广州中考数学专题复习定值和极值问题

初三数学讲义 专题探究：定值类问题教学过程：一、教学衔接（课前环节）1、回收上次课的教案，了解家长的反馈意见；2、检查学生的作业，及时指点3、捕捉学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容二、知识点解析在几何问题中，当一些几何元素按照一定的规律在确定的范围内变化时,与它相关另一些几何元素的某些量或其数量关系保持不变，这种几何问题称之为几何定值问题. 定值问题由于所求证的问题不明确、具体,而使人难已下手,给问题解决带来困难.近年来,该类问题在各省市中考试题中频频出现,为便于广大师生复习教学,现对其归类例析.一、线段长度为定值例1如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上，有一个动点P ，PH ⊥OA ，垂足为H ，△OPH 的重心为G 。

（1）当点P 在弧AB 上运动时，线段GO 、GP 、GH 中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设PH ＝，GP ＝，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果△PGH 是等腰三角形，试求出线段PH 的长。

分析:解决此题时,首先要根据线段GH 的特征,添出辅助线,找出与其有关的长度为定值的线段间的联系,从而获得问题的解决.图一BOAGPHE二、线段长度为定值例 在给定的梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 边上的动点，点1O 、2O 分别是AED ∆和BEC ∆的外心。

求证：21O O 的长为一定值。

变式练习 如图，在ABC ∆中，A ∠与底边BC 为一定值，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，D 、E 为垂足，连结DE 。

求证：DE 为定长。

三、角的度数为定值例 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足。

求证：不管ST 滑到什么位置，SPM ∠是一定角。

ACB DEEDABCPM A O BS T例题．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是 APB 上任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ．（1）求弦AB 的长；（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由； （3）记△ABC 的面积为S ，若2SDE ＝43，求△ABC 的周长.四、面积为定值例. 如图7(1),正方形ABCD 的对角线相交于点O ，O 是正方形A'B'C'O 的一个顶点,如果两个正方形的边长为a,求证：正方形A'B'C'O 绕点O 无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总是一个定值.CP DOBAEFE 图10图9C'B'A'C'B'A'OBDBDAC C A真题练习1．（2011•广州）已知关于x的二次函数y=ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1－S2为常数，并求出该常数．2．（2011•河北）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为 A（1，0），B（1，－5），D（4，0）．（1）求c，b（用含t的代数式表示）：（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，要S=218错误！未找到引用源。

