中考数学专题之区间函数的极值问题

函数极值求法及应用本文将介绍函数极值求法及其应用。

一、函数极值的定义函数极值是指函数在某一区间内的最大值和最小值。

在函数的导数为0或不存在的点处，函数可能取得极值。

二、求函数极值的方法1. 导数法首先，将函数y=f(x)对x求导得到其导函数y'=f'(x)。

然后，解以下方程组：y'=0或y'不存在求得的解即为函数的极值点。

例如，对于函数y=x^2-2x+1，其导函数y'=2x-2。

令y'=0，得到x=1。

此时，函数取得极小值y=0。

注意：在求解时需要注意导数不存在的情况，例如绝对值函数。

2. 二次函数法对于二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，该函数的最小值为c-b^2/(4a)，当a<0时，该函数的最大值也为c-b^2/(4a)。

例如，对于函数y=x^2-2x+1，其a=1，b=-2，c=1。

因为a>0，所以y的最小值为1-(-2)^2/(4×1)=0。

3. 边界法当函数在一定区间内连续时，其取得极值的点只可能在该区间的边界处或导数不存在的点处。

因此，我们只需要求出函数在该区间的两个端点处的函数值，再比较这两个值和导数不存在的值的大小即可确定极值点。

例如，对于函数y=x^3-3x，当x∈[-1,2]时，极值点只可能在x=-1、x=2或导数不存在的点处。

函数在端点处的值为y(-1)=-2和y(2)=2，导数不存在的点为x=0。

因此，函数在x=0处取得极大值y=0，而在x=-1处取得极小值y=-4。

三、应用函数极值可以在优化问题中起到重要作用。

例如，在最小化成本的问题中，需要确定产量x的大小使得成本最小化。

假设某企业的生产成本函数为y=3x^2-4x+8，其中x为产量，y为成本。

该问题可以转化为求函数y的最小值。

通过求出函数的导数为0的点，我们发现函数在x=2/3处取得最小值y=6.67。

因此，该企业应该保持产量在2/3时，成本会最小。

九年级数学函数极值题型
1. 定义函数极值
函数的极值指的是函数在定义域内取得的最大值或最小值。

常见的函数极值类型有极大值和极小值。

2. 函数极值的求解方法
2.1 寻找函数的驻点
函数的驻点指的是函数导数为零或导数不存在的点。

为了求解函数的极值，我们首先需要找到函数的驻点。

2.2 确定函数的单调性
通过确定函数的单调性，我们可以判断函数在驻点附近的取值情况。

单调函数在单调区间内只有一个极大值或极小值。

2.3 将驻点带入函数求解极值
将函数的驻点带入原函数，求出对应的函数值，即可得到函数的极值。

3. 几种常见的函数极值题型
3.1 二次函数的极值问题
例如，求解函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的极值问题。

通过求导和分析函数的单调性，可以求得该二次函数的极值点。

3.2 分段函数的极值问题
对于分段函数，需要分别求解每个定义域内的极值点。

通过分析不同定义域的单调性，可以求得整个函数的极值点。

3.3 绝对值函数的极值问题
绝对值函数常常涉及分段函数的情况。

通过分析每个定义域内的函数形式，求解对应的极值点。

4. 注意事项
在求解函数的极值问题时，需要注意以下几点：
- 求解驻点时，要考虑函数导数为零和导数不存在的情况。

- 求解单调性时，要注意函数的增减性和凹凸性。

- 检查函数的边界情况，确保求解得到的极值是函数定义域内的实际极值。

以上为九年级数学函数极值题型的相关内容，希望能对同学们的学习有所帮助。

如果有任何疑问，请随时向老师请教。

函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题是数学分析中的重要内容。

在实际问题中，我们常常需要求解函数的极值或最值，来确定某一变量的最佳取值或最大最小值。

本文将介绍函数的极值与最值问题的定义、求解方法以及实际应用。

一、函数的极值与最值的定义在数学中，给定一个函数f(x)，若存在一个区间I，使得对于该区间内的任意x值，f(x)的值都比f(x)在I的其它点处的值小（大），则称f(x)在I内存在极大（小）值，同时称该点为函数的极值点。

