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数值分析1-误差及有效数字

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数值分析课后习题答案

数值分析课后习题答案

0 1
0 10 1 1 0 0 0 1
0 0 12 1 1 2 0 0 0

1 2
0 0 0 1 1 0
1 2

1 2


1 2
1
0 0 0 1 0

1 2

1 2


0
1 2

1 2
0
0
0
341 1 1
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组
Ax=b，其中
16 4 8
1
A 4 5 4 , b 2
8 4 22
3
解
16 A 4
4 5
84
44 11
2-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中
2 1 1 A1 3 2
4 ,b6
1 2 2
5
解
2 A 1
1 3
1 2


2 11
22
1
5 2
1

3 21来自，所以 A12
1
2 1 1



5 3
2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组
3 2 6x1 4 10 7 0x2 7 5 1 5x3 6
解
3 2 6 4 10 7 0 7 10 7 0 7

r1r2
消元

10 7 0 7 3 2 6 4 0 0.1 6 6.1
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623

数值分析误差

数值分析误差

I k −1
11 ( k = n, n − 1,…,2,1) = − Ik 5k
(1 − 3)
依式（ 依式（1-3）计算
* 0
的近似值。 I n −1 , I n − 2 ,…, I 1 , I o 的近似值。
* 14
1 1 1 分别取 I = 0.18232155， I = + ≈ 0.01222222 2 6 × 15 5 × 15 按算法1、算法 2的计算结果见下屏表 1 − 1：
逆向递推公式在数学上完全等价，却导致两种完全不同的 逆向递推公式在数学上完全等价， 算法。对于实数序列的递推由于初始误差的存在，可以一 算法。对于实数序列的递推由于初始误差的存在，
种方向的递推会使误差扩大， 种方向的递推会使误差扩大，而另一方向的递推会使得误 差逐步减小。在设计（选用） 差逐步减小。在设计（选用）算法时要用使初始误差不增 长的算法。 长的算法。
1 3 1 5 作近似计算， 取 S = x − x + x ，作近似计算，则 3! 5! 为其截断误差。 为其截断误差。
R = sin x − S
条 件 问 题
计算方法中有一类问题称为条件问题， 公式） 条件问题是一个算法 （公式）由于初始 数据或者中间某些数据微小摄动对计算结 果产生影响的敏感性的问题。舍入误差、 果产生影响的敏感性的问题。舍入误差、 观测误差都属初始数据的摄动。研究坏条 观测误差都属初始数据的摄动。 件问题的计算方法是十分重要的课题， 件问题的计算方法是十分重要的课题，有 的时候，一些问题的条件并不坏， 的时候，一些问题的条件并不坏，但由于 算法不恰当， 算法不恰当，初始数据的微小摄动或舍入 误差在计算过程中不断被放大，而可能导 误差在计算过程中不断被放大， 致计算结果的精度大大降低， 致计算结果的精度大大降低，甚至使计算 失去意义。

数值分析期末复习资料

数值分析期末复习资料

数值分析期末复习资料数值分析期末复习题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明第一章误差与有效数字一、有效数字1、定义：若近似值X*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说x*有n 位有效数字。

2、两点理解：（1） 四舍五入的一定是有效数字（2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. ・§丄％ 3、 定理1 （P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差虧疗茲T 4、考点：（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1 （P7例题3） 二、避免误差危害原则 1、原则:（1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：xl*x2= c / a ） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. V777-77 =c ・2 X2sin7 或 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14 三. 数值运算的误差估计 1、公式：（1） 一元函数：I £*（ f 3））1 Q |「（於）1・| £*（力|或其变形公式求相对误差（两边同时除以f （卅））eg. P19习题1、2、5(2) (3) ln(x + £)- In x = In 1；1 — cos X =（2）多元函数（P8） eg. P8例4, P19习题4第二章插值法一、插值条件1、定义：在区间［a, b］上，给定n+1个点，aWxoVx［V・・・VxWb的函数值yi=f(xi),求次数不超过n的多项式P(x),饋兀)=儿 i =0,1,2,…，力2、定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数Wn的P(x)存在且唯一二、拉格朗日插值及其余项1、n次插值基函数表达式(P26 (2.8))2、插值多项式表达式(P26 (2.9))3、插值余项(P26 (2.12))：用于误差估计4、插值基函数性质(P27 (2. 17及2. 18)) eg. P28例1三、差商(均差)及牛顿插值多项式1、差商性质(P30)：(1)可表示为函数值的线性组合(2)差商的对称性：差商与节点的排列次序无关(3)均差与导数的关系(P31 (3.5))2、均差表计算及牛顿插值多项式例：已知X=1,4,9的平方根为1,2,3,利用牛顿基本差商公式求"的近似值。

