圆锥曲线习题课 教案

直线和椭圆相交问题直线与椭圆的位置关系判断方法：位置关系直线与椭圆交点个数方程解的个数的取值相交个解相切个解相离个解直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的公共点直线与椭圆方程联立方程组解个数当为何值时，直线：与椭圆：相切、相交、相离．圆锥曲线大题1已知椭圆C：，直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点．若直线l与直线OD（O为坐标原点）的斜率之积为，求椭圆..的方程；设而不求第一步1、直线与圆锥曲线相交，满足一个关系式，22221x y a b +=设直线方程m kx y +=代入22221x y a b +=得=+21x x =21.x x =-21x x 用m kx y +=可得=+21y y =21.y y =-21y y第二步 列出关系式第三步 将关系式化为用=+21x x =21.x x =-21x x=+21y y=21.y y =-21y y 表达的式子，然后再代入。

2、过椭圆14922=+y x 内一点()1,1P 作弦AB ，若PB AP =，则直线AB 的方程为3、如图，点P（0，﹣1）是椭圆的一个顶点，C1的长轴是圆的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中斜率为k的直线l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D （1）求椭圆C1的方程；（2）试用k表示△ABD的面积S；（3）求△ABD面积S取最大值时直线l1的方程．二、定值问题1、设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =,右焦点到直线1x ya b+=的距离217d =,O 为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点O 作两条互相垂直的射线,与椭圆C 分别交于,A B 两点,证明点O 到直线AB 的距离为定值,并求出定值.三、定点问题1、如图，已知椭圆C ：+y 2=1（a ＞1）的上顶点为A ，离心率为，若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且•=0．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标．四、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，两条准线之间的距离为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．五、1.已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；抛物线p=4(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．2、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过原点O，求证：点O到直线AB的距离为定值；3、设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为A（0，2），右焦点F到点的距离为2．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过点（0，﹣3）的直线l与椭圆相交于不同两点M，N满足，试求直线l的方程．练习1、已知椭圆C=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为．直线l：y=kx+m 与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若线段AB的垂直平分线通过点，证明：2k2+1=2m；（3）在（2）的前提下，求△AOB（O为原点）面积的最大值2、过椭圆的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则的值是否为定值？如果是，定值是多少？3.如图，曲线C由上半椭圆C1：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为3 2.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．4、已知椭圆C与双曲线y2﹣x2=1有共同焦点，且离心率为．设A 为椭圆C的下顶点，M、N为椭圆上异于A的不同两点，且直线AM 与AN的斜率之积为﹣3①试问M、N所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由；②若P点为椭圆C上异于M，N 的一点，且|MP|=|NP|，求△MNP的面积的最小值．5、已知点F为椭圆的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆E有且仅有一个交点M．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线与y轴交于P，过点P的直线与椭圆E交于两不同点A，B，若λ|PM|2=|PA|•|PB|，求实数λ的取值范围．6.已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点（，﹣），且椭圆的离心率e=．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A，C及B，D，设线段AC，BD的中点分别为P，Q．求证：直线PQ恒过一个定点．7、已知双曲线，椭圆C与双曲线有相同的焦点，两条曲线的离心率互为倒数．（1）求椭圆的方程；（2）椭圆C经过点M，点M的横坐标为2，平行于OM的直线l交椭圆于A、B两个不同点，求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．8.已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标9.已知抛物线C：y2＝4x，点M(m,0)在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A，B两点，O为坐标原点．(1)若m＝1，且直线l的斜率为1，求以线段AB为直径的圆的方程；(2)问是否存在定点M，不论直线l绕点M如何转动，使得1|AM|2＋1|BM|2恒为定值作业1、已知椭圆C：+=1的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值为（）2、已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，点P （1，）在椭圆上，且△PF1F2的面积为．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过该椭圆的左顶点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆相交于不同于点A的两点M、N，证明：动直线MN恒过x轴上一定点．3.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率，且点P（﹣2，0）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A、B为椭圆C上的动点，当PA⊥PB时，求证：直线AB恒过一个定点．并求出该定点的坐标．4、已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，点P （1，）在椭圆上，且△PF1F2的面积为．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过该椭圆的左顶点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆相交于不同于点A的两点M、N，证明：动直线MN恒过x轴上一定点．5、在直角坐标系xOy上取两个定点A1(－2,0)、A2(2,0)，再取两个动点N1(0，m)、N2(0，n)，且mn＝3.(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；(2)已知F2(1,0)，设直线l：y＝kx＋m与(1)中的轨迹M交于P、Q两点，直线F2P、F2Q的倾斜角为α、β，且α＋β＝π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标.6、已知椭圆，直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点．（1）证明：点O到直线AB的距离为定值7.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为A（0，2），右焦点F与点的距离为2，（1）求椭圆的方程；（2）斜率k≠0的直线l：y=kx﹣2与椭圆相交于不同的两点M，N满足|AM|=|AN|，求直线l的方程．8、已知点F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F2（1，0）的距离的最大值为+1．（1）求椭圆C的方程．（2）点M的坐标为（，0），过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点．对于任意的k∈R，是否为定值？9、已知椭圆C ：（b ＞0），以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过椭圆C 左右两个焦点，A ，B 是椭圆C 的长轴端点．（1）求圆O 的方程和椭圆C 的离心率e ；（2）设P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N ，试判断MQ 与NQ 所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，也请说明理由．10、在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点，y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.11、已知椭圆C：（b＞0），以椭圆C的短轴为直径的圆O 经过椭圆C左右两个焦点，A，B是椭圆C的长轴端点．（1）求圆O的方程和椭圆C的离心率e；（2）设P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N，试判断MQ与NQ所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，也请说明理由．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，且经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)如果斜率为12的直线EF 与椭圆交于两个不同的点E 、F ，试判断直线AE 、AF 的斜率之和是否为定值，若是请求出此定值；若不是，请说明理由．(3)试求三角形AEF 面积S 取得最大值时，直线EF 的方程．已知椭圆G 的离心率为，其短轴两端点为A （0，1），B （0，﹣1）．（Ⅰ）求椭圆G 的方程； （Ⅱ）若C 、D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线AC 、BD 与x 轴分别交于点M 、N ．判断以MN 为直径的圆是否过点A ，并说明理由．补充设椭圆E 的方程为+y 2=1（a ＞1），O 为坐标原点，直线l 与椭圆E 交于点A ，B ，M 为线段AB 的中点．（1）若A ，B 分别为E 的左顶点和上顶点，且OM 的斜率为﹣，求E 的标准方程；（2）若a=2，且|OM |=1，求△AOB 面积的最大值． 已知椭圆方程为+y 2=1，点B （0，1）为椭圆的上顶点，直线l ：y=kx +m 交椭圆于P 、Q 两点，设直线PB ，QB 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1k 2=1（1）求证：直线l 过定点M ，并求出点M 的坐标；（2）求△BPQ 面积的最大值． 已知椭圆,22)0(1:2222=>>=+e b a by a x C 的离心率左、右焦点分别为F 1、F 2,点)3,2(P ,点F 2在线段PF 1的中垂线上.(1)求椭圆C 的方程;(2)设直线m kx y l +=:与椭圆C 交于M 、N 两点,直线F 2M 与F 2N 的倾斜角互补,求证:直线l 过定点,并求该定点的坐标.已知椭圆C ：的焦距为2c ，离心率为，圆O ：x 2+y 2=c 2，A 1，A 2是椭圆的左右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，△A 1AB 面积的最大值为2；（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）若l 为圆O 的任意一条切线，l 与椭圆E 交于两点P ，Q ，求|PQ |的取值范围；设O 为坐标原点，椭圆C ：的左焦点为F ，离心率为．直线l ：y=kx +m （m ＞0）与C 交于A ，B 两点，AF 的中点为M ，|OM |+|MF |=5．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P （0，1），=﹣4，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 已知椭圆的右顶点为A ，上顶点为B ，离心率，O 为坐标原点，圆与直线AB 相切． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知四边形ABCD 内接于椭圆E ，AB ∥DC ．记直线AC ，BD 的斜率分别为k 1，k 2，试问k 1•k 2是否为定值？证明你的结论．如图，曲线C由上半椭圆C1：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为3 2.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．。

