(试卷合集3份)2023届重庆市长寿区高一数学下学期期末监测试题

2023-2024学年重庆市部分学校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z 满足(1+i)z =2i ，则|−z |=( )A.22B. 1C.2 D. 22.7.8，7.9，8.1，8.1，8.3，8.5，8.7，8.9，9.0，9.0，9.1，9.1，9.4的第60百分位数是( )A. 8.7B. 8.9C. 9.0D. 9.13.在△ABC 中，记内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若c 2−ab =(a−b )2，则C =( )A. π6B. π4C. π3D. 2π34.下列说法正确的是( )A. 若空间四点共面，则其中必有三点共线B. 若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面C. 若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面D. 若空间四点不共面，则任意三点不共线5.某航空公司销售一款盲盒机票，包含哈尔滨、西安、兰州、济南、延吉5个城市，甲乙两人计划“五一”小长假前分别购买上述盲盒机票一张，则两人恰好到达城市相同的概率为( )A. 15B. 25C. 35D. 456.记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若atanB =btanA ，cosA +cosB =1，则△ABC 是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形7.在△ABC 中，AB =3，AC =4，∠BAC =60°，且AE =23AB ,AF =14AC ，则CE ⋅BF =( )A. −2B. −3C. −4D. −58.已知正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1，F 为BB 1的中点，过A 1作平面α满足条件，D 1F ⊥α，则α截正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1所得截面为( )A. 六边形B. 五边形C. 四边形D. 三角形二、多选题：本题共3小题，共18分。

重庆市长寿区2022-2023学年高一下学期期末数学试题（B卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．24C．22二、填空题(1)//CE平面AC F；11(2)求三棱锥E ABC-的体积．19．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，长寿区政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，1），[1，2），⋯，[8，9]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)直方图中a的值；(2)由频率分布直方图估计长寿区居民月用水量的平均数是多少？（每组数据用该组区间中点值作为代表）；(3)若长寿区政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），求x的估计值．20．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，对于（2），若//,,m n a b a b ÌÌ，则//m n 或,m n 异面，故（2）错误；对于（3），若,,m n m n a b ^ÌÌ，不一定能得到m b ^，所以无法得到a b ^，故（3）错误；对于（4），若//n a ，m n ^，不一定能得到m a ^，故（4）错误；对于（5），若a b ^，m a ^，n b ^，可以得到m n ^，故（5）正确.故选：A.10．B【分析】取1DD 中点为F ，易证1ACF Ð为异面直线1AC 与BE 所成角，分别求出1AC ，FC ，1A F 的值，再利用余弦定理求出答案.【详解】如图所示，取1DD 中点为F ,并连接1FE FC FA 、、，在矩形11ADD A 中，E F 、分别为11AA DD 、的中点，所以,,EF AD EF AD =∥在矩形ABCD 中，AD BC AD BC =∥、，所以,,EF BC EF BC =∥。

重庆市部分区2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．复数的虚部是( )A.2．某学校有小学生270人,初中生x 人,高中生810人.为了调查学校学生的近视率,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为360的样本,且从初中生中抽取的人数为120人,则x 为( )A.270B.360C.450D.5403．若一个扇形的半径为1,圆心角为,则该扇形的面积为( )4．设,当,在上的投影向量为( )B.5．已知的内角A ,B ,C 的对边分别是a,b,c ,且,则的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形6．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下：甲：乙：则下列结论正确的是( )A.甲成绩的平均数较小 B.乙成绩的中位数较小C.乙成绩的极差较大D.乙比甲的成绩稳定7．如图所示的平行四边形中,E ,F 满足,,G 为的中点,若ππ2cos isin 66z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=30︒e 2a e eABC △::5:8:10a b c =ABC △7,8,7,9,5,4,9,10,7,49,5,7,8,7,6,8,6,7,7ABCD 2CE EB = CF FD =EF AG AB AD λμ=+8．如图,在正方体中,点E,F,G,H 分别为棱,,,的中点,点M 为棱上的动点,则下列说法中正确的个数是( )①与异面;②三棱锥的体积为定值;③平面截正方体所得的截面图形始终是四边形;④平面与平面所成的角为定值.A.1个B.2个C.3个D.4个9．已知复数A.C.z 在复平面内对应的点在第二象限D.10．已知不重合的直线m,n,l 和平面,,则( )A.若,,则B.若,,则C.若,,,,,则D.若,,,,则直线l 过点P11．已知函数部分图象如图所示,下列说法正确的是( )1111ABCD A B C D -BC CD 11C D 11B C 1CC AM 1A E 1H A EM -AEM AEM 1BB GF z =z z ⋅=202410122z =αβγ//m n n α⊂//m αm α⊥//m βαβ⊥m α⊂n β⊂αβ⊥l αβ= m l ⊥m n ⊥m αγ= n αβ= l βγ= m n P = ()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭A.的图象关于点对称B.若在区间单调递增且,则的取值范围为C.将函数的图象D.若方程在上有两个不相等的实数根,则的取值范围是三、填空题12．__________.13．一个正方体的顶点都在表面积为的球面上,则正方体的棱长为__________.四、双空题14．已知中,则外接圆的半径为__________;线段的最大值为__________.五、解答题15．已知,,,且.（1）求的值：（2）求向量与向量夹角的余弦值.16．我国是世界上严重缺水的国家,某区为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查.通过抽样,获得某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）,将数据按照,,,分成9组,制成了如图所示的频率直方图.()f x 5π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭()f tx ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦0t >t 10,6⎛⎤⎥⎝⎦cos2y x =()f x ()f x m =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦m )2cos600︒=3πABC △BC =A =13BD BC = ABC △AD ()11,0e = ()20,1e = 122m e e =+ 12n e e λ=- m n ⊥λn 122a e e =+[0,0.5)[0.5,1) [4,4.5)（1）求直方图中a 的值;（2）设该区有70万居民,估计全区居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由;（3）若该区政府希望使的居民每月的用水量不超过标准x 吨,估计x 的值,说明理由.17．已知函数（1）求函数的解析式和周期,并求其图象的对称轴方程;（2）求函数在上的单调递减区间.18．如图,在平面四边形中,（1）求的值;（2）求的正弦值;（3）若,求中边上高的长度.19．如图,在五面体中,,,,（1）证明：;（2）给出①;②;③平面平面.试从中选两个作为条82%()2cos cos f x x x x =⋅+-()y f x =()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABCD BAD ∠=ADC =AC ==AD BAC ∠2AB =ABC △BC ABCDEF //AD CF 2AD CF CA ===4BE EF ==CFE ∠=//AD BE FD BE ⊥CA DE ⊥ABED ⊥ACFD件,剩下一个作为结论,可以让推理正确,请证明你的推理;CE ABED（3）在（2）中推理正确的前提下,求直线与平面夹角的正切值.参考答案1．答案：B 解析：2．答案：D解析：依题意初中生应抽取 120 人.所以,解 故选：D.3．答案：C解析：由一个扇形的半径为1,圆心角为.故选：C.4．答案：B解析：由题意可知:,则在,故选:B.5．答案：C解析：因为,所以设,,,,由余弦定理得,因为,所以,所以为钝角三角形.故选：C 6．答案：D 解析：7．答案：A360120270810xx⨯=++540x =302ππ1612⨯=12112a e ⋅=⨯⨯= a e =::5:8:10a b c =5a t =8b t =10c t =0t >222256410011cos 025880t t t C t t +-==-<⨯⨯(0,π)C ∈π,π2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ABC △解析：因为,,所以,,所以,,又G 为的中点,所以,所以故选：A.8．答案：C 解析：9．答案：ABD 解析：10．答案：BCD 解析：11．答案：BCD 解析：12．答案：解析：13．答案：1解析：14．答案：;解析：15．答案：（1）22CE EB = CF FD =13BE BC = 12DF DC = 1122AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+1133AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+EF 1111113222222343AG AF AE AD AB AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫=+=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭λ=23=3423==12-()()1cos 600cos 54060cos 3π602︒=︒+︒=+︒=-33+（2）解析：（1）因为,则因为,则有,解得.（2）可知,设与的夹角为,则所以,向量与向量夹角的余弦值16．答案：（1）0.30（2）84000（3）估计月均用水量标准为2.8吨时,82%的居民每月的用水量不超过标准解析：（1）由频率直方图可知,月均用水量在的频率为.同理在,,,,的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由,解得（2）由（1）知,该区100位居民月均用水量不低于3吨的频率为.由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为（3）因为前6组的频率之和为,前5组的频率之和为所以,由,解得因此,估计月均用水量标准为2.8吨时,82%的居民每月的用水量不超过标准.17．答案：（1）（2）在上的单调递减区间为35-()()12221,0,0,1,2,e e m e e n e e λ===+=- ()()()()()()2,00,12,1,1,00,1,m n λλ=+==-=-m n ⊥20λ-=2λ=()()()()1,00,21,2,1,2a n =+==-a nθ3cos 5a n a n θ⋅===⋅n 122a e e =- [)0,0.50.080.50.04⨯=[)0.5,1[)1.5,2[)2,2.5[)3,3.5[]4,4.5()10.040.080.210.250.060.040.020.52a -++++++=⨯0.30a =0.060.040.020.12++=7000000.1284000⨯=()0.080.160.300.420.500.300.50.88+++++⨯=()0.080.160.300.420.500.50.73++++⨯=2.53x ≤<()0.3 2.50.820.73x ⨯-=- 2.8x =()ππ62k x k =+∈Z ()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：（1）函数图象的周期由,解得;所以,函数图象的对称轴方程为.（2）当时,有,要使单调递减,故函数在上的单调递减区间为;18．答案：（1）3解析：（1）在中,由余弦定理得即,所以.（2）在因为,所以为锐角,所以所以()()2211cos cos 2cos 122f x x x x x x =⋅+-=+-1πcos2sin 226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()y f x =2ππ2T ==()ππ2π62x k k +=+∈Z ()ππ62k x k =+∈Z ()y f x =()ππ62k x k =+∈Z π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()f x π26x ≤+≤x ≤≤()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦ACD △2222cos AC AD DC ADDC ADC∠=+-222π24AD =+-3AD =ACD △==CAD ∠=CD AC <CAD ∠cos CAD ∠=πsin sin cos 2BAC CAD CAD ⎛⎫∠=-∠=∠=⎪⎝⎭（3）由在中,由余弦定理得,解得又的面积为,的边19．答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）证明：因为,面面,所以面.又因为面,面面,所以.（2）条件①②,结论③：证明;且,故四边形是平行四边形,故,因为,所以,又,,,平面,所以面,而面,故平面平面;条件①③,结论②：证明：且,故四边形是平行四边形,故,由,可得.因为面面,面面,面,所以面.而面,,因为,故.若条件②③,结论①：由于且,故四边形是平行四边形,故,若,则,由于面面,无法推导平面,不能推出,下面求直线和平面夹角的正切值：连接直线,πcos cos sin 2BAC CAD CAD ⎛⎫∠=-∠=∠=⎪⎝⎭ABC △2222cos BC AB AC AB AC BAC=+-⋅⋅∠222225=+-⨯=BC =ABC △11sin 2222ABC S AB AC BAC =⋅⋅⋅∠=⨯=△ABC ∴△BC =//AD CF CF ⊂,BCFE AD ⊄BCFE //AD BCFE AD ⊂ABED ABED BCFE BE =//AD BE //AD CF AD CF =ACFD //CA FD FD BE ⊥CA BE ⊥CA DE ⊥BE DE E = BE DE ⊂ABED CA ⊥ABED CA ⊂ACFD ABED ⊥ACFD //AD CF AD CF =ACFD //CA FD FD BE ⊥//AD BE FD AD ⊥ABED ⊥ACFD ABED ⋂ACFD AD =FD ⊂ACFD FD ⊥ABED ED ⊂ABED FD ED ∴⊥//CA FD CA DE ⊥//AD CF AD CF =ACFD //CA FD CA DE ⊥DF DE ⊥ABED ⊥ACFD DF ⊥ABED DF BE ⊥CE ABED CE AE因为,,,所以平面所以为直线和平面所成的角在中,因为,,,所以平面所以,,因为平面,所以,直线和平面CA DE ⊥CA BE ⊥DE BE E = CA ⊥ABDE CEA ∠CE ABED Rt FDE △DE ==CF EF ⊥CF FD ⊥FD EF F = CF ⊥FED AD DE ⊥4AE ==CA ⊥ABDE CA AE ⊥CE ABED。

