傅里叶光学第4章透镜的位相调制和傅里叶变换性质

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傅里叶光学第4章-透镜的位相调制和傅里叶变换性质课件

其中，
tl
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
P
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
表示透镜对入射波前的位相调制；
P x, y 表示透镜对于入射波前大小范围的限制。
2、透镜的傅里叶变换性质
✓ 回顾一下：利用透镜实现夫琅和费衍射，可以在透镜的焦平面上得到入射场的空间频谱，即实现傅里叶变换的运算。
下面具体分析一下厚度函数(x,y)和透镜主要结构参数(构成透镜的两个球面的曲率半径R1和R2)之间的关系。
x, y 1 x, y 2 x, y
将透镜一剖为二
x2 y2
1 R12
1
x2 y2 2R12
1
x,
y
01
R1
R12
x2 y2
01
R1
1
1
x2 y2
U f
xf , yf
Af jd
2
exp
j
k 2d
xf 2 yf 2
•T
xf d
,
yf d
对应的强度分布为
I f
xf , yf
Af d 2
2
T
xf d
,
yf d
2
2、透镜的傅里叶变换性质
总结一下：
✓ 在单色平面波照明下，无论物体位于透镜前方、后方还是紧靠透镜，在透镜的后焦面上都可以得到物体的功率谱；对于这样的照明方式，透镜后焦面常称为傅里叶变换平面或（空间）频谱面。
2、透镜的傅里叶变换性质
✓ 如果d=f，物体在透镜前焦面，二次位相弯曲消失，后焦面的光场分布是物体准确的傅里叶变换。
✓ 如果d=0，物体在透镜前端面，由于变换式前的二次位相因子，使物体的频谱也产生一个位相弯曲。

4透镜的Fourier变换性质

k
2 2
z u 2 ( x2 , y 2 ) e i d 0 d i
i
k1 z (1 )( x 2 y 2 ) z di di
U ( x , y )e
t 1 1

i
k z (1 ) 2 d0 d0
e
i 2 [
z ( xx yy )] d0 d1 1 1
dxdy
S
d
S
0
U ( x, y )
i
di
透镜的透过率函数为
2 2 k 1 1 U t ( x, y ) i ( )( x y ) t l ( x, y ) e 2 di d0 U i ( x, y )
1 1 由f (n 1)( )薄透镜物像关系公式 R1 R2 和tl ( x, y )＝e
2
x . f y . f
fx
fy
结论 : 平面波照射下, 正入射, 在透镜焦面上得到t ( x1 , y1 )的d0 , 不论d0为何值, 导致一个二次位相因子.但位相弯曲不影响光强.观察焦面上的强度分布没有影响,仍为功率谱.
三、单色球面波照射孔径平面
a0 k 2 2 球面光场U i ( x1 , y1 ) exp{i ( x1 y1 )} 2 透射场U t ( x1 , y1 ) U i ( x1 , y1 )t ( x1 , y1 )代入 * 式 z k z 2 2 焦面光场U 2 ( x2 , y2 ) exp{i (1 )( x2 y2 )} t ( x1 , y1 ) i d i d 0 2d i d0 k z d0 z exp[i (1 )]exp[i 2 ( x1 x2 y1 y2 )]dx1dy1} 2 d d0 di

4.1 透镜的相位调制作用

2f

单位振幅的平面波垂直入射，P1面上的复振幅分布Ul(x,y)=1，在平面P2上造成的复振幅分布为:
U
' l
(
x,
y)

exp

jk
x2 y2 2f

正透镜: f > 0, 表示一个向透镜后方f 处的
焦点F 会聚的球面波。
负透镜， f < 0,表示一个由透镜前方 -f 处的
基本假设透镜是薄的忽略折射引起的光线的横向偏移透镜无吸收完全透明均匀折射率为n不改变光场振幅仅改变相位透镜孔径为无限大以后再考虑孔径影响薄透镜近似
第四章透镜的相位调制和傅里叶变换性质
4.1 透镜的相位调制作用
基本假设透镜是薄的, 忽略折射引起的光线的横向偏移
透镜无吸收, 完全透明, 均匀,折射率为n,不改变光场振幅,
（3）有一透明物体，如果其相位变化为
tx,
y

exp

jk
x2 2f
y2

则该物体就相当于一个焦距为 f 的透镜。
透镜的相位变换作用: 广义透镜
任何衍射屏,若其复振幅透过率可写为式,都可看成一个焦距为 f 的透镜
exp
jk
x例题
屏的复振幅透过率:
虚焦点F’ 发出的发散球面波。
这是一个球面波的表达式
与几何光学的结果相同!
其中P(x,y)的坐标原点与透镜中心重合
总结
（1）透镜对光波只起相位变换作用，焦距 f 是透镜
本身的性质；
（2）入射光波的具体形式不会影响这种变换作用, Ul(x,y) 可以是平面波的复振幅，也可以是球面波的复振幅，还可以是某种特定分布的复振幅；