而函数在区间I内最大（小）的极值点则称为函数的最大（小）值。

二、求解函数的极值与最值的方法1. 寻找驻点首先，我们需要寻找函数的驻点。

驻点即为函数在该点的导数为零的点，也就是函数的极值点可能位于驻点处。

2. 列出极值点及临界点的值将驻点的值以及函数的定义域内的临界点的值列出，并计算出相应的函数值。

3. 比较并确定极值点及最值比较驻点和临界点的函数值，找出函数的极大值和极小值，即为函数的极值点。

同样地，比较所有极值点的函数值，找出函数的最大值和最小值。

4. 确定函数的定义域在比较极值点和临界点的函数值时，需要注意函数定义域的边界条件。

确保所比较的点处于函数的定义域内。

三、函数极值与最值问题的应用函数的极值与最值问题在实践中具有广泛的应用。

以经济学为例，函数的极值与最值问题常用于优化问题的求解。

例如，确定成本最低的生产方案或利润最大化的销售策略等。

在工程学中，函数的极值与最值问题可应用于优化设计。

比如求解最节能的物流路径、最优化的结构参数以及最大功率输出的电子电路布局等。

此外，函数的极值与最值问题还可用于求解几何问题中的最优解。

在数学建模、各类优化理论以及应用数学的研究中都有广泛的应用。

结论函数的极值与最值问题是数学分析中一个重要且常见的问题。

通过寻找函数的极值点和最值点，可以确定变量的最佳取值或者确定函数在某个区间内的最大最小值。

本文介绍了函数极值与最值问题的定义、求解方法以及应用，并指出了其在实际问题中的重要性。

数学中的极值问题数学是一门精确而又深奥的学科，其应用范围广泛，包括了各种各样的问题和概念。

其中，极值问题是一类重要且常见的数学问题，在不同领域和实际生活中都有广泛应用。

本文将详细探讨数学中的极值问题及其应用。

一、极值的定义和分类极值是指函数在某一给定区域内取得的最大值和最小值。

根据函数的定义域和值域的不同，极值可分为全局极值和局部极值。

全局极值指函数在整个定义域上取得的最大值和最小值，而局部极值指函数在某一小区间内取得的最大值和最小值。

二、求解极值的方法求解极值问题的方法有多种，最常用的包括导数法、边界法和拉格朗日乘数法等。

1. 导数法：导数法是求解极值问题最常用的方法之一。

通过求函数的导数，可以得到函数的增减性。

当导数为零时，函数可能取得极值，通过求解导数等于零的方程，可以得到函数的极值点。

2. 边界法：边界法是一种利用函数定义域的边界来求解极值的方法。

当函数的定义域是有界闭区间时，该区间的端点可能是函数的极值点。

通过计算函数在端点处的值，可以确定是否为极值点。

3. 拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法是一种求解含有多个约束条件的极值问题的方法。

通过引入拉格朗日乘子，将含约束条件的问题转化为无约束条件的问题，并通过求解拉格朗日方程组来确定极值点。

三、极值问题的应用极值问题广泛应用于各个学科和领域，如经济学、物理学、工程学等。

1. 经济学中的应用：极值问题在经济学中有着重要的应用，如优化生产成本、最大化利润等。

通过求解生产函数或效用函数的极值，可以确定最佳的资源配置方案。

2. 物理学中的应用：物理学中的很多问题可以通过极值问题来求解，如光的折射问题、力学中的最小作用原理等。

通过极值原理，可以推导出例如光的最短路径和质点在力场中运动的最优路径等。

3. 工程学中的应用：极值问题也在工程学中得到广泛应用，如优化结构设计、最大限度利用资源等。

例如，在桥梁设计中，通过求解最小成本或最大强度等极值问题，可以得到最优的桥梁设计方案。

初中数学中的极值习题极值是数学中重要的概念之一，涉及了一系列的计算和推理方法。

在初中数学中，极值习题是一个重要的考察内容，能够帮助学生提高解题能力和思维逻辑能力。

本文将为大家介绍几个常见的初中数学中的极值习题。

一、函数极值的判断对于给定的函数，判断其极值，首先需要计算函数的导数。

导数可以帮助我们找到函数的变化趋势，从而确定极值点。

常见的函数极值习题包括：1. 求函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的极值点。

解析：首先求出函数f(x)=x^2的导数f'(x)=2x，然后找到导数为0的点，即2x=0，解得x=0。

然后判断0是否在区间[-1,1]内，这是关键。

由于0属于[-1,1]，所以0是函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的极值点。

此时，f(0)=0^2=0，所以极小值和极大值都是0。

2. 求函数f(x)=3x^4-4x^3在区间[-1,2]上的极值点。

解析：首先求出函数f(x)=3x^4-4x^3的导数f'(x)=12x^3-12x^2，然后找到导数为0的点，即12x^3-12x^2=0，整理得到x^3-x^2=0，解得x=0或x=1。