代数中的极值与定值问题(一)【考点精析】极值与定值问题是初中代数的重点内容，因此常被各地中考作为综合性试题来考查．这类问题就题型来说，主要有一次函数的极值与定值和二次函数的极值与定值．通过一定量的针对训练，可以锻炼和提高我们的逻辑思维能力和综合分析的能力．【典型例题】例1 已知：x 1，x 2是关于x 的方程012=-+-k kx x 的两个实根，求)2)(2(2121x x x x y --=的最小值．例2 已知关于x 的方程022=+-t x x 有两个实根． （1）求t 的取值范围；（2）设方程有两个实数根的平方和为S ，求表示S 是t 的函数关系式，并画出函数图像；（3）利用图像回答：函数S 有没有最大值或最小值，为什么？如果有，就写出：当t 为何值时，函数的最大值或最小值是多少？例3 如图，已知一抛物线经过O （0，0），B （1，1）两点，且解析式的二次项系数为a1-（a ＞0）． （1）求该抛物线的解析式（系数用含a 的代数式表示）（图①）； （2）已知点A （0，1），若抛物线与射线AB 相交于点M ，与x 轴相交于点N （异于原点），如图②，求点M ，N 的坐标（用含a 的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，问：当a 在什么范围内取值时，ON ＋BM 的值为常数？当a 在什么范围内取值时，ON －BM 的值也为常数？（见图③）例4 如图，直线l 与x 轴交于点P （1，0），与x 轴所夹的锐角为θ，且tan θ=3/2.直线l 与抛物线)0(12>++=a c bx x ay 交于点B （m ，－3）与D （3，n ）． （1）求B ，D 两点的坐标，并用含a 的代数式表示b 和c ； （2）①若关于x 的方程04121322=+-++a a ax x 有实数根，求此时抛物线的解析式；②若抛物线)0(12>++=a c bx x ay 与x 轴相交于A ，C 两点，顺次连结A ，B ，C ，D 得凸四边形ABCD ．问：四边形ABCD 的面积S 有无最大值或最小值？若有，求S 的最大值或最小值；若无，请说明理由．① ② ③【针对练习】1．甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈玩弹子游戏，他们分别有弹子13，14，5，8枚．为使游戏公平，他们在游戏前对弹子数进行了调配，使每人弹子数相同．但调配时一个特别的限制：每位同学只能把弹子调配给相邻的同学，试问：怎样调配，才能使调配的弹子总数最少？2．有一环形公路旁有A ，B ，C 三个加油站，储油数互不相等，若从A 向B 转运x(x>0)吨，从B 向C 转运|x-9|吨，从C 向A 转运|x-17|吨，则各站储油数相等．（1）写出所转运油的总吨数y 与x 之间的函数关系式； （2）当0≤x ≤17时，画出上述函数的图像；（3）从所画的图像中指出当x 为何值时，y 最小，最小值是多少？3．已知二次函数bx ax y +=2的图像与x 轴相交于点A （6，0），顶点B 的纵坐标是－3． （1）求此二次函数的解析式；（2）若一次函数m kx y +=的图像与x 轴相交于D （x 1，0），且经过此二次函数的图像的顶点B ，当623≤≤m 时：①求x 1的取值范围；②求△BOD （O 为坐标原点）面积的最小值与最大值．中考综合复习之选择专练1．以下适合普查的是（ ）（A ）了解一批灯泡的使用寿命 （B ）调查全国八年级学生的视力情况 （C ）评价一个班级升学考试的成绩 （D ）了解贵州省的家庭人均收入2．图1是正方体的一个平面展开图，如果折叠成原来的正方体时与边a 重合的是（ ） （A ）d （B ）e （C ）f （D ）i 3．已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12y x=上，点N 在直线y=x +3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y=-abx 2+（a+b ）x （ ） （A ）有最小值，且最小值是92 （B ）有最大值，且最大值是-92 （C ）有最大值，且最大值是92 （D ）有最小值，且最小值是-924．某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为15秒和30秒的两种广告．15秒的广告每播一次收费0.6万元，30秒的广告每播一次收费1万元．若要求每种广告播放不少于2次，则电视台在播放时收益最大的播放方式是（ ）（A ）15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次 （B ）15秒的广告播放2次，30秒的广告播放4次 （C ）15秒的广告播放2次，30秒的广告播放3次 （D ）15秒的广告播放3次，30秒的广告播放2次5．小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还。

九年级数学函数极值题型
1. 定义函数极值
函数的极值指的是函数在定义域内取得的最大值或最小值。

常见的函数极值类型有极大值和极小值。

2. 函数极值的求解方法
2.1 寻找函数的驻点
函数的驻点指的是函数导数为零或导数不存在的点。

为了求解函数的极值，我们首先需要找到函数的驻点。

2.2 确定函数的单调性
通过确定函数的单调性，我们可以判断函数在驻点附近的取值情况。

单调函数在单调区间内只有一个极大值或极小值。

2.3 将驻点带入函数求解极值
将函数的驻点带入原函数，求出对应的函数值，即可得到函数的极值。

3. 几种常见的函数极值题型
3.1 二次函数的极值问题
例如，求解函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的极值问题。

通过求导和分析函数的单调性，可以求得该二次函数的极值点。

3.2 分段函数的极值问题
对于分段函数，需要分别求解每个定义域内的极值点。

通过分析不同定义域的单调性，可以求得整个函数的极值点。

3.3 绝对值函数的极值问题
绝对值函数常常涉及分段函数的情况。

通过分析每个定义域内的函数形式，求解对应的极值点。

4. 注意事项
在求解函数的极值问题时，需要注意以下几点：
- 求解驻点时，要考虑函数导数为零和导数不存在的情况。

- 求解单调性时，要注意函数的增减性和凹凸性。

- 检查函数的边界情况，确保求解得到的极值是函数定义域内的实际极值。

以上为九年级数学函数极值题型的相关内容，希望能对同学们的学习有所帮助。

如果有任何疑问，请随时向老师请教。

中考定值问题分类解析在中考中，定值问题一直是一类热门专题。

对考察学生的分析问题、解决问题的能力，在变化中寻找不变的结论和关系的探索能力，要求都比较高。

而且对数学思想方法的考察也比较深入。

定值问题的思考切入点多种多样，解决这类问题的方法也是灵活多变。

本文从定值结论的不同来分类，解析以下这类这类问题的解决策略。

一：线段定值1．如图，点A在函数y＝（x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y＝图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．（1）试问：当点A在函数y＝（x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．（2）试说明：当点A在函数y＝（x＞0）图象上运动时，线段BD与CE 的长始终相等．【解析】此题后两问都是定值问题。

