“将军饮马”老歌新唱——例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题王 柏 校古希腊有位将军要从 A 地出发到河边去饮马，然后再到 B 地军营视察，问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？A 地B 地图 1这是著名的“将军饮马”问题，在河边饮马的地点有很多处，怎样找出使两条线段之和最短的那个点来，我们只要设 L 为河（如图 1），作 AO ⊥L 交 L 于 O 点，延长 AO 至A ' ，使 A ' O =AO ；连结 A ' B ，交 L 于 C ，则 C 点就是所要求的饮马地点。
再连结 AC ，则路程（AC+CB ）为最短的路程。
为什么饮马地点选在 C 点能使路程最短？因为 A ＇是 A 点关于 L 的对称点，AC 与 A ' C 是相等的。
而 A ' B 是一条线段，所以 A ' B 是连结 A ＇、B 这两点间的所有线中，最短的一条， 所以 AC+CB = A ' C+CB = A ' B 也是最短的一条路了。
这就是运用轴对称变换，找到的一种最巧妙的解题方法。
这一流传近 2000 年的名题至今还被命题者所喜爱，近年来许多省市中考中出现了以此故事为背景的试题，它们所考查的深度和广度也在不断演变、拓展，而且又常与其他的数学知识相联系，数形结合，突出了数学的思维价值和应用能力，能够有效地体现学生的数学学习能力，现从 2009 年中考试题中撷取与此相关的试题来分类说明，供广大读者参考。
一、演变成与正方形有关的试题例 1（2009 年抚顺）如图 2 所示，正方形 ABCD 的面积为 12， △ABE 是等边三角形， 点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD + PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A. 2 B. 2 C.3D ． ABC LA3663 17 17 D分析与解：正方形 ABCD 是轴对称图形，对角线 AC 所在直线是它的一条对称轴，相对的两个顶点 B 、D 关于对角线 AC 对称,在这个问题中 D 和 E 是定点，P 是动点。
我们可以找到一个定点 D 的轴对称点 B ，连结 BE ，与对角线 AC 交点处 P 就是使距离和最小的点（如图 3），而使 PD+PE 的和的最小值恰好等于 BE ,因为正方形 ABCD 的面积为 12，所以它的边长为 2，即 PD +PE 的最小值为 2 。
二、演变成与梯形有关的试题 例 2（2009 鄂州）已知直角梯形 ABCD 中 A D∥BC,AB ⊥BC ，AD =2,BC =DC =5,点 P 在 BC 上移动，则当 PA +PD 取最小值时，⊿APD 中边 AP 上的高为（ ）A ．21717B ．41717C ．81717D ．3ABP C图 4分析与解：如图，先作出 A 点关于 BC 的对称点 E ,连结 DE 交 BC 于 P 点，连结 AP ,再过点 D 作 D F ⊥BC 于 F ,过点 D 作 DG ⊥AP 于 G .先可以根据梯形知识和勾股定理可以求得 DF =4,从而AB =4,再由 AB =BE 且 AD∥BC,知道 BP 是⊿ABE 的中位线，∴BP = 1AD =1 得 AP = .因为⊿ADP21 1AD • DF 8的面积= AD • DF = AP • DG ,所以 AP 边上的高 DG 为=,即正确答案是C . 2 2 AP 17三、演变成与圆有关的试题例 3（2009 龙岩）如图，AB 、CD 是半径为 5 的⊙O 的两条弦，AB = 8，CD = 6，MN 是直径，AB ⊥ MN 于点 E ，CD ⊥MN 于点 F ，P 为 EF 上的任意一点，则 PA +PC 的最小值为.分析与解：首先根据对称知识确 定点P 的位32 2 置，连结 BC 交 MN 于点 P ，根据垂径定理易知 AE =4,CF =3,EF =7.再过 C 作 C G ⊥AB 于点 G ,在 Rt⊿BCG 中，CG =EF =7,BG =BE +EG =3+4=7,所以 PA +PC 的最小值为 BC =7 .四、演变成与直角坐标系有关的试题 例 4（2009 孝感）在平面直角坐标系中，有 A （3，－2），B （4，2）两点，现另取一点 C （1，n ），当 n = 时，AC + BC 的值最小．分析与解：点 A 和 B 在直角坐标系下的位置如图 8，此问题中 A,B 是定点，而点 C （1，n ） 在直线 x=1 上,可以找出 A 点关于直线 x=1 的对称点 A ˊ坐标是(–1,-2),经过点 B 和 A ˊ的 4 6 直线解析式为 y= x- ，所以当 x=1 时 n=-552 。
这题与点的坐标和一次函数知识想结合，5考查了学生的数形结合能力。
解题时要画出示意图，在直角坐标系中确定点的大致位置， 就可以比较明确的看出利用将军饮马的背景，再利用坐标知识求出对称点的坐标，最后结合一次函数求出结果。
五、演变成与一次函数有关的试题例 5（2009 荆门）一次函数 y =kx ＋b 的图象与 x 、y 轴分别交于点 A (2，0)，B (0，4)．如图 9 (1)求该函数的解析式；(2)O 为坐标原点，设 OA 、AB 的中点分别为 C 、D ，P 为 OB 上一动点，求 PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时 P 点的坐标．图 9分析与解：利用待定系数法易求得函数解析式为：y ＝－2x ＋4；求 PC ＋PD 的最小值时既可以用代数方法求解，也能用几何方法求出，关键还是正确找到能使 PC +PD 的值最小的点的位置。