高2026届高一（下）期末考试数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若π1,3a b A ===，则B =（）A.π3B.π2C.π6 D.π4【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理结合b a <进行求解即可.【详解】由正弦定理得：31sin sin A B=，则1sin 2B ==，由b a <得B A <，所以π6B =，故选：C ．2.某校高一年级有四个班共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按班级来分层，则高一2班应抽取的人数是（）A.12B.10C.8D.20【答案】B 【解析】【分析】由分层抽样的概念求解．【详解】解：依题意高一2班应抽取的人数为504010200⨯=人，故选：B ．3.已知平面四边形OABC 用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形O A B C ''''，则原图形OABC 中的AB =（）A.B. C.3 D.2【答案】C 【解析】【分析】根据斜二测画法规则结合勾股定理即可求解.【详解】根据斜二测画法规则， 1,2OA O A OB O B ''''====OA OB ⊥，则3AB ==，故选：C ．4.已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A.若αβ∥，m β∥，则m α∥B.若,m n αα⊥⊥，则m n ∥C.若m α∥，m β∥，则αβ∥D.若,m n m α⊥⊂，则n α⊥【答案】B 【解析】【分析】根据线线，线面，面面的平行关系，垂直关系，判断选项.【详解】A 中m 可能在α内，错误；B 中由线面垂直的性质显然正确；C 中α与β可能相交，错误；D 中n 可能在α内，可能平行于α，可能与α斜交，错误.故选：B5.甲、乙、丙3人独立参加一项挑战，已知甲、乙、丙能完成挑战的概率分别为13、13、14，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率为（）A.15B.13C.25D.23【答案】D 【解析】【分析】由独立乘法公式以及对立事件概率公式即可求解.【详解】由题意，甲、乙、丙三人都没完成挑战的概率11111113343P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再由对立事件关系，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率12133P =-=，故选：D ．6.平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，11π3A AD A AB ∠=∠=，11AA AB ==，E 为11CD 的中点，则异面直线BE 和DC 所成角的余弦值为（）A.0B.2C.12D.4【答案】A 【解析】【分析】由11·2BE DC AA AD AB AB ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭求解即可．【详解】解：由题意，11π111cos 32AA AB AA AD ==⨯⨯= ，·0AB AD =，又D C A B =，1111112BE AE AB AA A D D E AB AA AD AB =-=++-=+- ，所以1111·00222BE DC AA AD AB AB ⎛⎫⋅=+-=+-= ⎪⎝⎭，即有BE DC ⊥u u r u u u r ，故选：A ．7.甲在A 处收到乙在航行中发出的求救信号后，立即测出乙在方位角（是从某点的正北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）为45°、距离A 处为10n mile 的C 处，并测得乙正沿方位角为105°的方向，以6n mile/h 的速度航行，甲立即以14n mile/h 的速度前去营救，甲最少需要（）小时才能靠近乙．A.1B.2C.1.5D.1.2【答案】A 【解析】【分析】设甲乙相遇在点B 处，需要的时间为t 小时，则6,14BC t AB t ==，在△ABC 中，由余弦定理求解．【详解】解：设甲乙相遇在点B 处，需要的时间为t 小时，则6,14BC t AB t ==，又4575120,10ACB AC ∠=︒+︒=︒=，在△ABC 中，由余弦定理得：222(14)10(6)210(6)cos120t t t =+-⨯⨯⨯︒，则28350t t --=，即()()8510t t +-=，解得1t =或58t =-（舍去），故选：A ．8.已知向量,OA OB 满足1,2==OA OB uu r uu u r ，且向量OB 在OA 方向上的投影向量为OA．若动点C 满足12OC = ，则CA CB的最小值为（）A.12-B.4263- C.172D.574-【答案】D 【解析】【分析】应用数形结合及极化恒等式，化221·4CB CA CM AB =- ，求解即可．【详解】解：如图，根据投影向量，OA AB ⊥，则60AOB ∠=︒，且3AB =，因为12OC = ，所以点C 在以O 为圆心，半径12r =的圆上运动．设M 是AB 的中点，由极化恒等式得：22213·44CB CA CM AB CM =-=- ，因为min712CMOM r -=-=，此时2382735274444CM ---=-= ，即CA CB 的最小值为5274-，故选：D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，若()2i 1i z +=+，则（）A.复数z 的虚部为1- B.2z =C.z 在复平面内对应的点在第一象限 D.816z =【答案】AD 【解析】【分析】由题意，1i21i iz +=-=--，再依次判断．【详解】解：由题意，1i21i iz +=-=--，则虚部为1-，()()22112z =-+-=，则A 正确，B 错误；1i z =-+在复平面内对应的点()1,1-在第二象限，C 错误；()221i 2i z =--=，()()22422i 4z z ===-，()()2284416z z ==-=，D 正确，故选：AD ．10.一个袋子中有大小相同，标号分别为1，2，3，4的4个小球．采用不放回方式从中任意摸球两次，一次摸一个小球．设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，事件C =“两次摸出球的标号都是偶数”，则（）A.()()P A P B =B.()16P AB =C.()23P A B ⋃= D.()112P AC =【答案】ABD 【解析】【分析】写出样本空间以及各个事件所包含的基本事件，再结合古典概型概率计算公式逐一验算即可求解.【详解】由题意，摸球两次的样本空间()()()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3Ω=，事件()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =，事件()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =，事件()(){}2,4,4,2C =，所以()(){}1,2,2,1AB =，(){}2,4AC =，()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,4,1,4,2A B = ，利用古典概型计算公式，()()61122P A P B ===，()21126P AB ==，()105126P A B == ，()112P AC =，故选：ABD ．11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为线段1CC 上的动点，O 为正方体内一点，则以下命题正确的是（）A.1B M DM +取得最小值B.当M 为线段1CC 中点时，平面1BMD 截正方体所得的截面为平行四边形C.四面体ABMD 的外接球的表面积为5π时，1CM =D.若1,2AO CO A O ==，则点O 【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，将平面11BB C C 沿1C C 翻折到与平面11DD C C 为同一平面，结合勾股定理以及三角形三边关系即可判断；对于B ，设N 是1A A 的中点，得出四边形1NBMD 是菱形即可判断；对于C ，当1CM =时，验算四面体ABMD 的外接球的表面积即可判断；对于D ，找出点O 的轨迹即可验算求解.【详解】选项A 中，将平面11BB C C 沿1C C 翻折到与平面11DD C C 为同一平面，则11B M DM B D +≥==，当D ，M ，1B 三点共线时，等号成立，故A 正确；选项B 中，设N 是1A A 的中点，连接1D N ，NB ，而正方体的棱长为2，且,M N 分别为11,CC AA 的中点，所以11NB BM MD D N ====所以四边形1NBMD 是菱形，所以平面1BMD 就是平面1BMD N ，此截面是平行四边形，故B 正确；选项C 中，当1CM =时，因为CM ，AD ，AB 两两垂直，所以四面体ABMD 的外接球的直径23R ==，则32R =，此时外接球表面积24π9πR =，故C 错误；选项D 中，由AO CO =，所以点O 在AC 的中垂面11D DBB 上，设11B D 的中点为H ，则1A H =，因为1DD ⊥平面1111D C B A ，1A H ⊂平面1111D C B A ，所以11A H DD ⊥，又因为111A H B D ⊥，1111B D DD D = ，11B D ⊂平面1111D C B A ，1DD ⊂平面1111D C B A ，所以1A H ⊥平面11D DBB ，则HO ==所以点O 在以H 为圆心，r =的半圆上运动，点O ，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键的得出点O 首先在面11D DBB 上，进一步得出HO ==O 的轨迹，由此即可顺利得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()()1,1,,2a b m ==-，若()//a a b + ，则m =______．【答案】2-【解析】【分析】首先求出a b +的坐标，再由向量共线的坐标表示计算可得.【详解】因为()()1,1,,2a b m ==- ，所以()()()1,1,21,1a b m m +=+-=+-，又因为()//a a b +，所以()()1111m ⨯+=⨯-，所以2m =-.故答案为：2-．13.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.【答案】2π【解析】【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案.【详解】由题意得，圆锥的底面半径为1r =，母线长为2l =，故圆锥的侧面积为ππ122πrl =⨯⨯=.故答案为：2π14.记△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin cos cos a A c C a C c A +=+，若△ABC 的面积()20S tb t =>，则t 的最大值为______．【答案】14##0.25【解析】【分析】利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，化简得22sin sin sin A C B +=，然后由已知得221sin 2ab C S t b b==，化简后利用正弦定理统一成角的形式，再利用基本不等式可求得结果.【详解】因为sin sin cos cos a A c C a C c A +=+所以由正弦定理得()22sin sin sin sin A C A C B +=+=，由()20S tb t =>得：22221sin sin sin sin sin 122sin 4sin 4ab C S A C A C t b b B B +===≤=，当且仅当sin sin A C =，即45A C ==︒，90B =︒时等号成立，故答案为：14．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.为调查外地游客对洪崖洞景区的满意程度，某调查部门随机抽取了100位游客，现统计参与调查的游客年龄层次，将这100人按年龄（岁）（年龄最大不超过65岁，最小不低于15岁的整数）分为5组，依次为[)[)[)[)[]15,25,25,35,35,45,45,55,55,65，并得到频率分布直方图如下：（1）求实数a 的值；（2）估计这100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）估计这100人年龄的第80百分位数．（结果保留一位有效数字，四舍五入）【答案】（1）0.035a =；（2）41.5（3）51.7【解析】【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出实数a 的值；（2）利用平均数的定义进行求解；（3）先确定年龄的第80百分位在[)45,55之内，设第80百分位数为x ，得到方程，求出答案.【小问1详解】由题知，()100.010.0150.030.011a ⨯++++=，则0.035a =；【小问2详解】由图样本平均数200.1300.15400.35500.3600.141.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】由题知，年龄在[)15,55的频率为0.9，年龄在[)15,45的频率为0.6，则年龄的第80百分位在[)45,55之内，设第80百分位数为x ，则()0.6450.030.8x +-⨯=，解得51.7x ≈．16.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是一个菱形，60,DAB ∠=︒，点P 为1BC 上的动点．（1）证明：DP ∥平面11AB D ；（2）试确定点P 的位置，使得BC DP ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）点P 为1BC 中点【解析】【分析】（1）由11BD B D ∥得到BD ∥平面11AB D ，同理得到1BC ∥面11AB D ，得到面面平行，进而得到线面平行；（2）作出辅助线，得到DE BC ⊥，结合BC EP ⊥，得到线面垂直，故BC EP ⊥，结合1BC CC ⊥，EP ⊂平面1BCC ，所以1EP CC ∥，证明出结论.【小问1详解】由题知，由1111,BB DD BB DD =∥，则四边形11BB D D 为平行四边形，所以11BD B D ∥，因为11B D ⊂平面11AB D ，BD ⊄平面11AB D ，所以BD ∥平面11AB D ，同理可证1BC ∥面11AB D ，由BD ⊂面1BDC ，1BC ⊂面1BDC ，1BD BC B = ，所以平面1BDC ∥平面11AB D ，又PD ⊂面1BDC ，所以DP ∥面11AB D ；【小问2详解】取BC 中点E ，连接DE ，PE ．在△BDC 中，π,3BC DC BCD =∠=，则△BDC 为正三角形，所以DE BC ⊥，又BC DP ⊥，DE BC E ⋂=，,DE BC ⊂平面EDP ，所以BC ⊥面EDP ，因为EP ⊂平面EDP ，所以BC EP ⊥．在面1BCC 中，1BC CC ⊥，EP ⊂平面1BCC ，所以1EP CC ∥，在1BCC 中，E 为BC 中点，所以EP 为中位线，则点P 为1BC 中点．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos 2sin sin A B c a A B b ⎫=+=⎪⎭．（1）求A 的大小；（2）已知233AB AC AD =+ ，若A 为钝角，求ABD △面积的取值范围．【答案】（1）π3或2π3；（2）0,9⎛ ⎝⎦【解析】【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到3sin 2A =，求出π3A =或2π3；（2）由233AB AC AD =+ 得到2BD DC = ，故36ABD S bc =△，以由（1）知，2π3A =，且2a =，由余弦定理224b c bc ++=，由基本不等式得43bc ≤，求出403bc <≤，得到ABD △面积的取值范围.【小问1详解】cos cos 2sin cos cos sin 2sin sin sin sin sin sin A B c B A B A C A B bA B B +⎫+=⇒=⎪⎭，()sin 2sin sin 2sin sin sin sin sin sin sin B A C C C A B B A B B+=⇒=，因为在△ABC 中，()sin sin 0,sin 0B A C B +=>>，所以化简得：sin 2A =，又0πA <<，解得：π3A =或2π3；【小问2详解】由233AB AC AD =+ 得：()322AD AB AC AD DB AD DC =+=+++ ，则2BD DC = ，从而2213sin 3326ABD ABC S S bc A bc ==⨯=△△，因为A 为钝角，所以由（1）知，2π3A =，且2a =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得：224b c bc ++=，因为222b c bc +≥，所以42bc bc ≥+，所以43bc ≤，当且仅当3b c ==时等号成立，又b ，c 可以无限接近0，所以403bc <≤，从而0,69ABD S bc ⎛=∈ ⎝⎦△，故△ABD 面积的取值范围为0,9⎛ ⎝⎦．18.已知三棱台111ABC A B C -中，△ABC 为正三角形，1111112A B AA BB AB ====，点E 为线段AB 的中点．（1）证明：1A E ∥平面11B BCC ；（2）延长111,,AA BB CC 交于点P ，求三棱锥P -ABC 的体积最大值；（3）若二面角1A CC B --的余弦值为13，求直线1BB 与平面11ACC A 所成线面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）33【解析】【分析】（1）设F 是BC 的中点，连接EF ，1C F ，则利用三角形中位线定理结合已知可证得四边形11A EFC 是平行四边形，则11A E C F ∥，再由线面平行的判定定理可证得结论；（2）由题意可得当平面PAB ⊥平面ABC 时，该三棱锥的体积最大，由已知可得△PAB 是边长2的正三角形，从而可求出三棱锥的体积；（3）由题意可得二面角1A CC B --的平面角是1AC B ∠，利用余弦定可求出其余弦值，作1BO AC ⊥于点O ，连接PO ，则可得∠BPO 为直线1BB 与平面11ACC A 所成角，然后在BPO △中可求得结果.【小问1详解】证明：如图，设F 是BC 的中点，连接EF ，1C F ，在三棱台111ABC A B C -中，因为1112A B AB =，所以1112A C AC =，且11A C AC ∥，因为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF AC ∥，12EF AC =，所以11A C ∥EF ，11A C EF =，所以四边形11A EFC 是平行四边形，所以11A E C F ∥，又1A E ⊄平面11B BCC ，1C F ⊂平面11B BCC ，所以1A E ∥平面11B BCC ；【小问2详解】因为2AB =，又122sin 602ABC S =⨯⨯⨯︒=△为定值，所以当平面PAB ⊥平面ABC 时，该三棱锥的体积最大．因为11A B ∥AB ，1112A B AB =，所以11,A B 分别是PA ，PB 的中点，所以2PA PB AB ===，因此△PAB 是边长2的正三角形，因为PE AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC ，又PE =，则1133P ABC ABC V PE S -== △；则三棱锥P -ABC 的体积最大值为1．【小问3详解】如图，2PA AC PB BC ====，1C 是PC 的中点，则11,AC PC BC PC ⊥⊥，所以二面角1A CC B --的平面角是1AC B ∠，又11AC BC =，由余弦定理得：222111111cos 23AC BC AB AC B AC BC +-∠== ，解得113AC BC ==作1BO AC ⊥于点O ，连接PO ，因为PC ⊥平面1AC B ，所以PC BO ⊥，又11AC PC C = ，1,AC PC ⊂平面11ACC A ，所以BO ⊥平面11ACC A ，则∠BPO 为直线1BB 与平面11ACC A 所成角，由262,33PB BO ==，则22233PO PB BO =-，从而3cos 3PO BPO PB ∠==，所以直线1BB 与平面11ACC A 所成线面角的余弦值为33．19.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ．