高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 导数的概念(第2课时)教案 新人教A版选修2-2(20

h

h 1.1.2 瞬时变化率——导数

学习目标 重点难点

1．能说出平均变化率和瞬时变化率的区别与联系．

2．会分析瞬时变化率就是导数的含义．

3．能记住导数的定义，会利用导数定义求函数的导函数. 重点：瞬时变化率的理解．

难点：利用导数定义求函数的导函数.

1．瞬时速度

(1)在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为__________．

(2)一般地，如果当Δt__________0时，运动物体位移s(t)的平均变化率s(t0＋Δt)－s(t0)Δt无限趋近于一个______，那么这个______称为物体在t＝t0时的__________，也就是位移对于时间的____________．

预习交流1

做一做：如果质点A按规律s＝3t2运动，则在t＝3 s时的瞬时速度为__________．

2．瞬时加速度

一般地，如果当Δt__________时，运动物体速度v(t)的平均变化率v(t0＋Δt)－v(t0)Δt无限趋近于一个_______，那么这个________称为物体在t＝t0时的_________，也就是速度对于时间的____________．

3．导数

(1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx无限趋近于一个______A，则称f(x)在x＝x0处______，并称该______A为函数f(x)在x＝x0处的______，记为______．

(2)导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的________．

(3)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的________，记作________．

预习交流2

做一做：设函数f(x)可导，则当Δx→0时，f(1＋Δx)－f(1)3Δx等于__________．

1 高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数（第1课时）课堂探究 新人教A版选修2-2

探究一 求函数的平均变化率

求平均变化率的主要步骤是：

(1)计算Δy：计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)．

(2)计算Δx：计算自变量的改变量Δx＝x1－x0.

(3)结论：平均变化率ΔyΔx＝f(x1)－f(x0)x1－x0.

【典型例题1】已知函数f(x)＝3x2＋2.

(1)求在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；

(2)求当x0＝2，Δx＝0.1时的平均变化率；

(3)若令x′0＝x0＋Δx(x0＝2，Δx＝0.1)，分析(2)中的平均变化率的几何意义．

思路分析：解答本题要紧扣平均变化率的定义，先求Δy，Δx，再求ΔyΔx.

解：(1)∵f(x)＝3x2＋2，∴f(x0)＝3x02＋2，f(x0＋Δx)＝3(x0＋Δx)2＋2＝3x02＋6x0·Δx＋3(Δx)2＋2.

∴Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝6x0·Δx＋3(Δx)2.

∴f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为ΔyΔx＝6x0·Δx＋3(Δx)2Δx＝6x0＋3Δx.

(2)当x0＝2，Δx＝0.1时，平均变化率为ΔyΔx＝6×2＋3×0.1＝12.3.

(3)ΔyΔx＝f(x′0)－f(x0)x′0－x0＝f(2.1)－f(2)2.1－2，它表示曲线f(x)＝3x2＋2上点A(2,14)，B(2.1,15.23)连线的斜率．

【典型例题2】已知某运动物体的位移公式为s＝s(t)＝12t2，求该运动物体在第2 s后的0.1 s内的平均速度．(位移单位：m，时间单位：s)

解：∵Δs＝s(2＋0.1)－s(2)，

∴Δs＝12×2.12－12×22＝0.205.

∴ΔsΔt＝0.2050.1＝2.05，即v＝ΔsΔt＝2.05(m/s)．

探究二 求瞬时速度

1．求运动物体瞬时速度的三个步骤

1 1.1.1-1.1.2 导数的概念

[课时作业]

[A组 基础巩固]

1．自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( )

A．在区间[x0，x1]上的平均变化率

B．在x0处的变化率

C．在x1处的变化量

D．在区间[x0，x1]上的导数

解析：根据平均变化率的概念知，选A.

答案：A

2．函数f(x)在x0处可导，则limh→0

fx0＋h－fx0h( )

A．与x0，h都有关

B．仅与x0有关，而与h无关

C．仅与h有关，而与x0无关

D．与x0，h均无关

解析：由导数的概念可知，limh→0 fx0＋h－fx0h＝

f′(x0)，仅与x0有关，与h无关．故选B.

答案：B

3．已知函数y＝f(x)＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则limΔx→0

ΔyΔx等于( )

A．2 B．2x

C．2＋Δx D．2＋Δx2

解析：∵邻近一点的坐标为(1＋Δx,2＋Δy)，

∴2＋Δy＝f(1＋Δx)＝(1＋Δx)2＋1＝2＋2Δx＋(Δx)2.

∴Δy＝(Δx)2＋2Δx.∴ΔyΔx＝2＋Δx.

∴limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 (2＋Δx)＝2.故选A.

答案：A

4．若f′(x0)＝－3，则limh→0 fx0＋h－fx0－hh＝( )

A．－3 B．－6 2 C．－9 D．－12

解析：由题意可得：

limh→0

fx0＋h－fx0－hh

＝limh→0 fx0＋h－fx0＋fx0－fx0－hh

＝limh→0 fx0＋h－fx0h＋limh→0 fx0－h－fx0－h

＝f′(x0)＋f′(x0)

＝2f′(x0)＝－6.

答案：B

5．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )

A．圆 B．抛物线

C．椭圆 D．直线

解析：当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.

1 高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数（第1课时）课堂探究 新人教A版选修2-2

探究一 求函数的平均变化率

求平均变化率的主要步骤是：

(1)计算Δy：计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)．

(2)计算Δx：计算自变量的改变量Δx＝x1－x0.

(3)结论：平均变化率ΔyΔx＝f(x1)－f(x0)x1－x0.

【典型例题1】已知函数f(x)＝3x2＋2.

(1)求在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；

(2)求当x0＝2，Δx＝0.1时的平均变化率；

(3)若令x′0＝x0＋Δx(x0＝2，Δx＝0.1)，分析(2)中的平均变化率的几何意义．

思路分析：解答本题要紧扣平均变化率的定义，先求Δy，Δx，再求ΔyΔx.

解：(1)∵f(x)＝3x2＋2，∴f(x0)＝3x02＋2，f(x0＋Δx)＝3(x0＋Δx)2＋2＝3x02＋6x0·Δx＋3(Δx)2＋2.

∴Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝6x0·Δx＋3(Δx)2.

∴f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为ΔyΔx＝6x0·Δx＋3(Δx)2Δx＝6x0＋3Δx.

(2)当x0＝2，Δx＝0.1时，平均变化率为ΔyΔx＝6×2＋3×0.1＝12.3.

(3)ΔyΔx＝f(x′0)－f(x0)x′0－x0＝f(2.1)－f(2)2.1－2，它表示曲线f(x)＝3x2＋2上点A(2,14)，B(2.1,15.23)连线的斜率．

【典型例题2】已知某运动物体的位移公式为s＝s(t)＝12t2，求该运动物体在第2 s后的0.1 s内的平均速度．(位移单位：m，时间单位：s)

解：∵Δs＝s(2＋0.1)－s(2)，

∴Δs＝12×2.12－12×22＝0.205.

∴ΔsΔt＝0.2050.1＝2.05，即v＝ΔsΔt＝2.05(m/s)．

探究二 求瞬时速度

1．求运动物体瞬时速度的三个步骤