圆锥曲线教案圆锥曲线教案一、教学目标：1. 理解什么是圆锥曲线，学会在笛卡尔坐标系中表示圆锥曲线。

2. 学会求解圆锥曲线的焦点、直径、离心率等相关性质。

3. 掌握对圆锥曲线进行方程变换、平移、旋转等操作的方法。

二、教学准备：1. 教师准备黑板、彩色粉笔等教学用具。

2. 学生准备笔记本、书籍等学习用具。

三、教学过程：1. 导入新知识：通过展示一张圆锥曲线的图片，询问学生对这个图形有什么了解，引导学生思考圆锥曲线的定义和性质。

2. 理论讲解：(1) 定义圆锥曲线：对圆锥在一个经过顶点的剖面研究所得到的曲线称为圆锥曲线。

(2) 表示方法：在笛卡尔坐标系中，圆锥曲线可由方程表示，例如椭圆的方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。

(3) 常见圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。

3. 实例演示：以椭圆为例，给出一个椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，引导学生求解椭圆的焦点、直径、离心率等相关性质。

4. 计算练习：给出多个圆锥曲线的方程，让学生进行计算练习，提高其运算能力。

5. 方程变换：介绍如何对圆锥曲线进行方程变换，包括水平方向和垂直方向的方程变换。

6. 平移与旋转：讲解如何对圆锥曲线进行平移和旋转，以及平移和旋转对方程的影响。

7. 总结归纳：对学过的内容进行总结归纳，梳理知识框架。

8. 解答疑问：解答学生对圆锥曲线相关问题的疑惑。

9. 课堂练习：布置一些课堂练习题，让学生巩固所学知识。

四、教学延伸：1. 引导学生进行实际应用：让学生寻找生活中的圆锥曲线，并分析其性质和特点。

2. 继续深入学习：对于学有余力的学生，可以探究更高级的圆锥曲线知识，如圆锥曲线的参数方程、极坐标方程等。

五、教学评价：1. 课堂练习的成绩。

2. 学生对于圆锥曲线相关问题的提问及解答情况。

3. 学生对于课堂知识的掌握和应用情况。

六、课后作业：1. 完成课堂练习题。

课题名称解圆锥曲线问题常用方法教学目标1、理解并掌握圆锥曲线的相关定义和性质2、能熟练的解决圆锥曲线问题教学重点难点重点：圆锥曲线的相关性质难点：选择最合适的方法去解决圆锥曲线问题课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________教学过程解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（1）椭圆定义：r1+r2=2a.（2）双曲线定义：arr221=-，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a.（3）抛物线定义，很多抛物线问题用定义解决更直接简明.2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+babyax与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有0220=+kbyax.教学过程则有0220=-kbyax.（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.4、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。

圆锥曲线的教案教案标题：探索圆锥曲线教案目标：1. 了解圆锥曲线的基本定义和特征。

2. 掌握椭圆、双曲线和抛物线的标准方程及其图像特点。

3. 理解圆锥曲线在实际生活和科学领域中的应用。

教案步骤：引入活动：1. 利用一张图片或实物展示圆锥曲线的形状，引发学生对该主题的兴趣。

2. 提问学生是否了解圆锥曲线，以及他们对圆锥曲线的认识。

知识讲解：3. 介绍圆锥曲线的定义和基本特征，包括焦点、准线、离心率等概念。

4. 分别讲解椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并通过示例图像展示它们的形状和特点。

5. 引导学生思考圆锥曲线在实际生活和科学领域中的应用，如卫星轨道、天文学、建筑设计等。

实践活动：6. 分组让学生进行小组讨论，给出一些实际问题，要求他们利用所学的圆锥曲线知识进行解答和分析。

7. 每个小组选择一个问题进行展示，并解释他们的解决思路和方法。

巩固练习：8. 分发练习题，让学生独立完成，检验他们对圆锥曲线的理解和应用能力。

9. 审查并讲解练习题答案，解答学生的疑问。

课堂总结：10. 回顾本节课所学的内容，强调圆锥曲线的重要性和应用领域。

11. 鼓励学生继续深入学习圆锥曲线，并提供相关参考资料和学习资源。

教学评估：12. 教师观察学生在课堂讨论和实践活动中的参与度和表现。

13. 评估学生在练习题中的答题情况，以及对圆锥曲线的理解和应用能力。

拓展活动：14. 鼓励学生进行更多的实践探究，如通过软件绘制圆锥曲线图像，或进行实际测量和数据分析等。

教案特点：1. 充分引发学生兴趣：通过图片或实物展示，引发学生对圆锥曲线的兴趣和好奇心。

2. 理论与实践结合：通过小组讨论和实际问题解答，培养学生的实际应用能力。

3. 评估与拓展：通过评估学生的学习情况，及时调整教学策略，同时鼓励学生进行更多的拓展活动。

以上是一个基本的教案框架，你可以根据具体教学需求和学生水平进行适当调整和补充。

教学目标：1. 知识与技能：理解圆锥曲线的定义，掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其性质。

2. 过程与方法：通过实例分析和几何推导，培养学生运用圆锥曲线知识解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养严谨的科学态度和团队合作精神。

教学重点：1. 圆锥曲线的定义和标准方程。

2. 圆锥曲线的性质和应用。

教学难点：1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程推导。

2. 圆锥曲线的几何性质。

教学准备：1. 多媒体课件2. 圆锥曲线模型3. 相关习题教学过程：一、导入1. 展示生活中常见的圆锥曲线图像，如月亮、卫星轨道等，激发学生的学习兴趣。

2. 提问：什么是圆锥曲线？它们有什么特点？二、新课讲解1. 圆锥曲线的定义：圆锥曲线是平面内动点到定点F的距离与到定直线L的距离的比等于常数e的点的轨迹。

2. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程：- 椭圆：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$，$e<1$。

- 双曲线：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>0$，$b>0$，$e>1$。

- 抛物线：$y^2=2px$（开口向右）或$x^2=2py$（开口向上），其中$p>0$。

3. 圆锥曲线的性质：- 椭圆：长轴、短轴、焦距、离心率等。

- 双曲线：实轴、虚轴、焦距、离心率等。

- 抛物线：焦点、准线、焦距等。

三、实例分析1. 展示实例：地球绕太阳的运动轨迹为椭圆，分析椭圆的几何性质。

2. 引导学生思考：如何利用圆锥曲线的知识解决实际问题？四、课堂练习1. 给出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，要求学生求出它们的焦点、离心率等。