但解决的策略不同。

第二问是通过含参计算，最后消掉参数，从而得到结论与参数无关，是个定值。

这是定值问题中常用的一种方法。

第三问是通过全等证明，其实也可以用含参计算的方法证明【解答】解：（1）∵点C在y＝的图象上，且C点横坐标为1，∴C（1，1），∵AC∥y轴，AB∥x轴，∴A点横坐标为1，∵A点在函数y＝（x＞0）图象上，∴A（1，4），∴B点纵坐标为4，∵点B在y＝的图象上，∴B点坐标为（，4）；（2）设A（a，），则C（a，），B（，），∴AB＝a﹣＝a，AC＝﹣＝，∴S＝AB•AC＝××＝，△ABC即△ABC的面积不发生变化，其面积为；（3）如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，∵AB∥x轴，∴△ABC∽△EFC，∴＝，即＝，∴EF＝a，由（2）可知BG＝a，∴BG＝EF，∵AE∥y轴，∴∠BDG＝∠FCE，在△DBG和△CFE中∴△DBG≌△CEF（AAS），∴BD＝EF．2．如图，已知抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0），与y轴交于点C，点D是抛物线在第一象限的点．（1）当△ABD的面积为4时，①求点D的坐标；②联结OD，点M是抛物线上的点，且∠MDO＝∠BOD，求点M的坐标；（2）直线BD、AD分别与y轴交于点E、F，那么OE+OF的值是否变化，请说明理由．【解析】这个问题中求线段和为定值，也是采用含参计算，最终消参的方法【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0），∴A（﹣2，0），4a+4＝0，∴a＝﹣1，AB＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4，①设D（m，﹣m2+4），∵△ABD的面积为4，∴4＝×4（﹣m2+4）∴m＝±，∵点D在第一象限，∴m＝，∴D（，2），②如图1，点M在OD上方时，∵∠MDO＝∠BOD，∴DM∥AB，∴M（﹣，2），当M在OD下方时，设DM交x轴于G，设G（n，0），∴OG＝n，∵D（，2），∴DG＝，∵∠MDO＝∠BOD，∴OG＝DG，∴，∴n＝，∴G（，0），∵D（，2），∴直线DG的解析式为y＝﹣2x+6①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+4②，联立①②得，x＝，y＝2，此时交点刚好是D点，所以在OD下方不存在点M．（2）OE+OF的值不发生变化，理由：如图2，过点D作DH⊥AB于H，∴OF∥DH，∴，设D（b，﹣b2+4），∴AH＝b+2，DH＝﹣b2+4，∵OA＝2，∴，∴OF＝，同理：OE＝2（2+b），∴OE+OF＝2（2﹣b）+2（2+b）＝8．3．如图，已知二次函数L1：y＝x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．（1）写出A、B两点的坐标；（2）二次函数L2：y＝kx2﹣4kx+3k（k≠0），顶点为P．①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；③若直线y＝8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．【解析】消参法【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，∴x1＝1，x2＝3；即：A（1，0），B（3，0）；（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：（Ⅰ）对称轴都为直线x＝2或顶点的横坐标为2；（Ⅱ）都经过A（1，0），B（3，0）两点；②存在实数k，使△ABP为等边三角形．∵y＝kx2﹣4kx+3k＝k（x﹣2）2﹣k，∴顶点P（2，﹣k）．∵A（1，0），B（3，0），∴AB＝2要使△ABP为等边三角形，必满足|﹣k|＝，∴k＝±；③线段EF的长度不会发生变化．∵直线y＝8k与抛物线L2交于E、F两点，∴kx2﹣4kx+3k＝8k，∵k≠0，∴x2﹣4x+3＝8，∴x1＝﹣1，x2＝5，∴EF＝x2﹣x1＝6，∴线段EF的长度不会发生变化．二、周长定值1．如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，sin∠B＝，E点为BC边上的一个动点（不与B、C重合），过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．（1）当△ABE恰为直角三角形时，求BF：CG的值：（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF与△CEG的周长之和是否是常数，请说明理由：（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，试求出y关于x的函数关系式，并写出定义域．【解析】第二问，设BE=x，利用相似把各条线段用x表示，这是利用了函数的思想。

