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求二次函数在某一区间上的最值求二次函数在某一区间上的最值问题，是函数中的一个重要问题。
下面我就分别按以下的三种类型来详细讨论这类问题。
类型一：定轴定区间问题例1、已知函数()22[1,)x x a f x x x++=∈+∞，若对于任意的[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立， 求实数a 的取值范围。
略解：因为1x ≥时，()0f x >恒成立，所以220x x a ++>恒成立，即函数22y x x a =++ 在1x ≥时恒成立，又min 3y a =+，所以30a +>，即3a >-例2、若函数221(0,1)x x y a a a a =+->≠在区间[]1,1-的最大值为14，求a 的值 解一：设x t a =，即0t > ,那么()()222112f t t t t =+-=+- 当1a >时，1a t a -≤≤，此时，()2max 1214y a =+-= 3a ∴=当01a <<时，1a t a -≤≤，此时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 13a ∴= ∴3a =或13a = 解二：函数()212x y a =+- (0,1)a a >≠在区间[]1,1-上y 随x a 的增大而增大，当1a >时，()max xa a =，故()2max 1214y a =+-= 3a ∴= 当01a <<时，()max 1xa a = ，故 2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 13a ∴= 综上3a =或13a = 类型二：动轴定区间问题例3、若函数23y x ax =++在区间[]1,1-的最小值为－3，求a 的值略解：原函数即为：22324a a y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭ ① 若轴2a x =-在区间内，则11232a a f ⎧-≤-≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，即 222334a a -≤≤⎧⎪⎨-=-⎪⎩ ∴a ∈∅ ② 若轴2a x =-在区间右侧，则()1213a f ⎧->⎪⎨⎪=-⎩，即243a a <-⎧⎨+=-⎩ ∴7a =- ③ 若轴2a x =-在区间左侧，则()1213a f ⎧-<-⎪⎨⎪-=-⎩ ，即233a a >⎧⎨-=-⎩ ∴7a = 所以a 7=±类型三： 定轴动区间问题例4、若函数222y x x =-+在区间[],1m m +的最大值为5，求m 的值略解：原函数即为：()2()11f x x =-+① 若轴1x =在区间内左侧，即()112111112m m m m m ≤≤+⎧⎪+⎨⎛⎫-≤+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或，这时()15f m += 由上可解得：1122m m ⎧≤≤⎪⎨⎪=±⎩，∴m ∈∅② 若轴1x =在区间内右侧，即()112111112m m m m m ≤≤+⎧⎪+⎨⎛⎫-≥+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩或，这时()5f m = 由上可解得：10213m m m ⎧≤≤⎪⎨⎪=-=⎩或，∴m ∈∅ ③ 若轴1x =在区间左侧，即1m >，这时()15f m +=，由上可解得2m = ④ 若轴1x =在区间右侧，即11m +<，这时()5f m =，由上可解得1m =- 综上可知：12m m =-=或练习：是否存在实数a ,使函数()22f x x ax a =-+的定义域为[]11,-，值域为[]22,-；若存在，求出实数a的值，若不存在，说明理由. 答案：1a。
本稿件适合高三高考复习用有关函数最值问题 的十二种解题方法与策略贵州省龙里中学高级教师 洪其强（551200）一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数(,)f x y 的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数(,)f x y 化为在给定区间上求一元函数的最值问题。
例1、已知x 、y R ∈且223260x y x +-=，求222x y +的值域。
