金融工程史上最全面的的期权定价——VBA模板

期权定价理论期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的咨询题之一。

第一个完整的期权定价模型由FisherBlack和MyronScholes创立并于1973年公之于世〔有关期权定价的开展历史大伙儿能够参考书上第358页，有喜好的同学也能够自己查寻一下书上所列出的经典文章，只是这要求你有特不深厚的数学功底才能够瞧明白〕。

B—S期权定价模型发表的时刻和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化期权合约几乎是同时。

不久，德克萨斯仪器公司就推出了装有依据这一模型计算期权价值程序的计算器。

现在，几乎所有从事期权交易的经纪人都持有各家公司出品的此类计算机，利用按照这一模型开发的程序对交易估价。

这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。

为此，对期权定价理论的完善和推广作出了巨大奉献的默顿和Scholes在1997年一起荣获了诺贝尔经济学奖〔Black在1995年往世，否那么他也会一起获得这份殊荣〕。

原始的B—S模型仅限于这类期权：资产可用于卖出期权；能够评估价值，资产价格行为随时刻连续运动。

随后建立在原始的B—S模型上的研究以及许多其他期权定价模型的变体相继出现，用于处理其他类型的标的资产以及其他类型的价格行为。

在大多数情况下，期权定价模型的推倒基于随机微积分〔StochasticCalculus〕的数学知识。

没有严密的数学推演，演示这种模型只是摸棱两可的。

然而，这并非要紧的咨询题，因为确定期权公平价格的必要计算已自动化，且到达上述目的的软件在大型计算机及微机中均可获得。

因此，在那个地点，我只简单介绍一下B—S模型的要害几个要素，至于具体的数学推导〔特不复杂〕，感喜好的同学能够在课后阅读一下相关资料〔一般根基上在期权定价理论章节的附录中〕。

首先，我们往返忆一下套利的含义套利套利〔arbitrage〕通常是指在金融市场上利用金融产品在不同的时刻和空间上所存在的定价差异、或不同金融产品之间在风险程度和定价上的差异，同时进行一系列组合交易，猎取无风险利润的行为。

置比例。
03
投资组合绩效评估
通过期权定价模型计算投资组合 的绩效指标，评估投资组合表现
。
02
投资组合调整
根据市场走势和投资者需求，调 整投资组合中的期权和其他资产
。
04
投资组合再平衡
定期或不定期地重新调整投资组 合，以保持其与投资者风险偏好
和投资目标的匹配。
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02
期权定价模型简介
几种常见的期权定价模型
Black-Scholes模型
二叉树模型
基于一系列假设条件，通过随机微分方程 来描述期权价格的运动过程，并给出了欧 式期权价格的解析解。
一种离散时间模型，通过模拟标的资产价 格的上升和下降来计算期权价格，适用于 美式期权和欧式期权。
三叉树模型
有限差分模型
市场中不存在可以通过买 卖标的资产和衍生品来获 得无风险利润的策略。
市场中存在足够的标的资 产供买卖，且交易成本为 零。
即投资者可以以一个固定 的无风险利率无限借贷。
即标的资产价格的波动率 在整个期权存续期内保持 不变。
定价模型的适用范围
欧式期权：适用于只能在到期 日行权的期权。
美式期权：适用于在到期日之 前任何时间都可以行权的期权
。
股票期权、期货期权、利率期 权等：适用于各种类型的金融 衍生品。
长期期权、短期期权：适用于 不同存续期的期权。
03
Black-Scholes模型
模型的基本假设
假设1
股票价格变动符合几何布朗运 动，即股票价格连续变动，并
且其收益率服从正态分布。
假设2
市场无摩擦，即没有交易费用 和税收，所有证券都可以无限 分割。

