2016届上海市徐汇区高三一模数学(理科)试题及答案

2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________ 4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x fx f 的反函数6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan，则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是.二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ） A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题三、解答题（74分）19.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为23π， 11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。

上海市徐汇区2015届高考数学一模试卷（理科）一．填空题1．已知，则cos2θ=__________．2．若实数x，y满足xy=4，则x2+4y2的最小值为__________．3．设i是虚数单位，复数z满足（2+i）•z=5，则|z|=__________．4．函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）=__________．5．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．6．如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是__________（结果用反三角函数值表示）．7．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S n﹣=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为__________．8．若全集U=R，不等式的解集为A，则∁U A=__________．9．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，方向向量的直线l过点P（0，4），则圆C上的点到直线l的距离的最大值为__________．10．如图：在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，用，表示，则=__________．11．已知函数，将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）的图象上最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，则φ的值为__________．12．已知函数，其中n∈N*，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则=__________．13．在平面直角坐标系中，对于函数y=f（x）的图象上不重合的两点A，B，若A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一组“奇点对”（规定（A，B）与（B，A）是相同的“奇点对”），函数的“奇点对”的组数是__________．14．设集合A={（x1，x2，x3，…，x10）|x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，…，10}，则集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为__________．二．选择题15．“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件；16．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β；17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N*），分别编号为1，2，…，n，买家共有m名（m∈N*，m＜n），分别编号为1，2，…，m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是( )A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m18．对于方程为的曲线C给出以下三个命题：（1）曲线C关于原点中心对称；（2）曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是( )A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）；三．解答题19．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．20．已知函数f（x）=2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求k的值；（2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求k的取值范围．21．如图所示，某传动装置由两个陀螺T1，T2组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且T1，T2的轴相互垂直，它们相接触的直线与T2的轴所成角θ=arctan．若陀螺T2中圆锥的底面半径为r（r＞0）．（1）求陀螺T2的体积；（2）当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P1，求P与P1之间的距离．22．已知椭圆γ：=1（常数a＞1）的左顶点R，点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点；（1）若P是椭圆γ上任意一点，，求m2+n2的值；（2）设Q是椭圆γ上任意一点，S（3a，0），求的取值范围；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，试探究△OMN 的面积是否为定值，说明理由．23．已知有穷数列{a n}各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n}，称{p n}为{a n}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{p n}为1，3，2；（1）写出公差为d（d≠0）的等差数列a1，a2，…，a n的序数列{p n}；（2）若项数不少于5项的有穷数列{b n}、{c n}的通项公式分别是（n∈N*），（n∈N*），且{b n}的序数列与{c n}的序数列相同，求实数t的取值范围；（3）若有穷数列{d n}满足d1=1，（n∈N*），且{d2n﹣1}的序数列单调递减，{d2n}的序数列单调递增，求数列{d n}的通项公式．上海市徐汇区2015届高考数学一模试卷（理科）一．填空题1．已知，则cos2θ=．考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式展开后代入已知即可求值．解答：解：∵，∴cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=，故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．2．若实数x，y满足xy=4，则x2+4y2的最小值为16．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=4，∴y=∴x2+4y2=x2+≥2=16，当且仅当x2=，即x=±2时取等号，故答案为：16点评：本题考查基本不等式，属基础题．3．设i是虚数单位，复数z满足（2+i）•z=5，则|z|=．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，代入复数的模得答案．解答：解：由（2+i）•z=5，得，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．4．函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）=（x＞﹣2）．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，把x与y互换即可得出．解答：解：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，把x与y互换可得y=f﹣1（x）=﹣（x＞﹣2）．故答案为：（x＞﹣2）．点评：本题考查了反函数的求法，属于基础题．5．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的右焦点为F（2，0），该点也是抛物线的焦点，可得=2，即可得到结果．解答：解：∵双曲线的标准形式为：，∴c=2，双曲线的右焦点为F（2，0），∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，∴=2，可得p=4．故答案为：x=﹣2点评：本题给出抛物线与双曲线右焦点重合，求抛物线的焦参数的值，着重考查了双曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点，属于基础题．6．如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是arctan（结果用反三角函数值表示）．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在直角三角形中求出正切值，再用反三角函数值表示出这个角即可．解答：解：先画出图形将AD平移到BC，则∠D1BC为异面直线BD1与AD所成角，BC=2，D1C=，tan∠D1BC=，∴∠D1BC=arctan，故答案为arctan．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及解三角形的应用，属于基础题．7．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S n﹣=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为a n=．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n，化为a n+1=3a n．a1﹣a2=0，解得a2=2．∴当n≥2时，数列{a n}为等比数列，∴．∴{a n}的通项公式为a n=．故答案为：a n=．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，属于基础题．8．若全集U=R，不等式的解集为A，则∁U A=[﹣1，0]．考点：其他不等式的解法；补集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得（x+1）•﹣（﹣1）＞1，即＞﹣1，求得A，可得∁U A．解答：解：由不等式，可得（x+1）•﹣（﹣1）＞1，即 1+＞0，即＞﹣1，∴x＞0，或 x＜﹣1，故A=（0，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴∁U A=[﹣1，0]，故答案为：[﹣1，0]．点评：本题主要考查行列式的运算，解分式不等式，集合的补集，体现了转化的数学思想，属于基础题．9．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，方向向量的直线l过点P（0，4），则圆C上的点到直线l的距离的最大值为．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：确定直线l的方程，求出圆心C到直线的距离，再加上半径，即为C上各点到l的距离的最大值．解答：解：由题意，方向向量的直线l过点P（0，4），方程为x﹣y+4=0 圆心C到直线的距离为d==2∵圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2的半径为∴C上各点到l的距离的最大值为2+=．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．10．如图：在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，用，表示，则=．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：因为在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，过D作DE∥AB，得到DE是△BDC的中线，利用中线的性质可得．解答：解：因为在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，过D作DE∥AB，则E是BC的中点，，所以﹣2，所以=．故答案为：．点评：本题考查了向量的三角形法则、共线的性质以及三角形中线的向量表示，注意运算．11．已知函数，将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）的图象上最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，则φ的值为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）=2sin（2x+2φ+），设g（x）的对称轴x=x0，由条件求得x0=0，可得g（0）=2，即2sin（2φ+）=2，从而求得φ 的值．解答：解：把函数的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+）的图象，再根据y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，设g（x）的对称轴x=x0，则最高点的坐标为（x0，2），它与点（0，3）的距离的最小值为1，即=1，求得x0=0，可得g（0）=2，即2sin（2φ+）=2，∴φ=，故答案为：．点评：本题主要考查向量的数量积的坐标运算，三角恒等变换，图象的平移变换，三角函数的单调性及相关的运算问题，属于中档题．12．已知函数，其中n∈N*，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则=﹣3．考点：极限及其运算．专题：导数的综合应用．分析：利用等比数列的前n项和公式可得：函数f n（x）=+，令f n （x）=0，解得x n=﹣1．再利用极限的运算法则即可得出．解答：解：函数=+=+，令f n（x）=0，解得x n=﹣1．∴=﹣2×1﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了等比数列的前n项和公式、数列极限的运算法则，属于基础题．13．在平面直角坐标系中，对于函数y=f（x）的图象上不重合的两点A，B，若A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一组“奇点对”（规定（A，B）与（B，A）是相同的“奇点对”），函数的“奇点对”的组数是3．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据“奇点对”的定义可知，只需要利用图象，作出函数f（x）=﹣x+4，x＞0关于原点对称的图象，利用对称图象在x＜0上两个图象的交点个数，即为“奇点对”的个数．解答：解：由题意知函数f（x）=sin x，x＜0关于原点对称的图象为﹣y=﹣sin x，即y=sin x，x＞0在x＞0上作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在x＞0上的交点个数有3个，∴函数f（x）的“奇点对”有3组，故答案为：3．点评：本题主要考查新定义题目，读懂题意，利用数形结合的思想是解决本题的关键．14．设集合A={（x1，x2，x3，…，x10）|x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，…，10}，则集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为310﹣210﹣1．考点：集合的表示法；元素与集合关系的判断．专题：计算题；集合；排列组合．分析：由排列组合的知识知，集合A中共有310个元素，其中|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=0的只有一个元素，|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=10的有210个元素；从而求得．解答：解：集合A中共有310个元素；其中|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=0的只有一个元素，|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=10的有210个元素；故满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为310﹣210﹣1．故答案为：310﹣210﹣1．点评：本题考查了排列组合的应用及集合中元素的特征应用，属于中档题．二．选择题15．“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件；考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑；坐标系和参数方程．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根，则判别式△=1﹣4a＜0，解得a＞，则“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系是解决本题的关键．16．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β；考点：直线与平面垂直的判定．专题：阅读型；空间位置关系与距离．分析：根据A，B，C，D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果．解答：解：α⊥β，且m⊂α⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故A不成立；α⊥β，且m∥α⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故B不成立；m∥n，且n⊥β⇒m⊥β，故C成立；由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不成立，故D不正确．故选：C．点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N*），分别编号为1，2，…，n，买家共有m名（m∈N*，m＜n），分别编号为1，2，…，m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是( )A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：由已知中a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，可知：a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，进而得到答案．解答：解：∵a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，∴a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，∴同时购买第1类和第2类商品的人数是a11a12+a21a22+…+a m1a m2故选：C点评：本题考查的知识点是进行简单的合情推理，其中正确理解a ij=1≤i≤m，1≤j≤n的含义是解答的关键．18．对于方程为的曲线C给出以下三个命题：（1）曲线C关于原点中心对称；（2）曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是( )A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）；考点：命题的真假判断与应用；曲线与方程．专题：作图题；简易逻辑．分析：分x＞0，y＞0，x＜0，y＞0，x＜0，y＜0，x＞0，y＜0四类讨论，作出的图象，再分别对选项（1）（2）（3）判断即可．解答：解：∵，∴当x＞0，y＞0时，⇒+=1，解得y==1+；同理可得，当x＜0，y＞0时，⇒﹣+=1，整理得：y=1﹣；当x＜0，y＜0时，⇒﹣﹣=1，整理得：y=﹣1+；x＞0，y＜0时，⇒﹣=1，整理得：y=﹣1﹣；作出图象如下：由图可知，曲线C关于原点成中心对称，故（1）正确；曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，也关于直线y=x与y=﹣x对称，故（2）错误；由于在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，由图可知，四边形MNPQ每一条边的边长都大于2，故（3）正确；综上所述，（1）（3）正确．故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查曲线与方程的理解与应用，考查分类讨论思想、等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于难题．三．解答题19．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值．（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，再由θ∈（0，），求得sinθ 的值，从而求得f（﹣θ）的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．∴Asin（+）=Asin=A•=，∴A=．（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sin cosθ=cosθ=，∴cosθ=，再由θ∈（0，），可得sinθ=．∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题．20．已知函数f（x）=2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求k的值；（2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求k的取值范围．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据奇函数的概念，f（x）+f（﹣x）=0，解答即可；（2）先讨论K的取值范围，再求取值范围解答：解：（1）f（x）+f（﹣x）=（k+1）（2x+2﹣x）=0对一切的x∈R成立，所以k=﹣1．（2）若k≤0，则函数f（x）在（﹣∞，2]单调递增（舍），当k＞0时，令t=2x∈（0，4]，则函数在（0，4]上单调递减，所以，即k≥16．点评：本题主要考查奇函数的性质，单调性的定义．21．如图所示，某传动装置由两个陀螺T1，T2组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且T1，T2的轴相互垂直，它们相接触的直线与T2的轴所成角θ=arctan．若陀螺T2中圆锥的底面半径为r（r＞0）．（1）求陀螺T2的体积；（2）当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P1，求P与P1之间的距离．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，可得，进而可得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，进而求出陀螺T2的体积；（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，可得，进而利用弧长公式，求出圆心角，进而可得P与P1之间的距离．解答：解：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，则，即’得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，则，得在△POP1中，点评：本题考查的知识点是旋转体的体积公式，弧长公式，是三角函数与空间几何的综合应用，难度中档．22．已知椭圆γ：=1（常数a＞1）的左顶点R，点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点；（1）若P是椭圆γ上任意一点，，求m2+n2的值；（2）设Q是椭圆γ上任意一点，S（3a，0），求的取值范围；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，试探究△OMN 的面积是否为定值，说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据A与B坐标化简已知等式，确定出P坐标，由P在椭圆上列出关系式，求出所求式子的值即可；（2）设Q（x，y），利用平面向量数量积运算法则表示出•，配方后求出•的最大值与最小值，即可确定出•的范围；（3）根据题意，利用斜率公式得到=﹣，两边平方，整理得到x12+x22=a2，表示出三角形OMN的面积，整理后把x12+x22=a2代入得到结果为定值．解答：解：（1）∵点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点，∴=m+n=（ma﹣na，m+n），即P（ma﹣na，m+n），把P坐标代入椭圆方程得：（m﹣n）2+（m+n）2=1，即m2+n2=；（2）设Q（x，y），则•=（3a﹣x，﹣y）•（﹣a﹣x，﹣y）=（x﹣3a）（x+a）+y2=（x﹣3a）（x+a）+1﹣=x2﹣2ax+1﹣3a2=（x﹣）2﹣（﹣a≤x≤a），由a＞1，得＞a，∴当x=﹣a时，•的最大值为0；当x=a时，•的最小值为﹣4a2，则•的范围为[﹣4a2，0]；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，由条件得：=﹣，平方得：x12x22=a4y12y22=（a2﹣x12）（a2﹣x22），即x12+x22=a2，∴S△OMN=|x1y2﹣x2y1|====，则△OMN的面积为定值．点评：此题考查了椭圆的简单性质，二次函数的性质，斜率公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．已知有穷数列{a n}各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n}，称{p n}为{a n}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{p n}为1，3，2；（1）写出公差为d（d≠0）的等差数列a1，a2，…，a n的序数列{p n}；（2）若项数不少于5项的有穷数列{b n}、{c n}的通项公式分别是（n∈N*），（n∈N*），且{b n}的序数列与{c n}的序数列相同，求实数t的取值范围；（3）若有穷数列{d n}满足d1=1，（n∈N*），且{d2n﹣1}的序数列单调递减，{d2n}的序数列单调递增，求数列{d n}的通项公式．考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由新定义当d＜0时，序数列为1，2，3，…，n；当d＞0时，序数列为n，n﹣1，n﹣2，…，3，2，1；（2）由题意可得b2＞b3＞b1＞b4＞…＞b n，可得序数列为2，3，1，4，…，n，进而可得2＜＜，解不等式可得；（3）由{d2n﹣1}的序数列单调递减可得d2n﹣d2n﹣1==，同理可得d2n+1﹣d2n=﹣=，进而可得d n+1﹣d n=，可得d n=d1+（d2﹣d1）+（d3﹣d2）+…+（d n﹣d n﹣1）=1+﹣+…+=1+•=+•，既得答案．解答：解：（1）由题意，当d＜0时，序数列为1，2，3，…，n；当d＞0时，序数列为n，n﹣1，n﹣2，…，3，2，1；（2）∵，∴b n+1﹣b n=，当n=1时，易得b2＞b1，当n≥2时，易得b n+1＜b n，又∵b1=，b3=3•（）3，b4=4•（）4，b4＜b1＜b3，即b2＞b3＞b1＞b4＞…＞b n，故数列{b n}的序数列为2，3，1，4，…，n，∴对于数列{c n}有2＜＜，解得4＜t＜5；（3）∵{d2n﹣1}的序数列单调递减，∴数列{d2n﹣1}单调递增，∴d2n+1﹣d2n﹣1＞0，∴（d2n+1﹣d2n）+（d2n﹣d2n﹣1）＞0，而，∴|d2n+1﹣d2n|＜|d2n﹣d2n﹣1|，∴d2n﹣d2n﹣1＞0，∴d2n﹣d2n﹣1==，①∵{d2n}的序数列单调递增，∴数列{d2n}单调递减，同理可得d2n+1﹣d2n＜0，∴d2n+1﹣d2n=﹣=，②由①②可得d n+1﹣d n=，∴d n=d1+（d2﹣d1）+（d3﹣d2）+…+（d n﹣d n﹣1）=1+﹣+…+=1+•=+•即数列{d n}的通项公式为d n=+•点评：本题考查等差数列和等比数列的性质，涉及新定义和不等式的性质，属中档题．。