解：由223260x y x +-=得222360y x x =-+≥，即02x ≤≤。
2222392262()22x y x x x +=-+=--+∴当32x =时，222xy +取得最大值92；当0x =时，222x y +取得最小值0。
即222x y +的值域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0∆≥来求出()f x 的最值。
例2、求函数22()1xf x x x =++的最值。
解：由22()1xf x x x =++得 []2()()2()0f x x f x x f x +-+=，因为x R ∈，所以0∆≥，即[]22()24()0f x f x --≥，解得22()3f x -≤≤。
因此()f x 的最大值是23，最小值是－2。
三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。
例3、求2()234x x f x +=-在区间[]1,0-内的最值。
解：配方得 2224()2343(2)33x x x f x +=-=--+[]1,0x ∈- ，所以 1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =时，()f x 取得最大值43；当21x =即0x =时()f x 取得最小值1。
四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为()sin cos f x a x b x =+(a、b均为常数），则可用辅助角公式sin cos arctan )ba xb x x a+=+来求函数()f x 的最值。
三角函数求最值五种题型一、最值问题的一般解法：求解三角函数的最值问题可以分为以下五种题型：基本最大、基本最小、最大最小（上下界）、最大、最小。
1.基本最大：即求函数的最大值，通常通过对函数进行求导并令导数为零来求得。
这种情况下，需求导数在给定区间内的零点，并进行极值判断来确定最值。
2.基本最小：与基本最大相反，求函数的最小值，同样需要对函数进行求导并求导数为零，进行极值判断来确定最值。
3.最大最小（上下界）：在给定区间内求函数的最大最小值，需将区间的端点以及函数的驻点和不可导点的值进行比较，以确定最大最小值。
4.最大：在给定区间内寻找函数的最大值。
可以通过对函数进行求导来确定驻点和不可导点，并与区间的端点进行比较，以确定最大值。
5.最小：在给定区间内寻找函数的最小值。
同样可以通过求导来确定驻点和不可导点，并与区间的端点进行比较，以确定最小值。
二、详细解答五种题型：以下是对上述五种题型的详细解答：1.基本最大：Example 1: 求函数f(x) = sin(x)的最大值。
解：首先求得导数f'(x) = cos(x)，令cos(x) = 0，解得x = π/2 + kπ，其中k为整数。
然后对于x = π/2 + kπ，求得对应的函数值f(x) = sin(π/2 +kπ) = (-1)^k，即奇数项取最大值为1，偶数项取最小值为-1所以函数f(x) = sin(x)的最大值为12.基本最小：Example 2: 求函数f(x) = cos(x)的最小值。
解：同样求导得到f'(x) = -sin(x)，令-sin(x) = 0，解得x = kπ，其中k为整数。
然后对于x = kπ，求得对应的函数值f(x) = cos(kπ) = (-1)^k，即奇数项取最小值为-1，偶数项取最大值为1所以函数f(x) = cos(x)的最小值为-13.最大最小（上下界）：Example 3: 在区间[0, 2π]内，求函数f(x) = 2sin(x) + cos(x)的最大最小值。
高中数学最值问题高中数学最值问题最值问题是高中数学中非常重要的一个知识点。
它涉及到了函数的最大值和最小值，以及在特定条件下取得最大值和最小值的方法。
在解决最值问题时，我们需要运用一些数学方法和技巧，同时也需要一些数学思维和逻辑推理的能力。
首先，我们来回顾一下函数的最值。
对于一个实数函数f(x)，我们称f(x)的最大值为f(x)的最大值，记作f(x)的最小值为f(x)的最小值，记作。
在数学中，我们通常将最值问题转化为求解函数的最值问题。
对于一个给定的函数f(x)，我们需要找到它的最大值或最小值所对应的自变量的取值。
解决最值问题的方法有很多种，下面我们将介绍几种常用的方法。
一、导数法导数法是解决最值问题的一种常用方法。
通过求解函数的导数，我们可以得到函数的极值点。
具体的步骤如下：1.求解函数的导数f'(x)。
2.求解导数f'(x)的零点，即求解方程f'(x)=0。
