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高一年级第二学期第三次周考数学试题时间90分钟，满分120分命题：一、单选题（每小题5分，共60分）1．函数sin()4y x π=+在闭区间（）上为增函数.A．3[,44ππ-B．[,0]π-C．3[,]44ππ-D．[,]22ππ-2．函数sin y x =与tan y x =的图象在[]2,2ππ-上的交点有A．3个B．5个C．7个D．9个3．在x ∈[0，2π]上满足cos x 12≤的x 的取值范围是A．[0，3π]B．[3π，53π]C．[3π，23π]D．[53π，π]4．函数()cos()0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图像如图所示，则()f x 的单调递增区间为A．(166,162)()k k k z ππ-+∈B．(86,82)()k k k z ππ-+∈C．(86,82)()k k k z -+∈D．(166,162)()k k k z -+∈5．函数cos 1xy x x=++的部分图象大致为A．B．C．D．6．已知()()2sin 2f x x ϕ=+，若对任意1x ，[]2,x a b ∈，()()()()12120x x f x f x --≤，则b a -的最大值为A．πB．4πC．2πD．与ϕ有关7．函数()sin()||2f x x πωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到函数sin()y x ωϕ=-的图象，只需把函数()y f x =的图象A．向右平移3π个长度单位B．向左平移3π个长度单位C．向右平移23π个长度单位D．向左平移23π个长度单位8．已知函数()()2sin 10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>≤⎪⎝⎭，其图象与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，若()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立，则ϕ的取值范围是A．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．,62ππ⎛⎤⎝⎦9．若2,242k k ππαππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()k ∈Z 则sin α，cos α，tan α的大小关系为A．tan sin cos ααα>>B．tan cos sin ααα>>C．tan sin cos ααα<<D．tan cos sin ααα<<10．已知函数()sin()(0,0,π)f x A x A ωϕω=+>>∅<的部分图像如图所示，则函数()cos()g x A x ωϕ=+图像的一个对称中心可能为A．5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B．1,06⎛⎫ ⎪⎝⎭C．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D．11,06⎛⎫-⎪⎝⎭11．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(06,||)2πωϕ<<<的图像经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m=-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则m 的取值范围是A．(]1,1-B．11{1}(,]22-- C．[2,1)-D．{2}(1,1]-- 12．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，4πx =-是函数的一个零点，且4x π=是其图象的一条对称轴.若,96ππ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个单调区间，则ω的最大值为A．18B．17C．15D．13二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．14．设定义在R 上的函数()()0,122f x sin x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭,给出以下四个论断：①()f x 的周期为π；②()f x 在区间,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数；③()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；④()f x 的图象关于直线12x π=对称.以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题（写成“p q ⇒”的形式）______________.（其中用到的论断都用序号表示）15．设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为_____．16．若函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，()f π=下列说法正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）①12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数；②函数()f x 的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③函数()f x 在,24ππ⎡⎤--⎢⎣⎦上单调递增；④将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，可得函数2sin 2y x =的图象；⑤()f x 的对称轴方程为()122k x k z ππ=+∈.三、解答题（17题12分，18题14分，19题14分，共40分）17．已知α是第三象限角，且()()()()()3sin cos 2tan tan 2sin f ππαπααπαααπ⎛⎫-----+ ⎪⎝⎭=--.