2015学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科（理科）参考答案及评分标准2016.1一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分) １．x y 82= ２．2x = 3．12 4．12- 5．()4x y x R -=-∈ 6．04a << 7．16 8．0 9．28 10．23π 11．9 12．1413．2- 14二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．A 16．Ｄ 17．A 18．Ｃ 三． 解答题：（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分）解：因为,SA AB SA AC ⊥⊥，AB AC A ⋂=,所以SA ⊥平面ABC ,所以SA BC ⊥.又AC BC ⊥.所以BC ⊥平面SAC .故SC BC ⊥.--------6分在ABC ∆中，090,2,ACB AC BC ∠===所以AB =.----8分又在SAB ∆中，,SA AB AB SB ⊥==所以SA =.---10分又因为SA ⊥平面ABC ,所以112323S ABC V -⎛=⨯⨯⨯=⎝.----------12分 20．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）解：（1）设213x u -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则上式化为291010u u -+≤，119u ≤≤，即211193x -⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，24x ≤≤---------------------------------------------------------------------6分（2）因为()()222()log log 1log 222x f x x x =⋅=-- 2222231log 3log 2log 24x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，---------------------------10分当23log 2x =，即x =min 14y =---------------------------------------------------12分 当2log 1x =或2log 2x =，即2x =或4x =时，max 0y =．---------------------------14分SABC21．（本题满分16分；第（1）小题6分，第（2）小题8分） 解：（1）由已知得1521515tan cos y x x=⨯+-， 即2sin 1515cos x y x -=+⨯（其中04x π≤≤）-----------------------------------------------6分（2）记2sin cos xp x -=，则sin cos 2x p x +=1≤，解得p ≥p ≤分由于0y >，所以，当6x π=，即点O 在CD 中垂线上离点P 距离为(15 6.34-≈km 处,y 取得最小值1540.98+≈（km ）．-----------------14分22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）①小题6分，第（2）②小题7分） 解：（1）1232,3, 6.d d d ===---------------------------------------------------------------3分 （2）①当1n =时，11(1)1,a a λλ-=-+所以11a =---------------------------------4分 当2n ≥时，21(1),33n n S a n λλ-=-++1121(1),33n n S a n λλ---=-+- 两式相减得12,3n n a a λ-=+所以12223(1)33(1)n n n b a a λλλ-=+=++-- 112,3(1)n n a b λλλ--⎡⎤=+=⎢⎥-⎣⎦又1123103(1)3(1)b a λλλ-=+=≠-- 所以，数列{}n b 是以313(1)λλ--为首项、λ为公比的等比数列。

