信号的抽取与插值

一、每题6分，共10题。

1、试叙述信号分析的不确定原理，并以高斯信号为例解释相关概念。

不确定原理：对给定的信号，其时宽与带宽的乘积为一常数，当信号的时宽减小时，其带宽装将相应增大，当时宽减到无穷小时，带宽半变成无穷大，这就是说，信号的时宽与带宽不可能同时趋于无限小。

（P24）2、相对于傅里叶变换，短时傅里叶变换有何特点？窗口应满足什么条件？相对于傅里叶变换，除了同样可以了解信号包含的频谱信息，还可以对信号的频率进行时间上的定位。

STFT在时域用窗函数g(τ)去截x(τ),结截下来的局部信号作傅里叶变换，即可得到在t时刻的该段信号的傅里叶变换。

不断地移动t，也即不断地移动窗函数g(τ)的中心位置，即可得到不同时刻的傅里叶变换。

由于g(τ)是窗函数，因此它在时域应是有限支撑的，又由于e jΩt在频域是线谱，所以STFT的基函数g(τ-t) e jΩt在时域和频域都应是有限支撑的，这样，他的结果就有了对x(t)实现时频定位的功能。

3、相对于信号的谱图，wvd有何缺点？（P80）4、什么是小波变换的恒Q性质？试由此简要说明小波变换的时频分析特点。

(P241)5、试给出能保持信号能量边缘特性的和不能保持信号能量边缘特性的时频变换的例子。

6、什么是连续信号的Gabor展开？实际利用Gabor展开分析信号时，是采用临界采样还是过采样？说明理由。

什么是连续信号的Gabor展开：P61理由:实际利用Gabor展开分析信号时，是采用临界采样的。

因为在Gabor变换中，常数a和b的取值有3种情况：（1）ab=1，称为临界抽样，（2）ab>1，称为欠抽样，（3）ab<1，称为过抽样，由证明得，在ab>1的欠抽样的情况下，由于栅格过稀，因此将缺乏足够的信息来恢复原信号x(t)。

