广东省华南师大附中2019学年高三综合测试(三)数学(理)试题

高考数学精品复习资料2019.5华南师范大学附属中学高三综合测试数学（理）20xx.5.23第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的1. 已知i 是虚数单位，则复数3232i i i z ++=所对应的点落在A. 第一象限；B. 第二象限；C. 第三象限；D. 第四象限 2. 已知全集R U =，}21|{<<-=x x A ，}0|{≥=x x B ，则=)(B A C UA. }20|{<≤x x ；B. }0|{≥x x ；C. 1|{->x x ；D. }1|{-≤x x 3. 公比为2的等比数列}{n a 的各项都是正数，且16122=a a ，则=92log a A. 4； B. 5； C. 6； D. 74. 若y x 、满足约束条件⎩⎨⎧≤+≥+122y x y x ，则y x +2的取值范围是 A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,22； B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22； C. []5,5-； D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5,225. N M 、分别是正方体1AC 的棱1111D A B A 、的中点，如图是过A N M 、、和1C N D 、、的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为6. 若将函数52)(x x f =表示为552210)1()1()1()(x a x a x a a x f +++++++= ，其中0a ，1a ，2a ， ，5a 为实数，则=3aA. 10；B. 20；C. 20-；D. 10-7. 在ABC ∆中，已知向量)72cos ,18(cos ︒︒=AB ，)27cos 2,63cos 2(︒︒=BC，则ACBDAC DBNM 1B 1CABC ∆的面积为A.22； B. 42； C. 23； D. 28. 对应定义域和值域均为[]1,0的函数)(x f ，定义：)()(1x f x f =，[])()(12x f f x f =， ，[])()(1x f f x f n n -=， ,4,3,2=n ，方程[]1,0,)(∈=x x x f n 的零点称为f 的n 阶不动点。

2019年广东省广州市华南师大附中高考数学三模试卷（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）已知全集，则（∁U M）∩N＝（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．{x|﹣3＜x＜0} C．{x|﹣1≤x＜0} D．{x|﹣1＜x＜0} 2．（5分）已知复数，若z为纯虚数，则|2a﹣i|＝（）A．5 B．C．2 D．3．（5分）已知向量＝（cos75°，sin75°），＝（cos15°，sin15°），则|﹣|的值为（）A．B．1 C．2 D．34．（5分）有4个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．806．（5分）记正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则使的最小的整数n是（）A．4 B．5 C．6 D．77．（5分）记函数，将函数f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，现有如下命题：p1：函数g（x）的最小正周期是2π；p2：函数g（x）在区间上单调递增；p3：函数g（x）在区间上的值域为[﹣1，2]．则下列命题是真命题的为（）A．（￢p2）∧p3B．p1∨（￢p3）C．p1∨p2D．p1∧p28．（5分）已知函数，则下列判断错误的是（）A．f（x）为偶函数B．f（x）的图象关于直线对称C．关于x的方程f（x）＝0.7有实数解D．f（x）的图象关于点对称9．（5分）抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．810．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，平面P AB⊥平面ABC，△ABC是边长为6的等边三角形，△P AB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．27π11．（5分）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如右图所示的0﹣1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第2n﹣1行；则第61行中1的个数是（）A．31 B．32 C．33 D．3412．（5分）已知函数f（x）＝x2+x﹣aln（x+1）有且只有一个零点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0] B．[0，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0]∪{1}二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在数列{a n}中，，则a2019的值为．14．（5分）若直线mx+2ny﹣4＝0（m，n∈R，m≠n）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0的周长，则mn的取值范围是．15．（5分）已知f（x）为定义在R上的偶函数，g（x）＝f（x）+x2，且当x∈（﹣∞，0]时，g（x）单调递增，则不等式f（x+1）﹣f（x﹣1）+4x＞0的解集为．16．（5分）如图所示，棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，一平行于平面A1BD的平面α与棱AB，AD，AA1分别交于点E，F，G，点P在线段A1C1上，且PG∥AC1，则三棱锥P﹣EFG的体积的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c（a＜b＜c），，sin B sin C＝cos（A﹣C）+cos B．（1）求cos C．（2）点D为BC延长线上一点，CD＝3，，求△ABC的面积．18．（12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y（万人）与年份x的数据：第x年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10300 283 321 345 372 435 486 527 622 800旅游人数..（万人）该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y与x 的线性回归方程；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝ae bx的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．（a精确到个位，b精确到0.01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①y＝50.8x+169.7 ②30407 14607参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据（v1，w1），（v2，w2），…，（v n，w n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．②刻画回归效果的相关指数．③参考数据：e5.46≈235，e1.43≈4.2．5.5 4496.05 83 4195 9.00表中．19．（12分）已知矩形ABCD，，沿对角线AC将△ACD折起至△ACP，使得二面角P﹣AC﹣B为60°，连结PB．（1）求证：平面P AB⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣P A﹣C的余弦值．20．（12分）已知双曲线C1的焦点在x轴上，焦距为4，且C1的渐近线方程为．（1）求双曲线C1的方程；（2）若直线与椭圆及双曲线C1都有两个不同的交点，且l与C1的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k2的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝2lnx﹣ax2，g（x）＝（x+1）e x+3ax﹣4，a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）有最大值且最大值是﹣1，求证：f（x）＜g（x）．