2. 给出实际问题，如卫星轨道设计、建筑设计等，要求学生运用圆锥曲线知识解决。

五、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调圆锥曲线的定义、标准方程、性质和应用。

及圆锥曲线有关的几种典型题一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握及圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、及圆锥曲线有关的最值(极值)问题、及圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线及圆锥曲线相交问题等．(二)能力训练点通过对圆锥曲线有关的几种典型题的教学，培养学生综合运用圆锥曲线知识的能力．(三)学科渗透点通过及圆锥曲线有关的几种典型题的教学，使学生掌握一些相关学科中的类似问题的处理方法．二、教材分析1．重点：圆锥曲线的弦长求法、及圆锥曲线有关的最值(极值)问题、及圆锥曲线有关的证明问题．(解决办法：先介绍基础知识，再讲解应用．)2．难点：双圆锥曲线的相交问题．(解决办法：要提醒学生注意，除了要用一元二次方程的判别式，还要结合图形分析．)3．疑点：及圆锥曲线有关的证明问题．(解决办法：因为这类问题涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法，所以比较灵活，只能通过一些例题予以示范．)三、活动设计演板、讲解、练习、分析、提问．四、教学过程(一)引入及圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、及圆锥曲线有关的最值(极值)问题、及圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线及圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到，为了让大家对这方面的知识有一个比较系统的了解，今天来讲一下“及圆锥曲线有关的几种典型题”．(二)及圆锥曲线有关的几种典型题1．圆锥曲线的弦长求法设圆锥曲线C∶f(x，y)=0及直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．A、B两点，旦|AB|=8，求倾斜角α．分析一：由弦长公式易解．由学生演板完成．解答为：∵抛物线方程为x2=-4y，∴焦点为(0，-1)．设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．将此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0．∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k．∴ k=±1．∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p．由上述解法易求得结果，由学生课外完成．2．及圆锥曲线有关的最值(极值)的问题在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围．例2 已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值及最小值；(2)x+y的最大值及最小值．解(1)：将x2+4(y-1)2=4代入得：x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y由点(x，y)满足x2+4(y-1)2=4知：4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1．∴0≤y≤2．当y=0时，(x2+y2)min=0．解(2)：分析：显然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，则将此代入x2+4(y-1)2=4中得关于y的一元二次方程，借助于判别式可求得最值．令x+y=u，则有x=u-y．代入x2+4(y-1)2=4得：5y2-(2u+8)y+u2=0．又∵0≤y≤2，(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×u2≥0．3．及圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法．例3 在抛物线x2＝4y上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)且满足|AB|=y1+y2+2，求证：(1)A、B和这抛物线的焦点三点共线；证明：(1)∵抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y=-1．∴ A、B到准线的距离分别d1＝y1+1，d2=y2+1(如图2－46所示)．由抛物线的定义：|AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1．∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB|．即A、B、F三点共线．(2)如图2－46，设∠AFK=θ．∵|AF|=|AA1|=|AK|+2=|AF|sinθ+2，又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ．小结：及圆锥曲线有关的证明问题解决的关键是要灵活运用圆锥曲线的定义和几何性质．4．圆锥曲线及圆锥曲线的相交问题直线及圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用△≥0来处理．但用△≥0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的．解决这类问题：方法1，由“△≥0”及直观图形相结合；方法2，由“△≥0”及根及系数关系相结合；方法3，转换参数法(以后再讲)．实数a的取值范围．可得：y2=2(1-a)y+a2-4=0．∵△=4(1-a)2-4(a2-4)≥0，如图2－47，可知：(三)巩固练习(用一小黑板事先写出．)2．已知圆(x-1)2+y2=1及抛物线y2=2px有三个公共点，求P的取值范围．顶点．请三个学生演板，其他同学作课堂练习，教师巡视．解答为：1．设P的坐标为(x，y)，则2．由两曲线方程消去y得：x2-(2-2P)x=0．解得：x1=0，x2=2-2P．∵0＜x＜2，∴0＜2-2P＜2，即0＜P＜1．故P的取值范围为(0，1)．四个交点为A(4，1)，B(4，-1)，C(-4，-1)，D(-4，1)．所以A、B、C、D是矩形的四个顶点．五、布置作业1．一条定抛物线C1∶y2=1-x及动圆C2∶(x-a)2+y2=1没有公共点，求a的范围．2．求抛线y=x2上到直线y=2x-4的距离为最小的点P的坐标．3．证明：从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长．作业答案：1．当x≤1时，由C1、C2的方程中消去y，得x2-(2a+1)x+a2=0，离为d，则似证明．六、板书设计。

