2018版高中数学北师大版必修一学案第三章 6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

学习目标 1.了解三种函数的增长特征。

2.初步认识“直线上升”“指数爆炸”和“对数增长”.3.尝试函数模型的简单应用．知识点一同类函数增长特点思考同样是增函数,当x从2变到3，y＝2x到y＝10x的纵坐标增加了多少？梳理当a〉1时，指数函数y＝a x是增函数,并且当a越大时,其函数值的增长就越快．当a>1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x〉0，n>1时,幂函数y＝x n是增函数，并且当x〉1时，n越大其函数值的增长就越快．知识点二指数函数、幂函数、对数函数的增长差异思考当x从1变到10，函数y＝2x,y＝x2和y＝lg x的纵坐标增长了多少?梳理一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管指数函数y＝a x(a>1）、幂函数y＝x n(n〉0)与对数函数y＝log a x（a〉1）都是增函数，但它们的增长速度不同,而且不在同一个档次上．随着x的增大，y＝a x（a>1)的增长速度越来越快，会远远超过幂函数y＝x n（n〉0)的增长速度，而对数函数y＝log a x（a>1）的增长速度越来越慢,因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有________________________（a>1,n>0)．类型一根据图像判断函数的增长速度例1函数f（x)＝2x和g（x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A（x1,y1),B（x2，y2)，且x1〈x2。

(1）请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；（2)结合函数图像，判断f(6），g（6)，f(2 013)，g(2 013)的大小．反思与感悟判断函数的增长速度，一个是从x增加相同量时,函数值的增长量的变化；另一方面，也可从函数图像的变化,图像越陡，增长越快．跟踪训练1函数f(x)＝lg x，g(x)＝0。

3x－1的图像如图所示．(1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)以两图像交点为分界点，对f(x),g(x)的大小进行比较．类型二函数增长模型的应用例2假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元;方案三:第一天回报0。

§4 对 数第1课时 对数及其运算学习目标 1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质(重点)；2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重、难点)．预习教材P78－79完成下列问题： 知识点一 对数的概念 (1)对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b .其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．(2)对数与指数的关系当a >0，且a ≠1时，a x ＝N ⇔x ＝log a N ． 【预习评价】1．将⎝⎛⎭⎫123＝18化为对数式正确的是( ) A ．log 12 3＝18B ．log 12 18＝3C ．log 18 12＝3D ．log 312＝18解析 由对数的定义知，若⎝⎛⎭⎫123＝18，则log 12 18＝3． 答案 B2．已知log x 16＝2，则x ＝________．解析 因为log x 16＝2，所以x 2＝16(x >0)，故x ＝4． 答案 4知识点二 常用对数和自然对数(1)常用对数：通常将以10 为底的对数叫作常用对数，并把log 10N 记为lg N ． (2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e ＝2.718 28…为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把log e N 记为ln N ．【预习评价】 1．log e 1＝( ) A ．1 B ．0 C ．2D ．－1解析 设log e 1＝x ，则e x ＝1＝e 0，故x ＝0．答案 B2．结合教材P79例1和例2，你认为指数式与对数式的互化应分哪几步？ 提示 第一步：将指(对)数式写成规范形式． 第二步：依对数的定义实现互化． 知识点三 对数的基本性质 (1)负数 和零 没有对数． (2)log a 1＝0 (a >0，且a ≠1)． (3)log a a ＝1 (a >0，且a ≠1)． 【预习评价】1．lg 10，lg 100，lg 0.01，ln 1，ln e 分别等于多少？ 提示 lg 10＝1，lg 100＝2，lg 0.01＝－2，ln 1＝0，ln e ＝1． 2．为什么对数式x ＝log a N 中规定底数a >0且a ≠1?提示 由于对数式x ＝log a N 中的a 来自于指数式a x ＝N 中的a ，所以当规定了a x ＝N 中的a >0，且a ≠1时，对数式x ＝log a N 中的a 也受到相同的限制．3．为什么负数和零没有对数？提示 由于a x ＝N >0，所以x ＝log a N 中的N >0．题型一 对数的概念【例1】 求下列各式中x 的取值范围．(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2． 