2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝﹣2，则抛物线的标准方程是．2．（4分）方程的解是．3．（4分）设，则数列{a n}的各项和为．4．（4分）函数y＝cos2x+sin x cos x的最小值为．5．（4分）若函数f（x）的图象与对数函数y＝log4x的图象关于直线x+y＝0对称，则f（x）的解析式为f（x）＝．6．（4分）函数f（x）＝|4x﹣x2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是．7．（4分）设x、y∈R+且＝1，则x+y的最小值为．8．（4分）若三条直线ax+y+3＝0，x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0相交于一点，则行列式的值为．9．（4分）（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于．10．（4分）已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD＝2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是．11．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有个．12．（4分）正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为．13．（4分）设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S＝1+＝．14．（4分）已知O是锐角△ABC的外心，．若，则实数m＝．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）A．向量与垂直B．向量与垂直C．向量与垂直D．向量与平行16．（5分）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z＝x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B．C．D．18．（5分）设函数y＝f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2＝2a时，恒有f（x1）+f（x2）＝2b，则称点（a，b）为函数y＝f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）＝x+sinπx﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A．﹣4031B．4031C．﹣8062D．8062三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC＝2，BC＝，SB＝．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积V S．﹣ABC20．（14分）已知实数x满足（）2x﹣4﹣（）x﹣（）x﹣2+≤0且f（x）＝log2（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．21．（14分）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB＝30km，BC＝15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO＝x（弧度），排污管道的总长度为ykm．（1）将y表示为x的函数；（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．22．（16分）给定数列{a n}，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，即A i＝max{a1，a2，…，a i}；该数列后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n中的最小项为B i，即B i＝min{a i+1，a i+2，…，a n}；d i＝A i﹣B i（i＝1，2，3，…，n﹣1）（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d1，d2，d3；（2）若S n是数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，有，其中λ为实数，λ＞0且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a n}对应的d i满足d i+1＞d i对任意的正整数i＝1，2，3，…，n﹣2恒成立，求实数λ的取值范围．23．（18分）已知直线l1、l2与曲线W：mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0）分别相交于点A、B和C、D，我们将四边形ABCD称为曲线W的内接四边形．（1）若直线l1：y＝x+a和l2：y＝x+b将单位圆W：x2+y2＝1分成长度相等的四段弧，求a2+b2的值；（2）若直线与圆W：x2+y2＝4分别交于点A、B和C、D，求证：四边形ABCD为正方形；（3）求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝﹣2，则抛物线的标准方程是y2＝8x．【解答】解：由题意可知：＝2，∴p＝4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2＝2px将p代入可得y2＝8x．故答案为：y2＝8x．2．（4分）方程的解是x＝2．【解答】解：由方程可得3x﹣5＝4，即3x＝32，解得x＝2，故答案为x＝2．3．（4分）设，则数列{a n}的各项和为．【解答】解：∵＝，∴＝，则数列{a n}是以为首项以为公比的等比数列∴＝所以数列的各项和S＝＝故答案为4．（4分）函数y＝cos2x+sin x cos x的最小值为﹣．【解答】解：函数y＝cos2x+sin x cos x＝+sin2x＝+sin（2x+），故当2x+＝2kπ﹣，k∈z时，函数y取得最小值为﹣1＝﹣，故答案为：﹣．5．（4分）若函数f（x）的图象与对数函数y＝log4x的图象关于直线x+y＝0对称，则f（x）的解析式为f（x）＝y＝﹣4﹣x．【解答】解：设函数f（x）的图象上一点（x，y），则点（x，y）关于x+y＝0的对称点（x'，y'）在对数函数y＝log4x的图象由题意知，解得x'＝﹣y，y'＝﹣x又∵点（x'，y'）在对数函数y＝log4x的图象∴﹣x＝log4（﹣y）∴﹣y＝4﹣x∴y＝﹣4﹣x故答案为：y＝﹣4﹣x6．（4分）函数f（x）＝|4x﹣x2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是（0，4）．【解答】解：∵函数f（x）＝|4x﹣x2|﹣a有四个零点，故直线y＝a和函数y＝|4x ﹣x2|的图象有4个交点，如图所示：结合图象可得0＜a＜4，故答案为（0，4）．7．（4分）设x、y∈R+且＝1，则x+y的最小值为16．【解答】解：∵＝1，x、y∈R+，∴x+y＝（x+y）•（）＝＝10+≥10+2＝16（当且仅当，x＝4，y＝12时取“＝”）．故答案为：16．8．（4分）若三条直线ax+y+3＝0，x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0相交于一点，则行列式的值为0．【解答】解：解方程组得交点坐标为（﹣1，﹣1），代入ax+y+3＝0，得a＝2．行列式＝2+4﹣3﹣6+4﹣1＝0．故答案为：0．9．（4分）（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于28．【解答】解：（x3+2x+1）（3x2+4）展开后含有字母x，令x＝1，则展开式中各项系数的和为：（13+2×1+1）（3×12+4）＝28．故答案为：28．10．（4分）已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD＝2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是．【解答】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O在CD中点，则OA＝OB＝OC＝OD＝1，再由AB＝，在△A0B中，利用余弦定理cos∠AOB＝＝﹣，则∠AOB＝，则弧AB＝•1＝．故答案为：．11．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有9个．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣1∴f（0）＝﹣1，f（±1）＝0，f（±）＝1因此，定义域D有：{0，1，}，{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，1，，﹣}，{0，﹣1，，﹣}，{0，﹣1，1，，﹣}共9种情况故答案为：912．（4分）正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为．【解答】解：正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，露在外面的6个数字之和包含的基本事件总数n＝4×4＝16，设两个正四面体中压在桌面的数字分别为m，n，则露在外面的6个数字之和恰好是9的基本情况有：（0，3），（3，0），（1，2），（2，1），共包含4个基本事件，∴露在外面的6个数字之和恰好是9的概率p＝．故答案为：．13．（4分）设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S＝1+＝﹣2．【解答】解：设x1＝s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2＝s﹣ti．则x1+x2＝2s，x1x2＝s2+t2．∵＝＝+i是实数，∴3s2t﹣t3＝0，∴3s2＝t2．∴x1+x2＝2s，x1x2＝s2+t2．∴4s2＝＝+2x1x2＝x1x2，∴+1＝0，取＝ω，则ω2+ω+1＝0，∴ω3＝1．则S＝1+＝1+ω+ω2+ω4+ω8+ω16+ω32＝0+ω+ω2+ω+ω2＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（4分）已知O是锐角△ABC的外心，．若，则实数m＝．【解答】解：设外接圆的半径为R，∵，∴（﹣）+（﹣）＝2m，∵∠AOB＝2∠C，∠AOC＝2∠B，∴（﹣）•+（﹣）•＝2m•，即•R2•（cos2C﹣1）+•R2•（cos2B﹣1）＝﹣2mR2，即﹣2sin C cos B+（﹣2sin B cos C）＝﹣2m，故sin C cos B+sin B cos C＝m，故sin（B+C）＝m，故m＝sin A＝，故答案为：．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）A．向量与垂直B．向量与垂直C．向量与垂直D．向量与平行【解答】解：设的夹角为θ，则0＜θ＜π，∵（）•（）＝＝0，∴（）⊥（），故A正确；D错误．∵（）•＝﹣＝﹣cosθ≠0，∴与不垂直；故B错误；∵＝＝+cosθ≠0，∴与不垂直，故C错误；故选：A．16．（5分）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“0＜ab＜1”当a，b均小于0时，即“0＜ab＜1”⇒“”为假命题若“”当a＜0时，ab＞1即“”⇒“0＜ab＜1”为假命题综上“0＜ab＜1”是“”的既不充分也不必要条件故选：D．17．（5分）（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z＝x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B．C．D．【解答】解：∵复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，∴，由线性规划的知识可得：可行域为直线x＝2y的右下方和直线的左下方，因此为A．故选：A．18．（5分）设函数y＝f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2＝2a时，恒有f（x1）+f（x2）＝2b，则称点（a，b）为函数y＝f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）＝x+sinπx﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A．﹣4031B．4031C．﹣8062D．8062【解答】解：∵f（x）＝x+sinπx﹣3，∴当x＝1时，f（1）＝1+sinπ﹣3＝﹣2，∴根据对称中心的定义，可得当x1+x2＝2时，恒有f（x1）+f（x2）＝﹣4，∴＝2015[f（）+f（）]+f（）＝2015×（﹣4）﹣2＝﹣8062．故选：C．三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC＝2，BC＝，SB＝．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积V S．﹣ABC【解答】解：（1）∵SA⊥ABSA⊥ACAB∩AC＝A∴SA⊥平面ABC，∴AC为SC在平面ABC内的射影，又∵BC⊥AC，由三垂线定理得：SC⊥BC（2）在△ABC中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝，∴AB＝＝，∵SA⊥AB，∴△SAB为Rt△，SB＝，∴SA＝＝2，∵SA⊥平面ABC，∴SA为棱锥的高，＝××AC×BC×SA＝×2××＝．∴V S﹣ABC20．（14分）已知实数x满足（）2x﹣4﹣（）x﹣（）x﹣2+≤0且f（x）＝log2（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．【解答】解：（1）∵（）2x﹣4﹣（）x﹣（）x﹣2+≤0，∴81（）2x﹣10（）x+≤0，∴≤9（）x≤1，∴0≤x﹣2≤2，故实数x的取值范围为[2，4]；（2）f（x）＝log2＝（log2x﹣1）（log2x﹣2）＝（log2x﹣）2﹣，∵x∈[2，4]，∴log2x∈[1，2]，∴﹣≤（log2x﹣）2﹣≤0，∴当x＝2时，f（x）有最小值﹣，当x＝2或4时，f（x）有最大值0．21．（14分）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB＝30km，BC＝15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO＝x（弧度），排污管道的总长度为ykm．（1）将y表示为x的函数；（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．【解答】解：（1）由已知得，即（其中）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）记，则sin x+p cos x＝2，则有，解得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）由于y＞0，所以，当，即点O在CD中垂线上离点P距离为km处，y取得最小值（km）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）22．（16分）给定数列{a n}，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，即A i＝max{a1，a2，…，a i}；该数列后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n中的最小项为B i，即B i＝min{a i+1，a i+2，…，a n}；d i＝A i﹣B i（i＝1，2，3，…，n﹣1）（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d1，d2，d3；（2）若S n是数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，有，其中λ为实数，λ＞0且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a n}对应的d i满足d i+1＞d i对任意的正整数i＝1，2，3，…，n﹣2恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵给定数列{a n}，A i＝max{a1，a2，…，a i}，B i＝min{a i+1，a i+2，…，a n}，d i＝A i﹣B i（i＝1，2，3，…，n﹣1）对于数列：3，4，7，1，A1＝3，B1＝1，d1＝3﹣1＝2，A2＝4，B2＝1，d2＝4﹣1＝3，A3＝7，B3＝1，d3＝7﹣1＝6，∴d1＝2，d2＝3，d3＝6．（3分）证明：（2）①当n＝1时，（1﹣λ）a1＝﹣λa1+1，∴a1＝1，（4分）当n≥2时，，，两式相减得，∴＝，又，∴数列{b n}是以为首项、λ为公比的等比数列．（9分）解：②由①知：；又d i＝max{a1，a2，…，a i}﹣min{a i+1，a i+2，…，a n}，d i+1＝max{a1，a2，…，a i+1}﹣min{a i+2，a i+3，…，a n}由于min{a i+1，a i+2，…，a n}≤min{a i+2，a i+3，…，a n}，∴由d i+1＞d i推得max{a1，a2，…，a i}＜max{a1，a2，…，a i+1}．∴max{a1，a2，…，a i+1}＝a i+1对任意的正整数i＝1，2，3，…，n﹣2恒成立．（13分）∵d i＝a i﹣a i+1，d i+1＝a i+1﹣a i+2，∴．（14分）由d i﹣d i+1＜0，得，但λ＞0且λ≠1，∴，解得，∴．（16分）23．（18分）已知直线l1、l2与曲线W：mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0）分别相交于点A、B和C、D，我们将四边形ABCD称为曲线W的内接四边形．（1）若直线l1：y＝x+a和l2：y＝x+b将单位圆W：x2+y2＝1分成长度相等的四段弧，求a2+b2的值；（2）若直线与圆W：x2+y2＝4分别交于点A、B和C、D，求证：四边形ABCD为正方形；（3）求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．【解答】解：（1）由于直线l1：y＝x+a和l2：y＝x+b将单位圆W：x2+y2＝（1分）成长度相等的四段弧，所以，在等腰直角△OAB中，圆心O（0，0）到直线l1：y＝x+a的距离为，同理|b|＝1，∴a2+b2＝2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由题知，直线l1，l2关于原点对称，因为圆W：x2+y2＝4的圆心为原点O，所以，故四边形ABCD为平行四边形．易知，O点在对角线AC，BD上．联立解得，由得＝，所以，于是，因为，所以四边形ABCD为正方形．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）证明：假设椭圆存在内接正方形，其四个顶点为A，B，C，D．当直线AB的斜率不存在时，设直线AB、CD的方程为x＝m，x＝n，因为A，B，C，D在椭圆上，所以，由四边形ABCD为正方形，易知，，直线AB、CD的方程为，正方形ABCD的面积．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）当直线AB的斜率存在时，设直线AB、CD的方程分别为l AB：y＝kx+m，l CD：y ＝kx+n（k≠0，m≠0），显然m≠n．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，所以代人，得，同理可得，因为ABCD为正方形，所以|AB|2＝|CD|2解得m2＝n2因为m≠n，所以m＝﹣n，因此，直线AB与直线CD关于原点O对称，所以原点O为正方形的中心（由m＝﹣n知，四边形ABCD为平行四边形）由ABCD为正方形知，即代人得，解得（注：此时四边形ABCD为菱形）由ABCD为正方形知|AB|＝|AD|，因为直线AB与直线CD的距离为，故但，由得4k4+5k2+1＝4k4+4k2+1，∴k2＝0即k＝0，与k≠0矛盾．所以|AD|2≠|AB|2，这与|AD|＝|AB|矛盾．即当直线AB的斜率k≠0存在时，椭圆内不存在正方形．综上所述，椭圆的内接正方形有且只有一个，且其面积为．﹣﹣（18分）。