4. 待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0•••抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b 2x+a2b2=0 应有等根.•••△ =1664-4Q4b2=0,即卩a2=2b.(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a 2.(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果•练习题用一小黑板给出.1 .△ ABC-边的两个端点是B(0 , 6)和C(0 , -6)，另两边斜率的2. 点P与一定点F(2 , 0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1 : 2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3. 求抛物线y2=2px(p >0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. 答案：义法)由中点坐标公式得:(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.五、布置作业1. 两定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.2. 动点P到点F1(1 , 0)的距离比它到F2(3 , 0)的距离少2,求P点的轨迹.3. 已知圆x2+y2=4上有定点A(2 , 0)，过定点A作弦AB,并延长到点P,使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程.作业答案：1. 以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2. v |PF2|-|PF|=2 ，且|F1F2| • P点只能在x轴上且x V 1，轨迹是一条射线六、板书设计教学反思：4斜率之积为4,9程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c .引导学生用其他方法来解.另解：设椭圆的标准方程为2 25 31 a b 0，因点一，一在椭圆上,a b2 225 9 则 4a 2 4b 22 2a b 4；10<6例2如图，在圆x 24上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段 PD , D 为垂足•当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么?分析： 点P 在圆x 2 y 2 4上运动，由点 P 移动引起点 M 的运动，则称点 M 是点P 的伴随点，因点M 为线段 PD 的中点，则点 M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点 M 的轨迹方程.引申： 设定点2xA 6,2 , P 是椭圆x252y1上动点，求线段 AP 中点M 的轨迹方程.9解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M x, y , P x 1,y 1 :②（点与伴随点的关系）： M为线段AP 的中点,X i y i2x 6;③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）2y 22..X 1 '252y11 , •••点M9x的轨迹方程为一25④伴随轨迹表示的范围.例3如图，设A , B 的坐标分别为 5,0 , 5,0 .直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的分析：若设点x, y ,则直线AM,BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示，由于直线AM ,BM 的斜率之积是4 ，因此，可以求出9x, y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程.解法剖析：设点M x, y ,则 k AM-^― x 5 , k BMx 5 ；x 5x 5代入点M 的集合有4-，化简即可得点 M 的轨迹方程. 9引申：如图，设△ ABC 的两个顶点 A a,0 , B a,0，顶点C 在移动，且k AC k BC k , 且k 0,试求动点C 的轨迹方程.引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当 色也是从椭圆的长轴T 圆的直径T 椭圆的短轴.练习：第45页1、2、3、4、 作业：第53页2、3、k 值在变化时，线段 AB 的角求点M 的轨迹方程.分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能 力.实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对 椭圆的标准方程的讨论， 研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先 定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过 题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 1. 2椭圆的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、 从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )椭圆的简单几何性质2x一2 0，进一步得：a xax 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究椭圆的标准 y 轴为对称轴，原点为对称中心；即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆 锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较 短的叫做短轴；c④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的离心率(0 e 1 ),a当 e1 时，c a ,,b0.； 椭圆图形越扁(iii )例题讲解与引申、扩展400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c •弓I 导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、 焦点和顶点的定义即可求相关量.确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探 究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1)(3) (4)大小和位置.要巳8的思考冋①范围：由椭圆的标准方程可得,y 2 b 2b y b ，即椭圆位于直线x② 对称性：由以 x 代x ，以 方程发生变化没有，从而得到椭圆是以③ 顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，y 代y 和 x 轴和 a ，同理可得:b 所围成的矩当 e 0 时，c 0,b a 椭圆越接近于圆例4求椭圆I6x 225y 2/Tn扩展：已知椭圆血5y2 5m m 0的离心率为e—，求m的值.解法剖析：依题意，m0,m 5，但椭圆的焦点位置没有确定, 应分类讨论: ①当焦点在x轴上，即0 m 5时，有a品 b 丽,c 75 ~m，二_—:得m 3；②当焦点在y轴上，即m例5如图,応b 岳c J m 5 , ••• J：5V m一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口5时，有a105253BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC F1F2，RB 2.8cm，F1F24.5cm .建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为1，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R 6371km •建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.例6如图，设M x, y与定点F 4,0的距离和它到直线I : 兰的距离的比是常数4点M的轨迹方程./ 2 2 「亠「■25匚亠2MF(x 4 y ,到直线I:x 的距离d x44分析：若设点M x, y，则则容易得点M的轨迹方程.引申：（用《几何画板》探究）若点M x, y与定点F c,0的距离和它到定直线l :c距离比是常数e aac 0 ,则点M 的轨迹方程是椭圆.其中定点F c,0是焦点,2x —相应于F的准线;c由椭圆的对称性, 另一焦点F c,0 ,相应于F的准线l :练习：第52页1、作业：第53页4、教学反思：2、3、4、5、6、75ac4，求52a的c定直线l :类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的几何意义.2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程召b (iii )例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为F15,0 , F25,0，双曲线上一点绝对值等于6，求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c的关系有明显P到R , F2距离差的2x2a1 a 0,b 0 . a,b, c.补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与O C :2 22 y 2内切，且过点 A 2,0 :②与O C 1 : x 2 y 12 21 和O C2 : x y 4都外切；③与O C i :2 y 9外切，且与O C 2: x 223 y 1内切.解题剖析 半径为r :这表面上看是圆与圆相切的问题， 实际上是双曲线的定义问题•具体解: 设动圆•/ O C 与O M 内切，点A 在O C 外,• MC| r /2 MA,因此有MA 2x 2 •••点 MC 2，•点M 的轨迹是以C 、 A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是MC i •••O M 与O c 1、O C 2 均外切，•••|MC 1| r 1, MC 2 r 2,因此有的轨迹是以C 2、C i 为焦点的双曲线的上支，• M 的轨迹方程是4y••• e M MC 2MC 24x 2 3MC i 1 ,与eG 外切，且e M 与e C 2内切，•- MC j4，•点M 的轨迹是以C i 、C 2为焦点的双曲线的右支，• MC 2r 1，因此M 的轨迹方程是例2已知A , B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s ，且声速为340m / s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A , B 两地与爆炸点的距离差为定值•由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程. 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听 到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各观察点到该中心的 距离都是1020m •试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 340m/s ;相关点均在 同一平面内）• 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚 4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图，以接报中心为原点 0，正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设 B 、C 分别是西、东、北观察点，则 A 1020,0 , B 1020,0 , C 0,1020 • 设P x,y 为巨响发生点，•/ A 、C 同时听到巨响，•OP 所在直线为y x ……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，• PB PA 4 340 1360 m •由双曲线定义知，a 680 ,2 2c 1020 ,••• b 340^5 ,••• P点在双曲线方程为X 2y2 1 x 680……②.联立680 5 340①、②求出P点坐标为P 680 ;5,680 ,'5 •即巨响在正西北方向680、、10m处.探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0 •直线AM，BM相交于点M，且它们4的斜率之积为，求点M的轨迹方程，并与§ 2. 1.例3比较，有什么发现？9探究方法：若设点M x,y，则直线AM , BM的斜率就可以用含x, y的式子表示，由于直线AM , BM的斜率之积是4，因此，可以求出x, y之间的关系式，即得到点M的轨迹方程.9练习：第60页1、2、3、作业：第66页1、2、2 . 3. 2双曲线的简单几何性质♦知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2 )通过方程，研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养.①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过F56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 2. 2双曲线的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )双曲线的简单几何性质2 2①范围：由双曲线的标准方程得， 1 0，进一步得：x a ，或xa .这说b a明双曲线在不等式 x a ，或x a 所表示的区域；② 对称性：由以 x 代x ，以y 代y 和 x 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③ 顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴， 焦点不在的对称轴叫做虚轴；c⑤ 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e —叫做双曲线的离心率(e 1).a④渐近线：直线ybx 2x 叫做双曲线一 aa 2yb 2 1的渐近线;y 轴上的渐近线是扩展：求与双曲线x 2 162y —1共渐近线，2. 3, 3点的双曲线的标准方及离心率.解法剖析 :双曲线2x16291的渐近4x .①焦点在x 轴上时，设所求的双曲2线为X 216k 2 2 y 9k 2A 2；3, 3点在双曲线上，••• k 21，无解;4②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线2x 16k 229：2 1，―A2 3, 3点在双曲线上，• k21，因此，所求双曲线42的标准方程为y9 41，离心率e5.这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上, 3可直接设所求的双曲线的方程为2x162y一 mm R,m 0 .9(iii )例题讲解与引申、扩展例3求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c.引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在例4双曲线型冷却塔的外形，半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m .试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程(各长度量精确到1m).是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1),它的最小解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为2 2七七 1，算出a,b,c的值;a b此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，在 P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路 PA 或PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫，已知|Ap 150m ，|Bp 100m，| BC| 60m ， APB 60o •能否在足球场上画一条 “等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由.解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则|PA |AM点M 的轨迹方程.♦情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教 学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生 创新.必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线 的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系 的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取 近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要 求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并 掌握利用信息技术探究点的轨迹问题， 培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1) 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究 ，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.(2)思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能MF I 1 ^2 2 .16 ,16 J X 5y ,到直线l:x 一的距离dx — 15 5分析：若设点M x, y ，则a,b,c 的近似值，原则上在没有注意PB BM ,即BM | |AM | |Ap |Bp 50 （定值），“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的2部分，容易“等距离”线方程为x y1 35 x 625 375025,0 y 60 .理由略.例5如图，设M x, y 与定点F 5,0的距离和它到直线 15的距离的比是常数5，求4则容易得点M 的轨迹方程. 引申：《几何画板》探究点的轨迹：双曲线x, y 与定点 F c,0 的距离和它到定直线2a——的距离 c比是常数0，则点M 的轨迹方程是双曲线. 其中定点F c,02是焦点，定直线l : x —相c应于F 的准线; 另一焦点 F c,0，相应于F 的准线I : xx2力.(3) 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.(4)创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.练习：第66页1、2、3、4、5 作业：第3、4、6补充：3.课题:双曲线第二定义教学目标：1•知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。

高中数学圆锥曲线教案
一、教学目标
1.了解圆锥曲线的定义和基本性质。

2.能够掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。

3.能够解决与圆锥曲线相关的问题。

二、教学重点和难点
重点：掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。

难点：理解圆锥曲线的定义及性质。

三、教学内容
1.圆锥曲线的定义和基本性质。

2.圆锥曲线的标准方程及其图像特点。

3.圆锥曲线的相关问题解决方法。

四、教学过程
1.导入新知识：通过引入一个问题或实际应用场景引起学生的兴趣。

2.讲解圆锥曲线的定义和基本性质，包括椭圆、双曲线和抛物线。

3.介绍圆锥曲线的标准方程及其图像特点。

4.通过实例分析，让学生熟悉解决与圆锥曲线相关的问题的方法。

5.组织学生进行练习和讨论，巩固所学知识。

6.总结本节课内容，提出问题进行思考，激发学生的学习兴趣。

五、课堂作业
1.完成练习题。

2.思考如何将圆锥曲线应用到实际生活中。

六、教学反思
本节课主要对圆锥曲线的定义和基本性质进行了讲解，并通过实例让学生掌握了圆锥曲线的标准方程及其图像特点。

同时也引导学生思考如何将所学知识应用到实际生活中。

在教学过程中需要注意引导学生正确理解圆锥曲线的概念，帮助他们建立深刻的认识。

圆锥曲线教案课程名称：圆锥曲线教案目标：1. 理解圆锥曲线的概念和基本性质；2. 能够准确绘制圆锥曲线的图形；3. 理解并能够解决与圆锥曲线相关的几何问题；4. 理解圆锥曲线在实际生活中的应用。

教学重点：1. 圆锥曲线的概念和基本性质；2. 圆锥曲线的绘制；3. 圆锥曲线的几何问题求解。

教学难点：1. 圆锥曲线的详细分类及其性质的理解；2. 圆锥曲线的实例练习。

教学准备：1. 教学课件和投影仪；2. 画图工具（如白板、彩色粉笔等）；3. 示例题目和练习题。

教学过程：Step 1: 引入介绍圆锥曲线的背景和定义，解释圆锥曲线的重要性和应用领域。

Step 2: 圆锥曲线的分类和性质讲解圆锥曲线的四种基本类型：椭圆、双曲线、抛物线和直线，并介绍它们的基本性质。

Step 3: 圆锥曲线的绘制以椭圆为例，演示如何绘制椭圆的图形，包括绘制轴、焦点和顶点等，并讲解绘制椭圆的具体步骤。

Step 4: 圆锥曲线的几何问题求解介绍如何通过已知条件求解与圆锥曲线相关的几何问题，例如求解椭圆的离心率、焦距等。

Step 5: 实例练习让学生通过解决一些实际问题，巩固所学的知识和技能。

Step 6: 总结和扩展总结圆锥曲线的重点内容，并介绍圆锥曲线在物理、工程和数学等领域的应用。

Step 7: 作业布置布置相关的练习题，巩固学生对圆锥曲线的理解和应用。

教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够理解圆锥曲线的概念和基本性质，能够准确绘制圆锥曲线的图形，并能够解决与圆锥曲线相关的几何问题。

