频率的稳定性(一)-教案

北师大版数学七年级下册《非等可能事件频率的稳定性》教案一. 教材分析北师大版数学七年级下册《非等可能事件频率的稳定性》一课，主要让学生理解利用频率估计概率，通过大量实验，总结非等可能事件发生的频率稳定性，为学生提供利用概率解决实际问题的方法。

教材通过生活实例，引导学生发现非等可能事件频率的稳定性，进而引导学生利用这个性质解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本课之前，已经学习了概率的基本概念，如必然事件、不可能事件、随机事件等，对利用频率估计概率有一定的了解。

但学生对非等可能事件频率稳定性的理解还不够深入，需要通过实例让学生感受和理解这个概念。

三. 教学目标1.让学生理解非等可能事件频率的稳定性，学会利用频率估计概率。

2.培养学生解决实际问题的能力，提高学生对概率知识的理解和应用。

3.培养学生合作学习、积极探讨的精神，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.非等可能事件频率稳定性的理解。

2.如何利用频率估计概率。

五. 教学方法采用探究式教学法、情境教学法和小组合作学习法，引导学生通过实例感受和理解非等可能事件频率的稳定性，培养学生解决实际问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的生活实例，如抽奖活动、投篮等。

2.准备实验材料，如球、卡片等。

3.制作课件，辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个抽奖活动实例，引导学生关注非等可能事件。

提出问题：“在抽奖活动中，不同奖项的抽取概率是否相等？”让学生思考并回答。

2.呈现（10分钟）呈现几个非等可能事件的实例，如投篮、掷骰子等。

让学生观察并分析这些实例中，事件发生的频率是否稳定。

3.操练（10分钟）分组进行实验，每组选取一个非等可能事件进行观察和记录。

让学生自己发现事件频率的稳定性，并总结规律。

4.巩固（5分钟）让学生举例说明如何利用频率估计概率，教师进行点评和指导。

5.拓展（5分钟）引导学生思考：在实际生活中，如何运用非等可能事件频率的稳定性解决概率问题。

北师数学七年级下质课教案 频率的稳定性第1课时 频率及其稳定性教学目标一、基本目标1．通过试验理解当试验次数较大时，试验频率稳定在某一常数附近，并据此能估计出某一事件发生的频率．2．通过对实际问题的分析，培养使用数学的良好意识，体验数学的应用价值，发展学生的应用数学的能力．3．在活动中进一步发展学生合作交流的意识与能力，发展学生的辩证思维能力． 二、重难点目标 【教学重点】估计某一事件发生的频率． 【教学难点】大量重复试验得到频率的稳定值的分析．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P140～P142的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．在n 次重复试验中，事件A 发生了m 次，则比值m n称为事件A 发生的频率． 2．一般地，在试验次数很大时，某事件发生的频率会在一个常数附近摆动，即该事件发生的频率具有稳定性．3．投掷硬币m 次，正面向上n 次，其频率p ＝n m，则下列说法正确的是( D ) A ．p 一定等于12B ．p 一定不等于12C ．多投一次，p 更接近12D ．投掷次数逐步增加，p 稳定在12附近4．在综合实践活动中，小明、小亮、小颖、小菁四位同学用投掷一枚图钉的方法估计顶尖朝上的可能性，他们的试验次数分别为20次、50次、150次、200次，其中，小菁的试验相对科学．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共60只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七(4)班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：(2)请估计：当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近________.(精确到0.1)【互动探索】(引发学生思考)(1)用摸到红球的次数除以摸球的次数，得到摸到红球的频率；(2)从上面的试验可以发现，虽然每次摸出的结果是随机的、无法预测的，但随着试验次数的增加，摸到红球的频率将会接近0.3.【解答】(1)0.33 0.301 0.298 0.301(2)0.3【互动总结】(学生总结，老师点评)熟记频率的定义和稳定性是解此题的关键．【例2】一个不透明的盒子里装有除颜色外其他都相同的红球6个和白球若干个，每次随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到红球的频率稳定在0.3左右，则盒子中白球可能有( )A．12个B．14个C．18个D．20个【互动探索】(引发学生思考)设袋中白球的个数为a.根据题意，得0.3＝6a＋6，解得a ＝14.故盒子中白球可能有14个．【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)本题也可以直接用红球的个数除以得到红球的频率求得球的总个数，再减去红球的个数．活动2 巩固练习(学生独学)1．某种彩票的中奖机会是1%，下列说法正确的是( D )A．买一张这种彩票一定不会中奖B．买一张这种彩票一定会中奖C．买100张这种彩票一定会中奖D．当购买彩票的数量很大时，中奖的频率稳定在1%2．在一个不透明的塑料袋中装有红色、白色球共80个，除颜色外其他都相同，小明将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回塑料袋中，通过大量重复试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在30%附近，则塑料袋中白色球的个数为( A ) A．24 B．30C．50 D．563．一粒木质的中国象棋子“车”，它的正面雕刻一个“车”字，它的反面是平的．将它从一定高度掷下，落地反弹后可能是“车”字面朝上，也可能是“车”字面朝下．七年级某试验小组做了掷棋子的试验，试验数据如下表：试验次数2080100160200240300360400 “车”字朝上的频数14485084112144172204228 相应的频率0.700.600.530.560.600.57(1)请将数据表补充完整；(2)根据上表，画出“车”字面朝上的频率的折线统计图；(3)如将试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将稳定在多少？