1.3函数的极值与导数(2)

识与方法的基础，起着承上启下的作用。
知识与技能：
①了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函
数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，
提升思维水平；
②掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值
教学目标 的一般方法；
③了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条
件。
过程与方法：
培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和
规律的学习能力。
情感态度与价值观：
①体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有
效性；
②培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。
学生已经初步学习了运用导数研究函数，但还不够
深入，因此在学习上还有一定困难。本节课能够进一步
提高学生运用导数研究函数的能力,体会导数的工具作 学生学习能
用。 力分析
通过用导数研究函数的极值，提高了学生的导数应
学生展示：类比极大值，归纳出极小值，极小值点 的定义。
教师点拨：通过教师的点拨，帮助学生完善、深化 知识
典型例题：先让学生做，教师引导学生总结思路方 法技巧。
自主完成：分层设计练习题，让各层面学生都能学 有所获。
求,解方程=0,当=0 时:
（1）如果在 x0 附近的左边＞0,右边＜0,那么
f(x0)是极大值。 （2）如果在 x0 附近的左边＜0,右边＞0,那么
f(x0)是极小值。 通过典型例题巩固学生对新知识的理解。 通过对典型例题的板演，让学生明确求极值的方
法，突出本节课的重点。培养学生规范的表达能力，形 成严谨的科学态度。
学生展示：极小值与极小值点
教学过程
典型例题： 例 1：右图是函数 y=f(x)的函数,试找出函数
y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小

故当 x＝0 时，函数取得极小值，且 y 极小＝0.
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1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则．
2．极值点与导数的关系
(1)可导函数的极值点一定是导数值为 0 的点，导数值为 0 的点
不一定是极值点．
点 x0 是可导函数 f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：
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(3)f(x)＝|x|＝x－，xx，≥x0<，0.
显然函数 f(x)＝|x|在 x＝0 处不可导，
当 x>0 时，f′(x)＝x′＝1>0，
函数 f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增；
当 x<0 时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，
函数 f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．
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2．函数 f(x)＝2x－cos x 在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值
B．有极值
C．有最大值
D．有最小值
[解析] f′(x)＝2＋sin x>0 恒成立，所以 f(x)在(－∞，＋∞)上单调 递增，无极值，也无最值．
[答案] A
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3．下列说法正确的是________．(填序号) ①函数的最大值一定是函数的极大值； ②开区间上的单调连续函数无最值； ③函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处 取得．
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1．观察[a，b]上函数 y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小 值．
提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．

3 (a (2) f ( x）＝ ax + 2bx + c ≠ 0)
/ 2
f (1) = a + b + c = 5
{
.
f / (1) = 3a + 2b + c = 0 f / (2) = 12a + 4b + c＝0
a = 2, b = −9, c = 12
注意： 注意：数形结合以及函数与方程思想的应用
1 3 x -4x+4 3
+
-
28 3
o -2
4 − 3
2 + x
求可导函数f(x)极值的 步骤： 极值的 步骤： 求可导函数
(1) 确定函数的定义域； 确定函数的定义域 (2)求导数 ’(x)； 求导数f 求导数 ； (3)求方程 ’(x）=0的根； 求方程f 的根； 求方程 ） 的根 (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格 把定义域划分为部分区间 把定义域划分为部分区间， 检查f 在方程根左右的符号—— 检查 ’(x)在方程根左右的符号 在方程根左右的符号 •如果左正右负（+ ~ -）， 如果左正右负 如果左正右负（ ）， 那么f(x)在这个根处取得极大值； 在这个根处取得极大 那么 在这个根处取得极 •如果左负右正（- ~ +）， 如果左负右正 如果左负右正（ ）， 那么f(x)在这个根处取得极小值； 在这个根处取得极小 那么 在这个根处取得极
28 3
(-2,2) ↘
2 0
极小值 − 4
3
(2,+∞) ∞ + ↗
28 因此,当 时有极大值,并且 因此 当x=-2时有极大值 并且 极大值= 3 ; 时有极大值 并且,y 4 时有极小值,并且 而,当x=2时有极小值 并且 极小值= − 3 . 当 时有极小值 并且,y

课程标准
1.理解函数的极值、极值点的概念.
2.理解函数在某点取得极值的条件.
3.会用导数求函数的极大值和极小值.
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
基础落实·必备知识一遍过
知识点1
函数的极值与极值点
1.函数的极大(小)值与极大(小)值点:
极值
极大值
D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
解析 根据导函数图象知,当x∈(1,2)时,f'(x)>0;当x∈(2,4)时,f'(x)<0,当
x∈(4,5)时,f'(x)>0.∴f(x)在区间(1,2),(4,5)上单调递增,在区间(2,4)上单调递
减,x=2是f(x)在区间[1,5]内的极大值点,x=4是极小值点.
=
1-2ln
,令
3

f'(x)=0,得
x=√e,且当 0<x<√e时,f'(x)>0,当 x>√e时,f'(x)<0,∴f(x)在 x=√e处取得极大值
1
f(√e)=2e ,无极小值.
(3)f(x)=
3 -2
2(-1)2
.
解 ∵函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),f'(x)=
(-2)2 ( + 1)
该问题的本质是函数的导数存在变号零点,解决此类问题可转化为y=f'(x)
在定义域或所给区间内的零点的个数问题.
变式训练3(1)若函数
1 3 2
f(x)= x + x +x-2
3
2