初三数学讲义定值问题一．讲堂连接课前沟通，帮助整理知识点。

复习旧知，课前练习。

二．知识点概括整理几何定值问题定量问题：解决定量问题的重点在研究定值，一旦定值被找出，就转变为熟习的几何证明题了。

研究定值的方法一般有运动法、特别值法及计算法。

定形问题：定形问题是指定直线、定角、定向等问题。

在直角坐标平面上，定点可对应于有序数对，定向直线能够看作斜率必定的直线，实质上这些问题是轨迹问题。

函数与几何综合类的问题中求定值(1). 乘积、比值种类(2). 定长、定角、定点、定值种类(3). 倒数和种类解题步骤(1) 利用特别情况猜出定值对一般情况加以证明．三．例题剖析几何图形中定值问题例1. ABC的两边的中点分别为M、N，P为MN 上的任一点，BP、CP的延伸线分别交AC、AB于D、E，求证：AD AE为定值。

DC EB例2.两圆订交于P、Q两点，过点P任作两直线AA'与BB'交一圆于A、B，交另一圆于A'、B'，ABAB''交于点CC为定值。

，求证：QQ O O'A A'A'B(B) P(B')PA B'CC例3.在定角XOY的角均分线上，任取一点P，以P为圆心，任作一圆与OX订交，凑近O点的交点为A，与OY订交，远离O点的交点为B，那么APB为定角。

XMA P(A)POO N YY( 1)(2 )乘积、比值种类例题1．如图，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为〔3，m〕〔m＞0〕，线段与轴订交于点，以〔1，0〕为极点的抛物线过点、．AB D PBD1〕求点A的坐标〔用m表示〕；2〕求抛物线的分析式；3〕设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延伸交BC于点E，连结BQ并延伸交AC于点F，试证明：FC(AC＋EC)为定值．BEQDxA O P F C定长、定角、定点、定值种类例题2．以下列图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为〔﹣3，0〕，〔0，1〕，点D是线段BC上的动点〔与端点B、C不重合〕，过点D作直线1y=2x＋b交折线OAB于点E．〔1〕记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；1〔2〕当点E在线段OA上时，且tan∠DEO=2．假定矩形OABC对于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，尝试究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠局部的面积能否发生变化，假定不变，求出该重叠局部的面积；假定改变，请说明原因．例题3．对于x的二次函数y=ax2＋bx＋c〔a＞0〕的图象经过点C〔0，1〕，且与x轴交于不一样的两点A、B，点A的坐标是〔1，0〕〔1〕求c的值；〔2〕求a的取值范围；〔3〕该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点组成的四边形的对角线订交于点P，（记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1－S2为常数，并求出该常数．（（（（例题4．孔明是一个喜爱研究研究的同学，他在和同学们一同研究某条抛物线y=ax2(a＜0)的性质时，将一（把直角三角板的直角极点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下（问题：（1〕假定测得OA=OB=22〔如图1〕，求a的值；（2〕对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示地点时，过B作BF⊥x 轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；．．．〔3〕对该抛物线，孔明将三角板绕点 O旋转随意角度时诧异地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明原因并求出该点的坐标．（倒数和种类（例题5．菱形ABCD边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。

几何定值和极值一. 本周教学内容：几何定值和极值1. 几何定值问题定值问题大致分为两类：一类是定量问题（如定长度、定角、定弧、定比……）；一类是定形问题（如定点、定线、定圆或弧、定方向…）解决这类问题要通过题目中元素动静结合，特殊与一般结合，数形结合的特点去分析，把定值找出来，再有的放矢地进行论证。

(1)定量问题：解决定量问题的关键在探求定值，一旦定值被找出，就转化为熟悉的几何证明题了。

探求定值的方法一般有运动法、特殊值法及计算法。

(2)定形问题：定形问题是指定直线、定角、定向等问题。

在直角坐标平面上，定点可对应于有序数对，定向直线可以看作斜率一定的直线，实质上这些问题是轨迹问题。

2. 几何极值问题：最常见的几何极值问题大体包括：有关线段的最大最小问题；三角形面积的最大最小问题；角的最大最小问题等。

二. 重点、难点：（一）重点：重点是几何的定值问题和极值问题，证几何定值问题时要运用一定的猜想、联想、推理、计算等手段探求定值。

几何中的极值问题大量的是利用几何图形的性质，作各种几何变换及利用几何中的不等量关系来求解。

（二）难点：难点是通过题目中元素动静结合，特殊与一般结合，数形结合的特点进行分析，从而提高分析问题和解决问题的能力。

【例题分析】例1. 已知∆ABC的两边的中点分别为M、N，P为MN上的任一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于D、E，求证：ADDCAEEB+为定值。