A 、B 、C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设0O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，同理，圆32,O O 的劣弧AC 、AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角,,C OA B A OB C B OC A ------分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为()2πABC S R αβγ=++- 球面．（1）若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；（2）若平面三角形ABC 为直角三角形，ACBC ⊥，设123,,AOC BOC AOB θθθ∠=∠=∠=．则：①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，(],0,1BE BD λλ=∈ ，S 为AC 中点，T 为BC 中点，设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求sin θ的最小值，及此时平面AEC 截球O 的面积．【答案】（1）2π2R （2）①证明见解析；②sin 5θ=，253π78R 【解析】【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可；（2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式分析可知点E ，再利用空间向量求球心O 到平面AEC 距离，结合球的性质分析求解.【小问1详解】若平面OAB ，OAC ，OBC 两两垂直，有π2αβγ===，所以球面三角形ABC 面积为()22ππ2ABC S R R αβγ=++-=球面.【小问2详解】①证明：由余弦定理有：222212222222223222AC R R R cos BC R R R cos AB R R R cos θθθ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩，且222AC BC AB +=，消掉2R ，可得123cos cos cos 1θθθ+-=；②由AD 是球的直径，则,AB BD AC CD ⊥⊥，且AC BC ⊥，CD BC C ⋂=，,CD BC ⊂平面BCD ，所以AC ⊥平面BCD ，且BD ⊂平面BCD ，则AC BD ⊥，且AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，可得BD ⊥平面ABC ，由直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，所以ππ,43DAB DCB ∠=∠=，不妨先令R =2AD AB BD BC AC =====，由AC BC ⊥，AC BD ⊥，BC BD ⊥，以C 为坐标原点，以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 作BD 的平行线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设(,BE t t =∈，则())()0,2,0,,0,0,0,A BC D ，可得()0,1,0,,0,02S T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，),,1,22E t O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则),22CB CO ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，,1,0,22ST TE t ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面OBC 法向量()111,,m x y z =，则11110022m CB m CO x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取12z =-，则110y x ==，可得()2m =- ，设平面EST 法向量()222,,n x y z =，则22220202n ST x y n TE x tz ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取2x =，则22,1y t z ==-，可得),,1n t =- ，要使sin θ取最小值时，则cos θ取最大值，因为cos cos,m nm nm nθ⋅======，令(]1,1,13m m=+∈，则()2218mt t-==，可得()2221888293129621218m mt m mm mm+===≤=+-+--+-+，当且仅当3,m t==取等．则cosθ10sin5θ==为最小值，此时点E，可得CE=，()0,2,0CA=，设平面AEC中的法向量(),,k x y z=，则20k CE zk CA y⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩，取1x=，则0,y z==-，可得(1,0,k=-，可得球心O到平面AEC距离为AO kdk⋅==设平面AEC截球O圆半径为r，则2225326r R d=-=，所以截面圆面积为225353πππ2678r R==.【点睛】方法点睛：1.利用空间向量求线面角的思路直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角ϕ求得，即sin cosθϕ=；2.利用空间向量求点到平面距离的方法设A为平面α内的一点，B为平面α外的一点，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离AB ndn⋅=.。

重庆市部分区2023~2024学年度第二学期期末联考高一数学试题卷注意事项：1.考试时间：120分钟，满分：150分.试题卷总页数：4页.2.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷､草稿纸上答题无效.3.需要填涂的地方，一律用2B 铅笔涂满涂黑.需要书写的地方一律用0.5mm 签字笔.4.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数ππ2cos isin 66z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的虚部是（）A.πsin6B.1C.π2cos6z = D.i【答案】B 【解析】【分析】直接计算虚部即可.【详解】复数z 的虚部是π12sin 2162=⨯=.故选：B .2.某学校有小学生270人，初中生x 人，高中生810人.为了调查学校学生的近视率，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为360的样本，且从初中生中抽取的人数为120人，则x 为（）A.270B.360C.450D.540【答案】D 【解析】【分析】根据分层抽样计算规则计算可得.【详解】依题意初中生应抽取120人.所以360120270810xx⨯=++，解得540x =故选：D.3.若一个扇形的半径为1，圆心角为30 ，则该扇形的面积为（）A.15B.30C.π12D.π6【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，即可求解.【详解】由一个扇形的半径为1，圆心角为30 ，即为π6，所以该扇形的面积为2ππ161212⨯=⨯.故选：C.4.设e 为单位向量，2a = ，当,a e 的夹角为π3时，a 在e 上的投影向量为（）A.12e B.eC.2eD.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，以及投影向量的定义与计算，即可求解.【详解】由向量e为单位向量，2a = ，当,a e 的夹角为π3时，可得πcos 13a e a e ⋅== ，所以a 在e上的投影向量为1e e ⋅= .故选：B.5.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且::5:8:10a b c =，则ABC 的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】C 【解析】【分析】设5,8,10,0a t b t c t t ===>，利用余弦定理可判断角C 为钝角.【详解】因为::5:8:10a b c =，所以设5,8,10,0a t b t c t t ===>，由余弦定理得222256410011cos 025880t t t C t t +-==-<⨯⨯，因为()0,πC ∈，所以π,π2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ABC 为钝角三角形.故选：C6.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4乙：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7则下列结论正确的是（）A.甲成绩的平均数较小B.乙成绩的中位数较小C.乙成绩的极差较大D.乙比甲的成绩稳定【答案】D 【解析】【分析】将甲乙成绩从小到大进行排列，分别计算出甲乙成绩的平均数，中位数，极差，方差，比较大小即可判断.【详解】将甲乙两位射击运动员的射击环数从小到大进行排列可得：甲：4,4,5,7,7,7,8,9,9,10，乙：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，对于选项A:甲的射击环数的平均数144577789910710x +++++++++==，乙的射击环数的平均数25667777889710x +++++++++==，所以甲乙成绩的平均数相等，故选项A 错误；对于选项B:易得甲的射击环数的中位数为7772+=，乙的射击环数的中位数为7772+=，所以甲乙成绩的中位数相等，故选项B 错误；对于选项C:易得甲的射击环数的极差为1046-=，乙的射击环数的极差为954-=，所以甲成绩的极差较大，故选项C 错误；对于选项D:因为甲的射击环数的平均数17x =，所以甲的射击环数的方差为()()()()()()()()()()2222222222211474757777777879797107 3.610S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=⎣⎦因为乙的射击环数的平均数27x =，所以乙的射击环数的方差为()()()()()()()()()()222222222222157676777777777878797 1.210S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=⎣⎦所以2221S S <，所以乙比甲的成绩稳定，故选项D 正确.故选:D.7.如图所示的平行四边形ABCD 中，,E F 满足2,,CE EB CF FD G ==为EF 的中点，若AG AB AD λμ=+ ，则λμ的值为（）A.98B.89C.34D.43【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量加减法和数乘运算用,AB AD 表示出AG，然后可得,λμ的值，可得答案.【详解】因为2,CE EB CF FD ==，所以11,32BE BC DF DC == ，所以1122AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+ ，1133B AE AB BE AC AD B AB =+==++ ，又G 为EF 的中点，所以1111113222222343AG AF AE AD AB AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫=+=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以32,43λμ==，所以394283λμ==故选：A8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,,,E F G H 分别为棱1111BC CD C D B C ､､､的中点，点M 为棱1CC 上的动点，则下列说法中正确的个数是（）①AM 与1A E 异面；②三棱锥1H A EM -的体积为定值；③平面AEM 截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面AEM 与平面1BB GF 所成的角为定值.A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】C 【解析】【分析】①，证明出AM 与1AC 相交，故故AM 与1A E 异面，①正确；②，用等体积法进行证明；③，举出反例；④，证明出面面垂直，得到④正确.【详解】①，显然1//CM A A ，故1,,,A A C M 四点共面，故AM 与1AC 相交，故AM 与1A E 异面，①正确；②，HEM △为定值，点1A 到平面HEM 的距离为11A B ，由于11H A EM A HEM V V --=为定值，②正确；③，当M 为1CC 的中点时，此时由于11//AD BC ，1//ME BC ，所以1//AD ME ，故平面AEM 截正方体所得的截面图形是四边形1AD ME ，当112CM CC >时，此时平面AEM 截正方体所得的截面图形是五边形，如图所示，平面AEM 截正方体所得的截面图形不一定是四边形，③错误；④，因为,E F 分别为,BC CD 的中点，所以BE CF =，又AB CB =，90ABE BCF ∠=∠=︒，所以ABE ≌BCF △，故BAE CBF ∠=∠，又90BAE ABF CBF ABF ∠+∠=∠+∠=︒，故AE ⊥BF ，又1BB ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以1BB ⊥AE ，又1BF BB B ⋂=，1,BF BB ⊂平面1BB GF ，所以AE ⊥平面1BB GF ，又AE ⊂平面AEM ，所以平面AEM ⊥平面1BB GF ，故平面AEM 与平面1BB GF 所成的角为定值，④正确.故选：C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数1iiz +=，则（）A.2z z ⋅= B.z =C.z 在复平面内对应的点在第二象限 D.202410122z =【答案】ABD 【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得1i z =-，得到1i z =+，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由复数()1i (i)1i 1i i i (i)z +-+===-⨯-，可得1i z =+，对于A 中，由(1i)(1i)2z z ⋅=-+=，所以A 正确；对于B 中，由z ==B 正确；对于C 中，复数1i z =-在复平面内对应的点为(1,1)Z -位于第四象限，所以C 错误；对于D 中，21012202101241012[(1i)](22i)z ==-=-，所以D 正确.故选：ABD.10.已知不重合的直线,,m n l 和平面,,αβγ，则（）A .若//,m n n α⊂，则//m αB.若,//m m αβ⊥，则αβ⊥C.若,,,,m n l m l αβαβαβ⊂⊂⊥⋂=⊥，则m n⊥D.若,,,m n l m n P αγαββγ⋂=⋂=⋂=⋂=，则直线l 过点P 【答案】BCD 【解析】【分析】根据线线、线面及面面的位置关系即可判断.【详解】对于A ，若//,m n n α⊂，则//m α或m α⊂，故A 错误；对于B ，若,//m m αβ⊥，如图①所示，则由线面垂直知αβ⊥，故B 正确；对于C ，若,,,,m n l m l αβαβαβ⊂⊂⊥⋂=⊥，则由平面与平面垂直的性质得m β⊥,因为n β⊂，所以m n ⊥，故C 正确；对于D ，若,,,m n l m n P αγαββγ⋂=⋂=⋂=⋂=，则直线l 过点P ,证明如下：如图②所示，因为,,m n m n P αγαβ⋂=⋂=⋂=，所以,P m P n ∈∈，又因为,m n γβ⊂⊂，所以,P P γβ∈∈，又因为l γβ⋂=，所以P l ∈，故直线l 过点P ，故D 正确.故选：BCD.图①图②11.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫-⎪⎝⎭对称B.若()f tx 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增且0t >，则t 的取值范围为10,6⎛⎤ ⎥⎝⎦C.将函数cos2y x x =-的图象向右平移π4个单位得到函数()f x 的图象D.若方程()f x m =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是)2【答案】BCD 【解析】【分析】先根据图象求出函数解析式，然后利用代入验证法判断A ；根据单调区间判断周期范围，然后可得302t <≤，求出π23tx +的范围，结合正弦函数的单调性可判断B ；利用辅助角公式化简，根据平移变换和诱导公式可判断C ；将问题转化为直线y m =与()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象有两个交点，结合正弦函数性质可判断D .