3.将解得的零点代入原函数f(x)，求解函数的值f(x)。
4.比较函数f(x)在零点和区间的端点处的值，找出最大值或最小值。
通过导数法，我们可以比较方便地求解函数的最值问题。
但是需要注意的是，导数法只能得到函数的极值点，而不能得到函数的最值。
有时候，函数的最值可能出现在极值点之外。
二、直接比较法直接比较法是一种简单直观的方法，适用于一些简单的最值问题。
具体的步骤如下：1.将函数的表达式进行变形，使得函数的取值范围更明确。
2.对于函数的自变量的取值范围，通过逐个比较函数的值，找出最大值或最小值。
直接比较法的优点是简单易懂，但是它只适用于一些简单的最值问题。
对于复杂的最值问题，我们需要运用其他的方法。
三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是解决约束条件下的最值问题的一种方法。
对于一个多元函数f(x1, x2, , xn)，我们假设函数存在一个约束条件g(x1, x2, , xn)=0。
我们需要求解函数f(x1, x2, , xn)在满足约束条件的情况下的最大值或最小值。
二次函数动轴定区间最值问题对于二次函数动轴定区间最值问题，我们可以通过以下步骤解决：
1. 首先，要确定二次函数的开口方向。
如果二次函数的二次项系数大于零，则抛物线向上开口，最值为最小值；如果二次函数的二次项系数小于零，则抛物线向下开口，最值为最大值。
2. 接下来，找到二次函数的顶点坐标。
二次函数的顶点坐标可以通过使用公式 h = -b / (2a) 来计算，其中 a 是二次项系数，b 是一次项系数。
3. 根据找到的顶点坐标，可以确定二次函数的动轴位置。
动轴是与抛物线对称的直线，通过顶点的中垂线。
4. 根据确定的动轴位置，可以划定出二次函数的区间。
5. 最后，根据开口方向和区间的限制条件，确定二次函数在该区间内的最值。
需要注意的是，如果给定的区间超出了二次函数的定义域，则该区间内没有最值。
通过以上步骤，可以解决二次函数动轴定区间最值问题，并找到相应的最值点。
二次函数在特定区间的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a=-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a -，无最小值． 在这个基础上还有当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．以及二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．一般范围类：分为正向型和逆向型两大类（一）、正向型是指已知二次函数和自变量的范围，求其最值。
对称轴与自变量的取值范围的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
初中阶段，我们一般情况下只研究前3类。
第4类，学有余力的同学不妨去探究。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1．当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．例2．当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：例3．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值． 所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．练习. 已知232x x ≤，求函数y=x 2+x+1的最值。
最值问题19种题型最值问题是一个在数学中非常常见的问题类型，它要求我们找出一组数值中的最大值或最小值。
在解决最值问题的过程中，我们需要运用数学知识和技巧来推导和计算，以找到正确的答案。
下面将介绍19种最值问题的题型及其解法。
1.一元一次函数最值问题：给定一个一元一次函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
2.二次函数最值问题：给定一个二次函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
3.分段函数最值问题：给定一个分段函数，求其最大值或最小值。
解法是分别求出每个区间内的最大值或最小值，并比较大小。
4.绝对值函数最值问题：给定一个含有绝对值的函数，求其最大值或最小值。
