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2015学年第二学期普陀区高三数学质量调研卷2016.4 考生注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2. 本试卷共有23题，满分150分，考试时间120分钟.3. 本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸相应位置，本卷上的任何解答都不作评分依据. 一 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 若集合{}R x x y x A ∈-==,1|，{}R x x x B ∈≤=,1|||，则=B A .2. 若函数xx f 11)(+=()0>x 的反函数为)(1x f -，则不等式2)(1>-x f 的解集为 . 3.【理科】若53sin =α且α是第二象限角，则=⎪⎭⎫⎝⎛-42cot πα . 【文科】【理科】若53sin =α且α是第二象限角，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πα .4. 若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则=)2016(f .5. 在831⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，其常数项的值为 .6.若函数x x f 2sin )(=，⎪⎭⎫⎝⎛+=6)(πx f x g ，则函数)(x g 的单调递增区间为 . 7.【理科】设P 是曲线⎪⎩⎪⎨⎧==θθtan sec 22y x （θ为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为 .【文科】设P 是曲线1222=-y x 上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹 方程为 .8.【理科】在极坐标系中，O 为极点，若⎪⎭⎫ ⎝⎛6,1πA ，⎪⎭⎫⎝⎛32,2πB ，则△AOB 的面积为 . 【文科】不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤0203y x y x x 所表示的区域的面积为 .9.【理科】袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，现从该袋中随机地取出3只，被取出的球中最大的号码为ξ，则=ξE .【文科】袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球 的编号之和为奇数的概率是 （结果用最简分数表示）.10．若函数x x f 5log )(=（0>x ），则方程1)3()1(=-++x f x f 的解=x .11.某同学用球形模具自制棒棒糖.现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为3cm ，高为10cm ），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为 2cm （损耗忽略不计）. 12. 如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33C B 上有10个不同的点1021,,,P P P ，记i i AP AB M ⋅=2 （10,,2,1 =i ），则=+++1021M M M .13．设函数⎩⎨⎧>-≤+=-0),1(0,2)(x x f x a x f x ，记x x f x g -=)()(，若函数)(x g 有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是 .14. 已知*N n ∈，从集合{}n ,,3,2,1 中选出k （N k ∈,2≥k ）个数k j j j ,,,21 ，使之同时满足下面两个条件：①n j j j k ≤<<≤ 211； ②m j j i i ≥-+1（1,,2,1-=k i ），则称数组()k j j j ,,21为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m 的组合，其组合数记为()m k nC ,. 例如根据集合{}3,2,1可得()31,23=C .给定集合{}7,6,5,4,3,2,1，可得()=2,37C .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 若a 、b 表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（ ） （A ）若α⊥a ，b a ⊥，则α//b （B ）若α//a ，b a ⊥，则α⊥b （C ）若α⊥a ，α⊆b ，则b a ⊥ （D ）若α//a ，α//b ，则b a //16.过抛物线x y 82=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（ ）（A ）有且只有一条 （B ）有两条 （C ）有无穷多条 （D ）必不存在 17.若z C ∈，则“1Im ,1Re ≤≤z z ”是“1||≤z ”成立的 条件.（ ）（A ）充分非必要 （B ）必要非充分 （C ）充要 （D ）既非充分又非必要18. 对于正实数α，记αM 是满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：对于任意的实数R x x ∈21,且21x x <，都有()()121212)()(x x x f x f x x -<-<--αα成立.下列结论中正确的是（ ）（A ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα⋅∈⋅M x g x f （B ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且0)(≠x g ，则21)()(ααM x g x f ∈ （C ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα+∈+M x g x f（D ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且21αα>，则21)()(αα-∈-M x g x f三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分） 【文科】在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，体积为2，E 为AB 的中点，证明：E A 1与B C 1是异面直线，并求出它们所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.【理科】在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，B C 1与底面ABCD 所成的角的大小为2arctan ，如果平面11C BD 与底面ABCD所成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 【理科】已知函数x x x f cos 3sin 2)(⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=π 【文科】已知函数)(x f x x x 2cos 3cos sin += （1）若20π≤≤x ，求函数)(x f 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若A 为锐角且23)(=A f ，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值.1 AA1A21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润⎪⎭⎫⎝⎛-500310x a 万元（0>a ），A 项目余下的工人每人每年创造利润需要提高%2.0x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出 多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的%40时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围.22.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.已知椭圆Γ：14522=+y x 的中心为O ，一个方向向量为),1(k =的直线l 与Γ只有一个公共点M （1）若1=k 且点M 在第二象限，求点M 的坐标；（2）若经过O 的直线1l 与l 垂直，求证：点M 到直线1l 的距离25-≤d ；（3）若点N 、P 在椭圆上，记直线ON 的斜率为1k ，且为直线OP 的一个法向量，且541=k k 求22OP ON +的值.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，121+⋅=n n n a a S （*N n ∈） （1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）设数列{}n b 满足：122+-=n n a a n b ，且()3841lim 1211=+++++++∞→n n k k k k n b b b b b b ，求正整数k 的值； （3）若m 、k 均为正整数，且2≥m ，m k <，在数列{}k c 中，11=c ，11++-=k k k a mk c c ，求m c c c +++ 21.2015学年第二学期普陀区高三数学质量调研评分细则二 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.{}1 2. ⎪⎭⎫ ⎝⎛231， 3.【理科】2 【文科】7- 4. 0 5. 286.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k ，z k ∈7.14822=-y x .8.【理科】1.【文科】16 9.【理科】29【文科】5210．4. 11.π9. 12. 180 13． 2->a 14. 10二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分） 【文科】【解】根据已知条件,C C 1为正四棱柱1111D C B A ABCD -的高底面四边形11ABB A 是正方形，且面积为1, 故由sh V =2=，可得21=C C .……2分假设E A 1与B C 1不是异面直线，则它们在同一平面内 由于点1A 、E 、B 在平面11ABB A 内，则点1C 也在平面11ABB A 内，这是不可能的，故E A 1与B C 1是异面直线.…………5分取11B A 的中点为E ，连接BE ,1EC ,所以E A BE 1//,1EBC ∠或其补角，即为异面直线E A 1与B C 1所成的角.……7分在1BEC ∆，51=BC ,217=BE ,251=EC ,……9分 由余弦定理得，8585821752454175cos 1=⨯-+=∠EBC 0>,即85858arccos 1=∠EBC ，…11分1 A所以异面直线E A 1与B C 1所成的角的大小为85858arccos.……12分 【理科】【解】根据题意，可得⊥C C 1底面ABCD ，所以BC 是B C 1在平面ABCD 上的射影，故BC C 1∠即为直线B C 1与 底面ABCD 所成的角，即BC C 1∠=2arctan .……2分 在BC C RT 1∆中，2tan 11=∠⋅=BC B BC C C ……3分以D 为坐标原点，以射线1,,DD DC DA 所在的直线分别为z y x ,,轴， 建立空间直角坐标系，如图所示：由于D D 1⊥平面ABCD ，故1DD 是平面的一个法向量，且1DD ()2,0,0=……5分()0,1,1B ,()1,0,01D ,()2,1,01C ,故()2,1,11--=BD ,()2,0,11-=BC ……7分设()z y x ,,=是平面11C BD 的一个法向量,所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011BC n BD ,即⎩⎨⎧=-=-+0202z x z y x ,不妨取1=z ,则⎩⎨⎧==02y x ,即()1,0,2=……9分设平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角为θ,则5552120002cos =⨯⨯+⨯+⨯==θ, 即55arccos=θ……11分 所以平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角大小为55arccos.……12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 20.【解】（1）()x x x x f cos cos 3sin )(+=x x x 2cos 3cos sin +=232cos 232sin 21++=x x 2332sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx …………2分A1A由20π≤≤x 得，34323πππ≤+≤x ，132sin 23≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx …………4分 2312332sin 0+≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤πx ，所以函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+231,0………6分（2）由232332sin )(=+⎪⎭⎫⎝⎛+=πA A f 得，032sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA 又由20π<<A 得，34323πππ<+<A ，只有ππ=+32A ，故3π=A .…………8分 在ABC ∆中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=73cos 32294=⨯⨯⨯-+=π,故7=a …………10分由正弦定理得，BbA a sin sin =，所以721sin sin ==a A b B 由于a b <，所以772cos =B …………12分 ()B A B A B A sin sin cos cos cos +=-14757212377221=⨯+⨯=……14分21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分， 【解】（1）根据题意可得，()()≥⨯+-%2.010101000x x 101000⨯……3分 展开并整理得，05002≤-x x ……5分解得5000≤≤x ，最多调出的人数为500人……6分（2）⎩⎨⎧⨯≤≤≤%4010005000x x ，解得4000≤≤x ……7分()()%2.010101000500310x x x x a ⨯+⋅-≤⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-，对于任意的[]400,0∈x 恒成立……9分即%210201010005031022x x x x ax --+⨯≤- 即10002502++≤x x ax 对于任意的[]400,0∈x 恒成立……10分 当0=x 时，不等式显然成立；当4000≤<x 时，1250000250111000250+⎪⎭⎫⎝⎛+=++≤x x x x a ……11分 令函数xx x f 250000)(+=，可知函数)(x f 在区间[]400,0上是单调递减函数……12分 故()1025400)(min ==f x f ，故1.511000250≥++xx ……13分故1.50≤<a ，所以实数a 的取值范围是1.50≤<a ……14分22.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分. 【解】（1）设直线l ：m x y +=，根据题意可得：……1分⎪⎩⎪⎨⎧=++=14522yx mx y ，消去y 并整理得()04510922=-++m bx x ……①…………2分 ()()045941022=-⨯⨯-=∆b b ，解得92=m ，因为M 在第二象限，故3=m ，……3分代入①得0253092=++x x ，解得35-=x ，进而34=y ，故⎪⎭⎫⎝⎛-34,35M .……4分 （2）根据题意可得，直线1l ：0=+ky x ……5分设直线l ：m kx y +=（0≠m ），则⎪⎩⎪⎨⎧=++=14522y x mkx y ……5分 消去y 得()()0451054222=-+++m kmx xk……6分()()()0454*******=-⋅+-=∆m k km ，解得04522=+-m k ，即4522+=k m ……7分且4552+-=k km x ，4542+=k m y ，故⎪⎭⎫ ⎝⎛++-454,45522k m k kmM ……8分 点M 到直线1l 的距离222221451454455kk km kk km k km d ++=++++-=()()22541k k k++=① 当0=k 时，0=d ；……9分 ② 当0≠k 时，=d 25945122-≤++kk ，当且仅当454±=k 时等号成立. 综上①②可得，点M 到直线1l 距离25-≤d .……10分（3）根据条件可得直线OP 的斜率kk 12-=，……11分 由于541=k k ，则直线ON 的斜率的k k 541=……12分 于是直线ON 的方程为kx y 54=，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+kxy y x 5414522，可得224525k x +=……13分 设点),(11y x P ，则222122121245162525161k kx k y x OP ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=……14分 同理2ON ()22222245120kk y x ++=+=……15分 22ON OP +=22451625k k +++()2245120k k ++945364522=++=k k ……16分23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 【解】（1）当1=n 时，121211==a a S ，11=a ，故22=a ；……1分 当2≥n 时，=-=-1n n n S S a -⋅+121n n a a n n a a ⋅-121变形得()112-+-⋅=n n n n a a a a ，由于0≠n a ，所以211=--+n n a a ……2分所以1212-=-n a n ，n a n 22=，*N n ∈，于是n a n =，*N n ∈.……3分由于11=-+n n a a ，所以数列{}n a 是以1首项，1为公差的等差数列.…………4分 （2）由（1）得n a n =，所以122+-=n n a a n b nn n ⎪⎭⎫⎝⎛⋅==+-21412)1(2……5分 52121++⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅n n n b b ，且128121=b b ，当2≥n 时，4111=-+n n n n b b b b …………7分故数列{}1+n n b b 是以1281为首项，41为公比的等比数列.……8分 于是()=+++++++∞→1211lim n n k k k k n b b b b b b =-+4111k k b b 3841，即912-+=⋅k k b b ……9分k kk k b b 251241321--+=⎪⎭⎫⎝⎛=⋅，故92522---=k ，解得2=k .…………10分 （3）则由（1）得k a k =，11++-=k k k a m k c c 1+-=k m k ，12211c cc c c c c k k k k k ⋅⋅⋅=--- ……12分 ()()km k k k C mk k k m k m c 1112)1()2)(1(111⋅-=⋅⋅-⋅+-+-⋅-=-- …………14分m c c c +++ 21()[]m mm m m m C C C C m 132111--+-+-=…………16分 ()()[]m C C C C m m m m m m m 1111210=-+-+--= 故m c c c +++ 21m1=.……18分。