七校2016届高三上学期12月联合调研考试数学试卷（理）一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．函数)()(1≥1-=2x x x f 的反函数是._____________)(=1-x f2、已知a b a ,,1=2=和b 的夹角为3π，则.___________=⋅b a 3、幂函数)(x f y =的图象过点),(214，则._________)(=41f 4、方程)(log )(log x x -5=3-42的解为 .5、若直线1l 的一个法向量),(11=n ，若直线2l 的一个方向向量),(2-1=d ，则1l 与2l 的夹角θ= .(用反三角函数表示).6、直线0=2-3+y x l :交圆2=+22y x 于A 、B 两点，则._______=AB7、已知(),,πα0∈且71=4+)tan(πα，则=αcos . 8、无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3=6=63S S ,，则._______lim =∞→n n S 9、已知1--=x kx x f )(有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是 . 10、已知c b a 、、是ABC ∆中C B ∠∠∠、、A 的对边， 若 60=7=A a ,，ABC ∆的面积为310，则ABC ∆的周长为 .11、奇函数)(x f 的定义域为R ，若)(2+x f 为偶函数，且1=1)(f ，则.__________)()(=101+100f f 12、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若324S S S ,,成等差数列，且18-=++432a a a ，若2016≥n S ，则n 的取值范围为 .13、设,R m ∈过定点A 的动直线0=+my x 和过定点B 的动直线0=3+--m y mx 交于点P ，则PB PA ⋅的最大值是 .14、设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]2-=21-3=.,π.给出下列命题： ①对任意的实数x ，都有[]x x x ≤<1-； ②对任意的实数y x ,，都有[][][]y x y x +≥+；③[][][][][]4940=2015+2014++3+2+1lg lg lg lg lg ；④若函数[][]x x x f =)(，当[))(,*N n n x ∈0∈时，令)(x f 的值域为A ，记集合A 中元素个数为n a ，则na n 49+的最小值为219.其中所有真命题的序号为 .二．选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15、数列{}n a 的前n 项和为2=n S n ，则8a 的值为 （ ） A 、15 B 、16 C 、49 D 、6416、3=a 是直线0=3+2+a y ax 和7-=1-+3a y a x )(平行且不重合的 （ ） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件 17、将x x f 2=si n )(的图象右移)(2<<0πϕϕ个单位后得到)(x g 的图象.若满足2=-21)()(x g x f 的21x x ,，有21-x x 的最小值为3π，则ϕ的值为 （ ） A 、12πB 、6π C 、4π D 、3π 18、已知函数1++=x x e me xf )(，若对任意R x x x ∈321、、，总有)()()(32x f x f x f 、、1为某一个三角形的边长，则实数m 的取值范围是 （ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡121,B 、[]10,C 、[]21, D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡221,三．解答题 (本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19．（本题共2小题，满分12 分。

上海市徐汇区2015 -2016学年度第一学期期末试卷高三理科数学分析一、综述、易错点和难点分析这套试卷无论是试题结构或试题形式，还是解决方法上都是延续以往的特点。

首先是依托教材，部分题型较新，保持了能力立意；二是二期课改的教材的新增内容也占一定比例，紧扣“标准”；三是比较注重“双基”的考查。

主要体现在：1.突出基本知识，基本技能的考查；2. 对于指点交叉考查的比较多；3. 注重对知识的灵活应用能力；4. 常考的知识点并没有什么变化；5. 对于新增部分的知识点考查比较多。

注重基础，考查课本中的基本知识和基本技能。

教材的新增内容占相当一部分比例，并且与其它知识点相结合。

考查学生逻辑思维能力，培养学生利用数学思想和方法解决问题的能力。

填空题、选择题考查了抛物线、函数、等比数列、三角函数、不等式、行列式、立体几何等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型．同时，在函数、行列式等题目上进行了一些微创新，这些题目的设计回归教材和中学教学实际．知识点考查全面，覆盖了考纲中要求的所有知识点。