解法是分别讨论绝对值的取正值和取负值的情况，并比较大小。
5.指数函数最值问题：给定一个指数函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
6.对数函数最值问题：给定一个对数函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
7.三角函数最值问题：给定一个三角函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
8.组合函数最值问题：给定一个由多个函数复合而成的函数，求其最大值或最小值。
解法一般是使用复合函数的链式法则进行求导，并令导数为零求解。
9.线性规划最值问题：给定一组线性不等式和线性目标函数，求其满足约束条件的最大值或最小值。
解法一般是使用线性规划的方法进行求解。
10.几何图形最值问题：给定一个几何图形，求其最大面积、最小周长等最值问题。
解法一般是使用几何知识和公式进行计算。
11.统计问题最值问题：给定一组数据，求其中的最大值、最小值或其他统计量。
解法一般是对数据进行排序或使用统计学方法。
12.矩阵最值问题：给定一个矩阵，求其中的最大值、最小值或其他特殊元素。
解法一般是使用矩阵运算和线性代数方法。
13.排列组合最值问题：给定一组元素，求其中的最大值、最小值或特殊组合。
极值与最值的求解方法极值和最值是数学中一种重要的求解方法，用于寻找函数在特定区间上的最大值和最小值。
在实际问题中，我们常常需要找到某一函数的最优解，从而得到最优的方案或结果。
本文将介绍极值和最值的概念，以及常见的求解方法。
一、极值与最值的概念极值是指函数在某一点或某一区间内取得的最大值或最小值。
根据函数在极值点的导数性质，可以将极值分为两类：局部极值和全局极值。
1. 局部极值：局部极值是指函数在某一点附近取得的最大值或最小值。
在数学上，局部极值点的判断依据是函数在该点的导数为零或不存在。
如果导数为零，该点可能是极大值点、极小值点或拐点。
如果导数不存在，该点可能是间断点。
2. 全局极值：全局极值是指函数在整个定义域内取得的最大值或最小值。
全局极值点的判断需要考虑函数在定义域端点处的取值情况，并比较区间内各个局部极值点的函数值。
二、求解极值与最值的方法在求解极值与最值的过程中，我们常用的方法有以下几种：极值定理法、导数法、区间划分法和图像法。
1. 极值定理法：极值定理是数学中的一个重要定理，用于判断函数的极值点。
根据这个定理，如果函数在某一区间上连续，并且在区间的内部有导数，则函数在该区间内必定存在极值点。
通过对函数进行区间划分并计算函数值，可以找到局部极大值点和极小值点。
2. 导数法：导数是函数在某一点的变化率，通过计算函数的导数可以判断函数在极值点的增减性。
当函数在某一点导数为零或导数存在突变时，该点有可能是局部极值点。
通过求解函数导数为零的方程，可以得到可能的极值点，进而通过对函数值的比较得出最终的极值。
3. 区间划分法：区间划分法适用于函数在闭区间上求解最大值和最小值的情况。
通过将区间分为若干个子区间，并计算函数在每个子区间的值，然后比较这些值，即可找到全局最值所对应的点。
4. 图像法：图像法是通过绘制函数的图像来观察函数在特定区间上的变化趋势，从而估计函数的极值位置。
通过观察函数图像的特点，可以找到局部极大值点和极小值点的位置。
归纳初中数学所有的最值问题初中数学中的最值问题是指在给定条件下确定一个函数的最大值或最小值的数学问题。
这类问题常出现在代数、几何和概率统计等各个领域中。
最值问题涉及的知识点包括函数的最值、二次函数、三角函数、不等式、平方根函数、图像和方程，是数学学习中的重要内容之一。
在初中数学中，最值问题通常涉及以下几个方面：1.函数的最值在求一个函数的最大值或最小值时，需要先求出函数的导数，然后将导数等于零解方程，再将解代入原函数，找出极值点，最后用极值点和边界点比较确定最值。
这是求一元函数最值的一般方法。
2.二次函数的最值对于二次函数，其最值很容易通过求顶点来确定。
若二次函数是抛物线开口朝上的，则顶点为最小值点；若二次函数是抛物线开口朝下的，则顶点为最大值点。
3.三角函数的最值常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们在特定区间内有最大值和最小值。
通过观察周期性和对称性，结合函数图像，可以很容易确定三角函数的最值点。
4.不等式求最值在不等式中，也经常需要求出不等式的最大值或最小值。
这种情况下，可以通过化简不等式、取对数、使用平方差公式等方法来求解。
同时，在不等式的求解方法中，对绝对值不等式的处理也是不可或缺的内容。