解：(1)0.50 0.57 0.57(2)根据题意画图如下：(3)如将试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将稳定在0.57左右．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评) 1．频率的定义在n 次重复试验中，事件A 发生了m 次，则比值m n称为事件A 发生的频率． 2．频率的稳定性练习设计请完成本课时对应练习！第2课时 用频率估计概率教学目标一、基本目标1．知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值．2．在具体情境中理解并掌握概率的意义，能根据某些事件发生的频率来估计该事件发生的概率．3．让学生经历“猜想试验——收集数据——分析结果”的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型，初步理解频率与概率的关系．二、重难点目标 【教学重点】根据某些事件发生的频率来估计该事件发生的概率． 【教学难点】理解频率与概率的关系．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P143～P145的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．概率：用常数来表示事件A 发生的可能性的大小，我们把刻画事件A 发生的可能性大小的数值，称为事件A 发生的概率，记为P (A ).2．一般地，大量重复试验中，我们常用随机事件A 发生的频率来估计事件A 发生的概率． 3．必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；随机事件A 发生的概率P (A )是0与1之间的一个常数.4．用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，下列说法正确的是( D )A ．种植10棵幼树，结果一定有9棵幼树成活B．种植100棵幼树，结果一定是90棵幼树成活和10棵幼树不成活C．种植10n棵幼树，恰好有n棵幼树不成活D．种植n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.95．在一次统计中，调查英文文献中字母E的使用率，在几段文献中，统计字母E的使用数据得到下列表中部分数据：文献字母个数字母E的个数字母E的使用率9821210.12311 2379030.080534 40652 3810.09833 569 792 3 411 0790.102108 274 953107 192 2010.992 195 680 075220 665 8470.101(1)请将上表补充完整；(2)通过计算表中数据可以发现，字母E的使用频率在0.1左右摆动，并且随着统计数据的增加，这种规律愈加明显，所以估计字母E在文献中使用概率是0.1.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例题】随机掷一枚图钉，落地后只能出现两种情况：“钉尖朝上”和“钉尖朝下”．这两种情况的可能性一样大吗？(1)求真小组的同学们进行了试验，并将试验数据汇总填入下表.试验总次数n 204080120160200240280320360400 “钉尖朝上”的次数m4123260100140156196200216248“钉尖朝上”m 的频率n 0.20.30.40.50.6250.70.650.7①②③请补全表格：①______，②______，③______；(2)为了加大试验的次数，老师用计算机进行了模拟试验，将试验数据制成如图所示的折线图．据此，同学们得出三个推断：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖朝上”的次数是308，所以“钉尖朝上”的概率是0.616；②随着试验次数的增加，“钉尖朝上”的频率在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，据此估计“钉尖朝上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟试验，当投掷次数为1000时，则“钉尖朝上”的次数一定是620次．其中合理的是________；(3)向善小组的同学们也做了1000次掷图钉的试验，其中640次“钉尖朝上”．据此，他们认为“钉尖朝上”的可能性比“钉尖朝下”的可能性大．你赞成他们的说法吗？请说出你的理由．【互动探索】(引发学生思考)(1)根据频率的定义求解可得；(2)根据频率估计概率判断即可；(3)根据概率的意义，结合题意可得答案．【解答】(1)0.625 0.6 0.62(2)②(3)赞成．理由：随机投掷一枚图钉1000次，其中“针尖朝上”的次数为640，“针尖朝上”的频率为0.64，试验次数足够大，足以说明“钉尖朝上”的可能性大，故赞成他们的说法．【互动总结】(学生总结，老师点评)用一个事件发生的频率估计这一事件发生的概率时，两者之间总存在一定的差异．当试验次数很多时，随机事件出现的频率稳定在相应的概率附近．活动2 巩固练习(学生独学)1．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果，这么球员投篮一次，投中的概率约是( C )C．0.5 D．0.42．口袋中有9个球，其中4个红球、3个蓝球、2个白球．在下列事件中，发生的可能性为1的是( C )A．从口袋中拿一个球恰为红球B．从口袋中拿出2个球都是白球C．拿出6个球中至少有一个球是红球D．从口袋中拿出的球恰为3红2白3．甲、乙两位同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是( D )A ．掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率B ．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率C ．任意写出一个整数，能被2整除的概率D ．一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)利用频率估计概率⎩⎨⎧概率的意义事件的概率⎩⎪⎨⎪⎧ P 必然事件＝1P 不可能事件＝00<P 随机事件<1练习设计请完成本课时对应练习！。