第四章透镜的位相调制和傅里叶变换

傍轴近似下单色点光源的发散球面波在平面上造成的光场分布为
U 1 ( x, y ) = A exp( jkp ) exp[ j k ( x 2 + y 2 )] 2p
球面波经透镜变换后向点会聚，在平面上造成的复振幅分布为
k U 1' ( x,y )= Aexp( jkq )exp j (x 2 + y 2 ) 2q
照明光源和观察平面的位置始终保持共轭关系，因此观察平面位照明光源和观察平面的位置始终保持共轭关系置由照明光源位置决定（当照明光源位于光轴上无穷远，即平面波垂直照明时，这时观察平面位于透镜后焦面上）输入平面位于透镜前焦面，由于 d 0 = f ，衍射物体的复振幅透输入平面位于透镜前焦面过率与衍射场的复振幅分布存在准确的傅里叶变换关系，而且只要照明光源和观察平面满足共轭关系，与照明光源的具体位置无关。也就是说，不管照明光源位于何处，均不影响观察面上空间频率与位置坐标的关系
= mm
50 = 463mm 3 0.6 10 180
( f d0 )(x2 + y2 ) ∞ f (x0 x + y0 y) ′ exp jk U(x, y) = c ]dx0dy0 ∫∫ t(x0 , y0 ) exp[ jk q( f d0 ) + fd0 2[q( f d0 ) + fd0 ]∞
两个特殊位置的讨论两个特殊位置的讨论
( f d 0 )(x 2 + y 2 ) ∞ d0 d0 U ( x,y )=c ′exp jk ∫ ∫t (x0 ,y 0 )P x 0 + x,y 0 + 2f 2 f f ∞ x0 x+ y 0 y exp jk dx0 dy 0 f y ×

第四章透镜的位相调制和FT变换性质

理解透镜位相因子的物理意义可通过考察透镜对垂直入射的单位振幅平面波的效应，来理解透镜位相因子的物理意义
U 设： l x, y 为紧贴透镜前面的平面波光场分布， U lx, y 为紧贴透镜后面的平面上的光场复振幅分布，
二者之间有关系如下：
U lx, y U l x, y tl x, y , 或 tl x, y U lx, y U l x, y
2 1 2 2

x2 y2 D 2 x, y D 02 R2 R x y D 02 R2 1 1 2 R2
2 2 2 2

x2 y2 x2 y2 Dx, y D 0 R1 1 1 2 R2 1 1 2 R1 R2 其中： D 0 D 01 D 02
在傍轴近似条件下：考虑在透镜轴附近的那部分波前，即(x2+y2) 值足够小，则下列近似式成立。
x2 y2 x2 y2 1 1 2 R1 2 R12 x2 y2 x2 y2 1 1 2 R2 2 R22
上式相当于用抛物面来近似透镜傍轴区域的球面。厚度函数变成
x2 y2 x2 y2 R2 1 1 Dx, y D 0 R1 1 1 2 2 2 R1 2 R2 x2 y2 1 1 D0 2 R1 R2
A I f x f , y f f yy f dxdy
T0 u , v
2