（五）权证的特别条款
南开大学经济学院金融学系 周爱民（fineng@）
1．行使价格的调整：通常情况下，权证按照既 定的认股价格和兑换比率执行。但有时，权证的 发行人会特别约定，当出现配股、送股等正股总 额增加或减少的情况，或正股除权除息时，权证 的行使价格可能会按约定的公式进行调整。
Excel与金融工程学
南开大学经济学院金融学系 周爱民（fineng@）
第一章 Excel基础 第二章 现金流的时间价值 第三章 固定收益证券定价 第四章 权证定价 第五章 远期与期货的定价与套利 第六章 互换的设计与定价 第七章 期权定价 第八章 房屋按揭抵押贷款及ARM 第九章 CMO的份额设计 第十章 在险价值量VaR的计算
南开大学经济学院金融学系 周爱民（fineng@）
3．权证持有人：权证上市后，在各个投资者中 转让的过程中，持有权证的投资者，可能是 认购人，也可能是相在二级市场上购买权证 的投资人。
4. 权证行使人：权证到期时，有权行使权证的 选择权的即提出要求认购或认沽标的资产之 履约要求的人，权证的行使者只能是权证的 持有者。
认股权证，又称为“认股证”或“权证”， 英文名为Warrant, 在香港又译为“涡轮”， 权利是一种权利契约，是期权的简单化形 式，投资人与支付权利金购得权证后，有 权利于某一特定期间或期日，按约定的价 格，认购或沽出一定数量的标的资产。
一、 权证的基本要素
南开大学经济学院金融学系 周爱民（fineng@）
南开大学经济学院金融学系 周爱民（fineng@）
此外，时间价值的大小还与正股的波动率有关。 正股的波动率越大，权证的时间价值也越大。这 主要是因为权证的非对称性，即权证持有人支付 权利金后，其损失是有限的，但获利却可能是无 限的，因此，正股波动越大，可以给权证带来更 多的价值，权证的时间价值也越大。随着时间的 流逝，权证的剩余期限不断减少，权证的时间价 值也不断损耗而权证时间价值的损耗并非是均匀 的，而是随着到期日的临近，其损耗速度越来越 快。

期权的定价方法概述及利用matlab计算期权价格摘要期权是功能最多、最激动人心的融衍生工具之一。

期权定价问题一直是金融数学当中最复杂的问题之一,简要介绍几种基本的期权定价理论,并利用matlab金融工具箱计算出香港恒生指数期权的价格并与实际价格进行比较,指出可能导致偏差的一些原因。

关键词期权定价;MATLAB;B-S模型1 期权概述期权是一种独特的衍生金融产品,实质上是将权利和义务分开进行定价,使得权利的受让人在规定时间内对于是否进行交易,行使其权利具有选择权,而义务方必须履行其义务。

它使买方能够避免坏的结果,同时,又能从好的结果中获益。

2 期权的定价模型2.1 二项式期权定价模型设:S0=股票现行价格,u=股价上行乘数,d=股价下行乘数,r=无风险利率,C0=期权现行价格,Cu=股价上行时期权的到期日价值,Cd=股价下行时期权的到期日价值,X=期权的执行价格,H=套期保值比率,则二项式定价模型为:u=1+上升百分比=d=1+下降百分比=其中:e是自然对数;σ为标的资产连续复利收益率的标准差;t为以年表示的时段长度。

2.2 Black—Scholes期权定价模型1)假设条件B-S微分方程的推导是建立在以下假设的基础上的:①股价遵循预期收益率μ和标准差σ为常数的马尔科夫随机过程;②允许使用全部所得卖空衍生证券;③没有交易费用或税金,且所有证券高度可分;④在衍生证券的有效期内没有支付红利;⑤不存在无风险的套利机会;⑥证券交易是连续的,股票价格连续平滑变动;⑦无风险利率r为常数,能够用同一利率借入或贷出资金;⑧只能在交割日执行期权。

2)Black—Scholes期权定价公式C=SN(d1)-Xe-rTN(d2)P=C-X+Xe-rT=Xe-rT · N(-d2)-S · N(-d1),式中:C表示买入期权的价格;S表示标的资产的现行市场价格;r表示无风险利率(以连续复利率计算);σ表示标的资产的价格波动率;X表示看涨期权的执行价格;T表示距离期权到期日的时间(以年表示);t表示现在的时间;N(x)表示标准正态分布变量的累积概率分布函数。