解 (1)由题意得x －10>0，解得x >10．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1>0，且x －1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x >1，且x ≠2. ∴x >1，且x ≠2．(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2>0，x ＋1>0，且x ＋1≠1，解得x >－1，且x ≠0，x ≠1．规律方法 解决使对数式有意义的参数问题，只要根据对数的定义，由真数大于零、底数大于零且不等于1得到关于未知数(一般是x )的不等式(组)，解之即可．【训练1】 求f (x )＝log x 1－x1＋x的定义域．解 要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ≠1，1－x 1＋x >0.解得0<x <1．∴f (x )＝log x 1－x1＋x 的定义域为(0,1)．题型二 指数式与对数式的互化【例2】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)2－7＝1128；(2)3a ＝27；(3)log 12 32＝－5；(4)lg 0.001＝－3．解 (1)因为2－7＝1128，所以log 21128＝－7．(2)因为3a ＝27，所以log 327＝a ． (3)因为log 1232＝－5，所以⎝⎛⎭⎫12－5＝32．(4)因为lg 0.001＝－3，所以10－3＝0.001．规律方法 1.对数式与指数式关系图对数式log a N ＝b 是由指数式a b ＝N 变换而来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值N ，而对数值b 是指数式中的幂指数．2．并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a >0且a ≠1，N >0时，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N ．【训练2】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)54＝625；(2)log 216＝4；(3)10－2＝0.01；(4)log 5125＝6．解 (1)由54＝625，得log 5625＝4． (2)由log 216＝4，得24＝16． (3)由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2．(4)由log 5125＝6，得(5)6＝125.【探究1】 (1)若x ＝log 9127，则x ＝________．(2)log 2x ＝－3，则x ＝________．解析 (1)由x ＝log 9127可得9x ＝127，即32x ＝3－3，解得x ＝－32．(2)由log 2x ＝－3可得2－3＝x ，故x ＝18．答案 (1)－32 (2)18【探究2】 求下列各式中的x ． (1)log x 27＝32；(2)4x ＝5×3x ．解 (1)由log x 27＝32可得x 32 ＝27，即(x 32 )2＝(33)2，故x 3＝(32)3，又0<x <1且x ≠1，故x＝9．(2)因为4x＝5×3x，所以4x3x ＝5，即⎝⎛⎭⎫43x ＝5， 解得x ＝log 435．【探究3】 求下列各式中x 的值． (1)log (x ＋1)(2x －3)＝1； (2)log 3(log 4(log 5x ))＝0． 解 (1)由log (x ＋1)(2x －3)＝1可得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2x －3，2x －3>0，x ＋1>0，x ＋1≠1.解得x ＝4．(2)由log 3(log 4(log 5x ))＝0可得log 4(log 5x )＝1，故log 5x ＝4，所以x ＝54＝625． 规律方法 利用指数式与对数式的互化求变量值的策略 (1)已知底数与指数，用指数式求幂． (2)已知指数与幂，用指数式求底数． (3)已知底数与幂，利用对数式表示指数．课堂达标1．若log a b ＝c ，则a ，b ，c 之间满足( ) A ．a c ＝b B ．a b ＝c C ．c a ＝bD ．c b ＝a解析 利用log a N ＝b ⇔a b ＝N 可知a ，b ，c 应满足的关系式为a c ＝b ． 答案 A2．若3x ＝2，则x 等于( ) A ．log 23 B ．log 32 C ．32D ．23解析 3x ＝2⇔x ＝log 32． 答案 B3．若log 2m ＝3，则m ＝________． 解析 因为log 2m ＝3，所以m ＝23＝8． 答案 84．log 21＋log 22＝________．解析 由对数的性质知log 21＝0，log 22＝1，故原式＝1． 答案 15．将下列指数式与对数式互化． (1)log 216＝4；(2)⎝⎛⎭⎫143＝164． 解 (1)log 216＝4⇔24＝16． (2)⎝⎛⎭⎫143＝164⇔log 14164＝3． 课堂小结1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，a ≠1，N >0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)a log a N ＝N ．2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．3．指数式与对数式的互化。

