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《等差数列的概念》课件

《等差数列的概念》课件
。
等差数列在实际问题中的应用
物理学中的周期问题
在物理学中，很多周期性问题可以用等差数 列来表示和解决。例如，摆动问题、振动问 题、波动问题等。
统计学中的数据分组
在统计学中，数据分组是常见的数据处理方 法。而等差数列可以用来表示数据的组距和 分组范围。例如，将一组数据分成若干组， 每组的组距相等，就可以用等差数列来表示 各组的范围。
题目二
等差数列的通项公式是什么？ 如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什 么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举 例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其 中每一项与前一项的差为3。
解析一
通过举例说明等差数列的定义，帮助学生理解等差数列的基本概念。
总结词：严谨规范
详细描述：等差数列的一般形式是 a_n=a_1+(n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公 差，n 是项数。
等差数列的图像表示
总结词：直观形象
详细描述：等差数列的图像是一条直线，任意两个相邻的点在这条直线上等距。首项 a_1 是图像在 y 轴上的截距，公差 d 控 制着直线的斜率。
答案二
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项 数。推导过程如下：$a_n=a_1+(n-1)d=a_1+a_2+(n-2)d=...=a_1+a_2+...+a_{n1}+nd=S_n+nd$，其中$S_n$为前n项和。
习题答案与解析

等差数列(61张PPT)

等差数列(61张PPT)

人教A版· 数学· 必修5
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第二章 2.2 第1课时
系列丛书
[点评]
当三个数或四个数成等差数列且和为定值
时，可设出首项a1和公差d列方程组求解，也可采用对称的 设法，三个数时，设a－d，a，a＋d；四个数时，设a－ 3d，a－d，a＋d，a＋3d.利用和为定值先求出其中某个未 知量，再进一步解题．
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第二章 2.2 第1课时
系列丛书
注意：注意定义中的关键词“从第2项起”、“每一项 与它前一项的差”、“同一个常数”不可错用． (2)通项公式 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则其通项an＝
a1＋(n－1)d _______________.
2．等差中项 在由三个数a，A，b组成的等差数列中，A叫做a与b的
第二章 2.2 第1课时
系列丛书
[点评]
在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最
基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的 联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解， 但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
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第二章 2.2 第1课时
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第二章 2.2 第1课时
系列丛书
解析：(1)由m和2n的等差中项为4， 得m＋2n＝8. 又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10. 两式相加，得m＋n＝6， m＋n 6 所以m与n的等差中项为 2 ＝2＝3.
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第二章 2.2 第1课时
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第二章 2.2 第1课时

高二数学《等差数列》PPT课件

高二数学《等差数列》PPT课件

练习1
判断下列数列是否是等差数列? 如果是等差
数列，说出公差是多少?
（1）1，2，4，6，8
（不是）
（2）2，4，6，8
（是）
（3）1，-1，1，-1
（不是）
（4）0, 0, 0, 0,… （5）1，1/2，1/3，1/4
（是） （不是）
（6）-5，-4，-3
（是）
（7）1, 2, 3, 4,Fra bibliotek..小结：
1、等差数列的概念：
或
2、等差数列的通项公式：
an , a1 , n ,d 这四个变量 ， 知道其中三 个量就可以求余下的一个 量.
课后思考： 课后思考
1. 如果一个数列是等差数列，那么该数 列的通项公式能否写成 （p,q是常数）的形式？
2 .如果一个数列的通项公式能写成 （p,q 是常数）的形式，
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
解：因为 an 是等差数列，它的公差为d.所以有
a2 a1 d
a3 a2 d = (a1 d ) d a1 2d