在教学的过程中，可以通过一些实例和练习题，帮助学生巩固所学的知识和技能。

一、教案基本信息高中数学新课圆锥曲线方程教案课时安排：2课时教学对象：高中数学学生教学目标：1. 理解圆锥曲线的概念及其特点。

2. 掌握圆锥曲线的基本方程。

3. 能够运用圆锥曲线方程解决实际问题。

教学方法：1. 采用问题导入法，激发学生兴趣。

2. 利用多媒体课件，直观展示圆锥曲线的图形。

3. 采用小组讨论法，引导学生探究圆锥曲线方程的推导过程。

4. 运用例题讲解法，帮助学生掌握圆锥曲线方程的应用。

教学内容：1. 圆锥曲线的概念及特点2. 圆锥曲线的基本方程3. 圆锥曲线方程的推导过程4. 圆锥曲线方程的应用二、教学过程第一课时：1. 导入：利用多媒体课件，展示圆锥曲线的图形，引导学生观察其特点。

2. 新课讲解：1. 讲解圆锥曲线的概念及特点。

2. 引导学生探究圆锥曲线的基本方程。

3. 讲解圆锥曲线方程的推导过程。

3. 例题讲解：运用例题，讲解圆锥曲线方程的应用。

4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。

第二课时：1. 复习导入：复习上一课时所讲的内容，提问学生圆锥曲线方程的应用。

2. 课堂讲解：讲解圆锥曲线方程在实际问题中的应用。

3. 例题讲解：运用例题，讲解圆锥曲线方程解决实际问题的方法。

4. 小组讨论：布置讨论题，让学生分组讨论圆锥曲线方程的应用。

5. 课堂总结：总结本节课所讲内容，强调圆锥曲线方程的重要性。

6. 课后作业：布置作业，让学生巩固所学知识。

三、教学评价1. 课后问卷调查，了解学生对圆锥曲线方程的掌握程度。

2. 课堂练习及作业批改，评估学生运用圆锥曲线方程解决实际问题的能力。

3. 课堂表现，观察学生在讨论、回答问题等方面的参与度。

四、教学反思1. 针对学生的掌握情况，调整教学方法，提高教学效果。

2. 结合学生反馈，优化教学内容，使课堂更贴近学生需求。

3. 注重培养学生的动手操作能力和实际应用能力，提高学生的综合素质。

五、教学资源1. 多媒体课件：展示圆锥曲线的图形，生动直观。

数学圆锥曲线高中教案教学内容：圆锥曲线的基本概念和性质教学目标：掌握圆锥曲线的定义、方程和性质，能够画出圆锥曲线的图形，并解决相关问题。

教学重点与难点：圆锥曲线的定义和方程、椭圆、双曲线和抛物线的性质。

教学准备：教材、黑板、彩色粉笔、几何工具箱、PPT演示等。

教学过程：一、引入与复习（5分钟）1. 复习前几节课的知识，回顾直线及其方程的相关内容。

2. 引入圆锥曲线的定义，让学生对圆锥曲线有初步了解。

二、椭圆的定义和性质（15分钟）1. 讲解椭圆的定义和方程。

2. 讲解椭圆的性质，如焦点、长轴、短轴等。

3. 给出练习题，让学生练习画出椭圆的图形。

三、双曲线的定义和性质（15分钟）1. 讲解双曲线的定义和方程。

2. 讲解双曲线的性质，如渐近线、焦点等。

3. 给出练习题，让学生练习画出双曲线的图形。

四、抛物线的定义和性质（15分钟）1. 讲解抛物线的定义和方程。

2. 讲解抛物线的性质，如焦点、准线等。

3. 给出练习题，让学生练习画出抛物线的图形。

五、综合练习与拓展（10分钟）1. 随堂小测验，检验学生对圆锥曲线的掌握程度。

2. 给出拓展性练习题，让学生巩固和加深对圆锥曲线的理解。

六、总结与反思（5分钟）1. 总结本节课的重点知识，强调圆锥曲线的重要性。

2. 让学生思考如何运用所学知识解决实际问题。

教学反馈：对学生的表现给予及时的反馈，并根据学生的实际情况进行必要的个性化指导。

教学延伸：鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

教学方式：结合理论讲解和实例演练，引导学生主动思考和发现问题解决方法。

教学环节设计合理，有助于学生有效地掌握圆锥曲线的相关知识，并提高学生的学习兴趣和主动性。

圆锥曲线习题课教案一、教学目标：(1)巩固并灵活运用圆锥曲线的定义及标准方程；(2)注意研究方程的形式和基本量的几何意义 ；(3)通过本节的学习，可以培养我们观察、推理的能力。

二、重 点：圆锥曲线的定义及其性质应用。

三、难 点：直线与圆锥曲线相交问题。

四、数学探究问题1：圆锥曲线定义的灵活运用：例1.如果双曲线191622=-y x 右支上一点P 到它的右焦点的距离等于2，则点P 到左准线的距离为__________.1、已知双曲线x 2 - y 2 =1,点F 1,F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若P F 1⊥P F 2,则∣P F 1∣+∣P F 2∣的值为______________.2、 若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP •的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．83、已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为_______.4、若动圆与圆1)2(22=+-y x 外切，又与直线01=+x 相切，则动圆圆心轨迹方程是__________.问题2：求圆锥曲线的标准方程方法：待定系数法例 2.与双曲线141622=-y x 有公共焦点，且过点)2,23(的双曲线的标准方程是_______________.5、抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为)6,23(，求抛物线和双曲线的方程.问题3：求圆锥曲线离心率6、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．B ．C ．D ． 7、如图，1F 和2F 分别是双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB F 2∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A3 B 5 C 25 D 13+ 8、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________.9、已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 324+B. 13-C. 213+D. 13+问题4：直线与圆锥曲线相交及弦长(方法提示：弦长公式 韦达定理)例3.双曲线C 方程为1422=-y x ，直线l 为)2(1-=-x k y ，当k 为何值时，l 与C （1）有两个公共点？（2）有一个公共点？例4、斜率为1的直线与椭圆12422=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥.求：（1）此直线的方程.（2）PQ 的长.10、 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与椭圆交于P 和Q ，且OP OQ ⊥,102PQ =,求椭圆方程. 11、已知抛物线C:x y 42=的焦点为F,过点F 的直线l 与C 相交于A 、B.(1)若AB=316，求直线l 的方程. (2)求AB 的最小值. 13312312、已知抛物线C:x y 42=的焦点为F,过点F 的直线l 与C 相交于A 、B.若AB=316， 求直线l 的方程.五、课堂小结1、知识点的基本应用；2、结合几何图形应用圆锥曲线的知识。

高中数学圆锥曲线满分教案
主题：圆锥曲线
目标：学生能够掌握圆锥曲线的基本概念和性质，并能够运用所学知识解决实际问题。

教学步骤：
第一步：引入（5分钟）
教师引入圆锥曲线的概念，告诉学生圆锥曲线是由平面与圆锥相交而产生的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

