函数的概念(区间的概念)

必修一第一章 集合与函数概念二、函数知识点8：函数的概念以及区间 1》函数概念设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x 注意：①x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域②与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域.2》区间和无穷大①设a 、b 是两个实数，且a<b ，则：{x|a ≤x ≤b}＝[a,b] 叫闭区间； ②{x|a<x<b}＝(a,b) 叫开区间；③{x|a ≤x<b}＝[,)a b ， {x|a<x ≤b}＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.④符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞.3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.典例分析题型1：函数定义的考察 例1：集合A=}{40≤≤x x ，B=}{20≤≤y y ，下列不表示从A 到B 的函数是（ ）A 、x y x f 21)(=→ B 、x y x f 31)(=→ C 、x y x f 32)(=→ D 、x y x f =→)(例2：下列对应关系是否是从A 到B 的函数：①}{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方；③B A f Z B Z A →==:,,，求算术平方根； ④B A f Z B N A →==:,,，求平方； ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。

函数的概念1.函数：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作：y=f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.确定一个函数的两个要素：定义域，对应法则．2.区间：区间指一个集，包含在某两个特定实数之间的所有实数，亦可能同时包含该两个实数。

区间表示法是表示一个变量在某个区间内的方式。

通用的区间表示法中，圆括号表示“排除”，方括号表示“包括”。

例如，区间(10,20)表示所有在10和20之间的实数，但不包括10或20。

另一方面，[10,20]表示所有在10和20之间的实数，以及10和20。

设a，b是两个实数而且a<b，实数a与b都叫做相应区间的端点。

规定：（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示[a，b]；（2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示﹙a，b﹚；（3）满足不等式a≤x<b，或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示[a，b﹚，﹙a，b]。

区间表示：｛x︱a＜x＜b｝=（a，b）； {x|a≤x≤b}=[a，b]；{x|a＜x≤b}=（a，b]； {x|a≤x＜b}=[a，b）； {x|x≤a}=（-∞，a]；{x|x≥a }=[a，+∞）； {x|x＞a }=（a，+∞）；实数集表示为（－∞，＋∞）3.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.。

函数的区间什么是函数的区间在数学中，函数的区间指的是函数在某一特定范围内的取值范围。

区间的概念对于函数的研究和分析具有重要的意义，能够帮助我们更好地理解函数的特性和行为。

区间的分类根据数学中的不同定义，函数的区间可以分为闭区间、开区间和半开半闭区间三种。

闭区间闭区间表示一个区间的两个端点都包含在内。

例如，对于一个实数集合X，如果存在a、b两个实数，且a <= b，则[a, b]表示一个闭区间，其中a为区间的左端点，b为区间的右端点。

闭区间可以用数学表达式[a, b]来表示，其中a和b为实数。

闭区间的取值范围包括了区间内的所有实数，即[a, b] = {x | a <= x <= b}。

开区间开区间表示一个区间的两个端点都不包含在内。

例如，对于一个实数集合X，如果存在a、b两个实数，且a < b，则(a, b)表示一个开区间，其中a为区间的左端点，b为区间的右端点。

开区间可以用数学表达式(a, b)来表示，其中a和b为实数。

开区间的取值范围不包括端点处的值，即(a, b) = {x | a < x < b}。

半开半闭区间半开半闭区间表示一个区间的左端点包含在内，而右端点不包含在内。

例如，对于一个实数集合X，如果存在a、b两个实数，且a <= b，则[a, b)表示一个半开半闭区间，其中a为区间的左端点，b为区间的右端点。

半开半闭区间可以用数学表达式[a, b)来表示，其中a和b为实数。

半开半闭区间的取值范围包括了左端点处的值，但不包括右端点处的值，即[a, b) = {x | a <= x < b}。

区间的表示方法除了上述数学表示方法外，函数的区间还可以用图形表示或称为数轴表示。

对于闭区间[a, b]，可以在数轴上画出一个闭合的线段，左端点对应a，右端点对应b。

这样的表示方法可以直观地展示出区间的范围。

对于开区间(a, b)，在数轴上画出一个不包括端点的线段，左端点对应a，右端点对应b。

函数的概念及表示一、函数的定义初中定义:在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与对应. 那么就说y 是x 的函数，其中x 叫做自变量。