数值分析总结

数值分析总结

数值分析总结第二章数值分析基本概念教学内容：1.误差与有效数字误差、误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的定义及相互关系；误差的来源和误差的基本特性；误差的计算（估计）的基本方法。

2.算法的适定性问题数值分析中的病态和不稳定性问题介绍；病态问题和不稳定算法的实例分析。

3.数值计算的几个注意问题避免相近二数相减；避免小分母；避免大数吃小数；选用稳定的算法。

1.数值分析简介数值分析的任务数值分析是研究求解各类数学问题的数值方法和有关理论的学科 ● 数值分析的过程构造算法、使用算法、分析算法2. 数值计算的基本概念● 误差概念和分析误差的定义：设x 是精确值，p 是近似值，则定义两者之差是绝对误差: a x p ∆=-由于精确值一般是未知的,因而Δ不能求出来,但可以根据测量误差或计算情况估计它的上限|-|x p εε<称为绝对误差限。

相对误差定义为绝对误差与精确值之比ar x∆∆=ar xη∆∆=<称为相对误差限误差的来源：舍入误差将无限位字长的精确数处理成有限位字长近似数的处理方法称为舍入方法。

带来舍人误差。

有效数字 对于a=a0 a1 … am . am+1 … am+n(a0≠0) 的近似数， 若|Δ|≤0.5x10-n ，则称a 为具有m+n+1位有效数字的有效数，其中每一位数字都叫做a 的有效数字。

有效数和可靠数的最末位数字称为可疑数字 有效数位的多少直接影响到近似值的绝对误差与相对误差的大小。

推论1 对于给出的有效数，其绝对误差限不大于其最末数字的半个单位。

推论2 对于给出的一个有效数，其相对误差限可估计如下：例:计算y = ln x 。

若x ≈ 20，则取x 的几位有效数字可保证y 的相对误差 <120.10mn x a a a =±⨯1102m nx x *-∆=-≤⨯120.10mn x a a a =±⨯15()10n r x a -∆≤⨯0.1% ?截断误差用数值法求解数学模型时，往往用简单代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引起的误差。

数值分析 误差知识与算法知识

数值分析 误差知识与算法知识
1.2 误差知识与算法知识
一、误差的来源与分类 二、 绝对误差、相对误差与有效数字
三、误差估计的基本方法
四、算法的计算复杂性 五、数值运算中的一些原则
1.2误差知识与算法知识
一、误差的来源与分类 模型误差 (描述误差 ) ( 测量误差) (方法误差 ) ( 计算误差 )
观测误差
截断误差 舍入误差
建模过程中 产生的误差
三、误差估计的基本方法 （一）误差估计的一般运算 一元函数：
e( f (a)) f (a) e(a)
二元函数：
( f (a)) f (a) (a)
f (a, b) f (a, b) e( f (a, b)) e(a) e(b) x y
f (a, b) f (a, b) ( f (a, b)) ( a) (b) x y
Tn an 秦九韶算法 Tk xTk 1 ak , k n 1, n 2,,1,0 p ( x) T 0 n
加法次数： n
n(n 1) 乘法次数： 2
pn ( x) a0 x(a1 x(a2 x(an1 xan ) )
有效数字=可靠数字+存疑数字
（3）有效数字 有效数字的定义： 设a是x的近似值，如果a的误差绝对值不超过x 的第k位小数的半个单位，即
则称近似值a准确到小数点后第k位。 从这个小数点后第k位数字直到最左边非零数 字之间的所有数字都叫有效数字。
1 k x a 10 2
1 1 2 (2.18) 10 (2.1200) 10 4 2 2
例8 设有三个近似数
a=2.31, b=1.93, c=2.24 它们都有三位有效数字,试计算 p a bc, ( p), r ( p), 并问:p的计算结果能有几位有效数字? 教材例4

