中考数学之定值探究(通用版)

初三数学讲义 专题探究：定值类问题教学过程：一、教学衔接（课前环节）1、回收上次课的教案，了解家长的反馈意见；2、检查学生的作业，及时指点3、捕捉学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容二、知识点解析在几何问题中，当一些几何元素按照一定的规律在确定的范围内变化时,与它相关另一些几何元素的某些量或其数量关系保持不变，这种几何问题称之为几何定值问题. 定值问题由于所求证的问题不明确、具体,而使人难已下手,给问题解决带来困难.近年来,该类问题在各省市中考试题中频频出现,为便于广大师生复习教学,现对其归类例析.一、线段长度为定值例1如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上，有一个动点P ，PH ⊥OA ，垂足为H ，△OPH 的重心为G 。

（1）当点P 在弧AB 上运动时，线段GO 、GP 、GH 中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设PH ＝，GP ＝，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果△PGH 是等腰三角形，试求出线段PH 的长。

分析:解决此题时,首先要根据线段GH 的特征,添出辅助线,找出与其有关的长度为定值的线段间的联系,从而获得问题的解决.图一BOAGPHE二、线段长度为定值例 在给定的梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 边上的动点，点1O 、2O 分别是AED ∆和BEC ∆的外心。

求证：21O O 的长为一定值。

变式练习 如图，在ABC ∆中，A ∠与底边BC 为一定值，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，D 、E 为垂足，连结DE 。

求证：DE 为定长。

三、角的度数为定值例 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足。

求证：不管ST 滑到什么位置，SPM ∠是一定角。

ACB DEEDABCPM A O BS T例题．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是 APB 上任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ．（1）求弦AB 的长；（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由； （3）记△ABC 的面积为S ，若2SDE ＝43，求△ABC 的周长.四、面积为定值例. 如图7(1),正方形ABCD 的对角线相交于点O ，O 是正方形A'B'C'O 的一个顶点,如果两个正方形的边长为a,求证：正方形A'B'C'O 绕点O 无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总是一个定值.CP DOBAEFE 图10图9C'B'A'C'B'A'OBDBDAC C A真题练习1．（2011•广州）已知关于x的二次函数y=ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1－S2为常数，并求出该常数．2．（2011•河北）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为 A（1，0），B（1，－5），D（4，0）．（1）求c，b（用含t的代数式表示）：（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，要S=218错误！未找到引用源。

专题35圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。

实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。

而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。

模型1.米勒最大张角（视角）模型【模型解读】已知点A ，B 是∠MON 的边ON 上的两个定点，点C 是边OM 上的动点，则当C 在何处时，∠ACB 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。

米勒定理：已知点AB 是∠MON 的边ON 上的两个定点，点C 是边OM 上的一动点，则当且仅当三角形ABC 的外圆与边OM 相切于点C 时，∠ACB 最大。

【模型证明】如图1，设C’是边OM 上不同于点C 的任意一点，连结A ，B ，因为∠AC ’B 是圆外角，∠ACB 是圆周角，易证∠AC ’B 小于∠ACB ，故∠ACB 最大。

在三角形AC’D 中，’’=+ADB AC D DAC’ADB AC D 又=ACB ADB ∵’ACB AC D【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。

若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。

否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。

A． 2,0B．例3．（2023·江苏南京·九年级统考期中）如图，在矩形是BC上一个动点，若∠DPM(1)如图，O 的半径为1，①已知点(1,1)A ，直接写出点已知直线2y ，直接写出直线2y 关于O 的“视角”；合条件的B 点坐标；(2)C 的半径为1，①点C 的坐标为若直线关于C 的“视角”为60 ，求k 的值；②圆心C 在模型2.定角定高模型（探照灯模型）定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角，则AD有最小值，即△ABC的面积有最小值。

