人教版高中数学 教案+学案综合汇编 第6章：圆锥曲线和方程式 课时10

圆锥曲线单元教学设计圆锥曲线是高中数学中的重要内容，它包括抛物线、椭圆和双曲线。

本篇文章将介绍一个针对圆锥曲线单元的教学设计。

教学目标：1. 理解圆锥曲线的定义和性质；2. 掌握圆锥曲线的标准方程及其参数方程；3. 能够绘制和分析抛物线、椭圆和双曲线的图像；4. 能够求解与圆锥曲线相关的实际问题。

教学步骤：引入圆锥曲线的概念（5分钟）在引入这个单元时，可以通过一个真实生活中的例子来引起学生的兴趣。

例如，讲解如何利用椭圆形的体育场跑道最大限度地提高观众的视线质量。

介绍抛物线（15分钟）首先，向学生介绍抛物线的定义和基本特征，如焦点、准线和对称轴等。

然后，通过示例演示如何根据给定的抛物线方程绘制其图像，并讨论特殊情况，如开口向上和向下的抛物线。

讲解椭圆和双曲线（20分钟）接下来，介绍椭圆和双曲线的定义和基本特征，如焦点、顶点、长轴和短轴等。

然后，通过示例演示如何根据给定的椭圆和双曲线方程绘制其图像，并讨论特殊情况，如离心率等于1的双曲线。

解决实际问题（15分钟）利用已经学到的知识，给学生提供一些实际问题，让他们运用圆锥曲线的相关概念和方程进行求解。

例如，计算一个卫星的轨道方程或寻找一条抛物线的最佳拋物面。

练习和巩固（15分钟）给学生提供一些练习题，让他们巩固所学的知识。

可以包括求解方程、绘制图像和解决实际问题等各个方面。

总结和评估（10分钟）在课程结束前，对所学的内容进行总结，并对学生的掌握程度进行评估。

可以通过提问、小测验或作业等形式进行评估。

教学资源：1. 教科书和课件：提供基本概念和理论知识；2. 演示工具：用于绘制图像和解决问题；3. 实际问题和练习题：应用知识和巩固学习。

教学评价：通过对学生的参与和表现进行观察，将他们在课堂上所做的练习和答题情况作为评估的依据。

此外，还可以采用简答题或解决实际问题的考试形式来评估学生的综合能力。

通过这个教学设计，学生将能够全面理解和掌握圆锥曲线的概念和性质。

椭圆及其标准方程一、教学目标(一)知识教学点使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．(二)能力训练点通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．(三)学科渗透点通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．二、教材分析1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．(解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．)2．难点：椭圆的标准方程的推导．(解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．) 3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．(解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．)三、活动设计提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．四、教学过程(一)椭圆概念的引入前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识．提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形．问题3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的轨迹命题如：“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．”“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．”“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．”教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等……在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．(二)椭圆标准方程的推导1．标准方程的推导由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代数方程(4)化简方程化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要(a＞b＞0)．关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2．2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．(三)例题与练习例题平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．∵2a=10，2c=8．∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3因此，这个椭圆的标准方程是请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分练习1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：练习2 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是[ ]由学生口答，答案为D．(四)小结1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．3．图形如图2-15、2-16．4．焦点：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．五、布置作业1．如图2-17，在椭圆上的点中，A1与焦点F1的距离最小，|A1F1|=2，A2 F1的距离最大，|A2F1|=14，求椭圆的标准方程．3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：是过F1的直线被椭圆截得的线段长，求△ABF2的周长．作业答案：4．由椭圆定义易得，△ABF2的周长为4a．六、板书设计椭圆及其标准方程一、教学目标(一)知识教学点使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．(二)能力训练点通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．(三)学科渗透点通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．二、教材分析1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．(解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．)2．难点：椭圆的标准方程的推导．(解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．)3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．(解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．)三、活动设计提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．四、教学过程(一)椭圆概念的引入前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识．提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形．问题3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的轨迹命题如：“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．”“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．”“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．”教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等……在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．(二)椭圆标准方程的推导1．标准方程的推导由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代数方程(4)化简方程化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要(a＞b＞0)．关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2．2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．(三)例题与练习例题平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．∵2a=10，2c=8．∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3因此，这个椭圆的标准方程是请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分练习1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：练习2 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是[ ]由学生口答，答案为D．(四)小结1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．3．图形如图2-15、2-16．4．焦点：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．五、布置作业1．如图2-17，在椭圆上的点中，A1与焦点F1的距离最小，|A1F1|=2，A2 F1的距离最大，|A2F1|=14，求椭圆的标准方程．3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：是过F1的直线被椭圆截得的线段长，求△ABF2的周长．作业答案：4．由椭圆定义易得，△ABF2的周长为4a．六、板书设计椭圆的几何性质一、教学目标(一)知识教学点通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．(二)能力训练点通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．(三)学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．二、教材分析1．重点：椭圆的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．) 2．难点：椭圆离心率的概念的理解．(解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．)3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．(解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．)三、活动设计提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．四、教学过程(一)复习提问1．椭圆的定义是什么？2．椭圆的标准方程是什么？学生口述，教师板书．(二)几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是b＞0)来研究椭圆的几何性质．说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．1．范围即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里(图2-18)．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．2．对称性先请大家阅读课本椭圆的几何性质2．设问：为什么“把x换成-x，或把y换成-y？，或把x、y同时换成-x、-y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢？事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．类似可以证明其他两个命题．同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．