《数值分析》所有参考答案

《数值分析》所有参考答案

习题11 -以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数(1)% = 451.023(2)x；=-0.045 113(3)x3 = 23.421 3,* 1(4)x4=3(5)x5 = 23.496,* /-(6)x6= 96x 10 ,(7)x；= 0.000 96,(8)x8 =-8 700, 解：(1) x；=451.023x1= 451.01;x2=—0.045 18;x3= 23.460 4;x4= 0.333 3;x5= 23.494;x6= 96.1 x 105;x；= 0.96X 10 'x8= —8 7003 x^ 451.01* 1 _1 一#x1—= 0.013兰一汇10 —, x1具有4 位有效数字。

％t451.02(2) x；二-0.045 113 x2二-0.045 18=0.045 1 8- 0.045113 =0.000 067 - 10 _32X2具有2位有效数字，x^ -0.045⑶x3 =23.4213 x3= 23.4604*X3— X3 = 23.4213 - 23.4604 = 23.4604 — 23 .4213 = 0.0391 X3具有3位有效数字，X3 > 23 .4 （不能写为23.5）* 1⑷ x4二,x4二0.3333 J 10_1 23二 23 .496 - 23.494 二 0.002X 6具有2位有效数字,75x 6 =0.9610= 96 102•以下各数均为有效数字:(1) 0.1062 + 0.947;(2)23.46— 12.753;(4) 1.473 / 0.064。

问经过上述运算后，准确结果所在的最小区间分别是什么? 解：(1) X i =0.1062， X 2 =0.947， X i +X 2 =1.05321e( )+ e(x 2 )兰 e( )+ e(x 2)兰一汉 10*X 4=0.000033：：： -10 一4 2,X 4具有4位有效数字，X 4 二0.3333(5) x 5 = 23.496, x 5 = 23.494X5具有4位有效数字,x 5 > 23.50 不能写为 23.49)(6)*57X 6 = 96100.96 10 57X 6=96.1 10 =0.96110*X6=0.001 10 _7< -10 ° 10 一7 2X 7 = 0.00096X 7 -0.9610° *X7-0.96 10’*X7=0X 7精确(8)二 -8700 x8二 -8 7 0.3*X8-X 81 = 0.3102X 8具有4位有效数字，X 8二-8700 精确e(xd| 兰丄。

数值计算方法第01章误差

数值计算方法第01章误差

1.2 绝对误差、相对误差和有效数字
绝对误差/* Absolute error */
定义1. 设x为准确值 , x*为x的一个近似值 , 称 e(x*) x* x
为近似值x*的绝对误差 ,简称误差 ,可简记为E.
因为准确值 x 往往是未知甚至是无法 知道的
因此 E(x* ) x* x 往往也无法求出
例：计算
In

1 e
1 xne xdx ,
0
n 0,1, 2, ......
公式一：In 1 n In1
I0

1 e
1 e xdx
0
1
1 e

0.63212056
记为
I
* 0
则初始误差 E0 I0 I0* 0.5108
注意此公式精确成 立
1
e
1 0
x1=0.0315 x2=0.3015 x3=31.50 x4=5000
1.2.2 有效数字
有效数字是近似值的一种表示法。它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。
若x*作为x的近似值, 其绝对误差的绝对值不 超过某一位数字的半个单位, 而该位数字到 x*的第 一位非零数字共有n位, 则称用x*近似x时具有n位 有效数字, 简称x*有n位有效数字.
1.3数值计算中误差的传播
1.3.1 基本运算中的误差估计 在数值运算中，参加运算的数若有误差，那
么一定会影响到计算结果的准确性.
例、设y=xn,求y的相对误差与x的相对误差之间的关 系。
1.3.2 算法的数值稳定性
计算一个数学问题，需要预先设计好由已知 数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。
且 x* x x* 准确值 x 的范围