2
二、物体位于透镜之前
At0 x0 , y0 U l x, y U l x, y
1 P x, y 0 透镜孔径内其他

第四章透镜位相调制和傅里叶变换性质

xi x0 yi y0 1 1 1 2 2 ( )( x y ) 2( ) x 2( ) y dxdy dx0dy0 di d1 f di d1 di d1
可以证明，当观察平面是照明光源S的共轭平面时，即
1 1 1 di d0 f
x y k U ( xi , yi ) C exp j ( xi2 yi2 ) t ( x0 , y0 ) exp j 2 ( i x0 i y0 ) dx0dy0 2 xi yi k 2 2 ℱ t ( x , y ) fx C exp j ( xi yi ) fy 0 0 2
xi fx f yi fy f
当透镜孔径大于物体限度时，物体上的信息全部通过透镜，孔径没有影响；当透镜孔径小于物体限度时，必须考虑孔径的影响，卷积的作用使得频谱面上的频谱与物体的频谱之间产生失真，孔径越小，失真越严重。
t(x0,y0)
2.物体放在透镜后方会聚光在物体上投影的等效孔径函数为
第四章透镜的位相调制和傅里叶变换性质
透镜是最基本、最重要的光学元件。众所周知，它可以对物体进行成像，其实质是改变光波的波前。同时它还能对物体进行傅里叶变换。
§4—1 透镜的位相调制作用
透镜一般由两个球面构成，当光线入射到不同的位置时，由于各点厚度不同，其位相延迟是不同的。
如图所示，单位振幅平行光垂直入射在透镜的前表面，光场为
1 1 1 由于 d0 di f
x2 y2 t ( x, y ) U 0 exp( jk ) 2f
一般情况下，透镜的位相调制作用为
x2 y 2 tl ( x, y ) exp( jk ) 2f

第四章透镜的位相调制和FT变换性质

4.1
透镜的相位调制作用
k 2 2 tl x, y exp j x y 2f

透镜能够改变波面的形状。为什么会有这功能?? 由于透镜本身的厚度变化，使得入射光波在通过透镜的不同部位时，经过的光程不同，所受时间延迟不同。
若考虑到实际透镜的有限孔径大小, 引入孔径函数 P (x, y), 也叫光瞳函数，
4.2
透镜的FT变换性质
单色平面波照明下，无论物体位于透镜前方、后方还是紧靠透镜，在透镜的后焦面上都可以得到物体的功率谱。
对于这种照明方式，透镜后焦面常被称为傅里叶变换平面或（空间）频谱面。注意一点的是：当点光源位于有限距离，即采用球面波照明时，透镜仍可起傅里叶变换作用。但这种方式下的频谱面位于点光源的像面位置，而不再在后焦面。
1 P x, y 0 透镜孔径内其他
忽略常相位因子，透镜的相位变换函数可写成:
k t l x , y PΒιβλιοθήκη x , y exp j 2f
x
2
y
2

P(x,y)表示透镜对入射波前大小范围的限制, 指数函数则表示对入射波前的位相调制。透镜的相位变换作用，是由透镜本身的性质决定.

信息光学chap4透镜的位相调制和傅里叶变换性质

U0 (x0,y0,0-) x0 U0 (x0,y0,0+)
实现位相变换:
y0 t(x0,y0)
U0 (x0,y0,0+)= U0 (x0,y0,0-) t(x0,y0)
Ul '(x',
y')
Ul (x',
y') exp
jk
x'2 y'2 2f
透镜光瞳函数：P(
x',
y')
1 0
透镜孔径内其它
2
)
P2面是会聚球面波分布:
Ul
' ( x,
y)
Aexp(
jkq) exp
j
k 2q
(x2
y
2
)
略去常数位相因子透镜的复振幅透过率或相位变换因子为：
t(x,
y)
Ul(x, Ul (x,
y) y)
exp
j
k 2
(x2
y2 )
11 1 qp f
f 为透镜的像方焦距。
y2
)]
1 4
exp[
ja(x2
y
2
)]circ
x2 y2 l
设a>0, 分别考察圆括号中的三项:
exp[
ja(x2
y2)]
exp
jk
x2
y2
2
k 2a
exp[ ja(x2 y2 )] exp jk
x2 y2
2
k 2a
代表正透镜
焦距f = k/2a = p/al
解:
t(x,
y)
t(r)
1 2
1 2
cos(ar