事实上，设P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，-y)必在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2(-x，y)必在曲线上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．3．顶点只须令x=0，得y=±b，点B1(0，-b)、B2(0，b)是椭圆和y轴的两个交点；令y=0，得x=±a，点A1(-a，0)、A2(a，0)是椭圆和x轴的两个交点．强调指出：椭圆有四个顶点A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．教师还需指出：(1)线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；(2)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．4．离心率教师直接给出椭圆的离心率的定义：等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义．先分析椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：(2)当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；(3)当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就是圆了．(三)应用为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例1．例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成．后一部分由教师讲解，以引起学生重视，步骤是：(2)描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图2-19)．要强调：利用对称性可以使计算量大大减少．本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的，同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P={M将上式化简，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是椭圆．由此例不难归纳出椭圆的第二定义．(四)椭圆的第二定义1．定义平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．2．说明这时还要讲清e的几何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比．(五)小结解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关．前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质．布置学生最后小结下列表格：五、布置作业1．求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0．2．我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面266Km，远地点距地面1826Km，求这颗卫星的轨道方程．3．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．的方程．作业答案：4．顶点(0，2)可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情况求方程：六、板书设计椭圆的几何性质一、教学目标(一)知识教学点通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．(二)能力训练点通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．(三)学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．二、教材分析1．重点：椭圆的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．) 2．难点：椭圆离心率的概念的理解．(解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．)3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．(解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．)三、活动设计提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．四、教学过程(一)复习提问1．椭圆的定义是什么？2．椭圆的标准方程是什么？学生口述，教师板书．(二)几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是b＞0)来研究椭圆的几何性质．说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．1．范围即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里(图2-18)．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．2．对称性先请大家阅读课本椭圆的几何性质2．设问：为什么“把x换成-x，或把y换成-y？，或把x、y同时换成-x、-y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢？事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．类似可以证明其他两个命题．同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．事实上，设P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，-y)必在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2(-x，y)必在曲线上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．3．顶点只须令x=0，得y=±b，点B1(0，-b)、B2(0，b)是椭圆和y轴的两个交点；令y=0，得x=±a，点A1(-a，0)、A2(a，0)是椭圆和x轴的两个交点．强调指出：椭圆有四个顶点A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．教师还需指出：(1)线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；(2)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．4．离心率教师直接给出椭圆的离心率的定义：等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义．先分析椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：(2)当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；(3)当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就是圆了．(三)应用为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例1．例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成．后一部分由教师讲解，以引起学生重视，步骤是：(2)描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图2-19)．要强调：利用对称性可以使计算量大大减少．本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的，同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P={M将上式化简，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是椭圆．由此例不难归纳出椭圆的第二定义．(四)椭圆的第二定义1．定义平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．2．说明这时还要讲清e的几何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比．(五)小结解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关．前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质．布置学生最后小结下列表格：五、布置作业1．求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0．2．我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面266Km，远地点距地面1826Km，求这颗卫星的轨道方程．3．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．的方程．作业答案：4．顶点(0，2)可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情况求方程：六、板书设计双曲线及其标准方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导．(二)能力训练点在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识．二、教材分析1．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．(解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．)2．难点：双曲线的标准方程的推导．(解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．)3．疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？(解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式．)三、活动设计提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结．四、教学过程(一)复习提问1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)。

高中数学总复习教学案第9单元圆锥曲线与方程本章知识结构本章的重点难点聚焦本章的重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程与标准方程表示的圆锥曲线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。

本章的难点：求圆锥曲线的方程与利用几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系综合问题。

本章学习中应当着重注意的问题理解椭圆、双曲线、抛物线的概念，准确掌握标准方程所表示曲线的几何性质，特别注重函数与方程不等式的思想、转化思想、数形结合思想在本单元解题中的应用。

本章高考分析与预测本章内容是高中数学的重要内容之一,也是高考常见新颖题的板块,各种解题方法在本章得到了很好的体现和充分的展示,尤其是在最近几年的高考试题中,平面向量与解析几何的融合,提高了题目的综合性,形成了题目多变,解法灵活的特点,充分体现了高考中以能力立意的命题方向。

通过对近几年的高考试卷的分析，可以发现选择题、填空题与解答题均可涉与本章的知识，分值20分左右。

主要呈现以下几个特点：1．考查圆锥曲线的基本概念、标准方程与几何性质等知识与基本技能、基本方法，常以选择题与填空题的形式出现；2．直线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题常以压轴题的形式出现，这类问题视角新颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度；3．在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度；4．对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题与最值问题也是本章的几个热点问题，但从最近几年的高考试题本看，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势。

