物线24y ax bx =++上∴ 将B 、C 坐标代入有366404240a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得1343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 抛物线的表达式为214433y x x =--+ （2）设点Q 坐标为（m ，n ）116=(3)222ABQ ABN ANQ m S S S AN m AN AN =+=⨯⨯+⨯⨯+△△△ 设直线BQ 的解析式为y kx b =+则有60km b n k b +=⎧⎨-+=⎩解得666b k n b m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩∵BQ 与y 轴交点为N∴ N 6(0)6n m +， ∴ 6(3)(4)726m n S m =+⨯-=+△ABQ 即235m n += 又∵点Q 在抛物线214433y x x =--+上 ∴ 214433n m m =--+ ∴ 2142+3=23(4)533m n m m m +⨯--+=-，即2670m m +-= 解得12170m m ==-，<（舍去）故1m =(3) ①由(2)知Q 7(1)3， 设直线BQ 的解析式为y kx b =+∵ 0()6,B -∴ 117360k b k b ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩ 解得1132k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BQ 的解析式为1+23y x = ∵ N 为BQ 与y 轴交点，∴ N (0,2)，即AN =2，∵ 四边形ANEM 是平行四边形∴ AN ∥EM 且EM =AN =2，且点E 在点M 上方∵BME AOM ≅△△且M 在x 轴上∴ BM =OA =4∵ B (-6，0)∴ M (-2,0)或(-10,0)若M 为(-2,0),∵90BME AOM ︒∠=∠=，故E (-2，-2)若M 为(-10，0),∵ OM =ME =2，此时OM =10，(矛盾，舍去)综上M (-2，0)，E (-2,-2)②11BP最小值为如图，设AM 的解析式为y kx b =+∵ 抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，∴ 点A 的坐标为(0，4)将点A 、M 的坐标AM 的解析式得420b k b =⎧⎨-+=⎩解得24k b =⎧⎨=⎩∴ AM 的解析式为24y x =+AM 与BQ 相交于点P ∴24123y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩解得6585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点P 的坐标为68()55-， 设直线BE 的解析式为y kx b =+将点B 、E 的坐标代入直线BE 的解析式得2260k b k b -+=-⎧⎨-+=⎩解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ 所以直线BE 的解析式为132y x =-- BE 与AM 相交于点H ∴24132y x y x =+⎧⎪⎨=--⎪⎩解得14585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴点H 的坐标为14585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴BPBH=∴1BP =当H 旋转到x 轴上时，此时1OH 最短，∴1OH =BO -BH=6∴11BP=故11BP 的最小值【点睛】本题考查了抛物线的综合运用，利用待定系数法求函数的解析式，找出相关点坐标，逐步分析求解是解题的关键．11．（2021·重庆南开中学九年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于()2,0A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为()4,2-．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线3:4l y x =与抛物线交于E F 、两点（点E 在F 的左侧），点G 为线段EF 上的一个动点，过G 作y 轴的平行线交抛物线于点H ，求GH GF +的最大值及此时点G 的坐标； （3）在（2）的条件下，如图2，若点G 是OF 的中点，将OBG △绕点O 旋转，旋转过程中，点B 的对应点为B '、点G 的对应点为G '，将抛物线沿直线AF 的方向平移（两侧均可），在平移过程中点D 的对应点为D ，在运动过程中是否存在点B '和点D 关于ABF 的某一边所在直线对称（B '与D 不重合），若存在，请直接写出点B '的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()21422y x =--；(2) 818，721,28G ⎛⎫ ⎪⎝⎭；(3) ()'2,4B ． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可． （2）联立一次函数和二次函数解析式，即可求出E 点和F 点坐标，设33()(8)42G x x x <<，，则21((4)2)2H x x --，，根据两点的距离公式可求出GH ，GF ，即可求出GH +GF ，最后根据382x <<和二次函数的性质，即可求出GH +GF 的最大值以及G 点坐标． （3）根据题意可求出点A ，B ，C 的坐标，由点G 是线段OF 中点，即可知G 点坐标，设21(,(4)2)2B t t '--，推出2223235t OG t -'==，求出t ，即求出B '点坐标． 【详解】（1）∵顶点D ()42-，在抛物线上， ∴设抛物线()()2420y a x a =--≠，， 将点A ()20，代入()242y a x =--，得：()20242a =--， ∴12a =， ∴抛物线的解析式为：()21422y x =--， （2）联立()2341422y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩， 解得：113=298x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22=86x y ⎧⎨=⎩． ∵点E 在点F 左侧，∴39()28E ，，(86)F ，． ∵点G 在抛物线上， ∴设33()(8)42G x x x <<，， ∴21((4)2)2H x x --，， ∴231(4)242G H GH y y x x =-=---，GF ===∵382x <<， ∴1204x ->， ∴5104GF x =-， ∴223151781(4)210()424228GH GF x x x x +=---+-=--+． ∵382x <<， ∴当72x =时，GH GF +取最大值818． 此时721()28G ，． （3）令0y =，代入21(4)22y x =--， 解得：1226x x ==，．∴(20)A ，，0(6)B ，． ∴624AB =-=，令0x =，代入21(4)22y x =--， 解得6y =，∴6(0)C ，， ∵(86)F ，，点G 是线段OF 中点， ∴42F G x x ==，32F G y y ==． ∴(43)G ，，∵点B '在抛物线21(4)22y x =--上， ∴设21(,(4)2)2B t t '--， ∴2223235t OG t -'==， 解得2t =，∴(24)B '，． 【点睛】本题为一次函数与二次函数综合，较难．掌握利用待定系数法求解析式，联立方程求一次函数与二次函数交点坐标，求二次函数图象与坐标轴交点的坐标以及中点坐标公式是解答本题的关键．12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点 A （-1,0）B （点A 在点B 的左侧），交y 轴与点（0，-3），抛物线的对称轴为直线x ＝1，点D 为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知经过点A 的直线y ＝kx +b 与抛物线在第一象限交于点E ，连接AD ，DE ，BE ，当2ADE ABE S S ∆∆=时，求点E 的坐标．（3）如图2，在（2）中直线AE 与y 轴交于点F ，将点F 向下平移23Q ，连接QB ．将△OQB 绕点O 逆时针旋转一定的角度α（0°<α<360°）得到OQ B ''，直线B Q ''与x 轴交于点G ．问在旋转过程中是否存在某个位置使得OQ G '是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q '的坐标；若不存在，请说明理由．。