定值问题解析版1、如图，在平面直角坐标系x O y 中，矩形AOCD 的顶点A 的坐标是（0,4），现有两动点P 、Q ，点P 从点O 出发沿线段OC （不包括端点O ，C ）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C 运动，点Q 从点C 出发沿线段CD （不包括端点C ，D ）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D 运动.点P ，Q 同时出发，同时停止，设运动时间为t 秒，当t=2秒时PQ=52. （1）求点D 的坐标，并直接写出t 的取值范围；（2）连接AQ 并延长交x 轴于点E,把AE 沿AD 翻折交CD 延长线于点F,连接EF ，则△A EF 的面积S 是否随t 的变化而变化？若变化，求出S 与t 的函数关系式；若不变化，求出S 的值. （3）在（2）的条件下，t 为何值时，四边形APQF 是梯形？【答案】解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，在Rt△PCQ 中，由勾股定理得：PC=()2222PQ CQ 252-=-=4，∴OC=OP+P C=4+4=8。

又∵矩形AOCD ，A （0，4），∴D（8，4）。

t 的取值范围为：0＜t ＜4。

（2）结论：△AEF 的面积S 不变化。

∵AOCD 是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC。

∴CE CQ AD DQ =，即CE t 84t =-，解得CE=8t4t-。

由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4－t ，则CF=CD+DF=8－t 。

S=S 梯形AOCF ＋S △FCE －S △AOE =12（OA+CF ）•OC+12CF•CE－12OA•OE =12 [4＋（8－t ）]×8+12（8－t ）•8t 4t -－12×4×（8＋8t 4t-）。

化简得：S=32为定值。

所以△AEF 的面积S 不变化，S=32。

（3）若四边形APQF 是梯形，因为AP 与CF 不平行，所以只有PQ∥AF。

专题九动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。

动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。

以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。

解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.【解题类型及其思路】在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。

在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。

【典例指引】类型一【线段及线段的和差为定值】【典例指引1】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA ′D ＝15°时，作∠A ′EC 的平分线EF 交BC 于点F ．①写出旋转角α的度数；②求证：EA ′+EC ＝EF ；（2）如图2，在（1）的条件下，设P 是直线A ′D 上的一个动点，连接PA ，PF ，若AB ＝2，求线段PA +PF 的最小值．（结果保留根号）【举一反三】如图（1），已知∠=90MON o ,点P 为射线ON 上一点，且=4OP ，B 、C 为射线OM 和ON 上的两个动点（OC OP >），过点P 作PA ⊥BC ，垂足为点A ，且=2PA ，联结BP ．（1）若12PACABOP S S ∆=四边形时，求tan BPO ∠的值； （2）设PC x =，AB y BC=求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如图(2)，过点A 作BP 的垂线，垂足为点H ，交射线ON 于点Q ，点B 、C 在射线OM 和ON 上运动时，探索线段OQ 的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。

中考数学动态几何题中的“定值型”问题赏析在动态几何问题中，当一些元素按照一定的规律在确定的范围内变化时，与它相关的另一些几何元素的某些量或其数量关系保持不变，这类问题称为几何定值问题。

定值问题由于有时甚至不知道定值的结果，而使人难以下手，给问题解决带来困难。

解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在“可变”的元素中寻求“不变”的量．一般可采用特殊值或特殊的位置，探得定值，如果需要的话再考虑证明；或直接推理、计算，并在计算中消去变量，从而得到定值。

以下以2010年中考题为例说明具体的求解策略 一、长度定值 例1．（2010山东聊城）如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 的一个动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别为3和4，那么点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是（ ）A ．125B ．65C ．245D ．不确定解析：因为四边形ABCD 是矩形，由勾股定理得AC =BD =5.过点P 分别作AC 、BD 的垂线PE 、PF ，容易得△PDF ∽△BDA ， ∴PD PF BD AB =，即53PD PF =，∴35PF PD =， 同理35PE PA =，∴PE +PF ＝312()55PA PD +=．故答案为A 。