§9.1 椭圆① 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．② 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程与简单性质．本节的重点是椭圆的定义、标准方程和几何性质。

本节的难点是椭圆标准方程两种形式的应用与解决椭圆问题所涉与的思想方法。

高中数学圆锥曲线解读教案
教学目标：
1. 了解圆锥曲线的基本概念和性质；
2. 掌握圆锥曲线的方程及其图像的特点；
3. 能够通过方程求解圆锥曲线的各项参数。

教学步骤：
一、导入（5分钟）
1. 引入圆锥曲线的概念，介绍圆锥曲线在实际生活中的应用。

2. 提出学习目标，激发学生的学习兴趣。

二、讲解（15分钟）
1. 讲解圆、椭圆、双曲线、抛物线等四种圆锥曲线的定义和性质。

2. 介绍圆锥曲线的方程和各项参数的含义。

3. 分别展示各种圆锥曲线的标准方程及其图像特点。

三、练习（20分钟）
1. 给学生提供几个圆锥曲线的方程，让他们分别绘制出对应的图像。

2. 让学生通过方程求解圆锥曲线的焦点、准线、长轴、短轴等参数。

四、展示（10分钟）
1. 学生展示他们绘制的圆锥曲线图像，并解读图像的特点。

2. 请学生通过求解方程，解读各种参数的意义。

五、总结（5分钟）
1. 总结圆锥曲线的性质和方程求解方法。

2. 强调重点，提醒学生注意常见的错误和解题技巧。

教学反思：
通过这节课的教学，学生能够对圆锥曲线的基本概念和性质有所了解，提高了他们的数学能力和解题技巧。

在未来的教学中，可以适当增加实例分析，激发学生的思维和创造力。

高二数学圆锥曲线方程教案 人教版一、知识框架二、重点难点重点：椭圆的定义及相关概念，椭圆的标准方程，椭圆的几何性质；双曲线的定义及相关概念，双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，等轴双曲线与共轭双曲线的定义；抛物线的定义及圆锥曲线的统一定义，抛物线的标准方程，抛物线的几何性质；难点: 利用椭圆的第一定义和第二定义解题，椭圆的几何性质及其应用，求椭圆的方程；对与渐近线有关的问题的讨论，对定义、方程、几何性质中的隐形条件向显性结论转化；抛物线的几何性质。

三、知识点解析1、椭圆及其标准方程 （1）定义： 1）文字定义：第一定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距；注意：12|2|||a F F >非常重要。

因为当12|2|||a F F =时，其轨迹为线段12F F ；当12|2|||a F F <时，其轨迹不存在；第二定义：平面内到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数(01)e e <<的点的轨迹；定义中定点不在定直线上是前提，定点为椭圆的一个焦点，定直线是此焦点的相应的准线，e 为椭圆的离心率；2）符号定义：（2）方程：1）标准方程：①焦点在x 轴上：22222221(0,)x y a b b a c a b+=>>=-；②焦点在y 轴上：22222221(0,)y x a b b a c a b+=>>=-； 2）参数方程：cos sin x a y b θθ=⎛=⎝，θ是参数；3）注意：①标准方程中的常数b 源于222b ac =-，常数a 和b 决定椭圆的大小和扁平程度，是椭圆的定形条件；②焦点12(,0),(,0)F c F c -的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型；也就是说，知道了焦点位置，其标准方程只有一种形式，不知道焦点位置，其标准方程具有多种类型；③任何一个椭圆，只需选择适当的坐标系，其方程均可写成标准形式．当且仅当椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有上述的标准形式。

圆锥曲线教案圆锥曲线教案一、教学目标：1. 理解什么是圆锥曲线，学会在笛卡尔坐标系中表示圆锥曲线。

2. 学会求解圆锥曲线的焦点、直径、离心率等相关性质。

3. 掌握对圆锥曲线进行方程变换、平移、旋转等操作的方法。

二、教学准备：1. 教师准备黑板、彩色粉笔等教学用具。

2. 学生准备笔记本、书籍等学习用具。

三、教学过程：1. 导入新知识：通过展示一张圆锥曲线的图片，询问学生对这个图形有什么了解，引导学生思考圆锥曲线的定义和性质。

2. 理论讲解：(1) 定义圆锥曲线：对圆锥在一个经过顶点的剖面研究所得到的曲线称为圆锥曲线。

(2) 表示方法：在笛卡尔坐标系中，圆锥曲线可由方程表示，例如椭圆的方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。

(3) 常见圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。

3. 实例演示：以椭圆为例，给出一个椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，引导学生求解椭圆的焦点、直径、离心率等相关性质。