数值计算方法第一章 误差

数值计算方法第一章 误差

6
误差的来源
4.舍入误差 在计算过程中往往要对数字进行舍入。 如受机器 字长的限制，无穷小数和位数很多的数必须舍入成 一定的位数。 这样产生的误差称为“舍入误差”。 本课程只讨论截断误差与舍入误差对计算结 果的影响。
§1.2 绝对误差、相对误差和有效数字
7
绝对误差、相对误差和有效数字
1.2.1
绝对误差与相对误差
17
x* 0.a1a2 an 10m
如果
1 x x 10 m n 2
*
(1-5)
(1-6)
* x 则称近似值 有n位有效数字。
1 5 x 0 . 003400 10 例如 表示近似值0.003400准确 2
到小数点后第5位,有3位有效数字。
上面的讨论表明，可以用有效数字位数来刻划 误差限。 形如式(1-5)的数，当m一定时，其有效数字 数位n越大，则误差限越小。
但可以根据测量 能算出绝对误差 e( x*) 的准确值， 工具或计算的情况估计出它的取值范围，
8
绝对误差、相对误差和有效数字
即估计出误差绝对值的一个上界
e( x ) x x
* *
*
(1-2)
通常称 为近似值 x 的绝对误差限，简称误差限。 显然误差限不是唯一的。 有了误差限及近似值，就可以得到准确值 的范围 * * 即准确值 x
* 显然，误差限与近似值绝对值之比 * 为 x 的 一 x
个相对误差限。
例 取3.14作为 相对误差限.

的四舍五入的近似值,试求其
13
绝对误差、相对误差和有效数字
1 2 3 . 14 0 . 0016 10 解: 2 相对误差限 1 2 10 2 0.159 % * x 3.14 又如 由实验测得光速近似值为 c * 2.997925 105 km/s， 其误差限为 0.1 km/s， 于是

数值分析_第一章_误差

数值分析_第一章_误差
6
的关系. 解
e( y ) e( x n ) nx n1e( x )
e( y ) nx n1e( x ) e( x ) er ( y ) n ner ( x ) n y x x
所以xn 的相对误差是 x 的相对误差的n倍. x2的相对误差是 x 的相对误差的 2 倍,
x 的相对误差是 x 的相对误差的 1/2 倍.
一位的所有数字均称为有效数字.
例： 3.1415926535 897932 ......;
问： *有几位有效数字？ 解： |π * π| 0.5 10 3
* 3.1415
* 有4 位有效数字，精确到小数点后第3 位
3
例
已知下列近似值的绝对误差限都是0.005, 问
问应取几位有效数字？ 解 由于 2 1.414, 则近似值x*可写为
x* 0.a1a2 an 101 ,
a1 1 0.
令
1 2 x * 101 n 10 5 2
故取 n=6，即取 6 位有效数字. 此时 x*=1.41421.
5
例
设 y=xn, 求 y 的相对误差与 x 的相对误差之间
例 用毫米刻度的米尺测量一长度 x, 如读出的长度
是 x*=765 mm, 由于误差限是 0.5 mm, 故准确值
x [764.5 mm , 765.5 mm ].
精确值x , 近似值 x* 和误差限 之间满足：
x * x x *
通常记为
x x *
1
例 设 x*=1.24是由精确值 x 经过四舍五入得到的 近似值, 求x*的绝对误差限和相对误差限. 解 由已知可得: 1.235 x 1.245