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为（φ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ＝1（1）求椭圆C的极坐标方程和直线l的参数方程；（2）若点P的极坐标为（1，），直线l与椭圆C交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b均为实数，且|3a+4b|＝10．（Ⅰ）求a2+b2的最小值；（Ⅱ）若|x+3|﹣|x﹣2|≤a2+b2对任意的a、b∈R恒成立，求实数x的取值范围．2019年广东省广州市华南师大附中高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．【分析】可求出集合M，N，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：M＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|﹣3＜x＜0}；∴∁U M＝{x|﹣1≤x＜0}；∴（∁U M）∩N＝{x|﹣1≤x＜0}．故选：C．【点评】考查描述法表示集合的定义，指数函数的单调性，以及补集、交集的运算．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a，则答案可求．【解答】解：∵z＝a+＝a+＝a﹣1+3i是纯虚数，∴a﹣1＝0，即a＝1．∴|2a﹣i|＝|2﹣i|＝．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．【分析】由题意求出﹣的坐标，由向量的数量积的坐标运算和两角差的余弦公式，求出﹣的自身的数量积的值，即求出|﹣的模．【解答】解：由题意得，﹣＝（cos75°﹣cos15°，sin75°﹣sin15°），∴（﹣）•（﹣）＝（cos75°﹣cos15°）2+（sin75°﹣sin15°）2＝2﹣2cos602＝1，∴|﹣|＝1，故选：B．【点评】本题考查了向量数量积坐标运算以及应用，主要利用平方关系和两角差的余弦公式进行求解，考查了如何利用向量的数量积运算求向量的模．4．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是4×4种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有4种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是4×4＝16种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有四个小组，则有4种结果，根据古典概型概率公式得到P＝，故选：B．【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．5．【分析】由二项式定理及二项式展开式通项公式得：易得a＝1，则（2x﹣）5展开式的通项为T r+1＝（2x）5﹣r（﹣）r＝（﹣1）r25﹣r x5﹣2r，则（1+）（2x﹣）5展开式中常数项为（﹣1）225﹣2＝80，得解．【解答】解：令x＝1得（1+a）（2﹣1）5＝2，解得a＝1，则（2x﹣）5展开式的通项为T r+1＝（2x）5﹣r（﹣）r＝（﹣1）r25﹣r x5﹣2r，则（1+）（2x﹣）5展开式中常数项为（﹣1）225﹣2＝80，故选：D．【点评】本题考查了二项式定理及二项式展开式通项公式，属中档题．6．【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求q，a1，进而可求a n，即可求解．【解答】解：∵，∴q≠1，∴，两式相除可得，，∵q＞0，解可得，q＝，a1＝3，∴a n＝，∴2n﹣1＞30，∵24＜30＜25，∴满足条件的最小的整数n＝6，故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．7．【分析】根据函数图象变换关系先求出g（x）的解析式，结合函数周期性，单调性以及最值性质分别判断命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：将函数f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，即g（x）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x﹣），则g（x）的最小正周期T＝，故p1错误，当x∈时，2x﹣∈（﹣，﹣），此时函数不单调，故p2错误，当x∈时，2x﹣∈[﹣，]，此时当2x﹣＝﹣时，g（x）取得最小值g（x）＝2sin（﹣）＝﹣1，当2x﹣＝时，g（x）取得最大值g（x）＝2sin＝2，即函数的值域为[﹣1，2]，故p3正确，故（￢p2）∧p3是真命题，其余为假命题，故选：A．【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合函数图象平移关系求出g（x）的解析式，结合三角函数的图象和性质是解决本题的关键．8．【分析】利用两角和的正弦公式对已知函数进行化简可得f（x）＝2cos4x﹣1，然后结合余弦函数的性质进行判断即可【解答】解：∵，＝2[]﹣1＝2sin（4x+）﹣1＝2cos4x﹣1∵f（﹣x）＝2cos（﹣4x）﹣1＝2cos4x﹣1＝f（x），故f（x）为偶函数，A正确；根据余弦函数对称轴处取得最值可知，当x＝﹣时，f（x）取得最大值，故B正确；∵﹣1≤cos4x≤1可知﹣3≤f（x）≤1，从而可知C正确；令4x＝k可得x＝，k∈z，令x＝＝﹣可知k不存在，故D错误故选：D．【点评】本题主要考查了两角和的正弦公式在三角函数式化简中的应用及余弦函数的性质的综合应用．9．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线为l：x＝﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选：C．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质和直线和抛物线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的热点要重视．10．【分析】由题意画出图形，由已知求出三棱锥外接球的半径，代入表面积公式得答案．【解答】解：如图，在等边三角形ABC中，取AB中点F，设其中心为O，由AB＝6，得CO＝CF＝．∵△P AB是以AB为斜边的等腰直角三角形，∴F为△P AB的外心，则O为棱锥P﹣ABC的外接球球心，则外接球半径R＝OC＝．∴该三棱锥外接球的表面积为4π×．故选：B．【点评】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．11．【分析】根据0﹣1三角数表求得第6次全行都是1的是第63行，然后你推第62行1的个数减半，第61行1的个数与第62行1的个数相同．【解答】解：由已知图中的数据第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 1 1…∵全行都为1的是第2n﹣1行；∵n＝6时，26﹣1＝63，故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1，第61行共有32个1．故y＝32，故选：B．【点评】本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．12．【分析】由题意可得f（0）＝0，函数f（x）有且只有零点0，x2+x﹣aln（x+1）＝0，x ≠0，x＞﹣1，可得a＝，设g（x）＝，求得导数，判断单调性和值域，即可得到所求范围．【解答】解：f（x）＝x2+x﹣aln（x+1），可得f（0）＝0﹣aln1＝0，由题意可得函数f（x）有且只有零点0，x2+x﹣aln（x+1）＝0，x≠0，x＞﹣1，可得a＝，设g（x）＝，g′（x）＝，当x＞0时，设h（x）＝（2x+1）ln（x+1）﹣x，h′（x）＝2ln（x+1）+＞0，可得h（x）在（0，+∞）递增，即有h（x）＞h（0）＝0，可得g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）递增，由g（x）﹣1＝，x＞0，设m（x）＝x2+x﹣ln（x+1），m′（x）＝2x+1﹣＝＞0，可得m（x）＞m（0）＝0，即有g（x）＞1恒成立；当﹣1＜x＜0，可得h′（x）＝2ln（x+1）+＜0，可得h（x）＞h（0）＝0，g′（x）＞0，即g（x）在（﹣1，0）递增，由g（x）＞0，且m′（x）＝2x+1﹣＝＜0，可得m（x）＞m（0）＝0，即有g（x）＜1恒成立．可得实数a的取值范围为a≤0或a＝1．故选：D．