信息光学(傅里叶光学)Chap4-1

x
z
y
z
在无穷远处观察到衍射屏的二维傅里叶变换. 能否在有限远处观察和利用? 可以用透镜实现. 几何光学中,透镜是折射成像元件, 将物点变换为像点, 物、像点均可在无穷远物理光学中,透镜是实现位相变换的元件, 其前后表面的光场复振幅分布不同. 本章解决: 透镜的位相变换, 透镜的F.T.性质
只要正确决定R1、R2的符号, 以上推导适合于任何透镜
透镜的焦距
1 1 f (n 1) R R 2 1
1
仅决定于透镜材料和几何参数.
此结果与几何光学一致. f >0: 凸(正)透镜; f <0: 凹(负)透镜
x2 y2 不考虑常数位相因子, 则透镜的位相变换因子为 exp jk 2f 此变换与入射波的复振幅无关, 它实现变换:
m为整数
令ar02 = u, 则复振幅透过率是u的周期函数, 周期为2p. 方波, 可以展开为复指数 1 1 sgn(cosu ) cn exp( jnu ) 形式的傅里叶级数: n (1)求出傅氏系数cn, 2 2 (2)讨论n为奇数和偶数的情形 (3)与上例的结果相比较.
§4-1 透镜的位相调制作用: 例讨论
此屏类似透镜, 等效于平、凹、凸三个透镜,可作位相变换三个透镜的直径为2l, 焦距分别为∞, -p/a和 p/a. 当单色平面波垂直入射时, 有三部分出射光束 (1)直接透过,循原方向传播 (2)会聚到透镜后焦面处, 与透镜距离为p/a (3)从透镜前焦点p/a处发散的球面波正、负透镜的焦距与波长有关, 即有很大的色差. 只有用单色光照明,才能得到清晰的像三个衍射级不能完全分开
与(x,y)平面上球面波复振幅分布的位相因子相比较 f >0: Ul’(x,y)代表会聚到透镜后焦点的会聚球面波; f <0: Ul’(x,y)代表从透镜前焦点发出的发散球面波这与几何光学的结果相同若考虑透镜的有限尺寸, 可引入孔径函 P ( x, y ) 1 数P(x,y), (一般是圆域函数或矩孔函数), 0

傅立叶光学第四章总结

第四章透镜的位相调制和傅里叶变换性质透镜的复振幅透过率：用于研究透镜对于入射波前的作用——使发散球面波变换为会聚球面波。

定义()() (),,,lllU x yt x yU x y'=P点单色点光源发出发散球面波，经过透镜作用变成会聚球面波。

透镜的位相调制作用：()()()()()()222222exp exp2,exp2exp exp2iilikA jkd j x yd kt x y j x yfkA jkd j x yd⎡⎤--+⎢⎥⎡⎤⎣⎦==-+⎢⎥⎡⎤⎣⎦+⎢⎥⎣⎦厚度函数：(),x y ∆光程差：()()()0,1,L x y n x y =∆+-∆()()()()()0,exp ,exp exp 1,l t x y jkL x y jk jk n x y ==∆-∆⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦傍轴近似下：引入焦距()121111n f R R ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，化简复振幅透过率函数为()()()220,exp exp 2l k t x y jkn j x y f ⎡⎤=∆-+⎢⎥⎣⎦，常忽略第一项位相因子。

由于透镜的有限孔径大小，引入光瞳函数：(),P x y()()()22,,exp 2l k t x y P x y j x y f ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦三种不同位置： ○1物体紧靠透镜()()()()(),,0,,,l t x y t x y l l l l f f f U AU At x y U U t x y U x y '===⇒⇒⇒物体透过率透镜透过率菲涅耳衍射()()22,exp ,2f f f f f f f x y Ak U x y j x y T j f f f f λλλ⎛⎫⎡⎤=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭透镜后焦面上的光场分布正比于物体的傅里叶变换。

()22,,f f f f f x y A I x y T f f f λλλ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭透镜后焦面上的光强分布正好是物体的功率谱。

4.2透镜的傅里叶变换特性

d0 = ∞,
1 1 1 − = di d0 f
σ=
(d 0 − d1 )d i (d 0 − d1 ) f
d0 = d0 + f
d1 = − f
(∞ + f )(− f + f ) = 0 µ=
(∞ − f ) f 2
1 1 ⇒ = di f di = f
1 1 1 ⇒ − = di ∞ f
U ( xi , yi ) = C ℑ{t ( x1 , y1 )}
透镜的傅里叶变换特性dxdy把前面各式代入且用c表示积分号前的常量将指数式中平方项展开并进行合并可得dxdydydxjkdxdydydxjk物平面的共轭面得到物的像dydx的位相因子外便是tx根据第三章对会聚光照明下的菲涅耳衍射的讨论可知观察面上得到的将是的傅里叶变换可以写作可以看到通过光源共轭点的观察面上得到的是的傅里叶变换和一个二次位相因子的乘积
(
)
(
)
(
)
U (x i , y i
)=
C
∫
∫∞ ∫ −
∞
η ∫∞ t (x 1 , y 1 ) exp jk 2 dx 1 dy 1 dxdy −
∞
1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 − x1 + y1 + xi + y i + − − x + y2 η= d −d d d di d1 f 0 1 i x i x1 y i y1 − 2 − x − 2 − y d d d1 d1 i i
k 2 2 U ( x i , y i ) = C exp j µ ( x i + y i ) ℑ {t ( x1 , y1 )} 2