然后判断这两个点是否在区间[-1,2]内。

由于0和1都属于[-1,2]，所以0和1是函数f(x)=3x^4-4x^3在区间[-1,2]上的极值点。

此时，计算f(0)和f(1)得到极大值和极小值。

二、应用题除了基础的函数极值习题之外，还有一些常见的应用题需要运用极值概念进行解答。

下面介绍两个典型的应用题：1. 目标最大化问题某地以修建高压输电线路为例。

已知该地的山地起伏较大，现需要从发电站出发，将输电线路引至用电点，要求总线路长度最短。

如何选择线路走向，使得总线路长度最短？解析：这是一个求线路最短距离的问题，可以应用极值的概念进行解答。

首先，将起点和终点固定，然后确定目标点，通过计算不同目标点与起终点的距离，找到长度最短的线路。

2. 几何图形内接问题已知固定周长的凸四边形，如何确定四边形是正方形时，其面积最大？解析：这是一个求最大面积的问题，可以应用极值的概念进行解答。

函数的极值与最值函数在特定区间内的极值与最值函数是数学中一种重要的概念，它描述了输入与输出之间的关系。

通过研究函数的极值和最值，我们可以找到函数在特定区间内的极值点和最值点，以及确定函数的最大值和最小值。

本文将重点探讨函数的极值和最值以及它们在特定区间内的应用。

一、函数的极值函数的极值是指函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。

函数的极值点是函数曲线上的特殊点，在该点的导数为零或不存在。

函数在极值点取得最大值时称为极大值，取得最小值时称为极小值。

在求解函数极值时，可以使用导数的方法。

先求函数的导数，然后令导数等于零求出函数的驻点，再通过判断二阶导数的符号确定这些驻点是极大值还是极小值。

二、函数的最值函数的最值是指函数在某个特定区间内取得的最大值或最小值。

函数的最值点是函数在该区间内取得最大值或最小值的点。

在求解函数的最值时，可以使用两种常用方法：一是使用导数的方法，二是使用区间端点的值进行对比。

使用导数的方法时，先求函数在该区间内的导数，然后令导数等于零求出函数的驻点，再将这些驻点与区间端点进行比较，找出最大值和最小值。

使用区间端点的值进行对比时，先计算函数在区间端点处的值，然后比较这些值确定最大值和最小值。

三、函数的极值与最值的应用函数的极值和最值在实际问题中有着广泛的应用。

以工程为例，通过求解函数的极值和最值，可以确定材料的最佳用量、设置设备的最佳参数等，以达到最佳效果。

此外，在经济学中也有着重要的应用。

通过求解函数的极值和最值，可以确定商品的最佳价格、制定市场规模等，以实现最大利润。

另外，函数的极值和最值在物理学、生物学等其他科学领域也有着重要的应用。

通过求解函数的极值和最值，可以确定物体的最佳运动轨迹、生物体的最佳生长条件等，以达到最优化的效果。

总结：函数的极值和最值是函数在某个特定点或区间内取得的最大值或最小值。

通过求解函数的极值和最值，可以在工程、经济学、物理学、生物学等领域中应用，以实现最佳效果。

函数的极值与最值的求解在数学中，函数的极值与最值是常见的概念。

极值指的是函数在某个特定区间内的最大值或最小值，而最值则是函数在整个定义域内的最大值或最小值。

求解函数的极值与最值是数学分析的重要内容之一，本文将介绍函数求解极值与最值的方法和技巧。

一、确定区间要求解函数的极值与最值，首先需要确定函数的定义域或者要求解的区间范围。

根据函数的特点或问题的要求，确定区间是取整个定义域还是某个特定的局部区间。

二、求解极值在确定了求解的区间后，接下来的任务就是求解函数在该区间内的极值。

函数的极值主要分为两种：极大值和极小值。

求解极值的方法一般有以下几种：1. 导数法对于可导函数，极值通常出现在导数为零的点或者导数不存在的点。

因此，可以通过求解函数的导数来确定函数的极值。

具体步骤如下：a. 求解函数的导数；b. 解方程f'(x)=0，求得导数为零的点；c. 判断导数不存在的点是否为极值点。

2. 边界法对于闭区间上的函数，除了导数为零或不存在的点外，还需要考虑区间的边界点。

因此，可以通过求解边界点的函数值来确定函数的极值。

3. 二阶导数法（Hessian矩阵法）对于多元函数，可以通过计算其Hessian矩阵的特征值来确定函数的极值。

当Hessian矩阵的特征值全为正数时，函数取得极小值；当Hessian矩阵的特征值全为负数时，函数取得极大值。

4. Lagrange乘子法（约束条件法）对于多元函数在一定的条件下求取最值，可以使用Lagrange乘子法。

该方法通过引入等式约束条件，将求解极值的问题转化为求解方程组的问题。

三、求解最值对于求解函数在整个定义域内的最值，可以采用以下方法：1. 导数法求解函数的导数，找出导数的零点，再将这些零点与定义域的边界点比较，从中选取最大值或最小值。

