函数的概念(区间的概念)

必修一第一章 集合与函数概念二、函数知识点8：函数的概念以及区间 1》函数概念设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x 注意：①x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域②与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域.2》区间和无穷大①设a 、b 是两个实数，且a<b ，则：{x|a ≤x ≤b}＝[a,b] 叫闭区间； ②{x|a<x<b}＝(a,b) 叫开区间；③{x|a ≤x<b}＝[,)a b ， {x|a<x ≤b}＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.④符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞.3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.典例分析题型1：函数定义的考察 例1：集合A=}{40≤≤x x ，B=}{20≤≤y y ，下列不表示从A 到B 的函数是（ ）A 、x y x f 21)(=→ B 、x y x f 31)(=→ C 、x y x f 32)(=→ D 、x y x f =→)(例2：下列对应关系是否是从A 到B 的函数：①}{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方；③B A f Z B Z A →==:,,，求算术平方根； ④B A f Z B N A →==:,,，求平方； ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。

函数的概念1.函数：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作：y=f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.确定一个函数的两个要素：定义域，对应法则．2.区间：区间指一个集，包含在某两个特定实数之间的所有实数，亦可能同时包含该两个实数。

区间表示法是表示一个变量在某个区间内的方式。

通用的区间表示法中，圆括号表示“排除”，方括号表示“包括”。

例如，区间(10,20)表示所有在10和20之间的实数，但不包括10或20。

另一方面，[10,20]表示所有在10和20之间的实数，以及10和20。

设a，b是两个实数而且a<b，实数a与b都叫做相应区间的端点。

规定：（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示[a，b]；（2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示﹙a，b﹚；（3）满足不等式a≤x<b，或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示[a，b﹚，﹙a，b]。

区间表示：｛x︱a＜x＜b｝=（a，b）； {x|a≤x≤b}=[a，b]；{x|a＜x≤b}=（a，b]； {x|a≤x＜b}=[a，b）； {x|x≤a}=（-∞，a]；{x|x≥a }=[a，+∞）； {x|x＞a }=（a，+∞）；实数集表示为（－∞，＋∞）3.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.。

函数的区间什么是函数的区间在数学中，函数的区间指的是函数在某一特定范围内的取值范围。

区间的概念对于函数的研究和分析具有重要的意义，能够帮助我们更好地理解函数的特性和行为。

区间的分类根据数学中的不同定义，函数的区间可以分为闭区间、开区间和半开半闭区间三种。

闭区间闭区间表示一个区间的两个端点都包含在内。

例如，对于一个实数集合X，如果存在a、b两个实数，且a <= b，则[a, b]表示一个闭区间，其中a为区间的左端点，b为区间的右端点。

闭区间可以用数学表达式[a, b]来表示，其中a和b为实数。

闭区间的取值范围包括了区间内的所有实数，即[a, b] = {x | a <= x <= b}。

开区间开区间表示一个区间的两个端点都不包含在内。

例如，对于一个实数集合X，如果存在a、b两个实数，且a < b，则(a, b)表示一个开区间，其中a为区间的左端点，b为区间的右端点。

开区间可以用数学表达式(a, b)来表示，其中a和b为实数。

开区间的取值范围不包括端点处的值，即(a, b) = {x | a < x < b}。

半开半闭区间半开半闭区间表示一个区间的左端点包含在内，而右端点不包含在内。

例如，对于一个实数集合X，如果存在a、b两个实数，且a <= b，则[a, b)表示一个半开半闭区间，其中a为区间的左端点，b为区间的右端点。

半开半闭区间可以用数学表达式[a, b)来表示，其中a和b为实数。

半开半闭区间的取值范围包括了左端点处的值，但不包括右端点处的值，即[a, b) = {x | a <= x < b}。

区间的表示方法除了上述数学表示方法外，函数的区间还可以用图形表示或称为数轴表示。

对于闭区间[a, b]，可以在数轴上画出一个闭合的线段，左端点对应a，右端点对应b。

这样的表示方法可以直观地展示出区间的范围。

对于开区间(a, b)，在数轴上画出一个不包括端点的线段，左端点对应a，右端点对应b。

函数的概念及表示一、函数的定义初中定义:在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与对应. 那么就说y 是x 的函数，其中x 叫做自变量。

高中定义:设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数(function)，记作y = f (x )，x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域(domain)；与x 的值相对应的y 值叫做函数值。

初中所学函数: 正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数1．一次函数:b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 2．反比例函:xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数:c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|24.指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且:定义域R,值域为+R ；5.对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且:定义域+R ,值域为R ；二、区间的概念：设,a b 是两个实数，而且a b <，规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ； （2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b ； （3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[,)a b ，(,]a b ．这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点。

ab abab a b课题 函数的概念及其表示一、函数的概念1 函数：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。

记作：(),y f x x A =∈。

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()}f x x A ∈叫做函数的值域。

（1）对函数符号()f x 的理解知道()y f x =与()f x 的含义是一样的，它们都表示y 是x 的函数，其中x 是自变量，()f x 是函数值，连接的纽带是法则f.f 是单值对应； (2)注意定义中的集合 A ，B 都是非空的数集,而不能是其他集合； 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域。