教材的新增内容占相当比例，但难度有所增加，并且与其它知识点相结合。

突出能力考查，重视思想方法。

试卷总体上体现了能力立意。

一是试卷前面比较注重双基考查，布局上基础知识考查居多题目比较简单顺手。

后面对于数学思维的考查要求比较高，部分题目还体现发散和探索的要求。

这些年高考数学题型和数量已成定势，一般来说，能力立意保持依旧。

能力立意一直是上海高考数学卷的特色之一。

这套试题依然设计试题考查自主学习和探究问题的能力。

比如，填空题中关于矩阵对角线元素之和的题目，要求考生具有一定的观察、分析能力以及归纳发现能力；14题在分类讨论、思维的严密性等方面具有一定要求。

这种题目考的就是学生是不是具有细心与耐心的品质，做出这种题目要么就是有超人一等能直接洞察题目本质的能力，要么就是勤勤恳恳一个一个给他举出来。

在提供问题解决路径的同时也适度降低了试题的难度。

2016-2017学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科2016. 12一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7 题至笫12题每小题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填対得 4分（或5分），否则一律得0分.2.已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在轴上，若C 经过点M （l,3）,则其焦点 到准线的距离为 ______________ .4.若复数满足：二內+ i （是虚数单位），贝ijz 7 ,5•在（x + —）6的二项展开式中第四项的系数是 _________ •（结果用数值表示）x6. ________________ 在长方体ABCD — ABCQ 屮，若AB = BC = 1,AA ]=42,则异而直线与CC ；所成 角的大小为 .7.若函数/（x ） = \2 \ _________________________________ 的值域为（-00,1],则实数加的取值范围是 ______________________________________________ . -x 2 + m. x> 0&如图： 在 MBC 中， 若 AB = AC = 3,cos ZBAC = -.DC = 2BD , 则 2AD BC= ______________ ・9.定义在R 上的偶函数y = f （x ）,当兀二0时,/（x ） = lg （x 2-3x+3），则于（兀）在R 上的 零点个数为 __________ 个.10.将辆不同的小汽车和辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某个内，其中辆卡车必须 停在A 与B 的位置，那么不同的停车位置安排共有 _____________ 种？（结果用数值表示） 1. lim MT8 2H -5 n + l3•若线性方程组的增广矩阵为| J解为胃彳 [y=[第8题图 第10題團£11•已知数列｛匕｝是首项为，公差为2加的等差数列，前项和为S”.设n- 2n若数列｛仇｝是递减数列，则实数"2的取值范围是___________ ・12.若使集合A = ｛x| (fct-P -6)(x-4) > 0,%e z］中的元素个数最少，则实数的取值范围是二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分.13. a x = k7V + -伙wZ)” 是“tanx = l” 成立的( )4(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件14.若1-5/办(是虚数单位)是关于的实系数方程X+bx + c = 0的一个复数根，则( )(A) /? = 2,c = 3 (B) b = 2.c = -\(C) b = -2,c = -1 (D) b = -2,c = 315.已知函数/&)为/?上的单调函数，广©)是它的反函数，点A(-1,3)和点3(1,1)均在函数/&)的图像上，则不等式|广吃)|v 1的解集为( )(A) (-1,1) (B) (1,3) (C) (0,log23) (D) (l,log23)2 2 2 216.如图，两个椭圆二+丄=1,丄+丄二1内部重叠区域的边界记为曲线C, P是曲线C25 9 25 9上的任意一点，给出下列三个判断：①P 到片(—4,0)、笃(4,0)、厶(0,—4)、E2(0,4)0点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y =兀、y =—兀均对-称；③曲线C所围区域面积必小于36.上述判断中正确命题的个数为( )(A)个(B)个(C)个(D) 3个三.解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，已知PA丄平面ABC , AC丄AB, AP=BC = 2, ZCBA = 30° , D 是AB 的中点. （1）求PD与平面P4C所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求\PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积（结果保留龙）.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 宀、A/3 COS2 x -sinx己知函数/（x） =COSX 17T（1）当xw 0,—时，求/（x）的值域；（2）已知MBC的内角的对边分别为a,b,c,若/（△） = J3,Q =4』+C =5, 求AABC的面积.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1）, B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）.（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A、B两种产品的利润/（力、g（x）表示为投资额的函数；（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产殆能获得最大利润，最大利润为多少？20•（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6 分，第3小题满分6分.兀2如图：双曲线「：一—尸=1的左、右焦点分别为片,耳,过笃作直线交y轴于点Q・（1）当直线平行于「的一条渐近线时，求点耳到直线的距离；（2）当直线的斜率为时，在「的石支占是否存在点P,满足F\PF\Q = 0 ?若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若直线与「交于不同两点A、B,且「上存在一点M,满足鬲+丽+ 4丽=0（其中O为坐标原点），求直线的方程.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6 分，第3小题满分8分.正数数列｛色｝、［b n ］满足：a x >b^且对一切k>2,keN*f 兔是％［与乞一的等差中项,Q 是％1与俵.］的等比中项.（1） 若a 2 = 2,/?2 = 1,求。