2. 二阶导数法对于多元函数，可以通过计算其Hessian矩阵的特征值来确定函数的最值。

当Hessian矩阵的特征值全为正数时，函数取得最小值；当Hessian矩阵的特征值全为负数时，函数取得最大值。

第十讲中考压轴题专题之区间最值问题1．已知点A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，点P（m，n）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥n，则m的取值范围是2．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为3．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．4．（2020江干区模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+a+1（a＞0）（1）若二次函数的图象与x轴有交点，求a的取值范围；（2）若P（m，n）和Q（5，b）是抛物线上两点，且n＞b，求实数m的取值范围；（3）当m≤x≤m+2时，求y的最小值（用含a、m的代数式表示）．5．（2020如皋模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴的交点坐标为（m﹣2，0）和（2m+1，0）．（1）求b和c（用m的代数式表示）；（2）若在自变量x的值满足﹣2≤x≤1的情况下，与其对应的函数值y的最大值为1，求m的值；（3）已知点A（﹣1，﹣2m2﹣3m）和点B（2，﹣2m2+6m）．若二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与线段AB有两个不同的交点，直接写出m的取值范围．6．（2019台州）已知二次函数y＝x2+bx+2b（b是常数）．（1）若函数图象过（1，4），求函数解析式；（2）设函数图象顶点坐标为（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数关系式；（3）若函数图象不经过第三象限时，当﹣5≤x≤3时，函数的最大值和最小值之差是20，求b的值．7．（2019大连）把函数C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为（t，0）．（1）填空：t的值为（用含m的代数式表示）（2）若a＝﹣1，当≤x≤t时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝1，求C2的解析式；（3）当m＝0时，C2的图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧）．与y轴相交于点D．把线段AD原点O逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．8．（2020河西区模拟）已知抛物线C：y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（Ⅰ）求抛物线C的解析式和顶点坐标；（Ⅱ）将抛物线C绕原点O顺时针旋转180°得抛物线C′，且有点P（m，t）既在抛物线C上，也在抛物线C′上，求m的值；（Ⅲ）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．9.已知点P 为抛物线y 1=x ²+(2t-3)x+(t+1)顶点，点Q 是直线y 2=(2t-3)x+(t-t ²)与y 轴交点，t 为常数，且-2≤t ≤57. (1)若抛物线与坐标轴有且仅有两个公共点，试比较t 与-1的大小；(2)试确定抛物线y 1与直线y 2上下位置关系；(3)若抛物线经过）（27,-k ，无论x 为何值，总有x ²+(2t-3)x+t ≥29-，当2m-1≤x ≤2m 时，抛物线有最小值213+m ，求出m 的值.参考答案与试题解析1．【解答】解：∵点P（m，n）是该抛物线的顶点，∴抛物线的对称轴为x＝m，∵点A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，且y1＞y2≥n，∴＜m，解得m＞，2．【解答】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤4，x＝1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1＝5，解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤4＜h，当x＝4时，y取得最小值5，可得：（4﹣h）2+1＝5，解得：h＝6或h＝2（舍）．综上，h的值为﹣1或6，3．【解答】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1，故答案是：2或﹣1．4．【解答】解：（1）△＝（﹣4a）2﹣4a（a+1）≥0，且a＞0，解得：a≥；（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，当n＝b时，根据函数的对称性，则m＝﹣1，故实数m的取值范围为：m＜﹣1或m＞5；（3）①当m+2＜2时，即m＜0时，函数在x＝m+2时，取得最小值，y min＝a（m+2）2﹣4a（m+2）+a+1＝am2﹣3a+1；②当m≤2≤m+2时，即0≤m≤2，函数在顶点处取得最小值，即y min＝4a﹣4a×2+a+1＝﹣3a+1；③当m＞2时，函数在x＝m时，取得最小值，y min＝am2﹣4am+a+1；综上，y的最小值为：am2﹣3a+1或﹣3a+1或am2﹣4am+a+1．5．