25.3 用频率估计概率〔肖莲琴〕一、教学目标 〔一〕学习目标1．通过掷硬币、掷图钉，经历猜想、试验、收集数据、分析结果的过程，体会当试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性，开展学生根据频率的集中趋势估计概率的意识． 2．在生活实际问题中进一步体会利用频率的集中趋势估计概率，开展学生应用数学的能力． 〔二〕学习重点通过试验操作理解频率的稳定性. 〔三〕学习难点能根据频率的集中趋势估计概率，并理解概率与频率之间的关系. 二、教学设计 〔一〕课前设计 1．预习任务〔1〕频率：在n 次重复试验中，不确定事件A 发生了m 次，那么比值_____称为事件A 发生的频率．概率：刻画事件A 发生的可能性 大小 的数值称为事件A 发生的概率．〔2〕掷一枚质量均匀的硬币时会出现 正面向上 和 反面向上 两种结果，这两种结果发生的可能性是 一样的 ．准备一枚均匀的一元硬币，随机掷10次，并将你的结果记录在下表中：〔3〕阅读教材第142随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动，显示出一定的 稳定性 ，因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的 概率 ． 2．预习自测〔1〕色盲是伴X 染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随mn机抽取体检表，统计结果如下表：根据上表，估计在男性中，男性患色盲的概率为〔〕【知识点】频率的稳定性【解题过程】解：观察表格中频率的变化规律，当试验次数较大时，频率稳定在0.07附近，因此可以估计男性患色盲的概率为0.07.【思路点拨】并观察频率的变化规律【答案】B〔2〕关于频率和概率的关系，以下说法正确的选项是〔〕A．频率就是概率B．频率等于概率C．当试验次数很大时，频率稳定在概率的附近D．因为掷硬币出现正面向上的概率是0.5，所以抛掷一枚均匀硬币10次，一定出现5次正面向上【知识点】频率与概率的关系【解题过程】解：A频率是试验值，由试验结果断定；概率是理论值，由事件本质决定，因此说法错误；B屡次重复试验中频率稳定在概率附近，不一定相等，因此说法错误；C在屡次重复试验中，频率会稳定在概率的附近，说法正确；D试验次数较少，偶然性较大，因此说法错误.【思路点拨】理清频率与概率的区别与联系：频率是个试验值，试验结果不一样频率也就不一样，频率只能近似地反映事件发生的可能性的大小；而概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值，概率能准确的反映事件发生的可能性的大小．在屡次重复试验中，频率会稳定在概率的附近，因此可以用屡次重复试验中的频率估计概率．【答案】C〔3〕在一个不透明的袋子里装有除颜色以外均一样的8个黑球，4个白球，假设干个红球，每次摇匀以后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋子中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋子中的红球有〔 〕个. A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 【知识点】频率估计概率【解题过程】解：设袋子中红球有x ∴4.048=++xx，解得x ＝8．【思路点拨】大量重复试验中，摸到红球的频率稳定于0.4，因此可以推测摸到红球的概率也为0.4，再根据概率的计算公式可得红球数量． 【答案】B（4）某乳业集团位于内蒙古天然草场的养牛基地共有4500头牛，饲养员为了了解清楚公牛和母牛的比例，随机捕捉了200头牛做调查，发现其中母牛有180头，请估算该养牛基地共有〔 〕头公牛.A ．500B ．4050C ．3200D ．450 【知识点】频率与概率的关系【解题过程】解：在随机捕捉的200头牛中公牛数量为200-180=20头，那么估计该养牛场公牛占比为20÷200×100%=10%，估计公牛总量为4500×10%=450头. 【思路点拨】随机样本中的公牛比例与整个养牛基地的公牛比例近似相等. 【答案】D 〔二〕课堂设计 1．知识回忆〔1〕在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求随机事件的概率． 〔2〕我们常用列表和树状图两种方法列举试验的结果． 【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫. 2．问题探究探究一 通过频率估计概率〔★，▲〕 ●活动① 以旧引新教师提问引入：周末，在我市体育馆有一场精彩的篮球比赛，但是教师手里只有一张票，作为篮球迷的小强和小明都想去，这样教师很为难．请大家帮教师想一个公平的方法，来决定把这张票给谁．学生：抓阄、抽签、猜拳、掷硬币、……教师对学生较好的想法予以肯定，并从中抽选出掷硬币的方法． 师追问：为什么要用掷硬币的方法呢？生答：掷硬币公平，能保证小强和小明得到球票的可能性一样大．师问：用掷硬币的方法分配球票是一个随机事件，尽管事先不能确定结果是“正面向上〞还是“反面向上〞，但大家很容易感受到这两种随机事件的发生的可能性是一样，各为0.5，所以对于小强和小明来说这个方法是公平的．但是，我们的直觉是可靠的吗？掷硬币出现“正面向上〞和“反面向上〞的可能性真的是相等的吗？有什么方法可以验证呢？ ●活动② 大胆操作，探究新知掷硬币，观察随着抛掷次数的增加，“正面向上〞的频率nm的变化趋势 师问：课前，我们每个同学都进展了掷硬币的试验，并计算了“正面向上〞的频率，你有什么发现呢？汇总你们小组的抛掷数据你又有什么发现呢？如果将我们全班的数据统计起来又能发现什么呢？现在，我们就将每个组掷硬币的数据累计到excel 表格中〔见附件1〕：抛掷次数n50 100 150 200 250 300 350 400 “正面向上〞的频数m “正面向上〞的频率nm根据数据自动生成折线统计图：师问：随着试验次数的增加，“正面向上〞的频率nm有什么规律？ 学生观察折线统计图 生1答：频率nm 生2答：试验次数比拟小时，频率n m 波动比拟大，但试验次数较大时，频率n m比拟稳定 生3答：随着试验次数的增大，频率nm【设计意图】从学生们熟悉的掷硬币活动入手，既简单易操作，且更容易使学生看出频率稳定在0.5的附近，也即是概率的附近．●活动③ 掷图钉，观察随着抛掷次数的增加，“针尖向上〞的频率nm的变化趋势． 师问：可能有同学会觉得教师用大量重复试验的方法得到掷一枚硬币出现“正面向上〞的概率未免也太大费周章了，而且最终还只是一个概率的近似值！谁都知道掷一枚硬币出现“正面向上〞的概率为0.5，那么这种用试验的方法求随机事件的概率还有什么优点呢？ 师问：〔拿出一枚图钉〕大家知道随机抛掷一枚图钉出现“针尖向上〞的概率是多少吗？ 生答：不知道〔假设有答复“针尖向上〞概率为0.5的，需要教师及时引导由于图钉不是均匀物体，所以“针尖向上〞和“针尖向下〞两种事件的结果出现的可能性不一样大〕 师问：你能想方法得到“针尖向上〞的概率吗？学生小组讨论，设计方案：类似抛掷硬币的活动，通过大量重复试验的频率估计“针尖向上〞的概率．小组合作，得到抛掷50次图钉的数据．教师累计全班数据到excel 表格中〔见附件2〕：根据数据自动生成折线统计图：师问：随着试验次数的增加，“针尖向上〞的频率nm有什么规律？ 学生观察折线统计图 生1答：频率nm约等于…… 生2答：试验次数比拟小时，频率n m 波动比拟大，但试验次数较大时，频率n m比拟稳定 生3答：随着试验次数的增大，频率nm稳定在……的附近【设计意图】生活中有很多等可能性事件，不用试验也可以通过列举法理论分析出它发生的概率，但也有很多类似掷图钉的事件，它们不是等可能性试验，那它们发生的概率该如何得到呢？因此设计了本活动，鼓励学生合作探究，通过不熟悉的掷图钉活动，进一步感受当试验次数很大时，频率会稳定在一个固定的值的附近，因此可以用大量重复试验的频率估计概率． 