【详解】由图可知，2A =，ππ4π312T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2π2π2πT ω===，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，将点π,212⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式得π2sin 26ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π62k ϕ+=+，即π2π,3k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，所以π3ϕ=，()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于A ，因为5π5ππ4π2sin 2sin 06333f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以点5π,06⎛⎫-⎪⎝⎭不是函数()f x 的对称中心，A 错误；对于B ，()π2sin 23f tx tx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦单调递增，所以2πππ2π22263t ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭302t <≤，因为ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1π31π2π333t t tx ++≤+≤，因为302t <≤，所以153ππ<π362t +≤，所以，要使()f tx 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦单调递增，则31ππ32t +≤，解得16t ≤，所以106t <≤，B 正确；对于C ，πcos22cos 23y x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，将其图象向右平移π4所得图象对应的解析式为：πππππ2cos 22cos 22sin 243323y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 正确；对于D ，当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当ππ232x +=，即π12x =时，()f x 取得最大值2；当ππ233x +=，即0x =时，()0f =当π4π233x +=，即π2x =时，π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以，要使方程()f x m =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，只需直线y m =与()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象有两个交点，2m ≤<，故D 正确.故选：BCD【点睛】思路点睛：根据正弦函数图象求解析式，一般先根据图象求A 和周期，由周期公式求ω，再通过代入点的坐标求ϕ，然后利用整体代入法，结合正弦函数性质求解即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.cos600= __________.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】利用诱导公式化简，由特殊角的三角函数值可得.【详解】()()1cos600cos 360240cos 240cos 18060cos 602=+==+=-=-.故答案为：12-13.一个正方体的顶点都在表面积为3π的球面上，则正方体的棱长为__________.【答案】1【解析】【分析】根据正方体的体对角线即为外接球的直径可解.【详解】设正方体的棱长为a=，所以外接球的半径为32a ，由题知，24π3π2a ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，解得1a =.故答案为：114.已知ABC中π1,43BC A BD BC === ，则ABC 外接圆的半径为__________；线段AD 的最大值为__________.【答案】①.3②.3【解析】【分析】第一空由正弦定理可得；第二空设三角形外接圆圆心为O ,由余弦定理得OD =又因为AD AO OD ≤+得出结果；【详解】在ABC中π1,43BC A BD BC === ，设ABC 外接圆的半径为R ，正弦定理得2,2623sin 22BC R R R R A =⇒=⇒=.设三角形外接圆圆心为O ,则OA OB OC 3===,因为BC =所以勾股定理可知222OC OB BC +=,π2BOC ∠=所以π4OBC ∠=,在BOD 中，由余弦定理得2222cos OD BO BD BD BO OBC =+-⋅∠，所以22922352OD =+-⨯=，OD =又因为3AD AO OD ≤+=+因此ABC 外接圆的半径为3；线段AD的最大值为3+.故答案为：33+，四､解答题：本题共有5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知()()1212121,0,0,1,2,e e m e e n e e λ===+=- ，且m n ⊥ .（1）求λ的值：（2）求向量n 与向量122a e e =+ 夹角的余弦值.【答案】（1）2（2）35-.【解析】【分析】（1）利用向量垂直关系即可求解；（2）由向量夹角公式即可求解.【小问1详解】因为()()1212121,0,0,1,2,e e m e e n e e λ===+=- ，则()()()()()()2,00,12,1,1,00,1,m n λλ=+==-=- 因为m n ⊥ ，则有20λ-=2=.【小问2详解】可知()()()()1,00,21,2,1,2a n =+==-，设a 与n 的夹角为θ，则3cos 5a n a n θ⨯+⨯-⋅==-⋅ 所以向量n 与向量122a e e =- 夹角的余弦值35-.16.我国是世界上严重缺水的国家，某区为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5),[0.5,1),,[4,4.5) 分成9组，制成了如图所示的频率直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）设该区有70万居民，估计全区居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（3）若该区政府希望使82%的居民每月的用水量不超过标准x 吨，估计x 的值，说明理由.【答案】（1）0.30；（2）84000，理由见解析；（3） 2.8x =，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据频率直方图中各组的频率之和为1，即可求出答案；（2）求出该区100位居民月均用水量不低于3吨的频率，即可估计出所求答案；（3）根据百分位数的求法，列式求解，即得答案.【小问1详解】[)的频率为0.080.50.04⨯=.同理在[)[)[)[)[]0.5,1,1.5,2,2,2.5,3,3.5,4,4.5的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06，0.04,0.02，由()10.040.080.210.250.060.040.020.52a -++++++=⨯，解得0.30a =【小问2详解】由（1）知，该区100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.060.040.020.12++=.由以上样本的频率分布，可以估计70万居民中月均用水量不低于3吨的人数为7000000.1284000⨯=；【小问3详解】因为前6组的频率之和为()0.080.160.300.420.500.300.50.88+++++⨯=，前5组的频率之和为()0.080.160.300.420.500.50.73++++⨯=所以2.53x ≤<，由()0.3 2.50.820.73x ⨯-=-，解得 2.8x =，因此，估计月均用水量标准为2.8吨时，82%的居民每月的用水量不超过标准.17.已知函数()21cos cos 2f x x x x =⋅+-.（1）求函数()y f x =的解析式和周期，并求其图象的对称轴方程；（2）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间.【答案】（1）()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，周期π，()ππ62k x k =+∈Z ；（2）ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，由周期公式可的周期，利用整体代入法求对称轴方程即可；（2）先求π26x +的范围，然后利用正弦函数的单调性可得.【小问1详解】()()22131cos cos sin22cos 1222f x x x x x x =⋅+-=+-31πsin2cos2sin 2226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，函数()y f x =的周期2ππ2T ==由()ππ2π62x k k +=+∈Z ，解得()ππ62k x k =+∈Z ；所以，函数()y f x =图象的对称轴方程为()ππ62k x k =+∈Z .【小问2详解】当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，有ππ7π2,666⎡⎤+∈⎢⎣⎦x ，要使()f x 单调递减，则需要ππ7π2266x ≤+≤，解得ππ62x ≤≤，故函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦.18.如图，在平面四边形ABCD 中，ππ,,24BAD ADC AC CD ∠∠====.（1）求AD 的值；（2）求BAC ∠的正弦值；（3）若2AB =，求ABC 中BC 边上高的长度.【答案】（1）3（2（3）5【解析】【分析】（1）在ACD 中，根据余弦定理，列出方程，即可求解；（2）在ACD 中，根据正弦定理，求得5sin 5CAD ∠=，得到25cos 5CAD ∠=，结合πsin sin 2BAC CAD ⎛⎫∠=-∠ ⎪⎝⎭，即可求解；（3）在ABC 中，利用余弦定理，求得BC =，再由三角形的面积公式，求得ABC 的面积为2，设ABC 中BC 边上高的长度为h ，得到4h BC=，即可求解.【小问1详解】解：在ACD 中，由余弦定理得2222·cos AC AD DC AD DC ADC=+-∠即222π24AD =+-，即2230AD AD --=，所以3AD =或1AD =-（舍去），所以AD 的值为3.【小问2详解】解：在ACD 中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，即52πsin sin 4CAD ∠=，解得5sin 5CAD ∠=，因为CD AC <，所以CAD ∠为锐角，所以25cos 5CAD ∠=，又因为π2BAD ∠=，所以π25sin sin cos 25BAC CAD CAD ⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭.【小问3详解】解：由π5cos cos sin 25BAC CAD CAD ⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭，在ABC 中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC=+-⋅⋅∠2222255=+-⨯=，解得BC =，又因为ABC 的面积为1125sin 22225ABC S AB AC BAC ∠=⋅⋅⋅=⨯⨯ ，设ABC 中BC 边上高的长度为h ，可得122BC h ⋅=，可得4455h BC ==，所以ABC 的边BC 上高的大小为455.19.如图，在五面体ABCDEF 中，AD π,2,4,2CF AD CF CA BE EF CFE ∠======.（1）证明：AD //BE ；（2）给出①FD BE ⊥；②CA DE ⊥；③平面ABED ⊥平面ACFD .试从中选两个作为条件，剩下一个作为结论，可以让推理正确，请证明你的推理；（3）在（2）中推理正确的前提下，求直线CE 与平面ABED 夹角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）所选条件及证明见解析；（3）12.【解析】【分析】（1）应用线面平行的性质定理证明线线平行；（2）分情况应用线面垂直判定定理及面面垂直性质定理证明；（3）根据线面垂直判定定理找到线面角再求边长得出正切.【小问1详解】证明：因为AD //,CF CF ⊂面,BCFE AD ⊄面BCFE ，所以AD //面BCFE .又因为AD ⊂面ABED ，面ABED ⋂面BCFE BE =，所以AD //BE .【小问2详解】解：条件①②，结论③：AD //CF 且AD CF =，故四边形ACFD 是平行四边形，故CA //FD ，因为FD BE ⊥，所以CA BE ⊥又,,CA DE BE DE E BE DE ⊥⋂=⊂､平面ABED ，所以CA ⊥面ABED ，而CA ⊂面ACFD ，故平面ABED ⊥平面ACFD ；条件①③，结论②：AD //CF 且AD CF =，故四边形ACFD 是平行四边形，故CA //FD ，由,FD BE AD ⊥//BE 可得FD AD ⊥.因为面ABED ⊥面ACFD ，面ABED ⋂面,ACFD AD FD =⊂面ACFD ，所以FD ⊥面ABED ，而ED ⊂面ABED FD ED ⇒⊥，因为CA //FD ，故CA DE ⊥.若条件②③，结论①：由于AD //CF 且AD CF =，故四边形ACFD 是平行四边形，故CA //FD ，若CA DE ⊥，则DF DE ⊥，由于面ABED ⊥面ACFD ，无法推导DF ⊥平面ABED ，不能推出DF BE ⊥，【小问3详解】连接直线,CE AE因为,,,CA DE CA BE DE BE E BE ⊥⊥⋂=⊂平面ABDE ,DE ⊂平面ABDE ，所以CA ⊥平面ABDE ，所以CEA ∠为直线CE 和平面ABED 所成的角，在Rt FDE △中，DE ==因为,,,CF EF CF FD FD EF F FD ⊥⊥⋂=⊂平面FED ,EF ⊂平面FED ，所以CF ⊥平面FED ，由//CF AD ，则AD ⊥面FED ，DE ⊂面FED ，所以,4AD DE AE ⊥==，因为CA ⊥平面ABDE ，AE ⊂面ABDE ，所以CA AE ⊥，直线CE 和平面ABED 夹角的正切值为12CA AE =.。

重庆市长寿区2023—2024学年下学期高一期末检测卷（B ）数学试题（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足2i 2z z -=，则复数z 的虚部为（）A.2i 5B.4i 5 C.25D.45【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算，结合复数的意义求解即得.【详解】由2i 2z z -=，得22(2i)42i 2i (2i)(2i)55z +===+--+，所以复数z 的虚部为25.故选：C2.已知向量,a b 满足()()2540a b a b +⋅-=，且1a b == ，则a 与b 的夹角θ为（）A.34π B.4π C.3πD.23π【答案】C 【解析】【分析】利用向量的数量积即可求解.【详解】()()222545680a b a b a a b b +⋅-=+⋅-= ，1a b ==r r ，63a b ∴⋅= ，1cos 2θ∴=.又[]0,θπ∈，3πθ∴=.故选：C.【点睛】本题考查了向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.3.已知向量()2,a m =-r ，()1,1b m =+ ，则“a b ⊥ ”是“1m =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示求出当a b ⊥时的m 值即可得解.【详解】由题当a b ⊥ 时，()221201a b m m m m =-⨯+=-++=+ ，2m ⇒=-或1m =，故“a b ⊥ ”是“1m =”的必要不充分条件.故选：B .4.在ABC 中，a、b 、c 分别是内角A 、B 、C 所对的边，若a =b =，30A = ，则边c =（）A.B. C.或 D.【答案】C 【解析】【分析】根据余弦定理可得出关于c 的等式，解之即可.【详解】因为a =b =，30A = ，由余弦定理可得2222cos a bc bc A =+-，即2622c c +-⨯=，即240c -+=，解得c =或.故选：C.5.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力“极目一号”Ⅲ型浮空艇长53米，高18米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为（）A.2530πB.3016πC.3824πD.4350π【答案】A 【解析】【分析】根据球、圆柱、圆台的体积公式可求出结果.【详解】根据题意，该组合体的直观图如图所示：半球的半径为9米，圆柱的底面半径为9米，母线长为14米，圆台的两底面半径分别为9米和1米，高为30米.则()3314π9486πm 23V =⨯⨯⨯=半球，()239141134m V ππ=⨯⨯=圆柱，()()22319911π30910πm 3V =⨯+⨯+⨯=圆台，所以()3486π1134π910π2530πm V V V V =++=++=半球圆柱圆台.故选:A.6.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,E F G H 分别是棱111111,,,A B BB CC C D 的中点，则下列结论一定成立的是（）A.四边形EFGH 是矩形B.四边形EFGH 是正方形C.//BD HGD.平面//EFGH 平面ABCD【答案】A【解析】【分析】充分利用中点的特征，通过证明//EH FG ，EH FG =，EH EF ⊥来得到四边形EFGH 是矩形，从而确定选项A 正确，选项B 错误.选项C 、D 可利用反证法.【详解】在长方形1111D C B A 中，因为点E ，H 分别为11A B ，11C D 的中点，所以11//EH B C ，11EH B C =.在长方体中，有11B C ⊥平面11AA B B ，又11//EH B C ，所以EH ⊥平面11AA B B ，又EF ⊂平面11AA B B ，所以EH EF ⊥.在长方形11BB C C 中，同理可得11//FG B C ，11FG B C =.所以//EH FG ，EH FG =，又EH EF ⊥，所以四边形EFGH 是矩形.故选项A 正确，选项B 错误.若//BD HG ，则由//HG EF 知，//BD EF ，又点E ，F 分别为11B A ，1B B 的中点，所以1//EF A B ，所以1//BD A B .由图知BD 和1A B 为相交直线，矛盾.故假设不成立，故选项C 错误.由图知，EF 和AB 为相交直线，所以平面EFGH 与平面ABCD 不会平行，故选项D 错误.故选：A.7.对一个样本容量为100的数据分组，各组的频数如表：区间[17,19)[19,21)[21,23)[23,25)[25,27)[27,29)[29,31)[31,33]频数113318162830估计小于29的数据大约占总体的A.16% B.40%C.42%D.58%【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由表格可以看出，样本在区间[17，29）上的数据个数，样本容量为100，进而得到小于29的数据大约占总体的42%．详解：由表格可以看出，样本在区间[17，29）上的数据个数为1+1+3+3+18+16=42个数据，∵样本容量为100，∴样本在区间[17，29）上的频率为42100，则估计小于29的数据大约占总体的42%，故选C ．点睛：本题考查频率的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．8.