（1）若31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值；（2）求函数()2sin y f x x =+，2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域.18．某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系式：()102cos 126t f t ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，[)0,24t ∈.（1）求该实验室一天当中上午10时的温度；（2）若某实验需要在不低于11℃的条件下才可以做，那么该实验应该在一天当中的哪个时间段进行？19．已知函数()()sin 0,0,2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭＞＞＜的一系列对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求出函数f(x)的一个解析式；（2）根据（1）的结果，若函数y=f(kx)k>0的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎣⎦时，方程()f kx m =恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.高一年级第二学期第三次周考数学试题参考答案1．A 函数sin(4y x π=+,22242k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得32244k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，所以函数sin()4y x π=+的单调递增区间为,23244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，当0k =，得到函数sin()4y x π=+在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增.故选：A.2．B当[]2,2x ππ∈-时，解方程sin tan x x =，得sin sin cos xx x=，整理得()sin cos 10x x -=，得sin 0x =或cos 1x =.解方程()sin 022x x ππ=-≤≤，解得2x π=-、π-、0、π或2π.解方程()cos 122x x ππ=-≤≤，解得2x π=-、0、2π.因此，方程sin tan x x =在[]2,2x ππ∈-上的解有5个.故选：B.3．B 1cos 2x =时，解得5x 33ππ=，，则1cos 2x ≤，那么5x ,33ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选B 4．D 由图象得62164TT =-⇒=，∵()f x 在(6,2)-单调递增，∴()f x 在(166,162),k k k Z -+∈单调递增.故选：D.5．D 函数cos 1x y x x =++，设()cos xg x x x =+，可得()g x 为奇函数，所以()cos x g x x x=+的图像关于()0,0对称，则cos 1xy x x=++的图像关于()0,1对称，故排除A、C 当x →+∞时，()g x →+∞，即y →+∞，故排除B.故选：D6．C 对任意1x ，[]2,x a b ∈，()()()()12120x x f x f x --≤，即()()12120f x f x x x -≤-∴()f x 在[],x a b ∈是减函数∴b a -的最大值就是一个减区间最大值和最小值之间的距离，即是半个周期。
山西省忻州市第一中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题〔含解析〕一、选择题1.一场考试需要2小时 , 在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为〔 〕 A.3π B. 3π-C.23π D. 23π-【答案】B 【解析】 【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16, 且按顺时针转所形成的角为负角 , 综合以上即可得到此题答案.【详解】因为时针旋转一周为12小时 , 转过的角度为2π , 按顺时针转所形成的角为负角 , 所以经过2小时 , 时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-. 应选 : B【点睛】此题主要考查正负角的定义以及弧度制 , 属于基础题. 2.已知角α的终边经过点P 〔﹣3 , 1〕 , 那么cos 2α＝〔 〕 A.35B. 35-C.45D. 45-【答案】C 【解析】 分析】根据三角函数定义得到3cos 10α=-, 再利用二倍角公式计算得到答案. 【详解】∵角α的终边经过点P 〔﹣3 , 1〕 , ∴cos α()22331031-==--+ ,那么cos 2α＝2cos 2α﹣1＝2910⨯-145= , 应选 : C .【点睛】此题考查了三角函数定义 , 二倍角公式 , 意在考查学生的计算能力. 3.cos70sin 50cos 200sin 40︒︒︒︒-的值为〔 〕A. 32-B.32C. 12-D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式化简到角是锐角 , 再用正弦和差角公式求解. 【详解】由已知得()()()cos 9020sin 9040cos 18020sin 40︒︒︒︒︒+---=sin 20cos 40cos 20sin 3sin .24060︒︒︒︒︒+== 应选B.【点睛】此题考查三角函数的诱导公式和正弦和差角公式.4.已知平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ),那么向量b 在向量a 方向上的投影为( ) A. 1 B. -1 C. 2 D. -2【答案】B 【解析】 【分析】先根据向量垂直得到a (a +2b ),=0 , 化简得到a b =﹣2 , 再根据投影的定义即可求出．