普陀区一模高三数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x2. 已知等差数列{a_n}的前三项分别为1，4，7，则该数列的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 函数y = 2x - 3与x轴的交点坐标为（）A. (1, 0)B. (3, 0)C. (-3/2, 0)D. (0, -3)4. 已知圆心在原点，半径为5的圆的方程为（）A. x^2 + y^2 = 25B. x^2 + y^2 = 16C. x^2 + y^2 = 9D. x^2 + y^2 = 495. 已知抛物线y^2 = 4px（p > 0）的焦点坐标为（）A. (p, 0)B. (-p, 0)C. (0, p)D. (0, -p)6. 已知直线l的方程为y = 2x + 1，直线m的方程为x - y + 3 = 0，直线l与直线m的交点坐标为（）A. (-1, -3)B. (1, 3)C. (-1, 1)D. (1, -1)7. 已知复数z = 1 + i，那么|z| =（）A. √2B. 2C. √3D. 18. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的数量积为（）A. 4B. -1C. 1D. 79. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，那么f'(x) =（）A. 3x^2 - 6x + 2B. 3x^2 - 6x - 2C. x^2 - 6x + 2D. x^2 - 6x - 210. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），且f(-1) = 0，f(1) = 0，则函数f(x)的图像与x轴的交点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。
2015-2016学年上海市普陀区高三（上）调研数学试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1．集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B=．2．函数f（x）=x2﹣1（x≤﹣1）的反函数f﹣1（x）= ．3．函数y=2﹣sin2ωx的最小正周期为π，则实数ω的值为．4．已知数列{a n}的前n项的和（a∈R）．则a8= ．5．若，且α是第二象限的角．则= ．6．若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是．7．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为6的扇形．则该圆锥的体积为．8．函数，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则= ．9．设f（x）=ax2+2x﹣3，g（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，M={x|f（x）≤0}，P={x|g（x）≥0}．若M∩P=R，则实数a的取值集合为．10．不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为．11．如果用反证法证明“数列{a n}的各项均小于2”，有下列四种不同的假设：①数列{a n}的各项均大于2；②数列{a n}的各项均大于或等于2；③数列{a n}中存在一项a k，a k≥2；④数列{a n}中存在一项a k，a k＞2．其中正确的序号为．（填写出所有假设正确的序号）12．已知全集U={n|1≤n≤2015，n∈N*}，集合A、B都是U的子集，且A∪B=U，A∩B≠∅，若A∩∁U B={1，2}，则满足条件的集合B∩∁U A的个数是．13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则△ABC 的最小角等于．14．如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”．给出函数：①y=﹣x3+1；②y=2x；③；④．以上函数为“Z函数”的序号为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号涂在答题纸相应的位置上.每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个，一律得零分.15．在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波．若两个声波随时间的变化规律分别为：，则这两个声波合成后（即y=y1+y2）的声波的振幅为（）A．B．6 C．D．316．异面直线a、b分别在平面α、β内，若α∩β=ℓ，则直线ℓ必定是（）A．分别与a、b相交B．与a、b都不相交C．至少与a、b中之一相交D．至多与a、b中之一相交17．函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（）A．B．C．D．18．设等差数列{a n}的前n项和为S n，在同一个坐标系中，a n=f（n）及S n=g（n）的部分图象如图所示，则（）A．当n=4时，S n取得最大值B．当n=3时，S n取得最大值C．当n=4时，S n取得最小值D．当n=3时，S n取得最大值三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AC⊥BC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥面BCC1B1；（2）若CB=1，，．求异面直线A1E和CD所成角的大小．20．已知函数f（x）=sinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．P、Q分别是图象上的一个最高点和最低点，R为图象与x轴的交点，且四边形OQRP为矩形．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数y=g（x）的图象．已知，g（α）=，求f（α）的值．21．某中学为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）若在矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪．已知：矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，草坪的每平方米的造价为（k为正常数）．设总造价T关于S的函数为T=f（S），试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价T最低．22．已知函数，（a，b∈R）为奇函数．（1）求b值；（2）当a=﹣2时，存在x0∈[1，4]使得不等式f（x0）≤t成立，求实数t的取值范围；（3）当a≥1时，求证：函数g（x）=f（2x）﹣c（c∈R）在区间（﹣∞，﹣1]上至多有一个零点．23．已知数列{a n}、{b n}满足：a1=，a n+b n=1，b n+1=．（1）求a2，a3；（2）证数列{}为等差数列，并求数列{a n}和{b n}的通项公式；（3）设S n=a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，求实数λ为何值时4λS n＜b n恒成立．2015-2016学年上海市普陀区高三（上）调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1．集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B={1，2，3} ．【考点】并集及其运算；交集及其运算．【分析】根据题意，若A∩B={2}，则2∈A，则可得2a=2，可得a的值，进而可得b的值，再由并集的意义，可得答案．【解答】解：根据题意，若A∩B={2}，则2∈A，2∈B，而已知A={3，2a}，则必有2a=2，故a=1，又由2∈B，且a=1则b=2，故A∪B={1，2，3}，故答案为{1，2，3}．【点评】本题综合考查并集、交集的意义与运算，要求学生有一定的逻辑分析能力．2．函数f（x）=x2﹣1（x≤﹣1）的反函数f﹣1（x）= ．【考点】反函数．【专题】方程思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由函数y=x2﹣1（x≤﹣1），可得x=，（y≥0）．即可得出反函数．【解答】解：由函数y=x2﹣1（x≤﹣1），可得x=，（y≥0）．∴函数f（x）的反函数f﹣1（x）=﹣（x≥0）．故答案为：﹣（x≥0）．【点评】本题考查了反函数的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．函数y=2﹣sin2ωx的最小正周期为π，则实数ω的值为±1．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】利用二倍角的余弦函数，化简求解函数的周期即可．【解答】解：函数y=2﹣sin2ωx=2﹣=cos2ωx+，函数y=2﹣sin2ωx的最小正周期为π，可得：，解得实数ω=±1．故答案为：±1．【点评】本题考查二倍角公式的应用，函数的周期的求法，考查计算能力．4．已知数列{a n}的前n项的和（a∈R）．则a8= 128 ．【考点】数列的函数特性．【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由（a∈R）．可得当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出．【解答】解：∵（a∈R）．∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣a﹣（2n﹣1﹣a）=2n﹣1，∴a8=27=128．故答案为：128．【点评】本题考查了递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．若，且α是第二象限的角．则= ．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值．【分析】由sinα的值及α是第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，原式利用诱导公式化简，将cosα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sinα=，且α是第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣，则原式=﹣cosα=，故答案为：【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．6．若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是[3，+∞）．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题．【分析】先求出不等式|x﹣1|＜a的解集为集合B，再根据条件可知{x|0＜x＜4}⊂B，建立关于a的不等式组，解之从而确定 a的取值范围．【解答】解：|x﹣1|＜a⇒1﹣a＜x＜a+1由题意可知﹣≤x＜0 0＜x＜4是1﹣a＜x＜a+1成立的充分不必要条件∴解得a≥3∴实数a的取值范围是[3，+∞）故答案为：[3，+∞）【点评】本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用，属于基础题．7．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为6的扇形．则该圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】首先求出底面圆的半径，再利用勾股定理求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为6的扇形．，圆锥的母线l满足： =，解得：r=2，∴这个圆锥的高是：h==4．故圆锥的体积：V=πr2h=，故答案为：【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．8．函数，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则= ﹣2 ．【考点】极限及其运算；函数的零点．【专题】计算题；极限思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】先求出函数的零点，x n=﹣﹣1，再求极限．【解答】解：令f n（x）=0得，+（x+1）=0，解得x n=﹣﹣1，其中，=1，所以， x n=﹣﹣1=﹣1﹣1=﹣2，故填：﹣2．【点评】本题主要考查了极限及其运算，以及函数零点的求解，属于基础题．9．设f（x）=ax2+2x﹣3，g（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，M={x|f（x）≤0}，P={x|g（x）≥0}．若M∩P=R，则实数a的取值集合为{﹣1} ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】M∩P=R，M=P=R，利用判别式，即可得出结论．【解答】解：∵M∩P=R，∴M=P=R，∴，且（1﹣a）2+4a≤0，∴a=﹣1，故答案为：{﹣1}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10．不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为[1，3] ．【考点】绝对值三角不等式．【专题】计算题．【分析】由对勾函数的性质，我们可以求出不等式左边的最小值，再由三角函数的性质，我们可以求出siny的最大值，若不等式恒成立，则|a﹣2|≤1，解这个绝对值不等式，即可得到答案．【解答】解：∵∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）∴||∈[2，+∞），其最小值为2又∵siny的最大值为1故不等式恒成立时，有|a﹣2|≤1解得a∈[1，3]故答案为[1，3]【点评】本题考查的知识点是绝对值三角不等式的解法，其中根据对勾函数及三角函数的性质，将不等式恒成立转化为|a﹣2|≤1，是解答本题的关键．11．如果用反证法证明“数列{a n}的各项均小于2”，有下列四种不同的假设：①数列{a n}的各项均大于2；②数列{a n}的各项均大于或等于2；③数列{a n}中存在一项a k，a k≥2；④数列{a n}中存在一项a k，a k＞2．其中正确的序号为③．（填写出所有假设正确的序号）【考点】反证法与放缩法．【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】由于用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“数列{a n}的各项均小于2”的否定为：“数列{a n}中存在一项a k，a k≥2”，由此得出选项．【解答】解：用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，“数列{a n}的各项均小于2”的否定为：“数列{a n}中存在一项a k，a k≥2”，故答案为：③．【点评】本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．12．已知全集U={n|1≤n≤2015，n∈N*}，集合A、B都是U的子集，且A∪B=U，A∩B≠∅，若A∩∁U B={1，2}，则满足条件的集合B∩∁U A的个数是22013﹣1 ．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】转化思想；定义法；集合．【分析】根据全集U中元素的个数，结合题意得出集合A、B中元素的个数，再求出B∩C∪A的所有子集数．【解答】解：∵全集U={n|1≤n≤2015，n∈N*}，集合A、B都是U的子集，且A∪B=U，A∩B≠∅，A∩∁U B={1，2}，∴集合A中至少有三个元素：1，2，n，且A∩B≠∅，∴B∩C U A中的元素应至多有2016﹣3=2013，∴集合B∩C∪A的所有子集（去掉∅）个数为：22013﹣1．故答案为：22013﹣1．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算问题，解题时应认真审题，以免出错．13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则△ABC 的最小角等于．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；转化思想；平面向量及应用．【分析】，化为（20a﹣15b）+（12c﹣20a）=，根据，不共线，可得20a﹣15b=12c﹣20a=0，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵，∴20a+15b+12c=0，化为（20a﹣15b）+（12c﹣20a）=，∵，不共线，∴20a﹣15b=12c﹣20a=0，化为b=a，c=a．∴边a最小，因此角A最小，由余弦定理可得：cosA===．∴A=arccos．故答案为：arccos．【点评】本题考查了向量三角形法则、向量共线共面定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”．给出函数：①y=﹣x3+1；②y=2x；③；④．以上函数为“Z函数”的序号为②④，．【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．【专题】计算题；新定义；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用已知条件推出函数的单调性，然后判断即可．