一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F 为6个开关，其闭合的概率为12，且是相互独立的，则灯亮的概率是()A.164B.5564C.18D.116【答案】B 【解析】【详解】设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为,T E 与F 至少有一个不闭合的事件为R ，则()()1131224P T P R ==-⨯=，所以灯亮的概率为()()1P P T P R =-⋅⋅()()3311551442264P C P D ⋅=-⨯⨯⨯= ，故选B.【方法点睛】本题主要考查独立事件、对立事件的概率公式，属于难题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性与对立性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.二、多选题：本题共3小题，每题6分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，延长边CD 至点E ，使得DE CD =.动点P 从点A 出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若AP AB AE λμ=+，则（）A.满足1λμ+=的点P 有且只有一个B.满足2λμ+=的点P 有两个C.λμ+存在最小值D.λμ+不存在最大值【答案】BC 【解析】【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，然后利用点P 的四种位置进行分类讨论即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设菱形ABCD 的边长为1，(,)P x y ，则331313(0,0),(1,0),,,,,,222222A B C D E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()131,0,,22AB AE ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，(),AP x y =，由AP AB AE λμ=+ ，得()()11,1,0,,2222x y λμλμμ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以122x y λμμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以x λμ+=+，①当点P 在AB 上时，01x ≤≤，且0y =，所以[]0,1x x λμ+=+=∈；②当点P 在BC （不含点B ）上时，则BP mBC =，所以()11,,22x y m ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，化简1)y x =-，所以3(1)43x x x x λμ+=+=+-=-，因为312x <≤，所以1433x <-≤，即(]1,3λμ+∈；③当点P 在CD （不含点C ）上时，1322x ≤<，且2y =，所以13332222x +≤+<+，即23x ≤<，所以[)2,3λμ+∈；④当点P 在AD （不含点A 、D ）上时，则AP nAD = ，所以()1,,22x y n ⎛= ⎝⎭，化简y =，所以34x x x x λμ+==+=，因为102x <<，所以042x <<，所以()0,2λμ+∈；对于A ，由①知，当1λμ+=时，1x =，此时点P 与点B 重合；由④可知当1λμ+=时，14x =，34y =，此时点P 在AD 的中点处；其它均不可能，所以这样的点P 有两个，所以A 错误，对于B ，由②知，当2λμ+=时，54x =，4y =，此时点P 在BC 的中点；由③知，当2λμ+=时，12x =，2y =，此时点P 在点D 处；其它均不可能，所以这样的点P 有两个，所以B 正确，对于CD ，由①②③④可得：当0x y ==，即点P 为点A 时，λμ+取到最小值0；当3,22x y ==，即点P 为点C 时，λμ+取到最大值3，所以C 正确，D 错误，故选：BC.【点睛】关键点睛：此题考查平面向量基本定理的应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，然后分类讨论，考查数形结合的思想，属于较难题.10.如图，AC 为圆锥SO 底面圆O 的直径，点B 是圆O 上异于A ，C 的点，2SO OC ==，则下列结论正确的是（）A.圆锥SO 的侧面积为B.三棱锥S -ABC 体积的最大值为83C.SAB ∠的取值范围是,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭D.若AB =BC ，E 为线段AB 上的动点，则SE +CE的最小值为1)【答案】BD 【解析】【分析】根据已知条件求出圆锥的侧面积，棱锥的体积判断AB ，利用AB 求得SAB ∠后可得其范围判断C ，把棱锥的两个面SAB △和ABC 摊平，利用平面上的性质求SE EC +的最小值判断D ．【详解】由已知SC =2S OC SC ππ=⨯⨯=⨯⨯=，A 错；B 在圆周上，易得()max 14242ABC S =⨯⨯=△，max 184233V =⨯⨯=．B正确；12cos ABSAB SA ∠==ABC 中，04AB <<，所以20cos 2SAB <∠<，所以42SAB ππ<∠<．C 错；AB BC =时，把SAB △和ABC 摊平，如图，SE CE +的最小值是SC，此时，AB BC SA SB ====，AB BC ⊥，150SBC ∠=︒，1)SC ===，D正确．故选：BD ．11.一工厂将两盒产品送检，甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品．先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲盒取出的产品是一等品，二等品和三等品的事件；再从乙盒中随机取出一产品，以B 表示由乙盒取出的产品是一等品的事件．则下列结论中正确的是（）A.()2755P B =； B.()1611P B A =；C.事件B 与事件1A 相互独立； D.1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件．【答案】ABD 【解析】【分析】有条件概率的定义可得B 正确；利用全概率公式进行计算，可得A 正确；有相互独立事件的判定方法可得C 错误；有互斥事件的定义易得D 正确.【详解】因为甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，则()()()1234233,,1051010P A P A P A ====,乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品,则()()()12351655|,||1011110111P B A P B A P B A +=====++,则()()()()()()()112233|||P B P A P B A P A P B A P A P B A =⋅+⋅+⋅2635272511101155=⨯+⨯⨯=，故A ，B 正确；因为()()()1112612|51155P A B P A P B A =⋅=⨯=,又()125P A =，()2755P B =，则()()()11P A B P A P B ≠⋅，则两事件不相互独立，故C 错误；根据互斥事件的定义可知，1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，故D 正确，故选：ABD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设复数1z 、2z ，满足121z z ==，12z z -=，则12z z +=______．【答案】1【解析】【分析】设111i z x y =+，()2221212i ,,,z x y x x y y =+∈R ，利用复数的模长公式、复数的运算以及复数相等可得出1y 、2y 以及21x 的值，再利用复数的加法以及复数的模长公式可求得12z z +的值.【详解】设111i z x y =+，()2221212i ,,,z x y x x y y =+∈R ，因为121z z ==，则222211221x y x y +=+=，又因为()()()()1211221212i i i z z x y x y x x y y -=+-+=-+-=，所以，12120x x y y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩1212x x y y =⎧⎪⎨-=⎪⎩由22221122x y x y +=+，可得()()12120y y y y -+=，故12120y y y y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩123232y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，由222111314x y x +=+=，可得2114x =，所以，()1211212i 2z z x y y x +=++=，所以，12112212z z x +==⨯=.故答案为：1.13.若一组数据12,,,n x x x 的方差是5，则数据1231,31,,31n x x x --⋯-的方差是__________．【答案】45【解析】【分析】利用方差的性质求解即可.【详解】若数据12,,,n x x x 的方差为2s ，则数据12,,n ax b ax b ax b +++ ,的方差为22a s ，所以当数据12,,,n x x x 的方差是5时，可得数据1231,31,,31n x x x --⋯-的方差是23545⨯=，故答案为：45.14.已知平面向量a ，b ，c 满足1a = ，2b = ，π,3a b = 且()()0c a c b -⋅-= ，则b c ⋅ 的最大值为______.52【解析】【分析】设()1,,2,0,22a OA b OB c OC ⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭，分析可知点C 在以AB 为直径的圆上，根据数量积的几何意义结合圆的性质分析求解.【详解】由题意可设：()1,,2,0,22a OA b OB c OC ⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭，则,c a OC OA AC c b OC OB BC -=-=-=-=r r uuu r uu r uuu r r r uuu r uu u r uu u r ，若()()0c a c b -⋅-=，即0AC BC ⋅= ，则⊥ AC BC ，可知点C 在以AB 为直径的圆上，即圆心为53,44D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，半径1322r AB ==，则c 在b 方向上的投影数量的最大值为3524+，所以b c ⋅ 的最大值为35523242⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭.532.【点睛】方法点睛：本题根据向量运算的几何意义把题意转化为图形，结合图形分析求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为34，23，12，乙队中每人答对的概率均为23，且各人回答问题正确与否互不影响.（1）分别求甲队总得分为1分和2分的概率；（2）求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率.【答案】（1）甲队总得分为1分的概率为14，2分的概率为1124；（2）13【解析】【分析】（1）利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得；（2）首先求出活动结束甲、乙两队得分及所对应的概率，再利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得；【小问1详解】解：依题意记甲队总得分为1分为事件A ，甲队总得分为2分为事件B ，则()32123112311111114323422344P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-+⨯-⨯-+⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()3211321231111143224323424P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以甲队总得分为1分的概率为14，2分的概率为1124；【小问2详解】解：依题意甲队总得分为0分的概率为231111134224⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得1分的概率为14，得2分的概率为1124，得3分的概率为32114324⨯⨯=；乙队总得分为0分的概率为3211327⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1分的概率为222213339⎛⎫⨯-⨯= ⎪⎝⎭，得2分的概率为222413339⎛⎫⎛⎫⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得3分的概率为328327⎛⎫= ⎪⎝⎭；则活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率18114121427249493P =⨯+⨯+⨯=.16.某种经济树木根据其底部周长的不同售价有所差异，底部周长在85cm 105cm ~为三类树，底部周长在105cm 125cm ~为二类树，底部周长大于或等于125cm 为一类树．为了解一大片该经济林的生长情况，随机测量其中100株树木的底部周长（单位：cm ），数据均落在85cm 135cm ~之间，按照[85,95),[95,105),[105,115),[115,125),[125,135]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）估计该片经济林中二类树约占多少；（2）将同组中的每个数据都用该组区间中点的数值代替，试估计该经济林中树木的平均底部周长．【答案】（1）60%（2）111.9cm 【解析】【分析】（1）根据频率之和为1即可求解0.021a =，即可求解二类树的频率，（2）根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解.【小问1详解】由频率分布直方图可得，0.007100.018100.03910100.015101,a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以100.21a =，解得0.021a =．因为底部周长在105cm 125cm ~为二类树，所以由图可得，0.039100.021100.6⨯+⨯=．答：该片经济林中二类树木约占60%．【小问2详解】由题意可得，900.071000.181100.391200.211300.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯6.31842.925.219.5=++++111.9cm=答：估计该经济林中树木的平均底部周长为111.9cm ．17.在ABC 中，3,2,AB AC →→==设О为ABC 外接圆的圆心.（1）求,AO AB AO AC →→→→⋅⋅；（2）若3A π=，设AO x AB y AC →→→=+，求,x y 的值.【答案】（1）92AO AB →→⋅=，2AO AC →→⋅=；（2）41,96x y ==.【解析】【分析】（1）AO→转化为AD DO →→+，再结合OD AB ⊥即可算出AO AB →→⋅，同理可以求得AO AC →→⋅；（2）结合（1）92AO AB x AB y AC AB →→→→→⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=+⋅=和2AO AC x AB y AC AC →→→→→⎛⎫ ⎪⎭=⋅⎝⋅+=，利用数量积的定义解出即可.【详解】（1）如图，由于O 为ABC外接圆的圆心，所以,OA OB OC ==设,AB AC 的中点分别为,D E ，连接,OD OE ，则,OD AB OE AC ⊥⊥，故2119222AO AB AD DO AB AD AB DO AB AB AB AB →→→→→→→→→→→→⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⎫ ⎪⎭=⎛⎝同理可得2122AO AC AC →→→⋅==.（2）由（1）可得29932AO AB x AB y AC AB x AB y AC AB x y →→→→→→→→⋅=+⋅=+⋅=⎛ +⎫⎝=⎪⎭,2342AO AC x AB y AC AC x AB AC y AC x y →→→→→→→→⋅=+⋅=⋅+=+⎛⎫ ⎪⎝=⎭即332342x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得41,96x y ==.18.如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，22CD AB AD ===，M 是CD 的中点，BD 与AM 交于O 点，将ADM △沿AM 向上折起，得到图2的四棱锥D ABCM '-.（1）证明：BC ⊥平面D OB '；（2）若1D B '=，求二面角D M C B '--的正切值.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）利用平面几何的知识证得AM BD ⊥，从而利用线面垂直的判定定理即可得解；（2）在图2中证得D H'⊥平面ABCM ，从而证得MC ⊥平面D HQ '，进而得到D QH '∠为二面角D M C B '--的平面角，由此求得所需线段的长即可得解.【小问1详解】在题干图1中连接BM ，如图，由已知得//,2,AB CD CD AB M =是CD 的中点，//,,AB CM AB CM ∴=∴四边形ABCM 是平行四边形，//BC AM ∴，同理，四边形ABMD 是平行四边形，又AB AD =，且AD AB ⊥，∴四边形ABMD 是正方形，AM BD ∴⊥，所以在题干图2中，,AM OD AM OB '⊥⊥，又,,OD OB O OD OB ''=⊂ 平面D OB '，AM ∴⊥平面D OB '，又//BC AM ，BC ∴⊥平面D OB '.