点评：本题属于矩形中动点定值问题，在选择题中，可以采取特殊点法求解，譬如P 与A 重合、P 与B 重合或P 为AD 的中点等特殊情形下，求出PE ＋PF 的值探求答案． 二、角度定值 例2．（2010年广东广州）如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是APB 上任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ．（1）求弦AB 的长；（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由； （3）略分析：（1）连接OA ，OP 与AB 的交点为F ，则△OAF 为直角三角形，且OA ＝1，OF ＝12，借助勾股定理可求得AF 的长，根据垂径定理求得AB ；（2）要判断∠ACB 是否为定值，只需判定∠CAB ＋∠ABC 的值是否是定值，由于⊙D 是△ABC 的内切圆，所以AD 和BD 分别为∠CAB 和∠ABC 的角平分线，因此只要∠DAE ＋∠DBA 是定值，而∠DAE ＋∠DBA 等于弧AB 所对的圆周角，这个值等于∠AOB 值的一半，只需看∠AOB 值即可。

中考数学复习提纲—定点定值问题班级 姓名 号数_______一、定点问题——由字母参数产生的定点 例1．阅读以下内容，然后解决问题 无论m 为任何实数，函数的图像总会经过的点是（ ）.A. （1，3）B. （1，0）C. （－1，3）D. （－1，0）方法1：变换主元法①x x x y x y -=+-=⎧⎨⎩==⎧⎨⎩1020132，解得 这类问题一般解法是根据直线或抛物线的动因，先选择适当的参数，用参数表示出直线或抛物线方程，然后按参数整理，并令参数的系数为0得方程组，解方程或方程组求出定点坐标。

方法2：特殊值法任意给m 赋予两个特殊值，不妨设m=0和m=2。

y x x y x =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2222，解得所以，无论m 为何值时，该二次函数的图像恒过定点（1，3）。

故应选A 。

练习． 一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象一定过定点________________ 抛物线y=(k-1)x 2+(2-2k)x+1，那么此抛物线必定经过______和____ 二、定值问题1.线段长度为定值例2．若直线y=8k 与二次函数L ：y=kx 2﹣4kx+3k （k ≠0）交于E 、F 两点。

（1）直接抛物线的对称轴直线__________；（2对于不同的k 的值，线段EF 的长度是否发生变化？如果不会， 请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．练习2．如图，扇形OAB 的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°.点C 是AB⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E.连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG=GH=HE.在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请写出出该线段的长度. 2. 角度为定值例3．如图二次函数y ＝x 2+bx ﹣3的图象与x 轴分别相交于A 、B 两点，点B 的坐标为（3，0），与y 轴的交点为C ，动点T 在射线AB 上运动，在抛物线的对称轴l 上有一定点D ，其纵坐标为2，l 与x 轴的交点为E ，经过A 、T 、D 三点作⊙M ．（1）求二次函数的表达式；y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4． D （1，BOACE HG D2）．（2）在点T的运动过程中，∠DMT的度数是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。

九年级数学平面几何中的定值问题例题讲解知识点，重点，难点所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的某种几何量却始终保持不变（或几何元素间的某种几何性质或位置关系不变）。

平面几何定值一般可分为两类：一类是定量问题（如定长度、定角、定比、平方和或倒数和为定值等）；一类是定形问题（如定点、定线、定圆或弧、定方向等），它们有共同的基本特点，即给定条件中一般由固定条件和变动条件两部分组成。