由于欠抽样时的这一固有的缺点，人们很少研究它，因此研究最多的是临界抽样和过抽样。

可以想象，在ab<1的过抽样的情况下，表示x(t)的离散系数C mn必然包含冗余的信息，这类似于对一维信号抽样时抽样间隔过小的情况。

重采样原理重采样是指在信号处理中，对信号进行重新取样的过程。

在实际应用中，重采样是一种非常重要的信号处理技术，可以用来改变信号的采样率，从而适应不同的系统要求。

在本文中，我们将介绍重采样的原理及其在实际应用中的一些常见方法。

重采样的原理可以简单地理解为对原始信号进行重新采样，以获得新的采样点。

在进行重采样时，通常会改变信号的采样率，这意味着新的采样点的时间间隔可能会与原始信号不同。

重采样的目的可以是为了匹配不同系统的采样率，也可以是为了改变信号的频率特性。

在实际应用中，重采样通常涉及到插值和抽取两种基本方法。

插值是指在已知采样点之间估计新的采样点，而抽取则是从已知采样点中选择部分点作为新的采样点。

这两种方法各有优劣，可以根据具体的应用场景选择合适的方法。

在数字信号处理中，重采样常常用于数字滤波器的设计和实现。

由于数字滤波器的性能与采样率密切相关，因此通过重采样可以改变信号的采样率，从而影响数字滤波器的性能。

另外，在数字通信系统中，重采样也可以用于时钟同步和信号恢复等关键环节。

除了插值和抽取，还有一些其他常见的重采样方法，如最近邻插值、线性插值、样条插值等。

这些方法各自具有特点，可以根据具体的需求选择合适的方法。

在选择重采样方法时，需要考虑信号的特性、系统的要求以及计算复杂度等因素。

总之，重采样是一种重要的信号处理技术，可以用于改变信号的采样率，适应不同系统的要求。

在实际应用中，重采样涉及到插值和抽取两种基本方法，以及一些其他常见的重采样方法。

选择合适的重采样方法需要考虑信号的特性、系统的要求以及计算复杂度等因素。

重采样的原理及方法对于数字信号处理、数字滤波器设计以及数字通信系统等领域都具有重要意义。

cic内插的基本原理
CIC (Cascaded Integrator-Comb) 是一种数字滤波器结构，通常用于对信号进行抽取或插值。

CIC 内插的基本原理涉及到积分器
和组合器，通过这些组件可以实现信号的插值。

CIC 内插的基本原理是利用积分器对输入信号进行累加，然后
通过组合器对累加后的信号进行差分处理，最终得到插值后的信号。

首先，输入信号经过积分器进行累加，这样可以增加信号的精度和
动态范围。

然后，经过组合器进行差分处理，以减小信号的采样率，从而实现插值。

CIC 结构中通常包含多级积分器和组合器，可以通
过级联这些组件来实现更高阶的插值。

另外，CIC 内插的基本原理还涉及到滤波器的设计和优化。

由
于 CIC 结构本身具有滤波的特性，因此可以在一定程度上实现信号
的滤波功能。

在设计 CIC 内插滤波器时，需要考虑滤波器的通带波纹、阻带衰减等参数，以及滤波器的阶数和延迟等因素，以达到所
需的滤波效果。

总的来说，CIC 内插的基本原理包括积分器和组合器的结合，
通过积分和差分操作实现信号的插值，同时结合滤波器的设计和优
化来实现对信号的滤波和插值处理。

这种结构简单且高效，因此在数字信号处理中得到了广泛的应用。

设计性实验1 图像信号的抽取与插值一、实验目的1、熟悉图像处理常用函数和方法；2、培养通过查阅文献解决问题的能力。

二、实验要求给出一个二维灰度图像，3、编程实现对该图像的任意比例的放大及缩小；4、编程实现对该图像的任意角度旋转；5、解决缩放及旋转时产生的锯齿等图像不平滑问题。

实验提示6、利用上采样、下采样等方法对信号进行缩放变换；7、观察对图像进行缩放或旋转时，图像是否会出现锯齿等不平滑现象？8、分析产生锯齿现象的原因；9、查阅文献了解解决锯齿现象的方法。

（例如平滑滤波、双线性插值、双立方插值等处理）三、实验细节1、实现图像的放大算法：为了实现图像的放大，首先将原图按照x1=a*x,y1=b*x将原图的像素点(x,y)映射为新的画布上的(x1,y1)点，如上图左一到左二。

然后，以行或列为一个处理单位，采用一种图像插值算法，在两红点之间的空白点插入一些值，使图像充满整个画布。

具体顺序如上图所示，先按行插值，再按列插值。

本实验采用的插值算法要达到的目标是，使插入点的斜率与原图保持一致 具体插值方法如下（以宽度放大三倍为例）：取出一行像素点，使时域坐标变为原来的三倍。

假设两相邻像素点坐标分别为a[n]和a[m]，则在a[n+1]、a[n+2]、a[n+i]…a[m -1]处填入的灰度值为：][n-m ia[n])-(a[m]i]a[n n a +⨯=+过程如下：图①原图像的一行像素点图②使时域坐标变为原来的三倍插入的点图③在两点间插值，使新插入的点与原先的两点以同一斜率变化。

2.实现图像的缩小：若要实现缩小，则同样按照x1=ax,y1=by的坐标转换关系将原画布上的点映射到新画布上，那么新画布上的一点将成为原画布上多点的映射，此时，新画布的点只需取其中一个映射点即可。

过程如下：运行结果：（以行列均放大三倍为例）①放大前的图像：②将图像的行列上的时域变为原来的三倍。

③行插值：④列插值后（完成）：颗粒（锯齿）不明显使用线性插值法假如使用临近插值法，将得到如下图片，可见，在图中眼部的位置，临近插值法的锯齿更为明显，而使用本实验插值算法得到的图像边缘更为平滑。