【小问2详解】因为在正方形ABMD 中，AB =，1D O OB '∴==，又1,D B D OB ''=∴ 是等边三角形，在题干图2中，过D ¢作D H OB '⊥于点H ，则H 为OB 中点，过H 作HQ MC ⊥交CM 延长线于点Q ，连接D Q '，如图，BC ⊥ 平面,D OB D H ''⊂平面D OB '，BC D H '∴⊥，又,,,D H OB BC OB B BC OB '⊥=⊂ 平面ABCM ，D H ∴'⊥平面ABCM ，又MC ⊂平面ABCM ，D H MC '∴⊥，又,,,HQ MC D H HQ H D H HQ ''⊥=⊂ 平面D HQ '，MC ∴⊥平面D HQ '，又D Q '⊂平面D HQ '，MC D Q '∴⊥，D QH '∴∠为二面角D M C B '--的平面角，在等边D OB ' 中，1D B '=，则32D H '=，又点H 为OB 的中点，HQ MC ⊥，易得//HQ BM ，又2BM AD ==，可得3244HQ BM ==，在Rt D HQ ' 中，36tan 2332D H D QH HQ ''∠==，所以二面角D M C B '--的正切值为63.【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用二面角的定义，结合线面垂直的判定定理在图2中作出二面角D M C B '--的平面角，从而得解.19.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3sin a b c Ab a B+==.（1）求C .（2）若1b =，点,M N 是边AB 上的两个动点，当π3MCN ∠=时，求MCN △面积的取值范围.（3）若点,M N 是直线AB 上的两个动点，记π(0),,2MCN CMN CNM θθαβ∠=<≤∠=∠=.若2cos (sin cos )sin sin (cos 1)sin βαααβαα++-=恒成立，求θ的值.【答案】（1）π2（2）,48⎣⎦（3）π2【解析】【分析】（1）根据正弦定理与同角的关系求得π6B =，利用余弦定理和正弦定理计算即可求解；（2）设π0,6BCN x ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，根据正弦定理可得π2sin 6CN x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭、2cos CM x =，进而MCN △的面积π18sin 262S x =⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合正弦函数的性质即可求解；（3）利用三角恒等变换化简计算可得()()sin sin 1cos 0ααβαβ⎡⎤+-++=⎣⎦，则()()sin ,cos αβαβ++是定值，即()()sin 10cos 0αβαβ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，解之即可.【小问1详解】cos a Ab B=，由正弦定理得sin cos sin A B B A =.因为sin 0A ≠，所以3tan 3B =.因为()0,πB ∈，所以π6B =.由a b c b a +=，可得22a b bc =+，即22222a c b c b ac a+-+=，所以2cos c b a B +=.由正弦定理可得sin sin 2sin cos C B A B +=，则()sin sin 2sin cos A B B A B ++=，得()sin sin B A B =-，则B A B =-或πB A B +-=（舍去），所以ππ2π32A B C A B ==⇒=--=.【小问2详解】设π,0,6BCN x x ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，在BCN △中，由正弦定理得sin sin CN BC B BNC ∠=，所以sin 3πsin 2sin 6BC BCN BNCx ==∠⎛⎫+ ⎪⎝⎭.在ACM △中，由正弦定理得sin sin CM AC A AMC=∠，所以()sin ππsin 2sin 2cos 2sin 36AC A CM AMC A ACM x x ====∠+∠⎛⎫+- ⎪⎝⎭.MCN △的面积11333sin 2322cos 22sin 6S CM CN xx ππ=⋅=⋅⋅⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭3333ππ116cos sin 8sin 2662x x x ==⎛⎫⎡⎤⎛⎫+++ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππππ12,,sin 2,166262x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+∈+∈ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，则,48π18sin 262x ∈⎡⎤⎛⎫⎣⎦++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故MCN △面积的取值范围为,48⎢⎣⎦.【小问3详解】因为()()2cos sin cos sin sin cos 1sin βαααβαα++-=，所以2sin cos cos cos sin cos sin sin sin sin αβαβααβαβα++-=，则()()sin sin cos sin ααβαβα+++=，即()()sin sin 1cos 0ααβαβ⎡⎤+-++=⎣⎦.又παβθ+=-是定值，所以()()sin ,cos αβαβ++是定值，所以()()sin 10cos 0αβαβ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，因为,αβ为MCN △的内角，所以ππ,22αβθ+==，故θ的值为2π.【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角恒等变换与解三角形、三角函数的性质的综合问题，结合三角恒等变换化简，正确运算是解决第（2）问的关键；确定()()sin ,cos αβαβ++是定值即()()sin 10cos 0αβαβ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩是解决第（3）问的关键.。

2024届重庆高一数学第二学期期末学业水平测试试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两根，则a 4•a 7的值为（） A ．6 B ．1C ．﹣1D ．﹣62．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．3．已知向量()3,1a =，()3,3b =-，则向量a 在向量b 方向上的投影为（ ）A ．3B ．1-C 3D ．14．若b ，[]1,1c ∈-，则方程2220x bx c ++=有实数根的概率为（ ）A ．23B ．12C ．56D ．345．已知,a b 是不共线的非零向量，2AB a b =+，3BC a b =-，23CD a b =-，则四边形ABCD 是 （ ） A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形6．点（4，0）关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点是 （ ）． A ．（－6，8）B ．（－8，－6）C ．（6，8）D ．（－6，－8）7．已知直线3y kx =+与圆22(1)(2)4x y -++=交于M ，N 两点，若||23MN =则k 的值为（ ） A ．512-B ．125C ．125-D ．125±8．若直线1l ：10ax y +-=与直线2l ：10x ay ++=平行，则a 的值为( ) A ．-1B ．0C ．1D ．-1或19．下列命题正确的是（ ）A ．若a bc c >，则a b > B ．若22a b >，则a b > C ．若2211a b>，则a b <D ．若a b <，则a b <10．已知0,0x y >>，且2x y xy += ，则42x y +的最小值为（ ） A ．8B ．12C ．16D ．20二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

重庆市区县高一数学下学期期末考试试题本试卷共22题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号框。

写在本试卷上无效。

3.回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.己知向量(2,3),(,4)a b m ==，若,a b 共线，则实数m= A.－6 B.83- C.83D6 2.己知，若关于x 的不等式2x ax b 0++<的解集为（1，3），则a ＋b= A.－7 B.－1 C. 1 D.73.己知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=4，S 4=16，则a 5＋a 6= A.11 B.16 C. 20 D.284.某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3：2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为 A. 600 B .800 C. 1000 D. 12005.己知变量x ，y 的取值如下表：由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归直线的方程为ˆˆ3ybx =-，据此可预测：当x=8时，y 的值约为A. 63 B .74 C. 85 D. 96 6.己知非零实数a ，b 满足a>b ，则下列不等关系一定成立的是A.11a b< B.ab a b>+ C.22a b> D.3223a ab a b b+>+7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若,5,44A a cπ===，则满足条件的△ABC的个数为A. 0 B .1 C. 2 D. 无数多个8.己知等比数列{a n}的前n项和为S n，若363,21S S==-，则1a=A.－2B.－1C. 1D. 29.某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，己知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为A. l0B. 20C. 40D. 6010.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，若2a=b＋2ccosB，则C=A.2πB.3πC.4πD.6π11.已知a>－1，b>0，a＋2b＝1，则12a b b++的最小值为A.72B.92C.7D.912.已知,,R ABCλμ∈∆所在平面内一点P满足()()AB BC AC CBAP AB ACAB BC AC CBλμ=++=++，则BPCP=A.sin2sin2BCB.cos2cos2BCC.sin2sin2CBD.cos2cos2CB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届重庆江津长寿綦江等七校联盟数学高一第二学期期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设矩形的长为，宽为，其比满足∶＝，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是A．甲批次的总体平均数与标准值更接近B．乙批次的总体平均数与标准值更接近C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定2．如图所示，已知以正方体所有面的中心为顶点的多面体的体积为43，则该正方体的外接球的表面积为（）A ．12πB ．15πC ．16πD ．10π3．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥4．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，若222,44b a c S =+-=，则ABC 外接圆的半径为（ ） A ．2B ．22C ．2D ．45．若正实数,x y 满足x y 1+=，则41x 1y++的最小值为( ) A ．447 B ．275 C ．143 D ．926．若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（ ） A ．34-B ．34C ．43-D ．437．已知等比数列{}n a ，若141,8a a =-=，则3a =( ) A ．22B ．22-C ．4D ．4-8．半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于A B 、的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是（ ）A ．2B ．0C ．-2D ．49．若直线经过两点，则直线的倾斜角是（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知实数x ，y 满足约束条件20103x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，那么目标函数2z x y =-的最大值是（ ） A ．0B ．1C ．72D ．10二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()()sin f x A x =+ωϕ，()0,0A ω>>，若()f x 在区间[0,]2π上是单调函数，()()0()2ππ-==-f f f ，则ω的值为（ ）A ．12B ．2C ．12或23D ．23或2 2．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若m ∥α，m ∥β，则α∥β②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；③m ⊂α，n ⊂β，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交； ④若α∩β=m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α且n ∥β． 其中正确的命题是（ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．④3．已知圆22:5O x y +=，直线:cos sin 102l x y πθθθ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭．设圆O 上到直线l 的距离等于2的点的个数为k ，则k =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．若两个正实数x ，y 满足2142x x y +=，且不等式224yx m m x+<-有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,2-B ．()(),21,-∞-⋃+∞C ．()2,1-D ．()(),12-∞-+∞5．以下有四个说法：①若A 、B 为互斥事件，则()()1P A P B +<； ②在ABC ∆中，a b >，则cos cos A B <； ③98和189的最大公约数是7；④周长为P 的扇形，其面积的最大值为28P ；其中说法正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．36．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，……，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取50名学生进行体质测验.若66号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A ．16B ．226C ．616D ．8567．已知数列{a n }为等差数列，1(*)n a n N ≠∈,12019a a +=1，若2()1xf x x =-，则122019()()()f a f a f a ⨯⨯⨯＝( ) A ．-22019B ．22020C ．-22017D ．220188．ABC 中,D 在AC 上,AD DC = ,P 是BD 上的点,29AP mAB AC =+ ,则m 的值（ ） A ．59B ．79C ．12D ．149．如图所示，是半圆的直径，垂直于半圆所在的平面，点是圆周上不同于的任意一点，分别为的中点，则下列结论正确的是( )A ．B ．平面平面C ．与所成的角为45°D ．平面10．某中学高一从甲、乙两个班中各选出7名学生参加2019年第三十届“希望杯”全国数学邀请赛，他们取得成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均数是84，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．711．已知2παπ<<,1sin cos 5αα+=,则2cos sin αα-（ ）A ．57- B ．75- C ．107 D ．107-12．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC 且2,PA ABC =∆3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( ) A ．43π B ．4π C ．8π D ．20π二、填空题：本题共4小题13．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 为BC 边上（含端点）的动点，则AD BC ⋅的取值范围是_______.14．函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的递增区间为______. 15．若直线l ：-3y kx =与直线23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.16．角α的终边经过点()()340P a a a ->，，则sin α=___________________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2022年重庆长寿第一中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数与图象的交点在直线的两侧，则实数t的取值范围是A. B.C. D.参考答案：B2. 若，则常数的值为A. B.C. D.参考答案：A3. 若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为（）A． B．C．D．参考答案：B略4. 若空间中四条两两不同的直线，满足，则下列结论一定正确的是A. B. C.既不垂直也不平行 D.的位置关系不确定参考答案：D5. 已知正方体的棱长为2，点分别是该正方体的棱的中点，现从该正方体中截去棱锥与棱锥，若正（主）视方向如图所示，则剩余部分的几何体的侧（左）视图为（）参考答案：6. 已知平面向量，且，则为（）A．2B．C．3D．