如图 10，设点 C 关于点 O 的对称点为C ' ，连结 P C ' 、C ' D ，则 PC ＝PC ′． ∴PC ＋PD ＝PC ′＋PD ≥C ′D ，即 C ′、P 、D 共线时，PC ＋PD 的最小值是 C ′D ．连结 CD ，在 Rt △DCC ′中，C ′D ＝ 易得点 P 的坐标为(0，1)．(亦可作 Rt △AOB 关于 y 轴对称的△) 六、演变成与二次函数有关的试题＝2 ；C 'C 2 + CD 2Ay 8 6 42B DC -4 -2 O2 4 x-2 -4例 6（2009 重庆）如图 11，抛物线 y = -x 2 + bx + c 与 x 轴交与 A (1,0),B (- 3，0)两点，（1） 求该抛物线的解析式；（2） 设（1）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q ，使得△QAC的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. 2 ⎧-1+ b + c ＝0⎧b = -2 分析与解：(1)将 A (1，0)，B (－3，0)代 y = -x+ bx + c 中得⎨-9 - 3b + c = 0 ∴ ⎨c = 3⎩ ⎩∴抛物线解析式为： y = -x 2 - 2x + 3(2)存在理由如下：由题知 A 、B 两点关于抛物线的对称轴 x = -1 对称∴直线 BC 与 x = -1 的交点即为 Q 点， 此时△ AQC 周长最小∵ y = -x 2 - 2x + 3 ∴C 的坐标为：(0，3) 直线 BC 解析式为： y = x + 3⎧x = -1 ⎧x = -1Q 点坐标即为⎨ y = x + 3 的解 ∴ ⎨y = 2 ⎩ ⎩∴Q (－1，2) 七、演变成综合型试题例 6（2009 衢州）如图 12，已知点 A (-4，8)和点 B (2，n )在抛物线 y = ax 2 上．(1) 求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q ，使得 AQ +QB 最短，求出点 Q 的坐标；(2) 平移抛物线 y = ax 2 ，记平移后点 A 的对应点为 A ′，点 B 的对应点为 B ′，点 C (-2，0)和点 D (-4，0)是 x 轴上的两个定点．① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式； ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 A ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．图 12分析与解： (1) （如图 13）将点 A (-4，8)的坐标代入 y = ax 2，解得图 13 Ay 8 6 42BD C-4 -2 O Q 2 -2 -44 xPa = 1 ． 将点 B (2，n )的坐标代入 y = 1x 2 ，求得点 B 的坐标为(2，2)，2 2则点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标为(2，-2)．直线AP 的解析式是 y = - 5 x + 4 ．令y =0，得 x = 4 ．即所求点Q 的坐标是( 4，0)． (2)①3 3 5 5（如图 14）解法 1：CQ =︱-2- 4 ︱= 14，5 5 故将抛物线 y = 1 x 2 向左平移14个单位时，A ′C +CB ′最短， 2 5 此时抛物线的函数解析式为 y = 1 (x + 14)2 ．2 5 解法 2：设将抛物线 y = 1x 2 向左平移 m 个单位，则平移后 A ′，B ′的2坐标分别为 A ′(-4-m ，8)和 B ′(2-m ，2)，点 A ′关于 x 轴对称点的坐标5 5 4为 A ′′(-4-m ，-8)． 直线 A ′′B ′的解析式为 y = x + m - ． 要使 3 3 3A ′C +CB ′最短，点C 应在直线 A ′′B ′上，将点 C (-2，0)代入直线 A ′′B ′的解析式，解得 m = 145故将抛物线 y = 1 x 2 向左平移 14个单位时 A ′C +CB ′最短， 此时抛物线的函数解析式为2 5 y = 1 (x + 14)2 ．2 5② （如图 15）左右平移抛物线 y =1 x 22，因为线段 A ′B ′和 CD的长是定值， 所以要使四边形 A ′B ′CD 的周长最短， 只要使A ′D +CB ′最短；第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有 A ′D +CB ′>AD +CB ， 因此不存在某个位置，使四边形 A ′B ′CD 的周长最短．第二种情况：设抛物线向左平移了 b 个单位，则点 A ′和点 B ′的坐标分别为 A ′(-4-b ，8)和 B ′(2-b ，2)．因为 CD =2，因此将点 B ′向左平移 2 个单位得 B ′′(-b ，2)，要使 A ′D +CB ′最短，只要使 A ′D +DB ′′最短．点 A ′关于 x 轴对称点的坐标为 A ′′(-4-b ，-8)，直线 A ′′B ′′的解析式为 y = 5 x + 5b + 2 ．要使 A ′D +DB ′′最短，2 2点 D 应在直线 A ′′B ′′上，将点 D (-4，0)代入直线 A ′′B ′′的解析式，解得b = 16．故将抛物线向5左平移时，存在某个位置，使四边形 A ′B ′CD 的周长最短，此时抛物线的函数解析式为y = 1 (x + 16)2 ．2 5综上所述，很多数学问题都是由这个“将军饮马”问题发展和延伸而来的，解决这类试题要数形结合，往往先用“对称”的方法转化为两点之间的距离问题，利用两点之间线段最短，找出相应的位置及最值。