金融工程中的期权定价模型一、期权定义期权是金融工具中的一种，是指在未来某个时间，按照约定的价格、数量和期限，有权买入或者卖出某种标的资产的一种金融合约。

通过买入期权，持有人可以在未来某个时间以约定的价格买进标的资产；通过卖出期权，交易人可以获得期权费用，承担未来某个时间按照约定价格进行买卖的义务。

期权的本质是对未来的权利，是一种寄予了未来的期望和信心。

二、期权定价方法期权定价是指通过计算期权价格，来实现期权交易的方法或模型。

期权定价的理论基础主要包括两个主流模型：布莱克-斯科尔斯模型和考克斯-鲁宾斯坦模型。

下面我们分别来介绍一下这两种期权定价模型。

1. 布莱克-斯科尔斯模型布莱克-斯科尔斯模型，是由弗兰克-布莱克和梅伦-斯科尔斯在1973年提出的一种期权定价模型。

这个模型的核心思想是将期权看作是一种债券和股票组成的投资组合，通过对这个投资组合的定价，来推导出期权的价格。

布莱克-斯科尔斯模型的核心公式如下：C = SN(d1) - Xe^(-rt)N(d2)P = Xe^(-rt)N(-d2) - SN(-d1)其中，C表示看涨期权的价格，P表示看跌期权的价格；S表示标的资产的价格，X表示行权价格；N()表示标准正态分布函数的值，其中d1和d2分别表示如下：d1 = [ln(S/X) + (r + σ^2/2)t] / σ√td2 = d1 - σ√t这个模型中，需要考虑的参数有标的资产的价格S、行权价格X、波动率σ、存续期t、无风险利率r。

其中，波动率是最重要的参数，它的大小决定了标的资产的风险水平，因此，布莱克-斯科尔斯模型中的波动率是需要通过历史数据或者其他方法进行计算和估算的。

2. 考克斯-鲁宾斯坦模型考克斯-鲁宾斯坦模型，是由约翰-考克斯和斯蒂芬-鲁宾斯坦在1979年提出的一种期权定价模型。

这个模型的最大特点是引入了离散时间的概念，将连续时间的布莱克-斯科尔斯模型离散化，以适应实际的市场需求。

ExcelVBA金融工程Section2-美式期权定价梦特卡罗期权价格计算美式期权指在合约期限内任何时点（直至及包括到期日）均可执行的一种期权，不同于只能在到期日才能执行的欧式期权。

例如，美式看跌期权可以在到期前行使而其内在价值是根據其期权金計算?(S)=max{K-S, 0}。

標的资产价格S t在時间t時，以美式看跌期权計算其公平价值在风险中性時如下F(S t, t)=ê(e?r(τs?t)?(Sτs)|S t(9.39)當隨机资产价格変动從S t開始到首次行使時间ζs。

它的發生可以是在期权到期時或是在期限内任何时点而當它的内在价值大過它的合理价值時。

在期限内任何时点t時，它的最优條款(S t) ≧F(S t, t) (9.40)美式看跌期权的价格应包括以下特性f(S t,t)=max{F(S t, t), ?(S t)} (9.41)公式(9.40)可以用來定義其价格S c(t)在時点t時其行使权的條件需符合S t≦S c(t)。

在此方法下，制定的條款便可輕易地實施只需简單地测試资产價格在特定的價格下便可。

特別注意其公平價值F(S t, t)可以被估計出當所有特定價格，或範圍，在時间t時都被计算出。

即是其特定價格S c(t)都可由倒退法找出開始由期权到期S c(T)=K。

要找出美式看跌期权的現貨價格，需要首先做出整個主要的範圍然后才評估其中性风险的期望値为f0=max{ê(e-rζs?(Sζs)|S0), ?(S0)} (9.42)再者，可以将一個非常大的N分为相等的時间间距Δt=T/N ,那庅便可产生整個期权的生命里當i由0走到N-1为止時每一個時间步骤t i=iΔt。

在時间t i時，試考慮S ti=x同時假設主要遠期時间範圍为{S c(t i+1),… , S c(t N)=K}。

美式看跌期权的公平價格可以用梦特卡罗模拟法中計算出F(S ti=x,t i)= ê(e-r(tζ-ti)?(S tζ )|S ti=x) (9.43)公式(9.43) 可产生资产價格迴路而餘下生命週期的期权则可将公式(9.44) 中的j由i走到N-1为止開始時由S ti=xS tj+1=S tjexp((r-12?σ2)Δt+σ√?tεj(9.44)假如在期权到期前任何时间里其产生價格是S tj+1≤S c(t j+1)的时候，同时当公式(9.43)里的τs=t j+1时該期权便应行使。

