外方内圆与外圆内方

《外方内圆，外圆内方》（教案）六年级上册数学人教版教学目标：1. 让学生能准确地理解外圆内方和外方内圆的概念。

2. 发展学生观察能力和分析证明的能力。

3. 提高解决问题的能力。

教学重点：1. 把握外圆内方和外方内圆的概念。

2. 熟悉外圆内方和外方内圆的性质。

教学难点：1. 发展学生对于外圆内方和外方内圆的证明能力。

2. 提高学生对于解决问题的思考能力。

教具材料：教师：教学板书，双边几何模型学生：笔，纸片，白板笔教学过程：一、导入老师把纸片折成一个正方形，然后告诉学生，在正方形中，既可以画出正方形，也可以画出圆形。

画出的圆形就是外圆内方，而画出的正方形则是外方内圆。

测试学生对于这两个概念的理解情况。

二、讲授1. 让学生自己画出几个外方内圆和外圆内方的图形，并且标注出来。

2. 教师根据以上的引导，告诉学生外圆内方是指一个正方形内部有一圆形，这个圆形的边界与正方形的边界重合，且圆心在正方形的中心。

而外方内圆就是指一个圆形内部有一个正方形，正方形的边界与圆形的边界重合，且正方形的外接圆是圆形。

3. 教师指导学生熟悉外圆内方和外方内圆的性质：外圆内方：a. 圆的直径是正方形的边长；b. 正方形的对角线等于圆的直径；c. 正方形的面积等于圆的面积的四分之一。

外方内圆：a. 圆的直径等于正方形的对角线；b. 正方形的边长等于圆的直径的二分之一；c. 圆的面积等于正方形面积的2π。

三、定理证明1. 圆的直径是正方形的边长。

证明：连接圆心和正方形的任意一边中点，两边均等，又因为圆心和中点重合，所以圆的直径等于正方形的边长。

2. 正方形对角线等于圆的直径。

证明：圆心连对角线中点，可知等腰直角三角形成立，而直角三角形的斜边就是正方形的对角线，所以正方形对角线等于圆的直径。

3. 正方形的面积等于圆的面积四分之一。

证明：圆心到正方形任意一边的距离等于正方形边长的一半，所以圆的半径是正方形的一半。

故圆面积为πr²=π×(a/2)²=(π/4) × a²，正方形面积为a²。

一、外方内圆的计算公式外方内圆是指一个正方形内切于一个圆，我们可以通过一些简单的几何学知识来计算外方内圆的相关参数。

假设这个正方形的边长为a，圆的半径为r，那么我们可以根据几何性质得出以下的计算公式：1. 外方的对角线长外方的对角线长等于外方边长的平方根的两倍，即D = √2 * a2. 外方的面积外方的面积等于外方边长的平方，即A = a^23. 外方的周长外方的周长等于外方边长的四倍，即P = 4 * a4. 内圆的直径内圆的直径等于外方边长，即d = a5. 内圆的半径内圆的半径等于外方边长的一半，即r = a / 26. 内圆的面积内圆的面积等于π乘以内圆半径的平方，即A' = π * (a/2)^2内圆的周长等于π乘以内圆直径，即P' = π * a二、外圆内方的计算公式外圆内方是指一个圆内切于一个正方形，同样通过几何学知识我们可以得到外圆内方的计算公式。

假设这个正方形的边长为a，圆的半径为r，那么我们可以得到以下的计算公式：1. 外圆的直径外圆的直径等于外方边长，即D = a2. 外圆的半径外圆的半径等于外方边长的一半，即r = a / 23. 外圆的面积外圆的面积等于π乘以外圆半径的平方，即A = π * (a/2)^24. 外圆的周长外圆的周长等于π乘以外圆直径，即P = π * a5. 内方的对角线长内方的对角线长等于内方边长的平方根的两倍，即d = √2 * a内方的面积等于内方边长的平方，即A' = a^27. 内方的周长内方的周长等于内方边长的四倍，即P' = 4 * a通过以上的计算公式，我们可以在实际问题中更加方便地计算外方内圆和外圆内方的相关参数，在工程设计和数学问题中都能得到应用。