【解答】解：定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f （x2）+x2f（x1），可得：x1[f（x1）﹣f（x2）]＞x2[f（x1）﹣f（x2）]，即（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，∴函数f（x）为“Z函数”．就是增函数．①y=﹣x3+1；是减函数，不是“Z函数”．②y=2x；是增函数，是“Z函数”．③；表示增函数，不是“Z函数”．④．函数是增函数，是“Z函数”．故答案为：②④．【点评】本题考查函数的新定义，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号涂在答题纸相应的位置上.每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个，一律得零分.15．在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波．若两个声波随时间的变化规律分别为：，则这两个声波合成后（即y=y1+y2）的声波的振幅为（）A．B．6 C．D．3【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】整体思想；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的辅助角公式，结合两角和差的正弦公式将函数进行化简即可得到结论．【解答】解：∵，∴y=y1+y2=3sin（100πt）+3cos（100πt+）=3sin（100πt）+3cos100πtcos﹣3sin（100πt）sin=3sin（100πt）+cos100πt﹣sin（100πt）=sin（100πt）+cos100πt=3sin（100πt+），则函数的振幅为3，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数的化简，利用辅助角公式是解决本题的关键．16．异面直线a、b分别在平面α、β内，若α∩β=ℓ，则直线ℓ必定是（）A．分别与a、b相交B．与a、b都不相交C．至少与a、b中之一相交D．至多与a、b中之一相交【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】由题意直线ℓ与a、b可都相交，也可只与一条相交，故A、B、D错误；但直线ℓ不会与两条都不相交，可由反证法进行证明．【解答】解：由题意直线ℓ与a、b可都相交，也可只与一条相交，故A、B、错误；但直线ℓ不会与两条都不相交，若l与a、b都不相交，因为l与a都在α内，所以l∥a，同理l∥b，所以a∥b，这与a、b异面直线矛盾，故直线ℓ至少与a、b中之一相交．C正确．故选C【点评】本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查推理能力和空间想象能力．17．函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数的图象．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】根据a变动时，以及函数的值域可知b为定值4，结合选项即可得到答案．【解答】解：根据选项可知a≤0a变动时，函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，∴2|b|=16，b=4故选B．【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域，同时考查了函数图象，属于基础题．18．设等差数列{a n}的前n项和为S n，在同一个坐标系中，a n=f（n）及S n=g（n）的部分图象如图所示，则（）A．当n=4时，S n取得最大值B．当n=3时，S n取得最大值C．当n=4时，S n取得最小值D．当n=3时，S n取得最大值【考点】数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由图象可知可能：①a7=0.7，S7=﹣0.8，a8=﹣0.4．②a7=0.7，S7=﹣0.8，S8=﹣0.4．③a7=﹣0.8，S7=0.7，a8=﹣0.4．④a7=﹣0.8，S7=0.7，S8=﹣0.4．分别利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可判断出．【解答】解：由图象可知可能：①a7=0.7，S7=﹣0.8，a8=﹣0.4，由a7=0.7，a8=﹣0.4，可得d=﹣1.1，a1=7.3．∴S7=＞0，与S7=﹣0.8，矛盾，舍去．②a7=0.7，S7=﹣0.8，S8=﹣0.4．由S7=﹣0.8，S8=﹣0.4，可得a8=0.4，∴ =﹣0.4，解得a1=﹣0.5，∴a8=﹣0.5+7d，解得d=≠0.4﹣0.7=﹣0.3，矛盾，舍去．③a7=﹣0.8，S7=0.7，a8=﹣0.4．由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得=0.7，解得a1=1，∴﹣0.8=1+6d，解得d=﹣0.3，而﹣0.4﹣（﹣0.8）=0.4，矛盾，舍去．④a7=﹣0.8，S7=0.7，S8=﹣0.4．由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得，解得a1=1．∴﹣0.8=1+6d，解得d=﹣0.3，∴a8=﹣0.8﹣0.3=﹣1.1，∴S8=0.7﹣1.1=﹣0.4，满足条件．∴a n=a1+（n﹣1）d=1﹣0.3（n﹣1）=1.3﹣0.3n≥0，解得=4+，因此当n=4时，S n取得最大值．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了数形结合的思想方法、分类讨论的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AC⊥BC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥面BCC1B1；（2）若CB=1，，．求异面直线A1E和CD所成角的大小．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由三角形中位线定理得DE∥BC，由此能证明DE∥面BCC1B1．（2）取AD的中点F，连EF，A1F，则EF∥CD，∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角（或其补角），由此能求出∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角．【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC，…∵BC⊆面BCC1B1…DE⊄面BCC1B1…∴DE∥面BCC1B1…（2）解：取AD的中点F，连EF，A1F，∵EF∥CD，∴∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角（或其补角）…在△A1EF中，，，，∴…∴∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角为…【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．已知函数f（x）=sinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．P、Q分别是图象上的一个最高点和最低点，R为图象与x轴的交点，且四边形OQRP为矩形．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数y=g（x）的图象．已知，g（α）=，求f（α）的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）设函数f（x）的最小正周期为T，则P（，）、Q （，），由四边形为矩形得=T2﹣3=0，故T=4，ω=，即可得f（x）=sin x．（Ⅱ）y=g（x）=f（x﹣）=sin（x﹣）可得sin（α﹣）=，又，可求得cos（α﹣）=﹣，从而可求f（α）的值．【解答】解：（Ⅰ）设函数f（x）的最小正周期为T，则P（，）、Q （，），∵四边形OQRP为矩形．∴OP⊥OQ，∴ =T2﹣3=0，∴T=4．∴ω===，∴f（x）=sin x．（Ⅱ）y=g（x）=f（x﹣）=sin（x﹣），∵g（α）=sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．又，∴α﹣∈（，π），∴cos（α﹣）=﹣．∴f（α）=sinα=sin[（α﹣）+]= [sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin]= []=．【点评】本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．21．某中学为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）若在矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪．已知：矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，草坪的每平方米的造价为（k为正常数）．设总造价T关于S的函数为T=f（S），试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价T最低．【考点】不等式的实际应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；不等式．【分析】（1）根据题意，分析可得，欲求健身场地占地面积，只须求出图中矩形的面积即可，再结合矩形的面积计算公式求出它们的面积即得，最后再根据二次函数的性质得出其范围；（2）对于（1）所列不等式，考虑到其中两项之积为定值，可利用基本不等式求它的最大值，从而解决问题．【解答】解：（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°，∴，…矩形AMPN的面积，x∈[10，20]…于是为所求．…（2）矩形AMPN健身场地造价T1=…又△ABC的面积为，即草坪造价T2=，…由总造价T=T1+T2，∴，．…∵，…当且仅当即时等号成立，…此时，解得x=12或x=18，所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．…【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式的应用、矩形的面积等基础知识，属于中档题．22．已知函数，（a，b∈R）为奇函数．（1）求b值；（2）当a=﹣2时，存在x0∈[1，4]使得不等式f（x0）≤t成立，求实数t的取值范围；（3）当a≥1时，求证：函数g（x）=f（2x）﹣c（c∈R）在区间（﹣∞，﹣1]上至多有一个零点．【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．【专题】综合题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可得到结论．（2）根据函数单调性和最值的关系进行求解即可，（3）根据函数单调性的定义先判断函数的单调性，利用函数单调性和函数零点之间的关系进行证明．【解答】解：（1）∵函数，（a，b∈R）为奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），即﹣4x﹣+b=﹣4x﹣﹣b，（a，b∈R，…∴b=﹣b，即b=0；…（2）当a=﹣2时，f（x）=4x﹣．…∵函数y=4x，y=﹣在[1，4]均单调递增，…∴函数f（x）在[1，4]单调递增，…∴当x∈[1，4]时，f（x）min=f（1）=2…∵存在x0∈[1，4]使得不等式f（x0）≤t成立∴t≥2．…（3）证明：g（x）=f（2x）﹣c=4•2x+﹣c，…设x1＜x2≤﹣1，…∵x1＜x2≤﹣1，∴x1+x2＜﹣2，＜4•2﹣2=1，∵a≥1，即﹣a≤﹣1，∴﹣a＜0，又＜0，∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），∴函数g（x）在（﹣∞，﹣1]单调递减，…又c∈R，结合函数图象知函数g（x）在（﹣∞，﹣1]上至多有一个零点．…【点评】本题主要考查函数奇偶性的定义和单调性的应用，利用函数单调性的定义是解决本题的关键．23．已知数列{a n}、{b n}满足：a1=，a n+b n=1，b n+1=．（1）求a2，a3；（2）证数列{}为等差数列，并求数列{a n}和{b n}的通项公式；（3）设S n=a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，求实数λ为何值时4λS n＜b n恒成立．【考点】数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等差关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由给出的，循环代入a n+b n=1和可求解a2，a3；（2）由a n+b n=1得a n+1+b n+1=1，结合，去掉b n与b n+1得到a n+1与a n的关系式，整理变形后可证得数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列，求出其通项公式后即可求得数列{a n}和{ b n}的通项公式；（3）首先利用裂项求和求出S n，代入4λS n＜b n，通过对λ分类讨论，结合二次函数的最值求使4λS n ＜b n恒成立的实数λ的值．【解答】（1）解：∵，∴，，，，．∴；（2）证明：由，∴=，∴，即a n﹣a n+1=a n a n+1，∴∴数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列．∴，则，∴；（3）解：由，∴S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1===．∴，要使4λS n＜b n恒成立，只需（λ﹣1）n2+（3λ﹣6）n﹣8＜0恒成立，设f（n）=（λ﹣1）n2+3（λ﹣2）n﹣8当λ=1时，f（n）=﹣3n﹣8＜0恒成立，当λ＞1时，由二次函数的性质知f（n）不满足对于任意n∈N*恒成立，当λ＜l时，对称轴n=f（n）在[1，+∞）为单调递减函数．只需f（1）=（λ﹣1）n2+（3λ﹣6）n﹣8=（λ﹣1）+（3λ﹣6）﹣8=4λ﹣15＜0∴，∴λ≤1时4λS n＜b n恒成立．综上知：λ≤1时，4λS n＜b n恒成立．【点评】本题考查了等差、等比数列的通项公式，考查了数列的裂项求和，考查了数列的函数特性，训练了恒成立问题的求解方法，解答过程中注意分类讨论的数学思想，属中档题．。
普陀区 2016-2017 学年第一学期高三数学质量调研一、填空题（本大题共有12 题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前 6 题得 4 分、后 6 题得 5 分，否则一律得零分 .1 ．若集合A x |y2 , R， B y | y sin x, x R ，则x yA B .2. 若， sin 3.2 ，则 cot 22 53. 函数 f (x) 1 log 2 x （x 1 ）的反函数f1( x) .4. 若 (1 x)5 a0 a1x a2 x2 a5 x5，则 a1 a2 a5 .5. 设 k R，若 y 2 x 22 1表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值范k k围是.26. 设 m R，若函数f ( )m1x3mx1是偶函数，则 f ( x) 的单调递增区间x是.7. 方程 log 2 9x 5 2 log 2 3x 2 的解 x .8. 已知圆 C :x 2 y2 2kx 2 y k 2 0（k R ）和定点P 1, 1 ，若过P可以作两条直线与圆 C 相切，则 k 的取值范围是.9. 如图，在直三棱柱 ABC A1 B1C1中， ABC 90 ，AB BC 1，若A1C 与平面 B1 BCC1 所成的角为，则三棱锥 A1 ABC 的体积为.610. 掷两颗骰子得两个数，若两数的差为 d ，则d 2, 1,0,1,2 出现的概率的最大值为（结果用最简分数表示） .11.设地球半径为R ，若 A 、 B 两地均位于北纬45 ，且两地所在纬度圈上的弧长为2R ，则 A 、 B 之间的球面距离是 （结果用含有 R 的代数式4表示） .12. 已 知 定 义 域 为 R 的 函 数 y f ( x) 满 足 f ( x 2)f ( x) ， 且 1 x 1 时 ，f (x) 1 x 2 ；函数 g(x)lg x , x 0,f (x)g ( x) ，则 x5,10 ，函数 F ( x) 零点，若 F ( x)1, x 0.的个数是.二、选择题（本大题共有4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分 .13. 若 ab0 ， 则 下 列 不 等 关 系 中 ， 不 能 成 立 的． ． ． ．是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ ） .(A )111 1 11BC a 3 b 3a ba b aD a 2 b 214. 设 无 穷 等 比 数 列 a n 的 首 项 为 a 1 ， 公 比 为 q ， 前 n 项 和 为 S n . 则“a 1q 1” 是“lim S n n1”成 立的⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（） .(A )充分非必要条件 B必要非充分条件C 充要条件D既非充分也非必要条件15. 设l是直二面角， 直线a 在平面内，直线b 在平面内，且 a 、b与均不垂直， 则⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）.(A ) a 与b可能垂直，但不可能平行 B a 与b可能垂直，也可能平行C a 与b不可能垂直，但可能平行D a 与b不可能垂直，也不可能平行16.设是两个非零向量 a 、 b 的夹角，若对任意实数t ， a t b 的最小值为1，则下列判断正确的是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）.(A ) 若a 确定，则唯一确定 B 若 b 确定，则唯一确定C 若确定，则唯一确定D 若确定，则 a 唯一确定三、解答题（本大题共有 5 题，满分76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分8 分已知 a R，函数f ( x) a1 | x |（ 1）当a 1 时，解不等式 f (x) 2x ；（ 2）若关于x的方程f ( x) 2x 0 在区间2, 1 上有解，求实数 a 的取值范围.18.（本题满分14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分8分已知椭圆：x2y 2 1（a b 0）的左、右两个焦点分别为F1、 F2 ， P 是a 2 b2椭圆上位于第一象限内的点， PQ x 轴，垂足为 Q ,且F1F2 6 ，PF1F25 3arccos ，△ PF1 F2的面积为 3 2 .9（ 1）求椭圆的方程；（ 2）若M是椭圆上的动点，求MQ 的最大值,并求出 MQ 取得最大值时M 的坐标.19.（本题满分14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分8分现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为7.8 g / cm3，总重量为 5.8 kg.其中一个螺帽的三视图如下图所示（单位:毫米）. （1）这堆螺帽至少有多少个；（2）对上述螺帽作防腐处理，每平方米需要耗材千克，共需要多少千克防腐材料（结果精确到0.01）20.（本题满分16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分 6 分 .已知数列a n 的各项均为正数，且a1 1 ，对于任意的n N * ，均有a n2 1 1 4a n a n 1 ，b n 2log21 a n 1.（ 1）求证： 1 a n 是等比数列，并求出a n 的通项公式；（ 2 ）若数列b n 中去掉 a n 的项后，余下的项组成数列 c n ，求c1 c2 c100；（ 3 ）设d n1，数列 d n 的前 n 项和为 T n，是否存在正整数m b n b n 1（ 1 m n ），使得T1、T m、T n成等比数列，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由 .21. （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分8 分 .已知函数 y f (x) ,若存在实数 m 、k（m 0），使得对于定义域内的任意实数 x ，均有 m f ( x) f ( x k ) f ( x k) 成立，则称函数 f ( x) 为“可平衡”函数，有序数对m, k 称为函数 f (x) 的“平衡”数对.（ 1）若m 1 ，判断 f (x) sin x 是否为“可平衡”函数，并说明理由；（ 2）若a R，a 0，当a变化时，求证： f (x) x2与 g( x) a 2x的“平衡”数对相同；（ 3）若m1、m2 R，且m1,2 、 m2 , 均为函数 f ( x) cos2 x 的“平衡”4数对 .当 0 x4时，求 m1 2 m2 2 的取值范围 .普陀区 2016-2017 学年第一学期高三数学质量调研评分标准一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分） 1-6:：4分；7-12：5分。