第二步：椭圆（15分钟）
1. 讲解椭圆的定义和性质，包括离心率、焦点、直径等概念。

2. 讲解椭圆的标准方程和图像。

3. 给学生几道椭圆的练习题，让他们熟练掌握椭圆的性质和解题方法。

第三步：双曲线（15分钟）
1. 讲解双曲线的定义和性质，包括离心率、焦点、渐近线等概念。

2. 讲解双曲线的标准方程和图像。

3. 给学生几道双曲线的练习题，让他们熟练掌握双曲线的性质和解题方法。

第四步：抛物线（15分钟）
1. 讲解抛物线的定义和性质，包括焦点、准线、焦距等概念。

2. 讲解抛物线的标准方程和图像。

3. 给学生几道抛物线的练习题，让他们熟练掌握抛物线的性质和解题方法。

第五步：综合练习（15分钟）
给学生几道综合性的圆锥曲线练习题，让他们巩固所学知识，并运用所学知识解决实际问题。

第六步：总结与展望（5分钟）
教师对本节课所学内容进行总结，并展望下节课的内容，鼓励学生继续努力学习。

扩展活动：可以组织学生进行小组讨论，让他们自己设计一个圆锥曲线的应用问题，并进
行解答和讨论。

备注：教案内容仅供参考，具体教学过程可以根据学生的实陵情况进行灵活调整。

y
rM r
F1
O F2 x
|MF1|＝r+ 3 |MF2|＝r - 1 |MF1|-|MF2|＝ 4
M r F1
r
O F2 x
|MF1|＝r - 3 |MF2|＝r +1
|MF1|-|MF2|＝- 4
例4 求与圆 (x 3)2 y 2 1 及 (x 3)2 y 2 9
都外切旳动圆圆心旳轨迹方程（如图）。
课堂练习：
24的1..直过弦线椭，圆 y求a这xx422条51弦by被22长椭的1圆(长 a x度2b_2_02_y)ab_的2_2_一_4_个所__焦截点得F的作弦垂高的直考中于链点长接坐轴的标椭是圆(__32
,
1 3
)
弦长为___3___
36、. 直线y
kx 1与椭圆
x2 5
y2 m
1对任意的k总有公共点，
2)已知圆C：(x-3)2+y2=64及A（ 3，0），P是圆上任一点，线段PA的垂直 平分线L与PC 相交于Q点，求Q点的轨迹方程。
例4 求与圆 (x 3)2 y 2 1 及 (x 3)2 y 2 9
都外切旳动圆圆心旳轨迹方程（如图）。
解：设动圆旳半径为r，则由动圆与定圆都外切得
MF1 3 r , MF2 1 r
圆锥曲线习题课
复习回忆：
1. 直线与圆锥曲线旳位置关系：用△鉴定。 2. 中点弦问题，常用点差法处理。 3. 对于垂直问题，常用到x1x2+y1y2=0。 4. 对于分点问题，可利用向量关系列出方程。 5. 解题工具有：韦达定理、弦0°时，方程 x2cosθ+y2sinθ=1旳曲 线怎样变化？
(2) 2x-y-1=0 ×
y M
o

圆锥曲线习题课（一）教学目标：（1）掌握圆锥曲线的标准方程（2）注意研究方程的形式和基本量的几何意义，运用待定系数法确定p e c b a ,,,,（3）通过本节的学习，可以培养我们观察、推理的能力 重 点：圆锥曲线的标准方程难 点：圆锥曲线性质的理解与运用一．知识回顾椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其几何性质.二．数学探究问题1：圆锥曲线定义的灵活运用：例1.如果双曲线191622=-y x 右支上一点P 到它的右焦点的距离等于2，则点P 到左准线的距离为__________.练习1.若动圆与圆1)2(22=+-y x 外切，又与直线01=+x 相切，则动圆圆心轨迹方程是__________.问题2：求圆锥曲线的标准方程方法：待定系数法例2.与双曲线141622=-y x 有公共焦点，且过点)2,23(的双曲线的标准方程是_______________.练习2.抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为)6,23(，求抛物线和双曲线的方程.问题3：直线与圆锥曲线相交及弦长方法：弦长公式 韦达定理例3.双曲线C 方程为1422=-y x ，直线l 为)2(1-=-x k y ，当k 为何值时，l 与C （1）有两个公共点？（2）有一个公共点？例4、斜率为1的直线与椭圆12422=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥.求：（1）此直线的方程.（2）PQ 的长.练习3.已知抛物线C:x y 42=的焦点为F,过点F 的直线l 与C 相交于A 、B.(1)若AB=316，求直线l 的方程. (2)求AB 的最小值.课堂小结：1．知识小结：2．数学思想方法：课外练习：1.已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆1322=+y x 上，顶点A 为椭圆的一个焦点，且椭圆另一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是__________.2.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为_________.3. 抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值是_______.4.直线2+=kx y 和椭圆63222=+y x 有交点，则k 的取值范围是_____.5.已知椭圆1522=+m y x 的离心率510=e ，则m 的值为________. 6.设中心在原点的椭圆与双曲线12222=-y x 有公共焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________.7. P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左支上一点，21,F F 分别为左、右焦点，且焦距为c 2，则21F PF ∆内切圆的圆心横坐标为________.8.已知斜率为1的直线过椭圆1422=+y x 的右焦点交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长是________.9. 设椭圆的焦点在x 轴上，离心率22=e ，且右焦点2F 到右准线l 的距离为2，求椭圆的标准方程.10.已知直线2-=kx y 交抛物线x y 82=于A 、B 两点，且AB 的中点的横坐标为2，求弦AB 的长.。

课 题：解析几何综合题教学目的：1．使学生掌握圆锥曲线标准方程的求解2．使学生熟练联立方程组法，并能够合理分析题目，明确解题方向3．并使学生能利用相关知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题4．通过教学使学生解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养教学重点：圆锥曲线的标准方程求解及相关证明教学难点：联立方程组法的灵活应用和快速计算授课类型：复习巩固课课时安排：30分钟教学过程：一、复习引入联立方程组（设而不求六步走）①设点1122()()A x y B x y ，，，；②设直线方程m kx y +=（注意k 是否存在）③联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y ax m kx y 012)1(2222222=-+++b m b kmx x b k a ④判别式0∆≥或0∆>（2222222144()k m b ac a b a b ∆=-=+-） ⑤韦达定理ac x x a b x x =-=+2121， ⑥逆向思维求解 师：同学们是否还记得我们上次课的解题模型“设而不求，六步走”和它的适用情况吗？ 生：设点、设直线、联立方程、判别式、韦达，它适用于直线与圆锥曲线方程综合性问题 师：（非常好）那设直线有什么需要特别注意的吗？生：斜率的存在性，和设直线的技巧师：（非常好）斜率不存在，直线方程将是一条特殊的直线，垂直x 轴，当斜率存在时，需要注意是用点斜式还是斜截式。

师：那我们联立方程的过程有没有简便方法？生：有！巧妙口算，且分母打死不通分师：没错，就是快速口算......012)1(2222222=-+++bm b kmx x b k a 师：判别式呢？需要一直算ac b 42-=∆吗？ 生：不用，这里的判别式有特定的结构22222214()k m a b a b∆=+- 师：（非常好）有了六步走和这些解题技巧，我们就一定能够得分了吗？生：不能，我们还必须会分析题干，明确解题突破口师：对，分析很重要，正确的有条理性分析对我们的解题将会有事半功倍的效果师：为了，进一步提高同学们的解题分析能力，今天我们进一步讲解有别于这个解题模型，但又有一定关联性的题型。