【详解】∵平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ), ∴a (a +2b ),=0 , 即()2·20a a b += 即ab =﹣2∴向量b 在向量a 方向上的投影为·22a b a -==﹣1 , 应选B ．【点睛】此题主要考查向量投影的定义及求解的方法 , 公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式． 5.0>ω函数()sin sin22xxf x ωπω+=在[]43ππ-,上单调递增 , 那么ω的范围是 A. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. (]0,2D. [)2,+∞【答案】B 【解析】 【分析】先化简函数的解析式 , 再利用正弦函数的图像和性质分析得到ω的不等式组 , 解之即得解.【详解】由题得111()=sincos sin x 222f x wx wx w = , 所以函数的最小正周期为2T wπ=,因为函数()sin sin 22x xf x ωπω+=在[]43ππ-,上单调递增 ,所以24w 324w4ππππ⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤-⎪⎩ , 又w ＞0 ,所以302w <≤. 应选B【点睛】此题主要考查三角恒等变换和正弦函数的图像和性质 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.已知向量(1,0)a = , (1,3)b = , 那么与2a b -共线的单位向量为( )A. 13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B. 13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C. 3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D. 13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或13,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得 , ()2=1-3a b -，设与2a b -共线的单位向量为(),x y , 利用向量共线和单位向量模为1 , 列式求出,x y 即可得出答案.【详解】因为(1,0)a = , (1,3)b = , 那么()22,0a = ,所以()2=1-3a b -， , 设与2a b -共线的单位向量为(),x y ,那么22301x y x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩ , 解得1232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 或1232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以与2a b -共线的单位向量为13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或13,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭. 应选 : D.【点睛】此题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义. 7.已知()0,απ∈ , 3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ , 那么cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔 〕A.2425B. 2425-C.725D. 725-【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦的二倍角公式先利用sin 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭求得2cos 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭.再由诱导公式求出sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭,再利用同角三角函数关系中的平方关系求得cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.根据角的取值范围,舍去不合要求的解即可. 【详解】因为3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭由余弦二倍角公式可得22237cos 212sin 1233525ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 而2cos 2cos 2sin 23626ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以27sin 2cos 26325ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由同角三角函数关系式可得224cos 21sin 26625ππαα⎛⎫⎛⎫+=±-+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为()0,απ∈ 那么4,333πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,而3sin 035πα⎛⎫+=> ⎪⎝⎭所以,33ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 那么,33ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以22,233ππαπ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32,3262ππππα⎛⎫⎛⎫+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即32,662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭又因为7sin 20625πα⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭,所以32,62ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故cos 206πα⎛⎫+< ⎪⎝⎭所以24cos 2625πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 应选:B【点睛】此题考查了同角三角函数关系式及诱导公式的化简应用,三角函数恒等变形及角的范围确定,综合性较强,属于中档题.8.