4. 计算练习：给出多个圆锥曲线的方程，让学生进行计算练习，提高其运算能力。

5. 方程变换：介绍如何对圆锥曲线进行方程变换，包括水平方向和垂直方向的方程变换。

6. 平移与旋转：讲解如何对圆锥曲线进行平移和旋转，以及平移和旋转对方程的影响。

7. 总结归纳：对学过的内容进行总结归纳，梳理知识框架。

8. 解答疑问：解答学生对圆锥曲线相关问题的疑惑。

9. 课堂练习：布置一些课堂练习题，让学生巩固所学知识。

四、教学延伸：1. 引导学生进行实际应用：让学生寻找生活中的圆锥曲线，并分析其性质和特点。

2. 继续深入学习：对于学有余力的学生，可以探究更高级的圆锥曲线知识，如圆锥曲线的参数方程、极坐标方程等。

五、教学评价：1. 课堂练习的成绩。

2. 学生对于圆锥曲线相关问题的提问及解答情况。

3. 学生对于课堂知识的掌握和应用情况。

六、课后作业：1. 完成课堂练习题。

２.４抛物线２.４.１抛物线及其标准方程学习目标核心素养１．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．（重点）２．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．（易错点）３．明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．（难点）１．通过抛物线定义的学习，培养数学抽象核心素养．２．通过抛物线定义及标准方程的应用，培养学生的直观想象、数学建模等核心素养．１．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．思考１：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？[提示] 点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．２．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y２＝２px（p>0）F错误!x＝—错误!y２＝—２px（p>0）F错误!x＝错误!x２＝２py（p>0）F错误!y＝—错误!x２＝—２py（p>0）F错误!y＝错误!（２）根据抛物线方程如何确定焦点的位置？[提示] （１）p的几何意义是焦点到准线的距离．（２）根据抛物线方程中一次式±２px，±２py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±２p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．１．抛物线x２＋8y＝0的焦点坐标是（）Ａ．（0,２）Ｂ．（0，—２）Ｃ．（0,４）Ｄ．（0，—４）B[抛物线x２＝—8y的焦点在y轴的负半轴上，且错误!＝２，因此焦点坐标是（0，—２）．]２．抛物线y２＝8x的焦点到准线的距离是（）Ａ．１Ｂ．２C．４Ｄ．8C[由y２＝8x得p＝４，即焦点到准线的距离为４．]３．抛物线x＝４y２的准线方程是（）Ａ．y＝错误!Ｂ．y＝—１Ｃ．x＝—错误!Ｄ．x＝错误!C[由x＝４y２得y２＝错误!x，故准线方程为x＝—错误!．]４．抛物线y２＝—１２x上与焦点的距离等于9的点的坐标是________．（—6,6错误!）或（—6，—6错误!）[由y２＝—１２x知p＝6，准线方程为x＝３，设抛物线上点P（x，y），由抛物线定义可知—x＋３＝9，x＝—6，将x＝—6代入y２＝—１２x，得y＝±6错误!，所以满足条件的点为（—6,6错误!）或（—6，—6错误!）．]求抛物线的标准方程（１）准线方程为y＝错误!；（２）焦点在y轴上，焦点到准线的距离为５；（３）经过点（—３，—１）；（４）焦点为直线３x—４y—１２＝0与坐标轴的交点．思路探究：（１）（２）（３）（４）错误!→[解] （１）因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且错误!＝错误!，则p＝错误!，所以所求抛物线的标准方程为x２＝—错误!y．（２）已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x２＝２my（m≠0），由焦点到准线的距离为５，知|m|＝５，m＝±５，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x２＝１0y和x２＝—１0y．（３）∵点（—３，—１）在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y２＝—２px（p>0）或x２＝—２py（p>0）．若抛物线的标准方程为y２＝—２px（p>0），则由（—１）２＝—２p×（—３），解得p＝错误!；若抛物线的标准方程为x２＝—２py（p>0），则由（—３）２＝—２p×（—１），解得p＝错误!．∴所求抛物线的标准方程为y２＝—错误!x或x２＝—9y．（４）对于直线方程３x—４y—１２＝0，令x＝0，得y＝—３；令y＝0，得x＝４，∴抛物线的焦点为（0，—３）或（４,0）．当焦点为（0，—３）时，错误!＝３，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x２＝—１２y；当焦点为（４,0）时，错误!＝４，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y２＝１6x．∴所求抛物线的标准方程为x２＝—１２y或y２＝１6x．１．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤２．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题（１）把握开口方向与方程间的对应关系．（２）当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y２＝mx或x２＝ny，这样可以减少讨论情况的个数．（３）注意p与错误!的几何意义．错误!１．若抛物线y２＝２px（p＞0）的焦点是椭圆错误!＋错误!＝１的一个焦点，则p＝（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．8[答案] D抛物线的定义的应用的距离为５，求m的值、抛物线方程和准线方程；（２）已知抛物线y２＝４x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A（４,２），求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标；（３）已知动圆M与直线y＝２相切，且与定圆C：x２＋（y＋３）２＝１外切，求动圆圆心M的轨迹方程．思路探究：（１）利用抛物线定义先求抛物线的方程，再求m和准线方程．（２）利用抛物线的定义，把|PF|转化为到准线的距离．（３）利用|MC|的长度比点M到直线y＝２的距离大１求解．[解] （１）设所求抛物线方程为x２＝—２py（p>0），由错误!＋３＝５得p＝４，因此抛物线方程为x２＝—8y，其准线方程为y＝２，由m２＝２４得m＝±２错误!．（２）如图，作PN⊥l于N（l为准线），作AB⊥l于B，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|，当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号．∴（|PA|＋|PF|）min＝|AB|＝４＋１＝５．