信号的尺度变换信号的尺度变换是信号处理中的一种基本操作，它可以使信号在时间或频率上进行扩展或压缩，从而改变信号的尺度。

这种操作在信号处理、图像处理、音频处理和视频处理中都有应用，如图像和音频的缩放、时频分析等。

尺度变换可以实现信号的细节和整体信息的分离，从而帮助我们理解和分析信号的特性。

在不同应用中，根据不同的要求和目标，需要选取合适的尺度变换方法。

常见的尺度变换方法有：1.离散时间尺度变换方法离散时间尺度变换方法是将输入信号的时间轴上的样本进行缩放或扩展，从而改变信号的尺度。

这种方法包括插值和抽取两种。

插值法可以通过插入信号的一些新点来进行缩放，也可以通过插入信号的一些缺失点来进行扩展。

插值方法的基本思路是在原信号的某个样本点周围插入一些样本点，然后对这些样本点进行线性或非线性插值处理。

插值方法的优点是可以进行高质量的信号还原，但是需要付出较高的计算代价。

离散小波尺度变换方法是一种针对信号缩放的方法，它通过分解信号到不同的尺度空间来处理信号。

离散小波尺度变换可将信号分解为不同的频带，每个频带都代表信号在不同尺度上的信息。

在离散小波尺度变换中，原始信号经过多级小波分解后，可以得到一组按照频率排序的小波系数。

通过修改这些小波系数，可以改变信号在不同尺度空间上的表示方式。

离散小波尺度变换的优点是可以在不丢失信号信息的情况下进行信号的压缩。

同时，在对信号进行滤波处理时，可以选择不同的小波基函数，从而得到不同的小波系数，具有很强的适应性。

3. 傅里叶尺度变换方法傅里叶尺度变换方法是一种通过改变信号在频率上的分解来进行尺度变换的方法。

傅里叶尺度变换可以用来分析信号的频率和周期特征，从而对信号进行处理。

傅里叶尺度变换的优点是可以将信号从时间域转换到频率域，从而方便实现不同的信号处理。

但是，它也存在信号精度丢失的问题。

总之，尺度变换可以帮助我们理解和处理信号的特性。

选择合适的尺度变换方法将有助于实现信号的压缩、降噪、特征提取等操作。

信号的抽样与插值目前，我们讨论的信号处理的各种理论、算法及实现这些算法的系统都是把抽样频率视为恒定值，即在一个数字系统中只有一个抽样率。

但是，在实际工作中，我们经常会遇到抽样率转换的问题。

一方面，要求一个数字系统能工作在“多抽样率（multirate ）”状态，以适应不同抽样信号的需要；另一方面，对一个数字信号，要视对其处理的需要及其自身的特征，能在一个系统中以不同的抽样频率出现。

建立在抽样率转换理论及其系统实现基础上的“多抽样率数字信号处理”已成为现代信号处理的重要内容。

减少抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的“抽取（decimatim ）”，增加抽样率以增加数据的过程称为信号的“插值（interpolation ）。

抽取、插值及其二者相结合的使用便可实现信号抽样率的转换。

例如：⑴ 一个数字传输系统，即可传输一般的语音信号，也可传输播视频信号，这些信号的频率成份相差甚远，因此，相应的抽样频率也相差甚远。

因此，该系统应具有传输多种抽样率信号的能力，并自动地完成抽样率的转换；⑵ 当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字系统之间传递时，则要求该数字信号的抽样率要能根据时钟的不同而转换；⑶ 对信号（如语音，图象）作谱分析或编码时，可用具有不同频带的低通、带通及高通滤波器对该信号作“子带”分解，对分解后的信号再作抽样率转换及特征提取，以实现最大限度减少数据量，也即数据压缩的目的；⑷ 对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造成数据的冗余，这时，希望能在该数字信号的基础上将抽样率减下来。