2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的标准方程是．2．方程的解是．3．设，则数列{a n}的各项和为．4．函数y=cos2x+sinxcosx的最小值为．5．若函数f（x）的图象与对数函数y=log4x的图象关于直线x+y=0对称，则f（x）的解析式为f（x）= ．6．函数f（x）=|4x﹣x2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是．7．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为．8．若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，则行列式的值为．9．（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于．10．已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD=2，则A、B两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是．11．已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有个．12．正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为．13．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S=1+= ．14．已知O是锐角△ABC的外心，．若，则实数m= ．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）A．向量与垂直B．向量与垂直C．向量与垂直D．向量与平行16．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件17．（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B．C．D．18．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f （x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx ﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A．﹣4031 B．4031 C．﹣8062 D．8062三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=，SB=．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积V S﹣ABC．20．已知实数x满足（）2x﹣4﹣（）x﹣（）x﹣2+≤0且f（x）=log2（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．21．节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=30km，BC=15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO=x（弧度），排污管道的总长度为ykm．（1）将y表示为x的函数；（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．22．给定数列{a n}，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，即A i=max{a1，a2，…，a i}；该数列后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n中的最小项为B i，即B i=min{a i+1，a i+2，…，a n}；d i=A i ﹣B i（i=1，2，3，…，n﹣1）（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d1，d2，d3；（2）若S n是数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，有，其中λ为实数，λ＞0且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a n}对应的d i满足d i+1＞d i对任意的正整数i=1，2，3，…，n﹣2恒成立，求实数λ的取值范围．23．已知直线l1、l2与曲线W：mx2+ny2=1（m＞0，n＞0）分别相交于点A、B和C、D，我们将四边形ABCD称为曲线W的内接四边形．（1）若直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆W：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，求a2+b2的值；（2）若直线与圆W：x2+y2=4分别交于点A、B和C、D，求证：四边形ABCD为正方形；（3）求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的标准方程是y2=8x ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据准线求出p的值，然后可判断抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上进而可设抛物线的标准形式，将p的值代入可得答案．【解答】解：由题意可知： =2，∴p=4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=2px将p代入可得y2=8x．故答案为：y2=8x．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程．属基础题．2．方程的解是x=2 ．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】由方程可得 3x﹣5=4，即3x=32，由此求得方程的解．【解答】解：由方程可得 3x﹣5=4，即3x=32，解得x=2，故答案为 x=2．【点评】本题主要考查对数方程的解法，对数的运算性质应用，属于基础题．3．设，则数列{a n}的各项和为．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】由已知可知=，从而可得数列{a n}为公比的等比数列，要求等比数列的各项和，即求前n项和的极限，由求和公式先求前n项和，然后代入求解极限即可【解答】解：∵ =，∴=，则数列{a n}是以为首项以为公比的等比数列∴=所以数列的各项和S==故答案为【点评】本题所涉及的知识：等比数列定义在判断等比数列中的应用，等比数列的求和公式，等比数列的各项和与前n项和是不同的概念，要注意区别4．函数y=cos2x+sinxcosx的最小值为﹣．【考点】二倍角的正弦；二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数的解析式为y=+sin（2x+），由此求得函数y的最小值．【解答】解：函数y=cos2x+sinxcosx=+sin2x=+sin（2x+），故当2x+=2kπ﹣，k∈z 时，函数y取得最小值为﹣1=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和的正弦公式、正弦函数的最值，属于中档题．5．若函数f（x）的图象与对数函数y=log4x的图象关于直线x+y=0对称，则f（x）的解析式为f（x）= y=﹣4﹣x．【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象．【专题】计算题；数形结合．【分析】先设f（x）上一点（x，y），求这个点关于x+y=0的对称点，则根据题意该对称点在函数y=log4x的图象上，满足函数y=log4x的解析式，从而可求出点（x，y）的轨迹方程【解答】解：设函数f（x）的图象上一点（x，y），则点（x，y）关于x+y=0的对称点（x'，y'）在对数函数y=log4x的图象由题意知，解得x'=﹣y，y'=﹣x又∵点（x'，y'）在对数函数y=log4x的图象∴﹣x=log4（﹣y）∴﹣y=4﹣x∴y=﹣4﹣x故答案为：y=﹣4﹣x【点评】本题考查函数的图象与性质，求函数的解析式．解题的关键是会求点个关于直线的对称点．属简单题6．函数f（x）=|4x﹣x2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是（0，4）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得，直线y=a和函数y=|4x﹣x2|的图象有4个交点，数形结合求得a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=|4x﹣x2|﹣a有四个零点，故直线y=a和函数y=|4x﹣x2|的图象有4个交点，如图所示：结合图象可得0＜a＜4，故答案为（0，4）．【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．7．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为16 ．【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】将x、y∈R+且=1，代入x+y=（x+y）•（），展开后应用基本不等式即可．【解答】解：∵ =1，x、y∈R+，∴x+y=（x+y）•（）==10+≥10+2=16（当且仅当，x=4，y=12时取“=”）．故答案为：16．【点评】本题考查基本不等式，着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力，属于中档题．8．若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，则行列式的值为0 ．【考点】三阶矩阵；两条直线的交点坐标．【专题】直线与圆．【分析】先求x+y+2=0和2x﹣y+1=0的交点，代入直线ax+y+3=0，即可得到a的值．再利用行列式的计算法则，展开表达式，化简即可．【解答】解：解方程组得交点坐标为（﹣1，﹣1），代入ax+y+3=0，得a=2．行列式=2+4﹣3﹣6+4﹣1=0．故答案为：0．【点评】本题是基础题，考查直线交点的求法，三条直线相交于一点的解题策略，考查行列式的运算法则，考查计算能力．9．（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于28 ．【考点】二项式系数的性质．【专题】对应思想；转化法；二项式定理．【分析】根据题意，令x=1，代入多项式即可求出展开式中各项系数的和．【解答】解：（x3+2x+1）（3x2+4）展开后含有字母x，令x=1，则展开式中各项系数的和为：（13+2×1+1）（3×12+4）=28．故答案为：28．【点评】本题考查了求多项式展开式的各项系数和的应用问题，解题时应利用x=1进行计算，是基础题．10．已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD=2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是．【考点】球面距离及相关计算．【专题】计算题；方程思想；综合法；球．【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O为CD的中点，且OA=OB=OC=OD，进而在△A0B中，利用余弦定理求得cos∠AOB的值，则∠AOB可求，进而根据弧长的计算方法求得答案．【解答】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O在CD中点，则OA=OB=OC=OD=1，再由AB=，在△A0B中，利用余弦定理cos∠AOB==﹣，则∠AOB=，则弧AB=•1=．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力．11．已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有9 个．【考点】进行简单的合情推理．【专题】计算题；综合题．【分析】根据值域中的几个函数值，结合函数表达式推断出定义域中可能出现的几个x值，再加以组合即可得到定义域D的各种情况．【解答】解：∵f（x）=x2﹣1∴f（0）=﹣1，f（±1）=0，f（±）=1因此，定义域D有：{0，1， }，{0，﹣1，﹣ }，{0，﹣1， }，{0，1，﹣ }，{0，﹣1，1， }，{0，﹣1，1，﹣ }，{0，1，，﹣ }，{0，﹣1，，﹣ }，{0，﹣1，1，，﹣ }共9种情况故答案为：9【点评】本题给出二次函数的一个值域，要我们求函数的定义域最多有几个，着重考查了函数的定义与进行简单合情推理等知识，属于基础题．12．正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】称求出基本事件总数n=4×4=16，再由列举法求出露在外面的6个数字之和恰好是9包含的基本事件个数，由此能求出露在外面的6个数字之和恰好是9的概率．【解答】解：正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，露在外面的6个数字之和包含的基本事件总数n=4×4=16，设两个正四面体中压在桌面的数字分别为m，n，则露在外面的6个数字之和恰好是9的基本情况有：（0，3），（3，0），（1，2），（2，1），共包含4个基本事件，∴露在外面的6个数字之和恰好是9的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．13．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S=1+= ﹣2 ．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数．【分析】设x1=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2=s﹣ti．则x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．利用是实数，可得3s2=t2．于是x1+x2=2s，x1x2=s2+t2． +1=0，取=ω，则ω2+ω+1=0，ω3=1．代入化简即可得出．【解答】解：设x1=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2=s﹣ti．则x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．∵==+i是实数，∴3s2t﹣t3=0，∴3s2=t2．∴x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．∴4s2==+2x1x2=x1x2，∴+1=0，取=ω，则ω2+ω+1=0，∴ω3=1．