《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计1．认识增长的概念，通过数表的直观，体会幂函数、指数函数、对数函数增长速度的差异． 2．通过函数增长的比较过程，学习比较的方法，积累选择直观方式和比较大小(快慢)的经验．重点：三类函数增长的结论，函数增长快慢比较的常用方法． 难点：通过数据分析表述函数增长快慢的理由．一、新课导入我们已经知道，给定常数a ，b ，c ，指数函数y =a x (a >1)、对数函数y =log b x (b >1)、幂函数y =x c (x >0，c >0)都是增函数；而且当x 的值趋近于正无穷大时，y 的值都是趋近于正无穷大的．那么，这3个增函数的函数值的增长快慢有什么差别呢?如果把自变量看作时间，我们来个函数增长快慢的赛跑，怎么样?设计意图：开门见山，永上启下，温故知新；以赛跑的生活化场景，拉近数学与生活的距离，增强趣味性和探究欲.二、新知探究问题1 怎么比较三个函数增长得快慢呢?（经过短时讨论，确定：先猜增长快慢的关系，再利用猜想的中间量，分别比较另外两个量，试图印证猜想.）猜想：三类函数的增长，指数函数最快，对数函数最慢． 追问 怎样实现两个函数增长的比较呢?经过短时讨论，一致认为要借助直观，要从具体的函数入手研究． 答案：图表是直观的，利用图表分析具体函数的增长． (1)先比较具体的y =x 12和y =log 2x ，观察下表． x 20 22 23 24 26 28 210 212 214 216 y =x 12 1 2 2√2 4 8 16 32 64 128 256 y =log 2x2346810121416（学生分析数表得出增长结论．）◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程结论：可以看出，当x的取值充分大时，幂函数y=x 12比对数函数y=log2x增长快，而且快很多．(2)再比较具体的y=2x和y=x100，观察下表：结论：可以看出，当x的取值充分大时，指数函数y=2x比幂函数y=x100增长快，而且快很多．设计意图：通过数形结合分析，形成全方位的直观感受．问题2：试着总结指数函数、对数函数、幂函数图象的特征．答案：追问：试对指数函数y=a x(a>1)、对数函数y=log b x(b>1) 、幂函数y=x c(x>0，c>0)的不同增长情况进行比较．答案：随着x的增大，y=a x的函数值增长远远大于y=x c的函数值增长；而y=x c的函数值增长又远远大于y=log b x的函数值增长．在区间(0，+∞)上，当a>1，c>0时，当x足够大时，随着x的增大，y=a x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x c的增长速度，而y=log b x的增长速度则越来越慢．因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，一定有a x>x c>log b x，指数函数值增长非常快，因而常称这种现象为”指数爆炸”．总结：（1）当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．（2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型．（3）函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上．三、应用举例例1 从前，有一个国王特别喜爱一项称为“国际象棋”的游戏，于是他决定奖赏国际象棋的发明者，满足他的一个心愿．“陛下，我深感荣幸，我的愿望是你赏我几粒米．”发明者说．“只是几粒米?”国王回答说．“是的，只要在棋盘的第一格放上一粒米，在第二格放上两粒米，在第三个加倍放上四粒米…,以此类推，每一格均是前一格的两倍，直到放慢棋盘为止，这就是我的愿望．”国王很高兴．“如此廉价便可以换的如此好的游戏，我的祖辈们一定是恩泽于我了．"国王想．于是国王大声地说“好!把棋盘拿出来让我的臣子们一起见证我们的协议”．国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗?解第x格放的米粒数显然符合指数函数f(x)=2x−1(x∈{1，2，3，…，64})，本题实际上是求64个函数值的和，我们不妨求f(64)=263≈9．22×1018．假定每1000颗麦子重40克，f(64)=3500亿吨．显然国王不能满足发明者的要求．例2 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案?解令第x天，回报为y元方案一：y=40方案二：y=10x(x∈N+)方案三：y=2x−1∙0.4(x∈N+)投资7天及以下选择方案一投资8-10天选择方案二投资11天及以上选择方案三．)内恒成立，求实数m的取值范围．例3若不等式x2−log m x<0在(0，12解分析：由x2−log m x<0得x2<log m x，把不等式的两边分别看做两个函数，利用数形结合的方法，通过图像进行转化．在同一坐标系中作y=x2和y=log m x的图象，要使x2<log m x在(0，12)内恒成立，只需y=log m x在y=x2的图像的上方，于是0<m<1，∵x=12时，y=x2=14，∴只要x=12时，y=log m12⩾14=log m m14∴12⩽m14，即116⩽m，又0<m<1，所以116⩽m<1，故m取值范围为[116，1)．四、课堂练习1．对于函数y=3x与y=x3：(1)通过计算或借助绘图工具求这两个函数图象的交点个数；(2)y=3x比y=x3增长得快，通过分析它们的图象解释其含义．参考答案：1．（1）通过软件绘图可以得到两个函数有两个交点．(2)这两个函数有两个交点，在第一个交点前，y=3x的图象一直在y=x3的图象上方，过了第一个交点直至第二个交点之间y=x3在y=3x的图象的上方，多了第二个交点后y=3x图象一直在y=x3的上面．五、课堂小结当b>l，c>0 时，即使b很接近于1，c很接近于0，都有y=x c比y=log b x增长快．当a>1，c>0时，即使a很接近于1，c很大，都有y=a x比y=x c增长快．y=a x(a>1) 随着自变量x的增大，y=a x的函数值增长远远大于y=x c的函数值增长；而y=x c的函数值增长又远远大于y=log b x的函数值增长．当a>1时指数函数值增长非常快，因而常称这种现象为”指数爆炸”．六、布置作业教材第113页习题4-3A 组第1-6题﹒。