二、区间的概念设a 、b 是两个实数，且a b <，规定定义名称 符号数轴表示{|}x a x b ≤≤ 闭区间 [,]a b {}x a x b << 开区间 (,)a b {}x a x b <≤ 左闭右开区间 [,)a b {}x a x b <≤左开右闭区间(,]a b{|}[,)x x a a =+∞≥；{}(,)x x a a >=+∞；{}(,]x x a a =-∞≤；{}(,)x x a a <=-∞；(,)R =-∞+∞。

三、相等函数：○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等的条件是当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

四、函数的表示法1解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。

区间概念的理解区间是数学中的一个重要概念，广泛应用于数学分析、代数、几何和概率等领域。

在数学中，区间指的是由两个数值界定的一段连续的数值范围。

区间可以是开区间、闭区间或半开半闭区间，它们的区别在于是否包含区间的两个端点。

首先，我们来讨论闭区间。

闭区间是指包含了区间的两个端点的区间。

例如，对于实数集合R来说，闭区间[a, b]表示从a到b的所有实数，包括a和b。

这意味着区间的左端点和右端点都是该区间的元素。

闭区间通常用方括号“[ ]”表示。

接下来，我们来讨论开区间。

开区间是指不包含区间的两个端点的区间。

例如，开区间(a, b)表示从a到b的所有实数，但不包括a和b本身。

开区间的左端点和右端点都不是该区间的元素。

开区间通常用圆括号“( )”表示。

半开半闭区间是指一个端点是开的，另一个端点是闭的区间。

例如，左闭右开区间[a, b)表示从a到b的所有实数，包括a，但不包括b。

与闭区间类似，半开半闭区间的左端点是该区间的元素，而右端点不是。

半开半闭区间通常用“[ )”或“[ )”表示。

区间的长度可以通过计算两个端点之间的差值得到。

例如，闭区间[a, b]的长度为b-a。

区间的长度可以是有限的，也可以是无穷大的。

区间还可以用来描述数轴上的一段连续区域。

在数轴上，从某个数到另一个数的区间就是数轴上这两个数之间的所有点的集合。

例如，闭区间[1, 5]描述了数轴上从1到5的一段区域，包括1和5。

区间还可以通过比较符号来表示。

例如，我们可以使用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号来表示严格或非严格的不等关系。

例如，开区间(a, b)可以表示为{x a < x < b}，表示x的取值范围在a和b之间。

在数学分析中，区间概念常用于定义函数的定义域、连续性和收敛性等性质。

对于一个定义在区间上的函数，我们可以通过研究区间的性质来研究函数的性质。

总结起来，区间是数学中描述数值范围的一种方式。

闭区间包含区间的两个端点，开区间不包含区间的两个端点，而半开半闭区间只包含一个端点。

函数的概念及其表示知识梳理（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④零（负）指数幂的底数不能为零．⑤若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑥对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑦由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值． ④换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的．⑤反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑥数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑦函数的单调性法．（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．（7）分段函数：定义域不同对应法则不同的函数，解题方法-分段函数分段求。

函数区间知识点总结一、函数和区间的基本概念1. 函数的概念函数是一个输入和一个输出之间的特定关系。

数学上，函数可以表示为f(x) = y，其中x 是输入值，y是输出值。

函数可以用图像、表格、公式等形式表示。

2. 区间的概念在数学中，区间是指由两个数值构成的集合，其中包括这两个数及其之间的所有实数。

区间通常用符号[a, b]、(a, b)、[a, b)、(a, b]来表示。

二、函数的性质1. 奇函数与偶函数奇函数是指满足f(-x) = -f(x)的函数，其图像通常关于原点对称。

偶函数是指满足f(-x) = f(x)的函数，其图像通常关于y轴对称。

2. 周期性周期函数是指满足f(x + T) = f(x)的函数，其中T为正数。

3. 单调性单调递增函数是指在定义域内，随着自变量的增大，函数值也随之增大；单调递减函数则相反。

4. 极值与最值极值是函数在定义域内的最值点，包括最大值和最小值。

5. 奇偶性、周期性、单调性、极值与最值都是函数的重要性质，通过它们可以更好地理解和分析函数的行为。

三、区间的运算1. 区间的加法如果a和b是两个区间，那么a + b = {x + y | x ∈ a, y ∈ b}。

2. 区间的减法如果a和b是两个区间，那么a - b = {x - y | x ∈ a, y ∈ b}。

3. 区间的乘法如果a和b是两个区间，那么a * b = {xy | x ∈ a, y ∈ b}。

4. 区间的除法如果a和b是两个区间，那么a / b = {x/y | x ∈ a, y ∈ b, y ≠ 0}。

以上是关于区间的基本运算，通过这些运算可以更好地理解区间之间的关系。

四、函数的图像1. 函数的图像函数的图像是指在平面直角坐标系中，函数的输入和输出值在坐标系中的对应关系的曲线。

通过图像可以直观地了解函数的性质与特点。

2. 函数的对称性函数的对称性可以通过函数的图像来判断。

奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。