总结：〔1〕随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动，显示出一定的稳定性，这个固定的数就是随机事件发生的概率，因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．〔2〕概率与频率之间是有区别和联系的：①区别：频率是个试验值，试验结果不一样频率也就不一样，频率只能近似地反映事件发生的可能性的大小；而概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值，概率能准确的反映事件发生的可能性的大小．②联系：可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．〔3〕用试验法通过频率估计概率的方法可以不受“各种结果出现的可能性相等〞的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大． 探究二 频率估计概率在生活实际问题中的应用 ●活动① 根底性例题例1 一个袋子中有两个黄球，三个白球，它们除颜色外均一样，小明随机从袋子中摸出一个球，恰好摸到了一个白球，那么以下说法正确的选项是〔 〕 A ．小明从袋子中取出白球的概率是1 B ．小明从袋子中取出黄球的概率是0 C ．这次试验中，小明取出白球的频率是1D ．由这次试验的频率可以去估计取出白球的概率是1 【知识点】频率与概率的关系【解题过程】A ．小明从袋子中取出白球的概率是53，故A 选项错误；B ．小明从袋子中取出黄球的概率是52，故B 选项错误；C ．这次试验里，一共摸了1次球，恰好是白球，所以这次试验中，小明取出白球的频率是1，故C 选项正确；D ．仅进展了一次试验，试验次数太少，频率不能估计概率，故D 选项错误．【思路点拨】此题需理清频率与概率的关系，概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值；频率是个试验值，试验结果不一样频率也就不一样．在大量重复试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动，显示出一定的稳定性，这个固定的数就是随机事件发生的概率，因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．不能将频率、概率混为一谈． 【答案】C练习 抛一枚普通硬币掷得反面向上的概率为21，它表示〔 〕 A ．连续抛掷硬币两次，一定是一次正面朝上，一次反面朝上 B ．每抛掷硬币两次，就一定有一次反面朝上C ．连续抛掷硬币200次，一定会出现100次反面朝上D ．大量反复掷硬币，平均每两次会出现一次反面朝上 【知识点】频率与概率的关系【解题过程】A ．掷两次硬币，偶然性较大，不一定是一次正面朝上，一次反面朝上，故A 选项错误；B ．每抛掷硬币两次偶然性较大，不一定有一次反面朝上，故B 选项错误；C ．连续抛掷硬币200次，试验次数较大，会出现100次左右的反面朝上，但也不能确定是100次，故C 选项错误；D ．大量反复掷硬币，出现反面朝上的频率应该会稳定在0.5的附近，即平均每两次会出现一次反面朝上，故D 选项正确． 【思路点拨】 【答案】D例2 小颖和小红两位同学在学习“概率〞时，做投掷骰子〔质地均匀的正方体〕试验，她们共做了60次试验，试验的结果如下表：〔1〕计算“3点朝上〞的频率和“5点朝上〞的频率；〔2〕小颖说：“根据试验，一次试验中出现5点朝上的概率最大．〞小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．〞小颖和小红的说法正确吗？为什么？ 【知识点】频率的计算；频率与概率的关系【解题过程】〔1〕∵“3点朝上〞出现的次数是8次， ∴“3点朝上〞的频率是152608=； 又∵“5点朝上〞出现的次数是15次， ∴“5点朝上〞的频率是416015= 〔2〕小颖和小红的说法都不正确但是由于60次试验次数较小，频率并不一定稳定在概率的附近，不能直接将此时的频率当成概率，因此小颖的说法是错误的．如果掷600次，虽然试验次数较大，但频率也只是稳定在概率61的附近，约为100次，不一定正好是100次，因此小红的说法也是错误的．【思路点拨】此题一定要弄清频率与概率的关系，理解它们的区别与联系：频率不能简单等同于概率，但试验次数较大时，频率稳定在概率的附近，因此可以用反复试验后的频率估计概率．【答案】见上面解题过程练习 为了看一种图钉落地后针尖着地的概率有多大，小明和小华做了屡次试验，并将结果记录在下表：〔1〕分别计算抛掷次数为50次和200次时，针尖着地的频率；〔2〕根据计算结果，小明认为：“抛掷这种图钉，针尖着地的概率大约是0.45〞，小华认为：“每抛掷100次这种图钉，一定出现45次针尖着地〞．你认为他们的说法正确吗？为什么？【知识点】频率的计算；频率与概率的关系【解题过程】〔1〕∵抛掷50次时，“针尖着地〞的频数是23， ∴“针尖着地〞的频率是46.05023=； 又∵抛掷200次时，“针尖着地〞的频数是89， ∴“针尖着地〞的频率是445.020089= 〔2〕小明的说法正确，因为根据表格中频率的变化趋势，当试验次数增加时，频率稳定在0.45的附近，因此可以估计抛掷这种图钉，针尖着地的概率大约是0.45；小华的说法错误，因为抛掷这种图钉，针尖着地的概率大约是0.45，所以每抛掷100次这种图钉，只能说大约出现45次针尖着地，不能说一定是45次．【思路点拨】此题一定要弄清频率与概率的关系，理解它们的区别与联系：频率不能简单等同于概率，但试验次数较大时，频率稳定在概率的附近，因此可以用反复试验后的频率估计概率．【答案】见上面解题过程【设计意图】对于初学者而言，“频率〞、“概率〞两个词只有一字之差，容易混为一谈，但其实二者是既有区别又有联系的．通过例1、例2及两个练习题，使学生充分理解频率和概率两个概念的含义． ●活动2 提升型例题例1 下表是某机器人做9999次“抛硬币〞游戏时记录下的出现正面朝上的频数和频率.〔1〕由这张频数和频率表可知机器人抛掷完5次时，得到_______次正面朝上，正面朝上出现的频率是________．〔2〕由这个频数和频率表可知机器人抛掷完9999次时，得到次正面朝上，正面朝上出现的频率约是．〔3〕观察上面表格中频率的变化趋势，你能发现什么？【知识点】用频率估计概率【解题过程】〔1〕直接根据表格中的数据可知，机器人抛掷完5次时，有1次正面朝上，正面朝上的频率是20%；〔2〕直接根据表格中的数据可知，机器人抛掷完9999次时，有5006次正面朝上，正面朝上的频率是50.1%；〔3〕观察频率的变化趋势发现：当机器人抛掷次数较小时，出现正面朝上的频率波动较大；当机器人抛掷次数较大时，出现正面朝上的频率比拟稳定，稳定在50%的附近．【思路点拨】试验次数较大时的频率具有稳定性．【答案】〔1〕1 20%〔2〕5006 50.1%〔3〕观察频率的变化趋势发现：当机器人抛掷次数较小时，出现正面朝上的频率波动较大；当机器人抛掷次数较大时，出现正面朝上的频率比拟稳定，稳定在50%的附近．练习一粒木质中国象棋子“兵〞，它的正面雕刻一个“兵〞字，它的反面是平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵〞字面朝上，也可能是“兵〞字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵〞字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如下表：〔1〕请你数据表补充完整；〔2〕如果实验继续进展下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？【知识点】用频率估计概率【解题过程】〔1〕∵试验总次数为40，而“兵〞字面朝上的频率为0.45，∴“兵〞字面朝上的频数＝40×0.45＝18又∵试验总次数为120，而“兵〞字面朝上的频数为66，∴〔2〕观察表格中频率的变化趋势，随着试验次数的增加，“兵〞字面朝上的频率逐渐稳定在0.55的附近，因此估计“兵〞字面朝上的概率为0.55．