则S=1+=1+ω+ω2+ω4+ω8+ω16+ω32=0+ω+ω2+ω+ω2=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了复数的运算法则、实系数一元二次方程虚根成对原理及其根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知O是锐角△ABC的外心，．若，则实数m=．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．【分析】设外接圆的半径为R，从而化简可得（﹣）•+（﹣）•=2m•，从而可得﹣2sinCcosB+（﹣2sinBcosC）=﹣2m，从而解得．【解答】解：设外接圆的半径为R，∵，∴（﹣）+（﹣）=2m，∵∠AOB=2∠C，∠AOC=2∠B，∴（﹣）•+（﹣）•=2m•，即•R2•（cos2C﹣1）+•R2•（cos2B﹣1）=﹣2mR2，即﹣2sinCcosB+（﹣2sinBcosC）=﹣2m，故sinCcosB+sinBcosC=m，故sin（B+C）=m，故m=sinA=，故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理的应用，同时考查了平面向量数量积的应用及三角恒等变换的应用，属于中档题．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）A．向量与垂直B．向量与垂直C．向量与垂直D．向量与平行【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；分析法；平面向量及应用．【分析】计算各向量的数量积判断数量积是否为0得出向量是否垂直．【解答】解：设的夹角为θ，则0＜θ＜π，∵（）•（）==0，∴（）⊥（），故A正确；D错误．∵（）•=﹣=﹣cosθ≠0，∴与不垂直；故B错误；∵==+cosθ≠0，∴与不垂直，故C错误；故选：A．【点评】本题考查了平面向量的数量积与向量垂直的关系，属于基础题．16．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质．【专题】简易逻辑．【分析】根据不等式的性质，我们先判断“0＜ab＜1”⇒“”与“”⇒“0＜ab ＜1”的真假，然后结合充要条件的定义即可得到答案．【解答】解：若“0＜ab＜1”当a，b均小于0时，即“0＜ab＜1”⇒“”为假命题若“”当a＜0时，ab＞1即“”⇒“0＜ab＜1”为假命题综上“0＜ab＜1”是“”的既不充分也不必要条件故选D．【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，及不等式的性质，其中根据不等式的性质判断“0＜ab＜1”⇒“”与“”⇒“0＜ab＜1”的真假，是解答本题的关键．17．（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B．C．D．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，可得，利用线性规划的知识可得可行域即可．【解答】解：∵复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，∴，由线性规划的知识可得：可行域为直线x=2y的右下方和直线的左下方，因此为A．故选：A．【点评】本题考查了复数的几何意义和线性规划的可行域，属于中档题．18．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f （x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx ﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A．﹣4031 B．4031 C．﹣8062 D．8062【考点】函数的值；抽象函数及其应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用函数对称中心的性质得到当x1+x2=2时，恒有f（x1）+f（x2）=﹣4，能此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=x+sinπx﹣3，∴当x=1时，f（1）=1+sinπ﹣3=﹣2，∴根据对称中心的定义，可得当x1+x2=2时，恒有f（x1）+f（x2）=﹣4，∴=2015[f（）+f（）]+f（）=2015×（﹣4）﹣2=﹣8062．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=，SB=．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积V S﹣ABC．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】（1）因为SA⊥面ABC，AC为SC在面ABC内的射影，由三垂线定理可直接得证．（2）由题意可直接找出侧面SBC与底面ABC所成二面角的平面角是∠SCA，在直角三角形中求解即可．【解答】解：（1）∵SA⊥AB SA⊥AC AB∩AC=A∴SA⊥平面ABC，∴AC为SC在平面ABC内的射影，又∵BC⊥AC，由三垂线定理得：SC⊥BC（2）在△ABC中，AC⊥BC，AC=2，BC=，∴AB==，∵SA⊥AB，∴△SAB为Rt△，SB=，∴SA==2，∵SA⊥平面ABC，∴SA为棱锥的高，∴V S﹣ABC=××AC×BC×SA=×2××=．【点评】本题考查了三垂线定理的应用，考查了棱锥的体积计算及学生的推理论证能力，计算能力；三垂线定理也可看作是线线垂直的判定定理，是证明异面直线垂直的常用方法．20．已知实数x满足（）2x﹣4﹣（）x﹣（）x﹣2+≤0且f（x）=log2（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；整体思想；函数的性质及应用．【分析】（1）化简可得81（）2x﹣10（）x+≤0，从而解得≤9（）x≤1，从而求得；（2）化简f（x）=（log2x﹣1）（log2x﹣2）=（log2x﹣）2﹣，从而求最值．【解答】解：（1）∵（）2x﹣4﹣（）x﹣（）x﹣2+≤0，∴81（）2x﹣10（）x+≤0，∴≤9（）x≤1，∴0≤x﹣2≤2，故实数x的取值范围为[2，4]；（2）f（x）=log2=（log2x﹣1）（log2x﹣2）=（log2x﹣）2﹣，∵x∈[2，4]，∴log2x∈[1，2]，∴﹣≤（log2x﹣）2﹣≤0，∴当x=2时，f（x）有最小值﹣，当x=2或4时，f（x）有最大值0．【点评】本题考查了幂运算的应用及对数运算的应用，同时考查了整体思想的应用及配方法的应用．21．节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=30km，BC=15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO=x（弧度），排污管道的总长度为ykm．（1）将y表示为x的函数；（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值．【专题】应用题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）直接由已知条件求出AO、BO、OP的长度，即可得到所求函数关系式；（2）记，则sinx+pcosx=2，求出p的范围，即可得出结论．【解答】解：（1）由已知得，即（其中）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）记，则sinx+pcosx=2，则有，解得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由于y＞0，所以，当，即点O在CD中垂线上离点P距离为km处，y取得最小值（km）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题主要考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力．解决这类问题的关键在于把文字语言转换为数学符号，用数学知识解题．22．给定数列{a n}，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，即A i=max{a1，a2，…，a i}；该数列后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n中的最小项为B i，即B i=min{a i+1，a i+2，…，a n}；d i=A i ﹣B i（i=1，2，3，…，n﹣1）（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d1，d2，d3；（2）若S n是数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，有，其中λ为实数，λ＞0且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a n}对应的d i满足d i+1＞d i对任意的正整数i=1，2，3，…，n﹣2恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【专题】证明题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由A i=max{a1，a2，…，a i}，B i=min{a i+1，a i+2，…，a n}，d i=A i﹣B i，对于数列：3，4，7，1，能求出d1，d2，d3．（2）①推导出a1=1，，由此能证明数列{b n}是以为首项、λ为公比的等比数列．②由，得max{a1，a2，…，a i+1}=a i+1对任意的正整数i=1，2，3，…，n﹣2恒成立，由此能求出实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵给定数列{a n}，A i=max{a1，a2，…，a i}，B i=min{a i+1，a i+2，…，a n}，d i=A i﹣B i（i=1，2，3，…，n﹣1）对于数列：3，4，7，1，A1=3，B1=1，d1=3﹣1=2，A2=4，B2=1，d2=4﹣1=3，A3=7，B3=1，d3=7﹣1=6，∴d1=2，d2=3，d3=6．证明：（2）①当n=1时，（1﹣λ）a1=﹣λa1+1，∴a1=1，当n≥2时，，，两式相减得，∴=，又，∴数列{b n}是以为首项、λ为公比的等比数列．解：②由①知：；又d i=max{a1，a2，…，a i}﹣min{a i+1，a i+2，…，a n}，d i+1=max{a1，a2，…，a i+1}﹣min{a i+2，a i+3，…，a n}由于min{a i+1，a i+2，…，a n}≤min{a i+2，a i+3，…，a n}，∴由d i+1＞d i推得max{a1，a2，…，a i}＜max{a1，a2，…，a i+1}．∴max{a1，a2，…，a i+1}=a i+1对任意的正整数i=1，2，3，…，n﹣2恒成立．∵d i=a i﹣a i+1，d i+1=a i+1﹣a i+2，∴．由d i﹣d i+1＜0，得，但λ＞0且λ≠1，∴，解得，∴．【点评】本题考查等比数列的证明，考查实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求较高，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．23．已知直线l1、l2与曲线W：mx2+ny2=1（m＞0，n＞0）分别相交于点A、B和C、D，我们将四边形ABCD称为曲线W的内接四边形．（1）若直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆W：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，求a2+b2的值；（2）若直线与圆W：x2+y2=4分别交于点A、B和C、D，求证：四边形ABCD为正方形；（3）求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】方程思想；消元法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据直线分圆分成长度相等的四段弧，得到，利用点到直线的距离公式进行求解即可．（2）根据直线与圆相交的位置关系，利用消元法转化为一元二次方程，根据根与系数之间的关系进行证明即可，（3）根据椭圆内接正方形的关系，转化为一元二次方程，根据根与系数之间的关系进行证明即可，【解答】解：（1）由于直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆W：x2+y2=成长度相等的四段弧，所以，在等腰直角△OAB中，圆心O（0，0）到直线l1：y=x+a的距离为，同理|b|=1，∴a2+b2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由题知，直线l1，l2关于原点对称，因为圆W：x2+y2=4的圆心为原点O，所以，故四边形ABCD为平行四边形．易知，O点在对角线AC，BD上．联立解得，由得=，所以，于是，因为，所以四边形ABCD为正方形．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）证明：假设椭圆存在内接正方形，其四个顶点为A，B，C，D．当直线AB的斜率不存在时，设直线AB、CD的方程为x=m，x=n，因为A，B，C，D在椭圆上，所以，由四边形ABCD为正方形，易知，，直线AB、CD的方程为，正方形ABCD的面积．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当直线AB的斜率存在时，设直线AB、CD的方程分别为l AB：y=kx+m，l CD：y=kx+n（k≠0，m≠0），显然m≠n．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，所以代人，得，同理可得，因为ABCD为正方形，所以|AB|2=|CD|2解得m2=n2因为m≠n，所以m=﹣n，因此，直线AB与直线CD关于原点O对称，所以原点O为正方形的中心（由m=﹣n知，四边形ABCD为平行四边形）由ABCD为正方形知，即代人得，解得（注：此时四边形ABCD为菱形）由ABCD为正方形知|AB|=|AD|，因为直线AB与直线CD的距离为，故但，由得4k4+5k2+1=4k4+4k2+1，∴k2=0即k=0，与k≠0矛盾．所以|AD|2≠|AB|2，这与|AD|=|AB|矛盾．即当直线AB的斜率k≠0存在时，椭圆内不存在正方形．综上所述，椭圆的内接正方形有且只有一个，且其面积为．﹣﹣【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系的应用，将直线方程代入椭圆方程，利用消元法转化为一元二次方程形式，根据根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。