5.平方根函数的最值平方根函数是一个中心在(0,0)的奇函数，其图像是以原点对称的。
通过观察平方根函数的图像和性质，可以确定其最值点。
6.图像和方程利用图像和方程求解最值问题，通常是在几何解题和函数求值中应用频繁的方法。
通过观察函数的图像和方程的关系，可以找出函数在给定区间内的最大值和最小值。
最值问题在初中数学中占有重要的地位。
它不仅涉及到数学知识的运用，还有助于培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
而且最值问题也为中学数学学习打下了坚实的基础，为学生将来更深入的数学学习奠定了稳固的基础。
在教学中，师生可以通过具体的案例和实际生活中的问题来讲解最值问题，使学生能够更好地理解和掌握这一知识点。
函数的极值问题函数的极值问题在数学中是非常重要的概念之一。
在解决实际问题中，我们经常会遇到需要确定函数的最大值或最小值的情况，而这就是函数的极值问题。
一、函数极值的定义与性质函数的极值指的是函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
具体来说，如果在区间内存在某一点，使得该点的函数值比其他点的函数值都大（或都小），那么这个点就是函数的极大值点（或极小值点）。
如果极大值点和极小值点统称为极值点。
函数极值问题还有一些基本性质可以帮助我们解决这类问题：1. 函数的极值点只可能出现在函数的驻点（即导数为0或导数不存在的点）或者边界上；2. 极大值点和极小值点可能会出现在同一个点上，这时这个点被称为拐点；3. 函数在极值点处的导数为0或不存在，但反过来并不成立，即导数为0或不存在的点不一定是极值点。
二、求解函数极值的方法在解决函数的极值问题时，我们可以使用以下几种常见的方法：1. 导数法：这是最常见且最基本的方法。
首先我们需求出函数的导数，然后找出导数为0或不存在的点，即函数的驻点。
接着，我们通过求导数的符号变化来确定这些驻点是极大值点还是极小值点，同时还需要考虑区间的边界值。
2. 二阶导数法：如果一个函数在某点处的一阶导数为0或不存在，并且在该点的二阶导数大于0（或小于0），则该点为极小值点（或极大值点）。
3. 边界法：对于一个闭区间内的函数，如果在区间的边界上的函数值是最大值或最小值，那么这些边界点就是函数的极值点。
除了上述方法，在特殊情况下，我们还可以利用拉格朗日乘数法或者特殊的变换方法来求解函数的极值点。
三、实例分析为了更好地理解函数的极值问题，我们以一个具体的实例来进行分析：例题：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x的极值。
解析：首先，我们计算函数f(x)的导数，得到f'(x) = 3x^2 - 6x - 9。
接着，我们令导数f'(x)等于0，即3x^2 - 6x - 9 = 0，求解得到x = -1和x = 3。
什么是最大值和最小值定理最大值和最小值定理是微积分中一个重要的定理，它在求解函数最大值和最小值的问题上起着关键作用。
在数学中，给定一个闭区间上的连续函数，最大值和最小值定理指出函数在该闭区间上必然存在最大值和最小值。
这个定理在分析函数的特性以及优化问题中具有广泛的应用。
定理描述最大值和最小值定理描述的是闭区间上连续函数的性质。
设函数f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上必然存在最大值和最小值。
具体来说，存在$c \\in [a, b]$，使得对于任意$x \\in [a, b]$，都有$f(c) \\geq f(x)$，同时存在$d \\in [a, b]$，使得对于任意$x \\in [a, b]$，都有$f(d) \\leq f(x)$。
定理证明最大值和最小值定理的证明可以通过极值存在定理得到。
这里简要介绍一下证明的思路。
首先，闭区间[a,b]是有界闭区间，因此函数f在该闭区间上必然有上确界和下确界。
接着，通过连续函数的性质以及确界的性质，可以得出上确界和下确界对应的点，即存在c和d满足定理描述的条件。
应用最大值和最小值定理在微积分的许多应用中起到至关重要的作用。
在优化问题中，通过寻找函数的最大值和最小值可以求解出最优解。
在实际问题中，通过将问题建模成函数，并利用最大值和最小值定理可以优化资源的分配，提高效率。
总结最大值和最小值定理是微积分中一个基础且重要的定理，它描述了连续函数在闭区间上的最大值和最小值的存在性。
这个定理为解决优化问题提供了数学工具，也在实际问题中有着广泛的应用。
对于学习微积分和解决实际问题都具有重要意义。