V0

e10%
e10% 1.25

0.75 0.75

25

0

16.07
则一份欧式看涨期权现在的价格为=16.07
6
二、看涨期权单步二叉树模型
金融工程课程
（二）风险中性定价机制
在风险中性的假定下，可以得到下面两个结论：
1. 所有可交易股票的期望收益率为无风险利率； 2. 未来资产的当前现金流可以根据其期望值按无风险利率贴现而得到。
S0u mi d i
i 0,1,2,3m
如果时刻m△t在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S0 (1 )u mi d i
i 0,1,2,3m
10
第二节 二叉树期权定价模型的扩展应用
金融工程课程
二、美式期权的二叉树定价模型
美式期权与欧式期权的区别是美式期权可以在期权合约到期前的任何时点执行 权利，而欧式期权则仅可在到期日执行权利。 事实上，在运用二叉树方法求当前的期权价格时，前提假设条件是期权的定价者 ，对于二叉树上所有节点上的信息是知道的。求美式期权的当前价格时，在每个 二叉树的节点上，期权持有者可以有两个价格选择，一个是立刻执行期权获得收 益，另一个选择是持有期权继续等待，继续等待相当于选择了与欧式期权一样的 期望价值。这样，美式期权的价格计算与欧式期权的价格计算的路径基本相同， 都是由期末的期权价值向后递推而来的。不同之处是在每一个节点处，期权的持 有者可以选择上述两种收益中的较大者作为向后递推的价格依据。
V0 ert p*Vu (1 p* )Vd
p* e rt d ud
5
二、看涨期权单步二叉树模型
金融工程课程

Black-Derman-Toy 模型Black-Derman-Toy 二义树及期限结构模型与股票期权相似，利率衍生产品都是倚靠其目标物-利率。

而利率期限结构是某个时点不同期限的利率所组成的一条曲线。

它是资产定价、金融产品设计、保值和风险管理、套利以及投机等的基准，也是中央银行控制短期利率变化以影响中长期利率变化的传递机制。

而单因素利率期限结构模型，瞬时短期利率r t 是起着决定性作用的内生变量。

根据市场期望假设，中长期利率等于未来相应时期内瞬时短期利率总和的期望。

而其衍生产品的价格便可根据此短期利率在风险中性下定价f 0=E (e −∫r t dt T 0f T |r 0) (1)在公式(1)，期权的未来收益f T 是会根据产生出来到期利率进行评估。

已近代的方法则会以Health, Jarrow, and Morton 的无套利定价方法进行。

在期权定价上，以上的用树式方法便足够将风险中性的短期利率同现实的利率曲线比较。

而Black-Derman-Toy 因此发展出一个简单的二义树模型校正现实零息债券的利率期限结构及波动率.BDT 模型发展出结合将风险中性的短期利率的二义树及特定时间Δt ，如图1(a) 。

图1：(a) BDT 二义树模型结合树交叉点。

(b) 使用风险中性作为期权定价的单一个BDT 分支树在时间t=i Δt ，由上到下会有t+1个交叉点及短期利率r ij 而j 则由0到i 为止。

而其则代表按年计一个周期利率以最短可以借到的期限Δt 由t 到t+Δt 。

BDT 树则跟从Jarrow and Rudd 到参数设定及概率为p=12。

普遍来说，向上及向下的因素会倚赖时间及其相关短期利率的值。

假设设定为一个non-stochastic 结构的短期利率的波动率，就可表示其关系为时间及每一步骤i 时整个列里的短期利率都可设置为两个因素r ij =αi (βi )j (2)公式(1)，BDT 树提供一个工具用来评估利率期权在风险中性的定价。

梦特卡罗期权价格计算欧洲看涨不派息股票期权我会将之前介绍到技巧应用在不派息的欧洲看涨期权上。

分别是控制変量方法CMcEuropeanCall()程序- 请参考源代码OP02，对偶変量法AMcEuropeanCall()程序-请参考源代码OP03及原模拟McEuropeanCall()程序- 请参考源代码OP04，。