普陀区2016届高三数学调研测试卷（理科） 2015.11命 题 高福如 （同济大学第二附属中学）说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。
本套试卷另附答题纸，．．．．．．．．．．填空题和选择题直接填．．．．．．．．．．在相应的位置．．．．．．，．每道．．解答．．题的解答必须写在的相．．．．．．．．．．应．区域内．．．。
． 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1、集合{3,2}a A =，{,}B a b =，若{}2=B A ，则=B A .2、函数2()1(1)f x x x =-≤-的反函数=-)(1x f.3、函数22sin y x ω=-的最小正周期为π，则实数ω的值为 .4、已知数列{}n a 的前n 项的和2n n S a =-（a R ∈）.则8a =________.5、若1sin 4α=，且α是第二象限的角.则3sin()2πα+=__________. 6、不等式a x <-1成立的充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围是____________． 7、已知圆锥的侧面展开图是圆心角为23π、半径为6的扇形.则该圆锥的体积为 ． 8、函数23()(1)(N )3n n n f x x n n n *+⎛⎫=++∈ ⎪+⎝⎭，当1 2 3 n = ，，，时，()n f x 的零点依次 记作123 x x x ，，，，则lim n n x →∞= ．9、设22()23,()(1)f x ax x g x x a x a =+-=+--，{}{}()0,()0M x f x P x g x =≤=≥. 若M P R = ，则实数a 的取值集合为 . 10、不等式12sin x a y x+≥-+对一切非零实数,x y 均成立，则实数a 的范围为 ． 11、如果用反证法证明“数列{}n a 的各项均小于2”，有下列四种不同的假设： ① 数列{}n a 的各项均大于2 ； ② 数列{}n a 的各项均大于或等于2 ； ③ 数列{}n a 中存在一项k a ，2k a ≥ ； ④ 数列{}n a 中存在一项,2k k a a >． 其中正确的序号为 ．（填写出所有假设正确的序号）12、在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若2015120a BC b CA c AB ⋅+⋅+⋅= ，则ABC∆的最小角等于 ．13、如果定义在R 上的函数()f x 对任意两个不等的实数12,x x 都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“Z 函数”．给出函数：①31y x =-+；②2xy = ；③ln ||,00,0x x y x ≠⎧=⎨=⎩；④224,0,0x x x y x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩.以上函数为“Z 函数”的序号为 ． 14、已知等比数列{}n a 的首项为公比为其前n 项和记为S ，又设的所有非空子集中的最小元素的和为T ，则22015ST +≥的最小正整数n 为 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号涂在答题纸相应的位置上. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个一律得零分.15、在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波．若两个声波随时间的变化规律分别为：则这两个声波合成后(即21y y y +=)的声波的振幅为 （ ）A ．．6 C ．．316、若a 、b 为两条异面直线，且分别在两个平面α、β内，若l αβ= ，则直线l （ ）A. 分别与a 、b 相交B. 与a 、b 都不相交C. 至少与a 、b 中的一条相交D. 至多与a 、b 中的一条相交17、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .在同一个坐标系中，()n a f n =及()n S g n =的部分图像如图所示（图中的三个点）.根据图中所提供的信息，下列结论正确的是 （ ）A.当3n =时，n S 取得最大值B.当4n =时，n S 取得最大值C.当3n =时，n S 取得最小值D.当4n =时，n S 取得最小值ABCE1A 11C D18、已知函数2|log |,02(),210sin()4x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩ ，若存在实数1x 、2x 、3x 、4x ( 1234x x x x <<< ) 满足1234()()()()f x f x f x f x ===．则3412(2)(2)x x x x --⋅的取值范围是 （ ）A ．(0，12)B ．(4，16)C ．(9，21)D ．(15，25)三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19、 (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在直三棱柱111A B C ABC -中，AC BC ⊥， D 、E 分别为AB 、AC 中点． （1）求证：11//DE BCC B 面；（2）若1CB =，AC =1AA =1A E 和CD 所成角的大小．20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数()f x x ω(0,0)A ω>>的部分图像如图所示．P 、Q 分别是图像上相邻的一个最高点和最低点，R 为图像与x 轴的交点，且四边形OQRP 为矩形． （1）求()f x 的解析式； （2）将()y f x =的图像向右平移12个单位长度后，得到函数()y gx =的图像． 已知：()g α=，35(,)22α∈，求()f α的值．21、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．某中学为了落实 “阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S 的矩形AMPN 健身场地．如图，点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上，已知60=∠ACB 且30||=AC 米，=AM x 米，]20,10[∈x ．（1）试用x 表示S ，并求S 的取值范围；（2）若在矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪.已知：矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为S k 37，草坪的每平方米的造价为Sk12（k 为正常数）.设总造价T 关于S 的函数为)(S f T =，试问：如何选取||AM 的长，才能使总造价T 最低．22、（本题满分16分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.已知函数()2f x x b =+，2()g x x bx c =++，其中b 、c R ∈，设()()()g x h x f x =. （1）如果()h x 为奇函数，求实数b 、c 满足的条件；（2）在（1）的条件下，若函数()h x 在区间[2,)+∞上为增函数，求c 的取值范围； （3）若对任意的R x ∈恒有()()x g x f ≤成立.证明：当0≥x 时，()()2c x x g +≤成立.23、（本题满分18分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.定义：对于数列}{n x ，如果存在常数p ，使对任意正整数n ，总有1()()0n n x p x p +--<成立，那么我们称数列}{n x 为“-p 摆动数列”．（1）设12-=n a n ，n n q b =（01<<-q ），*∈N n ，判断数列}{n a 、}{n b 是否为“-p 摆动数列”，并说明理由；（2）已知“-p 摆动数列”}{n c 满足：111+=+n n c c ，11=c ．求常数p 的值； （3）设(1)(21)nn d n =-⋅-，*∈N n ，且数列}{n d 的前n 项和为n S ．求证：数列}{n S 是“-p 摆动数列”，并求出常数p 的取值范围．NABCE1A 11C DF普陀区2016届高三数学调研测试卷（理）参考答案 2015.11一、填空题1、{}1,2,3；2、0)x ≥；3、 1±；4、128；5；6、[3,)+∞；7、3； 8、2-；9、{}1-；10、[]1,3；11、③；12、4arccos 5， 13、②④，；14、45，二、选择题15、D 16、C 17、B 18、A三、解答题19、（1）证明： D 、E 分别为AB 、AC 中点//DE BC ∴ ………………………1分11BC BCC B ⊆ 面 ………………………………3分 11DE BCC B ⊄面 ………………………………5分 ∴11//DE BCC B 面 ………………………………6分 （注：如用空间向量证明，参照评分）（2）（方法1）取AD 的中点F ，连EF ，1A F //EF CD1A E F ∴∠为异面直线1A E 和CD 所成角（或其补角）……8分在1A EF ∆中，1A E=，12EF =，1A F =1cos 10A EF ∴∠=………………101A EF∴∠为异面直线1A E 和CD 所成角为arc 12分（方法2）建立如图坐标系：1(,03)A E ∴=1,0)2CD = ………………8分设异面直线1A E 和CD 所成角为θ11cos A E CD A E CDθ⋅∴==⋅ ………………10分 1A EF ∴∠为异面直线1A E 和CD所成角为arc ………12分20、解：（1）设函数()f x 的最小正周期为T ， ……………1分则(4T P、3(,4TQ ……………2分 四边形OQRP 为矩形，OP OQ ∴⊥， …………4分233016OP OQ T ∴⋅=-= ……………5分4T ∴=， 2πω∴= ……………6分()2f x x π∴= ……………7分（2）()sin()24g x x ππ=- ……………9分1()sin()243g ππαα=∴-= ……………11分35(,),cos()2224ππαα∈∴-= ……………12分()s i n [()]2446f πππαα∴=-+=……………14分 21、解：（1）在PMC Rt ∆中，显然x MC -=30||，60=∠PCM ，∴)30(3tan ||||x PCM MC PM -=∠⋅=， …………2分矩形AMPN 的面积)30(3||||x x MC PM S -=⋅=，[10,20]x ∈ ………4分于是32253200≤≤S 为所求. ………………6分 （2） 矩形AMPN 健身场地造价=1T S k 37 …………………………………7分又ABC ∆的面积为3450，即草坪造价=2T )3450(12S Sk-，………8分 由总造价21T T T +=，∴)3216(25SS k T +=，32253200≤≤S .…10分 36123216≥+SS ，………………………………………………11分 当且仅当SS 3216=即3216=S 时等号成立，………………………12分 此时3216)30(3=-x x ，解得12=x 或18=x ，所以选取||AM 的长为12米或18米时总造价T 最低.……………………14分22、解：（1）2()2x bx ch x x b++=+，设的定义域为为奇函数，∴ 对于任意，成立．…1分即：2222x bx c x bx c x b x b-+++=--++ 化简得：20bx bc -= ……3分因对于任意x D ∈都成立 ∴ 0b bc =⎧⎨=⎩ 即0,b c R =∈ …………4分（2）由（1）知，1()22c h x x x∴=+ …………5分在上为增函数，∴任取，时，2121121()()()(1)02cf x f x x x x x -=-->恒成立. …………6分即任取，，成立，也就是成立． …………8分∴，即的取值范围是(,4]-∞． …………10分（3） 因为任意的恒有成立，所以对任意的，即恒成立． ……………11分所以，从而，∴，且， ……………13分因此 (1)0c c -≥ 且 . ……………14分故 当时，有. ………15分即 当时，. ……………16分23、解：（1）假设数列}{n a 是“-p 摆动数列”，即存在常数p ，总有1212+<<-n p n 对任意n 成立，不妨取1=n 时则31<<p ，取2=n 时则53<<p ，显然常数p 不存在， 所以数列}{n a 不是“-p 摆动数列”； ………………………………………2分 由n n q b =，于是0121<=++n n n q b b 对任意n 成立，其中0=p .所以数列}{n b 是“-p 摆动数列”. ……………………………………………4分 （2）由数列}{n c 为“-p 摆动数列”， 11=c 212=⇒c ， 即存在常数121<<p ，使对任意正整数n ，总有0))((1<--+p c p c n n 成立； 即有0))((12<--++p c p c n n 成立.则0))((2>--+p c p c n n ，………………………………………………………6分 所以p c p c p c n >⇒⇒>>⇒>-1231 . …………………………………7分 同理p c p c p c n <⇒⇒<⇒<242 . ………………………………………8分所以122-<<n n c p c ⇒121211--<+n n c c ，解得21512->-n c 即215-≤p .…9分 同理n n c c 2211>+，解得2152-<n c ；即215-≥p . 综上215-=p .………………………………………………………………10分 （3）证明：由)12()1(-⋅-=n d n n n S n n ⋅-=⇒)1(，……………………………12分显然存在0=p ，使对任意正整数n ，总有0)1()1(121<+⋅-=++n n S S n n n 成立， 所以数列}{n S 是“-p 摆动数列”； ………………………………………14分 当n 为奇数时n S n -=递减，所以11-=≤S S n ，只要1->p 即可当n 为偶数时n S n =递增，22=≥S S n ，只要2<p 即可 ………17分 综上21<<-p ，p 的取值范围是)2,1(-.……………………………………18分。
普陀区2016学年第一学期高三数学质量调研2016、12一、填空题（本大题共12小题，满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分） 1、若集合{}{}2,,sin ,A x y x y R B y y x x R ==∈==∈，则A B = 。
2、若3,sin 225ππαα-<<=，则cot 2α= 。
3、函数()()21log 1f x x x =+≥的反函数()1f x -= 。
4、若()52501251x a a x a x a x +=++++ ，则125a a a +++= 。
5、设k R ∈，若2212y x k k -=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是 。
6、设m R ∈，若函数()()2311f x m x mx =+++是偶函数，则()f x 的单调区间是 7、方程()()22log 952log 32xx-=+-的解x = 。
8、已知圆()222:220C x y kx y k k R ++++=∈和定点()1,1P -，若果P 可以作两条直线与圆C 相切，则k 的取值范围是 。
9、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90,A B C A BB C ∠=== ，若1AC 与平面11B BCC 所成的角为6π，则三棱锥1A ABC -的体积为 。
10、掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d ，则{}2,1,0,1,2d ∈--出现的概率最大值为 。
（结果用最简分数表示）11、设地球半径为R ，若A 、B 两地均位于北纬45，R ，则A 、B 之间的球面距离是 。
（结果用含有R 的代数式表示） 12、已知定义域为R 的函数()y f x =满足()()2fx f x +=，且11x -≤<时，()21f x x=-，函数()lg ,01,0x x g x x ⎧≠=⎨=⎩，若()()()F x f x g x =-，则[]5,10x ∈-，函数()F x 零点的个数是 。