4_透镜的傅里叶变换性质

透镜的傅里叶变换
• 1、透镜对入射波前的变换作用
• 2、透镜的富里叶变换分析方法
– 传统分析方法(三种情况分析) – 普遍性推导（二次菲涅尔衍射推导，有一定新意） – 物体放置在透镜距离一定距离后的详解(更加科学） – 透镜为什么具有傅里叶变换性质？
• 3、透镜的傅里叶变换性质
– 透镜为什么具有傅里叶变换特性 – 4F系统为什么可以成镜像
• 4、透镜的孔径对傅里变换的影响
• 5、共轭照明下透镜的傅里叶变换特性（新）
• 6、透镜傅里叶变换的应用
2015/4/2
第四章透镜的傅里叶变换性质
1
一、透镜的光波变换性质
– 1.0 棱镜与透镜
2015/4/2
第四章透镜的傅里叶变换性质
2
一、透镜的光波变换性质
– 1.1、透镜的几何光学表述
透镜成像图解
L(x,y)表示光线在入射和出射平面的光程
L(x,y)=n△(x,y)+[△0-△(x,y)]=△0+(n-1)△(x,y)
tl(x,y) exp( jkΔ0 ) exp jk(n-1)Δ(x,y)
2015/4/2
第四章透镜的傅里叶变换性质
7
一、透镜的光波变换性质
– 1.3、透镜的厚度函数
tl (x, y) exp( jkn0 ) exp

j
k 2f
(x2

y2 )
注意：大多数情况下， kn0 绝对位相并不重要，可以忽略
2015/4/2
第四章透镜的傅里叶变换性质
9
透镜的光波变换性质
– 1.3、透镜的相移函数：特例
当入射光波为平面波时
Ul(x, y)

信息光学_第四章

x0 y0
x y
xf yf
U2
Uf

Fresnel U ( x, y) exp jkz exp[j k ( x 2 y 2 )] U x , y exp[j k ( x 2 y 2 )]exp[ j 2 ( xx yy )]dx dy 0 0 0 0 0 0 0 0 jz 2z 2z z 公式：
exp[ jk ( p q)]
常数相位因子，改变光波整体的位相分布，可略掉
k 1 1 调制项，影响观察面上位相的相对分布， exp[ j ( x 2 y 2 )( )] 把发散球面波变换成会聚球面波 2 p q
透镜成像的高斯公式：
1 1 1 p q f
所以，透镜的位相变换因子为：
k ( x 2 y 2 )] 2f
将公式
U 2 ( x, y ) U1 ( x, y ) exp[ j
代入上式
x0 y0
x y
xf yf
U2
Uf

exp jkf k 2 2 2 U f (x f , y f ) exp[j ( x f y f )] U1 x, y exp[ j ( xx f yy f )]dxdy jf 2f f
xf yf
Uf
U 2 ( x, y)
透镜位相变换因子
• 透镜后端面光场复振幅
k U 2 ( x, y ) U1 ( x, y ) exp[ j ( x 2 y 2 )] 2f
• 透镜焦平面上光场复振幅 U f ( x f , y f )
透镜后端面光场
透镜后焦面光场，属于Fresnel衍射。
令：
exp jkf k 2 2 U f (x f , y f ) exp[ j ( x f y f )] j f 2f U 2 x, y exp[ j