《数值分析》第一章 数值计算中的误差

《数值分析》第一章 数值计算中的误差

值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。
14
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 例：设a=-2.18和b=2.1200是分别由准确值x和y 经过四舍五入而得到的近似值，问: a、b的绝 对误差限、相对误差限各是多少？
解： (a) 0.005 0.5 102
(b) 0.00005 0.5104
n位
≤ 0 . 0 … 0 999... < 0 . 0 … 0 1=1×10－n
n位
n-1位
• 截断法产生的绝对误差限不超过近似数a最末位 的1个单位。
11
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 四舍情况，
A=a0 a1 … am . am+1 … am+n
• 当am+n+1 =0,1,2,3,4时，
4
§2 舍入方法与有效数字
5
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 近似数a的绝对误差 ， 简称误差 设a是精确值A的近似值，
=a－A
• 绝对误差限 ||=|a－A|<(上界)
• 由上式可推知 a－ <A<a+，也可表示为A=aAFra biblioteka-a
a+
6
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 相对误差 ： 绝对误差与精确值之比 =/A。 • 实际计算/a。
代替后误差
a A 1 2
A a Aa
Aa
• 相对误差限 ||=|/a |< /|a|＝ (上界)
• 绝对误差是有量纲的量，相对误差没有量纲,有时 亦用百分比、千分比表示。

《数值分析》教案

《数值分析》教案

讲授新 进展内容
介绍等距节点插值公式在工程设计上的应用，例如在微电机设计在设计上的 应用。
课后总结
5
河北工程大学教师授课教案（5）
学院（部）： 数理学院 教师姓名：
课程名称
数值分析
授课专业和班级
授课时间:
学术型研究生
授课内容
2.5 埃尔米特插值
授课学时 2 学时
教材
《数值分析》，周少玲，张振辉编，西安交通大学出版社。
6
河北工程大学教师授课教案（6）
学院（部）： 数理学院 教师姓名：
课程名称
数值分析
授课专业和班级
授课时间:
学术型研究生
授课内容
2.6 曲线拟合的最小二乘法
授课学时 2 学时
教材
《数值分析》，周少玲，张振辉编，西安交通大学出版社。
教学目的和要求
1. 掌握最小二乘法的基本原理；2. 掌握多项式拟合方法； 3. 了解可化为多项 式拟合的最小二乘方法。
课后总结
8
河北工程大学教师授课教案（8）
学院（部）： 数理学院 教师姓名：
课程名称
数值分析
授课专业和班级
授课时间:
学术型研究生
授课内容
3.2 牛顿--柯特斯公式
授课学时 2 学时
教材
《数值分析》，周少玲，张振辉编，西安交通大学出版社。
教学目的和要求 1. 掌握牛顿--柯特斯公式； 2. 了解低阶牛顿--柯特斯公式的截断误差。
1、复习旧课（15 分钟）
回顾差商的定义。
2、讲授部分（25 分钟）
引入重节点的差商，并于 Taylor 展开式联系，介绍两者的关系（难点）。
3、复习部分（5 分钟）

Maple数值分析第一章

Maple数值分析第一章

(1.1.1)Maple14数值分析学习笔记第一章 插值与函数逼近之student 程序包1.绝对误差、相对误差和有效数字（1）Student[NumericalAnalysis][AbsoluteError] ‐ compute the absolute error of an approximation ‐‐计算一个逼近（多项式或非多项式）的绝对误差Calling Sequence （调用格式）：AbsoluteError(xe, xa, opts)Parameters （参数说明）：xe ‐ realcons; the exact value ：精确值（realcons ‐>real constant,实常数）xa ‐ realcons; the approximated value ：近似值opts ‐ (optional) equation(s) of the form digits = value,digits （ environment variable ）的值是一个正整数A positive integer ，默认值是10。

Example ：with Student NumericalAnalysis :appr :=10.0:exac d 9.8:AbsoluteError exac ,appr ,digits =50.2感悟：整个Maple 有许多模块组成，或者说是程序包，Student 是其中之一，而NumericalAnalysis 又是其中的一个模块。

也可以用面向对象的方法来描述：当然仅仅是对Maple 的猜测性描述，所有的程序包都是一个个类，或许它们有一个公共的基类maple ，也就是说maple 派生出Student 类，Student 类又派生出NumericalAnalysis 类，而AbsoluteError 是NumericalAnalysis 类的一个方法.当我们需要调用AbsoluteError 函数时，就需要加载Student[ NumericalAnalysis]类。