已知1e , 2e 分别为直角坐标系xOy 的,x y 轴正上方上单位向量 , 1243AC e e =- ,1268BD e e =+ , 那么平行四边形ABCD 的面积为〔 〕A. 25B. 50C. 75D. 100【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积定义可证明AC BD ⊥ , 可知行四边形ABCD 对角线互相垂直 , 结合平面向量模的求法可得,AC BD , 即可求得平行四边形ABCD 的面积.【详解】由题意可知1e , 2e 分别为直角坐标系xOy 的,x y 轴正上方上单位向量 ,1243AC e e =- , 1268BD e e =+ ,那么()()221212112243682414240AC BD e e e e e e e e ⋅=-⋅+=+⋅-= , ∴AC BD ⊥ ,那么平行四边形ABCD 对角线垂直 , ()22435AC =+-= , 226810BD =+= ,所以面积为1510252⨯⨯=. 应选 : A.【点睛】此题主要考查平面向量的运算与几何意义 , 平面向量数量积的运算 , 属于基础题. 9.设42ππx ≤≤ , 那么1sin 21sin 2x x ++-=〔 〕 A. 2sin x B. 2cos xC. 2sin x -D. 2cos x -【答案】A 【解析】 【分析】由x 的范围 , 和三角函数线得sin cos x x > , 将1sin 21sin 2x x ++-化简 , 得答案. 【详解】因为42ππx ≤≤ , 由三角函数线的图像可知sin cos x x > , 那么22221sin21sin2sin cos 2sin cos sin cos 2sin cos x x x x x x x x x x ++-=++++-()()22sin cos sin cos x x x x =++-sin cos sin cos 2sin x x x x x =++-=应选 : A【点睛】此题考查利用同角三角函数关系和二倍角的正弦公式化简 , 还考查了判断三角函数值的大小 , 属于简单题.10.设ABC ∆中BC 边上的中线为AD , 点O 满足2AO DO =- , 那么OC =〔〕 A. 1233AB AC -+ B.2133AB AC - C.1233AB AC - D.2133AB AC -+ 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知关系式及向量的加减法运算计算即可． 【详解】ABC ∆中BC 边上的中线为AD , 点O 满足2AO DO =- , 如下列图 :由22AO DO OD =-= , 且D 为BC 的中点 , 所以O 为AD 的三等分点靠近点D , 且2AD AB AC =+ , ∴()2133AO AD AB AC ==+ , 又2133BO BD BA =+ , 从而2OD OB OC =+ , 即AO OB OC =+ , 所以OC AO OB AO BO =-=+=()13AB AC ++2133BD BA + =()()111123333333BC AC AB AC ABAB AC BA AB AC AB --+++=++-=. 应选 : A【点睛】此题考查向量的加减法运算 , 三角形中线的性质应用 , 平面向量基本定理的应用 , 属于中档题． 11.将函数()3sin2cos2f x x x =-向左平移6π个单位 , 得到()g x 的图象 , 那么()g x 满足〔 〕 A. 图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 , 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B. 函数最大值为2 , 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 图象关于直线6x π=对称 , 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D. 最小正周期为π , ()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式化简三角函数式 , 结合三角函数图象平移变换即可求得()g x 的解析式 , 结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项. 【详解】函数()3sin2cos2f x x x =- ,那么()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,将()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移6π个单位 , 可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ , 由正弦函数的性质可知 , ()g x 的对称中心满足2,6x k k Z ππ+=∈ , 解得,122k x k Z ππ=-+∈ , 所以A 、B 选项中的对称中心错误 ;对于C , ()g x 的对称轴满足22,62x k k Z πππ+=+∈ , 解得,6x k k Z ππ=+∈ , 所以图象关于直线6x π=对称 ; 当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 , 52,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ , 由正弦函数性质可知[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ , 所以在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 , 所以C 正确 ; 对于D , 最小正周期为22ππ= , 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ , 由正弦函数的图象与性质可知 , 2sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时仅有一个解为0x = , 所以D 错误 ;综上可知 , 正确的为C , 应选 : C.