当分别输入资料{S0, K, r, σ, T, n}，而经由读取程序readData() -请参考源代码OP01后。

而readData()程序会分别将资料放到以上三个不同方法的程序里，最后结果会输回其期权现价及标准误差到readData()程序。

在全部程序里，随机抽样数ɛ会由StdNormNum()函数产生，并由此根据(FOP.16)带出抽様的到期价格S T(ɛ)。

就对偶変量法，在相同的随机数上加上负数即可S T(-ɛ)。

相同的数值在不同函数，引用不同公式(FOP.18), (FOP.19) 及(FOP.21)里运作后评估。

根据(FOP.2),其均值及方差的现值可将每个抽祥数分别加起来及将其倍乘即可,其可以一个小回路程序由1到n项。

可以更简单的将(FOP.2)的方差计算用以下方式表达S2=1n+1∑gni=12(xi)-nn−1m2(FOP.25)此两个流程都可以在估算期权现价时得出其均值。

在控制变量法，一定要时刻记者将S0包括在均值估算上当为控制变量(FOP.20)的解决方法。

在评估过程里的标准误差可以根据在方差计算时的附加因子1/√n所找出。

Sub readData()Dim assetPrice As Double: assetPrice = Cells(2, 2)Dim strike As Double: strike = Cells(3, 2)Dim maturity As Double: maturity = Cells(4, 2)Dim riskFree As Double: riskFree = Cells(5, 2)Dim sigma As Double: sigma = Cells(6, 2)Dim nsample As Long: nsample = Cells(7, 2)Dim optionPrice As DoubleDim stdEr As Doubleseed = 5678Call McEuropeanCall(assetPrice, strike, riskFree, sigma, maturity, nsample, optionPrice, stdEr)Cells(9, 2) = optionPriceCells(10, 2) = stdErCall CMcEuropeanCall(assetPrice, strike, riskFree, sigma, maturity, nsample, optionPrice, stdEr)Cells(9, 3) = optionPriceCells(10, 3) = stdErCall AMcEuropeanCall(assetPrice, strike, riskFree, sigma, maturity, nsample, optionPrice, stdEr)Cells(9, 4) = optionPriceCells(10, 4) = stdErEnd Sub源代码OP01: 读取基本期权资料程序Sub CMcEuropeanCall(assetPrice As Double, strike As Double, riskFree As Double, sigma As Double, maturity As Double, nsample As Long, ByRef optionPrice As Double, ByRef stdEr As Double)Dim sum01 As Double, sum02 As Double, Vnum As DoubleDim mean As Double, Vd As Double, Vs As LongDim sT As Double, fT As Double, pV As Doublesum01 = 0sum02 = 0For Vs = 1 To nsampleVnum = StdNormNum()sT = assetPrice * Exp((riskFree - 0.5 * sigma ^ 2) * maturity + sigma * Sqr(maturity) * Vnum)fT = CallPayoff(strike, sT) - sTpV = Exp(-riskFree * maturity) * fTsum01 = sum01 + pVsum02 = sum02 + pV * pVNext Vsmean = sum01 / nsampleVd = Sqr(sum02 / (nsample - 1) - (nsample / (nsample - 1)) * mean ^ 2)optionPrice = assetPrice + meanstdEr = Vd / Sqr(nsample)End Sub源代码OP02: 欧州看涨期权控制変量法梦特卡罗模拟程序Sub AMcEuropeanCall(assetPrice As Double, strike As Double, riskFree As Double, sigma As Double, maturity As Double, nsample As Long, ByRef optionPrice As Double, ByRef stdEr As Double)Dim sum01 As Double, sum02 As Double, Vnum As DoubleDim mean As Double, Vd As Double, Vs As LongDim sT As Double, sTa As Double, fT As Double, pV As Doublesum01 = 0sum02 = 0For Vs = 1 To nsampleVnum = StdNormNum()sT = assetPrice * Exp((riskFree - 0.5 * sigma ^ 2) * maturity + sigma * Sqr(maturity) * Vnum)sTa = assetPrice * Exp((riskFree - 0.5 * sigma ^ 2) * maturity + sigma * Sqr(maturity) * (-Vnum))fT = (CallPayoff(strike, sT) + CallPayoff(strike, sTa)) / 2pV = Exp(-riskFree * maturity) * fTsum01 = sum01 + pVsum02 = sum02 + pV * pVNext Vsmean = sum01 / nsampleVd = Sqr(sum02 / (nsample - 1) - (nsample / (nsample - 1)) * mean ^ 2)optionPrice = meanstdEr = Vd / Sqr(nsample)End Sub源代码OP03: 欧州看涨期权对偶変量法梦特卡罗模拟程序Sub McEuropeanCall(assetPrice As Double, strike As Double, riskFree As Double, sigma As Double, maturity As Double, nsample As Long, ByRef optionPrice As Double, ByRef stdEr As Double)Dim sum01 As Double, sum02 As Double, Vnum As DoubleDim mean As Double, Vd As Double, Vs As LongDim sT As Double, fT As Double, pV As Doublesum01 = 0sum02 = 0For Vs = 1 To nsampleVnum = StdNormNum()sT = assetPrice * Exp((riskFree - 0.5 * sigma ^ 2) * maturity + sigma * Sqr(maturity) * Vnum)fT = CallPayoff(strike, sT)pV = Exp(-riskFree * maturity) * fTsum01 = sum01 + pVsum02 = sum02 + pV * pVNext Vsmean = sum01 / nsampleVd = Sqr(sum02 / (nsample - 1) - (nsample / (nsample - 1)) * mean ^ 2)optionPrice = meanstdEr = Vd / Sqr(nsample)End Sub源代码OP04: 欧州看涨期权原梦特卡罗模拟程序Public seed As LongFunction StdNormNum() As DoubleDim v1 As Double, v2 As Double, w As Double, fac As DoubleDim snnUse As DoubleStatic flagSave As Integer: If IsEmpty(flagSave) Then flagSave = 0Static snnSave As DoubleIf (flagSave = 0) ThenNewTrial:v1 = 2# * ran0() - 1#v2 = 2# * ran0() - 1#w = v1 ^ 2 + v2 ^ 2If (w >= 1#) Then GoTo NewTrialfac = Sqr(-2# * Log(w) / w)snnSave = fac * v1snnUse = fac * v2flagSave = 1ElsesnnUse = snnSaveflagSave = 0End IfStdNormNum = snnUseEnd FunctionFunction ran0() As DoubleDim IA As Long: IA = 16807Dim IM As Long: IM = 2147483647Dim IQ As Long: IQ = 127773Dim IR As Long: IR = 2836Dim MASK As Long: MASK = 123459876Dim AM As Double: AM = 1# / IMDim k As Longseed = seed Xor MASKk = seed / IQseed = IA * (seed - k * IQ) - IR * kIf (seed < 0) Then seed = seed + IMran0 = AM * seedseed = seed Xor MASKEnd FunctionFunction CallPayoff(strike As Double, assetPrice As Double) As DoubleCallPayoff = Max(assetPrice - strike, 0)End FunctionFunction Max(x As Double, y As Double) As DoubleIf x > y Then Max = x Else Max = yEnd Function源代码OP05: 随机抽样数函数产生器及看涨期权净值函数m=12n ∑gni=1(x i) and S2=1n+1∑(gni=1(x i)- m)2(FOP.2)S T=S0exp((r-1/2σ2)T+σ√Tɛ(0,1)) (FOP.16) n r(ɛ)=max{S T(ɛ)-K, 0} (FOP.18) ńr(ɛ)=max{S T(ɛ)-K, 0} - S T(ɛ) (FOP.19)n0=S0+Ê(e-rTńr |S0) (FOP.20) ňr(ɛ)=1/2[max{S T(ɛ)-K, 0} +max{S T(-ɛ)-K, 0}] (FOP,21)欧洲看涨派息股票期权现在考虑欧洲看涨派息股票期权的计算方法，假知它支付的股息是{D1, … , D n}而支付时间为{t1, … , t n=T}。

39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹42、只有ຫໍສະໝຸດ 人群中间，才能认识自 己。——德国
期权定价B-S模型-11补充资料
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联