2016年上海市普陀区高考数学一模试卷一、填空题（本大题56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中，每小空格填对得4分，填错或不正确的位置一律得零分. 1．（4分）若全集U=R，集合M={x|x（x﹣2）≤0}，N={1，2，3，4}，则N∩∁U M=．2．（4分）若函数，，则f（x）+g（x）=．3．（4分）在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为．4．（4分）在，则函数y=tanx的值域为．5．（4分）若数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*），则数列的各项和为．6．（4分）若函数f（x）=（x≥0）的反函数是f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集为．7．（4分）设O为坐标原点，若直线与曲线相交于A、B点，则扇形AOB的面积为．8．（4分）若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180，则这个棱柱的体积为．9．（4分）若在北纬45°的纬度圈上有A、B两地，经度差为90°，则A、B两地的球面距离与地球半径的比值为．10．（4分）方程的解x=．11．（4分）设P是双曲线上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为d1，d2，则d1•d2=．12．（4分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D，若在其12条棱中随机地取3条，则这三条棱两两是异面直线的概率是（结果用最简分数表示）13．（4分）若F是抛物线y2=4x的焦点，点P i（i=1，2，3，…，10）在抛物线上，且，则=．14．（4分）若函数最大值记为g（t），则函数g（t）的最小值为．二、选择题（本大题20分）本大题共有4小题，每小题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中，每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.15．（5分）下列命题中的假命题是（）A．若a＜b＜0，则B．若，则0＜a＜1C．若a＞b＞0，则a4＞b4D．若a＜1，则16．（5分）若集合，则“x∈A”是“x∈B”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）如图，在四面体ABCD中，AB⊥BD，CD⊥DB，若AB与CD所成的角的大小为60°，则二面角C﹣BD﹣A的大小为（）A．60°或90°B．60°C．60°或120°D．30°或150°18．（5分）若函数，关于x的方程f2（x）﹣（a+1）f（x）+a=0，给出下列结论：①存在这样的实数a，使得方程由3个不同的实根；②不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根；③存在这样的实数a，使得方程由5个不同的实数根；④不存在这样的实数a，使得方程由6个不同的实数根．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题（本大题74分）本大题共有5小题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19．（12分）如图，椭圆+=1的左、右两个焦点分别为F1、F2，A为椭圆的右顶点，点P在椭圆上且∠PF1F2=arccos（1）计算|PF1|的值x（2）求△PF1A的面积．20．（14分）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm．（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？21．（14分）已知函数f（x）=2sin2x+sin2x﹣1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）设，其中0＜x0＜π，求tanx0的值．22．（16分）已知n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，且2a n﹣S n=1．（1）求证：数列{a n}是等比数列，并求出通项公式；（2）对于任意a i、a j∈{a1，a2，…，a n}（其中1≤i≤n，1≤j≤n，i、j均为正整数），若a i和a j的所有乘积a i•a j的和记为T n，试求的值；（3）设，若数列{c n}的前n项和为C n，是否存在这样的实数t，使得对于所有的n都有成立，若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．23．（18分）已知集合M是满足下列性制的函数f（x）的全体，存在实数a、k （k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”．（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，f（x）=cos（x）；当x=2时，f（x）=0，求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的解析式和零点．2016年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中，每小空格填对得4分，填错或不正确的位置一律得零分. 1．（4分）若全集U=R，集合M={x|x（x﹣2）≤0}，N={1，2，3，4}，则N∩∁U M={3，4} ．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合．【分析】求解一元二次不等式化简M，求出其补集，再由交集运算得答案．【解答】解：∵M={x|x（x﹣2）≤0}={x|0≤x≤2}，∴∁U M={x|x＜0或x＞2}，又N={1，2，3，4}，∴N∩∁U M={3，4}．故答案为：{3，4}．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查了交、并、补集的混合运算，是基础的计算题．2．（4分）若函数，，则f（x）+g（x）=1（0≤x≤1）．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】容易求出f（x），g（x）的定义域，求交集便可得出f（x）+g（x）的定义域，并可求得f（x）+g（x）=．【解答】解：；解得，0≤x≤1；∴（0≤x≤1）．故答案为：．【点评】考查函数定义域的概念，清楚f（x）+g（x）的定义域为f（x）和g（x）定义域的交集．3．（4分）在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为﹣560．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；33：函数思想；34：方程思想；5P：二项式定理．【分析】直接利用二项式定理写出结果即可即可．【解答】解：在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为：=﹣560．故答案为：﹣560．【点评】本题考查二项式定理的应用，系数的求法，注意二项式系数与项的系数的区别．4．（4分）在，则函数y=tanx的值域为[﹣1，1] ．【考点】HC：正切函数的图象．【专题】38：对应思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据正切函数的图象与性质，求出x∈[﹣，]时函数y=tanx的值域即可．【解答】解：∵，∴﹣1≤tanx≤1，∴函数y=tanx的值域为[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．5．（4分）若数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*），则数列的各项和为1．【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*），变形为a n+1+1=2（a n+1），利用等比数列的通项公式可得：1+a n，再利用等比数列的前n项和公式可得的前n项和．【解答】解：a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*），∴a n+1=2（a n+1），+1∴数列{a n+1}是等比数列，首项为2，公比为2．∴1+a n=2n，∴=，∴数列的首项为，公比为．∴数列的各项和为：=1．故答案为：1．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（4分）若函数f（x）=（x≥0）的反函数是f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集为{x|x＞1} ．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】由y=f（x）=（x≥0），求出f﹣1（x）=x3，x≥0，由此能求出不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集．【解答】解：设y=f（x）=（x≥0），则x=y3，x，y互换，得f﹣1（x）=x3，x≥0，∵f﹣1（x）＞f（x），∴，∴x9＞x，∴x8＞1，解得x＞1．∴不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集为{x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．【点评】本题考查不等式的解集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质、反函数性质的合理运用．7．（4分）设O为坐标原点，若直线与曲线相交于A、B点，则扇形AOB的面积为．【考点】G8：扇形面积公式；J9：直线与圆的位置关系．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】通过曲线方程确定曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点），y=时，∠AOB=π，即可求出扇形AOB的面积．【解答】解：由曲线，得x2+y2=1（y≥0）∴曲线表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）y=时，∠AOB=π，扇形AOB的面积为=．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，利用数形结合，属于中档题．8．（4分）若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180，则这个棱柱的体积为450．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】根据侧面积公式求出棱柱的高，根据底面边长求出底面积，代入体积公式得出体积．=6ah=60h=180，【解答】解：设棱柱的底面边长为a，高为h，则S侧解得h=3．S底==150．h=450．∴正六棱柱的体积V=S底故答案为：450．【点评】本题考查了正棱柱的结构特征和体积计算，属于基础题．9．（4分）若在北纬45°的纬度圈上有A、B两地，经度差为90°，则A、B两地的球面距离与地球半径的比值为．【考点】L*：球面距离及相关计算．【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，求出两点间的球面距离，即可求出A、B两地的球面距离与地球半径的比值．【解答】解：地球的半径为R，在北纬45°，而AB=R，所以A、B的球心角为：，所以两点间的球面距离是：R，所以A、B两地的球面距离与地球半径的比值为；故答案为：．【点评】本小题主要考查球面距离及相关计算、经纬度等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，属于基础题．10．（4分）方程的解x=log23．【考点】4H：对数的运算性质．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】化简可得4x﹣5=4（2x﹣2），从而可得（2x）2﹣4•2x+3=0，从而解得．【解答】解：∵，∴4x﹣5=4（2x﹣2），即（2x）2﹣4•2x+3=0，∴2x=1（舍去）或2x=3；∴x=log23，故答案为：log23．【点评】本题考查了对数运算及幂运算的应用，同时考查了指数式与对数式的互化．11．（4分）设P是双曲线上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为d1，d2，则d1•d2=．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先确定两条渐近线方程，设双曲线C上的点P（x，y），求出点P到两条渐近线的距离，结合P在双曲线C上，即可求d1•d2的值．【解答】解：由条件可知：两条渐近线分别为x±y=0设双曲线C上的点P（x，y），则点P到两条渐近线的距离分别为d1=，d2=所以d1•d2=•==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，求出点P到两条渐近线的距离是关键，属于中档题．12．（4分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D，若在其12条棱中随机地取3条，则这三条棱两两是异面直线的概率是（结果用最简分数表示）【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】正方体ABCD﹣A1B1C1D，在其12条棱中随机地取3条，先求出基本事件总数，再求出这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，由此能求出这三条棱两两是异面直线的概率．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D，在其12条棱中随机地取3条，基本事件总数n==220，这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数m=8，∴这三条棱两两是异面直线的概率是p===．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正方体的结构特征、等可能事件概率计算公式的合理运用．13．（4分）若F是抛物线y2=4x的焦点，点P i（i=1，2，3，…，10）在抛物线上，且，则=200．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的定义得抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，因此求出抛物线的准线方程，结合题中数据加以计算，即可得到本题答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线为x=﹣1，∴根据抛物线的定义，P i（i=1，2，3，…，2015）到焦点的距离等于P i到准线的距离，即|P i F|=x i+1，，可得1﹣x1+1﹣x2+…+1﹣x100=0，∴x1+x2+…+x100=100∴|P1F|+|P2F|+...|P100F|=（x1+1）+（x2+1）+...+（x100+1）=（x1+x2+ (x100)+100=100+100=200．故答案为：200．【点评】本题考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，考查向量等知识，属于中档题．14．（4分）若函数最大值记为g（t），则函数g（t）的最小值为．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【专题】11：计算题；32：分类讨论；36：整体思想；51：函数的性质及应用．【分析】化简sinx+=sinx+3+﹣3，从而可得0≤sinx+3+﹣3≤，区间[0，]的中点值为，故讨论t与的大小，从而求得g（t）=f max（x）=，从而求值．【解答】解：∵sinx+=sinx+3+﹣3，∵﹣1≤sinx≤1，∴2≤sinx+3≤4，∴3≤sinx+3+≤，∴0≤sinx+3+﹣3≤，∴g（t）=f max（x）=，∴当t=时，函数g（t）有最小值为；故答案为；．【点评】本题考查了对勾函数的应用及分段函数的应用，同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想．二、选择题（本大题20分）本大题共有4小题，每小题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中，每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.15．（5分）下列命题中的假命题是（）A．若a＜b＜0，则B．若，则0＜a＜1C．若a＞b＞0，则a4＞b4D．若a＜1，则【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】15：综合题；49：综合法；5：高考数学专题；5L：简易逻辑．【分析】正确选项进行证明，不正确选项，举出反例即可．【解答】解：对于A，a＜b＜0，则•a＜•b，∴，正确对于B，，则＞0，∴0＜a＜1，正确对于C，a＞b＞0，a4＞b4，正确；对于D，a=，=2＞1，不正确，故选：D．【点评】本题考查不等式的性质，考查命题的真假判断，属于中档题．16．（5分）若集合，则“x∈A”是“x∈B”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】先分别求出集合A，B，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【解答】解：∵≥0，∴0≤x＜3，∴A=[0，3），∵lg|2x﹣3|＜0=lg1，∴|2x﹣3|＜1，且2x﹣3≠0，∴1＜x＜2，且x≠∴B=（1，）∪（，2），∴“x∈A”是“x∈B”成立的必要非充分条件，故选：B．【点评】此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．17．（5分）如图，在四面体ABCD中，AB⊥BD，CD⊥DB，若AB与CD所成的角的大小为60°，则二面角C﹣BD﹣A的大小为（）A．60°或90°B．60°C．60°或120°D．30°或150°【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5G：空间角．【分析】过D在平面ABD内作AB的平行线DE，则∠CDE或∠CDE的补角为二面角C﹣BD﹣A的平面角，由此能求出二面角C﹣BD﹣A的大小．【解答】解：过D在平面ABD内作AB的平行线DE，∵在四面体ABCD中，AB⊥BD，CD⊥DB，∴DE⊥BD，∴∠CDE或∠CDE的补角为二面角C﹣BD﹣A的平面角，∵AB与CD所成的角的大小为60°，∴∠CDE=60°或∠CDE=120°，∴二面角C﹣BD﹣A的大小为60°或120°．故选：C．【点评】本题考查二面角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．（5分）若函数，关于x的方程f2（x）﹣（a+1）f（x）+a=0，给出下列结论：①存在这样的实数a，使得方程由3个不同的实根；②不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根；③存在这样的实数a，使得方程由5个不同的实数根；④不存在这样的实数a，使得方程由6个不同的实数根．