对于建筑设计和工程计算来说，这些计算公式能够更加准确地确定各个图形的尺寸，对于数学问题来说，这些公式也能够帮助我们更好地理解几何学知识和解决几何题目。

了解外方内圆和外圆内方的计算公式对于我们来说是非常重要的。

《外方内圆和外圆内方》教学设计教学内容人教版义务教育教科书数学六年级上册第69～70页例3及相关练习教学目标1.让学生结合具体情境,认识圆外切正方形、圆内接正方形组合图形的特征,掌握计算“外方内圆”和“外圆内方”的图形面积的方法。

2.在自主合作学习中,养成独立与多角度思维的能力。

3.渗透传统文化的教育，通过体验图形和生活的联系感受数学的价值，提升学习的兴趣。

教学重点使学生在解决问题的过程中积累圆与外切正方形、内接正方形组合图形一般性的问题解决经验。

教学难点1.圆内接正方形面积的计算。

2.特殊结论一般化的理解和应用。

教材分析外方内圆和外圆内方是六年级上册第五单元学习了圆的面积后安排的一节探索正方形和圆形组合图形阴影部分面积问题解决，旨在引导学生经历圆的内接正方形和外切正方形与圆之间部分的面积这一问题解决的全过程，从解决问题的基础上从特殊、列举中发现一般的数学规律，引导学生多维思考，克服思维定式，适时渗透中国传统文化的教育，培养学生灵活应用的意识。

学情分析本节课的内容是学生在学习圆的面积计算方法的基础上进行学习的,学生对前面知识的掌握程度对本课的学习至关重要。

学生具备了计算圆的面积和正方形面积计算的能力，学生要经历解决一个问题的所有步骤:理解现实的问题情境,转化成要解决的数学问题,分析问题,从而找到解决问题的方案并解决之, 也已经完全具备以上的能力。

但在学习中外方内圆和外圆内方一般化结论的建模与直观想象应用还存在一定的困难，尤其是外圆内方中学生无法直接求出圆内接正方形边长时，利用圆的直径和半径添加辅助线的方法将正方形的面积转化为两个三角形的面积和或四个小三角形的面积和学生并不是一下子就能找到，需要适时引导学生多位思考找到解题的线索。

设计思考1.如何更好的帮助学生建构外方内圆和外圆内方阴影面积一般规律的模型，本课我利用从生活实物抽象几何图形，在动手操作画、折等操作活动的基础上通过合作、交流、展示充分的挖掘正方形与圆形的关系的基础上放手让学生在如何求出阴影面积问题解决中，收集数据、方法、抽象、概括中完成外方内圆和外圆内方阴影面积一般规律建构与灵活应用。

《外方内圆，外圆内方》（教案）六年级上册数学人教版教案：《外方内圆，外圆内方》一、教学内容本节课的教学内容选自人教版六年级上册数学教材，具体为第五章“圆”的第三节“圆的内接四边形和外切四边形”。

本节内容主要介绍圆的内接四边形和外切四边形的性质及其判定方法。

二、教学目标1. 让学生掌握圆的内接四边形和外切四边形的性质及判定方法。

2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

3. 培养学生的观察能力、推理能力和创新能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：圆的内接四边形和外切四边形的判定方法。

2. 教学重点：圆的内接四边形和外切四边形的性质及其应用。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体课件。

2. 学具：直尺、圆规、剪刀、彩笔。

五、教学过程1. 情境引入：利用多媒体课件展示生活中的圆形物体，如硬币、圆桌、地球等，引导学生关注圆形的特征。

2. 探究圆的内接四边形和外切四边形的性质：（1）引导学生观察圆的内接四边形和外切四边形的图形，发现它们的特征。

（2）引导学生通过画图、剪裁等方式，验证圆的内接四边形和外切四边形的性质。

3. 讲解圆的内接四边形和外切四边形的判定方法：（2）运用判定方法，解决实际问题。

4. 巩固练习：设计一些具有代表性的练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固所学内容。

5. 课堂小结：六、板书设计1. 圆的内接四边形的性质（1）对角互补（2）相邻角互补2. 圆的外切四边形的性质（1）对角互补（2）相邻角互补3. 圆的内接四边形和外切四边形的判定方法（1）内接四边形：四边形内接于圆（2）外切四边形：四边形外切于圆七、作业设计1. 题目：判断下列四边形是否为圆的内接四边形或外切四边形，并说明理由。

