高等数学 一元微积分的应用共60页文档

第五章 一元微积分的应用5.1 函数图象的几何性质一 基本概念定义1 极值点与极值： （1）极大值点（极小值点）：函数()y f x =在0x 的某邻域内有定义，若0()x U x ∀∈有0()()f x f x <（0()()f x f x >）， 则称0x 为()f x 的极大值点（极小值点）；函数值0()f x 为()f x 的极大值（极小值）．（2）极大值点和极小值点统称为极值点；极大值和极小值统称为极值． 定义2 凸凹函数： 函数()f x 在I 上有定义，若对任意的12,x x I ∈，有1212()()()22x x f x f x f ++<1212()()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭（1）则称()f x 在区间I 上是凹函数（凸函数）．公式（1）可以改写为：1212()()()f x x f x f x αβαβ+<+1212()()()f x x f x f x αβαβ+>+ （2） 其中,(0,1)αβ∈，且1αβ+=．定义3 拐点： 如果函数()f x 在点0x 的左右邻域的凸凹性不同，则称点00(,())x f x 是函数()f x 的拐点； 定义4 渐近线： 若曲线()y f x =上的点M ，沿曲线无限远离原点时，它与定直线L 的距离趋于零，则称直线L 就是曲线()y f x =的渐近线。

注1 极值点和最值点的区别和联系：（1）极值点未必是最值点，最值点也未必是极值点； （2）最值点若是在区间内部，最值点就是极值点；（3）若函数在定义域区间内仅有唯一极值点，则此极值点就是最值点． 注2 拐点是曲线上的点00(,())x f x ，并非是数轴上的点0x x =．二 基本方法1 求极值点有两类点可能成为极值点：导数等于0的点和导数不存在的点（仅仅可能是极值点）． 判断上述两类点是否为极值点的具体方法：（1）几何方法：若0x 的左右邻域的单调性不同，则0x 是极值点，0()f x 是极值； 在0x 的左邻域00(,)x x δ-上，()0f x '>；在0x 的右邻域00(,)x x δ+上，()0f x '<，0x 为极大值点．在0x 的左邻域00(,)x x δ-上，()0f x '<；在0x 的右邻域00(,)x x δ+上，()0f x '>，0x 为极小值点．（2）代数方法：求0x 的导数，若0()f x '=(1)00()()0n f x f x -''===L ，而()0()0n fx ≠，则(a) 如果n 是偶数，0x 是极值点，若()0()0n f x >,0x 是极小值点，若()0()0n f x <,0x 是极大值点；(b) 如果n 是奇数，0x 不是极值点． 2 求函数()y f x =的单调区间（1）求函数()f x 的定义域；（2）在定义域内求出一阶导函数()f x '等于零的点和一阶导函数不存在的点； （3）用上述两类点将定义域分成若干区间，并判断导函数()f x '在每个区间的符号，从而得到单调区间．3 求函数()y f x =在区间[,]a b 或(,)a b 上的最值：具体方法：求函数()f x 在闭区间[,]a b 上一阶导函数等于0点和一阶导函数不存在的点：令12,,,n x x x L ，则函数()y f x =在[,]a b 的最大值与最小值分别为12max{(),(),,(),(),()}n M f x f x f x f a f b =L ；12m in{(),(),,(),(),()}n m f x f x f x f a f b =L 。

⾼等数学-⼀元函数积分学的应⽤⽬录⼀元函数积分学的应⽤⼏何学中的应⽤1.平⾯图形的⾯积（1）⼀般形式<1>设平⾯图形是由两条曲线y=f1(x)，y=f2(x)及两条直线x=a，x=b所围成的，其中f1(x)，f2(x)均在[a,b]上连续，且f2(x)≥f1(x)，则该平⾯图形的<2>设平⾯图形是由两条曲线x=g1(y)，x=g2(y)及两条直线y=c，y=d所围成的，其中g1(y)，g2(y)均在[a,b]上连续，且g2(y)≥g1(y)，则该平⾯图形（2）参数⽅程形式A=∫b a|f(x)|d x=∫βα|ψ(t)|ϕ′(t)d t（3）极坐标⽅程形式曲边扇形：由连续曲线r=r(θ)与θ=a,θ=b（a<b）所围成的平⾯图形称为曲边扇形A=12∫βαr2(θ)dθ2.⽴体体积（1）A(x)为截⾯⾯积函数，且在[a,b]上连续，则V=∫b a A(x)d x（2）旋转体的体积x=a,x=b,绕x轴旋转：V=π∫b a f2(x)d xy=a,y=b,绕y轴旋转：V=π∫b a g2(y)d yx=a,x=b,绕y轴旋转：V=2π∫b a xf(x)d x题⽬：教科书P253 例6.2.9 例6.2.103.平⾯曲线的弧长（1）⼀般形式设函数y=f(x)在区间[a,b]上具有连续导数，则曲线y=f(x)在区间[a,b]上的弧长为s=∫b a√1+f′(x)d x （2）参数⽅程形式s=∫b a√ϕ′2(t)+ψ′2(t)d t（3）极坐标形式s=∫b a√r2(θ)+r′2(θ)dθPS：注意s≠∫b a r(θ)rmdθ，因为⽆法保证误差为Δx的⾼阶⽆穷⼩4.平⾯图形的曲率曲率定义：设曲线弧MN两端点处切线改变⾓为Δα，曲线弧MN的长度为Δs，称⽐值|ΔαΔs|为曲线弧MN的平均曲率，记为¯K|limN→MΔαΔs|=|dαd s|=K为曲线在M处的曲率曲率计算：（1）⼀般形式若函数y=f(x)⼆阶可导，则曲线在点M(x,y)处的曲率为K=|f″（2）参数⽅程形式K=\frac{|\psi''(t)\phi'(t)-\phi''(t)\psi'(t)|}{[\phi'^2(t)+\psi'^2(t)]^{\frac{3}{2}}}曲率圆：如果曲线上点M处的曲率不为0，就称R=\frac{1}{K}为曲线在M处的曲率半径，并在M处凹向法线上取点C(x_1,y_1)使|CM|=R，则C为曲率中⼼，以 C为圆⼼，R为半径的圆为曲率圆5.旋转体的侧⾯积（1）⼀般形式设函数y=f(x)在[a,b]上具有连续导数，且f(x) \geq 0，则由x轴，直线x=a，x=b，以及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形绕x轴旋转⼀周所得到的旋转体的侧⾯积为S=2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+f'^2(x)}{\rm d}xPS：圆台侧⾯积S=\pi l(R+r)（2）参数⽅程形式S=2\pi \int_{\alpha}^{\beta} \psi(t)\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^2(t)}{\rm d}t题⽬：1.x^2+y^2=R^2，（R>0），x \in [x_1,x_2] \subset [-R,R]，将该图形绕x轴旋转形成球台，则侧⾯积为S=2\pi R(x_2-x_1)Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js。