【点睛】此题考查了三角函数式的化简 , 三角函数图象平移变换 , 正弦函数图象与性质的综合应用 , 属于中档题. 12.已知函数22log (1),0()4,0x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩, 那么函数()()1g x f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数为( ) A. 4 B. 7C. 8D. 9【答案】B 【解析】 【分析】令()f x t = , 求得()1f t =的根 , 再求()f x t =的根 , 那么问题得解. 【详解】令()f x t = , 那么可得()1f t = ,当0t ≤时 , 即可得()2log 11t -= , 解得1t =- ; 当0t >时 , 即可得241t t -+= , 解得2t =3±. 那么()1f x =- , 或()2f x =3+ , 或()23f x =- 当0x ≤时 ,令()2log 11x -=- , 解得12x =, 不满足题意 ; 令()2log 123x -=+ , 解得23120x +=-≤ , 满足题意 ; 令()2log 123x -=- , 解得23120x -=-≤ , 满足题意.当0x >时 ,令241x x -+=- , 解得25x =+或25x =-(舍) ; 令2423x x -+=+ , 整理得24230x x -++= , 解得6222x -=+或6222x -=-满足题意 ; 令2423x x -+=- , 整理得2622x +=+或2622x +=-满足题意. 综上所述 , 函数零点有2323622612,1?2,?25,?2,?222+--+--+±±共计7个. 应选 : B.【点睛】此题考查函数零点的求解 , 涉及对数运算 , 属基础题. 二．填空题13.[九章算术]是中国古代的数学名著 , 其中[方田]一章给出了弧田面积的计算公式．如下列图 , 弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形 , 假设弧田的弧AB 长为4π , 弧所在的圆的半径为6 , 弧田的面积__________．【答案】1293π-【解析】【分析】先求得圆心角 , 再根据扇形面积公式 , 即可求得结果.【详解】设圆弧AB 所对圆心角的弧度为α , 由题可知64απ⨯= 解得23πα=. 故扇形AOB 的面积为1122l r π⨯⨯= , 三角形AOB 的面积为212sin 69323π⨯⨯= , 故弧田的面积为1293π-.故答案为 : 1293π-【点睛】此题考查扇形的面积公式、弧长的计算公式 , 属综合基础题.14.已知向量()()4,2,,1a b λ== , 假设a 与b 的夹角是锐角 , 那么实数λ的取值范围为______. 【答案】()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由a 与b 的夹角为锐角 , 那么0a b ⋅> , 列出不等式解出λ , 要去掉使a 与b 同向〔a 与b 的夹角为0〕的λ的取值.【详解】∵a 与b 的夹角为锐角∴0a b ⋅> , 即420λ+> , 解得12λ>-, 当2λ=时 , a 与b 同向 ,∴实数λ的取值范围是()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭故答案为 : ()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】此题考查的知识点是向量数量积的性质及运算律 , 将夹角转化为数量积与0的关系是解题的关键 , 属于中档题.15.假设sin 211cos 23αα=- , ()tan 21βα-= , 那么tan αβ______．【答案】2【解析】【分析】先求出tan α , 再由()2αβαβα-=---结合两角差的正切公式可求()tan αβ-. 【详解】因为sin 211cos 23αα=- , 故22sin cos 112sin tan 3αααα==即tan 3α= , 所以()tan 3α-=-()()()()()()()tan tan 2tan tan 21tan tan 2αβααβαβααβα----=⎡---⎤=⎣⎦+-- ()312131--==+-⨯. 故答案为 : 2.【点睛】三角函数的化简求值问题 , 可以从四个角度去分析 : 〔1〕看函数名的差异 ; 〔2〕看结构的差异 ; 〔3〕看角的差异 ; 〔4〕看次数的差异．对应的方法是 : 弦切互化法、辅助角公式〔或公式的逆用〕、角的分拆与整合〔用已知的角表示未知的角〕、升幂降幂法．16.对以下命题 : 〔1〕假设向量a 与b 同向 , 且||||a b > , 那么a b > ; 〔2〕假设向量||||a b = , 那么a 与b 的长度相等且方向相同或相反 ; 〔3〕对于任意向量||||a b = , 假设a 与b 的方向相同 , 那么a b = ; 〔4〕由于0方向不确定 , 故0不与任意向量平行 ; 〔5〕向量a 与b 平行 , 那么向量a 与b 方向相同或相反．其中正确的命题的个数为________【答案】1【解析】【分析】根据向量的定义以及相关概念 , 对选项进行逐一分析即可.【详解】〔1〕向量不可比拟大小 , 故〔1〕错误 ;〔2〕向量的模长相等 , 不能确定方向的关系 , 故〔2〕错误 ;〔3〕当向量模长相等 , 且方向相同时 , 那么向量相等 , 故〔3〕正确 ;〔4〕0与任意向量平行 , 故〔4〕错误 ;〔5〕假设a 与b 有一个向量是零向量 , 那么方向不确定 , 故〔5〕错误.