图1：四边形ABCD内接于圆O。

图2：四边形ABCD外切于圆O。

2. 答案：图1：四边形ABCD是圆的内接四边形，因为对角互补，相邻角互补。

图2：四边形ABCD是圆的外切四边形，因为对角互补，相邻角互补。

外方内圆及外圆内方面积的计算教案一、教学目标1. 让学生理解并掌握外方内圆及外圆内方的概念。

2. 让学生学会计算外方内圆及外圆内方的面积。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 外方内圆的面积计算公式：外方内圆的面积等于外正方形的面积减去内圆的面积。

2. 外圆内方的面积计算公式：外圆内方的面积等于外圆的面积减去内正方形的面积。

三、教学重点与难点1. 教学重点：让学生掌握外方内圆及外圆内方的面积计算公式。

2. 教学难点：如何引导学生理解和运用面积计算公式解决实际问题。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究外方内圆及外圆内方的面积计算方法。

2. 利用几何图形模型，直观展示外方内圆及外圆内方的面积计算过程。

3. 通过实际例子，让学生学会将数学知识应用于解决实际问题。

五、教学步骤1. 导入新课：通过展示实物模型，引导学生观察外方内圆及外圆内方的特征。

2. 讲解概念：讲解外方内圆及外圆内方的定义，让学生明确其含义。

3. 面积计算公式的推导：引导学生通过实际操作，推导出外方内圆及外圆内方的面积计算公式。

4. 例题讲解：讲解几个典型例题，让学生学会运用面积计算公式解决问题。

5. 巩固练习：布置一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

7. 课后作业：布置一些课后作业，让学生进一步巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对概念的理解和计算公式的掌握情况。

2. 练习题完成情况：检查学生练习题的完成情况，分析其解题思路和错误原因。

3. 课后作业：评估学生课后作业的完成质量，了解其对课堂所学知识的掌握程度。

七、教学反思1. 针对本节课的教学，反思教学方法是否恰当，学生学习效果是否良好。

2. 思考如何改进教学方法，以便更好地引导学生理解和掌握外方内圆及外圆内方的面积计算。

3. 考虑如何在教学中更好地培养学生的实际问题解决能力。

八、拓展与延伸1. 引导学生思考：除了外方内圆和外圆内方，还有其他类似的图形吗？它们的面积如何计算？2. 探讨实际生活中的应用：让学生举例说明外方内圆及外圆内方在实际生活中的应用，如建筑设计、电路板设计等。

外方内圆和外圆内方知识点
外方内圆和外圆内方是两种常见的几何形状，常用于描述某些物体的特征或属性。

下面将分别介绍外方内圆和外圆内方的定义、特点以及一些相关的应用。

1. 外方内圆：
外方内圆可以简单地理解为一个圆嵌套在一个正方形中，圆的直径与正方形的边长相等，并且圆的边界与正方形的四个顶点相切。

外方内圆具有以下特点：
1) 外方内圆的直径等于外接正方形的边长。

2) 正方形的对角线恰好等于圆的直径。

3) 外方内圆的面积等于正方形的面积与圆的面积之和。

外方内圆的应用非常广泛，常见的例如：篮球场、足球场等运动场地，其中中心的圆就可以看作是外方内圆。

2. 外圆内方：
外圆内方即一个圆外接在一个正方形的四个顶点上，外接圆的圆心与正方形的四个顶点重合。

外圆内方具有以下特点：
1) 外接圆的直径等于正方形的边长。

2) 正方形的对角线是圆的直径。

3) 正方形的面积等于外接圆的面积的两倍。

外圆内方也有许多重要的应用，例如：
1) 在城市设计中，许多花坛、广场等景观设计中常常使用外圆内方形状。

这种形状具有简洁、对称的特点，能够为城市增添美感。

2) 在建筑设计中，如圆柱形建筑物的平面布局常采用外圆内
方形状，能够提供更好的内部空间利用率。

3) 外圆内方也是徽章、徽章等一些设计上常使用的形状，简
洁大方，容易辨识。

综上所述，外方内圆和外圆内方是两种常见的几何形状，在实际生活和工作中有广泛的应用。

了解这两种形状的特点和应用，可以帮助我们更好地理解和应用几何知识。

《外方内圆，外圆内方》（教案）六年级上册数学人教版教学内容：本课教学内容为六年级上册数学人教版，主要围绕几何图形的面积计算展开，重点探讨外方内圆和外圆内方两种组合图形的面积计算方法。