大学物理透镜的傅立叶变换性质

对应的细节-透镜的作用是什么定性讨论
薄透镜的位相变换作用定性研究
R1
R2
薄透镜：厚度与曲率半径相比足够小

透镜作用的定性讨论
平面波同一波阵面上不同点经过的光程不同，位相增量也不同，因此经过透镜之后，造成波阵面弯曲，形成会聚球面波。凹透镜的分析类似
A A‘
B
B’
F’
光学计算机
二维输入输出，并行处理，模拟量超高速运算，装置简单价廉是其优点
缺点一：只能输入输出光学图像
缺点二：模拟量容易受到噪声干扰，精度问题缺点三：只能直接进行傅立叶变换，实用范围窄
本节结束，谢谢
d0 f 如果输入平面位于透镜的前焦面
xx0 yy0 x, y c ' t x0 , y0 exp jk dx0 dy0 f
xx0 yy0 U x, y c ' t x0 , y0 exp j 2 dx0 dy0 f
有二次相位因子
频谱可以随q变化（缩放）
物位于透镜后方
分析方法同物体位于透镜前方一致
依然是球面波传播，两次透过和两次菲涅
尔衍射的过程
分析结论：物体无论放在透镜前方还是后
方，在照明光源的共轭面上均可以获得衍
射物体的傅立叶变换，不同的是二次位相因子的存在
重要结论
物体置于透镜的前焦面，在光源的共轭面
上可以获得衍射物体的复振幅透过率的准确的傅立叶变换分布。前焦面光源的共轭面准确的傅立叶变换
引申：光学模拟计算机
透镜能够实现傅立叶变换＝光学计算机特点一：光学计算机无需对输入信号进行抽样，而是对模拟信号直接处理－模拟输入特点二：可以直接处理二维图像（信号），并行输入特点三：光学计算机按照图像－角谱－空间谱的方式进行运行，速度为光波从输入到输出面的传播时间，速度极快特点四：光学计算机就是透镜，价廉，简

《信息光学》第四章章透镜的位相调制和傅里叶变换性质

1、透镜的位相调制作用
下面具体分析一下厚度函数(x,y)和透镜主要结构参数(构成透镜的两个球面的曲率半径R1和R2)之间的关系。
x, y 1 x, y 2 x, y
将透镜一剖为二
1
x2 y2 R12
1
x2 y2
2R12
1
x,
y
01
R1
R12
x2 y2
d
f
透镜后焦面上的场是透镜前端场U1(x,y)的傅立叶变换(空间频谱)
根据透镜的位相调制功能，透镜后端场U2(x,y)为:
U
2
x,
y
U1
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
从透镜后端到后焦面光的传播属于菲涅耳衍射，利用菲涅耳衍射公式，后焦
面上的场U(x,y)为：U f
xf , yf
1 j f
根据厚度函数的表达式，可得到在旁轴近似下，光波通过透镜时在(x,y)点发生的位相延迟
tl x, y exp jk0 exp jk n 1 x, y
x, y 0
x2 y2 2
1 R1
1 R2
tl x, y exp jkn0 exp jk n 1
x2 y2 2
L(x,y)是Q到Q’之间的光程：
L x, y n x, y 0 x, y 0 n 1 x, y
则
tl x, y exp jk0 exp jk n 1 x, y
L(x,y)
上式具有普遍意义，对于任意面形的薄位相物体，一旦知道其厚度函数(x,y)，就可以根据该式得到其位相调制。
本章主要内容
1 2、透镜的傅里叶变换性质 3、光学频谱分析系统
0、序言

第四章透镜的位相调制和傅里叶变换性质

tl x, y exp jk0 exp jk n 1 x, y
x, y 0
x2 y2 2
1 1
R1
R2
tl x, y exp jkn0 exp jk n 1
x2 y2 2
1 R1
1 R2
1 f
n
1
1 R1
1 R2
tl
x,
y
exp
jkn0
exp
x,
y
传播：光波由一个平面向另一个平面传播一段距离，用菲
涅尔衍射处理
U0 x0 , y0 Ul x, y Ul x, y U f x f , y f
Ul x, y
1 k
j d1
exp
j
2d1
x2 y2
F U0
x0 ,
y0
exp
j
k 2d1
x02 y02
xf
d
,
fy
yf
d
透镜后焦面上的复振幅分布正比于物体的傅里叶变换
对应的强度分布为
I f
xf , yf
Af
d 2
2
T
xf
d
,
yf
d
2
知识点回顾
透镜的复振幅透过率
tl (x, y) exp[ j
k 2f
(x2
y2 )]
1 f
n
1
1 R1
1 R2
考虑透镜孔径
tl (x, y)
exp[
(x,
y)
exp
j
2
f
x2 y2
U f
xf , yf
exp
j
jkf f
exp
j