【思路点拨】试验次数较大时的频率具有稳定性，因此可以用大量重复试验下的频率估计概率．例2 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全一样的球，这a个球中只有3个红球．假设每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，那么a的值大约为____．【知识点】用频率估计概率、古典概型概率计算方法【解题过程】由于通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，所以，摸到红球的概率就为20%．因为，一共有a个除颜色外完全一样的球，其中只有3个红球所以，摸到红球的概率为3=a20%解得：a＝15所以，a的值为15【思路点拨】抓住等可能性随机事件概率既可以通过大量重复试验得到，也可以通过古典概型的计算公式得到．【答案】15练习为了估计暗箱里白球的数量〔箱内只有白球〕，将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，屡次重复后发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为________个． 【知识点】用频率估计概率、古典概型概率计算方法所以，摸到红球的概率就为0.2．设一共有x 个白球，其中有5个红球，所以一共有(x ＋5)个球 所以，摸到红球的概率为55x 解得：x ＝20所以，有20个白球．【思路点拨】古典概型的概率可以根据概率的计算公式求，也可以根据大量重复试验所得的频率来求，这样始终就存在一个等量关系，利用这个等量关系，往往可以求一些未知的数量. 【答案】20【设计意图】通过数量直接求频率、用频率估计概率和逆用概率公式求数量两个方向的例题及练习题目，进一步加深学生对频率、概率的理解，为学生能顺利解决下一组例题奠定根底． ●活动3 探究型例题例1 某园林公司要考察某种幼苗在一定条件下的移植存活率，应采用什么具体做法？ 〔1〕如图是一张模拟统计表，请补全表中的空缺，并完成表下的填空：〔2〕从上表可以发现，随着移植数的增加，幼苗移植成活的频率越来越稳定，当移植总数为14000时，成活的频率为0.902，于是估计该幼树移植成活的概率为______．〔3〕假设某校需要移植500棵该种幼树，估计需要向这个园林公司购置多少棵幼树？〔结果保存整数〕【知识点】设计频率统计方案，用频率估计概率【解题过程】设计的方案为：在同样条件下，对这种幼树进展大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率．随着移植数n 越来越大，成活频率nm会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值．〔1〕直接用成活数m 除以移植总数n〔2〕观察频率的变化趋势发现，随着移植数的增加，幼苗移植成活的频率越来越稳定在0.9的附近，因此可以估计该幼树移植成活的概率为0.9；假设需要购置x 课该种幼树，那么由题意可得：9.0500=x解得：556≈x需要购置556课该种幼树 【答案】见上面解题过程练习：某地区林业局要考察一种树苗移植的存活率，对该地区这种树苗移植成活情况进展了统计，并绘制了如下图的统计图，根据统计图提供的信息解决以下问题：/千棵〔1〕这种树苗成活的频率稳定在_________，成活的概率估计值为_________ 〔2〕该地区已经移植这种树苗5万棵 ①估计这种树苗成活了_______万棵；②如果该地区方案成活18万棵这样的树苗，那么还需要移植这种树苗约多少万棵？ 【知识点】屡次重复试验，用频率估计概率【解题过程】〔1〕观察统计图可以发现当移植数量较多时，成活的频率稳定在0.9的附近，因此估计这种树苗的成活概率为0.9；〔2〕①②∵18－4.5＝13.5〔万棵〕∴还需移植13.5÷0.9＝15〔万棵〕【思路点拨】首先观察统计图估计出这种树苗成活的概率为0.9，然后利用成活概率和移植总数就可以计算出成活的树苗，也可以用方案成活的树苗和概率求出应移植的树苗．【答案】〔1〕0.9 0.9 〔2〕①4.5 ②15万棵例2 某水果公司以2元/kg的本钱价新进10000kg的柑橘．销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取假设干柑橘，进展“柑橘损坏率〞统计，并把获得的数据记录在下表中，请你帮助完成此表．如果公司希望这批柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘〔去掉损坏的柑橘〕时，每千克大约定价为多少元比拟适宜？【知识点】频率的计算与应用频率稳定性【解题过程】①表格：0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103．②根据表格中的频率变化规律，可以估计柑橘损坏的概率为0.1，即柑橘完好的概率为0.9，所以在10000 kg的柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9＝9000〔kg〕完好柑橘的实际本钱为22.29.029000100002≈=⨯〔元/kg 〕设每千克柑橘的售价为x 元，那么50009000)22.2(=⨯-x解得：8.2≈x ．【思路点拨】先计算柑橘损坏的频率nm，再观察频率的变化趋势，根据频率估计出损坏柑橘的概率，得到销售商实际销售的完好的柑橘数量，计算出完好柑橘的实际本钱，再根据利润为5000元建立方程即可． 【答案】见上面解题过程．练习：某制衣厂对该厂生产的名牌衬衫抽检结果如下表：〔1〕补全表格〔结果保存2位小数〕〔2〕假设该制衣厂一共生产了1000件这种衬衫，且每件衬衫的本钱价为80元，要使这批衬衫能获利17000元，那么在出售衬衣〔除去不合格衬衣〕时，每件衬衣的出厂价应定为多少元？【知识点】频率的计算与应用频率稳定性【解题过程】〔1〕根据频率的计算公式：频率＝不合格件数÷抽检件数 ∴，〔2〕根据表格中的频率变化规律，可以估计这批衬衣不合格的概率为0.03，即合格的概率为0.97，所以在1000件的衬衣中合格的衬衣有 1000×0.97＝970〔件〕设在出售衬衣〔除去不合格衬衣〕时，每件衬衣的出厂价应定为x 元，那么由题意可得：970x －1000×80＝17000 解得：x ＝100∴在出售衬衣〔除去不合格衬衣〕时，每件衬衣的出厂价应定为100元．【思路点拨】观察不合格衬衣频率的变化趋势，根据频率估计出不合格衬衣的概率，得到这批衬衣合格的件数，再根据利润为17000元建立方程即可．〔2〕100元【设计意图】频率、概率来源于生活，又效劳于生活，通过树苗移植成活率、柑橘的定价问题，将频率、概率与实际生活联系起来，表达了用数学的思想．3．课堂总结知识梳理〔1〕生活中有一些随机事件发生的概率不能用列举法得到，只能通过大量重复试验估计随机事件的频率；〔2〕当试验次数很大时，频率稳定在一个固定的数值附近，这个数值就是该事件发生的概率，但频率和概率不能简单的等同；〔3〕概率与频率之间的区别和联系：区别：频率是个试验值，试验结果不一样频率也就不一样，频率只能近似地反映事件发生的可能性的大小；而概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值，概率能准确的反映事件发生的可能性的大小．联系：可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．重难点归纳〔1〕通过大量重复试验，频率会稳定在概率的附近；〔2〕生产生活中，可以设计大量重复试验来估计随机事件的概率；〔3〕求随机事件的方法：列举法〔等可能性事件〕、试验法〔不等可能事件〕．〔三〕课后作业根底型自主突破1．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率和概率，以下说法正确的选项是〔〕A．频率就是概率B．频率与试验次数无关C．概率会随着试验结果的变化而变化D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率【知识点】频率与概率的意义。