此时y P＝２，代入抛物线得x P＝１，∴P（１,２）．（３）设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到圆心C（0，—３）的距离与直线y＝３的距离相等．由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，—３）为焦点，以y＝３为准线的一条抛物线，其方程为x２＝—１２y．抛物线定义的两种应用１实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.２解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.错误!２．（１）已知点P是抛物线y２＝２x上的一个动点，则点P到点A（0,２）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）Ａ．错误!Ｂ．３Ｃ．错误!Ｄ．错误!A[由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可得，∴点P到准线x＝—错误!的距离d＝|PF|，易知点A（0,２）在抛物线y２＝２x的外部，连接AF，交y２＝２x于点P′，欲使所求距离之和最小，只需A，P′，F共线，∴其最小值为|AF|＝错误!＝错误!．]（２）若位于y轴右侧的动点M到F错误!的距离比它到y轴的距离大错误!．求点M的轨迹方程．[解] 由于位于y轴右侧的动点M到F错误!的距离比它到y轴的距离大错误!，所以动点M到F错误!的距离与它到直线l：x＝—错误!的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线（不包含原点），其方程应为y２＝２px（p>0）的形式，而错误!＝错误!，所以p＝１,２p＝２，故点M的轨迹方程为y２＝２x（x≠0）．抛物线的实际应用[已知抛物线，如何建系，才能使抛物线方程为标准方程？[提示] 以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为坐标轴建系．【例３】河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶５米时，水面宽为8米，一小船宽４米，高２米，载货后船露出水面上的部分高错误!米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？思路探究：错误!→错误!→错误!→错误!→错误![解] 如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x２＝—２py（p>0），由题意，将B（４，—５）代入方程得p＝错误!，∴抛物线方程为x２＝—错误!y．∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．设此时船面宽为AA′，则A（２，y A），由２２＝—错误!y A，得y A＝—错误!．又知船露出水面上部分为错误!米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|y A|＋错误!＝２（米），即水面上涨到距抛物线拱顶２米时，小船不能通航．求抛物线实际应用的五个步骤１建立适当的坐标系.２设出合适的抛物线标准方程.３通过计算求出抛物线的标准方程.４求出需要求出的量.５还原到实际问题中，从而解决实际问题.错误!３．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线型，跨度为２0米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面４米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过１8米，目前吃水线上部中央船体高５米，宽１6米，且该货船在现有状况下还可多装１000吨货物，但每多装１５0吨货物，船体吃水线就要上升0．0４米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？[解] 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面４米，所以A（１0，—２）．设桥孔上部抛物线方程是x２＝—２py（p>0），则１0２＝—２p×（—２），所以p＝２５，所以抛物线方程为x２＝—５0y，即y＝—错误!x２．若货船沿正中央航行，船宽１6米，而当x＝8时，y＝—错误!×8２＝—１．２8，即船体在x＝±8之间通过，B（8，—１．２8），此时B点距水面6＋（—１．２8）＝４．7２（米）．而船体高为５米，所以无法通行．又因为５—４．7２＝0．２8（米），0．２8÷0．0４＝7，１５0×7＝１0５0（吨），所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加１0５0吨，而船最多还能装１000吨货物，所以货船在现在状况下不能通过桥孔．１．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y２＝mx（m≠0），此时焦点为F错误!，准线方程为x＝—错误!；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x２＝my（m≠0），此时焦点为F错误!，准线方程为y＝—错误!．２．设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径．若M（x0，y0）在抛物线y ２＝２px（p＞0）上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋错误!．３．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．１．已知抛物线C：y２＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，|AF|＝错误!x0，则x0等于（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．４Ｄ．8A[∵错误!＋x0＝错误!x0，∴x0＝１．]２．已知抛物线y＝mx２（m>0）的焦点与椭圆错误!＋错误!＝１的一个焦点重合，则m的值为________．错误![将抛物线y＝mx２（m>0）的方程化为标准方程是x２＝错误!y，所以其焦点是错误!，因为抛物线y＝mx２（m>0）的焦点与椭圆错误!＋错误!＝１的一个焦点重合，因此错误!—２＝错误!错误!，解得m＝错误!．]３．已知抛物线y２＝２px（p＞0）的焦点F１，若点A（２，—４）在抛物线上，则点A到焦点的距离为________．４[把点（２，—４）代入抛物线y２＝２px，得１6＝４p，即p＝４，从而抛物线的焦点为（２,0）．故点A到焦点的距离为４．]４．求顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线３x—５y—３6＝0上的抛物线方程．[解] 因为焦点在直线３x—５y—３6＝0上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，所以焦点A的坐标为（１２,0）或错误!．设抛物线方程为y２＝２px（p>0），求得p＝２４，所以此抛物线方程为y２＝４8x；设抛物线方程为x２＝—２py（p>0），求得p＝错误!，所以此抛物线方程为x２＝—错误!y．综上所求抛物线方程为y２＝４8x或x２＝—错误!y．。