数值分析--1误差

数值分析--1误差

e * ( x) | er* ( x ) | x*
1 10 n1 2(a1 1)
相对误差限 有效数字 已知 x* 的相对误差限可写为 εr *
10 n 1 则 | x x* | ε r * | x* | 0 .a1a 2 10m 2( a1 1)
10 n 1 ( a1 1) 10m 1 0 .5 10m n 2( a1 1)
可见 x* 至少有 n 位有效igits
例：为使 π *的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？ 解：假设 * 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为
εr * 1 10 n 1 2a1
要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足
可见初始的小扰动 | E0 | 0 .5 108 迅速积累，误差呈递增走势。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。

公式二： I n 1 n I n1

I n 1
1 (1 I n ) n
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。
有效数字与相对误差的关系(page 10)
§2 Error and Significant Digits
有效数字 相对误差限 已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误差限为
ε* 0 .5 10m n 10 n εr * m x* 0 .a1a 2 a n 10 2 0 .a1 1 10 n 1 2a1
证明： π* 0 .31415 101 ,
and |π * π| 0 .5 10 3 0 .5 101 4 * 有 4 位有效数字，精确到小数点后第 3 位。

数值分析思考题1

数值分析思考题1
4、 取 ，计算 ，下列方法中哪种最好？为什么？
（1） ，（2） ，（3） ，（4） ，（；
（2） =0.52=0.25；
（3） =0.0050726；
（4） =0.00510385；
（5） =99-98.70=0.3；
2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？
答：在实际计算时，由于真值常常是未知的，当 较小时，通常用 代替。
3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。
答：（1）病态问题：对于数学问题本身，如果输入数据有微小变化，就会引起输出数据（即问题真解）的很大变化，这就是病态问题。
（2）不同点：数值稳定性是相对于算法而言的，算法的不同直接影响结果的不同；而病态性是数学问题本身性质所决定的，与算法无关，也就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算都将产生不稳定性。
数值分析思考题1
1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。
答：（1）绝对误差（限）与有效数字：将x的近似值x*表示成
x*=±10m×(a1×10﹣1+a2×10﹣2+…an×10﹣n+…+ak×10﹣k+…)，其中m是整数，a1≠0，a1，a2，…，ak是0到9中的一个数字。若绝对误差 ，那么x*至少有n个有效数字，即a1，a2，…，an为有效数字，而an+1，…，ak，…不一定是有效数字。因此，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字位数越多，其绝对误差限也越小。
（2）相对误差（限）与有效数字：将x的近似值x*表示成
x*=±10m×(a1×10﹣1+a2×10﹣2+…an×10﹣n+…+ak×10﹣k+…)，其中m是整数，a1≠0，a1，a2，…，ak是0到9中的一个数字。若ak是有效数字，那么相对误差不超过 ;反之，如果已知相对误差r，且有 ，那么ak必为有效数字。

数值分析中的误差

数值分析中的误差

第9章 数值分析中的误差 典型问题解析考试知识点：误差、有效数字。

（6%）学习要点：误差、有效数字。

典型问题解析：一、误差绝对误差e ：e =x －x *（设精确值x *的近似值x ， 差e =x －x *称为近似值x 的绝对误差(误差)）。

绝对误差限ε：ε≤-=*x x e（绝对误差限ε是绝对误差e 绝对值的一个上界。

）相对误差e r ：***-==x x x x e e r （绝对误差e 与精确值x *的比值，常用x e e r =计算） 相对误差限r ε：r r e ε≤（相对误差e r 绝对值的一个上界），r r x x x x e εε=≤-=||||||***，*xr εε=，常用x ε计算. 绝对误差限的估计式：（四则运算中）)()()(2121x x x x εεε+=± )()()(122121x x x x x x εεε+≈22122121+=x x x x x x x )()()(εεε 二、有效数字有效数字：如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位. 从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x 的有效数字.(1)设精确值x *的近似值x ，若m n a a a x 10.021⨯±=a 1,a 2,…,a n 是0～9之中的自然数，且a 1≠0，n l x x l m ≤≤110⨯50=≤--,.*ε 则x 有l 位有效数字.例1 设x *= π=3.1415926…,若x *的近似值x 为3.14，3.1415，3.143，求x 的有效数字位数.解：若x =3.14＝0.314×101，（m =1）31105.06592001.0-*⨯≤=- x x （l =3）故x =3.14有3位有效数字。