1 信号的抽取设()()|t nTs x n x t ==，欲使s f 减少M 倍，最简单的方法是将()x n 中的每M 个点中抽取 一个，依次组成一个新的序列()y n ，即()()y n x Mn = ~n =-∞+∞ （1.1）现在我们证明，()y n 和()x n 的DTFT 有如下关系：1(2)01()()M j j k Mk Y e X eMωωπ--==∑ （1.2）证明：由式2.1，()y n 的Z 变换为()()()nnn n Y z y n zx Mn z∞∞--=-∞=-∞==∑∑ （1.3）为了导出()Y z 和()X z 之间的关系，我们定义一个中间序列1()x n ：1()()0x n x n ⎧=⎨⎩ 0,,2,,n M M =±±其他 （1.4）注意，1()x n 的抽样率仍示s f ，而()y n 的抽样率是s f M 。

9.3　名校考研真题详解1．以20kHz 的采样率对最高频率为l0kHz 的带限信号采样，然后计算x（n ）的N ＝1000个采样点的DFT ，即：（1）求k ＝150对应的模拟频率是多少？k ＝800呢？（2）求频谱采样点之间的间隔为多少？[华南理工大学2007研]解：（1）根据数字频率与模拟频率的关系得：N 点的离散傅里叶变换DFT 是对离散信号的傅里叶变换DFT 在N 个频率点上的采样，即：所以，X （k ）对应的模拟频率为：所以，当N ＝1000时，序号k ＝150对应的模拟频率是f ＝3kHz 。

当k ＝800时，当N ＝1000时，，此时对应的模拟频率为：（2）由N 可得频谱采样点之间的间隔为：2．用DFT 对模拟信号进行谱分析，设模拟信号的最高频率为200Hz ，其频谱如图所示。

现以奈奎斯特频率采样得到时域离散序列，要求频率分辨率为10Hz 。

（1）求离散序列x （n ）的傅里叶变换，并画出其幅度频谱示意图；（2）求，并画出其谱线示意图；（3）求每个k值所对应的数字频率和模拟频率的取值，并在图中标出。

[中南大学2007研]解：（1）由题意知，最高频率，频率分辨率，所以采样频率为：所以：记录时间为：则采样点数为：对采样得：x （n）的傅里叶变换为：其幅度频谱示意图：（2）由（1）得：谱线示意图为：（3）的图示如下；由上分析可得：当时，对应的，由于得当时，对应的数字频率，与的对应关系为，其中。

3．已知连续时间信号为对该信号进行抽样，抽样频率为4kHz ，得到抽样序列x[n]，求x[nJ 的表达式。

[北京大学2005研]解：已知连续时间信号为：抽样频率后，直接令t ＝n ，代入x a （t ）得x （n ），即：s T4．利用数字系统处理模拟信号的框图如图所示，其中X （jw ）为连续信号x （t ）的频谱，是离散系统h[k]的频率响应。

当抽样间隔时，试画出信号x[k]、)(Ωj e H s T 401=y[k]、y （t ）的频谱。

语⾳信号处理⼊门系列（2）——信号处理中的⼏个关键概念数字信号 信号是信息的物理载体，信息是信号的具体内容。

连续时间信号：在连续时间范围内定义的信号，信号的幅度可以是连续的（模拟信号），也可以是离散的离散时间信号：时间为离散变量的信号，即独⽴变量时间被量化了，⽽幅度仍是连续变化的数字信号：时间离散⽽幅度量化的信号从模拟信号到数字信号我们经常处理语⾳的时候会发现两个常⽤的格式：“pcm”和“wav”，这两种格式其实本质上是⼀样的，pam是脉冲编码调制(p ulse c odem odulation)的⼀个缩写，pcm的实质就是这三个步骤：采样量化编码。