２．２．２双曲线的简单几何性质学习目标核心素养１．掌握双曲线的简单几何性质．（重点）２．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．（难点）１．通过学习双曲线的简单几何性质，培养学生的直观想象素养.２．借助双曲线的几何性质解题，培养逻辑推理、数学运算的素养.１．双曲线的几何性质标准方程错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）图形性质范围x≥a或x≤—a y≤—a或y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点（—a,0），（a,0）（0，—a），（0，a）轴长实轴长＝２a，虚轴长＝２b离心率e＝错误!>１渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x（２）双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示] （１）渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．（２）e２＝错误!＝１＋错误!，错误!是渐近线的斜率或其倒数．２．双曲线的中心和等轴双曲线（１）双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．（２）等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝错误!.１．双曲线错误!—y２＝１的顶点坐标是（）Ａ．（４,0），（0,１）Ｂ．（—４,0），（４,0）Ｃ．（0,１），（0，—１）Ｄ．（—４,0），（0，—１）B[由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a＝４，因此双曲线的顶点坐标是（—４,0），（４,0）．]２．中心在原点，实轴长为１0，虚轴长为6的双曲线的标准方程是（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１B[由题意可知２a＝１0,２b＝6，即a＝５，b＝３，∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１，故选Ｂ．]３．若点M（x0，y0）是双曲线错误!—错误!＝１上任意一点，则x0的取值范围是________，y0的取值范围是________；该双曲线的渐近线方程为________，离心率为________．（—∞，—４]∪[４，＋∞）R y＝±错误!x错误![由错误!—错误!＝１得错误!≥１，即x0≥４或x0≤—４，y0∈R.渐近线方程为y＝±错误!x，离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.]双曲线的几何性质２２线方程．[思路点拨] 先将双曲线的方程化为标准方程，再研究其性质．[解] 双曲线的方程化为标准形式是错误!—错误!＝１，∴a２＝9，b２＝４，∴a＝３，b＝２，c＝错误!.又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为（—３,0），（３,0），焦点坐标为（—错误!，0），（错误!，0），实轴长２a＝6，虚轴长２b＝４，离心率e＝错误!＝错误!，渐近线方程为y＝±错误!x.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤１把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.２由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.３由c２＝a２＋b２求出c值，从而写出双曲线的几何性质.提醒：求性质时一定要注意焦点的位置.错误!１．（１）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±２x的是（）Ａ．x２—错误!＝１Ｂ．错误!—y２＝１Ｃ．错误!—x２＝１Ｄ．y２—错误!＝１（２）若双曲线错误!—错误!＝１的离心率为错误!，则其渐近线方程为（）Ａ．y＝±２xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!xＤ．y＝±错误!x（１）C（２）B[（１）A、B选项中双曲线的焦点在x轴上，可排除；C、D选项中双曲线的焦点在y轴上，令错误!—x２＝0，得y＝±２x；令y２—错误!＝0，得y＝±错误!x.故选Ｃ．（２）在双曲线中，离心率e＝错误!＝错误!＝错误!，可得错误!＝错误!，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±错误!x.]由双曲线的几何性质求标准方程（１）以直线２x±３y＝0为渐近线，过点（１,２）；（２）与双曲线错误!—错误!＝１具有相同的渐近线，且过点M（３，—２）；（３）过点（２,0），与双曲线错误!—错误!＝１离心率相等；（４）与椭圆错误!＋错误!＝１有公共焦点，离心率为错误!.[解] （１）法一：由题意可设所求双曲线方程为４x２—9y２＝λ（λ≠0），将点（１,２）的坐标代入方程解得λ＝—３２．因此所求双曲线的标准方程是错误!—错误!＝１．法二：由题意可设所求双曲线方程为错误!—错误!＝１（mn>0）．由题意，得错误!解得错误!因此所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．（２）设所求双曲线方程为错误!—错误!＝λ（λ≠0）．由点M（３，—２）在双曲线上，得错误!—错误!＝λ，λ＝—２．故所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．（３）当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为错误!—错误!＝λ（λ>0），将点（２,0）的坐标代入方程得λ＝错误!，故所求双曲线的标准方程为错误!—y２＝１；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为错误!—错误!＝λ（λ>0），将点（２,0）的坐标代入方程得λ＝—错误!<0（舍去）．综上可知，所求双曲线的标准方程为错误!—y２＝１．（４）法一：由椭圆方程可得焦点坐标为（—３,0），（３,0），即c＝３且焦点在x轴上．设双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１（a>0，b>0）．因为e＝错误!＝错误!，所以a＝２，则b２＝c２—a２＝５，故所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．法二：因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１（１6<λ<２５）．因为e＝错误!，所以错误!＝错误!—１，解得λ＝２１．故所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．１．由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本量a，b，c，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解．为了避免讨论，也可设方程为mx２—ny２＝１（mn>0），从而直接求解．２．常见双曲线方程的设法（１）渐近线为y＝±错误!x的双曲线方程可设为错误!—错误!＝λ（λ≠0，m>0，n>0）；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A２x２—B２y２＝m（m≠0，A>0，B>0）．（２）与双曲线错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１（a>0，b>0）共渐近线的双曲线方程可设为错误!