B C分析：用运动法探求定值，先考虑特殊情况，令P在MN上向M运动，此时D点向A运动，P点运动到M时，D点将与A点重合，而AM＝MB，于是ADDCAEEB ACAMMB+=+=+=011，于是转入一般证明。

证明：连结APAEEBSSSSS SS S AEEBSSADDCSSAECBECAEPBEPAEC AEPBEC BEPAPCBPCAPBBPC ===--==∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆即同理：∴+=+=-AE EB AD DC S S S S S S S APC BPC APB BPC ABC BPCBPC∆∆∆∆∆∆∆ S BC h S BC h S S AE EB AD DC S S ABC BPC ABC BPC BPC BPC∆∆∆∆∆∆=⋅=⋅∴=∴+==12121221，例2. 两圆相交于P 、Q 两点，过点P 任作两直线AA '与BB '交一圆于A 、B ，交另一圆于A '、B '，AB 与A B ''交于点C ，求证：∠C 为定值。

中考数学压轴题动点产生的定值与最值问题8个专题讲解目录第 1 讲角为定值的常规解法第 2 讲角为定值的高级解法第3讲边为定值的动点问题第4讲线段的和或差为定值的动点问题第5讲比值为定值的动点问题第6讲乘积为定值的动点问题第7讲面积为定值的动点问题第8讲动点产生的几何最值问题第1讲角为定值的常规解法【几何法证明角为定值】（1）三角形内角和定理（2）三角形外角定理（3）等腰三角形底角相等（4）直角三角形两锐角互余（5）平行线的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补（6）平行四边形的对角相等、邻角互补（7）等腰梯形底角相等（8）圆所涉及的角的关系：圆心角、圆周角、弦切角定理等【例】如图,平面内两条互相垂直的直线相交于点O,∠MON=90°，点A、B分别在射线O M、ON 上移动，AC是△BAO的角平分线，BD为∠ABN的角平分线，AC与B D的反向延长线交于点P.试问：随着点A、B位置的变化，∠APB的大小是否会变化?若保持不变，请求出∠APB 的度数；若发生变化，求出变化范围。

、【例】如图所示,O的直径A B=4,点P是A B延长线上的一点,过P点作O的切线,切点为C，连接AC.(1)若∠CPA=30°，求P C的长；(2)若点P在A B的延长线上运动，∠CPA的平分线交A C于点M，你认为∠CMP 的大小是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP 的大小。

【代数法求角为定值】一般在直角坐标系中，可以用坐标的方法表示出边或角，从而求解具体角为定值的问题。

【例】如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t 秒(t>0),抛物线y = ax2 + bx + c 经过点O和点P,已知矩形A BCD的三个顶点为A(1,0),B(1,−5),D(4,0).(1)求c,b (用含t的代数式表示):(2)当4<t<5时，设抛物线分别与线段A B，CD交于点M，N.①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式,并求t为何值时,S=218；(3)在矩形A BCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”。

定值与最值问题1、平面几何最值问题：在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

线段最值问题的解决通常方法：应用几何性质．①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长．基本类型有：将军饮马、选址造桥、线段之差的最大值，隐圆最值，瓜豆原理，胡不归最值，阿氏圆等。