一对一辅导教案学生姓名授课教师教学课题圆锥曲线性别上课时间年级年月日学科第( )次课共( )次课课时： 1 课时教学目标教学重点与难点1.通过小结与复习，使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系2.通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧，特别是解析几何的基本方法坐标法；并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想以及“应用数学”的意识3．结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育1.三种曲线的标准方程及其性质2.三种曲线的性质教学过程一、知识讲解1、三种曲线的标准方程、图形名称椭圆双曲线图象yOyO x定义平面内到两定点F ,F 的距离的和为常数(大于1 2F F ) 的动点的轨迹叫椭圆即1 22a2当 2 a 2c 时，轨迹是椭圆，当 2a =2c 时，轨迹是一条线段F F1 2当 2 a 2c 时，轨迹不存在平面内到两定点F ,F 的距离的差的绝对值为1 2常数(小于F F )的动点的轨迹叫双曲线即1 22a2当 2 a 2c 时，轨迹是双曲线当 2a =2c 时，轨迹是两条射线当 2 a 2c 时，轨迹不存在xMFMFMF MF11焦点在 x 轴上时：x 2a 2 y 2b 2 1焦点在x 轴上时：x 2a 2y 2b 21标 准 方 程常 数a,b,c的关 系 渐近线焦点在 y 轴上时：y 2a 2x 2 b 21注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐 标轴上a 2 c 2b 2 ， a b 0，a 最大， c b,c b,c by yx F O xly 2 2 px(pp 2 px2焦点在 y 轴上时：y 2a 2x 2b 21c 2 a 2 b 2 ， c a 0c 最大，可以a b,a b,a b焦点在 x 轴上时：yb焦点在 y 轴上时： y xa bylOxFFxl2 py(p(0, ) 2 p y2例题 1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程： 两个焦点坐标分别是( 0，－ 2 )和( 0,2 )且过(答案：y 210x 2 613 5 2 , 2)的椭圆方程 解析： 因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为y 2 x 2 a 2 b 2由椭圆的定义知，1 (a b 0)x x0) y 2 2 px(p 0)p 2 py(p p p )2 p 2( ,0) 2 p x2(0,y( ,0) x a 0)0)22O FyOl方程 焦 点 准 线图 形抛物线2a ( )22( 2)2 ＋2( )22( 2)223 110 10 2 102 2a 10 又c 2b2 a2 c2 10 4 6所以所求标准方程为y210x261另法：∵ b2 a2 c2 a2 4∴可设所求方程y2a2x2a2 41，后将点(3 52 , 2)的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程例题 2、中心在原点，一个焦点为 F ( 0，50 )的椭圆截直线y 3x 2所得弦的中点横坐标为，求椭圆的1 2方程2 答案：75y2251解析：设椭圆的标准方程为x2 y21(a b 0)，a2b2由 F ( 0，50 )得a2 b2 501把直线方程y 3x 2代入椭圆方程整理得：(a2 9b2 )x2 12b2 x b2 (4 a2 ) 0设弦的两个端点为A (x ,y ),B (x ,y )，则由根与系数的关系得：1 12 2x x212b2a2 9b2 ，1又 AB 的中点横坐标为，2 a2 3b2 ，与方程a2x x 6b21 22 a2 9b2b2 50 联立可解出a21275,b225 y225x故所求椭圆的方程为：x2751 115353习题 1、根据下列条件，写出椭圆方程⑴ 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为 1/2、长轴长为 8； ⑵ 和椭圆 9x 2+4y 2=36 有相同的焦点，且经过点 (2，－ 3)；答案：x y 2 1或者 y 2 x 21 y2 x 116 12 16 12 15 10解析： ⑴ 焦点位置可在 x 轴上，也可在y 轴上，因此有两解：x y 21或者 y 2 x 2 116 12 16 12⑵ 焦点位置确定，且为( 0，a 2 15,b 2 10 ,故方程为5 )，设原方程为x10x 2 a 2y2b 2a 2 1 ,(a>b>0)，由已知条件有 9 a 2 2 4b251例题 3：直线 y kx 1与双曲线3x 2 y 2 1相交于 A 、B 两点，当 a 为何值时， A 、B 在双曲线的同一支上？当a 为何值时， A 、B 分别在双曲线的两支上？答案： 当 6 a 3 或者 3 a 6 时， A 、B 两点在同一支上；当 3 a 3 时， A 、B 两点在双曲线的两支上解析： 把 y kx 1代入3x 2 y 2 1整理得： (3 a 2 )x 2 2ax 2 0 ……( 1 )当 a 3 时， 24 4a 2由 >0 得 6 a 6 且 a 3 时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点21 2 a 2 3故当 6 a 3 或者 3 a 6 时， A 、B 两点在同一支上；当 3 a 3 时， A 、B 两点在双曲线的两支上例题 4、已知抛物线方程为 y 2 2 p (x 1)(p 0)，直线 l:x y m 过抛物线的焦点 F 且被抛物线截得的弦长 为 3，求 p 的值． 3 4解析： 设l 与抛物线交于 A (x ,y ),B (x ,y ),则 |AB | 3.1 12 2由距离公式|AB|= (x 1x )22(y1y )2 = 121 k2 |y 1 y |22 |y1y |2b 若 A 、B 在双曲线的同一支，须x x >0 ，所以 a 3 或者 a 3答案： py21则有 (y y )2 9 .1 22py 2 2 p (x 1).2 p,y y 12从而 (y1y )22(y1y )2 4y y ,即( 2 p)22 1 24p22 .9 由于 p>0，解得 p 2 .3 42、三种曲线的性质 (一)、椭圆的性质：1.椭圆方程x 2 y 21 ( a b 0)a 2b 2(1)范围: a x a , b y b ，椭圆落在 x a,y b 组成的矩形中．(2)对称性:图象关于 y 轴对称． 图象关于 x 轴对称． 图象关于原点对称 原点叫椭圆的对称中心， 简称中心． x 轴、 y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距 ( 3)顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点： A ( a,0),A (a,0)， B (0, b),B (0,b) 加两焦点 F ( c,0),F (c,0)共有六个特殊点2 2 1 2A A 叫椭圆的长轴，B B 叫椭圆的短轴． 长分别为 2a,2b a,b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长 椭圆的1 2 1 2顶点即为椭圆与对称轴的交点(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比 ee1 ( )2 0 e 1 a椭圆形状与 e 的关系： e 0,c 0 ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在 e 0 时的特例 e 1,c a,椭圆变扁，直至成为极限位置线段F F ，此时也可认为圆为椭圆在 e 1时的特例1 22 椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 (0,1)内常数 e ，那末这个点的轨迹 叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 3．椭圆的准线方程对于对于 x 2 a 2y 2a 2y 2b 2x 2 b 21 ，左准线 l :x1，下准线 l :y1；右准线l :x；上准线l :ya 2 ca 2ca a p 由 x y 1 2 ,消去x,得y 2 2 py p 2 0.(2 p)2 4 p 2 0.c 2c 222yy1 21c ab焦点到准线的距离 pa 2 c 2c2(焦参数)c椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称4．椭圆的焦半径公式：(左焦半径) r a ex , (右焦半径) r a ex ,其中e 是离心率 焦点在 y 轴上 1 02 0MF的椭圆的焦半径公式： 1MF2a eya ey 1 2焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的摆布有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加 x a cos5 椭圆的参数方程 ( 为参数)(二)、双曲线的性质： 1. ( 1 )范围、对称性由标准方程x 2a 2y 2b 21 ，从横的方向来看，直线 x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着 x 的增大， y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对 称中心为双曲线的中心 (2)顶点顶点： A (a,0),A a,0 ，特殊点： B (0,b),B 0, b1 2 1 2实轴： A A 长为 2a, a 叫做半实轴长 虚轴： B B 长为 2b ，b 叫做虚半轴长1 2 1 2双曲线惟独两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 ( 3 ) 渐近线 过双曲线x 2 y 21的渐近线 y b x (x y0 )(4)离心率2c c2a a双曲线形状与 e 的关系： kc 2 a 2a1a2 e 2 1 ，e 越大， 即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大， 它的开口就越阔 2．