昭仁中学七年级数学学科导学案昭仁中学七年级数学学科导学案昭仁中学七年级数学学科导学案昭仁中学七年级数学学科导学案昭仁中学七年级数学学科导学案昭仁中学七年级数学学科导学案科目数学内容等可能事件的概率（3）课时年级七编写人杨维选授课人审核人班级小组学生姓名时间学习目标1.在实验过程中了解几何概型发生概率的计算方法，能进行简单计算；并能联系实际设计符合要求的简单概率模型。

2．在实验过程中学会通过比较、观察、归纳等数学活动，选择较好的解决问题的方法，学会从数学的角度研究实际问题，并且初步形成用数学知识解决实际问题的能力。

重点概率模型概念的形成过程。

难点分析概率模型的特点，总结几何概型的计算方法。

教学过程：因材施教以学定教学习过程：先入为主自主学习学习课本P151-154，思考下列问题：1.如图所示是一个可以自由转动的转盘，转动这个转盘，当转盘停止转动时，指针指向可能性最大的区域是________色。

2.如图是一个可以自由转动的转盘，当转盘转动停止后，下面有3个表述：①指针指向3个区域的可能性相同；②指针指向红色区域的概率为31；③指针指向红色区域的概率为21，其中正确的表述是________________（填番号）个案补充1．汇报：展示学习成果2、导学：明确学习目标预习案3、交流：合作探求新知探下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块地砖除颜色外完全相同，一个小球在卧室和书房中自由地滚动，并随机的停留在某块方块上。

（1）在哪个房间里，小球停留在黑砖上的概率大？究案（2）你觉得小球停留在黑砖上的概率大小与什么有关？假如小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停留在某块方砖上，它最终停留在黑色方砖上的概率是多少？请说明你的理由。

4、检测：强化变式训练5、延伸：评价拓展提升检测案1. 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。

如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券（转盘等分成20份）。

北师大版七年级数学下册《6.2 频率的稳定性》教案一. 教材分析《6.2 频率的稳定性》这一节主要让学生了解频率的概念，掌握频率的计算方法，并探究频率的稳定性。

通过本节课的学习，学生能够理解频率与概率之间的关系，学会如何用频率来估计概率，并能够运用频率的稳定性原理解决一些实际问题。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了概率的基本概念和方法，对概率有一定的理解。

但是，对于频率的稳定性和如何用频率来估计概率可能还存在一定的困惑。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出频率的概念，并通过大量的实例来让学生感受频率的稳定性，从而更好地理解频率与概率之间的关系。

三. 教学目标1.了解频率的概念，掌握频率的计算方法。

2.探究频率的稳定性，理解频率与概率之间的关系。

3.能够运用频率的稳定性原理解决一些实际问题。

四. 教学重难点1.频率的概念和计算方法。

2.频率的稳定性及其在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出频率的概念。

2.通过大量的实例，让学生感受频率的稳定性，从而更好地理解频率与概率之间的关系。

3.采用小组合作的学习方式，让学生在探究中学习，提高学生的动手能力和合作能力。

六. 教学准备1.准备一些实际问题，用于引导学生探究频率的概念。

2.准备一些实例，用于说明频率的稳定性。

3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个抛硬币的实际问题，引导学生思考：如何通过多次实验来估计抛硬币正面向上的概率？2.呈现（15分钟）呈现一些实际问题，让学生尝试用频率来估计概率。

例如，通过掷骰子、抽卡片等实验，让学生收集数据，计算频率，并尝试用频率来估计概率。

3.操练（10分钟）让学生进行一些练习，巩固频率的计算方法。

例如，让学生计算一些实验的频率，并用自己的语言解释频率的含义。

4.巩固（5分钟）让学生进行一些练习，巩固频率的概念。

随机事件的概率教学目标：通过试验，体会随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，由此给出概率的统计定义．教学重点：了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．教学难点：理解频率与概率的关系．教学过程：[设置情景]1名数学家＝10个师在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力．这句话有一个非同寻常的来历．1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额．为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后得出，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性．一定数量的船（为100艘）编队规模越小，编次就越多（为每次20艘，就要有5个编次），编次越多，与敌人相遇的概率就越大．美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口．结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25％降为1％，大大减少了损失，保证了物资的及时供应．在自然界和实际生活中，我们会遇到各种各样的现象．如果从结果能否预知的角度来看，可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的，即在一定的条件下，它所出现的结果是可以预知的，这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的，即在一定的条件下，出现那种结果是无法预先确定的，这类现象称为随机现象．确定性现象，一般有着较明显得内在规律，因此比较容易掌握它．而随机现象，由于它具有不确定性，因此它成为人们研究的重点．随机现象在一定条件下具有多种可能发生的结果，我们把随机现象的结果称为随机事件．[探索研究]1．随机事件下列哪些是随机事件？（1）导体通电时发热；（2）某人射击一次，中靶；（3）抛一石块，下落；（4）在常温下，铁熔化；（5）抛一枚硬币，正面朝上；（6）在标准大气压下且温度低于时，冰融化．由学生回答，然后教师归纳：必然事件、不可能事件、随机事件的概念．可让学生再分别举一些例子．2．随机事件的概率由于随机事件具有不确定性，因而从表面上看，似乎偶然性在起着支配作用，没有什么必然性．但是，人们经过长期的实践并深入研究后，发现随机事件虽然就每次试验结果来说具有不确定性，然而在大量重复试验中，它却呈现出一种完全确定的规律性．下面由学生做试验得出随机事件的频率，试验过程如下： 做抛掷一枚硬币的试验，观察它落地时 哪一个面朝上第一步：全班同学做10次掷硬币试验，记录正面向上的次数和比例． 思考：试验结果与其他同学比较，你的结果和他们一致吗？为什么? 第二步：由组长把本小组同学的试验结果统计一下，填入下表．思考：与其他小组试验结果比较，正面朝上的比例一致吗？为什么？ 第三步：用横轴为实验结果，仅取两个值：1（正面）和0（反面），纵轴为实验结果出现的频率，画出你个人和所在小组的条形图，并进行比较，发现什么？第四步：把全班实验结果收集起来，也用条形图表示.第五步：请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性． 结论：随机事件A 在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复实验后，随着次数的增加，事件A 发生的频率会逐渐稳定在区间[0，1]中的某个常数上．思考：这个条形图有什么特点？如果同学们重复一次上面的实验，全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗？为什么？例如，历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表 组次试验总次数正面朝上总次数正面朝上的比例我们可以看到，当抛掷硬币的次数很多时，出现正面的频率值是稳定的，接近于常数，在它左右摆动．概率的定义：对于给定的随机事件A ，如果随着实验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A 的概率，简称为A 的概率．对于概率的统计定义，注意以下几点：（1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件的概率； （3）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； （4）概率反映了随机事件发生的可能性的大小；（5）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．因此()10≤≤A P ． 3．例题分析例1指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？（1）若c b a 、、都是实数，则()()c ab bc a =； （2）没有空气，动物也能生存下去； （3）在标准大气压下，水在温度时沸腾； （4）直线()1+=x k y 过定点()0,1-； （5）某一天内电话收到的呼叫次数为0；（6）一个袋内装有性状大小相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球则为白球．（由学生口答，答案：（1）（4）是必然事件；（2）（3）是不可能事件；（5）（6）是随机事件．）例2对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：（1）计算表中优等品的各个频率；（2）该厂生产的电视机优等品的概率是多少？（由一名学生板演后，教师纠正）解：（1）各次优等品的概率为，，，，，（2）优等品的概率是．4．课堂练习（1）某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：（I）计算表中击中靶心的各个频率；（II）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？（由一名学生板演后，教师讲解）（2）问答：（I）试举出两个必然事件和不可能事件的实例；（II）不可能事件的概率为什么是0？（III）必然事件的概率为什么是1？（IV）随机事件的概率为什么是小于1的正数？它是否可能为负数？[参考答案](1)解：（I）击中靶心的各个频率依次是：，，，，，（II）这个射手击中靶心的概率约为．(2)略．5．总结提炼(1)随机事件的概念在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．(2)随机事件的概率的统计定义(3)概率的范围：()1 0≤≤AP．。