【点评】本题考查函数的零点个数的问题解法，考查分类讨论思想方法和数形结合思想，考查化简运算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】根据题意，将a n+1＝a n+变形可得a n+1﹣a n＝＝﹣，据此可得a2019＝（a2019﹣a2018）+（a2018﹣a2017）+……+（a2﹣a1）+a1＝+（1﹣）+（﹣）+……+（﹣）＝+1﹣，化简可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}中，a n+1＝a n+，变形可得a n+1﹣a n＝＝﹣，则a2019＝（a2019﹣a2018）+（a2018﹣a2017）+……+（a2﹣a1）+a1＝+（1﹣）+（﹣）+……+（﹣）＝+1﹣＝1；故答案为：1，【点评】本题考查数列的递推公式的应用，涉及数列的求和，属于基础题．14．【分析】由题意可得圆心在直线设，即可得出m，n的关系式，经过分类讨论和利用基本不等式即可得出mn的取值范围．【解答】解：圆的方程x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0化为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9，可得圆心C （2，1）．∵直线mx+2ny﹣4＝0（m，n∈R，m≠n）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0的周长，∴圆心C在直线上，∴2m+2n﹣4＝0，化为m+n＝2．当m＞0，n＞0，m≠n时，，化为mn＜1．当mn＝0时，mn＝0．当m＜0或n＜0（不同时成立）时，mn＜0．综上可知mn的取值范围是（﹣∞，1）．故答案为（﹣∞，1）．【点评】本题考查了圆的性质、基本不等式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于基础题．15．【分析】根据题意，原不等式变形可得f（x+1）+（x+1）2＞f（x﹣1）+（x﹣1）2，即g （x+1）＞g（x﹣1），分析可得g（x）为偶函数且在[0，+∞）上递减，据此可得g（x+1）＞g（x﹣1）⇒g（|x+1|）＞g（|x﹣1|）⇒|x+1|＜|x﹣1|⇒（x+1）2＜（x﹣1）2，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x+1）﹣f（x﹣1）+4x＞0⇒f（x+1）+2x＞f（x﹣1）﹣2x⇒f （x+1）+（x+1）2＞f（x﹣1）+（x﹣1）2，即g（x+1）＞g（x﹣1），又由g（x）＝f（x）+x2，且f（x）为偶函数，则g（﹣x）＝f（﹣x）+（﹣x）2＝f（x）+x2＝g（x），即g（x）为偶函数，又由当x∈（﹣∞，0]时，g（x）单调递增，则g（x）在[0，+∞）上递减，则g（x+1）＞g（x﹣1）⇒g（|x+1|）＞g（|x﹣1|）⇒|x+1|＜|x﹣1|⇒（x+1）2＜（x﹣1）2，解可得：x＜0，即不等式的解集为（﹣∞，0）；故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于x的不等式，属于基础题．16．【分析】利用正方体的特殊性得到PG与平面EFG垂直，设AG＝x，建立体积关于x的函数，巧借不等式求得最大值．【解答】解：在正方体中，易知AC1⊥平面A1BD，∵平面EFG∥平面A1BD，PG∥AC1，∴PG⊥平面EFG，设AG＝x，则EG＝x，，又，∴，∴PG＝（3﹣x），∴V P﹣EFG＝＝＝2×＝2（当且仅当x＝2时取等号）．故答案为：2．【点评】此题考查了三棱锥体积的求法和利用不等式求解最值等问题，难度适中．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．【分析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a．结合，可求sin C的值，求得C的值，可求cos C的值．（2）由余弦定理解得b的值，解得a的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵A+B+C＝π，∴cos B＝﹣cos（A+C），∴sin B sin C＝cos（A﹣C）+cos B＝cos（A﹣C）﹣cos（A+C）＝2sin A sin C，∵C∈（0，π），∴sin C＞0，∴sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a．∵，代入b＝2a，得：．由C是最大角，得．（2）由余弦定理，AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD cos∠ACD，，∴，∴b＝2或1．∵b＝2a，∴．∴．∴△ABC的面积为．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．【分析】（1）对y＝ae bx取对数，得lny＝bx+lna，设u＝lny，c＝lna，先建立u关于x 的线性回归方程．求得的值，，即可得到模型②的回归方程；（2）由表格中的数据，有30407＞14607，即，得到，说明模型①的相关指数小于模型②的，说明回归模型②的拟合效果更好．在（1）中的回归方程中，取x＝13，求得y值，即可预测2021年该景区的旅游人数．【解答】解：（1）对y＝ae bx取对数，得lny＝bx+lna，设u＝lny，c＝lna，先建立u关于x的线性回归方程．，，．∴模型②的回归方程为；（2）由表格中的数据，有30407＞14607，即，即，∴，模型①的相关指数小于模型②的，说明回归模型②的拟合效果更好．2021年时，x＝13，预测旅游人数为（万人）．【点评】本题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．19．【分析】（1）推导出Rt△ACD∽Rt△AOD，从而∠ADO＝∠ACD，进而∠DAE+∠ADE ＝90°，DO⊥AC，折起后，DE即为PE，则仍有PE⊥AC，EO⊥AC，则∠PEO即为二面角P﹣AC﹣B的平面角，即∠PEO＝60°，连结PO．推导出AC⊥平面PEO，AC⊥PO，从而PO⊥平面ABC．由此能证明平面P AB⊥平面ABC．（2）法一：过点O作AB的垂线为x轴，OB为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．求出平面P AC的法向量和平面P AB的法向量，利用向量法能求出二面角B﹣P A﹣C的余弦值．法二：推导出AP⊥PB．AP⊥PC，从而AP⊥平面PBC，∠BPC即为二面角A﹣PC﹣B 的平面角．推导出BC⊥平面P AB，BC⊥PB．由此能求出二面角B﹣P A﹣C的余弦值．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，取AB中点O，连结DO，与AC交于点E．则AO＝1．Rt△ACD与Rt△AOD中，，∴Rt△ACD∽Rt△AOD，∴∠ADO＝∠ACD，∴∠DAE+∠ADE＝90°，即DO⊥AC．∵DC∥AO，∴．折起后，DE即为PE，则仍有PE⊥AC，EO⊥AC，则∠PEO即为二面角P﹣AC﹣B的平面角，即∠PEO＝60°，连结PO．所以在△PEO中，，即∠POE＝90°，即PO⊥OE．由前所证，AC⊥PE，AC⊥EO，PE∩EO＝E，∴AC⊥平面PEO，∴AC⊥PO．而AC∩EO＝E，EO⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC．又∵PO⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面ABC．解：（2）解法一：如图，在平面ABC内，过点O作AB的垂线为x轴，OB为y轴，OP 为z轴建立空间直角坐标系．由（1）得PO＝1.，，，设平面P AC的法向量为，则由得：，取z1＝1，则．由题意知平面P AB的法向量为，设二面角B﹣P A﹣C的平面角为θ，因为θ为锐角，则，即二面角B﹣P A﹣C的余弦值为．解法二：由（1）可得OP＝1，且PO⊥AB，O为AB中点，则△APB为直角三角形，∴AP⊥PB．又∵AP⊥PC，PB∩PC＝P，∴AP⊥平面PBC，∴∠BPC即为二面角B﹣P A﹣C的平面角．由（1），平面P AB⊥平面ABC，BC⊥AB，∴BC⊥平面P AB，∴BC⊥PB．而，∴，即二面角B﹣P A﹣C的余弦值为．【点评】本题考查立体几何中的线面关系，空间角，空间向量在立体几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、等价转化能力，属于中档题．20．