2、立体几何最值问题：展开平面图形，根据平面几何最值问题方法去做！3、代数最值问题：无非就是根据完全平方公式或者二次函数的知识去求解！例1．如图，A、B两个机离线l的距离分别是3米，5米，CD＝6米，若由l上一点分别向A，B连线，最短为()A．11米B．10米C．9米D．8米1．如图Rt△ABC中，AB＝BC＝4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED、EB，则△BDE周长的最小值为()A．2 5 B．2 3 C．25＋2 D．23＋22．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB 的中点，P是直径AB上的一动点．若MN＝1，则△PMN周长的最小值为__ ．3．直线l1、l2交于点O，A、B是两直线间的两点，从点A出发，先到l1上一点P，再从点P到l2上一点Q，再回到点B，求作P、Q两点，使四边形APQB周长最小．4．A、B是位于河流两旁的两个村庄，要在这条宽度为d的河上建一条垂直的桥，使得从A村到B村的距离之和最短．试着画出桥应该建在何处？例2．如图，AC⊥BC于C，连接AB，点D是AB上的动点，AC＝6，BC＝8，AB＝10，则点C到点D的最短距离是（）A．6 B．8 C．403D．2451．如图，点A 的坐标为（1，0），点B 在直线y x =上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（ ）A ．（0，0）B ．（21-，21-）C ．（22，22-）D ．（22-，22-） 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点A （﹣4，0）、B （0，4），⊙O 的半径为1，点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为_________．例3．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，∠A ＝135°，点P 、M 、N 分别为对角线BD 及边BC ，CD 上的动点，则PM ＋PN 的最小值为__ ．1．如图，∠ABC ＝45°，BC ＝42，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，M 、N 分别是BD 和BC 上的动点(M 与B ，D 两点不重合，N 与B ，C 两点不重合)，则CM ＋MN 的最小值为__ ．2．如图，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 内一定点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA ，OB 上的动点，则△PQR 周长的最小值为__ ．例4．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC =8，B 到MN 的距离BD =5，CD =4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于 ．1．如图所示，已知11(,)2A y ，2(2,)B y 为反比例函数1y x =图象上的两点，动点(,0)P x 在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（ ）A ．1(,0)2B ．(1,0)C ．3(,0)2D ．5(,0)22．点A 、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA +QB 的值最小的点，则OP *OQ = ．例5．在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC =2．设tan ∠BOC =m ，则m 的取值范围是_________．1．如图, △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，O 为AC 的中点，过O 作OE ⊥OF ，OE 、OF 分别交射线AB 、BC 于E 、F ，则EF 的最小值为 ．2．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF =90°，则EF 的最小值是_____________．例6．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A ．212π+B ．2412π+C ．214π+D ．242π+1．如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）A ．13cmB ．12cmC ．10cmD ．8cm2．如图，圆柱底面半径为2cm ，高为9cm π，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线最短为 cm ．第1题 第2题例7．求二次三项式2x 2x +3的最小值．1．求代数式﹣2x 2+3x +5的最大值．例9．如果P 是边长为2的正方形ABCD 的边CD 上任意一点且PE ⊥DB ，PF ⊥CA ，垂足分别为E ，F ，则PE ＋PF ＝__ __．1．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( )A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定2．如图，在平面直角坐标系x O y 中，矩形AOCD 的顶点A 的坐标是（0,4），现有两动点P 、Q ，点P 从点O 出发沿线段OC （不包括端点O ，C ）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C 运动，点Q 从点C 出发沿线段CD （不包括端点C ，D ）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D 运动．点P ，Q 同时出发，同时停止，设运动时间为t 秒，当t =2秒时PQ =52．（1）求点D 的坐标，并直接写出t 的取值范围；（2）连接AQ 并延长交x 轴于点E ,把AE 沿AD 翻折交CD 延长线于点F ,连接EF ，则△A EF 的面积S 是否随t 的变化而变化？若变化，求出S 与t 的函数关系式；若不变化，求出S 的值．1．如图，在正方形ABCD 中，G 是正方形内一点，AD =4，P 是BC 的中点，且BG =BP ，则DG +12GC 的最小值是__________．（提示：考虑用相似转化，系数需要化成相同）。

极值问题1.实数x 、y 满足5422=--y x x 求x-2y 的取值范围。

2. 阅读理解：对于任意正实数a 、b ，∵2≥0，∴a b -≥0，∴a b +≥a ＝b 时，等号成立．结论：在a b +≥a 、b 均为正实数）中，若ab 为定值p ，则a+b≥a ＝b 时，a+b 有最小值根据上述内容，回答下列问题： (1)若m ＞0，只有当m ＝ 时，1m m+有最小值 ． (2)思考验证：如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上任意一点（与点A 、B 不重合），过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，AD ＝a ，DB ＝b ．试根据图形验证a b +≥(3)探索应用：如图，已知A(－3，0)，B(0，－4)，P 为双曲线xy 12=（x ＞0）上的任意一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴于点D ．求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．3.已知点A 的坐标为（-4,8），点B 的坐标为（2，2）,⑴请在y 轴上找到一点P ，使PA+PB 最小，求出最小值、此时P 点的坐标。