若x =3.1415＝0.31415×101，（m =1）41105.00000926.0-*⨯≤=- x x （l =4）故x =3.1415有4位有效数字。

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（避免绝对值很大的数为乘数）
x1 1 x1 e e x ex 2 （避免 x2 为很小的数为除数） 1 2 x x x2 2 2
er x1 x2 x1 x2 er x1 er x 2 x1 x2 x1 x2
er x1 x2
这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及 表示范围（4个参数）：
x s p
其中， s =±0.a1a2a3………at 称为尾数∈[-1,1],
s 中的正负号用一位数字区分；
β为基数，如取2、10、8、16； p为阶数，有上限U和下限L, 由计算机存储字节长度决定。
1.4 误差危害的防止 （1）使用数值稳定的计算公式
数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不大的算法， 若第n+1步的误差en+1 与第n步的误差en满足
en 1 1 en
，则称该计算公式是绝对稳定的
例：建立积分In=

1
0
xn dx x5
（n=0,1.........,20）
递推关系式，并分析误差传播影响。
解： I +5I
n
n-1=
x 5x 0 x 5 dx
1 n n -1

1
0
x n-1dx
x n
n
1

0
1 n
I 0=
1 0 x 5dx
1
ln x 5
1 0
=ln6-ln5
1 In -5In -1 n ∴递推式： I 0 ln6 - ln5
2
x1 x 2
2
e x1 e x 2
2
x1 x 2 2
ex ex
1 2
1 1 4 4 10 10 2 44.7325 44.71022 2
0.25 107
1 107 2
x1 x2 er x1 er x2 （避免两相近数相减运算) x1 x2 x1 x2
er x1 x2 er x1 er x2
x1 er x er x1 er x 2 2
1.3 机器数系.
(略.主要防止计算机处理过程中的数字溢出和含入误差)
* x x 定义： 为准确值，
为近似值，则
x* x e er * * x x
分析：
(1). (2). (3).
er
可正可负
x 1 * x
*
er 1
er
er
无法知道，因为 x 不知道， 也可表示为
x* ห้องสมุดไป่ตู้ x e er x x
er 和 er 之间关系为： er er
主要内容：
（1）数值计算：非线性方程求根，（非）线 性方程组求解，插值，逼近（最小二乘拟 合），数值微分（积分），常微分方程，矩 阵特征值求解，偏微分方程数值解,……
（2）理论分析：误差分析，计算过程的收敛 性、稳定性（数学角度上），算法的计算时 间复杂度，存储容量大小（计算机角度上）
特点 :
具有数学的抽象性和逻辑严密性
1 2 t
例：数0.00234711，取五位有效数字， 为0.0023471， 误差限为 例： =1.732050808 若
x
1 107 2
=1.7321，
1 104 2
则有5位有效数字，因为误差限＜ 但若 x =1.7320，
则只有4位有效数字，因为误差限＞
1 104 2
1.2.5误差传播影响
1
即
设
1 1 In , 6(n 1) 5(n 1)
1 1 I 20 6 21 5 21
20
e20 I 20 I 20 ,
则
1 e0 e20 ，误差范围逐步减少。 5
（2）避免两相近数相减
er x1 -x2
x1 x2 e1r e 2r x1 x 2 x1 - x 2
f x1 , x2 x1 f x1 , x2 x2 er x1 er x2 x1 y x2 y