高中定义:设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数(function)，记作y = f (x )，x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域(domain)；与x 的值相对应的y 值叫做函数值。

初中所学函数: 正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数1．一次函数:b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 2．反比例函:xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数:c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|24.指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且:定义域R,值域为+R ；5.对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且:定义域+R ,值域为R ；二、区间的概念：设,a b 是两个实数，而且a b <，规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ； （2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b ； （3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[,)a b ，(,]a b ．这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点。

ab abab a b课题 函数的概念及其表示一、函数的概念1 函数：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。

记作：(),y f x x A =∈。

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()}f x x A ∈叫做函数的值域。

（1）对函数符号()f x 的理解知道()y f x =与()f x 的含义是一样的，它们都表示y 是x 的函数，其中x 是自变量，()f x 是函数值，连接的纽带是法则f.f 是单值对应； (2)注意定义中的集合 A ，B 都是非空的数集,而不能是其他集合； 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域。

二、区间的概念设a 、b 是两个实数，且a b <，规定定义名称 符号数轴表示{|}x a x b ≤≤ 闭区间 [,]a b {}x a x b << 开区间 (,)a b {}x a x b <≤ 左闭右开区间 [,)a b {}x a x b <≤左开右闭区间(,]a b{|}[,)x x a a =+∞≥；{}(,)x x a a >=+∞；{}(,]x x a a =-∞≤；{}(,)x x a a <=-∞；(,)R =-∞+∞。

三、相等函数：○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等的条件是当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

四、函数的表示法1解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。

区间概念的理解区间是数学中的一个重要概念，广泛应用于数学分析、代数、几何和概率等领域。

在数学中，区间指的是由两个数值界定的一段连续的数值范围。

区间可以是开区间、闭区间或半开半闭区间，它们的区别在于是否包含区间的两个端点。

首先，我们来讨论闭区间。

闭区间是指包含了区间的两个端点的区间。

例如，对于实数集合R来说，闭区间[a, b]表示从a到b的所有实数，包括a和b。

这意味着区间的左端点和右端点都是该区间的元素。

闭区间通常用方括号“[ ]”表示。

接下来，我们来讨论开区间。

开区间是指不包含区间的两个端点的区间。

例如，开区间(a, b)表示从a到b的所有实数，但不包括a和b本身。

开区间的左端点和右端点都不是该区间的元素。

开区间通常用圆括号“( )”表示。

半开半闭区间是指一个端点是开的，另一个端点是闭的区间。

例如，左闭右开区间[a, b)表示从a到b的所有实数，包括a，但不包括b。

与闭区间类似，半开半闭区间的左端点是该区间的元素，而右端点不是。

半开半闭区间通常用“[ )”或“[ )”表示。

区间的长度可以通过计算两个端点之间的差值得到。

例如，闭区间[a, b]的长度为b-a。

区间的长度可以是有限的，也可以是无穷大的。

区间还可以用来描述数轴上的一段连续区域。

在数轴上，从某个数到另一个数的区间就是数轴上这两个数之间的所有点的集合。

例如，闭区间[1, 5]描述了数轴上从1到5的一段区域，包括1和5。

区间还可以通过比较符号来表示。

例如，我们可以使用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号来表示严格或非严格的不等关系。

例如，开区间(a, b)可以表示为{x a < x < b}，表示x的取值范围在a和b之间。

在数学分析中，区间概念常用于定义函数的定义域、连续性和收敛性等性质。

对于一个定义在区间上的函数，我们可以通过研究区间的性质来研究函数的性质。

总结起来，区间是数学中描述数值范围的一种方式。

闭区间包含区间的两个端点，开区间不包含区间的两个端点，而半开半闭区间只包含一个端点。

函数的概念及其表示知识梳理（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④零（负）指数幂的底数不能为零．⑤若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑥对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑦由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值． ④换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的．⑤反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑥数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑦函数的单调性法．（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．（7）分段函数：定义域不同对应法则不同的函数，解题方法-分段函数分段求。