⑵请在x 轴上找到一点P ，使PA+PB 最小，求出最小值、点P 的坐标； ⑶请在y 轴上找到一点P ，使PB PA -最大，求出最小值、P 点的坐标。

⑷在y 轴上找一点M ，使点M 到点C （-2，0）的距离和到直线AB 的距离之和最小，请求出最小值; 延伸若点'C 的坐标为（2，0），在y 轴上找一点N ，使点N 到点'C 的距离和到直线AB 的距离之和最小， 请求出最小值(2)图(3)图⑸已知点A 的坐标为（-4,8），点B 的坐标为（2，2）,点C 的坐标为（-2，0），把点A 和点B 向左平移m 个单位，得到点'A 和点'B ,使'A C+C 'B 最短，求m 的值。

（6）如图，已知点A 的坐标为（-4,8），点B 的坐标为（2，2）,点C 的坐标为（-2，0），点D 的坐标为（-4，0），把点A 和点B 向左或向右平移m 个单位，得到点'A 和点'B ,使四边形'A 'B CD 的周长最短，求m 的值。

专题04特殊平行四边形中全等相似与最值问题通用的解题思路:一、四边形与全等相似1.三角形与全等之六大全等模型:(1)一线三等角模型锐角一线三等角(2)手拉手模型(3)半角模型(4)倍长中线模型模型(6)雨伞等模型(5)平行线中等模型2.三角形与相似之四大相似模型:(1)A字模型(3)手拉手模型(2)8字模型(4)一线三等角模型B 二、四边形线段最值问题囹 1 C B D 02B （1）将军饮马模型两定一动模型一定两动模型两线段相减的最大值模型（三点共线）• B（2）费马点模型：将边以A 为顶点逆时针旋转60。

，得到AQE,连接P0则^APQ 为等边三角形,PA=PQ O1. （2023-r 东深圳•中考真题）（1）如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 边上一点，连接BE,①若= 过C 作CFLBE 交BE 于点、F ,求证：AABE^AFCB ；②若S 矩形倔8 = 2。

时，则BECF=(2)如图，在菱形ABCD 中，cosA = |,过。

作CE1AB 交A8的延长线于点E,过E 作EF _LAD 交AD 于点、F ,若S 菱形*d =24时，求EF BC 的值.(3)如图，在平行四边形ABCD 中，匕4 = 60。

，AB = 6, AD=5,点E 在CD 上，且CE = 2,点F 为BC 上一点，连接时，过E 作EGLEF 交平行四边形ABCD 的边于点G,若EF ・EG = 70时，请直接写出AG 的长.D,E E a C C A B AB备用图2.（2022广东广州•中考真题）如图，在菱形ABCQ中，0BAD=120°,AB=6,连接8Q.⑴求BQ的长；⑵点E为线段BQ上一动点（不与点B,。

重合），点E在边AQ上，且BE二也DF,①当CE±AB时，求四边形的面积；②当四边形的面积取得最小值时，CE+右CT的值是否也最小？如果是，求CE+也CF的最小值；如果不是，请说明理由.题型一特殊平行四边形中全等相似计算1.（2024-P东汕头•一模）（1）如图1,在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接8E,①若BE=BC,过。

中考数学压轴题动点产生的定值与最值问题8个专题讲解目录第 1 讲角为定值的常规解法第 2 讲角为定值的高级解法第3讲边为定值的动点问题第4讲线段的和或差为定值的动点问题第5讲比值为定值的动点问题第6讲乘积为定值的动点问题第7讲面积为定值的动点问题第8讲动点产生的几何最值问题第1讲角为定值的常规解法【几何法证明角为定值】（1）三角形内角和定理（2）三角形外角定理（3）等腰三角形底角相等（4）直角三角形两锐角互余（5）平行线的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补（6）平行四边形的对角相等、邻角互补（7）等腰梯形底角相等（8）圆所涉及的角的关系：圆心角、圆周角、弦切角定理等【例】如图,平面内两条互相垂直的直线相交于点O,∠MON=90°，点A、B分别在射线O M、ON 上移动，AC是△BAO的角平分线，BD为∠ABN的角平分线，AC与B D的反向延长线交于点P.试问：随着点A、B位置的变化，∠APB的大小是否会变化?若保持不变，请求出∠APB 的度数；若发生变化，求出变化范围。