北师大版高中必修1第三章指数函数和对数函数课程设计课程概述本课程是北师大版高中必修1数学教材中的第三章，涉及到指数函数和对数函数的内容，是初步掌握高中数学知识必不可少的一部分。

该课程旨在通过讲授基本概念、公式及解题方法，帮助学生掌握指数函数与对数函数的基本概念及其在各领域中的应用，使学生在高考及学习中具备基本的数学能力。

教学目标1.掌握指数函数与对数函数的基本概念及其关系。

2.理解指数函数与对数函数的性质、公式和特点。

3.初步掌握指数函数与对数函数的应用，包括利用指数函数与对数函数解决实际问题。

4.培养学生的数学思维和解题能力。

教学内容本课程包括以下6个主要内容：1.指数函数的定义和性质2.对数函数的定义和性质3.指数函数与对数函数的关系4.指数函数和对数函数的图像及性质5.指数方程和对数方程的解法6.指数函数和对数函数在各领域中的应用教学方法本门课程采用举例法、问题解决法、探究法、比较法等多种教学方法，主要以课堂讲授为主，结合小组讨论、案例分析等形式，帮助巩固所学知识点。

课程考核本课程的考核主要分为两部分：平时作业和期末考试。

平时作业包括课堂练习、课后习题和小组讨论，占总成绩的40%。

期末考试包括选择题、填空题和解答题，占总成绩的60%。

课程安排时间内容主要内容第1周指数函数基本概念和性质第2周对数函数基本概念和性质第3周指数函数与对数函数的关系导出定义和公式第4周指数函数和对数函数的图像图像及性质第5周指数方程和对数方程解法及应用第6周应用题工程、科学和生活方面应用教学资源1.电子讲义：包括课程的主要知识、公式、例题和习题讲解等，以电子文档形式提供给学生。

2.经典教案：以已教授的典型案例为主，涉及到各个知识点的应用，供学生巩固教学内容。

3.课外习题及解答：提供各种不同类型、难度不同的习题和解答，供学生进行巩固和自测。

教学反思本门课程针对高中必修1数学，通过讲授基本概念、公式及解题方法，帮助学生初步掌握指数函数与对数函数相关知识。

3 指数函数(一)学习目标 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图像的性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域．知识点一指数函数思考细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？梳理一般地，________________________叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．特别提醒：(1)规定y＝a x中a>0，且a≠1的理由：①当a≤0时，a x可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，a x＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝a x中a>0，且a≠1.(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数；②指数函数的自变量必须位于指数的位置上；③a x的系数必须为1；④指数函数等号右边不会是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数．知识点二指数函数的图像和性质思考函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？梳理指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图像和性质：类型一 求指数函数的解析式例1 已知指数函数f (x )的图像过点(3，π)，求函数f (x )的解析式．反思与感悟(1)根据指数函数的定义，a是一个常数，a x的系数为1，且a>0，a≠1.指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数．(2)要求指数函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．跟踪训练1 已知指数函数y＝(2b－3)a x经过点(1,2)，求a，b的值．类型二求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域命题角度1 f a x 型例2 求下列函数的定义域、值域．(1)y＝3x1＋3x；(2)y＝4x－2x＋1.反思与感悟 解此类题的要点是设a x＝t ，利用指数函数的性质求出t 的范围，从而把问题转化为y ＝f (t )的问题．跟踪训练2 求下列函数的定义域与值域． (1)y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x； (2)y ＝a x －1a x ＋1(a >0，且a ≠1)．命题角度2 af x型例3 求函数y ＝ 32x －1－19的定义域、值域．反思与感悟 y ＝af (x )的定义域即f (x )的定义域，求y ＝af (x )的值域可先求f (x )的值域，再利用y ＝a t的单调性结合t ＝f (x )的范围求y ＝a t的范围． 跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域．(1)110.3;x y -= (2)y =类型三 指数函数图像的应用 命题角度1 指数函数整体图像例4 在如图所示的图像中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ax 的图像可能是( )反思与感悟 函数y ＝a x的图像主要取决于0<a <1还是a >1.但前提是a >0且a ≠1. 跟踪训练4 已知函数f (x )＝4＋a x ＋1的图像经过定点P ，则点P 的坐标是( )A ．(－1,5)B ．(－1,4)C ．(0,4)D ．(4,0)命题角度2 指数函数局部图像例5 若直线y ＝2a 与函数y ＝|2x－1|的图像有两个公共点，求实数a 的取值范围．反思与感悟 指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现了指数函数图像的“原料”作用．跟踪训练5 函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( )1．