一般来说，求解定值问题的方法有：图形分析法。

画出符合条件的图形后，分析图中几何元素的数量关系及位置关系，直接寻求出定值并证明。

特殊位置法。

不论图形如何变动，定值这一共性始终不变，因此可选择图形的特殊位置（如极限位置、临界位置）加以探求。

参数计算法。

图形运动中，选取其中的变量（如线段长、角度、面积等）作为参数，将要求的定值用参数表出，然后消去参数即得定值。

例题精讲例1：如图，已知⊙O 及弦AB ，P 为⊙O 上任一点，PA 、PB 分别交AB 中垂线于E 、F ，求证：OE ·OF 为定值。

分析 若在⊙O 上的点P 运动到特殊位置点Q ，则点E ，点F 都和Q 点重合，于是得到OE ·OF =OQ 2，由此可推想，该定值可能为⊙O 半径的平方。

证明 因为OE 是弦AB 的中垂线，所以 AQ BQ=，所以∠AOE=∠BOE ， 所以 1.2mAOE AB ∠=又因为 1,2m PAB BP ∠= 1,2m PBA AP ∠=∠EPB =∠PAB ＋∠ABP ，所以∠AOE = ∠EPB ，所以A 、O 、F 、P 四点共圆，所以∠OFB =∠OAE .又因为∠FOB =∠AOE ，所以△FOB ∽△OAE ，所以,OF OB OA OE =即OE ·OF ＝OA ·OB .因为OA =OB ，所以OE ·OF =OA 2（定值）。