【解答】解：（1）由题意知，方程﹣x2+bx﹣c＝0的两根：x1＝m﹣2，x2＝2m+1，∴b＝x1+x2＝3m﹣1，c＝x1x2＝（m﹣2）（2m+1）＝2m2﹣3m﹣2；（2）由题意可知，二次函数图象开口向下，顶点坐标为（，），①当，即m＜﹣1时，在﹣2≤x≤1中，y随x的增大而减小，∴当x＝﹣2时，y的值最大为：﹣4﹣2（3m﹣1）﹣（2m2﹣3m﹣2）＝﹣2m2﹣3m＝1，解得，m＝﹣1（舍去），或m＝﹣（舍去）；②当﹣2≤≤1，即﹣1≤m≤1时，y有最大值为y＝＝1，解得，m＝﹣1，或m＝﹣5（舍去）；③当＞1，即m＞1时，在﹣2≤x≤1中，y随x的增大而增大，∴当x＝1时，y的值最大为：﹣1+（3m﹣1）﹣（2m2﹣3m﹣2）＝﹣2m2+6m＝1，解得，m＝，或m＝（舍去）．综上，m＝﹣1或．（3）设线段AB的解析式为y＝kx+b（﹣1≤x≤2），把A（﹣1，﹣2m2﹣3m），B（2，﹣2m2+6m）代入得，解得，∴线段AB为：y＝3mx﹣2m2（﹣1≤x≤2），由3mx﹣2m2＝﹣x2+（3m﹣1）x﹣（2m2﹣3m﹣2），整理得x2+x﹣3m﹣2＝0（﹣1≤x≤2），当△＝1+4（3m+2）＞0时，m＞﹣，∵二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与线段AB有两个不同的交点，∴（﹣1）2+（﹣1）﹣3m﹣2≥0，22+2﹣3m﹣2≥0，∴m，∴综上所述，m的取值范围为＜m．6．【解答】解：（1）将点（1，4）代入y＝x2+bx+2b，得1+b+2b＝4，∴b＝1，∴函数解析式是y＝x2+x+2；（2）∵y＝x2+bx+2b＝（x+b）2﹣，设函数图象顶点坐标为（m，n），∴m＝﹣b，n＝﹣+2b，∴b＝﹣2m，∴n＝﹣＝﹣m2﹣4m；（3）∵y＝（x+b）2﹣，∴对称轴x＝﹣b，在y＝x2+bx+2b中，当x＝﹣5时，y＝25﹣5b+2b＝25﹣3b，当x＝3时，y＝9+3b+2b＝9+5b，分两种情况：①当b≤0时，2b＝c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此时y＝x2，当﹣5≤x≤3时，函数最小值是0，最大值是25，∴最大值与最小值之差为25，此种情况不符合题意；②当b＞0时，2b＝c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，∴b2﹣8b≤0，∴0＜b≤8，∴﹣4≤x＝﹣＜0，当﹣5≤x≤3时，函数有最小值﹣+2b，当﹣5≤﹣＜﹣1时，函数有最大值9+5b，∵函数的最大值与最小值之差为20，∴9+5b﹣（﹣+2b）＝20，∴b＝﹣6+4或﹣6﹣4（舍），当﹣1＜﹣≤0时，函数有最大值25﹣3b；∵函数的最大值与最小值之差为20，∴25﹣3b﹣（﹣+2b）＝20，∴b＝10﹣4或10+4＞8（舍），综上所述b＝﹣6+4或b＝10﹣4．7．【解答】解：（Ⅰ）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，∴点B的坐标为（3，0），则y＝（x+1）（x﹣3），即抛物线C的表达式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4；∴顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅱ）由抛物线C解析式知B（3，0），点A的坐标为（﹣1，0），所以点A点B关于原点的对称点为（1，0）和（﹣3，0），都在抛物线C′上，且抛物线C′开口向下，形状与由抛物线C相同，于是可得抛物线C′的解析式为y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3；由点P（m，t）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，有t＝m2﹣2m﹣3，由点P也在抛物线C′上，有t＝﹣m2﹣2m+3，∴m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，解得：m＝；（III）①当a+1＜1时，即a＜0，则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，解得a＝1﹣（正值舍去）；②当a＜1≤a+1时，即0≤a＜1，则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，解得：a＝﹣2（舍去）；③当a≥1时，则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2+（负值舍去）；综上，a的值为1﹣或2+．8．【解答】解：（1）C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，顶点（1，﹣4a）围绕点P（m，0）旋转180°的对称点为（2m﹣1，4a），C2：y＝﹣a（x﹣2m+1）2+4a，函数的对称轴为：x＝2m﹣1，t＝2m﹣1，故答案为：2m﹣1；（2）a＝﹣1时，C1：y＝﹣（x﹣1）2+4，①当t＜1时，x＝时，有最小值y2＝，x＝t时，有最大值y1＝﹣（t﹣1）2+4，则y1﹣y2＝﹣（t﹣1）2+4﹣＝1，无解；②1≤t时，x＝1时，有最大值y1＝4，x＝时，有最小值y2＝，y1﹣y2＝≠1（舍去）；③当t时，x＝1时，有最大值y1＝4，x＝t时，有最小值y2＝﹣（t﹣1）2+4，y1﹣y2＝（t﹣1）2＝1，解得：t＝0或2（舍去0），故C2：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x；（3）m＝0，C2：y＝﹣a（x+1）2+4a，点A、B、D、A′、D′的坐标分别为（1，0）、（﹣3，0）、（0，3a）、（0，1）、（﹣3a，0），当a＞0时，a越大，则OD越大，则点D′越靠左，当C2过点A′时，y＝﹣a（0+1）2+4a＝1，解得：a＝，当C2过点D′时，同理可得：a＝1，故：0＜a或a≥1；当a＜0时，当C2过点D′时，﹣3a＝1，解得：a＝﹣，故：a≤﹣；综上，故：0＜a或a≥1或a≤﹣．9.解析：(1)请注意题目中“抛物线与坐标轴有且仅有两个公共点”这句话，事实上任何初中阶段的抛物线，与y 轴始终有一个公共点，因此解读这句话的结果就是抛物线与x轴有且仅有一个公共点，这是第一层，另外，考虑到特殊情况，抛物线与y轴的公共点恰好是原点，则抛物线与x轴还有另外一个公共点。