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】13：作图题；32：分类讨论；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】由f2（x）﹣（a+1）f（x）+a=0可解得f（x）=1或f（x）=a，作函数的图象，从而讨论求解．【解答】解：∵f2（x）﹣（a+1）f（x）+a=0，∴f（x）=1或f（x）=a，作函数的图象如下，，当a=1时，方程有3个不同的实根，故①正确；当﹣1＜a＜1时，方程有6个不同的实根，故④不正确；当a＞1或a≤﹣1时，方程有5个不同的实根，故③正确；综上可知，不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根；故②正确；故选：C．【点评】本题考查了复合函数的应用及数形结合的思想应用及分段函数．三、解答题（本大题74分）本大题共有5小题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19．（12分）如图，椭圆+=1的左、右两个焦点分别为F1、F2，A为椭圆的右顶点，点P在椭圆上且∠PF1F2=arccos（1）计算|PF1|的值x（2）求△PF1A的面积．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据椭圆的性质，可得|PF1|=x，则|PF2|=10﹣x，|F1F2|=2=8，结合已知可余弦定理构造方程，解得x值；（2）由出sin∠PF1F2，进而计算△PF1F2的面积，可得P到x轴的距离d，结合△PF1A的底边|F1A|=a+c=9，可得三角形面积．【解答】解：（1）∵椭圆+=1的左、右两个焦点分别为F1、F2，P为椭圆上一点，|PF1|=x，则|PF2|=10﹣x，|F1F2|=2=8，∵∠PF1F2=arccos，故cos∠PF1F2==，解得：x=6，（2）由∠PF1F2=arccos，可得：sin∠PF1F2==，故△PF1F2的面积S=（5+）•（5﹣）•=，故P到x轴的距离d==，由|F1A|=a+c=9，可得△PF1A的面积为：×=【点评】本题考查的知识点是椭圆的简单性质，余弦定理，三角形面积公式，难度中档．20．（14分）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm．（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】（1）笼具的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积；（2）求出笼具的表面积即可，笼具的表面积包括圆柱的侧面，上底面和圆锥的侧面．【解答】解：（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h1，则2πr=24π，解得r=12cm．h1=cm．∴笼具的体积V=πr2h﹣=π×（122×30﹣×122×16）=3552π≈11158.9cm3．（2）圆柱的侧面积S1=2πrh=720cm2，圆柱的底面积S2=πr2=144πcm2，圆锥的侧面积为πrl=240πcm2．故笼具的表面积S=S1+S2+S3=1104πcm2．故制造50个这样的笼具总造价为：元．答：这种笼具的体积约为11158.9cm3，生产50个笼具需要元．【点评】本题考查了圆柱，圆锥的表面积和体积计算，属于基础题．21．（14分）已知函数f（x）=2sin2x+sin2x﹣1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）设，其中0＜x0＜π，求tanx0的值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HW：三角函数的最值．【专题】34：方程思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】（1）利用三角函数的关系结合辅助角公式进行化简，即可求函数f（x）的单调递增区间；（2）化简条件，利用同角的三角函数的关系式建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）f（x）=2sin2x+sin2x﹣1=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）．由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得2kπ≤x≤2kπ，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）cos（+α）cos（﹣α）+sin2α=（cos cosα）2﹣（sin sinα）2+sin2α=cos2α﹣sin2α+sin2α=，即f（）=sin（2×﹣）=sin（x0﹣）=，即sinx0﹣cosx0=，①平方得2sinx0cosx0=，∵0＜x0＜π，∴cosx0＞0，则sinx0+cosx0==②，由①②得sinx0=，cosx0=，则tanx0==．【点评】本题主要考查三角函数的化简和三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简以及利用三角函数的同角的基本关系式是解决本题的关键．22．（16分）已知n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，且2a n﹣S n=1．（1）求证：数列{a n}是等比数列，并求出通项公式；（2）对于任意a i、a j∈{a1，a2，…，a n}（其中1≤i≤n，1≤j≤n，i、j均为正整数），若a i和a j的所有乘积a i•a j的和记为T n，试求的值；（3）设，若数列{c n}的前n项和为C n，是否存在这样的实数t，使得对于所有的n都有成立，若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】88：等比数列的通项公式；8J：数列的极限；8K：数列与不等式的综合．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）当n≥2时通过2a n﹣S n=1与2a n﹣1﹣S n﹣1=1作差，进而计算可得结论；（2）通过（1）可得T n的表达式，进而计算即得结论；（3）通过（1）可知数列{c n}的通项公式，利用并项相加、分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．【解答】（1）证明：∵2a n﹣S n=1，﹣S n﹣1=1，∴当n≥2时，2a n﹣1两式相减，整理得：a n=2a n﹣1（n≥2），又∵2a1﹣S1=1，即a1=1，∴数列{a n}是首项为1、公比为2的等比数列，∴a n=2n﹣1；（2）解：∵T n=（1+2+22+…+2n﹣1）（1+2+22+…+2n﹣1）=•=4n﹣2•2n+1，∴==1；（3）结论：存在这样的实数t，使得对于所有的n都有成立．理由如下：由（1）可知，1+b n=3log2a n=3n﹣3，即b n=3n﹣4，b n+1=3n﹣1，故c n=（﹣1）n+1b n•b n+1=（﹣1）n+1（3n﹣4）（3n﹣1），c n+1=（﹣1）n+2（3n﹣1）（3n+2），特别地，当n为奇数时，有n+1为偶数，此时c n+c n+1=（3n﹣4）（3n﹣1）﹣（3n﹣1）（3n+2）=﹣6（3n﹣1），①若n为偶数，则C n=（c1+c2）+（c3+c4）+…+（c n﹣1+c n）=﹣6×[2+8+…+（3n﹣4）]=﹣n（3n﹣2），由可知t≤﹣（3﹣）对所有正偶数n都成立，故t≤﹣；②若n为奇数，则C n=C n﹣1+c n（n≥2），由①可知C n=﹣（n﹣1）（3n﹣5）+（3n﹣4）（3n﹣1）=n2﹣3n﹣，其中C1=﹣2满足上式；由①②可得实数t的取值范围是：t≤﹣，所以存在这样的实数t，使得对于所有的n都有成立．【点评】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．23．（18分）已知集合M是满足下列性制的函数f（x）的全体，存在实数a、k （k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”．（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，f（x）=cos（x）；当x=2时，f（x）=0，求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的解析式和零点．【考点】3T：函数的值．【专题】31：数形结合；32：分类讨论；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】（1）f（x）=x2的定义域为R．假设存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，则（a+x）2=k（a﹣x）2，化为：（k ﹣1）x2﹣2a（k+1）x+a2（k﹣1）=0，由于上式对于任意实数x都成立，可得，解得k，a．即可得出．（2）函数f（x）=sinx∈M，可得：sin（a+x）=ksin（a﹣x），展开化为：sin （x+φ）=0，由于∀x∈R都成立，可得k2+2kcos2a+1=0，变形cos2a=，利用基本不等式的性质与三角函数的单调性即可得出．（3）由于（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，可得f（1+x）=f （1﹣x），f（2+x）=﹣f（2﹣x），因此f（x+4）=f（x），T=4．对x分类讨论可得：即可得出解析式，进而得出零点．【解答】解：（1）f（x）=x2的定义域为R．假设存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，则（a+x）2=k（a﹣x）2，化为：（k﹣1）x2﹣2a（k+1）x+a2（k﹣1）=0，由于上式对于任意实数x都成立，∴，解得k=1，a=0．∴（0，1）是函数f（x）的“伴随数对”，f（x）∈M．（2）∵函数f（x）=sinx∈M，∴sin（a+x）=ksin（a﹣x），∴（1+k）cosasinx+（1﹣k）sinacosx=0，∴sin（x+φ）=0，∵∀x∈R都成立，∴k2+2kcos2a+1=0，∴cos2a=，≥2，∴|cos2a|≥1，又|cos2a|≤1，故|cos2a|=1．当k=1时，cos2a=﹣1，a=nπ+，n∈Z．当k=﹣1时，cos2a=1，a=nπ，n∈Z．∴f（x）的“伴随数对”为（nπ+，1），（nπ，﹣1），n∈Z．（3）∵（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，∴f（1+x）=f（1﹣x），f（2+x）=﹣f（2﹣x），∴f（x+4）=f（x），T=4．当0＜x＜1时，则1＜2﹣x＜2，此时f（x）=f（2﹣x）=﹣cos；当2＜x＜3时，则1＜4﹣x＜2，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=﹣cos；当3＜x＜4时，则0＜4﹣x＜1，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=cos．∴f（x）=．∴f（x）=．∴当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点为2014，2015，2016．【点评】本题考查了新定义“伴随数对”、三角函数的单调性、基本不等式的性质，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．。
2016学年第二学期普陀区高三数学质量调研2017.4考生注意:1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1. 计算：=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→311lim n n .2. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 11log 2的定义域为 . 3. 若παπ<<2，53sin =α，则=2tan α. 4. 若复数()21i i z ⋅+=（i 表示虚数单位），则=z . 5. 曲线C ：⎩⎨⎧==θθtan sec y x （θ为参数）的两个顶点之间的距离为 .6. 若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K 的概率为 （结果用最简分数表示）.7. 若关于x 的方程0cos sin =-+m x x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有解，则实数m 的取值范围是 . 8. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为6π,体积为π125,则此圆锥的高为 . 9. 若函数1log log )(222+-=x x x f （2≥x ）的反函数为)(1x f-，则)3(1-f= .10. 若三棱锥ABC S -的所有的顶点都在球O 的球面上，⊥SA 平面ABC ，2==AB SA ，4=AC ，3π=∠BAC ，则球O 的表面积为 .11.设0<a ，若不等式01cos )1(sin 22≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则a 的取值范围是 .12.在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若△ABC 的面积为1，则2BC MC MB +⋅的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 动点P 在抛物线122+=x y 上移动，若P 与点()1,0-Q 连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为……………………………………………………………………………………………………………（ ）)A ( 22x y = ()B 24x y = ()C 26x y = ()D 28x y =14. 若α、β∈R ，则“βα≠”是“βαtan tan ≠”成立的……………………………………（ ）)A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件15. 设l 、m 是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为…………………………（ ）)A ( 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则βα⊥ ()B 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则 βα//()C 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα⊥ ()D 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα//16. 关于函数x y 2sin =的判断，正确的是……………………………………………………………（ ）)A (最小正周期为π2，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调减函数()B 最小正周期为π，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调减函数()C 最小正周期为π，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调增函数()D 最小正周期为π2，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调增函数三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BC 、11D A 的中点. （1）求证：四边形EDF B 1是菱形；（2）求异面直线C A 1与DE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) .18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数x b x a x f cos sin )(+=（a 、b 为常数且0≠a ，R ∈x ）.当4π=x 时，)(x f 取得最大值.（1）计算⎪⎭⎫⎝⎛411πf 的值； （2）设⎪⎭⎫⎝⎛-=x f x g 4)(π，判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某人上午7时乘船出发，以匀速v 海里/小时（54≤≤v ）从A 港前往相距50海里的B 港，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（10030≤≤ω）自B 港前往相距300千米的C 市，计划当天下午4到9时到达C 市.设乘船和汽车的所要的时间分别为x 、y 小时，如果所需要的经费()()y x P -+-+=853100（单位：元）（1）试用含有v 、ω的代数式表示P ；（2）要使得所需经费P 最少，求x 和y 的值，并求出此时的费用.20. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.1A 1B 1C 1D B D A C EF xyo已知曲线Γ：13422=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点. （1）若()3,0-C 且2=PC ，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且PD 的最大值为3，求m 的值； （3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为()k n ,1=，求∆AOB 面积的最大值.21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.已知数列{}n a （*N ∈n ），若{}1++n n a a 为等比数列，则称{}n a 具有性质P .（1）若数列{}n a 具有性质P ，且3,1321===a a a ，求4a 、5a 的值； （2）若()nn n b 12-+=，求证：数列{}n b 具有性质P ；（3）设=+++n c c c 21n n +2，数列{}n d 具有性质P ，其中11=d ，123c d d =-，232c d d =+，若310>m d ，求正整数m 的取值范围.2016学年第二学期普陀区高三数学质量调研一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1.12. ()()+∞∞-,10,3.34. i +-15.26.1691 7. 21≤≤m . 8. 5 9. 4 10.π20 11. 2-≤a 12. 