—错误!＝λ或错误!—错误!＝λ（λ≠0）．（３）与双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）离心率相等的双曲线系方程可设为错误!—错误!＝λ（λ>0）或错误!—错误!＝λ（λ>0），这是因为离心率不能确定焦点位置．错误!２．求适合下列条件的双曲线的标准方程：（１）虚轴长为１２，离心率为错误!；（２）焦点在x轴上，离心率为错误!，且过点（—５,３）；（３）顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±错误!x.[解] （１）设双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１（a>0，b>0）．由题意知２b＝１２，错误!＝错误!且c２＝a２＋b２，∴b＝6，c＝１0，a＝8，∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１．（２）∵e＝错误!＝错误!，∴c＝错误!a，b２＝c２—a２＝a２.又∵焦点在x轴上，∴设双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１（a>0）．把点（—５,３）代入方程，解得a２＝１6．∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．（３）设以y＝±错误!x为渐近线的双曲线方程为错误!—错误!＝λ（λ≠0），当λ>0时，a２＝４λ，∴２a＝２错误!＝6⇒λ＝错误!.当λ<0时，a２＝—9λ，∴２a＝２错误!＝6⇒λ＝—１．∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１．双曲线的离心率问题１．若过双曲线右焦点的直线l与双曲线的一条渐近线平行，则该直线与双曲线有几个交点？提示：有且只有一个．２．若探究１中的直线l与双曲线右支有且只有一个交点，则l的斜率与双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）中的a，b存在怎样的关系？提示：直线l的斜率k≤错误!.【例３】（１）设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝１２0°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________；（２）已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的范围是________．[思路点拨] （１）根据图形并由双曲线的定义确定a与c的关系求出离心率；（２）可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有错误!≥tan 60°.（１）错误!（２）[２，＋∞）[（１）由题意２c＝|AB|＝|BC|，所以|AC|＝２×２c×sin 60°＝２错误!c，由双曲线的定义，有２a＝|AC|—|BC|＝２错误!c—２c⇒a＝（错误!—１）c，∴e＝错误!＝错误!＝错误!.（２）因为双曲线渐近线的斜率为k＝错误!，直线的斜率为k１＝tan 60°＝错误!，故有错误!≥错误!，所以e＝错误!＝错误!≥错误!＝２，所以所求离心率的取值范围是e≥２．]双曲线的离心率问题主要有两种，一是求离心率，二是求离心率的取值范围.求圆锥曲线的离心率的关键是探寻a与c的关系，由于a，b，c三者具有固定的关系，因此由题目条件找到它们中任意两个的等量关系或不等关系，都能转化为离心率的方程或不等式，从而求得离心率的值或范围.错误!３．（１）如图，F１和F２分别是双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的两个焦点，A，B是以O 为圆心、以|OF１|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F２AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．（２）已知点F是双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．（１）错误!＋１（２）（１,２）[（１）∵|F１F２|＝２c，且|OF１|＝|OA|＝|OF２|＝c，∴△AF１F２为直角三角形．又∵△F２AB为等边三角形，∴|AF２|＝错误!c，|AF１|＝c.由双曲线的定义知错误!c—c＝２a，∴e＝错误!＝错误!＝错误!＋１．（２）如图，要使△ABE为锐角三角形，只需∠AEB为锐角，由双曲线对称性知△ABE为等腰三角形，从而只需满足∠AEF<４５°.又当x＝—c时，y＝错误!，∴tan∠AEF＝错误!＝错误!<１，∴e２—e—２<0，又e>１，∴１<e<２．]１．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程错误!—错误!＝１（a>0，b>0）右边的常数１换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a２x２—b２y２＝λ（λ≠0），再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．２．解决与几何图形有关的双曲线离心率问题常借助几何图形的性质建立等量或不等关系．１．判断正误（１）双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上．（）（２）若两条双曲线的焦点相同，则其渐近线也一定相同．（）（３）焦点在x轴上的双曲线的离心率越大，其渐近线斜率的绝对值就越大．（）（４）焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线．（５）等轴双曲线的离心率等于错误!. （）[答案] （１）√（２）×（３）√（４）×（５）√２．双曲线错误!—错误!＝１的渐近线方程是（）Ａ．y＝±错误!xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!xＤ．y＝±错误!xC[双曲线的焦点在x轴上，且a＝２，b＝３，因此渐近线方程为y＝±错误!x.]３．若a>１，则双曲线错误!—y２＝１的离心率的取值范围是（）Ａ．（错误!，＋∞）Ｂ．（错误!，２）Ｃ．（１，错误!）Ｄ．（１,２）C[由题意得双曲线的离心率e＝错误!.即e２＝错误!＝１＋错误!.∵a>１，∴0<错误!<１，∴１<１＋错误!<２，∴１<e<错误!.]４．求满足下列条件的双曲线的标准方程：（１）两渐近线方程为y＝±错误!x，且经过点错误!；（２）以椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为焦点，以直线y＝±错误!x为渐近线；（３）过点P（３，—错误!），离心率e＝错误!.[解] （１）∵双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，∴可设双曲线方程为错误!—错误!＝λ（λ≠0），将错误!代入方程，得λ＝２，故所求方程为错误!—错误!＝１．（２）设所求的双曲线方程为错误!—y２＝λ（λ>0），又双曲线的焦点为（±错误!，0），∴c２＝４λ＋λ＝１0，解得λ＝２．故所求的双曲线方程为错误!—错误!＝１．（３）若双曲线的实轴在x轴上，设错误!—错误!＝１为所求．由e＝错误!，得错误!＝错误!. １由点P（３，—错误!）在双曲线上，得错误!—错误!＝１．２由１２及a２＋b２＝c２，得a２＝１，b２＝错误!.若双曲线的实轴在y轴上，设错误!—错误!＝１为所求．同理有错误!＝错误!，错误!—错误!＝１，a２＋b２＝c２.解之，得b２＝—错误!（不符，舍去）．故所求双曲线方程为x２—４y２＝１．即x２—错误!＝１．。