第十章概率10.3.1频率的稳定性一、教学目标1．通过实验能让学生理解当试验次数较大时，实验频率稳定在某一常数附近，并据此能估计出某一事件发生的频率.2．通过对实际问题的分析，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值.3.通过对频率的稳定性的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。

二、教学重难点1.理解频率和概率的区别和联系.2. 大量重复实验得到频率的稳定值的分析.三、教学过程：（1）创设情景阅读课本，完成下列填空：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会_________，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐_________事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．（2）新知探究问题1:小组合作探究概率与频率的区别与联系学生回答，教师点拨并提出本节课所学内容（3）新知建构概率与频率的区别：频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的；概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小概率与频率的联系：频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率（4）数学运用例1.给出下列说法：①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中的频繁程度；②每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数；③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；④频率就是概率．其中正确的是（）A．①B．①②④C．①②D．③④【答案】C【解析】对于①，根据频数和频率的定义知，频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中的频繁程度，所以①正确；对于②，每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数，所以②正确；对于③，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，所以③错误；对于④，频率是一个实验值，是随实验结果变化的，概率是稳定值，是不随实验结果变化的，所以④错误．综上知，正确的命题序号是①②．故选：C．变式训练1:（多选）下列说法正确的有（）A.概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；B.一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；C.任意事件A发生的概率P(A)总满足0<P(A)<1；D.若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件.【答案】AB【解析】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．∴随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．∴A正确．∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．∴B正确．∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A发生的概率P（A）满足0≤P（A）≤1，∴C错误．若事件A的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，∴D错误∴说法正确的有两个，故选:AB．变式训练2:（多选）给出下列四个命题,其中正确的命题有( )A．做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正直朝上的概率是51 100B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率C．抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是9 50D．随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率【答案】CD【解析】对于A,混淆了频率与概率的区别,故A错误;对于B,混淆了频率与概率的区别,故B错误;对于C,抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是950,符合频率定义,故C正确;对于D,频率是概率的估计值,故D正确. 故选:CD.例2.有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:A．猜“是奇数”或“是偶数”B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”请回答下列问题:(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.【答案】(1) 应选方案B ,猜“不是4的整数倍数”;(2) 应当选择方案A;(3) 可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”【解析】 (1)如题图,方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为=0.5;方案B中“不是4的整数倍数”的概率为=0.8,“是4的整数倍数”的概率为=0.2;方案C中“是大于4的数”的概率为=0.6,“不是大于4的数”的概率为=0.4.乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”.(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,此方案也可以保证游戏的公平性.变式训练:某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示：已知这100位顾客中一次性购物超过8件的顾客占55%.（1）求x，y的值；（2）求一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率.【答案】（1）x＝15，y＝20；（2）0.3.【解析】（1）由已知得2510553045yx++=⎧⎨+=⎩，，所以x＝15，y＝20.（2）设事件A为“一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟”，事件A1为“一位顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，事件A2为“一位顾客一次购物的结算时间为3分钟”，所以P（A）＝P（A1）+P（A2）＝20100+10100＝0.3.例3:2020年新型冠状病毒席卷全球，美国是疫情最严重的国家，截止2020年6月8日美国确诊病例约为200万人，经过随机抽样，从感染人群中抽取1000人进行调查，按照年龄得到如下频数分布表：（Ⅰ）求a 的值及这1000例感染人员的年龄的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（Ⅱ）用频率估计概率，求感染人群中年龄不小于60岁的概率.【答案】（Ⅰ）250a =，平均数为52.2；（Ⅱ）0.38.【解析】（Ⅰ）由题意知50320300801000a ++++=，∴250a =，年龄平均数1050302505032070300908052.21000⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==. （Ⅱ）1000人中年龄不小于60岁的人有380人， 所以年龄不小于60岁的频率为3800.381000=， 用频率估计概率，所以感染人群中年龄不小于60岁的概率为0.38.四、小结：1．频率的稳定性2.概率与频率的区别：频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的；概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小概率与频率的联系：频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率五、作业：习题10.3.1。