、【例】如图所示,O的直径A B=4,点P是A B延长线上的一点,过P点作O的切线,切点为C，连接AC.(1)若∠CPA=30°，求P C的长；(2)若点P在A B的延长线上运动，∠CPA的平分线交A C于点M，你认为∠CMP 的大小是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP 的大小。

【代数法求角为定值】一般在直角坐标系中，可以用坐标的方法表示出边或角，从而求解具体角为定值的问题。

【例】如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t 秒(t>0),抛物线y = ax2 + bx + c 经过点O和点P,已知矩形A BCD的三个顶点为A(1,0),B(1,−5),D(4,0).(1)求c,b (用含t的代数式表示):(2)当4<t<5时，设抛物线分别与线段A B，CD交于点M，N.①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式,并求t为何值时,S=218；(3)在矩形A BCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”。

中考数学二轮复习之定值问题一、线段长度为定值例1如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上，有一个动点P ，PH ⊥OA ，垂足为H ，△OPH 的重心为G 。

（1）当点P 在弧AB 上运动时，线段GO 、GP 、GH 中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设PH ＝x ，GP ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）如果△PGH 是等腰三角形，试求出线段PH 的长。

变式练习1、如图，在ABC ∆中，A ∠与底边BC 为一定值，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，D 、E 为垂足，连结DE 。

求证：DE 为定长。

2、如图，在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，旋转角为θ，当A 点第一次落在直线y ＝x 上时停止旋转．旋转过程中，AB 边交直线y ＝x 于点M ，BC 边交x 轴于点N .（1）当A 点第一次落在直线y ＝x 上时，求A 、B 两点坐标（直接写出结果）；（2）设△MBN 的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.二、角的度数为定值例 、 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足。

求证：不管ST 滑到什么位置，SPM ∠是一定角。

EDABCPM A S T θMN B y=xyxOCA三、面积为定值例. 如图7(1),正方形ABCD 的对角线相交于点O ，O 是正方形A'B'C'O 的一个顶点,如果两个正方形的边长为a,求证：正方形A'B'C'O 绕点O 无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总是一个定值.真题练习1．已知关于x 的二次函数y =ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图象经过点C （0，1），且与x 轴交于不同的两点A 、B ，点A 的坐标是（1，0） （1）求c 的值；（2）求a 的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y =1交于C 、D 两点，设A 、B 、C 、D 四点构成的四边形的对角线相交于点P ，记△PCD 的面积为S 1，△PAB 的面积为S 2，当0＜a ＜1时，求证：S 1－S 2为常数，并求出该常数．2．如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t 秒（t ＞0），抛物线y =x 2+bx +c 经过点O 和点P ，已知矩形ABCD 的三个顶点为 A （1，0），B （1，－5），D （4，0）．（1）求c ，b （用含t 的代数式表示）：（2）当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB ，CD 交于点M ，N ．①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，要S =218 错误！未找到引用源。

中考冲刺专题二：最值问题最值问题的本质：动态问题中处于某一状态下的定值最值问题的分类：1、线段和差最值2、线段长度最值3、面积最值最值问题的相关解决方法：代数法（用函数表示出决策量然后求最值）或几何法（借助几何原理找出最值状态：两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、三角形两边之差小于第三边、点到直线的距离垂线段最短等，变曲为直），用几何法的时候一定要作图准确。

题型一、最短路径问题（几何法求最值）1、如图1，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。

图1图22、如图2，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。

3、如图3，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B。

使△PAB 的周长最小图 3知识讲解知识梳理最值问题为方便归类，将以上三种情况统称为“两边之和大于第三边型”4、如图4，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。

使四边形PAQB 的周长最小。

图4 图55、如图5，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小6、如图6、图7，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小图6图7为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”例1、正方形ABCD 的边长为3，E 在BC 上，且BE=2，P 在BD 上，则PE+PC 的最小值为_________。

例2、若四边形ABCD 是菱形， AB=10 cm ，∠ABC=60°，E 为边BC 上的一个动点，P为BD上的一个动点，PC+PE 的最小值为__________。

典例精讲例3、如图∠AOB = 45°，P 是∠AOB 内一点，PO = 10，Q 、P 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．例4、1、如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ）A ．+1 B ．C． D ．强化训练2、（2017广州中考24题）如图13，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，． ①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．题型二、函数法求最值借助函数法求最值，往往要经历一下几个步骤：①找出关键量——也就是找出决定着整个图形变化规律的关键的点或线或坐标；②将决策量（要求最值的量）用关键量表示出来；③借助函数图像性质求出最值。