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质： ( 1 ) 渐 近线方程为： y x ；( 2 ) 渐近线互相垂直；( 3)离心率 e 2 3．共渐近线的双曲线系b kba kaa cb 如 果 已 知 一 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y x x(k 0)， 那 么 此 双 曲 线 方 程 就 一 定 是 ：双曲线的焦距与实轴长的比e ，叫做双曲线的离心率 范围： e 10 ( 其中 F ,F 分别是椭圆的下上焦点) a 2 b 2 a a by b sin2 ccb a2x 2(ka)2y 2(kb)21(k 0)或者写成x 2a 2 y 2b 24．共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 中 a,b 不同(互换) c 相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 双曲线的方法：将 1 变为-1区别：三量 a,b,c 确定双曲线的共轭5． 双曲线的第二定义：到定点 F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数e (c a 0)的点的轨迹是双曲线a其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数 e 是双曲线的离心率．6．双曲线的准线方程：对于 x 2 y 2 1来说，相对于左焦点 F ( c,0)对应着左准线l :x a 2，相对于右焦点 F (c,0)对应着右准线 l :x a 2；2c对于y 2 x 21来说，相对于上焦点 F (0, c)对应着上准线l :y a 2；相对于下焦点 F (0,c)对应着下准线 l :y a 27.双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点 M 与双曲线焦点 F ,F 的连线段，叫做双曲线的焦半径1 2焦点在 x 轴上的双曲线的焦半径公式：MF a ex 1 0 MF a ex2 0焦点在 y 轴上的双曲线的焦半径公式：MF a eyMF a ey 1 22 08．双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦焦点弦公式：当双曲线焦点在 x 轴上时， 过左焦点与左支交于两点时： AB过右焦点与右支交于两点时： AB2a e(x 12a e(x1x )2x )2b a 2 b 2 1 1c 2 a 2 b 2 1 1 c 21 0 ( 其中 F ,F 分别是双曲线的下上焦点) 焦点到准线的距离 p (也叫焦参数)2 c2 cc当双曲线焦点在 y 轴上时，过左焦点与左支交于两点时： AB 2a e(y y )1 2过右焦点与右支交于两点时： AB 2a e(y y ) 1 29．双曲线的通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 d(三)、抛物线的性质 1. ( 1 )范围因为 p ＞ 0，由方程 y 2 2 px p 0 可知，这条抛物线上的点 M 的坐标(x ，y)满足不等式 x≥0，所以这条抛物 线在 y 轴的右侧；当 x 的值增大时， |y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性以－ y 代 y ，方程 y 2 2 px p 0 不变，所以这条抛物线关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的 轴． ( 3)顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程 y 2 2 px p 0 中，当 y=0 时， x=0 ，因此抛物线y 2 2 px p 0 的顶点就是坐标原点．(4)离心率抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用 e 表示．由抛物线的定义可知， e=1．2.抛物线的焦半径公式：抛物线 y 22 px(p 0)， PFxp 2 x 2 0抛物线 y22 px(p 0)， PFxp 2 x 2 0抛物线 x 22 py(p 0)， PFyp 2 y 2 0抛物线 x 22 py(p 0)， PFyp 2y 2 03．直线与抛物线： ( 1 )位置关系：相交(两个公共点或者一个公共点)；相离(无公共点)；相切(一个公共点) 将 l:y kx b 代入C :Ax 2 Cy 2 Dx Ey F 0 ，消去 y ，得到关于 x 的二次方程 ax 2 bx c 0 ( * )2b2ap p p p若 0，相交； 0，相切； 0 ，相离 综上，得：y kx b联立 ，得关于 x 的方程 ax 2 bx c 0当 a 0 (二次项系数为零)，惟一一个公共点(交点) 当 a 0 ，则若 0 ，两个公共点(交点)0 ，一个公共点(切点) 0 ，无公共点 (相离)( 2 )相交弦长：弦长公式： d 1 k 2( 3 )焦点弦公式：抛物线 y 2 2 px(p 0)， AB p抛物线 y 2 2 px(p 0)， AB p抛物线 x 2 2 py(p 0)， AB p抛物线 x 2 2 py(p 0)， AB p( 4 )通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦(5)若已知过焦点的直线倾斜角p 则 2 y 2y p 2y 2 2 px k4 p 2 2 p1 2 k 2 sin( 6 )常用结论：(x1(x 1(y1(y1x )2x )2y )2y )2通径： d 2 pABy y1 2 y y1 2y y1 22 p k p 21 sin2 p sin 2y k (x 2 ) y2 2 py p 2 0 和k 2 x 2 (k 2 p 2 p)x k 2 p 2 0 y 2 2 px k 4p1 2 1 2 44．抛物线 y 2 2 px(p 0)的参数方程： ( t 为参数)y 2 pt ay k (x ) 2 p y y 4 p 2y y p 2 和 x x ，y 2 2 pxx 2 pt 2px2 例题 1、已知椭圆y 2b 21(a b 0)与x 轴的正半轴交于 A,O 是原点,若椭圆上存在一点 M,使 MA ⊥MO,求椭圆离心率的取值范围2 22 ,1 2解析： A( a ,0)，设 Mb sin a cos2 2所以 e 1acosb 2 a 2点的坐标为b sin a cos(1 cos ) sin 22 ,1 2)，由 MA ⊥MO 得21cos1 cos3例题 2、已知双曲线的中心在原点， 过右焦点 F ( 2，0)作斜率为 的直线， 交双曲线于 M 、N 两点， 且 MN =4，5求双曲线方程答案： x 2 13解析： 设所求双曲线方程为x 2 y 21(a 0,b 0)，由右焦点为( 2，0 ) 知 C=2，b 2=4-a 2则 双 曲 线 方 程 为x 2 y 2 1 ， 设 直 线 MN 的 方 程 为： y 3(x 2) ， 代 入 双 曲 线 方 程 整 理 得： a 2 4 b 2 5 (20-8a 2)x 2+12a 2x+5a 4-32a 2=0 12a 21 12 2 ,1 220 8a 2x x1 2M N5a 4 32a 2 20 8a 23 21 x 5 18 12a 2 2 5 20 8a 2x 4x x2 1 24 4解得： a 2 1， b 2 4 1 3y a b a b 设 M ( x ,y ) ,N(x ,y ) 则 x x ， 5a 4 32a 2 20 8a 2(a cos ,b sin ) ( 0答案： e 11 cosa 2b 2a 220, 211 1 化简得故所求双曲线方程为： x 2y 231课后作业1. 已知椭圆的方程为A.2 8 m 2C.2 m 2 8答案： Ax 28y 2m 21 ，焦点在 x 轴上，则其焦距为( )B.2 2 2 mD. 2 m 2 2解析： 考查椭圆的第一定义，焦点坐标为 F ( c,0)F (c,0) 焦距为 2c.1 22．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出a ,b,c 的值①x 2 y 2 1；② x 2 y 2 1；③ x 2 y 21；④ 4y 2 2 2 4 2 4 2答案 ①表示圆；②是椭圆 a 2,b 2,c 2；③不是椭圆(是双曲线)；④ 4y 2 9x 2 36 可以表示为22解析 ①表示圆；②是椭圆 a 2,b 2,c 2；③不是椭圆(是双曲线)；④ 4y 2 9x 2 36 可以表示为229x 2 361 ，是椭圆， a 3,b1 ，是椭圆， a 3,b2,c2,c553. 椭圆x 216y 291的焦距是，焦点坐标为；若 CD 为过左焦点 F 的弦，则1F CD 2的周长为答案 2c 2 7;F ( 7,0),F ( 7,0);4a 161 2解析 灵便掌握椭圆的第一定义 4. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是 (-3，0)， (3，0)，椭圆经过点 (5，0).(2)两个焦点坐标分别是(0，5)， (0，-5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离和为 26.xxy2 y222x2 【答案】25y 2162 169 x 2 144 1【解析】 (1) ∵椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为：x 2 y 21(a b 0)a 2b 2∵ 2a (5 3)2 0 (5 3)2 0 10，2c =6.∴ a 5,c 3∴ b 2 a 2 c 2 52 32 162∴所求椭圆的方程为：25y 2161.(2) ∵椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为y 2 x 21(a b 0).a 2b 2∴ b 2 a 2 c 2 144.2∴所求椭圆方程为：169x 214415、方程 4x 2 ky 2 1的曲线是焦点在y 上的椭圆 ，求k 的取值范围 答案 0 k 4解析 考查椭圆的第一定义,注意焦点在 y 轴上。