3二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1,0,11B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,1E ,()0,1,0D ,⎪⎭⎫⎝⎛1,21,0F ……1分⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,21,11FB ……2分所以1FB =,即1//FB DE 且1FB DE =,故四边形EDF B 1是平行四边形……3分又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,01E B ,25==……5分 故平行四边形EDF B 1是菱形……6分（2）因为()0,1,11=A ()()1,1,101,0--=-,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1……8分 设异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为θ……9分cos =θ……10分()()15152111110121)1(11222222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+-+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-+⨯-=……12分所以1515arccos=θ……13分, 故异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为1515arccos ……14分 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）x b x a x f cos sin )(+=()ϕ++=x b a sin 22，其中abarctan =ϕ……2分根据题设条件可得，224b a f +=⎪⎭⎫⎝⎛π 即()2222b a b a +=+ ……4分 化简得()()2222b a b a +=+，所以0222=+-b ab a即()02=-b a ，故0=-b a ……………5分所以()022411cos 411sin411=-=+=⎪⎭⎫⎝⎛b a b a f πππ……………6分 （2）由（1）可得，b a =，即()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin )(πx a x x a x f ……8分故x a x a x a x f x g cos 22sin 244sin 24)(=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛-=ππππ所以x a x g cos 2)(=（R ∈x ）…………10分对于任意的R ∈x ，x a x a x g cos 2)cos(2)(=-=-（0≠a ）……12分即)()(x g x g =-，所以)(x g 是偶函数.…………14分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】（1）v x 50=，204≤≤v ，得22510≤≤x ……2分 ω300=y ，10030≤≤ω，得103≤≤y ……4分()()y x P -+-+=853100⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ω30085053100v所以ω300150123--=v P （其中204≤≤v ，10030≤≤ω）……6分 （2）()()y x P -+-+=853100)3(123y x +-=其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤10322510149y x y x ，……9分x令目标函数y x k +=3, 可行域的端点分别为()3,11，)10,4(，⎪⎭⎫ ⎝⎛10,25，⎪⎭⎫⎝⎛213,25，()3,6 …12分 则当3,11==y x 时，36333max =+=k 所以8736123min =-=P （元）,此时115050==x v ，1003300==ω答：当3,11==y x 时，所需要的费用最少，为87元。
普陀区第一学期高三数学质量抽测试卷（理）一． 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，要求直接将结果填写在答题纸的对应的空格，每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分．1.函数()22sin cos 22x x f x =-的最小正周期是 ．2.二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是 ．（请用数值作答） 3.函数121log |1|y x =-的定义域是 ． 4.设1e 与2e 是两个不共线的向量，已知1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，则当,,A B D 三点共线时，k = ．5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，1321,21a a =+=-则此数列的各项和S = ．6.已知直线l 的方程为230x y --=，点()1,4A 与点B 关于直线l 对称，则点B 的坐标为 ．7.如图，该框图所对应的程序运行后输出的结果的值为 ．8.若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点的坐标为()10,0，则该双曲线的标准方程为 ．9.如图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是232cm 的照片，排版设计为纸上左右留空各3cm ，上下留空各2.5cm ，图间留空为1cm ，照此设计，则这张纸的最小面积是 2cm ． 10.给出问题：已知ABC ∆满足cos cos a A b B ⋅=⋅，试判断ABC ∆的形状，某学生的解答如下： ()()()()()22222222222222222222222222b c a a c b a b bc aca b c a b a c b a b c a b a b c a b +-+-⋅=⋅⇔+-=+-⇔-⋅=-+⇔=+故ABC ∆事直角三角形．（ii ）设ABC ∆外接圆半径为R ，由正弦定理可得，原式等价于 2sin cos 2sin cos sin 2sin 2R A A R B B A B A B=⇔=⇔= 故ABC ∆是等腰三角形．综上可知，ABC ∆是等腰直角三角形．请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果 ．11.已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，若102020,60,S S ==则3010S S = ． 12.若一个底面边长为32，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为 ．13.用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为1,2,3,…9的个9小正方形（如右图），需满足任意相邻（有公共边的）小正方形涂颜色都不相同，且标号“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法中，恰好满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的概率为 ．14.设*,n n N a ∈表示关于x 的不等式12)45(log log 144-≥-⨯--n x x n 的正整数解的个数，则数列{}n a 的通项公式n a = ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中，每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（无论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分．15.“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的 （ ）A ．充分非必要条件； B.必要非充分条件； C.充要条件 D.既非充分也非必要条件16.设θ是直线l 的倾斜角，且cos 0a θ=<，则θ的值为（ ）A ．arccos a π-； B. arccos a C. arccos a - D. arccos a π+ 17.设全集为R ，集合22|14x M x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭3,|01x N x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则集合2231|24x x y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭可表示为 （ ） A 、M N ⋃ B 、M N ⋂ C 、R C M N ⋂ D 、R M C N⋂18、对于平面αβγ、、和直线a 、b 、m 、n ，下列命题中真命题是（ ） A 、若,,a m a n ⊥⊥,m n αα≠≠⊂⊂，则a α⊥； B 、若//,,a b b α≠⊂则//a α； C 、若,,//,//a b a b ββαα≠≠⊂⊂，则//a β； D 、//,,,a a b βαγβγ⋂=⋂=则//a b ．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤．19、（本题满分12分）已知函数()2,0f x kx k =+≠的图像分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，且22AB i j =+，函数()26g x x x =--．当满足不等式()()f x g x >时，求函数()()1g x y f x +=的最小值．20、（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图，已知圆锥体SO 的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点．（1） 求圆锥体的体积；（2） 异面直线SO 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）21、（本大题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知ABC ∆中，1AC =，23ABC π∠=，设,BAC x ∠=计()f x AB BC =⋅ （1） 求()f x 的解析式及定义域；（2） 设()()61g x m f x =⋅+，是否存在实数m ，使函数()g x 的值域为31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦？所存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．22、（本大题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）已知数列{}n a 是首项为2的等比数列，且满足12()n n n a pa n N *+=+∈（1） 求常数p 的值和数列{}n a 的通项公式；（2） 若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、．．．．．．．第32n -项，．．．．．．，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{}n b ，试写出数列{}n b 的通项公式；（3） 在（2）的条件下，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使得1113n n T T +=？若存在，试求所有满足条件的正整数n 的值，若不存在，请说明理由。
2016年上海市普陀区高考数学一模试卷一、填空题（本大题56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中，每小空格填对得4分，填错或不正确的位置一律得零分.1．若全集U=R，集合M={x|x（x﹣2）≤0}，N={1，2，3，4}，则N∩∁U M= ．2．若函数，，则f（x）+g（x）= ．3．在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为．4．在，则函数y=tanx的值域为．5．若数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*），则数列的各项和为．6．若函数f（x）=（x≥0）的反函数是f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集为．7．设O为坐标原点，若直线与曲线相交于A、B点，则扇形AOB的面积为．8．若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180，则这个棱柱的体积为．9．若在北纬45°的纬度圈上有A、B两地，经度差为90°，则A、B两地的球面距离与地球半径的比值为．10．方程的解x= ．11．设P是双曲线上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为d1，d2，则d1•d2= ．12．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D，若在其12条棱中随机地取3条，则这三条棱两两是异面直线的概率是（结果用最简分数表示）13．若F是抛物线y2=4x的焦点，点P i（i=1，2，3，…，10）在抛物线上，且，则= ．14．若函数最大值记为g（t），则函数g（t）的最小值为．二、选择题（本大题20分）本大题共有4小题，每小题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中，每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分. 15．下列命题中的假命题是（）A．若a＜b＜0，则B．若，则0＜a＜1C．若a＞b＞0，则a4＞b4D．若a＜1，则16．若集合，则“x∈A”是“x∈B”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件17．如图，在四面体ABCD中，AB⊥BD，CD⊥DB，若AB与CD所成的角的大小为60°，则二面角C﹣BD﹣A的大小为（）A．60°或90°B．60° C．60°或120°D．30°或150°18．若函数，关于x的方程f2（x）﹣（a+1）f（x）+a=0，给出下列结论：①存在这样的实数a，使得方程由3个不同的实根；②不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根；③存在这样的实数a，使得方程由5个不同的实数根；④不存在这样的实数a，使得方程由6个不同的实数根．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题（本大题74分）本大题共有5小题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19．如图，椭圆+=1的左、右两个焦点分别为F1、F2，A为椭圆的右顶点，点P在椭圆上且∠PF1F2=arccos（1）计算|PF1|的值x（2）求△PF1A的面积．20．某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm．（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？21．已知函数f（x）=2sin2x+sin2x﹣1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）设，其中0＜x0＜π，求tanx0的值．22．已知n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，且2a n﹣S n=1．（1）求证：数列{a n}是等比数列，并求出通项公式；（2）对于任意a i、a j∈{a1，a2，…，a n}（其中1≤i≤n，1≤j≤n，i、j均为正整数），若a i和a j的所有乘积a i•a j的和记为T n，试求的值；（3）设，若数列{c n}的前n项和为C n，是否存在这样的实数t，使得对于所有的n都有成立，若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．23．已知集合M是满足下列性制的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”．（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，f（x）=cos（x）；当x=2时，f（x）=0，求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的解析式和零点．2016年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中，每小空格填对得4分，填错或不正确的位置一律得零分.1．若全集U=R，集合M={x|x（x﹣2）≤0}，N={1，2，3，4}，则N∩∁U M= {3，4} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求解一元二次不等式化简M，求出其补集，再由交集运算得答案．【解答】解：∵M={x|x（x﹣2）≤0}={x|0≤x≤2}，∴∁U M={x|x＜0或x＞2}，又N={1，2，3，4}，∴N∩∁U M={3，4}．故答案为：{3，4}．2．若函数，，则f（x）+g（x）= 1（0≤x≤1）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】容易求出f（x），g（x）的定义域，求交集便可得出f（x）+g（x）的定义域，并可求得f（x）+g（x）=．【解答】解：；解得，0≤x≤1；∴（0≤x≤1）．故答案为：．3．在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为﹣560 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】直接利用二项式定理写出结果即可即可．【解答】解：在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为： =﹣560．故答案为：﹣560．4．在，则函数y=tanx的值域为[﹣1，1] ．【考点】正切函数的图象．【分析】根据正切函数的图象与性质，求出x∈[﹣，]时函数y=tanx的值域即可．【解答】解：∵，∴﹣1≤tanx≤1，∴函数y=tanx的值域为[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．5．若数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*），则数列的各项和为1﹣．【考点】数列的求和．