期权定价的B-S模型-11补充资料
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿

3.72 ln ST 4.27
41.09 ST 71.41
因此， 6 个月 A 股票价格落在 41.09 元到 71.41 元之间的概率
为 95% 。
30
半年后，A 股票价格的期望值为 54.71 元，标准差为 60.46 或
7.78 。
E ST 50e0.180.5 54.71
2


dGt d ln St dt dz t
2


服从期望值
d ln St


说明连续复利收益率
正态分布
注意：
d ln St


dt
2
2
方差为
2
dt 的
dSt
St
21
应用2 ： F 所遵循的随机过程
假设变量 S 服从几何布朗运动，r为常数
dSt Stdt Stdz t
几何布朗运动：扩散过程的特例
= +
其中 µ 和 σ 均为常数
一般用几何布朗运动描述股票价格的随机过程
可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾的问题
几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态分布，这与实际较
为吻合。
14
伊藤引理
若变量 x 遵循伊藤过程，
= +

F

S
e
由于 t t
r T t
，则
F rT t 2 F
F
e
, 2 0,
rFt
S
S
t
运用伊藤引理可得
dFt r Fdt
Fdz
t
t
t

11－0.5=9
=0.25
因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。 无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。
17
假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应为：
2.25e 0.10.25 2.19元
由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多 头，而目前股票市场为10元，因此：
假设变量S服从 dS Sdt Sdz
其中μ和σ都为常数，则lnS遵循怎样的随机过程？
由于μ和σ是常数，S显然服从 a(S,t) S，b(S,t) S的伊藤过程，我们可
以运用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程。
令G ln S，则
G
1 2G ,
1
, G
0
S S S 2 S 2 t
代入式dG ( G a G 1 2G b 2 )dt G bd我z 们就可得到 G ln S 所
t 2 S 2
15
f (
1
2 f
2 S 2 )t
中不含任何风险源，因此组合 必须
获得无风t险2收S益2 ，即 rt
代入上式可得
**这(就ft 是12 S著2 f2 名2 S的2 )布t 莱r( f 克 —Sf S)—t 舒化尔简斯为微ft分 r分S 程Sf ，12 它2 S适2 用S2 f2 于 rf其价
格G是标的证券价格S和时间t的函数G(S,t)，根据伊藤引理，衍生证券的
价格G应遵循如下过程：
dG ( G S G 1 2G 2 S 2 )dt G Sdz
S
t 2 S 2
S
比较（9.1）和（9.11）可看出，衍生证券价格G和股票价格S都受
同一个不确定性来源dz的影响，这点对于以后推导衍生证券的定价公式

Black-Derman-Toy 模型Black-Derman-Toy 二义树及期限结构模型与股票期权相似，利率衍生产品都是倚靠其目标物-利率。

而利率期限结构是某个时点不同期限的利率所组成的一条曲线。

它是资产定价、金融产品设计、保值和风险管理、套利以及投机等的基准，也是中央银行控制短期利率变化以影响中长期利率变化的传递机制。

而单因素利率期限结构模型，瞬时短期利率r t 是起着决定性作用的内生变量。

根据市场期望假设，中长期利率等于未来相应时期内瞬时短期利率总和的期望。

而其衍生产品的价格便可根据此短期利率在风险中性下定价f 0=E (e −∫r t dt T 0f T |r 0) (1)在公式(1)，期权的未来收益f T 是会根据产生出来到期利率进行评估。

已近代的方法则会以Health, Jarrow, and Morton 的无套利定价方法进行。

在期权定价上，以上的用树式方法便足够将风险中性的短期利率同现实的利率曲线比较。

而Black-Derman-Toy 因此发展出一个简单的二义树模型校正现实零息债券的利率期限结构及波动率.BDT 模型发展出结合将风险中性的短期利率的二义树及特定时间Δt ，如图1(a) 。

图1：(a) BDT 二义树模型结合树交叉点。

(b) 使用风险中性作为期权定价的单一个BDT 分支树在时间t=i Δt ，由上到下会有t+1个交叉点及短期利率r ij 而j 则由0到i 为止。

而其则代表按年计一个周期利率以最短可以借到的期限Δt 由t 到t+Δt 。

BDT 树则跟从Jarrow and Rudd 到参数设定及概率为p=12。

普遍来说，向上及向下的因素会倚赖时间及其相关短期利率的值。

假设设定为一个non-stochastic 结构的短期利率的波动率，就可表示其关系为时间及每一步骤i 时整个列里的短期利率都可设置为两个因素r ij =αi (βi )j (2)公式(1)，BDT 树提供一个工具用来评估利率期权在风险中性的定价。

