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0 1 2 6 3
0 0 0 0 0
5 4 3 1 2
0 0 0 0 0
1 行 0
0
0 1 0
-1 2 0
-5 6 0
-2
3
由R A R A, =2 5,
0 故可以表为1,2,3,4
0 0
0
0
0
的线性组合，且表示法
不唯一.
Ax 的同解方程组为
x1 x2
x3 5x4 -2 2x3 6x4 3
m1 1
m2 2
a x
0,
1n n
a x
0,
2n n
a x
0.
mn n
向量组1,2 ,
,
线性相关
n
齐次线性方程组有非零解. R( A) n
向量组1,2 ,
,
线性无关
n
齐次线性方程组有仅有零解.
R( A) n
a x a x
a x a x 如果m
n,即
11 1
12 2
21 1
,
2
1 ,
,n
0
0
0
1
则 可由 1,2, ,n 线性表出
a1
a2
a11
a22
ann
13
an
例5 向量组A: 1,2,…,s中的任一向量都可以由 这个向量组线性表示
i 01 0i1 1i 0i1 0s (1 i s)
14
• 已知的向量能否由一个已知的向量组线性表示？ • 或者说：一个已知的向量是否可以表示为已知向量的线性组合。
线
的充分必要条件是
R(A) R(A, )
其中 A 1,2, ,n
26
例6 设 = [1,1,1]T, = [1,3,0]T, = [2,4,1]T 试将向量 用向量 与 线性表出
27
➢向量组的线性相关与线性无关的概念 定义2.2.5
对于向量组 1,2,…,s如果存在
不全为零的数 k1,k2,…,ks ,使得
a2 j
an a1n a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 ,, an 称为矩阵A的列向量组.
类似地,
矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
T 1
T 2
A ai1
ai2
ain
T i
am1 am2 amn
2
5
,
3 4,
4
1.
3
0
1
2
4
➢ 若干个维数相同的列向量(或维数相同的行向量) 所构成的集合叫做向量组
➢由一个向量组的部分向量构成的向量组称为该 向量组的部分组
5
向量组在本课程中的重要性
例矩如阵A
(a
ij
) mn
有n个m维列向量
a1
a11
A
a21
a2 a12 a22
aj a1 j
设向量组为 0, 1,2,…,s 对任意的数 k 0，有
k0 + 01 + 02 +…+0n = 0
40
例11 如果n维向量组 1,2 , ,s (s 2)
线性无关, 试判断向量组
1 2 ,2 3, ,s1 s ,s 1
的线性相关性
解 设存在数 k1, k2 , , ks ,使得
k1(1 2 ) k2 (2 3) ks1(s1 s ) ks (s 1) 0
使得
k11 k22 kss
则称向量 可以表为 1,2 , ,s 的线性组合, 或称
可由向量组 1,2, ,s 线性表出(或线性表示)
11
例3 n维零向量0是任一n维向量组 1,2 , ,s
的线性组合
0 01 02 0s
12
例4 设 Rn n维单位坐标向量组为
1 0
0
1
0
(1)确定当a为何值时， 不能由向量组 1, 2 , 3的线性表出?
(2)确定当a为何值时，能由向量组 1, 2 , 3的线性表出?
(3)确定当a为何值时，能由向量组 1, 2 , 3的唯一地线性表出?
解
1 1 1 1
1 1 1 1
A, 2 a 2 5
3
行
0
a
3
1
0 3a a 6 3
解由
1
2
1 8,6,9T
2
1,1, 2T
3,
2,
5 2
T
10
三、线性相关性
定义2.2.4 设1,2 , ,s Fn ,则对任意常数
l1, l2 , , ls F, 向量
l11 l22 lss
称为这s个向量的一个线性组合
设 1,2 , ,s , F n 若存在常数 k1, k2 , , ks F
35
推论2.2.3
令 A [1, 2 ,, n ] ,则n维向量组 1,2 , ,n
线性相关的充分必要条件是n元齐次线性方程组
AX 0 的系数行列式等于零
例7 任意s(>n)个n维向量必线性相关
设 1,2, ,s F n 令 A [1,2 , ,s ]
则
R(A) s
AX 0 有非零解
向量组 1,2 , ,s 必线性相关
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的.
5.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组, 它 线 性 相 关 的 充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义 是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向 量共面.
证
例 已知向量组1,2,3 线性无关 , b1 1 2 , b2 2 3, b3 3 1,
定理2.2.2
设 1,2, ,s F n 令 A 1,2, ,s
X x1, x2, , xs T 则向量组 1,2 , ,s
线性相关的充分必要条件是s元齐次线性方程组
AX 0
有非零解. 推论2.2.2
设 A 1,2, ,s 则向量组 1,2, ,s
线性相关的充分必要条件是 R(A) s.
22 2
a x a x
n1 1
n2 2
a x
0,
1n n
a x
0,
2n n
a x
0.
nn n
x x
11
22
x
0
nn
向量组1,2 ,
,
线性相关
n
det(齐次 1,线2, 性,方 n程 )=组 0.有非零解.
向量组1,2 ,
,
线性无关
n
齐de次 t(线1,性 2方 , 程,组 n )有 0仅. 有零解.
1
0 3a a 6 3
0 0 a-3 0
(2()2当)确a=定13,时当 ，2a,为 A,3的 何线 值行 性 时表 ，10出 能?10 由0向 1 量1233 组
0 0
0
0
此时，R( A) R( A, ) 2, 能由向量组
1, 2 , 3的线性表出,但表示法不唯一.
x1
2 3
Ax
的通解为
试证ห้องสมุดไป่ตู้1,b2,b3线性无关 .
例 n 维向量组
1 0
1
0
,
2
1 ,
0
0
0
,n
0
1
称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 .
且Rn中的任意向量均可表示
为1 , 2 ,
,
的线性组合.
n
x x
11
22
x
0
nn
a x a x a x a x
11 1
21 1
12 2
22 2
a x a x
行向量
a1
或
a2
=[a1,a2
,…,
an]
T
an
列向量
2 本节中，n维向量均指n维列向量
➢ 数域F上的全体n维列向量构成的集合记作 Fn
➢分量都是0的n维向量称为零向量，记作0
➢向量 [a1, a2 , , an ]T 称为n维向量 [a1, a2 , , an ]T的负向量, 记作
n ]T (3)
k =[ka1,ka2 ,…, kan]T
(4) - = (-1) = [- a1,- a2 ,…,- an]T
(5) - = +(-1)
8
对任何的n维向量 , , 及任意实数k, l, 向
量 的加法及数乘运算统称为向量的线性运算.满足 下列的八条性质
(1) + = +
故Ax 的通解为
x1=k1+5k2 -2
x2
=-2k1-6k2 x3 =k1
+3 ,
k1,
k2
R.
x4 =k2
故 =k1+5k2 -21+-2k1-6k2 +32+k13+k24
其中k1, k2 R.
1 1 1 1
例
设1
2
,2
a
2
,3
5
,
3
,
0
3a
a 6 3
x2
1 3
c ,其中c
R
x3 c
故
=
2 3
1 +
1 3
+c
2
c3,
其中c R.
1 1 1 1
1 1 1 1
A, 2 a 2 5
3
行
0
a
3
1
0 3a a 6 3