【分析】（1）根据题意，设双曲线C1的方程为（λ＞0），则a2＝3λ，b2＝λ，结合双曲线的焦距可得a2+b2＝c2⇒4λ＝4，解可得λ的值，代入双曲线的方程即可得答案；（2）根据题意，联立直线与椭圆的方程，由直线与椭圆的位置关系可得，①，联立直线与双曲线的方程，进而可得，②，设A（x1，y1），B（x2，y2），结合根与系数的关系以及向量数量积的计算公式可以用k表示，可得＜6，③，求出①②③三个式子中k的取值范围，综合即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，C1的渐近线方程为，则设双曲线C1的方程为（λ＞0），则a2＝3λ，b2＝λ，又双曲线的焦距为4，则2c＝4，即c＝2，于是由a2+b2＝c2⇒4λ＝4⇒λ＝1，故C1的方程为；（2）根据题意，将代入得，由直线l与椭圆C2有两个不同的交点得，即，……①将代入得，由直线l与双曲线C1有两个不同的交点A，B，则有，即且，……②设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，则得x1x2+y1y2＜6，而，于是，解此不等式得k2＞1，或，……③由①，②，③得，或，故k2的取值范围为．【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，涉及双曲线的标准方程和几何性质的应用，关键是求出双曲线的标准方程．21．【分析】（1）函数f（x）＝2lnx﹣ax2，＝．（x∈（0，+∞））．对a分类讨论，利用导数即可得出单调性．（2）由（1）可得：函数f（x）只有在a＞0时，函数f（x）在x＝时取得最大值，f （）＝﹣lna﹣1＝﹣1，解得a＝1．f（x）＜g（x）⇔＜e x．由x＞0，可得e x＞1.＜e x⇔2lnx﹣x2﹣3x+4≤x+1，即证明2lnx﹣x2﹣4x+3≤0，x∈（0，+∞）．令h（x）＝2lnx﹣x2﹣4x+3，x∈（0，+∞）．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（1）函数f（x）＝2lnx﹣ax2，＝．（x∈（0，+∞））．a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．a＞0时，f′（x）＝．可得：函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（2）证明：由（1）可得：函数f（x）只有在a＞0时，函数f（x）在x＝时取得最大值，f（）＝﹣lna﹣1＝﹣1，解得a＝1．f（x）＜g（x）⇔＜e x．∵x＞0，∴e x＞1．∴＜e x⇔2lnx﹣x2﹣3x+4≤x+1，即证明2lnx﹣x2﹣4x+3≤0，x∈（0，+∞）．令h（x）＝2lnx﹣x2﹣4x+3，x∈（0，+∞）．h′（x）＝﹣2x﹣4＝＝，可得x0＝﹣1时，函数h（x）取得极大值即最大值，+2x0﹣1＝0．h（x0）＝2lnx0﹣﹣4x0+3＝2lnx0﹣2x0+2≤0．∴2lnx﹣x2﹣4x+3≤0，在x∈（0，+∞）恒成立．∴＜e x在x∈（0，+∞）恒成立．∴f（x）＜g（x）在x∈（0，+∞）恒成立．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（1）直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用方程组，整理成一元二次方程根和系数的关系求出结果．【解答】解：（1）将椭圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得椭圆C的普通方程：，将代入得：2ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ＝6．化简得椭圆C的极坐标方程为2ρ2+ρ2sin2θ﹣6＝0．将代入ρcosθ+ρsinθ＝1可得直线l的方程为x+y﹣1＝0．故直线l的参数方程为（t为参数）（2）设A、B对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程（t为参数），代入得．则：，．又P的极坐标为（1，），在直线l上，所以：|P A|+|PB|＝|t1﹣t2|＝．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（I）利用柯西不等式即可求解（II）由（I）知|x+3|﹣|x﹣2|≤a2+b2对任意的a、b∈R恒成立⇔|x+3|﹣|x﹣2|≤（a2+b2）min，然后根据绝对值不等式的求解即可【解答】解：（I）∵|3a+4b|＝10，∴100＝（3a+4b）2≤（32+42）（a2+b2）＝25（a2+b2）∴a2+b2≥4，当且仅当即或时取等号即a2+b2的最小值4（II）由（I）知|x+3|﹣|x﹣2|≤a2+b2对任意的a、b∈R恒成立，∴|x+3|﹣|x﹣2|≤4，∴或或解可得，x＜﹣3或﹣3∴实数x的取值范围（﹣∞，]【点评】本题主要考查了柯西不等式在最值求解中的应用，还考查了绝对值不等式的解法及恒成立问题与最值求解相互转化思想的应用．。

数学（理科）参考答案一、ADCC ABBD3．由题意知，一元二次方程 x 2 + mx + 1 = 0有两不等实根，可得Δ > 0，即m 2－4 > 0，解得m > 2或m < －2.4．几何体为锥体，且底面积为 S = 12 ×2×2 = 2，高 h = 1 ⇒ V = 235．直线 x + y = 0与圆 x 2 + (y －a ) 2 = 1相切 ⇔ d =| a |2= 1 ⇔ a = ±2 6．由y = x 及y = x －2可得，x = 4，所以由y = x 及y = x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为 ⎠⎛ 0 4(x －x + 2) dx = (23 x 32 －12 x 2 + 2x ) |04 = 163. 7．由仓库的存量知，五号仓库向左边相邻仓库运输的费用为 40×10×0.5，而一号，二号仓库加起来向右边相邻仓库运输的费用为 30×10×0.5，故想运费最少，必定要把货物运到五号仓库，故得 (10×40 + 20×30)×0.5 = 500 元8．由面积的增长由慢到快，再由快到慢得，曲线的切线方向由平转向陡，再由陡转向平，故选 D 二、9.12510. －1 11. 3 12. －8 13. (－∞,0) 14. 1或 5 11．∵12 = 4x + 3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎨⎧4x = 3y4x + 3y = 12 即⎩⎨⎧x = 32 y = 2时xy 取得最大值312．作出可行域如图，在顶点 (－3,5) 达到最小值 13．∵ f’(x ) = 5ax 4 + 1x ，x ∈(0,+∞)，∴由题意知5ax 4 +1x= 0 在 (0,+∞) 上有解. 即 a = －15x5 在 (0,+∞) 上有解.∵ x ∈(0,+∞)，∴－15x 5 ∈(－∞,0).∴a ∈(－∞,0).14．a n = p 为奇常数 ⇒ a n +1 = 3p + 5 为偶数 ⇒ a n +2 = a n +12 k = 3p + 52 k 为奇数，故 3p + 52 k= p ⇒ p =52 k －3 ，由p 为正整数得 k = 2 或 k = 3 ⇒ p = 5 或 p = 1三、15．解：(1) 证明：由题设 a n +1 = 4a n －3n + 1， 得 a n +1－(n + 1) = 4 (a n －n ) 又 a 1－1 = 1∴ 数列 {a n －n } 是首项为 1，且公比为 4的等比数列.(2) 由 (1) 可知 a n －n = 4 n －1∴ a n = 4 n －1 + n(∴ S n = 1－4 n 1－4 + n (n + 1)2 = 4 n －13 + n (n + 1)216．解：(1) 因为函数 f (x ) 的最小正周期为π，且 ω > 0 ∴2πω= π ⇒ ω = 2∴ f (x ) = 3 sin (2x + φ)∵ 函数 f (x ) 的图象经过点 (2π3 ,0)∴ 3 sin (2×2π3 + φ) = 0得4π3 + φ = k π，k ∈Z ，即φ = k π－ 4π3，k ∈Z . 由 －π2 < φ < 0 ⇒ φ = －π3 ∴ f (x ) = 3 sin (2x －π3)(2) 依题意有g (x ) = 3sin [2×(x 2 + 5π12 )－π3 ] = 3sin (x + π2 ) =3 cos x由g (α) = 3cos α = 1，得cos α = 13由g (β) = 3 cos β = 324 ，得cos β = 24∵ α，β∈(0,π) ∴ sin α =223 ，sin β = 144∴ g (α－β) = 3cos (α－β) = 3 (cos α cos β + sin α sin β) = 3× (13 ×24 + 223 ×144 ) = 2 + 47417．解：(1) 取CE 中点M ，连结FM 、BM ， ∵ F 为CD 的中点 ∴ FM ∥ 12 DE又 AB ∥ 12DE∴ AB ∥ FM∴ ABMF 为平行四边形， ∴ AF ∥BM又 ∵ AF ⊄ 平面BCE ，BP ⊂ 平面BCE ， ∴ AF ∥平面BCE(2) AD = AC = 2，且 F 是 CD 的中点 ⇒ AF ⊥CD ∵ AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ∴ DE ⊥平面ACDABCD EFGM∴ DE ⊥AF又 AF ⊥CD ，CD ∩DE = D ∴ AF ⊥平面CDE 又BP ∥AF∴ BP ⊥平面CDE 又∵ BP ⊂平面BCE∴ 平面BCE ⊥平面CDE(3) ∵ AF = 3 ⇒ CD = 2 ∴ △ACD 为正三角形过C 作 CG ⊥AD 于G ，连结EG ，则G 为AD 中点. ∵ AB ⊥平面ACD ，CG ⊂ 平面ACD ∴ AB ⊥CG∵ CG ⊥AD ，CG ∩AD = G ∴ CG ⊥平面ADEB ∴ CG ⊥EG∴ ∠CEG 为直线CE 与面ADEB 所成的角.