下列各函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝(－3)xB ．y ＝－3xC ．y ＝3x －1D ．y ＝(13)x2．若函数y ＝(2a －1)x(x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( ) A ．a >0，且a ≠1 B ．a ≥0，且a ≠1 C ．a >12，且a ≠1D ．a ≥123．函数23x y -=的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(0,1]D ．[－1,0)4．函数f (x )＝ax －b的图像如图所示，其中a ，b 均为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <05．函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)这一结构形式，即a x的系数是1，指数是x 且系数为1.2．指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的性质分底数a ＞1,0＜a ＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．3．由于指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的定义域为R ，即x ∈R ，所以函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)与函数f (x )的定义域相同． 4．求函数y ＝af (x )(a ＞0，且a ≠1)的值域的方法如下：(1)换元，令t ＝f (x )，并求出函数t ＝f (x )的定义域； (2)求t ＝f (x )的值域t ∈M ；(3)利用y ＝a t的单调性求y ＝a t在t ∈M 上的值域．答案精析问题导学 知识点一思考 y ＝2x .它的底为常数，自变量为指数，而y ＝x 2恰好反过来． 梳理 函数y ＝a x(a >0，且a ≠1) R 知识点二思考 函数的性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性．可以通过描点作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般． 梳理 (0,1) 0 1 y >1 0<y <1 0<y <1 y >1 增函数 减函数 题型探究例1 解 设f (x )＝a x，将点(3，π)代入，得到f (3)＝π， 即a 3＝π，解得a ＝π13，于是f (x )＝π3x .跟踪训练1 解 由指数函数定义可知2b －3＝1，即b ＝2. 将点(1,2)代入y ＝a x，得a ＝2.例2 解 (1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R,3x≠－1)． ∵y ＝ 1＋3x－11＋3x ＝1－11＋3x ，又∵3x>0,1＋3x >1，∴0<11＋3x <1，∴－1<－11＋3x <0，∴0<1－11＋3x <1，∴值域为(0,1)．(2)定义域为R ，y ＝(2x )2－2x＋1 ＝(2x－12)2＋34，∵2x >0，∴2x＝12，即x ＝－1时，y 取最小值34，同时y 可以取一切大于34的实数，∴值域为[34，＋∞)．跟踪训练2 解 (1)∵1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1，解得x ≥0， ∴原函数的定义域为[0，＋∞)．令t ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≥0)，则0≤t <1，∴0≤t <1，∴原函数的值域为[0,1)． (2)原函数的定义域为R .方法一 设a x＝t ，则t ∈(0，＋∞)．y ＝t －1t ＋1＝t ＋1－2t ＋1＝1－2t ＋1. ∵t >0，∴t ＋1>1， ∴0<1t ＋1<1，∴－2<－2t ＋1<0， ∴－1<1－2t ＋1<1. 即原函数的值域为(－1,1)．方法二 由y ＝a x －1a x ＋1(a >0，且a ≠1)，得a x＝－y ＋1y －1. ∵a x >0，∴－y ＋1y －1>0，∴－1<y <1. ∴原函数的值域是(－1,1)． 例3 解 要使函数有意义， 则x 应满足32x －1－19≥0， 即32x －1≥3－2.∵y ＝3x在R 上是增函数， ∴2x －1≥－2，解得x ≥－12.故所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. 当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞时，32x －1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫19，＋∞.∴32x －1－19∈[0，＋∞)． ∴原函数的值域为[0，＋∞)．跟踪训练3 解 (1)由x －1≠0，得x ≠1， 所以函数定义域为{x |x ≠1}． 由1x －1≠0，得y ≠1， 所以函数值域为{y |y >0且y ≠1}． (2)由5x －1≥0，得x ≥15，所以函数定义域为{x |x ≥15}．由5x －1≥0，得y ≥1， 所以函数值域为{y |y ≥1}．例4 A [根据图中二次函数图像可知c ＝0， ∴二次函数y ＝ax 2＋bx ，∵b a>0， ∴二次函数的对称轴为x ＝－b2a <0，排除B 、D.对于A ，C ，都有0<b a<1， ∴－12<－b2a <0，C 不符合．故选A.]跟踪训练4 A [当x ＋1＝0，即x ＝－1时，a x ＋1＝a 0＝1，为常数，此时f (x )＝4＋1＝5. 即点P 的坐标为(－1,5)．]例5 解 y ＝|2x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x <0，2x－1，x ≥0，图像如下：11 由图可知，要使直线y ＝2a 与函数y ＝|2x －1|的图像有两个公共点，需0<2a <1，即0<a <12. 跟踪训练5 B [函数y ＝a |x |是偶函数，当x >0时，y ＝a x.由已知a >1，故选B.] 当堂训练1．D 2.C 3.C 4.D 5.A。