故正确的命题个数为1. 故答案为 : 1.【点睛】此题考查向量的定义、性质和相关概念 , 属基础题.三、解答题17.已知 , 5cos 5α= , ()10sin 10αβ-= , 且α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ , 求 : 〔1〕cos(2)αβ-的值 ;〔2〕β的值.【答案】〔1〕210; 〔2〕4πβ=. 【解析】【分析】 〔1〕由同角三角函数的关系可以得出sin α与()cos αβ-的值 , 再将()()cos 2cos αβααβ⎡⎤-=+-⎣⎦根据两角和的余弦公式展开 , 根据已知代入计算即可得出此式的正确结果 ;〔2〕()2cos cos 2βααβ⎡⎤=--=⎣⎦ , 结合β的范围可得β的取值. 【详解】〔1〕因为α , 0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ , 所以,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ , 又因为()10sin 10αβ-= , 那么()310cos 10αβ-= , 而25sin 5α= ,()()()()2cos 2cos cos cos sin sin 10αβααβααβααβ⎡⎤-=+-=---=⎣⎦ , 〔2〕()()()2cos cos cos cos sin sin 2βααβααβααβ⎡⎤=--=-+-=⎣⎦ , 又0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 4πβ∴=. 【点睛】此题考查利用两角和与差的余弦公式求值以及给值求角的问题 , 同时也考查了同角三角函数平方关系的应用 , 在处理给值求角的问题 , 要计算出所求角的取值范围 , 考查运算求解能力 , 属于中等题.18.如下列图,点C 是点B 关于点A 的对称点,点D 是线段OB 的一个靠近点B 的三等分点,设,AB a AO b ==.(1)用向量a 与b 表示向量,OC CD ;(2)假设45OE OA =,求证:C ,D ,E 三点共线. 【答案】(1)OC b a =--,5133CD a b =+;(2)证明见解析. 【解析】【分析】〔1〕根据题意 , 利用向量的加法与减法的几何意义 , 得出OC OA AC =+ , CD CB BD =+ , 即可用a 、b 表示 ;〔2〕由45OE OA = , 只需找到CD 与CE 的关系 , 即可得证. 【详解】解 : (1)∵AB a =,AO b =,∴OC OA AC b a =+=--,11151()2()33333CD CB BD CB BO CB BA AO a a b a b =+=+=++=+-+=+. (2)证明: 45OE OA = ()413555CE OE OC b a b a b CD ∴=-=-++=+=, ∴CE 与CD 平行,又∵CE 与CD 有共同点C ,∴C , D , E 三点共线.【点睛】此题考查了平面向量的加法与减法的几何意义以及向量共线的应用问题 , 属于基础题．19.为了践行习总书记提出的〞绿水青山就是金山银山 , 坚持人与自然和谐共生〞的理念 , 我市在经济速发展同时 , 更注重城市环境卫生的治理 , 经过几年的治理 , 市容市貌焕然一新 , 为了调查市民对城区环境卫生的满意程度 , 研究人员随机抽取了1000名市民进行调查 , 并将满意程度统计成如下列图的频率分布直方图 , 其中2a b ＝．〔1〕求,a b 的值 ;〔2〕假设按照分层抽样的方式从[)[)50,60,60,70中随机抽取5人 , 再从这5人中随机抽取2人 , 求至少有1人的分数在[50 , )60的概率．【答案】〔1〕a ＝0.030 , b ＝ 0.015．〔2〕710【解析】【分析】〔1〕由频率分布直方图列出方程组 , 由此能求出,a b ．〔2〕[)[)50,60,60,70两段频率比为0.1:0.152:3= , 按照分层抽样的方式从[)[)50,60,60,70中随机抽取5人 , 分数在[)50,60中抽取2人 , 记为12,a a , 分数在[)60,70中抽取3人 , 记为1b , 2b , 3b , 从这5人中随机抽取2人 , 利用列举法能求出至少有1人的分数在[)50,60的概率．【详解】解 : 〔1〕由频率分布直方图得 :(0.010.0350.01)101a b ++++⨯= ,0.045a b ∴+= ,又2a b = ,解得0.030a = , 0.015b =．〔2〕[50 , 60) , [60 , 70)两段频率比为0.1:0.152:3= ,∴按照分层抽样的方式从[50 , 60) , [60 , 70)中随机抽取5人 ,分数在[50 , 60)中抽取2人 , 记为1a , 2a ,分数在[60 , 70)中抽取3人 , 记为1b , 2b , 3b ,∴从这5人中随机抽取2人的所有情况为 :1(a , 2)a , 1(a , 1)b , 1(a , 2)b , 1(a , 3)b , 2(a , 1)b , 2(a , 2)b ,2(a , 3)b , 1(b , 2)b , 1(b , 3)b , 2(b , 3)b , 共10个 ,其中 , 至少有1人的分数在[50 , 60)包含的基本领件有7个 ,∴至少有1人的分数在[50 , 60)的概率710P =． 【点睛】此题考查古典概型概率的求法 , 考查频率分布直方图、列举法、分层抽样等基础知识 , 考查运算求解能力．20.已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,()()sin 002g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的局部图象如下列图.(1)求()g x 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象;(2)假设对于任意的46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,变换见解析;(2)3122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，. 