圆锥曲线的教案教案标题：探索圆锥曲线教案目标：1. 了解圆锥曲线的基本定义和特征。

2. 掌握椭圆、双曲线和抛物线的标准方程及其图像特点。

3. 理解圆锥曲线在实际生活和科学领域中的应用。

教案步骤：引入活动：1. 利用一张图片或实物展示圆锥曲线的形状，引发学生对该主题的兴趣。

2. 提问学生是否了解圆锥曲线，以及他们对圆锥曲线的认识。

知识讲解：3. 介绍圆锥曲线的定义和基本特征，包括焦点、准线、离心率等概念。

4. 分别讲解椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并通过示例图像展示它们的形状和特点。

5. 引导学生思考圆锥曲线在实际生活和科学领域中的应用，如卫星轨道、天文学、建筑设计等。

实践活动：6. 分组让学生进行小组讨论，给出一些实际问题，要求他们利用所学的圆锥曲线知识进行解答和分析。

7. 每个小组选择一个问题进行展示，并解释他们的解决思路和方法。

巩固练习：8. 分发练习题，让学生独立完成，检验他们对圆锥曲线的理解和应用能力。

9. 审查并讲解练习题答案，解答学生的疑问。

课堂总结：10. 回顾本节课所学的内容，强调圆锥曲线的重要性和应用领域。

11. 鼓励学生继续深入学习圆锥曲线，并提供相关参考资料和学习资源。

教学评估：12. 教师观察学生在课堂讨论和实践活动中的参与度和表现。

13. 评估学生在练习题中的答题情况，以及对圆锥曲线的理解和应用能力。

拓展活动：14. 鼓励学生进行更多的实践探究，如通过软件绘制圆锥曲线图像，或进行实际测量和数据分析等。

教案特点：1. 充分引发学生兴趣：通过图片或实物展示，引发学生对圆锥曲线的兴趣和好奇心。

2. 理论与实践结合：通过小组讨论和实际问题解答，培养学生的实际应用能力。

3. 评估与拓展：通过评估学生的学习情况，及时调整教学策略，同时鼓励学生进行更多的拓展活动。

以上是一个基本的教案框架，你可以根据具体教学需求和学生水平进行适当调整和补充。

圆锥曲线方程及性质程图形焦点坐标(,0)2p(,0)2p-(0,)2p(0,)2p-准线方程2px=-2px=2py=-2py=范围x≥0x≤0y≥0y≤对称性x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率1e=1e=1e=1e=说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线o F xylo xyFlxyoFlxy2=，那么它的两条准线间的距离是（）A．36 B．4 C．2 D．1解析：（1）设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B。

（2）双曲线221mx y+=的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为2214xy-+=，∴ m=14-，选A。

（3）如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F、)0,3(2F，一条渐近线方程为xy2=，∴2292a bba⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2236ab⎧=⎨=⎩，所以它的两条准线间的距离是222ac⋅=，选C。

点评：关于双曲线渐近线、准线及许多距离问题也是考察的重点。

题型5：抛物线方程例9．（1）)焦点到准线的距离是2；（2）已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程。

解析：（1）y2=4x，y2=-4x，x2=4y，x2=-4y；方程是x2=-8y。

点评：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程。

当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解。

题型6：抛物线的性质例10．（1）若抛物线22y px=的焦点与椭圆22162x y+=的右焦点重合，则p的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4 （2）抛物线28y x =的准线方程是（ ）(A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =- （3）抛物线x y 42=的焦点坐标为( )（A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(解析：（1）椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D ；（2）2p ＝8，p ＝4，故准线方程为x ＝－2，选A ；（3）（直接计算法）因为p=2 ，所以抛物线y 2=4x 的焦点坐标为 。