第三章 指数、对数、幂函数教学目的：（1）掌握根式的概念；（2）规定分数指数幂的意义；（3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化；（4）理解有理指数幂的含义及其运算性质；（5）了解无理数指数幂的意义教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂．教学过程：一、 引入课题1． 以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性2． 由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；3． 复习初中整数指数幂的运算性质；n n n mnn m nm n m b a ab a a a a a ===⋅+)()(4． 初中根式的概念；如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根；二、 新课教学（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根（n throot ），其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示．式子n a 叫做根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）．当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ．思考：（课本P 58探究问题）n n a =a 一定成立吗？．（学生活动）结论：当n 是奇数时，a a n n= 当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 例1．（教材P 58例1）．解：（略）巩固练习：（教材P 58例1）2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a a a n m n mn m0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．3．有理指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>；（2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>．引导学生解决本课开头实例问题例2．（教材P 60例2、例3、例4、例5）说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用．巩固练习：（教材P 63练习1-3）4． 无理指数幂结合教材P 62实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．思考：（教材P 63练习4）巩固练习思考：：（教材P 62思考题）例3．（新题讲解）从盛满1升纯酒精的容器中倒出31升，然后用水填满，再倒出31升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？解：（略）点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题．三、 归纳小结，强化思想本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．四、 作业布置1． 必做题：教材P 69习题2．1（A 组） 第1－4题．2． 选做题：教材P 70习题2．1（B 组） 第2题．课题：§2.1.2指数函数及其性质教学任务：（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．教学重点：指数函数的的概念和性质．教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．教学过程：五、引入课题（备选引例）5．（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．○1按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？○2到2050年我国的人口将达到多少？○3你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？6．上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？7．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？8．上面的几个函数有什么共同特征？六、新课教学（一）指数函数的概念一般地，函数)1y x≠>=且叫做指数函数（exponentialaa,0a(function），其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：○1指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；○2注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1．巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材P 68例2、3）（二）指数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．探索研究：1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：（1）x )31(y = （2）x )21(y = （3）x 2y =（4）x 3y =（5）x 5y =2．从画出的图象中你能发现函数x 2y =的图象和函数x )21(y =的图象有什么关系？可否利用x2y =的图象画出x )21(y =的图象？ 3．从画出的图象（x 2y =、x 3y =和x 5y =）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？9． 利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；（4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21<；（三）典型例题例1．（教材P 66例6）．解：（略）问题：你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？例2．（教材P 66例7）解：（略）问题：你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？说明：规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式．巩固练习：（教材P 69习题A 组第7题）七、 归纳小结，强化思想本节主要学习了指数函数的图象，及利用图象研究函数性质的方法．八、作业布置3．必做题：教材P69习题2．1（A组）第5、6、8、12题．4．选做题：教材P70习题2．1（B组）第1题．课题：§2.2.1对数教学目的：（1）理解对数的概念；（2）能够说明对数与指数的关系；（3）掌握对数式与指数式的相互转化．教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化教学难点：对数概念的理解．教学过程：九、引入课题10．（对数的起源）价绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性；设计意图：激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神．11．尝试解决本小节开始提出的问题．十、新课教学1．对数的概念一般地，如果Na x=)1>aa，那么数x叫做以．a为底(≠,0．．N的对数（Logarithm ），记作：N x a log =a — 底数，N— 真数，N a log — 对数式说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2N N a a x =⇔=log ○3 思考：○1 为什么对数的定义中要求底数0>a ，且1≠a ； ○2 是否是所有的实数都有对数呢？ 设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备． 两个重要对数：○1 常用对数（common logarithm ）：以10为底的对数N lg ；○2 自然对数（natural logarithm ）：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数Nln ．2． 对数式与指数式的互化x N a =log⇔ N a x =对数式 ⇔ 指数式对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数 ← N → 幂例1．（教材P 73例1）巩固练习：（教材P 74练习1、2）设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深理解对数概念．说明：本例题和练习均让学生独立阅读思考完成，并指出对数式与指数式的互化中应注意哪些问题． 