专题14 线段定值问题1．（2021·福建龙岩·中考二模）抛物线2y ax b =+经过点(4,0)A ，(0,4)B -，直线EC 过点(4,1)E -，(0,3)C -，点P 是抛物线上点A ，B 间的动点（不含端点A ，B ），过P 作PD x⊥轴于点D ，连接PC ，PE ． （1）求抛物线与直线CE 的解析式： （2）求证：PC PD +为定值；（3）若PEC 的面积为1，求满足条件的点P 的坐标．2．（2020·湖南·长沙市中考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+2ax +a +2与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为点D ．点P 为x 轴上的一个动点． （1）求点D 的坐标；（2）如图1，当点P 在线段AB 上运动时，过点P 作x 轴的垂线，分别交直线AD 、BD 于点E 、F ，试判断PE +PF 是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． （3）如图2，若点P 位于点A 的左侧，满足∠ADP =2∠APD 且AP =132+AB 时，求抛物线的解析式．3．（2020·湖北·武汉中考三模）如图1，抛物线y＝ax2过定点M（52，2516），与直线AB：y＝kx+1相交于A、B两点．（1）若k＝﹣12，求△ABO的面积．（2）若k＝﹣12，在抛物线上的点P，使得△ABP的面积是△ABO面积的两倍，求P点坐标．（3）将抛物线向右平移两个单位，再向下平移两个单位，得到抛物线C2，如题图2，直线y＝kx﹣2（k+12）与抛物线C2的对称轴交点为G，与抛物线C2的交点为P、Q两点（点P在点Q的左侧），试探究22PG QG+是否为定值，并说明理由．4．（2021·湖北·武汉实外九年级月考）已知，如图，抛物线y＝14-x2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝x﹣2经过A、C两点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，若点P关于直线AC的对称点Q落在y轴上，求P点坐标；（3）现将抛物线平移，保持顶点在直线y＝x﹣114，若平移后的抛物线与直线y＝x﹣2交于M、N两点．①求证：MN的长度为定值；②结合（2）的条件，直接写出△QMN的周长的最小值5．（2020·湖南·长郡中学九年级期中）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接AC，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）如图2，点P为抛物线上一动点，且满足∠P AB＝2∠ACO．求点P的坐标．6．（2021·江苏·南通市九年级月考）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．7．（2020·广东·广州市九年级月考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数54y x m =+(m 为常数)的图象与x 轴交于点A (3-，0)，与y 轴交于点C ．以直线x =1为对称轴的抛物线2y ax bx c =++(a b c ，，为常数，且a ≠0)经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ．（1）求m 的值及抛物线的函数表达式；（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于111M ()x y ，，222M ()x y ，两点，试探究1212M P M PM M ⋅是否为定值，并写出探究过程．8．（2020·广东·廉江市九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c 交x 轴于A 、B 两点（A 在B 的左侧），且OA =3，OB =1，与y 轴交于C （0，3），抛物线的顶点坐标为D （﹣1，4）． （1）求A 、B 两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D 作直线DE ∥y 轴，交x 轴于点E ，点P 是抛物线上B 、D 两点间的一个动点（点P 不与B 、D 两点重合），P A 、PB 与直线DE 分别交于点F 、G ，当点P 运动时，EF +EG 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．9．（广东·广州市南沙区中考一模）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(01)-，，点B 的坐标为(4)1-，，顶点C 在第一象限内，抛物线212y x bx c =-++（b c 、常数）的顶点P 为正方形对角线AC 上一动点．（1）当抛物线经过AB 、两点时，求抛物线的解析式； （2）若抛物线与直线AC 相交于另一点Q （Q 非抛物线顶点，且Q 在第一象限内），求证：PQ 长是定值；（3）根据（2）的结论，取BC 的中点N ，求NP BQ +的最小值．10．（2021·河北保定·中考一模）如图，抛物线2:2L y ax ax a k =-++（a ，k 为常数且0a >）经过点()1,0C -，顶点为M ，经过点()0,4P a +的直线m 与x 轴平行，且m 与L 交于点A ，B （B 在A 的右侧），与L 的对称轴交于点F ，直线:n y ax a =+经过点C ．（1）用a 表示k 及点M 的坐标；（2）BP AP -的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； （3）当直线n 经过点B 时，求a 的值及点A ，B 的坐标； （4）当1a =时，设ABC ∆的外心为点N ，则 ①求点N 的坐标；②若点Q 在L 的对称轴上，其纵坐标为b ，且满足AQB ACB ∠<∠，直接写出b 的取值范围．11．（2021·黑龙江大庆·中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于除原点O 和点A ，且其顶点B 关于x 轴的对称点坐标为()2,1． （1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F ，使得抛物线2y ax bx c =++上的任意一点G 到定点F 的距离与点G 到直线2y =-的距离总相等． ①证明上述结论并求出点F 的坐标；②过点F 的直线l 与抛物线2y ax bx c =++交于,M N 两点．证明：当直线l 绕点F 旋转时，11MF NF+是定值，并求出该定值； （3）点()3,C m 是该抛物线上的一点，在x 轴，y 轴上分别找点,P Q ，使四边形PQBC 周长最小，直接写出,P Q 的坐标．12．（2021·北京·北大附中九年级期末）如图1，抛物线M 1：y ＝﹣x 2+4x 交x 正半轴于点A ，将抛物线M 1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M 2，M 1与M 2交于点B ，直线OB 交M 2于点C ． （1）求抛物线M 2的解析式；（2）点P 是抛物线M 1上AB 间的一点，作PQ ⊥x 轴交抛物线M 2于点Q ，连接CP ，CQ ．设点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，使△CPQ 的面积最大，并求出最大值；（3）如图2，将直线OB 向下平移，交抛物线M 1于点E ，F ，交抛物线M 2于点G ，H ，则EG HF的值是否为定值，证明你的结论．13．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，3OA OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．图1 图2 图3 （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标．（2）判断ACD △的形状，并说明理由．（用三种不同的方法）（3）如图2，在抛物线上有一动点P ，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，交直线AC 于点N ，在线段PN 、MN 中，若其中一条线段是另一条线段的2倍，求点P 的坐标．（4）在抛物线上是否存在一点P ，使PA PC =，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（5）如图3，在抛物线的对称轴上的一点151,4H ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，过点H 的任一条与y 轴不平行的直线l 交抛物线于点M 、N ，说明MH NHMN⋅是否为定值？若是定值，请求出这个定值，若不是，请说明理由．14．（2021·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级月考）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点（x ，y ）的坐标值：（2）如图1，直线1y kx =+()0k <与抛物线交于P ，Q 两点，交抛物线对称轴于点T ，若QMT 的面积是PMT 面积的两倍，求k 的值；（3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，ABD 的外接圆与DF 相交于点E ．试问：线段EF 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．。