函数区间知识点总结一、函数和区间的基本概念1. 函数的概念函数是一个输入和一个输出之间的特定关系。

数学上，函数可以表示为f(x) = y，其中x 是输入值，y是输出值。

函数可以用图像、表格、公式等形式表示。

2. 区间的概念在数学中，区间是指由两个数值构成的集合，其中包括这两个数及其之间的所有实数。

区间通常用符号[a, b]、(a, b)、[a, b)、(a, b]来表示。

二、函数的性质1. 奇函数与偶函数奇函数是指满足f(-x) = -f(x)的函数，其图像通常关于原点对称。

偶函数是指满足f(-x) = f(x)的函数，其图像通常关于y轴对称。

2. 周期性周期函数是指满足f(x + T) = f(x)的函数，其中T为正数。

3. 单调性单调递增函数是指在定义域内，随着自变量的增大，函数值也随之增大；单调递减函数则相反。

4. 极值与最值极值是函数在定义域内的最值点，包括最大值和最小值。

5. 奇偶性、周期性、单调性、极值与最值都是函数的重要性质，通过它们可以更好地理解和分析函数的行为。

三、区间的运算1. 区间的加法如果a和b是两个区间，那么a + b = {x + y | x ∈ a, y ∈ b}。

2. 区间的减法如果a和b是两个区间，那么a - b = {x - y | x ∈ a, y ∈ b}。

3. 区间的乘法如果a和b是两个区间，那么a * b = {xy | x ∈ a, y ∈ b}。

4. 区间的除法如果a和b是两个区间，那么a / b = {x/y | x ∈ a, y ∈ b, y ≠ 0}。

以上是关于区间的基本运算，通过这些运算可以更好地理解区间之间的关系。

四、函数的图像1. 函数的图像函数的图像是指在平面直角坐标系中，函数的输入和输出值在坐标系中的对应关系的曲线。

通过图像可以直观地了解函数的性质与特点。

2. 函数的对称性函数的对称性可以通过函数的图像来判断。

奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。

第三讲 1.4函数和区间知识点归纳：（一）函数的有关概念 1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．注意：○1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 2． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 3．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示．],[}|{b a b x a x =≤≤ ),[}|{b a b x a x =<≤ ],(}|{b a b x a x =≤< ),(}|{b a b x a x =<< ],(}|{b b x x -∞=≤ ),[}|{+∞=≤a x a x4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论(1)一次函数：)0()(≠+=k b kx x f 的定义域为： ,值域为： ； (2)二次函数：)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为： ,值域为： ；(3)二次函数：)0()(≠=k xkx f 的定义域为： ,值域为： ；说明：○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

高一年级数学重要知识点总结导读：本文高一年级数学重要知识点总结，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。

【一】一丶函数的有关概念1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.注意：1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.u相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备)2.值域:先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.(2)画法A、描点法：B、图象变换法常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换4.区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数轴表示.【二】(一)、映射、函数、反函数1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.2、对于函数的概念，应注意如下几点：(1)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.(2)掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数.3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);(3)将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1(x)，并注明定义域.注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起.②熟悉的应用，求f-1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算.(二)、函数的解析式与定义域1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：①分式的分母不得为零;②偶次方根的被开方数不小于零;③对数函数的真数必须大于零;④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函数y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域.2、求函数的解析式一般有四种情况(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.(3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.(4)若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量(如f(-x)，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式.【三】函数的值域与最值1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.如函数的值域是(0，16]，值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积(体积)(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.。