《信息光学》第四章透镜的位相调制和剖析

tl x, y exp jk0 exp jk n 1 x, y
x, y 0
x2 y2 2
1 R1
1 R2
tl
x,
y
exp
jkn0
exp
jk
n
1
x2 y2 2
1 R1
1 R2
1 f
n
1
1 R1
1 R2
(n为透镜材料的折射率)
tl
x,
y
exp
jkn0
相因子，
能够对入射波前施加位相调制的结果。
1、透镜的位相调制作用
1）若在非旁轴近似条件下，即使透镜表面是理想球面，透射光波也将偏离理想球面波，即透镜产生波像差。
2）实际透镜总是有大小的，即存在一个有限大小的孔径。引入光瞳函数P(x,y)来表示透镜的有限孔径，即
P
x,
y
1 0
透镜孔径内其他
于是透镜的复振幅透过率可以完整的表示为：
本章主要内容
1、透镜的位相调制作用 2、透镜的傅里叶变换性质 3、光学频谱分析系统
0、序言
透镜是一种非常重要的光学元件，其主要功能包括：成像和傅里叶变换。
1）透镜的成像功能
2）透镜的傅里叶变换功能
（夫琅和费衍射）
f
f f
Question: 透镜为什么具有这样的功能？
1、透镜的位相调制作用
1.1 透镜对入射波前的作用
L(x,y)是Q到Q’之间的光程：
L x, y n x, y 0 x, y 0 n 1 x, y
则
tl x, y exp jk0 exp jk n 1 x, y
L(x,y)
上式具有普遍意义，对于任意面形的薄位相物体，一旦知道其厚度函数(x,y)，就可以根据该式得到其位相调制。

透镜的傅里叶变换性质

透镜的作用
:透镜将照明光波变换成会聚球面波, 会聚点是照明点光源的共轭像点.从而在此会聚点处(注意:不是物本身的像点)得到物的F.T., 但比例尺度改变.
§3.2 透镜的傅里叶变换性质：小结
我们特别关注物在透镜前, q=f, d0=f 的特殊情形。此时
U (x, y) c
t(x0 , y0 ) exp
透镜的复振幅透过率：
t(x,透y)镜 e的xpF[.T.j性k质(x2 y 2 )]
2f
物体放在焦距为 f 的透镜的前焦面，用波长为的单色平面波垂直入射照明，
物函数t(x0,y0)的准确
的傅里叶变换
在透镜后焦面上得到：
变换的空频坐标与后焦面空间坐标 xf, yf 的关系：
fx
xf
f,Βιβλιοθήκη fyyf关系。
利用菲涅耳公式，透镜前表面:
dUl
( x0
',
y0
';
x,
y)
exp( jkd0 )
jd0
(
x0
x0
,
y0
y0
)
exp
jk
(x
x0
)2 ( 2d0
y
y0
)2
dx0dy0
可写成:
exp[ jkd0
jd 0
]
exp
jk
(x
x0
)2 (y 2d 0
y0
)2
dUl (x0 , y0; x, y)
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
透镜的后焦面是输入物体的频谱面
透镜后焦面上不同位置的点,对应物体衍射光场的不同空间频率分量
x0 fx2
xf
fx2> fx1

第四章__傅里叶光学

透镜的位相变换因子（球面波的菲涅耳近似）透镜具有位相变换能力
2、透镜的傅立叶变换性质
当d0=f 时，有

C0
1 exp[ ik 2 f ] i f
E (u , v) C 0 E ( x 2 , y 2 ) exp[i 2 ( x 2 u y 2 v)]dx2 dy2
若一个二维函数f ( x, y )满足傅立叶积分存在条件，则有： F (u, v) F ( x, y ) exp i 2 ux vy dxdy f ( x, y ) F (u , v) expi 2 ux vy dudv
（1）
（2）
傅立叶变换就是将一个复杂函数可以分解成简单函数的和 1 ) exp[i2(ux+vy)] 表示一个沿波矢方向空间频率（u,v）传播的单色平面波。 2 ) 每组平面光波有自己的传播方向，其复振幅的大小可以表示为F(u, v)dudv。
二、扩展物体的成像
对于线性空不变系统，扩展物体的光场分布可以看成许多点物经系统形成的点扩散函数的线性组合
g ( x) O( x) h( x x)dx O( x) h( x)

三、相干传递函数（CTF）
1、CTF的意义
在频率域中求解： Gc (u, v) g ( x, y) 记：
① 用归一化的物象频谱表示物象对应各(u,v)分量的对比度 ② 一般情况下，
|H(u,v)| ——对比传递函数（MTF）表示物象分布中同一(u,v)分量对比度变化
φ(u,v) ——相位传递函数（PTF）表示物象分布中同一(u,v)分量的相移
二、OTF的求法
1、利用OTF与CTF的自相关
2、图解法求取OTF