通过本课的学习，学生将掌握如何求解组合图形的面积，并能够灵活运用到实际生活中。

教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握外方内圆和外圆内方两种组合图形的面积计算方法，并能运用到实际问题中。

2. 过程与方法：培养学生观察、分析、概括的能力，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 情感、态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生合作交流、积极参与的精神，增强学生的自信心。

教学难点：1. 理解并掌握外方内圆和外圆内方两种组合图形的面积计算方法。

2. 学会运用分割法、添补法等方法求解组合图形的面积。

3. 能够将所学知识灵活运用到实际问题中，解决生活中的数学问题。

教具学具准备：1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、直尺、圆规等。

2. 学具：草稿纸、铅笔、橡皮等。

教学过程：一、导入1. 利用多媒体展示生活中常见的外方内圆和外圆内方两种组合图形，引导学生观察并说出这些图形的特点。

2. 提问：这些组合图形的面积该如何计算呢？今天我们就来学习外方内圆和外圆内方两种组合图形的面积计算方法。

二、探究新知1. 请学生拿出草稿纸和铅笔，跟随教师在黑板上一起画出一个外方内圆图形。

2. 引导学生观察外方内圆图形，并提问：如何计算这个图形的面积？5. 重复步骤14，引导学生探究外圆内方图形的面积计算方法。

三、巩固练习1. 请学生在草稿纸上分别画出一个外方内圆图形和一个外圆内方图形。

2. 学生独立计算这两个图形的面积，教师巡回指导。

四、课堂小结五、板书设计1. 《外方内圆，外圆内方》2. 内容：（1）外方内圆图形的面积计算方法：（2）外圆内方图形的面积计算方法：六、作业设计1. 请学生完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 结合生活实际，寻找并解决一个外方内圆或外圆内方的问题。

外方内圆和外圆内方知识点外方内圆和外圆内方是数学中的两个几何形状，它们具有一些特殊的性质和应用。

在本文中，我们将详细介绍外方内圆和外圆内方的知识点。

一、外方内圆1. 定义：外方内圆是指一个正方形的四个顶点分别与一个圆相切。

2. 性质：a. 外接圆：外方内圆的四个顶点共同确定了一个圆，称为外接圆。

b. 对角线：正方形的对角线经过外接圆的直径。

c. 角度关系：正方形的对角线与边长之比为√2，即对角线长度为边长乘以√2。

d. 面积关系：正方形的面积等于外接圆面积的两倍。

3. 应用：a. 工程设计：在建筑设计中，外方内圆常用于构造具有稳定性和美观性的结构。

b. 地理测量：测量地球表面时，可以使用正方形和其外接圆来近似表示地球的形状。

二、外圆内方1. 定义：外圆内方是指一个圆与一个正方形相切，且该正方形的四条边都与圆相切。

2. 性质：a. 内切圆：外圆内方的四个顶点共同确定了一个圆，称为内切圆。

b. 对角线：正方形的对角线是内切圆的直径。

c. 角度关系：正方形的对角线与边长之比为√2，即对角线长度为边长乘以√2。

d. 面积关系：正方形的面积等于内切圆面积的两倍。

3. 应用：a. 工程设计：外圆内方常用于设计具有良好流动性和稳定性的物体，如水泵叶轮、风力发电机桨叶等。

b. 制造业：在制造过程中，外圆内方可以用来精确定位和测量工件。

三、外方内圆和外圆内方的区别1. 形状：外方内圆是一个正方形加一个内切圆，而外圆内方是一个正方形加一个外接圆。

2. 圈数：在外方内圆中，正方形围绕着内切圆旋转一周；而在外圆内方中，正方形围绕着外接圆旋转一周。

3. 应用场景：外方内圆常用于建筑和地理测量等领域，而外圆内方常用于工程设计和制造业等领域。

总结：外方内圆和外圆内方是两个几何形状，它们具有一些相似的性质和应用。

外方内圆是一个正方形加一个内切圆，而外圆内方是一个正方形加一个外接圆。

它们在角度关系、面积关系和对角线等方面有一些共同的特点。