沪科版数学七年级上册一次方程与方程组知识点

沪科版七年级上册第3章《一次方程与方程组》知识清单思维导图：知识点一、从问题到方程1. 等式的定义：用等号（“=”）来表示相等关系的式子叫做等式。

① 等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等，所以等式可以表示不同的意义。

② 不能将等式与代数式混淆，等式含有等号，是表示两个式子的“相等关系”，而代数式不含等号，它只能作为等式的一边。

如x x 2735-=+才是等式。

2. 等式的性质性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

即如果b a =，那么c b c a ±=±。

性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

即如果b a =，那么bc ac =；如果b a =()0≠c ，那么cbc a =。

3、方程（1）.定义：含有未知数的等式叫做方程。

方程有两层含义：① 方程必须是一个等式，即是用等号连接而成的式子。

② 方程中必有一个待确定的数，即未知的字母，这个字母就是未知数。

如12=+x 。

（2）. 方程与等式的区别与联系（3）方程的解与解方程① 检验一个数是否是方程的解，只要用这个数代替方程中的未知数，如果方程两边的值相等，那么这个数就是方程的解；如果不相等，这个数就不是方程的解。

② 方程可能无解，可能只有一个解，也可能有多个解。

③ 等式的基本性质是解方程的依据。

④ 方程的解是结果，而解方程是得到这个结果的一个过程。

知识点二、一元一次方程1.定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。

2.标准形式：方程0=+b ax （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，并且0≠a ）叫做一元一次方程的标准形式。

① 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母不含未知数。

② 一元一次方程只含有一个未知数，未知数的次数都为1。

如321=+x ，6=+y x ，+2x 06=-x 都不是一元一次方程。

第3章 一次方程与方程组知识点一次方程与方程组知识点知识点1：一元一次方程的概念只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,像这样的整式方程叫做一元一次方程。

（如:21,314223x x x x --=+=-) 特点：①等号两边都是整式②只含有一个未知数③未知数的次数都为1。

判断方法：首先要将整式方程化简，然后再判断是否满足一元一次方程的三个特点。

知识点2：等式的基本性质1.等式的两边都加上（或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

即如果a b =，那么a c b c ±=±；2。

等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0）,所得结果仍是等式.即如果a b =，那么ac bc =,(0)ab c c c=≠； 3。

对称性：如果a b =，那么b a =；4。

传递性：如果a b =，b c =,那么a c =。

知识点3:一元一次方程的解法1。

移项法则把方程的某一项改变符号后，从方程的一边移到方程的另一边，叫做移项法则.2。

解一元一次方程的步骤①去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数； ②去括号：先去小括号,再去中括号，最后去大括号； ③移项:把含有未知数的项都移到方程的一边，其它项都移到方程的另一边(移项要变号）④合并同类项：把方程变成(0)ax b a =≠的形式⑤系数华为1：在方程两边都除以未知数的系数a ,得到方程的解b x a=。

知识点4：（1)二元一次方程的概念含有两个未知数，且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。

如：1,323,32m x y x y n +=-=+=都是二元一次方程。

（2）二元一次方程组的概念由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

（如：2324x y x y +=⎧⎨-=⎩) 知识点5：二元一次方程组的解使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解。

知识点6:二元一次方程组的解法（1）用代入法求解二元一次方程组步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程;③解这个一元一次方程，求出x(或y）的值；④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中,求出另一个未知数的值；⑤把求得的x、y的值用“｛”联立起来,就是方程组的解.（2)用加减法解方程组步骤:①方程组中的两个方程中,如果同一个未知数的系数即不互为相反数又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数变为相反数或相等;②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；④将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用符号“{"联立起来.知识点7：用一次方程（或方程组）解决实际问题①行程问题:行程问题中涉及的量有路程、平均速度、时间。

第5单元知识点七：二元一次方程组的应用【典型例题】 1、某市举办中学生足球赛，规定胜一场得3分，平一场得1分。

市第二中学足球队比赛11场，没输过一场，共得27分。

问该队胜几场，平几场？2、某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分；市第二中学足球队比赛11场，胜的场次是输的场次的3倍，共得21分。

试问该队胜几场，平几场，输几场？3、甲、乙两人相距4km，以各自的速度同时出发，如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇，试问两人的速度各是多少？4、玻璃厂熔炼玻璃液，原料是石英砂和长石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%，根据化验，石英砂中含二氧化硅99%，长石粉中含二氧化硅67%，试问3.2t原料中，石英砂和长石粉各多少吨？5、某医院利用甲乙两种原料为病人配制营养品。

已知每克甲原料含0.6单位蛋白质和0.08单位铁质，每克乙原料含0.5单位蛋白质和0.04单位铁质，如果病人每餐需34单位蛋白质和4单位铁质，那么每餐甲乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？6、某商场向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元。

每年应付利息3.82万元，甲种贷款年利率是6%，乙种贷款年利率是5%，试问这两种贷款的金额各是多少？7、甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁．”问甲、乙现在各多少岁？8、某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地。

根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦，种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：在现有的条件下，这18位农民应承包多少公顷田地，怎样安排种植才能使所有的农民都有工作，且资金正好够用？知识点八：三元一次方程组及其解法【知识要点】解三元一次方程组的基本思路是通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。