在 Rt △EDG 中，EG = DG 2 + EG 2 = 1 2 + 2 2 = 5 在 Rt △CDG 中，CG =CD 2－DG 2 = 2 2－1 2 = 3在 Rt △CEG 中，tan ∠CEG = CG GE = 35 = 155即直线CE 与面ADEB 所成的角的正切值为155. 解法二：AD = AC = 2，且 F 是 CD 的中点 ⇒ AF ⊥CD∵ AF = 3 ⇒ CD = 2 ∴ △ACD 为正三角形∵ AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ∴ DE ⊥平面ACD如图，以AF 延长线为 x 轴，FD 为 y 轴，过F 垂直于平面ACD 的垂线为 z 轴建立空间直角坐标系， 则各顶点坐标为F (0,0,0)、C (0,－1,0)、D (0,1,0)、A (－ 3 ,0,0)、B (－ 3 ,0,1)、E (0,1,2) (1) CB → = (－ 3 ,1,1)，CE →= (0,2,2) 设平面BCE 的一个法向量为 m 1 = (x 1,y 1,z 1)则 m 1⊥CB → ，m 1⊥CE → ⇒ m 1·CB → = 0，m 1·CE →= 0 ⇒ － 3 x 1 + y 1 + z1 = 0，2y 1 + 2z 1 = 0 ⇒ x 1 = 0 ⇒ m 1 = (0,y 1,z 1) F A →= (－ 3 ,0,0) ∴F A → ·m 2 = 0又 AF ⊄ 平面BCEC(2) 显然，平面CDE 的一个法向量为 m 2 = (1,0,0) ⇒ m 1·m 2 = 0∴ 平面BCE ⊥平面CDE(3) AB → = (0,0,1)，AD → = ( 3 ,1,0)，CE →= (0,2,2) 设平面ABED 的法向量为 n = (x ,y ,z )则 n ⊥AB → ，n ⊥AD → ⇒ n ·AB → = 0，n ·AD →= 0 ⇒ z = 0， 3 x + y = 0取 x = 1 ⇒ y = － 3 ⇒ n = (1,－ 3 ,0) 设直线CE 与面ADEB 所成的角为 θ 则 sin θ = | n ·CE →|| n |·|CE →| = 232×22 = 64⇒ tan θ =155即直线CE 与面ADEB 所成的角的正切值为155.18．解：(1) 由题意：当0 < x ≤50时，v (x ) = 30当50 < x ≤200时，由于 v (x ) = 40－k250－x再由已知可知，当x = 200时，v (200) = 0 代入解得k = 2000∴ v (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ 30，0 < x ≤5040－2000250－x ，50 < x ≤200 (2) 依题意并由(1)可得 f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ 30x ，0 < x ≤5040x －2000x 250－x ，50 < x ≤200 当0≤x ≤50时，f (x ) = 30x ，当x = 50时取最大值1500当50 < x ≤200时，f (x ) = 40x －2000x250－x= 40 {300－[(250－x ) + 12500250－x]} ≤40 [300－2(250－x )·12500250－x]= 40×(300－100 5 )≈4000×(3－2.236) = 3056取等号当且仅当 250－x = 12500250－x即 x = 250－50 5 ≈138时，f (x ) 取最大值 3056 > 1500综上，当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时.答：当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时.解二：(2) 依题意并由(1)可得 f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ 30x ，0 < x ≤5040x －2000x 250－x ，50 < x ≤200 当0≤x ≤50时，f (x ) = 30x ，当x = 50时取最大值1500当50 < x ≤200时，f (x ) = 40x －2000x 250－x = 40 (x + 50 + 12500x －250)∴ f ' (x ) = 40 [1－12500(x －250) 2 ] = 0 ⇒ x = 250－50 5f (x )max = f (250－50 5 ) = 4000 (3－ 5 )≈4000×(3－2.236) = 3056 > 1500综上，当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时. 答：当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时.19．解：(1) 设椭圆C 的方程为 x 2a 2 + y 2b 2 = 1(a > b > 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ e = c a =12 1a 2 + 94b 2 = 1 a 2 = b 2 + c 2解得 a 2 = 4，b 2 = 3 ∴ 椭圆 C ：x 24 + y 23 = 1(2) (i ) 易得 F (1,0)① 若直线 l 斜率不存在，则 l ：x = 1，此时 M (1, 32 )，N (1,－32 )，∴ FM → ·FN →= －94② 若直线 l 斜率存在，设 l ：y = k (x －1)，M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)， 则由 ⎩⎪⎨⎪⎧ y =k (x －1) x 24 + y 23 = 1 消去 y 得：(4k 2 + 3) x 2－8k 2 x + 4k 2－12 = 0∴ x 1 + x 2 = 8k 24k 2 + 3 ，x 1 x 2 = 4k 2－124k 2 + 3又 y 1 = k (x 1－1)，y 2 = k (x 2－1)∴ FM → ·FN →= (x 1－1,y 1)·(x 2－1,y 2) = (x 1－1, k (x 1－1))·(x 2－1, k (x 2－1))= (1 + k 2) [x 1 x 2－(x 1 + x 2) + 1] = (1 + k 2) (4k 2－124k 2 + 3 －8k 24k 2 + 3 + 1) = －94－11 + k 2∵ k 2≥0 ∴ 0 <11 + k 2 ≤1 ∴ 3≤4－11 + k 2< 4 ∴ －3≤FM → ·FN →< －94综上，FM → ·FN →的取值范围为 [－3,－94](ii ) 线段MN 的中点为Q ，显然，MN 斜率存在，否则 T 在 x 轴上 由 (i ) 可得，x Q = x 1 + x 22 = 4k 24k 2 + 3 ，y Q = k (x Q －1) = －3k4k 2 + 3∴ 直线OT 的斜率 k ' =y Q x Q = －34k， ∴ 直线OT 的方程为：y = －34k x从而 T (4,－3k)此时TF 的斜率 k TF = －3k －04－1 = －1k∴ k TF ·k MN = －1k·k = －1∴ TF ⊥MN20．解：(1) a > 0时，f’(x ) = e x －a ，令 f’(x ) = 0，解得 x = ln a ∵ x < ln a 时，f’(x ) < 0，f (x ) 单调递减； x > ln a 时，f’(x ) > 0，f (x ) 单调递增。

广东华南师大附中高三综合测试（三）（数学理）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时1。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答 题卡的密封线内．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目 指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回．第一部分选择题(40分)一、选择题（每小题5分，共40分） 1．若1sin ,:≤∈∀x R x p ，则（ ）A ．1sin ,:>∈∃⌝x R x p B. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p C. 1sin ,:≥∈∃⌝x R x p D. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x p 2．“a=2”是“直线ax+2y=0与直线x+y=1平行”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，在半径为R 的圆内随机撤一粒芝麻，它落在阴影部分 （圆内接正三角形）上的概率是（ ） A ．43 B. 433 C. π43 D. π4334．甲校有3600名学生。

乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在 这三校分别抽取学生（ ）A ．30人，30人，30人B ．30人，45人，15人C ．30人，10人 D. 30人，50人，10人5．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若80,15321321==++a a a a a a ，则=++131211a a a （ ）A. 1 B ．105 C ．90 D ．756. 已知两个不重合的平面α和β，下面给出四个条件： ①α内有无穷多条直线均与平面β平行； ②平面α，β均与平面γ平行；③平面α，β与平面γ都相交，且其交线平行； ④平面α，β与直线l 所成的角相等． 其中能推出α∥β的是（ ）A ．①B ，②C ．①和③D ．③和④7．设P 是双曲线19.222=⋅-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=O ，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则||2⋅PF =（ ） A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9 8. 如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上 按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦 AP 的长为d ，则函数d=f(l)的图像大致是（ ）第二部分非选择题（110分）二、填空题（每小题5分，共30分）9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(,1(2>σσN ．若ξ在(0，1)内取值的概 率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为 ． 10．dx x ⎰--2|)1|2(=1l. 若(ax-1)5的展开式中x 3的系数是80，则实数a 的值是 ．3. 已知数列{}n a 中，a 1=1，a n+l =a n +n ，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项， 则判断框中应填的语句是 ．13．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加 某项志愿者活动，要求每人参加一天旦每天至多安排一 人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共 有 （用数字作答）21. 选做题(14～15题，考生只能从中选做一题，两题都做记第 一题的得分)14.（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线 ⎩⎨⎧-=+=t y at x C 22:1（t 为参数），曲线⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2:2y x C（a 为参数）．若曲线C l 、C 2有公共点，则实数a 的取值范围．15．（几何证明选讲）如图，已知△ABC 内接于圆O ，点D 在OC的延长线上，AD 是⊙0的切线，若∠B=30°，AC=2，则OD 的长为 ．三、解答题（共6大题，共80分） 16．（本题满分12分） 已知)cos ,(sin x x a -=，()x x b cos 3,cos =，函数()23+⋅=b a x f(1)求f(x)的最小正周期； (2)当20π≤≤x 时，求函数f(x)的值域．17.（本题满分12分）甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得3 分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为32，甲胜丙的概率为41，乙胜丙的概率为51 (1)求甲获第一名且丙获第二名的概率：(2)设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望。

2019届广东省华南师范大学附属中学 高三上学期第二次月考数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知集合A ={x |x 2−2x >0},B ={x |−2<x <3}，则 A ． A ∩B = ∅ B ． A ∪B =R C ． B ⊆A D ． A ⊆B 2．记复数z 的共轭复数为z ，已知复数z 满足(2−i )z =5，则|z|= A ． √3 B ． √5 C ． √7 D ． 5 3．下列函数中，既是偶函数又有零点的是A ． y =x 12B ． y =tan xC ． y =e x +e −xD ． y =ln |x | 4．设:12,:21x p x q <，则p 是q 成立的 A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 5．函数f (x )=sinxcosx x 2+1的部分图象可能是A ．B ．C ．D ．6．在等差数列{a n }中， a 3+a 5=12−a 7，则a 1+a 9= A ． 8 B ． 12 C ． 16 D ． 207．已知π2<β<α<34π，cos(α−β)=1213，sin(α+β)=−35，则sin2α= A ． 5665 B ． −5665 C ． 6556 D ． −65568．已知函数y =Asin (π2x +φ)(A >0)在一个周期内的图像如图所示，其中P,Q 分别是这段图像的最高点和最低点，M,N 是图像与x 轴的交点，且∠PMQ =900，则A 的值为A ． 2B ． 1C ． √3D ． √29．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD =120∘，AB =AD =1. 若点E 为边CD 上的动点，则AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ·BE⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为A ． 2516 B ． 32 C ． 2116 D ． 310．设{a n }是各项为正数的等比数列，q 是其公比，K n 是其前n 项的积，且K 5<K 6，K 6=K 7>K 8，则下列结论错误．．的是 A ． 0<q <1 B ． a 7=1 C ． K 9>K 5 D ． K 6与K 7均为K n 的最大值11．正ΔABC 边长为2，点P 是ΔABC 所在平面内一点，且满足BP =√32，若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则λ+μ的最小值是A ． 12 B ．√52C ． 2D ．2√3312．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，当x >0时，lnx ⋅f′(x)<−1x f(x)，则使得(x 2−4)f(x)>0成立的x 的取值范围是A ． (−2,0)∪(0,2)B ． (−∞,−2)∪(2,+∞)C ． (−2,0)∪(2,+∞)D ． (−∞,−2)∪(0,2)二、填空题13．已知向量a ⃗=(1,2),b ⃑⃗=(m,−1)，若a ⃗//(a ⃗+b ⃑⃗)，则a ⃗⋅b⃑⃗=__________． 14．已知1sin cos 5θθ+=， ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan θ=__________． 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号15．由曲线y =1x ，y 2=x 与直线x =2，y =0所围成图形的面积为________．16．在ΔABC 中，D 为BC 的中点，AC =2√3,AD =√7,CD =1，点P 与点B 在直线AC 的异侧，且PB =BC ，则平面四边形ADCP 的面积的最大值为_______.三、解答题17．已知等差数列{a n }的前n (n ∈N ∗)项和为S n ，数列{b n }是等比数列，a 1=3，b 1=1，b 2+S 2=10，a 5−2b 2=a 3．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）若c n =2S n，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n ．