3． 对数的性质 （学生活动）○1 阅读教材P 73例2，指出其中求x 的依据； ○2 独立思考完成教材P 74练习3、4，指出其中蕴含的结论 对数的性质（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：01log =a ； （3）底数的对数是1：1log =a a ；（4）对数恒等式：N a Na=log ；（5）n a n a =log ． 十一、 归纳小结，强化思想 ○1 引入对数的必要性； ○2 指数与对数的关系； ○3 对数的基本性质． 十二、 作业布置教材P 86习题2．2（A 组） 第1、2题，（B 组） 第1题．课题：§2.2.2对数函数（一）教学任务：（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；（2）能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；（3）通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法．教学重点：掌握对数函数的图象和性质．教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用．教学过程：十三、引入课题1．（知识方法准备）○1学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？设计意图：结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函数性质的方法——借助图象研究性质．○2对数的定义及其对底数的限制．设计意图：为讲解对数函数时对底数的限制做准备．2．（引例）教材P 81引例处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表：然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系P t 215730log=，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数” ．（进而引入对数函数的概念） 十四、 新课教学 （一）对数函数的概念 1．定义：函数(l o g >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数（logarithmic function ）其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 巩固练习：（教材P 68例2、3） （二）对数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究：○1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）（1） x y 2log = （2） x y 21log =（3） x y 3log = （4） x y 31log =○2 类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格：○3 思考底数a 是如何影响函数x y a log =的．（学生独立思考，师生共同总结）规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大． （三）典型例题例1．（教材P 83例7）． 解：（略）说明：本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对对数函数的理解． 巩固练习：（教材P 85练习2）．例2．（教材P83例8）解：（略）说明：本例主要考察学生利用对数函数的单调性“比较两个数的大小”的方法，熟悉对数函数的性质，渗透应用函数的观点解决问题的思想方法．注意：本例应着重强调利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的方法，规范解题格式．巩固练习：（教材P85练习3）．例2．（教材P83例9）解：（略）说明：本例主要考察学生对实际问题题意的理解，把具体的实际问题化归为数学问题．注意：本例在教学中，还应特别启发学生用所获得的结果去解释实际现象．巩固练习：（教材P86习题2．2 A组第6题）．十五、归纳小结，强化思想本小节的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质．在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质是本小节的重点．十六、作业布置5．必做题：教材P86习题2．2（A组）第7、8、9、12题．6． 选做题：教材P 86习题2．2（B 组） 第5题．课题：§2.2.2对数函数（二）教学任务：（1）进一步理解对数函数的图象和性质；（2）熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题；（3）通过例题和练习的讲解与演练，培养学生分析问题和解决问题的能力． 教学重点：对数函数的图象和性质． 教学难点：对对数函数的性质的综合运用． 教学过程： 十七、 回顾与总结 1． 函数xy x y x y lg ,log ,log 52===的图象如图所示，回答下列问题．（1）说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么？（2）函数x y a log =与x y a1log =,0(>a 且)0≠a 有什么关系？图象之间 又有什么特殊的关系？○1 ○2 ○3（3）以x y x y x y lg ,log ,log 52===的图象为基础，在同一坐标系中画出x y x y x y 1015121log ,log ,log ===的图象．（4）已知函数xy x y x y x y a a a a 4321log ,log ,log ,log ====的图象，则底数之间的关系：． 教log =y x a1 log =y x a2 log =y x a3 log =y x a42． 完成下表（对数函数x y a log =,0(>a 且)0≠a 的图象和性质）3． 根据对数函数的图象和性质填空．○1 已知函数x y 2log =，则当0>x 时，∈y ；当1>x 时，∈y ；当10<<x 时，∈y ；当4>x 时，∈y ．○1 已知函数x y 31log =，则当10<<x 时，∈y ；当1>x 时，∈y ；当5>x 时，∈y ；当20<<x 时，∈y ；当2>y 时，∈x ．十八、 应用举例例1． 比较大小：○1 πa log ，e a log ,0(>a 且)0≠a ；○2 21log 2，)1(log 22++a a )(R a ∈． 解：（略）例2．已知)13(log -a a 恒为正数，求a 的取值范围． 解：（略）[总结点评]：（由学生独立思考，师生共同归纳概括）．．例3．求函数)78lg()(2-+-=x x x f 的定义域及值域． 解：（略）注意：函数值域的求法．例4．（1）函数x y a log =在[2，4]上的最大值比最小值大1，求a 的值；（2）求函数)106(log 23++=x x y 的最小值． 解：（略）注意：利用函数单调性求函数最值的方法，复合函数最值的求法．例5．（2003年上海高考题）已知函数xx xx f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性． 解：（略）注意：判断函数奇偶性和单调性的方法，规范判断函数奇偶性和单调性的步骤．例6．求函数)54(log )(22.0++-=x x y x f 的单调区间． 解：（略）注意：复合函数单调性的求法及规律：“同增异减”． 练习：求函数)23(log 221x x y --=的单调区间．十九、 作业布置 考试卷一套课题：§2.2.2对数函数（三）教学目标：知识与技能理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对函数的模型化思想的理解．过程与方法通过作图，体会两种函数的单调性的异同．情感、态度、价值观对体会指数函数与对数函数内在的对称统一．教学重点：重点难两种函数的内在联系，反函数的概念．难点反函数的概念．教学程序与环节设计：由函数的观点分析例题，引出反函数的概念．教学过程与操作设计：课题：§2.3幂函数教学目标：知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．教学重点：重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．教学程序与环节设计：问题引入．教学过程与操作设计：课题：§3.1.1方程的根与函数的零点教学目标：知识与技能理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．过程与方法零点存在性的判定．情感、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．教学重点：重点零点的概念及存在性的判定．难点零点的确定．教学程序与环节设计：结合二次函数引入课题．研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符号，并尝试进行系统的总结．教学过程与操作设计：。