【分析】a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*），变形为a n+1+1=2（a n+1），利用等比数列的通项公式可得：1+a n，再利用等比数列的前n项和公式可得的前n项和．【解答】解：a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*），∴a n+1+1=2（a n+1），∴数列{a n+1}是等比数列，首项为2，公比为2．∴1+a n=2n，∴=，∴数列的首项为，公比为．∴数列的各项和为： =1﹣．故答案为：1﹣．6．若函数f（x）=（x≥0）的反函数是f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集为{x|x＞1} ．【考点】反函数．【分析】由y=f（x）=（x≥0），求出f﹣1（x）=x3，x≥0，由此能求出不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集．【解答】解：设y=f（x）=（x≥0），则x=y3，x，y互换，得f﹣1（x）=x3，x≥0，∵f﹣1（x）＞f（x），∴，∴x9＞x，∴x8＞1，解得x＞1．∴不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集为{x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．7．设O为坐标原点，若直线与曲线相交于A、B点，则扇形AOB的面积为．【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积公式．【分析】通过曲线方程确定曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点），y=时，∠AOB=π，即可求出扇形AOB的面积．【解答】解：由曲线，得x2+y2=1（y≥0）∴曲线表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）y=时，∠AOB=π，扇形AOB的面积为=．故答案为：．8．若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180，则这个棱柱的体积为450．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据侧面积公式求出棱柱的高，根据底面边长求出底面积，代入体积公式得出体积．【解答】解：设棱柱的底面边长为a，高为h，则S侧=6ah=60h=180，解得h=3．S底==150．∴正六棱柱的体积V=S底h=450．故答案为：450．9．若在北纬45°的纬度圈上有A、B两地，经度差为90°，则A、B两地的球面距离与地球半径的比值为．【考点】球面距离及相关计算．【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，求出两点间的球面距离，即可求出A、B两地的球面距离与地球半径的比值．【解答】解：地球的半径为R，在北纬45°，而AB=R，所以A、B的球心角为：，所以两点间的球面距离是：，所以A、B两地的球面距离与地球半径的比值为；故答案为：．10．方程的解x= log23 ．【考点】对数的运算性质．【分析】化简可得4x﹣5=4（2x﹣2），从而可得（2x）2﹣4•2x+3=0，从而解得．【解答】解：∵，∴4x﹣5=4（2x﹣2），即（2x）2﹣4•2x+3=0，∴2x=1（舍去）或2x=3；∴x=log23，故答案为：log23．11．设P是双曲线上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为d1，d2，则d1•d2=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先确定两条渐近线方程，设双曲线C上的点P（x，y），求出点P到两条渐近线的距离，结合P在双曲线C上，即可求d1•d2的值．【解答】解：由条件可知：两条渐近线分别为x±y=0设双曲线C上的点P（x，y），则点P到两条渐近线的距离分别为d1=，d2=所以d1•d2=•==．故答案为：．12．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D，若在其12条棱中随机地取3条，则这三条棱两两是异面直线的概率是（结果用最简分数表示）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】正方体ABCD﹣A1B1C1D，在其12条棱中随机地取3条，先求出基本事件总数，再求出这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，由此能求出这三条棱两两是异面直线的概率．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D，在其12条棱中随机地取3条，基本事件总数n==220，这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数m=8，∴这三条棱两两是异面直线的概率是p===．故答案为：．13．若F是抛物线y2=4x的焦点，点P i（i=1，2，3，…，10）在抛物线上，且，则= 200 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义得抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，因此求出抛物线的准线方程，结合题中数据加以计算，即可得到本题答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线为x=﹣1，∴根据抛物线的定义，P i（i=1，2，3，…，2015）到焦点的距离等于P i到准线的距离，即|P i F|=x i+1，，可得1﹣x1+1﹣x2+…+1﹣x100=0，∴x1+x2+…+x100=100∴|P1F|+|P2F|+…|P100F|=（x1+1）+（x2+1）+…+（x100+1）=（x1+x2+…+x100）+100=100+100=200．故答案为：200．14．若函数最大值记为g（t），则函数g（t）的最小值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】化简sinx+=sinx+3+﹣3，从而可得0≤sinx+3+﹣3≤，从而求得g（t）=f max（x）=，从而求值．【解答】解：∵sinx+=sinx+3+﹣3，∵﹣1≤sinx≤1，∴2≤sinx+3≤4，∴3≤sinx+3+≤，∴0≤sinx+3+﹣3≤，∴g（t）=f max（x）=，∴当t=时，函数g（t）有最小值为；故答案为；．二、选择题（本大题20分）本大题共有4小题，每小题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中，每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分. 15．下列命题中的假命题是（）A．若a＜b＜0，则B．若，则0＜a＜1C．若a＞b＞0，则a4＞b4D．若a＜1，则【考点】命题的真假判断与应用．【分析】正确选项进行证明，不正确选项，举出反例即可．【解答】解：对于A，a＜b＜0，则•a＜•b，∴，正确对于B，，则＞0，∴0＜a＜1，正确对于C，a＞b＞0，a4＞b4，正确；对于D，a=， =2＞1，不正确，故选：D．16．若集合，则“x∈A”是“x∈B”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先分别求出集合A，B，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【解答】解：∵≥0，∴0≤x＜3，∴A=（0，3]，∵lg|2x﹣3|＜0=lg1，∴|2x﹣3|＜1，且2x﹣3≠0，∴1＜x＜2，且x≠∴B=（1，）∪（，2），∴“x∈A”是“x∈B”成立的必要非充分条件，故选：B．17．如图，在四面体ABCD中，AB⊥BD，CD⊥DB，若AB与CD所成的角的大小为60°，则二面角C﹣BD﹣A的大小为（）A．60°或90°B．60° C．60°或120°D．30°或150°【考点】二面角的平面角及求法．【分析】过D在平面ABD内作AB的平行线DE，则∠CDE或∠CDE的补角为二面角C﹣BD﹣A 的平面角，由此能求出二面角C﹣BD﹣A的大小．【解答】解：过D在平面ABD内作AB的平行线DE，∵在四面体ABCD中，AB⊥BD，CD⊥DB，∴DE⊥BD，∴∠CDE或∠CDE的补角为二面角C﹣BD﹣A的平面角，∵AB与CD所成的角的大小为60°，∴∠CDE=60°或∠CDE=120°，∴二面角C﹣BD﹣A的大小为60°或120°．故选：C．18．若函数，关于x的方程f2（x）﹣（a+1）f（x）+a=0，给出下列结论：①存在这样的实数a，使得方程由3个不同的实根；②不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根；③存在这样的实数a，使得方程由5个不同的实数根；④不存在这样的实数a，使得方程由6个不同的实数根．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f2（x）﹣（a+1）f（x）+a=0可解得f（x）=1或f（x）=a，作函数的图象，从而讨论求解．【解答】解：∵f2（x）﹣（a+1）f（x）+a=0，∴f（x）=1或f（x）=a，作函数的图象如下，，当a=1时，方程有3个不同的实根，故①正确；当a＞1或a≤﹣1时，方程有6个不同的实根，故④不正确；当﹣1＜a＜1时，方程有5个不同的实根，故③正确；综上可知，不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根；故②正确；故选：C．三、解答题（本大题74分）本大题共有5小题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19．如图，椭圆+=1的左、右两个焦点分别为F1、F2，A为椭圆的右顶点，点P在椭圆上且∠PF1F2=arccos（1）计算|PF1|的值x（2）求△PF1A的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的性质，可得|PF1|=x，则|PF2|=10﹣x，|F1F2|=2=8，结合已知可余弦定理构造方程，解得x值；（2）由出sin∠PF1F2，进而计算△PF1F2的面积，可得P到x轴的距离d，结合△PF1A的底边|F1A|=a+c=9，可得三角形面积．【解答】解：（1）∵椭圆+=1的左、右两个焦点分别为F1、F2，P为椭圆上一点，|PF1|=x，则|PF2|=10﹣x，|F1F2|=2=8，∵∠PF1F2=arccos，故cos∠PF1F2==，解得：x=6，（2）由∠PF1F2=arccos，可得：sin∠PF1F2==，故△PF1F2的面积S=（5+）•（5﹣）•=，故P到x轴的距离d==，由|F1A|=a+c=9，可得△PF1A的面积为：×=20．某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm．（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）笼具的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积；（2）求出笼具的表面积即可，笼具的表面积包括圆柱的侧面，上底面和圆锥的侧面．【解答】解：（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h1，则2πr=24π，解得r=12cm．h1=cm．∴笼具的体积V=πr2h﹣=π×=3552π≈11158.9cm3．（2）圆柱的侧面积S1=2πrh=720cm2，圆柱的底面积S2=πr2=144πcm2，圆锥的侧面积为πrl=240πcm2．故笼具的表面积S=S1+S2+S3=1104πcm2．故制造50个这样的笼具总造价为：元．答：这种笼具的体积约为11158.9cm3，生产50个笼具需要元．21．已知函数f（x）=2sin2x+sin2x﹣1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）设，其中0＜x0＜π，求tanx0的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．【分析】（1）利用三角函数的关系结合辅助角公式进行化简，即可求函数f（x）的单调递增区间；（2）化简条件，利用同角的三角函数的关系式建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）f（x）=2sin2x+sin2x﹣1=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）．由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得2kπ≤x≤2kπ，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）cos（+α）cos（﹣α）+sin2α=（cos cosα）2﹣（sin sinα）2+sin2α=cos2α﹣sin2α+sin2α=，即f（）=sin（2×﹣）=sin（x0﹣）=，即sinx0﹣cosx0=，①平方得2sinx0cosx0=，∵0＜x0＜π，∴cosx0＞0，则sinx0+cosx0==②，由①②得sinx0=，cosx0=，则tanx0==．22．已知n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，且2a n﹣S n=1．（1）求证：数列{a n}是等比数列，并求出通项公式；（2）对于任意a i、a j∈{a1，a2，…，a n}（其中1≤i≤n，1≤j≤n，i、j均为正整数），若a i和a j的所有乘积a i•a j的和记为T n，试求的值；（3）设，若数列{c n}的前n项和为C n，是否存在这样的实数t，使得对于所有的n都有成立，若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；数列的极限．【分析】（1）当n≥2时通过2a n﹣S n=1与2a n﹣1﹣S n﹣1=1作差，进而计算可得结论；（2）通过（1）可得T n的表达式，进而计算即得结论；（3）通过（1）可知数列{c n}的通项公式，利用并项相加、分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．【解答】（1）证明：∵2a n﹣S n=1，∴当n≥2时，2a n﹣1﹣S n﹣1=1，两式相减，整理得：a n=2a n﹣1（n≥2），又∵2a1﹣S1=1，即a1=1，∴数列{a n}是首项为1、公比为2的等比数列，∴a n=2n﹣1；（2）解：∵T n=（1+2+22+…+2n﹣1）（1+2+22+…+2n﹣1）=•=4n﹣2•2n+1，∴==1；（3）结论：存在这样的实数t，使得对于所有的n都有成立．理由如下：由（1）可知，1+b n=3log2a n=3n﹣3，即b n=3n﹣4，b n+1=3n﹣1，故c n=（﹣1）n+1b n•b n+1=（﹣1）n+1（3n﹣4）（3n﹣1），c n+1=（﹣1）n+2（3n﹣1）（3n+2），特别地，当n为奇数时，有n+1为偶数，此时c n+c n+1=（3n﹣4）（3n﹣1）﹣（3n﹣1）（3n+2）=﹣6（3n﹣1），①若n为偶数，则C n=（c1+c2）+（c3+c4）+…+（c n﹣1+c n）=﹣6×[2+8+…+（3n﹣4）]=﹣n（3n﹣2），由可知t≤﹣（3﹣）对所有正偶数n都成立，故t≤﹣；②若n为奇数，则C n=C n﹣1+c n（n≥2），由①可知C n=﹣（n﹣1）（3n﹣5）+（3n﹣4）（3n﹣1）=n2﹣3n﹣，其中C1=﹣2满足上式；由①②可得实数t的取值范围是：t≤﹣，所以存在这样的实数t，使得对于所有的n都有成立．23．已知集合M是满足下列性制的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”．（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，f（x）=cos（x）；当x=2时，f（x）=0，求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的解析式和零点．【考点】函数的值．【分析】（1）f（x）=x2的定义域为R．假设存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x 均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，则（a+x）2=k（a﹣x）2，化为：（k﹣1）x2﹣2a（k+1）x+a2（k﹣1）=0，由于上式对于任意实数x都成立，可得，解得k，a．即可得出．（2）函数f（x）=sinx∈M，可得：sin（a+x）=ksin（a﹣x），展开化为：sin（x+φ）=0，由于∀x∈R都成立，可得k2+2kcos2a+1=0，变形cos2a=，利用基本不等式的性质与三角函数的单调性即可得出．（3）由于（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，可得f（1+x）=f（1﹣x），f（2+x）=﹣f（2﹣x），因此f（x+4）=f（x），T=4．对x分类讨论可得：即可得出解析式，进而得出零点．【解答】解：（1）f（x）=x2的定义域为R．假设存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，则（a+x）2=k（a﹣x）2，化为：（k﹣1）x2﹣2a（k+1）x+a2（k﹣1）=0，由于上式对于任意实数x都成立，∴，解得k=1，a=0．∴（0，1）是函数f（x）的“伴随数对”，f（x）∈M．（2）∵函数f（x）=sinx∈M，∴sin（a+x）=ksin（a﹣x），∴（1+k）cosasinx+（1﹣k）sinacosx=0，∴sin（x+φ）=0，∵∀x∈R都成立，∴k2+2kcos2a+1=0，∴cos2a=，≥2，∴|cos2a|≥1，又|cos2a|≤1，故|cos2a|=1．当k=1时，cos2a=﹣1，a=nπ+，n∈Z．当k=﹣1时，cos2a=1，a=nπ，n∈Z．∴f（x）的“伴随数对”为（nπ+，1），（nπ，﹣1），n∈Z．（3）∵（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，∴f（1+x）=f（1﹣x），f（2+x）=﹣f（2﹣x），∴f（x+4）=f（x），T=4．当0＜x＜1时，则1＜2﹣x＜2，此时f（x）=f（2﹣x）=﹣cos；当2＜x＜3时，则1＜4﹣x＜2，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=﹣cos；当3＜x＜4时，则0＜4﹣x＜1，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=cos．∴f（x）=．∴f（x）=．∴当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点为2014，2015，2016．百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