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透镜的复振幅透过率：
tl x , y
U l x, y U x, y
在旁轴近似下，忽略透镜对光波振幅的影响，紧靠透镜前后的平面上产生的复振幅分布为
k U l x, y A exp jkd0 exp j x 2 y 2 2d 0
y2 2 R12 2 2 x y 1 2 2 R2
2
x, y 0
x
2
y2 1 1 2 R1 R2
1、透镜的位相调制作用
1.3 透镜的复振幅透过率根据厚度函数的表达式，可得到在旁轴近似下，光波通过透镜时在(x,y)点发生的位相延迟
1 1 1 n 1 f R1 R2
(n为透镜材料的折射率)
k tl x, y exp jkn0 exp j x 2 y 2 xp jk 0 exp jk n 1 x, y
x, y 0
x
2
y2 1 1 2 R1 R2
x2 y 2 1 1 tl x, y exp jkn0 exp jk n 1 2 R1 R2
x, y 1 x, y 2 x, y
将透镜一剖为二
x2 y 2 1 x, y 01 R1 R12 x 2 y 2 01 R1 1 1 R12
k 2 1 2 1 exp jk d d exp j x y d d 0 i 2 0 i
(常数项) 对空间分布，分析时可忽略掉。
(调制项)
对于常数项，它改变的是光波整体的位相分布，并不影响平面上位相的相对于调制项，它改变了平面上位相的相对空间分布，能把发散球面波变换
1、透镜的位相调制作用
因此，透镜的位相调制因子：
Ul x, y k 2 2 tl x, y exp jk d d exp j x y 0 i 2f Ul x, y
结论：通过上面的分析可知，透镜对透射的光波具有位相调制的功能。但是，透镜为什么会具有这种能力呢？
为会聚球面波。根据几何光学中介绍的透镜成像公式
1 1 1 di d 0 f
(为透镜的焦距)
k 1 1 k exp j x 2 y 2 exp j x 2 y 2 2f di d 0 2
k 2 2 U l x, y A exp jkdi exp j x y 2d i
1、透镜的位相调制作用
则透镜复振幅透过率表示为：
k A exp jkdi exp j x 2 y 2 U x, y 2d i tl x, y l U l x, y k 2 2 A exp jkd 0 exp j x y 2d 0
本章主要内容 1、透镜的位相调制作用 2、透镜的傅里叶变换性质
3、光学频谱分析系统
0、序言
透镜是一种非常重要的光学元件，其主要功能包括：成像和傅里叶变换。
1）透镜的成像功能
2）透镜的傅里叶变换功能
（夫琅和费衍射）
f
f
f
Question: 透镜为什么具有这样的功能？
1、透镜的位相调制作用
1.1 透镜对入射波前的作用
L(x,y)
tl x, y exp jk x, y exp jkL x, y
L(x,y)是Q到Q’之间的光程：
L x, y n x, y 0 x, y 0 n 1 x, y
则
tl x, y exp jk 0 exp jk n 1 x, y
上式具有普遍意义，对于任意面形的薄位相物体，一旦知道其厚度函数(x,y)，就可以根据该式得到其位相调制。
1、透镜的位相调制作用
下面具体分析一下厚度函数(x,y)和透镜主要结构参数(构成透镜的两个球面的曲率半径R1和R2)之间的关系。
Answer: 透镜本身的厚度变化，使得入射光波在通过透镜的不同部位时，经过的光程差不同，即所受时间延迟不同，从而使得光波的等相位面发生弯曲。
等相位面
1、透镜的位相调制作用
1.2 透镜的厚度函数主要考虑薄透镜的情况 (忽略了折射效应)
如果进一步忽略光在透镜表面的反射以及透镜内部吸收造成的损耗，认为通过透镜的光波振幅分布不发生变化，只是产生一个大小正比于透镜各点厚度的位相变化，于是透镜的位相调制可以表示为：
x 1
2
y2 R12
x 1
x2 y 2 1 2 R2 2 2 x y 2 x, y 02 R2 R2 2 x 2 y 2 02 R2 1 1 2 仅考虑旁轴光 R2

傅里叶光学第4章透镜的位相调制和傅里叶变换性质

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