18．某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：（1）经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；（2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为16，获得“二等奖”的概率为13．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额X 的分布列及数学期望．参考公式：b ̂=∑x i y i ni=1−nxy∑x i 2n i=1−nx2，a ̂=y ̅−b ̂x̅，∑7i=1x i y i =364，∑7i=1x i 2=140．19．如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD =DC =CB =2，∠ABC =60°，平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是菱形，∠CAF =60°．（1）求证：BF ⊥AE ；（2）求二面角B −EF −D 的平面角的正切值． 20．已知椭圆E:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，且点P (1，32)在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点M(1，1)任作一条直线l ，l 与椭圆E 交于不同于P 点的A ，B 两点，l 与直线m:3x +4y −12=0交于C 点，记直线PA 、PB 、PC 的斜率分别为k 1、k 2、k 3．试探究k 1+k 2与k 3的关系，并证明你的结论．21．已知函数f (x )=lnx +ax −x +1−a (a ∈R ).(1)求函数f (x )的单调区间； (2)若存在x >1，使f (x )+x <1−x x成立，求整数a 的最小值.22．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为2ρsin (θ+π6)−3=0，曲线C 的参数方程是{x =2cosφy =2sinφ（φ为参数）．（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |+|PB |． 23．已知函数f (x )=|x +m |+|2x −1|． （1）当m =−1时，求不等式f (x )≤2的解集；（2）若f (x )≤|2x +1|在x ∈[1，2]上恒成立，求m 的取值范围．2019届广东省华南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学（理）试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】首先求得集合A，然后逐一考查所给选项是否正确即可.【详解】求解一元二次不等式x2−2x>0可得A={x|x>2或x<0}，据此可知A∩B={x|−2<x<0或2<x<3}≠∅，选项A错误；A∪B=R，选项B正确；集合AB之间不具有包含关系，选项CD错误；本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的包含关系，交集、并集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．B【解析】【分析】利用复数的除法运算得到复数z，进而得到结果.【详解】因为(2−i)z=5，所以z=52−i=2+i，z=2−i，所以|z|=|z|=√5.故选：B【点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)，则z1z2=(a+bi)(c+di)=ac−bd+(ad+bc)i，z1 z2=a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2.3．D【解析】【分析】本题可通过偶函数性质与函数是否有零点来得出答案。

华附三模2019届高三测试理科数学一、选择题：1.已知全集{|0}U x R x =∈<，{|10}M x R x =∈+<，1|218x N x R ⎧⎫=∈<<⎨⎬⎩⎭，则()U C M N =I （ ） A.{|31}x x -<<-B.{|30}x x -<<C.{|10}x x -≤<D.{|10}x x -<<2.已知复数103iz a i=+-（a R ∈），若z 为纯虚数，则|2|a i -=（ ）A.5C.23.已知向量()cos75,sin 75a ︒︒=r ，()cos15,sin15b ︒︒=r ，则||a b -r r 的值为（ ）A.12B.1C.2D.34.有4个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ） A.14B.12C.23D.345.已知5112a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）A.80-B.40-C.40D.806.记正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1292a a +=，4458S =，则使110n a <的最小的整数n 是（ ） A.4B.5C.6D.77.记函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移4π个单位后，得到函数()g x 的图象，现有如下命题：1p ：函数()g x 的最小正周期是2π；2p ：函数()g x 在区间,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增；3p ：函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[-1,2].则下列命题是真命题的为（ ） A.()23p p ⌝∧B.()13p p ∨⌝C.12p p ∨D.12p p ∧8.已知函数()sin 44166f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断错误的是（ ）A.()f x 为偶函数B.()f x 的图像关于直线2x π=-对称C.关于x 的方程()0.7f x =有实数解D.()f x 的图像关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称9.抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF V 的面积是（ ）A.4B.C.D.810.在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC V 是边长为6的等边三角形，PAB V 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A.64πB.48πC.36πD.27π11.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如右图所示的0—1三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第21n -行；则第61行中1的个数是（ ）A.31B.32C.33D.3412.已知函数2()ln(1)f x x x a x =+-+有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A.(,0]-∞B.[0,)+∞C.(0,1)(1,)+∞UD.(,0]{1}-∞U二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东华南师大附中-高三综合测试（三）（数学理）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时1。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答 题卡的密封线内．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目 指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回．第一部分选择题(40分)一、选择题（每小题5分，共40分） 1．若1sin ,:≤∈∀x R x p ，则（ ）A ．1sin ,:>∈∃⌝x R x p B. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p C. 1sin ,:≥∈∃⌝x R x p D. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x p 2．“a=2”是“直线ax+2y=0与直线x+y=1平行”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，在半径为R 的圆内随机撤一粒芝麻，它落在阴影部分 （圆内接正三角形）上的概率是（ ） A ．43 B. 433 C. π43 D. π4334．甲校有3600名学生。

乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在 这三校分别抽取学生（ ）A ．30人，30人，30人B ．30人，45人，15人C ．30人，10人 D. 30人，50人，10人5．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若80,15321321==++a a a a a a ，则=++131211a a a （ ）A. 1 B ．105 C ．90 D ．756. 已知两个不重合的平面α和β，下面给出四个条件： ①α内有无穷多条直线均与平面β平行； ②平面α，β均与平面γ平行；③平面α，β与平面γ都相交，且其交线平行； ④平面α，β与直线l 所成的角相等． 其中能推出α∥β的是（ ）A ．①B ，②C ．①和③D ．③和④7．设P 是双曲线19.222=⋅-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=O ，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则||2⋅PF =（ ） A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 98. 如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上 按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦 AP 的长为d ，则函数d=f(l)的图像大致是（ ）第二部分非选择题（110分）二、填空题（每小题5分，共30分）9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(,1(2>σσN ．若ξ在(0，1)内取值的概 率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为 ． 10．dx x ⎰--2|)1|2(=1l. 若(ax-1)5的展开式中x 3的系数是80，则实数a 的值是 ．3. 已知数列{}n a 中，a 1=1，a n+l =a n +n ，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项， 则判断框中应填的语句是 ．13．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加 某项志愿者活动，要求每人参加一天旦每天至多安排一 人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有 （用数字作答）21. 选做题(14～15题，考生只能从中选做一题，两题都做记第 一题的得分)14.（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线 ⎩⎨⎧-=+=t y at x C 22:1（t 为参数），曲线⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2:2y x C（a 为参数）．若曲线C l 、C 2有公共点，则实数a 的取值范围．15．（几何证明选讲）如图，已知△ABC 内接于圆O ，点D 在OC的延长线上，AD 是⊙0的切线，若∠B=30°，AC=2，则OD 的长为 ．三、解答题（共6大题，共80分） 16．（本题满分12分） 已知)cos ,(sin x x a -=，()x x cos 3,cos =，函数()23+⋅=x f(1)求f(x)的最小正周期； (2)当20π≤≤x 时，求函数f(x)的值域．17.（本题满分12分）甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为32，甲胜丙的概率为41，乙胜丙的概率为51 (1)求甲获第一名且丙获第二名的概率：(2)设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望。

广东华南师范大学附中2019年高三5月综合-数学（理）2018届高三5月综合测试数学〔理〕试题第一卷〔共40分〕【一】选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分，在每题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的1. 是虚数单位，那么复数3232i i i z ++=所对应的点落在A. 第一象限；B. 第二象限；C. 第三象限；D. 第四象限 2. 全集R U =，}21|{<<-=x x A ，}0|{≥=x x B ，那么=)(B A C UA. }20|{<≤x x ；B. }0|{≥x x ；C. 1|{->x x ；D. }1|{-≤x x 3. 公比为2的等比数列}{n a 的各项基本上正数，且16122=a a ，那么=92log a A. 4； B. 5； C. 6； D. 74. 假设y x 、满足约束条件⎩⎨⎧≤+≥+1022y x y x ，那么y x +2的取值范围是 A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,22； B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22； C. []5,5-； D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5,225. N M 、分别是正方体1AC 的棱1111D A B A 、的中点，如图是过A N M 、、和1C N D 、、的两个截面截去两个角后所得的几何体，那么该几何体的主视图为6. 假设将函数52)(x x f =表示为552210)1()1()1()(x a x a x a a x f +++++++= ，其中0a ，1a ，2a ，，5a 为实数，那么=3aA. 10；B. 20；C. 20-；D. 10-7. 在ABC ∆中，向量)72cos ,18(cos ︒︒=，)27cos 2,63cos 2(︒︒=，那么ABC ∆的面积为 A.22； B. 42； C. 23； D. 2 8. 对应定义域和值域均为[]1,0的函数)(x f ，定义：)()(1x f x f =，[])()(12x f f x f =，，[])()(1x f f x f n n -=， ,4,3,2=n ，方程[]1,0,)(∈=x x x f n 的零点称为f 的阶不动点。

2019届华南师大附中高三综合测试理科综合本试卷共12页，36小题，满分300分。

考试用时150分钟。

注意事项：1．答卷前，请务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名和考号填写在答题卡和答卷上。

2．选择题在选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H-1 N-14 Mg-24 Cl-35.5 Fe-56 Cu-64一、单项选择题：本大题共16小题，每小题4分，共64分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分。

1．下列概念的相互关系与图中a、b、c、d、e依次相对应的一组是A．个体、系统、器官、组织、细胞B．细胞代谢、细胞呼吸、光合作用、有氧呼吸、丙酮酸彻底分解C．细胞核、染色体、同源染色体、非同源染色体、染色单体D．生态系统、群落、无机环境、种群、个体2．右图为某高等植物叶肉细胞结构模式图，相关叙述不正确的是A．图中能产生ATP的结构有1、2、5B．1中产生的一分子CO2扩散出来进入2中被利用，穿过的磷脂双分子层的层数为4层C．2与4中都含有叶绿素和类胡萝卜素等色素D．3是细胞代谢和遗传的控制中心3．下图是人体通过一系列酶将原料合成氨基酸B的过程，下列说法正确的是A．①、②过程只在细胞质基质中进行B．若①过程受阻，则②过程也无法进行C．氨基酸B为非必需氨基酸D．该图表明基因可通过控制蛋白质的结构直接控制生物体的性状4．对下列细胞分裂模式图的分析，正确的是A．分别具有甲、乙、丙、丁细胞的生物个体，属于4个不同的物种B．只有乙细胞才有细胞板C．细胞甲、丙、丁都含有同源染色体D．细胞甲的一个染色体组含有的染色体数目最多5．右图为舞蹈症家系图，下列分析正确的是：A．舞蹈症为伴X染色体显性基因控制的遗传B．若图中7和10婚配，生一个患舞蹈症孩子的概率为5/6C．图中6号可携带该致病基因D．若图中3号与正常男性结婚，建议生女孩6．下表列出了纯合豌豆两对相对性状杂交试验中F2的部分基因型（非等位基因位于非同源染色体上）。