2015学年第二学期徐汇、金山、松江区学习能力诊断卷高三数学 理科试卷一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分) 1．抛物线x y 42=的焦点坐标是_____________.2．若集合{}{}310,12A x x B x x =+>=-<，则A B =_______________． 3．若复数z 满足1,ii z-=-其中i 为虚数单位，则z =________________． 4．求值：23=________________弧度．5．试写出71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中系数最大的项________________．6．若函数4y =a ，最大值为b ，则2l i m 34n nn nn a b a b→∞--＝_________． 7．在极坐标系中，点(3,)2π关于直线6πθ=的对称点的坐标为________________．8．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ=_______________．（结果用最简分数表示）9．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB|=,|BC|=，|CA|=，则AB BC BC CA CA AB++ 的值等于_______________．10．从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =中任取两个数，欲使取到的一个数大于,k 另一个数小于k （其中)k A ∈的概率是2,5则k =__________________． 11．有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c已知045,a B ==______________，求角A ．”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示060,A =试将条件补充完整．12．在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为__________________．13．定义在R 上的奇函数(),f x 当0x ≥时，[)[)12log (1),0,1,()13,1,,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为________________（结果用a 表示）．14．对于给定的正整数n 和正数R ，若等差数列123,,,a a a 满足22121n a a R ++≤，则21222341n n n n S a a a a ++++=++++ 的最大值为__________________．二． 选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+ 为偶函数”是“a b ⊥ ”的----------（ ）（A ） 充分非必要条件（B ） 必要非充分条件 （C ） 充要条件（D ） 既非充分也非必要条件16．函数y =22,0,,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩的反函数是------------------------------------------------------------------（ ）（A）,020x x y x ⎧≥⎪=<（B）,020x x y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩（C）2,00x x y x ≥⎧⎪=< （D）2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩17．如图，圆锥形容器的高为,h 圆锥内水面的高为1,h 且11,3h h =若将圆锥倒置，水面高为2,h 则2h 等于-----------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）23h （B ）1927h （C（D ）18．设1x 、2x 是关于x 的方程022=-++m m mx x的两个不相等的实数根，那么过两点),(211x x A 、),(222x x B 的直线与圆()()22111x y -++=的位置关系是----------------------------------------( )（A ）相离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）随m 的变化而变化 三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分；第（1）小题６分，第（2）小题6分） 已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 2)(+=． （1）求函数)(x f 的单调递增区间； （2）将函数)(x f y =图像向右平移4π个单位后，得到函数)(x g y =的图像，求方程1)(=x g 的解.20．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，090=∠BAC ，且异面直线B A 1与11C B 所成的角等于060，设a AA =1. （1）求a 的值；（2）求三棱锥BC A B 11-的体积．21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分） 已知函数()2.f x x a a =-+（1）若不等式()6f x <的解集为()1,3-，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在0,x R ∈使00()()f x t f x ≤--，求t 的取值范围．1A 1B 1CABC22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题7分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且点3(1,)2P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆22122:153x y C a b +=-上异于其顶点的任意一点Q 作圆224:3O x y +=的两条切线，切点分别为,(,M N M N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为,,m n 证明：22113m n +为定值； （3）若12,P P 是椭圆222223:1x y C a b+=上不同的两点，12PP ⊥x 轴，圆E 过12,,P P 且椭圆 2C 上任意一点都不在圆E 内，则称圆E 为该椭圆的一个内切圆. 试问：椭圆2C 是否存在过左焦点1F 的内切圆？若存在，求出圆心E 的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成：①21;2n n n a a a +++<②存在实数,a b 使n a a b ≤≤对任意正整数n 都成立．（1） 现在给出只有5项的有限数列{}{},,n n a b 其中123452,6,8,9,12a a a a a =====；2log (1,2,3,4,5).k b k k ==试判断数列{}{},n n a b 是否为集合W 的元素；（2）数列{}n c 的前n 项和为1,1,n S c =且对任意正整数,n 点1(,)n n c S +在直线220x y +-=上，证明：数列{},n S W ∈并写出实数,a b 的取值范围；（3）设数列{},n d W ∈且对满足条件②中的实数b 的最小值0,b 都有*0().n d b n N ≠∈求证：数列{}n d 一定是单调递增数列．2016年松江区高考数学（理科）二模卷一、填空题1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质. 【参考答案】(1,0)【试题分析】抛物线22y px =的焦点坐标为(,0)2p，抛物线24y x =中2p =，所以焦点为(1,0)，故答案为(1,0).2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，并集，补集. 【参考答案】1(,3)3-【试题分析】解|1|<2x -得13x -<<，所以1{|310}(,)3A x x =+>=-+∞，{||1|2}=(1,3)B x x =-<-，所以1(,3)3A B =- ,故答案为1(,3)3A B =- .3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.【知识内容】数与运算/复数初步/复数的四则运算. 【参考答案】1i - 【试题分析】因为1i i z -=-，所以21i i(1i)1+i i iz --===--，所以1i z =-，故答案为1i -. 5.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/矩阵与行列式初步/二阶、三阶行列式. 【参考答案】2π3【试题分析】π2arcsin2ππ2π3232π3633arctan36==⨯-⨯=,故答案为2π3. 5.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理. 【参考答案】35x【试题分析】71x x ⎛⎫-⎪ ⎭⎝展开式的第r 项为7721771C ()(1)C r r r r r rr T x x x --+=⋅-=-，其系数为7(1)C (07)r rr -≤≤，当其最大时，取4r =，所以系数最大的项为415735=C T x x-=，故答案为35x.6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质; 方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限. 【参考答案】12【试题分析】因为22023(1)44x x x -++=--+≤≤，所以244y =≤，所以2,4a b ==，2223lim =lim 343243nnnnn n n n n n a b a b →∞→∞--⋅=-⋅-⋅2()213lim 223()43n n n →∞-=⋅-. 7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/极坐标;图形与几何/平面直线的方程/两条直线的平行关系与垂直关系. 【参考答案】π(3,)6- 【试题分析】直线π=6θ化为普通方程为3y x =，点π(3,)2对应直角坐标系中的点为(0,3),设点(0,3)关于直线y x =的对称的点为(,)a b，则31,322b a a b ⎧-=-⎪⎪+=，解得32a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以点的坐标为3)2-，化为极坐标系中的点为π(3,)6-. 8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率统计的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征. 【参考答案】47【试题分析】根据题意，ξ的取值为0,1,2，2527C 10(=0)=C 21P ξ=,115227C C 10(=1)==C 21P ξ，2227C 1(=2)==C 21P ξ，所以10141221217E ξ=⨯+⨯=，故答案为47.9.【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积; 函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理. 【参考答案】8-【试题分析】因为AB BC CA ===所以222cos 2AB BC CA B AB BC+-∠=⋅0==,cos 0AB BC AB BC B ⋅=-∠= ,同理，可求得cos C ∠=,5BC CA ⋅=-,cos A ∠=,3CA AB ⋅=-,所以8AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=- ，故答案为8-.(或28AB BC BC CA CA AB AB BC AC ⋅+⋅+⋅=⋅=- -)10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率统计的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/等可能事件的概率. 【参考答案】4或7【试题分析】从集合A 中任取两个数的取法有210C 45=种，因为取到的两个数中一个数大于k ,另一个数小于k 的概率是25，所以事件的可能有545=182⨯种，即(1)(10)18k k --=，解得4k =或7，故答案为4或7.11.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理.【参考答案】c =【试题分析】由B =45°，A =60°，得C =75°，由s i n s i n abA B =得,，所以b =所以sin =sin 2a c c A =，若填入“b =sin sin 2a BA b==得A =60°或120°，故只能填入2c =2c =.12.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列. 【参考答案】200【试题分析】等差数列{}n a 中的连续10项为*+129,,,,,()x x x x a a a a x ++∈N …，遗漏的项为*+,x n a n ∈N 且9,n 1≤≤则9()10(18)10(2)22x x x x x n x a a a a a a n +++⨯++⨯-=-+9(322)2185x n =+--=，化简得4494352x n =+≤≤，所以5x =，511a =，则连续10项的和为(1111+18)10=2002+⨯,故答案为200. 13.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质； 函数与分析/指数函数和对数函数/指数方程和对数方程.【参考答案】12a-【试题分析】函数()()F x f x a =-有零点，则函数()f x 的图像与直线y a =有交点，它们的图像如图所示，当[0,1x ∈）时，图像无交点，当10x -≤≤时，[0,1]x -∈，所以12()log (1)f x x -=-+，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x =--12log (1)x =--+，令12()log (1)f x x a =--+=，得12a x =-，当[1,)x ∈+∞时，由()f x a =得1|3|x a --=，|3|=1x a --，126x x +=，同理，可得当(,1)x ∈-∞-时，346x x +=-，所以函数()F x 的所有零点之和为612612a a -+-+=-，故答案为12a-.第13题图apto214.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列; 方程与代数/不等式/一元二次不等式(组)的解法.【参考答案】(22n +【试题分析】因为数列{}n a 是等差数列，所以214122431=2n n n n n a a a a a +++++=+=…，所以31(21)n S n a +=+，又因为22221213131(3)()n n n a a a nd a nd R ++++=-+-≤,即213128n n a da ++- 22100n d R +-≥,关于d 的二次方程22231110820n n n d da a R ++-+-≥有解，则222311=(8)40(2)0n n a n a R ++∆--≥-，化简得22231(6480)40n n a n R +-≥-,所以231n a +≤222401325()8064280642n R R R n n =+--≤,31n a +,所以S.二、选择题15.【测量目标】逻辑思维能力/能从数学的角度有条理地思考问题. 【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质； 图形与几何/平面向量的坐标表示/向量平行与垂直的坐标关系； 方程与代数/集合与命题/充分条件，必要条件，充分必要条件. 【正确选项】C【试题分析】函数2222()()2f x ax b a x a bx b =+=+⋅+ ，若函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，所以0a b ⋅= ，a b ⊥ ，充分性成立；反之由a b ⊥可得函数()f x 是偶函数，必要性也成立，所以“函数2()()f x ax b =+ 为偶函数”是“a b ⊥ ”的充要条件，故答案为C. 16.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数和对数函数/反函数. 【正确选项】B【试题分析】当0x ≥时，20,2y y x x ==≥，所以1(),02x f x x -=≥；当0x <时，20,y x x =-<=1()0f x x -=<，故答案为B.17.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体.【正确选项】D【试题分析】设圆锥底面半径为r ，则根据题意有2222211221ππ()π()33333hr h r h r h h⋅-⋅⋅=，化简得3221927h h h =，所以2h =，故答案为D.18.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/简单的幂函数、二次函数的性质； 图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程和一般方程; 图形与几何/平面直线的方程/点到直线的距离. 【正确选项】C【试题分析】因为方程22=0x mx m m ++-有两个不相等的实数根12,x x ，所以211x mx +=2m m -，且224()0m m m ∆=-->，解得403m <<，因为12x x ≠，所以直线AB 的斜率为22121212=x x x x m x x -=+--，所以直线AB 的方程为211()y x m x x -=--，则圆22(1)(1)1x y -++=的圆心(1,1)-到直线的距离d ==2+1,t m =2519t <<，4()=+4f t t t -，易知其在(1,2]上单调递减，在25(2,)9上单调递增，且25(1)1,(2)0,()19f f f ==<，所以()1f t <0≤，1d <0≤，又圆的半径为1，所以直线AB 与圆相交，故答案为C.三、解答题 19．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 【测量目标】（1）运算能力/能根据法则准确地进行运算、变形. （2）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求. 【知识内容】（1）函数与分析/三角函数/函数sin()y A x ωϕ=+的图像和性质. （2）函数与分析/三角函数/函数sin()y A x ωϕ=+的图像和性质.【参考答案】（1）π())14f x x =++， --------------3分由πππ2π22π()242k x k k -++∈Z ≤≤,得)(x f 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z . --6分（2）由已知，π()214g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， -------------9分由1)(=x gπ204x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππ28k x ∴=+，k ∈Z . -----------------------12分20.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 【测量目标】（1）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.（2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. 【知识内容】（1）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角. （2）图形与几何/简单几何体的研究/锥体. 【参考答案】（1）如图建立空间直角坐标系，XHLD1第20题图则由题意得，()()10,0,,1,0,0A a B ，()()111,0,,0,1,B a C a ， 所以()()1111,0,,1,1,0A B a BC =-=- .------------3分 设向量111,AB BC 所成角为θ，则060θ=，或0120θ=， 由于cos 0θ=<，所以0120θ=，得1c o s 2θ=-，解得 1.a =--------------6分（2）连接C B 1，1,AC 则三棱锥BC A B 11-的体积等于三棱锥B B A C 11-的体积，1111,B A BC C A B B V V --=11A B B △的面积21=S ，1A BC △的面积242S '==，………11分 又⊥∴⊥⊥CA AB CA A A CA ,,1平面C B A 11，所以611213111=⨯⨯=-B B A C V ，所以6111=-BC A B V . ………14分21．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识. （2）逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点.【知识内容】（1）方程与代数/不等式/含有绝对值不等式的解法. （2）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质. 【参考答案】（1）()26,f x x a a =-+<即26.x a a -<-60,626,a a x a a ->⎧∴⎨-+<-<-⎩即6,33,a a x <⎧⎨-<<⎩-----------------------------------------3分6,31, 2.33,a a a <⎧⎪∴-=-=⎨⎪=⎩即----------------------------------------------------------------------6分（2）2a =时，()22 2.f x x =-+若存在0,x ∈R 使00()(),f x t f x --≤即00()(),t f x f x +-≥---------------------8分 则[]min ()().t f x f x +-≥-----------------------------------------------------------------10分()()22224f x f x x x +-=-+++ (22)(22)48,x x --++=≥当[]1,1x ∈-时等号成立8,t ∴≥即[)8,.t ∈+∞----------------------------------------14分22．（本题满分16分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题7分）【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点.【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（2）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（3）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质、圆的标准方程和几何性质.【参考答案】（1）由题意得， 1.c =所以221,a b =+ 又点3(1,)2P 在椭圆C 上，所以22191,4a b +=解得224,3,a b == 所以椭圆C 的标准方程为221.43x y +=----------------------------------------------3分 （2）由（1）知，2213:1,44x y C +=设点112233(,),(,),(,),Q x y M x y N x y 则直线QM 的方程为224,3x x y y += ① 直线QN 的方程为334,3x x y y += ② 把点Q 的坐标代入①②得2121313143,43x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩所以直线MN 的方程为114,3x x y y +=令0,y =得14,3m x =令0,x =得14,3n y = 所以1144,,33x y m n==又点Q 在椭圆1C 上， 所以2244()3()4,33m n +=即22113,34m n +=为定值．-------------------------------9分（3）由椭圆的对称性，不妨设12(,),(,),P m n P m n -由题意知，点E 在x 轴上， 设点(,0),E t 则圆E 的方程为2222()().x t y m t n -+=-+----------------------11分 由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点E 的距离的最小值是1,PE 设点(,)M x y 是椭圆2C 上任意一点，则222223()21,4ME x t y x tx t =-+=-++ 当x m =时，2ME 最小，所以24.332t t m -=-= ① 假设椭圆2C 存在过左焦点F的内切圆，则222()().t m t n =-+ ②又点1P 在椭圆2C 上，所以221.4m n =- ③------------------------------------14分由①②③得2t =-或t =当t =时，42,3t m ==<-不合题意，舍去，且经验证，t =. 综上，椭圆2C 存在过左焦点F 的内切圆，圆心E的坐标是(---------16分 23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）【测量目标】（1）分析问题与解决问题的能力/能自主地学习一些新的数学知识（概念、定理、性质和方法等），并能初步应用.（2）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.（3）数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法，对问题进行探究，寻求数学对象的规律和联系；能正确地表述探究过程和结果，并予以证明.【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/数列的有关概念.（2）方程与代数/数列与数学归纳法/数列的有关概念.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/数学归纳法.【参考答案】（1）对于数列{},n a 35410,2a a a +=>不满足集合W 的条件①，∴数列{}n a 不是集合W 中的元素.对于数列{},nb 13222log log 22b b b +=<=，24223log log 3,2b b b +=<=35224log log 4,2b b b +=<=而且，当{}1,2,3,4,5n ∈时有22log 1log 5,n b ≤≤显然满足集合W 的条件①②，故数列{}n b 是集合W 中的元素. -------------------4分（2）因为点1(,)n n c S +在直线220x y +-=上，所以1220n n c S ++-= ①， 当2n ≥时，有 1220n n c S -+-= ②，①-②，得1220(2),n n n c c c n +-+=≥所以，当2n ≥时，有11.2n n c c +=又2111220,1,c S S c +-===所以2111.22c c == 因此，对任意正整数,n 都有11,2n n c c +=所以，数列{}n c 是公比为12的等比数列，故()1111,2.22n n n n c S n *--==-∈N 对任意正整数,n 都有21211122,2222nn n n n n S S S ++++=--<-=且12,n S <≤故{},n S W ∈实数a 的取值范围是(],1,-∞实数b 的取值范围是[)2,.+∞-------------------10分（3）假设数列{}n d 不是单递增数列，则一定存在正整数0,k 使001.k k d d +≥------12分 此时，我们用数学归纳法证明：对于任意的正整数,n 当0n k ≥时都有1n n d d +≥成立. ①0n k =时，显然有1n n d d +≥成立；②假设0()n m m k =≥时，1,m m d d +≥则当1n m =+时，由212m m m d d d +++<可得212,m m m d d d ++<-从而有1211(2)m m m m m d d d d d ++++->--10,m m d d +=-≥所以12.m m d d ++> 由①②知，对任意的0,n k ≥都有1.n n d d +≥-----------------------------------------16分显然012,,,k d d d 这0k 个值中一定有一个最大的，不妨记为0.n d 于是0*(),n n d d n ∈N ≥从而00,n d b =与已知条件*0()n d b n ≠∈N 相矛盾.所以假设不成立，故命题得证．------------------------------------------18分。