根据以上两公式，可得到两数相加、减、乘、除 的误差传播：
ex1 x2 ex1 ex2
ex1 x2 x2 ex1 x1 ex2
er e r （可作为习题） 1 er 1 er
2
2
因为 er 无法求出，所以通常考虑相对误差限
若 | er | r 或
| er | r ,
则称 r 为相对误差限。
1.2.4 有效数字
* 当 x 有很多位数表示时，可按四舍五入取前几位。
有效数字的位数确定. 定义：如果近似值 x 的误差限是其末位上的半个单位， x位 x 且该位直到 的第一个非零数字共有 n位，则 有n 有效数字。 具体计算：对 x a a a ，从左往右数，从第一个非 零数字开始，直到最右面的数共有n个，且其误差 1 限为末位的 2 个单位，则有效数字为n。
n n1 例：计算 f(x) a0 x a1 x an1 x an
常规方法：乘法：1 2 加法：n
n
n(n 1 ) 2
Horner方法（秦九韶方法）:
f ( x) a0 x n1 a1 x n2 an1 x an
所以：
e y f x1, , x2 f x1 , x2 * f x1 , x2 * f x1 , x2 x1 x1 x2 x2 e x1 e x2 x1 x2 x1 x2
再考虑相对误差：
er y e y f x1 , x2 x1 e1 f x1 , x2 x2 e2 y x1 y x1 x2 y x2
(Error)
真实值与观察、测量或计算的值之间存在差
异，其差称为误差。 结合实际问题求解，误差来源可分为： (1). 模型误差（实际问题→数学问题）， 如抽象化、忽略次要因素等. (2). 观测误差（数学问题中的数据初始值观察 测量时产生）
(3). 截断误差（计算过程中存在的一些无限计 算），如无穷级数求和（无限次→有限 次：sin x x x3! x5! x7! ，cos x 1 x2! x4! (4). 舍入误差（计算结果中存在数据无限位， 如Pi，无理数→有理数，） 整个误差来源可做图表示:
3 5 7
2 4
总结：误差是不可避免的，应尽量减少误差， 提高精度（如选择好的计算方法）
1.2.2绝对误差和绝对误差限
定义：设x * 为准确值，x 是近似值 , e x * x 为绝对误差 分析： ①e可正可负（并不因为是绝对误差，就以为是正值) ②e值实际上无法知道, x * 不知道， 但能知道误差的某个范围（即误差限） 例：毫米刻度的尺子，正常情况下误差不超过 0.5mm.
第一章 绪论 1.1数值分析(计算方法)介绍：
数值分析：(Numerical Analysis) 研究各类数学问题求解的数值计算及相 关理论分析。 随着计算机的产生和发展，数值分析越 来越多地研究如何借助于计算机求解相关问 题。 计算方法：(Computational Method) 随着计算机产生和发展而建立的一个重 要数学分支，是研究建立计算机解决各种数 学问题的数值计算及相关理论分析。
计算过程中（如四则运算）的初始数据误差会导致函 数值误差. 采用二元函数 设
x1 , x2
* *
y f x1, x2
泰勒级数展开分析误差传播.
y * f x1 , x2
为准确值，y 准确值为 为近似值， y 近似值为
x2 x2 k
*

*
*

x1 , x 2
y f x1, x2
先考虑绝对误差： e y y* y f x1* , x2* f x1 , x2 令 x1* x1 h,
利用二元函数一阶泰勒展开公式
f x1* , x2* f x1 h, x2 k f x1 , x2 h f x1 x1 , x2 k f x2 x1 , x2
f x1, , x2 2 f x1 , x2 e | e x e x2 | 1 ② x x x x 1 2 1 2

(分子为常数2, 分母为x1+x2两变量之和)
2
x1 x 2
2
e( x1 x2 ) 2
定义：若 e x * x ，则 称为绝对误差限， 为正数，有: x* x , x
1.2.3相对误差和相对误差限
为什么引入？ 因为用厘米刻度的尺子测量1米长和10米长的 物体，其绝对误差限都为0.5㎝，但测量精度 分别为1/100和1/1000，所以为了较好反应测 量精确度，引入相对误差。
（可以根据需要取任意位有效数字,这里取6位）
也可进行理论分析， 这里考虑绝对误差：
① e x x 2 e x1 e x 2 e x1 e x 2 104 104 104 103
1
1 2
1 2
1 2
∴第一种方法只有2位有效数字
①
在计算I0时，设近似值为I0为 I 0
可设 e0=I0- I 0
∴In- In = 5n e0
即初始误差对第n步的影响是扩大5n倍，误差范围变大， 不稳定. 对①可改用另一种计算过程：
1 1 I I n-1 n 5 5n （ I20 可通过积分第一中值定理算出） I20
2001 1999