Contents
Option Pricing Models
Plain Vanilla Options
1 The generalized Black and Scholes option pricing formula 2 Options on a stock with cash dividens 3 The Black and Scholes model adjusted for trading day volatility 4 The jump diffusion model 5 American calls on stocks with known dividends 6 American approximations, The Barone-Adesi and Whaley model, and The Bjerksund and Stensland model 7 The Miltersen and Schwartz commodity option model
Interest Rate Options
44 Swaptions 45 The Vasicek model
Page 1
Contents
All manual input in blue on white All output in read on grey Information on yellow background used for drop-down menus
Page 2
Contents and Stensland mod
8 Executive stock options 9 Forward start options 10 Time switch options 11 Chooser options 12 Options on options 13 Writer extendible options 14 Two asset correlation options 15 Exchange one asset for another options 16 Exchange options on exchange options 17 Options on the maximum or the minimum of two risky assets 18 Spread option approximation 19 Floating strike lookback options 20 Fixed strike lookback options 21 Partial-time floating strike lookback options 22 Partial-time fixed strike lookback 23 Extreme spread options 24 Standard barrier options 25 Double barrier options 26 Partial-time single asset barrier options 27 Two asset barrier options 28 Partial-time two asset barrier options 29 Look-barrier options 30 Soft-barrier options 31 Gap options 32 Cash-or-nothing options 33 Two asset cash-or-nothing options 34 Asset-or-nothing options 35 Supershare options 36 Binary barrier options 37 Geometric average rate options 38 Arithmetic average rate options: The Turnbull and Wakeman approximation 39 Arithmetic average rate options: Levy's approximation 40 Foreign equity options struck in domestic currency 41 Fixed exchange rate foreign equity options 42 Equity linked foreign exchange options 43 Takeover foreign exchange options

2018/12/24
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一般来讲，期权剩余有效期越长，其时间价值越大，
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Copyright©Zhao Shuran 2009, Department of Finance, Ocean University of China
无风险利率
无风险利率上升 标的资产的预期收益率增加； 利率上升将提高贴现率，降低未来收益（执行期 权后的收益）的现值，即使得期权费下降 对于买权来说，前一种作用是有利的，后一
种作用是不利的。一般地，前者作用大，利 率越高，买权的价值越高。 对于卖权来说，这两种作用都是不利的，因 此，利率越高，卖权的价值越低。
2018/12/24
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三、期权价格的上、下限
（一）期权价格的上限 1、看涨期权价格的上限 c St , C St
（5.1）
其中，c：欧式看涨期权价格，C：美式看涨
期权价格，St：标的资产价格
否则，套利者就可以通过买入标的资产并卖
出看涨期权来获取无风险利润 。
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2、看跌期权价格的上限
期权定价
期权价格的特性 布莱克-斯科尔斯期权定价模型 二叉树期权定价模型

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风险中性定价法：例子II
• 假设一种不支付红利股票目前的市价为10 元，我们知道在3个月后，该股票价格或者 为11元，或者为9元。假设选择的无风险年 利率为10%，如何为一份3个月期协议价格 为10.5元的该股票看涨期权定价？
Copyright © 2011 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong
• 变量 p和 (1 – p ) 可以解释为股票价格上升和下降的风
险中性概率
• 衍生证券的价值就是它的到期时刻的期望收益的现值
2020/5/14
Su
S
ƒu
ƒ
Sd
ƒd
陕西科技大学理学院
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最初例子的修正
Su = 11
ƒu = 0.5
S
ƒ
Sd = 9
ƒd = 0
• 由于 p 是风险中性概率，所以 10e0.1*0.25 = 11p + 9(1 – p ); p = 0.6266
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复制定价法：例子I
• 该组合的现值应为
2.25e0.10.25 2.19元
• 由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25
单位股票多头，而目前股票市价为10元，
因此
10 0.25 f 2.19
f 0.31元
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请回顾在前面式（６）中，已经给出求解相对 价格期望值的表达式。如果我们以
r 2
2
则可以将公式（６）改写为如下形式：
E
St S0
e rt
据此，我们可以将公式（５）表述如下：
E[ln
St S0
]