1参考答案：A【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】利用向量的共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，平面向量=（1，2），=（﹣2，m），∴﹣2×2﹣m=0，解得m=﹣4．∴=（﹣2，﹣4），∴||==2，故选：A．7. 已知函数，分别为的内角A,B,C所对的边，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.参考答案：B略8. 设点分别是双曲线的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若的面积为，则该双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.参考答案：D设，，则则，又,，，故该双曲线的渐近线方程为.9. （5分）（2015?日照二模）对于函数y=f（x），部分x与y的对应关系如下表：数列{x n}满足：x1=1，且对于任意n∈N*，点{x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，则x1+x2+ (x2015)（）A． 7554 B． 7549 C． 7546 D． 7539参考答案：A【考点】：函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由题意易得数列是周期为4的周期数列，可得x1+x2+…+x2015=503（x1+x2+x3+x4）+x1+x2+x3，代值计算可得．解：∵数列{x n }满足x1=1，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，∴x n+1=f （x n），∴由图表可得x1=1，x2=f（x1）=3，x3=f（x2）=5，x4=f（x3）=6，x5=f（x4）=1，∴数列是周期为4的周期数列，∴x1+x2+…+x2015=503（x1+x2+x3+x4）+x1+x2+x3=503×15+9=7554故选：A 【点评】：本题考查函数和数列的关系，涉及周期性，属基础题．10. 正方体的棱长为，半径为的圆在平面内，其圆心为正方形的中心，为圆上有一个动点，则多面体的外接球的表面积为．．．．参考答案：设多面体的外接球的半径为，依题意得，故其外接球的表面积为．故答案选二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数在点处的切线方程为__________________________;参考答案：4x-y-4=0略12. 若向量满足，则＝.参考答案：13. 已知，使不等式成立的的取值范围是__________. 参考答案：答案：14. 已知函数的图象关于点（1，0）对称，且当时，成立，若，，则a ，b ，c 的从大到小排列是参考答案：略15. 复平面内有三点，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则点对应的复数.参考答案：3-3i16. 已知数列{an }中，a 1=2，且a n+1﹣4a n =22n+1，则数列{}的前n 项和为 ．参考答案：【考点】数列递推式．【分析】根据数列的递推公式得到{a n +22n }是以6为首项以4为等比的等比数列，即可求出a n 的通项公式，继而得到数列{}为常数列，问题得以解决．【解答】解：∵a n+1﹣4a n =22n+1， ∴a n+1+22n+1=4（a n +22n）， ∵a 1+22=2+4=6，∴{a n +22n }是以6为首项以4为等比的等比数列， ∴a n +22n=6×4n ﹣1， ∴a n =6×4n ﹣1﹣22n =×4n ，∴=∴数列{}的前n 项和T n =++…+=，故答案为：．【点评】本题考查了数列的递推公式和等比数列的通项公式，以及前n 项和公式，属于中档题．17. 若x ，y 满足约束条件，目标函数z=x+2y 的最小值为1，则实数a 的值为 ．参考答案：3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，先作出x+2y=1，通过图象确定目标函数和平面区域的交点坐标，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：作出不等式对应的平面区域， ∵标函数z=x+2y 的最小值为1， ∴x+2y=1，作出直线x+2y=1，则直线x+2y=1交直线x+y=1与B ，由得，即B （1，0），同时B （1，0）也在直线3x ﹣y=a 上， 则a=3﹣0=3， 故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

2023-2024学年重庆市主城区四区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.样本数据34，24，17，21，32，100，41，30，28，33的第50百分位数为( )A. 30B. 31C. 32D. 362.若复数z 满足z +2−z =6−3i ，则z 1+i =( )A. −72+52iB. 52−72iC. 52+12iD. −12+52i 3.已知向量a =(1,−1)，b =(1,3)，则a 与b 夹角的余弦值为( )A. − 55 B. 55 C. − 1010 D. 10104.某小区花园内现有一个圆台形的石碑底座，经测量发现该石碑底座上底面圆的半径为3，且上底面圆直径的一端点的投影为下底面圆半径的中点，高为2，则这个圆台的表面积为( )A. 9 13πB. 42πC. (45+9 13)πD. 126π5.掷两颗骰子，观察掷得的点数.设事件A 为：至少一个点数是奇数；事件B 为：点数之和是偶数；事件A 的概率为P(A)，事件B 的概率为P(B)，则1−P(A ∩B)=( )A. 18B. 14C. 12D. 346.某学校组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，全校2000名学生每人都参加且只参加其中二个社团，校团委从这2000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的两个统计图：则选取的学生中，参加绘画社团的学生数为( )A. 20B. 30C. 40D. 457.在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =2，AD = 2，CD =1，∠BAD =45°，P ，Q 分别为线段AD 和线段AC上(包括线段端点)的动点，则AP ⋅AQ 的最大值为( )A. 2 5B. 2 2C. 10D. 38.已知正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点E 是棱CD 的中点，P 为四边形CDD 1C 1内(包括边界)的一动点，且满足B 1P//平面BA 1E ，B 1P 的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为( )A. 8 6πB. 24πC. 18πD. 3 2π二、多选题：本题共3小题，共18分。

重庆2023—2024学年高一阶段测试数学试题（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.集合U =R ，集合(){}2log 1A x y x ==-，{}13B x x =+<，则{}41x x -<≤=（）A.()U A B∩ð B.()U A B ðC.()U A B ⋂ð D.()UA B⋂ð【答案】D 【解析】【分析】先求解出集合,A B ，再分别验证四个选项即可.【详解】集合{}1A x x =>，{}42B x x =-<<，{|4U x x B =≤-ð或2}x ≥，{}1U A x x =≤ð，{}|4A B x x =>- ，{}|12A B x x ⋂=<<，所以(){}|2U A B x x =≥ ð，故选项A 不正确；{}()|4U A B x x ⋃=≤-ð，故选项B 不正确；{()|1U A B x x ⋂=≤ð或}2x ≥，故选项C 不正确；(){}41UA B x x ⋂=-<≤ð，故选项D 正确；故选：D.2.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率不超过3000元的部分3%超过3000元至12000元的部分10%超过12000元至25000元的部分20%有一职工八月份收入20000元，该职工八月份应缴纳个税为（）A.2000元B.1500元C.990元D.1590元【答案】D 【解析】【分析】根据税款分段累计计算的方法，分段求得职工超出5000元的部分的纳税所得额，即可求解.【详解】由题意，职工八月份收入为20000元，其中纳税部分为20000500015000-=元，其中不超过3000元的部分，纳税额为30003%90⨯=元，超过3000元至12000元的部分，纳税额为900010%900⨯=元，超过12000元至25000元的部分，纳税额为300020%600⨯=元，所以该职工八月份应缴纳个税为909006001590++=元.故选：D.3.已知命题2:,40p x x x a ∃∈-+<R ，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是（）A.{04}aa <<∣ B.{}4aa ∣ C.{}0aa ∣ D.{4}aa <∣【答案】B 【解析】【分析】利用命题p 为假命题，得到为p ⌝真命题，即2,40x x x a ∀∈-+≥R 恒成立，即可求出实数a 的取值范围．【详解】命题2:,40p x x x a ∃∈-+<R 的否定2:,40p x x x a ⌝∀∈-+≥R .因为p 是假命题，所以p ⌝是真命题，即2,40x x x a ∀∈-+≥R 恒成立，所以Δ1640a =-≤，解得4a ≥.故选：B .4.已知函数33x y a +=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则cos α=（）．A.35B.35- C.45D.45-【答案】B 【解析】【分析】令30x +=，求得定点，然后再由角α的终边经过点P ，利用三角函数的定义求解.【详解】令30x +=，则3,4=-=x y ，所以函数33x ya +=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点()3,4P -，又角α的终边经过点P ，所以cos α=35-，故选：B 5.设sin 22a =，2log sin 2b =，sin 22c =，则下列关系正确的是（）A.a c b >>B.c a b>> C.b a c>> D.a b c>>【答案】B 【解析】【分析】根据sin 2的范围，分别求得,,a b c 的范围，即可比较大小.【详解】∵0sin 21<<，∴sin 21022<<，∴102a <<；22log sin 2log 10<=，∴0b <；sin 20221>=，∴1c >，∴c a b >>.故选：B.6.下列函数中，最小值为2的是（）A.()1f x x x=+B.()()2212sin π,Z 2sin f x x x k k x=+≠∈C.()e e xxf x -=+D.()()111f x x x x =+>-【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式以及等号的成立条件逐一判断即可.【详解】对于A ：当=1x -时，()12f -=-，A 错误；对于B ：()2212sin 22sin f x x x =+≥，当且仅当2212sin 2sin x x=，即2sin 2x =时等号成立，故等号不能成立，()2f x ∴>，B 错误；对于C ：()2e e x x f x -+=≥=，当且仅当e e =x x -，即0x =时等号成立，C 正确；对于D ：当1x >时，()11111311f x x x x x =+=-++≥=--，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立，D 错误；故选：C.7.函数()3sin 2xx xf x-=的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的奇偶性，并用特值法可判断函数图像.【详解】易知()3sin 2xx xf x -=的定义域为R ，又()()()()33sin sin 22xxx x x x f x f x ----===，所以函数()f x 为偶函数，A ，B 选项错误；又()()π00f f ==，3π2ππsin π22022f -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=> ⎪⎝⎭，C 选项正确，D 选项错误；故选：C.8.已知()f x 是定义在实数集R 上的函数，在(0,)+∞内单调递增，(2)0f =，且函数(1)f x +关于点(1,0)-对称，则不等式()10x f x ⋅-<的解集是（）A.(,2)(1,0)(2,)-∞--+∞B.(,2)(2,)-∞-+∞C.(1,0)(1,3)-D.(,1)(0,1)(3,)-∞-+∞ 【答案】D【解析】【分析】由平移知识得出()f x 是奇函数，进而由单调性画出函数()f x ，(1)f x -的简图，结合图像解不等式即可.【详解】因为函数(1)f x +关于点(1,0)-对称，所以函数()f x 关于点(0,0)对称，是奇函数，则()()110x f x x f x ⋅-=-⋅-<等价于()10x f x ⋅->.函数()f x 简图如下图所示：由平移变换可知，函数(1)f x -的简图如下图所示：()10x f x ⋅->等价于()010x f x >⎧⎨->⎩或()010x f x <⎧⎨-<⎩.由图可知，()10x f x ⋅->的解集为(,1)(0,1)(3,)-∞-+∞ .故选：D二、选择题：本题共4个小题，每小题5分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列运算中正确的是（）A.552log 10log 0.252+=B.42598log 27log 8log 59⨯⨯=C.424log log 319+=D.ln 2ln3e 6+=【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，由对数的运算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于选项A ：()2255552log 10log 0.25log 100.25log 52+=⨯==，故选项A 正确；对于选项B ：334259222lg3lg2lg5339log 27log 8log 5lg2lg5lg32228⨯⨯⨯=⨯==⨯⨯，故选项B 错误；对于选项C ：224222222242222log log 3log )log 3log log 3log 3)log 212((9333+=+=+=⨯==，故选项C 正确；对于选项D ：ln 2ln3ln 2ln3e e e 236+=⋅=⨯=，所以选项D 正确.故选：ACD.10.已知()()3sin cos cos sin 5αβααβα---=，则cos 4πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的可能值为（）A.10-B.210-C.210D.7210【答案】BD 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式，结合两角和的余弦公式进行求解即可.【详解】因为()()3sin cos cos sin 5αβααβα---=，所以333sin()sin()sin 555αβαββ--=⇒-=⇒=-，所以当β在第三象限时，有4cos 5β===-，所以43cos cos cos sin sin 44455πππβββ⎛⎫+=--⨯⨯- ⎪⎝⎭；当β在第四象限时，有4cos 5β===，所以43cos cos cos sin sin 444525210πππβββ⎛⎫+=-=⨯ ⎪⎝⎭，故选：BD11.已知函数()cos f x x x =+，则下列判断正确的是（）A.()f x 的图象关于直线π6x =对称 B.()f x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C.()f x 在区间2π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.当π2π,33x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()1,1f x ∈-【答案】BC 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；利用正弦型函数的单调性可判断C 选项；利用正弦型函数的值域可判断D 选项.【详解】因为()πcos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，对于A 选项，ππ2sin 63f ⎛⎫==⎪⎝⎭，故函数()f x 的图象不关于直线π6x =对称，A 错；对于B 选项，π2sin 006f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，B 对；对于C 选项，当2π03x -≤≤时，πππ266x -≤+≤，则函数()f x 在区间2π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 对；对于D 选项，当π2π33x -<<时，ππ5π666x -<+<，则1πsin 126x ⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭，所以，()(]π2sin 1,26f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，D 错.故选：BC.12.已知函数()()πcos 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有3个对称中心，则下列正确的是（）A.ω的值可能是3B.()f x 的最小正周期可能是2π3C.()f x 在区间π0,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D.()f x 图象的对称轴可能是3π8x =【答案】ABC 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AD 选项；利用正弦型函数的单调性可判断C 选项；利用正弦型函数的周期公式可判断B 选项.