中考热点，二次函数区间范围的最值问题二次函数最值问题的重要性毋庸置疑，其贯穿了整个中学数学，是中学数学的重要内容之一，也是学好中学数学必须攻克的极为重要的问题之一。

二次函数在闭区间上的最值问题是二次函数最值问题的典型代表，其问题类型通常包括不含参数和含参数二次函数在闭区间上的最值问题、二次函数在闭区间上的最值逆向性问题以及可转化为二次函数在闭区间上最值的问题，在此类问题的解决过程中，涉及数形结合、分类讨论等重要数学思想与方法。

中考中多涉及到含参数二次函数在闭区间上的最值问题，很多学生不习惯数形结合及分类讨论思想的运用，导致解题失误或错误。

类型1 求解自变量在不同区间里二次函数最值1．（20192019•大兴区一模）已知二次函数•大兴区一模）已知二次函数y＝x 2﹣2x+3+3，当自变量，当自变量x满足﹣满足﹣11≤x≤2时，函数y的最大值是 ．【解析】先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再根据变量x在﹣在﹣22≤x≤1的范围内变化，再分别进行讨论，即可得出函数y的最大值．∵二次函数y＝x2﹣2x+3+3＝（＝（x﹣1）2+2+2，，∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝1＞0，∴当x＝1时，函数有最小值2，当x＝﹣＝﹣11时，二次函数有最大值为：（﹣（﹣11﹣1）2+2+2＝＝6，故答案为6． 2．（20192019•新华区校级自主招生）已知函数•新华区校级自主招生）已知函数y＝x2﹣2x+3在闭区间在闭区间[0[0[0，，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2【解析】：∵二次函数y＝x＝（x﹣1）2+2+2，，2﹣2x+3+3＝（∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，2），与y轴的交点为（0，3）.其大致图象如图所示：由对称性可知，当y＝3时，x＝0或x＝2，在闭区间[0[0[0，，m]上有最大值3，最小值2，∵二次函数y＝x2﹣2x+3在闭区间∴1≤m≤2．故选：C．2019•郑州模拟）二次函数•郑州模拟）二次函数y＝x3．（2019在﹣22≤x≤3的范围内有最小值﹣2﹣4x+a在﹣3，则a＝ ．【解析】：y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，当x＝2时，函数有最小值a﹣4，的范围内有最小值﹣33，在﹣22≤x≤3的范围内有最小值﹣∵二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣﹣2≤x≤3，y随x的增大而增大，∴a﹣4＝﹣＝﹣33，∴a＝1，故答案为1．3/4（（x﹣m）2+m，当2m﹣3≤•邯郸模拟）对于题目“二次函数y＝3/42019•邯郸模拟）对于题目“二次函数4．（2019x≤2m时，y的最小值是1，求m的值．”