等差数列(第一课时)ppt课件

等差数列(第一课时)ppt课件
定义另叙述：在数列{an}中，an＋1－an=d（n∈ N*）, d为 常数，则{an}是等差数列，常数d 称为等差数列的公差。
1、一个数列，不从第2项起，而是从第3 项起或 第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数， 此数列不是等差数列，但可以说从第2项起或第3 项起是一个等 差数列。
.
例如：（1）1，3，4，5，6，…… （2）－1，0，12，14，16，18，20，……
2、一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管等 于一个常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这些常 数可以不同，当常数不同时，当然不是等差数列，故定义 中“同一个常数”中“同一个”十分重要，切记不可丢掉。 例如：－3，0，1，3，4，9 3、求公差d时，可d=an—a n－1,也可以用d=a n＋1－an 4、公差d∈R，当d=0时，数列为常数列；当d>0时，数列为 递增数列；当d<0时，数列为递减数列。
即100是这个数列的第15项。（4）由a1=0，d=an=－7 2
n+
7
2
3
1 2
－0=
31 2
由题意知， － 7 n+ 7
解 ：（1）由a1=3，d=7－3=4得 a4=3+（4－1）×4=15 a10=3+（10－1）×4=39
.
（2）由a1=10，d=8－10=－2，得 a20=10+（20－1）×（－2）=－28
（3）由a1=2，d=9－2=7，得：
an=2+（n－1）×7=7n－5
由题意知，7n－5=100 解得n=15
（2）6－3=3，9－6=3，12－9=3，15－12=3，……
（3）1－1=0，1－1=0，1－1=0，1－1=0，……
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课前探究学习
课堂讲练互动
题型二 等差数列的设法与求解
【例2】(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个 数； (2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项 的积为－8，求这四个数． [思路探索] (1)根据三个数成等差数列，可设这三个数为 a－d，a，a＋d(d为公差)； (2)四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设 为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．
数列
结论
{c＋an} {c·an} {an＋an＋k} {pan＋qbn}
公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
(3){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为 递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．
(2)若a15＝8，a60＝20，则a75＝________.
解析 (1)a1＋2a4＝a1＋(a3＋a5)＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝
3a3＝15.
(2)法一 设首项为a1，公差为d.
∵a15＝8，a60＝20，
aa11＋ ＋1549dd＝ ＝82，0，
解得a1＝1654， d＝145.
1．等差数列的项与序号的关系
两项关系
多项关系
通项公式的推广： an＝am＋_(n_－__m__)_d(m，n∈N*)
项的运算性质： 若 m ＋ n ＝ p ＋ q(m ， n ， p ， q∈N*)，则_a_m_＋__a_n_＝ap＋aq
课前探究学习
课堂讲练互动
：在等差数列{an}中，如果m＋n＝2w(m，n，w∈N＋)， 那么am＋an＝2aw是否成立？反过来呢？ 提示：若m＋n＝2w(m，n，w∈N＋)，则 am＋an＝[a1＋(m－1)d]＋[a1＋(n－1)d] ＝2a1＋12m＋ 等差数列的性质及其应用
【课标要求】 1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律． 2．理解等差数列的性质． 3．掌握等差数列的性质及其应用． 【核心扫描】 1．等差数列的性质及证明．(重点) 2．运用等差数列定义及性质解题．(难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
自学导引
课前探究学习
课堂讲练互动
(2){an}是公差为正数的等差数列，设公差为d，∵a1＋a3＝ 2a2， ∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2， ∴a2＝5， 又a1a2a3＝80， ∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16⇒d＝3或d＝－3(舍去)， ∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.
法一运用了等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋ q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整 数)；法二利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构
完成运算属于通性通法．两种方法都运用了整体代换与方
程的思想．
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【变式1】 在等差数列{an}中：
(1)若a3＝5，则a1＋2a4＝________；
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2．等差数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公差为d的等差数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数 列；
(2)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列； 偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列； (3)若{kn}成等差数列，则{akn}也是等差数列； (4)从等差数列{an}中等距离抽取项，所得的数列仍为等差 数列，当然公差也随之发生变化．
＝2[a1＋(w－1)d]＝2aw，显然成立； 在等差数列{an}中，若am＋an＝2aw， 不一定有m＋n＝2w，如常数列．
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2．等差数列的性质
(1)等差数列的项的对称性 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于 首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…… (2)若{an}、{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
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解 (1)法一 设等差数列的等差中项为a，公差为d， 则这三个数分别为a－d，a，a＋d. 依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24， 化简得d2＝16，于是d＝±4， 故三个数为－2,2,6或6,2，－2. 法二 设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d， 依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24， 所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24， 得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12， 即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2. (2)法一 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
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解 (1)法一 根据等差数列性质 a2＋a10＝a4＋a8＝2a6. 由 a2＋a6＋a10＝1，得 3a6＝1，解得 a6＝13， ∴a4＋a8＝2a6＝23. 法二 根据等差数列的通项公式，得 a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d. 由题意知，3a1＋15d＝1，即 a1＋5d＝13. ∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝23.
故 a75＝a1＋74d＝6145＋74×145＝24.
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法二 ∵a60＝a15＋(60－15)d
∴d＝6200－－185＝145，
∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×145＝24.
法三 ∵{an}为等差数列， ∴a15，a30，a45，a60，a75成等差数列，设公差为d， 则a15为首项，a60为第4项． ∴a60＝a15＋3d，即20＝8＋3d， ∴d＝4. 从而a75＝a60＋d＝20＋4＝24. 答案 (1)15 (2)24
课前探究学习
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题型一 等差数列性质的应用
【例1】 (1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8.
(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15， a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值． [思路探索] 分析题目，可利用等差数列性质，也可利用通 项公式求解．
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名师点睛
1．等差数列的公差与斜率的关系 (1) 一次函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，斜率
(2) k＝fxx22－－xf1x1(x1≠x2)． 当k＝0时，对于常数函数f(x)＝b，上式仍然成立． (2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率． 如am，an是等差数列{an}的任意两项，由an＝am＋(n－m)d， 类比直线方程的斜率公式得 d＝ann－－mam.