数字信号基本运算移位：设某⼀序列x(n)，当m>0 时，x(n-m) 表⽰序列x(n) 逐项依次延时（右移）m 位。

(左加右减)翻褶：设某⼀序列x(n)，则x(-n) 是以n=0 的纵轴为对称轴将x(n) 加以翻褶。

和：z(n)=x(n)+y(n)积：z(n)=x(n)·y(n)累加：y(n)=\sum_{k=-\infty}^{n}x(k)差分 (⼀阶)：y(n)=x(n)-x(n-1)尺度变换：对于序列x(n), 形如x(mn)或者x(\frac{n}{m})（m为正整数）的序列为x(n)的尺度变换序列。

以x(2n)为例，是以低⼀倍的抽样频率从x(n)中每隔两点取⼀点，这种运算称为抽取，常⽤于语⾳信号的下采样，通常在抽取之前要加⼊⼀个防混叠的滤波器。

类似的，x(\frac{n}{2})称为插值，在语⾳信号每两个点之间插⼊⼀个值，因为我们不知道这个插⼊的值是多少，⼀般插0，本⾝信息并没有增加，通常在插值之后我们还需要⼀个平滑，也就是在插⼊这些零点之后，后接⼀个平滑滤波器，利⽤相邻采样点之间的取值，把插⼊的值算出来，常⽤于语⾳升采样。

线性卷积 (linear convolution) : y(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m) h(n-m)=x(n) * h(n)由卷积的定义可知，卷积在图形表⽰上可分为四步：翻褶、移位、相乘、相加。

抽取与内插的频谱分析工科试验班钟汇凯3080100443我们知道，为了避免在抽样信号中出现混叠，抽样定理要求被抽样的信号是一个带限信号。

然而，在实际应用中，绝大多数信号都不能满足这个要求，为了减小混叠的影响以及放宽对滤波器性能指标的要求，在实际应用中往往采取一种提高抽样率的办法，使信号的抽样率远远大于限带滤波器通带频率的两倍。

例如，在下图中，当抽样频率略大于限带频率 ωm 的两倍时，混叠的影响还是很明显的，而当抽样频率远远大于两倍的 ωm 时，混叠的影响就非常之小了。

虽然提高抽样率可以减小混叠的影响，但是，在对连续时间信号进行处理的离散时间系统中，过高的抽样率将增加系统的成本，因为，过高的抽样率将要求离散时间系统以较高的速率工作，而高速率器件的成本一般都要贵于低速率的器件。

可以设想，如果能对信号的抽样率进行调整，使得在信号的抽样和恢复中使用较高的抽样率，在离散时间处理中使用较低的抽样率，那么，上述性能和成本的矛盾就可以得到适当的折中，而离散时间信号的抽取和内插就是一种调整信号抽样率的办法。

从技术性能层面来看。

这两种方法类似于连续时间信号的抽样和内插。

抽取离散时间信号的抽取包含信号抽样和尺度变换两个步骤：首先，以抽样间隔N 对离散时间信号进行抽样，然后再对抽样信号进行1/ N 的尺度压缩变换。

下图是离散时间信号的抽取过程，图中，x [ n ] 是离散时间信号，xs [ n ] 是抽样信号，抽样间隔N＝3，xd [ n ] 是抽取信号，它是xs [ n ] 进行1/N 尺度压缩变换后所得到的结果。

由图可见，在抽样信号xs [ n ] 和抽取信号xd [ n ] 之间存在以下关系:(1)由于抽样信号xs [ n ] 在N 的整数倍上和离散时间信号x [ n ] 相等，因此，式(4.55)也可等效为：(2)虽然式(1)和式(2)在形式上完全相同，但两者的含义不同：式(1)的含义是，抽取信号xd [ n ] 是由抽样信号xs [ n ] 进行1/N 尺度压缩变换的结果；而式(2)的含义是，抽取信号xd [ n ] 是从离散时间信号x [ n ] 中每隔(N－1)个点取一个样本值所组成的一个新序列，这个过程就称为离散时间信号的抽取。