甲的结果是m＝1，乙的结果是m ＝﹣22，则（ ）＝﹣A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【解析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可求得答案，然后判断即可．二次函数的对称轴为直线x ＝m ，①m ＜2m ﹣3时，即m ＞3，y 的最小值是当x ＝2m ﹣3时的函数值， 此时3/43/4（（2m ﹣3﹣m ）2+m ＝1，因为方程无解，故m 值不存在；②当2m ﹣3≤m ≤2m 时，即0≤m ≤3时，二次函数有最小值1，此时，m ＝1，③当m ＞2m 时，即m ＜0，y 的最小值是当x ＝2m 时的函数值，此时，此时，3/43/43/4（（2m ﹣m ）2+m ＝1，解得m ＝﹣＝﹣22或m ＝2/32/3，，∵m ＜0，∴m ＝﹣＝﹣2,2,2,所以甲、乙的结果合在一起正确，故选：所以甲、乙的结果合在一起正确，故选：C ．类型2 二次函数区间最值解决实际问题利用二次函数解决实际问题，最常见的为利润问题和费用最低等问题，首先根据题中常见的等量关系建立二次函数模型，然后利用二次函数确定最值，注意要考虑自变量在实际问题中的取值范围。

函数极值问题函数极值问题是数学中的一个重要概念，在求解问题过程中经常会遇到。

一个函数的极值是指函数在某一区间上取得的最大值或最小值。

求解函数的极值问题，不仅需要掌握一些基本的数学工具和方法，还需要充分理解函数的性质，并能够运用所学知识灵活解决实际问题。

首先，要求解一个函数的极值问题，必须知道这个函数的表达式。

假设我们已经得到了函数的表达式，下面就可以使用微积分的方法来求取其极值。

接下来，我们将介绍两种常见的函数极值问题：一、闭区间上的极值问题；二、开区间上的极值问题。

一、闭区间上的极值问题对于一个闭区间上的函数，要求其极值可能有以下几种方法。

1. 寻找临界点：首先求出函数的导函数，然后令导函数为零，解方程得到函数的临界点。

在闭区间的内部，临界点可能是极值点，对于一元函数，在端点也可能是极值点。

2. 应用闭区间法：对于连续的闭区间上的函数，可以通过闭区间法来求取其最大最小值。

具体方法是首先求出函数在区间两端点处的函数值，然后求出区间中点处的函数值，比较三个函数值的大小，根据大小关系来缩小区间范围，重复这个过程直到区间足够小，然后判断最后剩下的点是否是极值点。

二、开区间上的极值问题对于一个开区间上的函数，要求其极值可能有以下几种方法。

1. 求导数去开区间上的导函数，然后令导函数为零，解方程得到函数的临界点。

在开区间的内部，临界点可能是极值点。

2. 应用开区间法：对于开区间上的函数，可以通过开区间法来求取其最大最小值。

具体方法是选择开区间的一点作为初始点，然后求该点对应的函数值，根据函数值和该点的大小关系，调整初始点的位置，然后遍历整个开区间，不断调整初始点的位置，直到找到极值点。

函数极值问题是微积分课程中的重要内容，在解决实际问题中有着广泛的应用。

无论是闭区间上的函数，还是开区间上的函数，掌握求解极值问题的方法能帮助我们更好地理解函数的性质，解决实际问题。

除了以上介绍的方法外，还可以根据问题的特点和条件，选择合适的求解方式。