第4讲随机事件与概率1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，理解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.1.样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E 的每个可能的□1基本结果称为样本点，常用ω表示.全体样本点的集合称为试验E 的样本空间，常用Ω表示.②有限样本空间：如果一个随机试验有n 个可能结果ω1，ω2，…，ωn ，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn }为有限样本空间.(2)随机事件①定义：将样本空间Ω的□2子集称为随机事件，简称事件.②表示：大写字母A ，B ，C ，….③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件.2.事件的关系定义表示法图示包含关系若事件A 发生，事件B □3一定发生，称事件B 包含事件A (或事件A 包含于事件B )□4B ⊇A (或A □5⊆B )互斥事件如果事件A 与事件B □6不能同时发生，称事件A 与事件B 互斥(或互不相容)若A ∩B ＝∅，则A 与B 互斥对立事件如果事件A 和事件B 在任何一次试验中□7有且仅有一个发生，称事件A 与事件B 互为对立，事件A 的对立事件记为A －若A ∩B ＝∅，且A ∪B ＝Ω，则A 与B 对立3.事件的运算定义表示法图示并事件事件A 与事件B 至少有一个发生，称这个事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件)□8A ∪B (或A ＋B )交事件事件A 与事件B 同时发生，称这样一个事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件)□9A ∩B (或AB )4.概率与频率(1)频率的稳定性：一般地，随着试验次数n 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A 发生的频率f n (A )会逐渐稳定于事件A 发生的□10概率P (A ).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.(2)频率稳定性的作用：可以用频率f n (A )估计□11概率P (A ).常用结论1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.(2)事件A 的对立事件A －所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集.2.概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n ).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的.()(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值.()(3)若随机事件A 发生的概率为P (A )，则0≤P (A )≤1.()(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2.回源教材(1)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是()A.至多一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都没有中靶解析：D连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶；②只有一次中靶；③两次都没有中靶，故选D.(2)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是()A.至少有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶解析：B射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”，与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”.(3)把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为.解析：掷一次硬币正面朝上的概率是0.5.答案：0.5随机事件的关系运算例1(1)若干个人站成一排，其中为互斥事件的是()A.“甲站排头”与“乙站排头”B.“甲站排头”与“乙不站排尾”C.“甲站排头”与“乙站排尾”D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”解析：A根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件.故选A.(2)(多选)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：“恰有一件次品”；事件B：“至少有两件次品”；事件C：“至少有一件次品”；事件D：“至多有一件次品”.则下列说法正确的是()A.A∪B＝CB.B∪D是必然事件C.A∩B＝CD.A∩D＝C解析：AB根据已知条件以及利用和事件、积事件的定义进行判断.事件A∪B 指至少有一件次品，即事件C，故A正确；事件B∪D指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正确；事件A和B 不可能同时发生，即事件A∩B＝∅，故C错误；事件A∩D指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D错误.反思感悟1.事件的关系运算策略(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生.(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析，也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件.2.辨析互斥事件与对立事件的思路(1)在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生.(2)两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生.即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例.(3)互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件.训练1(1)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”()A.是对立事件B.是不可能事件C.是互斥但不对立事件D.不是互斥事件解析：C事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，故它们是互斥事件，但由于这两个事件的和事件不是必然事件，故这两个事件不对立.(2)(多选)口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断正确的是()A.A与D为对立事件B.B与C是互斥事件C.C与E是对立事件D.P(C∪E)＝1解析：AD当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，B不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，C不正确；显然A与D是对立事件，A正确；C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，D正确.互斥事件与对立事件的概率例2某商场进行有奖销售，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.解：(1)P(A)＝11000，P(B)＝101000＝1100，P(C)＝501000＝1 20 .(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.∵事件A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1＋10＋501000＝611000，故1张奖券的中奖概率为61 1000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－(11000＋1100)＝9891000，故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为989 1000.反思感悟当所求概率的事件较为复杂时，可考虑把其分解为几个互斥的事件，利用互斥事件的概率公式求解，或求其对立事件的概率，利用对立事件的概率求解.训练2经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率.解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.随机事件的频率与概率例3(经典高考题)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级A B C D频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级A B C D频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？解：(1)由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为40100＝0.4；乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为28100＝0.28.(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润6525－5－75频数40202020因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65×40＋25×20－5×20－75×20100＝15(元).由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润70300－70频数28173421因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为70×28＋30×17＋0×34－70×21100＝10(元).比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承接加工业务.反思感悟1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.利用概率的统计意义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.训练3某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6.所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，所以，利润Y的所有可能值为－100，300，900.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8.因此Y大于零的概率的估计值为0.8.限时规范训练(七十六)A级基础落实练1.在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是()A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.以上选项均有可能解析：A从1，2，3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为1＋2＋3＝6，∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件.2.同时抛掷两枚完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是()A.3B.4C.5D.6解析：D事件A包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6个样本点.3.下列说法正确的是()A.任何事件的概率总是在(0，1)之间B.频率是客观存在的，与试验次数无关C.随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D.概率是随机的，在试验前不能确定解析：C不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A错误；频率是由试验的次数决定的，故B错误；概率是频率的稳定值，故C正确，D错误.4.(2024·太原模拟)已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，－)＝()则P(AA.0.5B.0.1C.0.7D.0.8解析：A∵随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，∴P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.7－0.2＝0.5，∴P(A－)＝1－P(A)＝1－0.5＝0.5.5.掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则()A.A∪B表示向上的点数是1或3或5B.A＝BC.A∪B表示向上的点数是1或3D.A∩B表示向上的点数是1或5解析：A设A＝{1，3}，B＝{1，5}，则A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，5}，∴A≠B，A∩B表示向上的点数是1，A∪B表示向上的点数为1或3或5.6.(多选)下列说法中正确的有()A.若事件A与事件B是互斥事件，则P(AB)＝0B.若事件A与事件B是对立事件，则P(A＋B)＝1C.某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D.把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件解析：ABC事件A与事件B互斥，则A，B不可能同时发生，所以P(AB)＝0，故A正确；事件A与事件B是对立事件，则事件B即为事件A－，所以P(A＋B)＝1，故B 正确；事件“至少有两次中靶”与“至多有一次中靶”不可能同时发生，且二者必有一个发生，所以为对立事件，故C正确；事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，所以不是互斥事件，故D错误.7.商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9.若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为双.解析：∵第1，2，4组的频数分别为6，7，9，∴第1，2，4组的频率分别为640＝0.15，740＝0.175，940＝0.225.∵第3组的频率为0.25，∴第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，∴售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60(双).答案：608.(2024·天津调研)某射击运动员平时100次训练成绩的统计结果如下：命中环数12345678910频数24569101826128如果这名运动员只射击一次，估计射击成绩是6环的概率为；不少于9环的概率为.解析：由题表得，如果这名运动员只射击一次，估计射击成绩是6环的概率为10100＝110，不少于9环的概率为12＋8100＝15.答案：110159.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如表所示：年降水量(mm)(100，150)(150，200)(200，250)(250，300)概率0.210.160.130.12则年降水量在(200，300)(mm)范围内的概率是.解析：设年降水量在(200，300)，(200，250)，(250，300)的事件分别为A，B，C，则A＝B∪C，且B，C为互斥事件，所以P(A)＝P(B)＋P(C)＝0.13＋0.12＝0.25.答案：0.2510.某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为200 1000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋200 1000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000＝0.1.所以如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.11.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.B级能力提升练12.(多选)(2023·枣庄调研)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地随机摸出2个球，每次摸出一个球.设事件R1＝“第一次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两球颜色相同”，N＝“两球颜色不同”，则()A.R1⊆RB.R∩G＝∅C.R∪G＝MD.M＝N－解析：BCD样本空间为{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)，(4，3)}，R1＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}，R＝{(1，2)，(2，1)}，G＝{(3，4)，(4，3)}，M＝{(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}，N＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，由集合的包含关系可知B，C，D正确.13.如果事件A，B互斥，记A－，B－分别为事件A，B的对立事件，那么()A.A∪B是必然事件B.A－∪B－是必然事件C.A－与B－一定互斥D.A－与B－一定不互斥－∪B－是必然事件，A－与B－不解析：B如图①所示，A∪B不是必然事件，A互斥；如图②所示，A∪B是必然事件，A－∪B－是必然事件，A－与B－互斥.图①图②14.某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦·时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关.据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率120420220(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦·时)或超过530(万千瓦·时)的概率.解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，降雨量为160毫米的有7个，降雨量为200毫米的有3个.故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率120320420720320220(2)根据题意，Y＝460＋X－7010×5＝X2＋425，故P(“发电量低于490万千瓦·时或超过530万千瓦·时”)＝P(Y＜490或Y＞530)＝P(X＜130或X＞210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝120＋320＋220＝310.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦·时)或超过530(万千瓦·时)的概率为310 .。