【详解】因为函数()()πcos 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有3个对称中心，且当0πx ≤≤时，ππππ444x ωω≤+≤+，所以，5ππ7ππ242ω≤+<，解得91344ω≤<，A 对；因为91344ω≤<，则函数()f x 的最小正周期为2π8π8π,139T ω⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，且2π8π8π,3139⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，B 对；当π016x ≤≤时，ππππ44164x ωω≤+≤+，因为91344ω≤<，则25ππππ296446461ω≤+<，所以，函数()f x 在区间π0,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，C 对；235π3ππ47π82433ω≤+<，所以，()f x 图象的对称轴不可能是3π8x =，D 错.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.cos346cos 419sin14sin121⋅+⋅= ________.【答案】22【解析】【分析】利用诱导公式化简，再根据和与差的公式计算即可．【详解】()cos346cos419sin14sin121145914595914cos cos sin sin cos ⋅+⋅=︒︒+︒︒=︒-，2cos452=︒=.故答案为2【点睛】本题考查了诱导公式化简能力以及和与差的公式计算，比较基础．14.函数221log (35)y x ax =-+在[1)-+∞，上是减函数，则实数a 的取值范围____．【答案】(8,6]--【解析】【分析】由235y x ax =-+的对称轴与给定区间的关系及235y x ax =-+在已知区间上的最小值大于0可得a 的范围．【详解】∵函数221log (35)y x ax =-+在[1,)-+∞上单调递减，∴16350aa ⎧≤-⎪⎨⎪++>⎩，解得86a -<≤-．故答案为：(8,6]--．【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，解题时要注意二次函数的对称轴不在已知区间上，还要特别注意函数的定义域，即真数的最小值大于0，否则易出错．15.已知4sin 5α=，()12cos 13αβ+=-，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,π2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则cos β=______．【答案】1665-【解析】【分析】根据()βαβα=+-，结合同角三角关系和两角和差公式运算求解.【详解】因为4sin 5α=，()12cos 13αβ+=-，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,π2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则3cos 5α==，()5sin 13αβ+==，可得()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++⎡⎤⎣⎦123541613513565⎛⎫=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭，即16cos 65β=-.故答案为：1665-.16.已知函数()lg(2)g x x =+，且对x ∀∈R ，都有(2)()f x f x +=，当11x -<≤时，()f x x =．则方程()()0f x g x -=的实数解的个数为________．【答案】9【解析】【分析】确定函数()f x 的周期，在同一直角坐标中作出()f x 和()lg(2)g x x =+的图像找到交点个数即可.【详解】因为对x ∀∈R ，都有(2)()f x f x +=，所以函数()f x 的周期为2，又当11x -<≤时，()f x x =，所以在同一直角坐标中作出()f x 和()lg(2)g x x =+的图像如图：观察可得交点数为9个，故方程()()0f x g x -=的实数解的个数为9，故答案为：9四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知全集R U =，集合3|01x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合{21}B x m x m =<<-∣．（1）若1m =-，求A B ⋃；（2）若集合A ，B 满足()U A B ⋂=∅ð，求实数m 的取值集合．【答案】（1）(]2,3-（2）{}|2m m <-【解析】【分析】（1）先解一元二次不等式求出集合A ，再求并集即可；（2）分情况讨论，再用补集和交集的运算得出结果.【小问1详解】因为()()310301311x x x x x x ⎧--≤-≤⇒⇒<≤⎨-≠⎩，所以{}|13A x x =<≤，若1m =-，则{|22}B x x =-<<，所以(]2,3A B =- 【小问2详解】因为()U A B =∅ ð，且{}|13A x x =<≤，又{|21}B x m x m =<<-，当B =∅，此时R U B =ð，不合题设，故B ≠∅，即1123m m m ->⇒<，所以{|2U x x m B ð=£或1}x m ³-，故2113m m ≤⎧⎨->⎩，解得2m <-，所以实数m 的取值集合{}|2m m <-.18.求值．（1）已知π3πcos(π)cos sin 22()sin(3π)sin(π)cos(π)x x x f x x x x 骣骣-+-琪琪琪琪桫桫=+-+，若1()2f α=，求sin cos sin cos αααα-+的值；（2）已知()f α=α是第四象限角，若()4f α=，求sin α，cos α．【答案】（1）3（2）1sin 2α=-，cos 2α=【解析】【分析】（1）先用诱导公式将()f x 化简，求出tan 2α=-，再把所求式分子分母同时除以cos α即可；（2）先根据角的范围确定正余弦的符号，再由同角三角函数化简()f α，最后求出即可.【小问1详解】2π3πcos(π)cos sin cos sin cos 122()sin(3π)sin(π)cos(π)sin cos tan x x x x x x f x x x x x x x 骣骣-+-琪琪琪琪桫桫===-+-+-，11()tan 22tan f a a a==-Þ=- ，sin cos tan 1213sin cos tan 121a a a a a a \----===++-+.【小问2详解】因为α是第四象限角，所以sin 0,cos 0αα<>，1cos 1cos 2()sin sin sin f a a a a a a-+\=+=-，21()4sin sin 2f a a a ==-Þ=-，cos 2α==19.已知函数()()2212f x x a x a =+--．（1）若函数()f x 在[]1,3上单调，求实数a 的取值范围；（2）求不等式()0f x <的解集．【答案】（1）51,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质确定参数a 的取值区间；（2）由题得方程()0f x =的两根分别为1、2a -，讨论两根的大小关系得出不等式()0f x ≤的解集.【小问1详解】函数()f x 的对称轴212a x -=-，依题意得2112a --≤或2132a --≥，解得12a ≥-或52a ≤-，所以实数a 的取值范围为51,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【小问2详解】由()()()()221212f x x a x a x x a =+--=-+，得方程()0f x =的两根分别为1、2a -，当21a -=，即12a =-时，不等式()0f x <的解集为∅；当21a ->，即12a <-时，不等式()0f x <的解集为()1,2a -；当21a -<，即12a >-时，不等式()0f x <的解集为()2,1-a .综上，当12a =-时，不等式()0f x <的解集为∅；当12a <-时，不等式()0f x <的解集为()1,2a -；当12a >-时，不等式()0f x <的解集为()2,1-a .20.已知函数π()2sin (0π,0)6f x x w j j w 骣琪=+-<<>琪桫为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π2．（1）求函数π6y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称轴方程；（2）当7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()y f x =的值域．【答案】（1）ππ,Z 26k x k =-Î（2）[]22-,【解析】【分析】（1）先由三角函数为偶函数，求出2π3ϕ=，再由对称轴间距解出2ω=，得到函数表达式，再代入即可；（2）由余弦函数的单调性可求得结果.【小问1详解】因为函数π()2sin (0π,0)6f x x w j j w 骣琪=+-<<>琪桫为偶函数，所以πππ,Z 62k k ϕ-=+∈，又0πϕ<<，所以2π3ϕ=，所以π()2sin 2cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因为函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π2，所以最小正周期为π，所以2ππ2ωω=⇒=，所以()2cos 2f x x =，所以πππ2cos22cos 2663y f x x x 骣骣骣琪琪琪=+=+=+琪琪琪桫桫桫，π2π,Z 3x k k +=∈，解得ππ,Z 26k x k =-Î.【小问2详解】因为7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以7π20,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数的单调性可知[]2cos 22,2x Î-，所以值域为[]22-,.21.已知函数()()2log 41xf x kx =++为偶函数．（1）求实数k 的值；（2）设()()()2log 20xg x a aa =⋅+≠，若函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1k =-（2）2,1)【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；（2）由函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，可得1222x xx a a ⋅+=+有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围．【小问1详解】解：函数的定义域为R ，因为函数()()2log 41xf x kx =++为偶函数．所以()()f x f x -=，即22log (41)log (41)-+-=++x xkx kx ，所以22224142log (41)log (41)log log 4241x x x x x x kx x --+=+-+===-+，所以1k =-；【小问2详解】解：因为函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，所以()()()()22241log 2log 41log 2x xxxg x a a f x x ⎛⎫+=⋅+==+-= ⎪⎝⎭，即4112222x xxx xa a +⋅+==+，20x a a ⋅+>，设20x t =>，则1at a t t+=+，即()2110a t at -+-=，又2x t =在R 上单调递增，所以方程2(1)10a t at -+-=有两个不等的正根；所以210Δ4(1)(1)001101a a a a a a -≠⎧⎪=--⨯->⎪⎪⎨->-⎪⎪->⎪-⎩，解得21a -<<，所以a的取值范围为2,1)．22.定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界，已知函数()11=124x xf x a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()121log 1ax g x x -=-（1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间937⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的所有上界构成的集合；（3）若函数()f x 在[)0+∞，上是以5为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）a =-1；（2）[)3,+∞；（3）[]73-，【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义求出a 的值；（2）先求出函数的单调区间及值域，从而求出函数()g x 在区间937⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的所有上界构成的集合；（3）问题转化为恒成立问题，通过换元法求解即可.【详解】（1）函数()g x 为奇函数，所以()()g x g x -=-，即112211log log 11ax ax x x +-=----，所以1111ax x x ax +-=---，解得1a =±而当a =1时，不合题意，故a =-1.（2）由（1）知：()112212log log 111x g x x x +⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，易知()g x 在()1,+∞上单增，所以函数()g x 在区间937⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单增，所以()g x 在区间937⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上值域为[]3-，-1所以()||3g x ≤，故函数()g x 在区间937⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的所有上界构成的集合为[)3,+∞.（3）由题意可知：()||5f x ≤在[)0,∞+上恒成立，所以()55f x -≤≤即1151524x x a ⎛⎫⎛⎫-≤++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11624222x xx x a ⎛⎫⎛⎫--≤≤⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[)0,∞+上恒成立，所以max min11624222x xx xa ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--≤≤⋅-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 令()()()1121,6,4xt t h t t p t t t t=≥=--=-易知()16h t t t=--在[)1,+∞上递减，所以()max 617h t =--=-，()14p t t t=-在[)1,+∞上递增，所以()min 413p t =-=，所以73a -≤≤，即实数a 的取值范围为[]73-，【点睛】（1）对函数奇偶性的证明只能用定义：()()f x f x =-或()()f x f x =-；（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.。

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在四边形ABCD 中，如果，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是（ ） A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．直角梯形 2．不等式250ax x c ++>的解集为11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭,则,a c 的值为( ) A ．6,1a c ==B ．6,1a c =-=-C ．1,1a c ==D ．1,6a c =-=-3．已知等比数列{}n a 中，若12a =，且1324,,2a a a 成等差数列，则5a =（ ）A ．2B ．2或32C ．2或-32D ．-14．如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（ ）A ．定B ．有C ．收D ．获 5．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d =A ．23-B ．13- C ．13 D ．236．在ABC 中，60A ∠=︒，2AB =，23BC =ABC 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定7．已知函数2()2cos 32f x x x =，在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，内角A 满足()1f A =-，若6a =ABC 的面积的最大值为（ ）A ．33B ．332C ．34D ．38．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ）A ．当8n =时，该命题不成立B ．当8n =时，该命题成立C ．当6n =时，该命题不成立D ．当6n =时，该命题成立9．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，1AB BC ==，120ABC ∠=.若四面体ABCD 的体积的最大值为34，则这个球的表面积为（ ）A ．50081πB ．4πC ．259πD ．1009π 10．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递减的函数是（ ）A ．1y x =B ．21y x =+C ．21y x =-+D ．lg y x =11．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则A C += A ．90︒ B ．120︒ C ．135︒ D ．150︒12．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -的最小值为（ ） A ．43 B ．10 C ．10 D ．8二、填空题：本题共4小题13．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率为________.14．平面α⊥平面β,l αβ=,n β⊂，n l ⊥，直线m α⊥，则直线m 与n 的位置关系是___．15．已知()0,θπ∈，且2sin()410πθ-=，则tan2θ=________． 16．两个实习生加工一个零件，产品为一等品的概率分别为23和34，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。