6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(1)指数函数、对数函数、幂函数为增函数的前提条件当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x＞0，n＞0时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．(2)具体的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(只考虑x＞0的情况)在同一直角坐标系内利用几何画板软件作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的图像(如图)．从图中可以观察出，y＝2x与y＝x2有两个交点：(2,4)和(4,16)，当0＜x＜2时，2x＞x2；当2＜x＜4时，2x＜x2；当x＞4时，2x＞x2恒成立，即y＝2x比y＝x2增长得快；而在(0，＋∞)上，总有x2＞log2x，即y＝x2比y＝log2x增长得快．由此可见，在(0,2)和(4，＋∞)上，总有2x＞x2＞log2x，即y＝2x增长得最快；在(2,4)上，总有x2＞2x＞log2x，即y＝x2增长得最快．(3)一般的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较改变指数函数、对数函数的底数和幂函数的指数，重新作图，观察图像会发现这三种函数的增长情况具有一定的规律性．一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论a比n小多少，尽管在x的一定范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n 的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n；同样的，对于对数函数y＝log a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定区间内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝a(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(x＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x＜a.由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”．析规律三种函数模型的性质【例1．解析：根据表格中数据可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，其中变量y4的值随变量x的增长越来越小，故变量y4不关于x呈指数函数增长，变量y1，y2，y3的值都随变量x的增长越来越大，其中变量y2的值增长速度最快，所以变量y2关于x呈指数型函数增长．答案：y2析规律函数值的增加量在指数函数、幂函数、对数函数三种增加的函数中，当自变量增加相同的量时，指数函数的函数值增加量最大．【例1－2】在给出的四个函数y＝3x，y＝x3，y＝3x，y＝log3x中，当x∈(3，＋∞)时，其中增长速度最快的函数是()．A．y＝3x B．y＝3xC．y＝x3D．y＝log3x解析：随着x的增大，函数y＝a x(a＞1)的增速会远远超过y＝x n(n＞0)的增速，而函数y ＝log a x(a＞1)的增长速度最慢．故选B.答案：B2．增长型函数模型在实际问题中的应用根据题意，选用合适的增长型函数模型，进行一些简单的应用是本节重点，其选择的标准是：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．我们要熟悉指数函数、对数函数和幂函数的图像及性质，对题目的具体要求进行抽象概括，灵活地选取和建立数学模型．例如，根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨．有关专家预测，到2011年我国能源生产总量将达到25.6亿吨，则专家是选择下列哪一种类型函数作为模型进行预测的()．A．一次函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数解答：本题不需要写出函数解析式，只需根据函数值的变化规律作出判断即可．从1986年起第一个五年增长了1.8亿吨，第二个五年增长了2.5亿吨，每五年的增长速度不同，故不是一次函数；假设是指数函数，由“指数爆炸”以及前五年的增长速度可知，从1986年到2011年25年的时间，2011年的产值将很大，故不是指数函数；对数函数的增长速度较慢，不符合题意．由以上分析，此函数模型可能是幂函数类型，结合本题的数字特点，可判断是二次函数．故选B.【例2】某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不能超过5万元，同时奖金不能超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，即当x∈[10,1 000]时，能够满足y≤5，且yx≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0. 25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像如下图所示：观察图像发现，在区间[10,1 000]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在y＝5的上方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上是单调递增的，当x∈(20,1 000)时，y＞5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝1.002x，利用计算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函数，故当x∈(806,1 000]时，y＞5，因此，也不符合题意．对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上单调递增且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合资金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，资金是否超过利润x的25%，即当x∈[10,1 000]时，利用计算器或计算机作f(x)＝log7x＋1－0.25x的图像，由图像可知f(x)是减函数，因此f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以当x∈[10,1 000]时，y＜0.25x.这说明，按模型y＝log7x＋1奖励不超过利润的25%.综上所述，模型y＝log7x＋1确实符合公司要求．析规律不同函数类型增长的含义从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增长的含义．3．利用三种函数的图像解决与方程和不等式有关的问题利用指数函数、对数函数和幂函数图像的直观性，可解决与方程和不等式有关的问题，如判断方程是否有解、解的个数，方程根的分布情况等．把解方程和不等式问题转化为函数问题，这是函数思想和转化与化归思想的运用．例如，方程log2(x＋4)＝3x解的个数是()．A．0B．1C．2D．3我们可以在同一坐标系中画出对数型函数y ＝log 2(x ＋4)和指数函数y ＝3x 的图像(其中，y ＝log 2(x ＋4)的图像由y ＝log 2x 的图像向左平移4个单位长度得到)，如图所示．由图像可以看出，它们有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，即方程log 2(x ＋4)＝3x 的解为x＝x 1或x ＝x 2，因此，方程的解有两个．又如，若x 满足－3＋log 2x ＝－x ，则x 属于区间( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．[2,3)D ．(3,4)由－3＋log 2x ＝－x ，得log 2x ＝3－x ，在同一坐标系中作出对数函数y ＝log 2x 和一次函数y ＝3－x 的图像，如图所示．观察图像可知，若log 2x ＝3－x ，则x 的取值在1与3之间，又知log 22＝1,3－2＝1，故选C.【例3－1】已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的解，x 2是方程x ＋10x ＝3的解，则x 1＋x 2＝( )．A ．6B ．3C ．2D ．1解析：方程x ＋lg x ＝3可化为lg x ＝3－x ，方程x ＋10x ＝3可化为10x ＝3－x .在同一直角坐标系中画出函数y ＝lg x ，y ＝10x 和y ＝3－x 的图像，由于y ＝lg x 与y ＝10x 互为反函数，所以它们的图像关于直线y ＝x 对称．又因为直线y ＝3－x 与y ＝x 垂直，由3,y x y x =-⎧⎨=⎩得，两直线的交点P 的坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.由题意知，y ＝lg x 与y ＝3－x 交点A 的横坐标为x 1，y ＝10x 与y ＝3－x 交点B 的横坐标为x 2.因为点A ，B 关于P 对称，所以，由线段的中点坐标公式得12322x x +=，即x ＋x 2＝3. 答案：B谈重点 线段AB 的中点坐标公式在平面直角坐标系中，若点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，则线段AB 的中点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.【例3－2】若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，求实数m 的取值范围． 解：设y 1＝x 2，y 2＝log m x .若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则0＜m ＜1.两个函数的图像如图所示．当12x =时，211124y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.若两函数图像在12x =处相交，则214y =， 由11log 24m =得1412m =，即411216m ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，根据底数m 对函数y ＝log m x 图像的影响可知，实数m 的取值范围为1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【例3－3】方程2x ＝x 2有多少个实数根？解：在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 和y ＝x 2的图像．可以看出，在y 轴左侧，两个函数的图像有一个交点，而在y 轴右侧有两个交点(2,4)和(4,16)．当x ＞4时，指数函数y ＝2x 的增长快于幂函数y ＝x 2的增长，这就是说在x ＞4时，指数函数y＝2x与幂函数y＝x2的图像没有交点，因此方程2x＝x2有3个实数根．。