【解析】【分析】〔1〕先根据图象求出()g x 的解析式 ; 再结合图象变化规律说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象 ; 〔2〕先结合正弦函数的性质求出()f x 的范围 ; 再结合恒成立问题即可求解.【详解】(1)由图得112A ω==，, 因为203π⎛⎫-⎪⎝⎭，为函数递增区间上的零点, 所以21232k k Z πϕπ-⋅+=∈，,即23k k Z πϕπ=+∈，. 因为2πϕ<,所以3πϕ=, 即()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ , 将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移3π个单位长度可得()g x ; (2)因为46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,所以2632x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，, 所以当263x ππ+=-时,()f x 取最小值32-, 当262x ππ+=时,()f x 取最大值1,因为()2f x m -<恒成立,即()22m f x m -+<<+恒成立,所以32212m m ⎧-+<-⎪⎨⎪<+⎩, 即3122m ⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭，. 【点睛】此题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的局部图象求解析式 , 诱导公式 , 函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律 , 以及恒成立问题 , 属于中档题.21.已知点A 、B 、C 的坐标分别为()3,0A 、()0,3B 、()cos ,sin C αα , 3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭. 〔1〕假设AC BC = , 求角α的值 ; 〔2〕假设1AC BC ⋅=- , 求22sin sin21tan ααα++的值. 【答案】〔1〕54π ; 〔2〕95- 【解析】【分析】〔1〕根据两向量的模相等 , 利用两点间的距离公式建立等式求得tan α的值 , 根据α的范围求得α ; 〔2〕根据向量的基本运算根据 1AC BC ⋅=- , 求得sin α和cos α的关系式 , 然后用同角和与差的关系可得到52sin cos 9αα=- , 再由化简可得22sin sin 2 2sin cos 1tan ααααα+=+ , 进而可确定答案． 【详解】〔1〕∵AC BC = , ∴()()()()22223cos 0sin ?0cos 3sin αααα-+-=-+-化简得tan 1α= , ∵3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭ , ∴54πα=． 〔2〕∵ 1AC BC ⋅=- ,∴()()cos 3,sin cos ,sin 31αααα-⋅-=- ,∴2sin cos 3αα+= , ∴52sin cos 9αα=- ,∴()22sin cos sin cos 2sin sin 25 2sin cos 1tan sin cos 9ααααααααααα++==-++＝． 【点睛】此题主要考查两角和与差的基本关系和三角与向量的综合题 , 属于中档题.22.已知函数24()(0,1)2x x a a f x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. 〔1〕求a 的值 :〔2〕求函数()f x 的值域 ;〔3〕当[]1,2x ∈时 , ()220x mf x +->恒成立 , 求实数m 的取值范围. 【答案】〔1〕2a =〔2〕()1,1-〔3〕(10,3)+∞ 【解析】【分析】 〔1〕利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性 , 求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立 , 分离参数m ,利用换元法 , 结合函数的单调性求解最大值 , 推出结果即可.【详解】〔1〕∵()f x 是R 上的奇函数 ,∴()()f x f x -=-即 : 242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.〔2〕222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +> ,22021x ∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+∴函数()f x 的值域为()1,1-.〔3〕由()220xmf x +-> 可得 , ()2 2xmf x >- , 21()2221x x x mf x m -=>-+. 当[]1,2x ∈时 , (21)(22)21x x x m +->- 令(2113)x t t -=≤≤〕 , 那么有(2)(1)21t t m t t t+->=-+ , 函数21y t t=-+在1≤t ≤3上为增函数 , ∴max 210(1)3t t -+= , 103m ∴> , 故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】此题主要考查了函数恒成立条件的应用 , 函数的单调性以及函数的奇偶性的应用 , 属于中档题.。
山西省忻州市高一下学期期中数学试卷（实验班）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·黑龙江月考) 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·安庆月考) 已知是定义在R上的偶函数,且若当时, ,则（）A .B . 6C .D .3. （2分）执行如图的序框图，如果输入p=5，则输出的S=（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·绵阳模拟) 下表是某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据，用最小二乘法得到关于的线性回归方程，则（）A . 0.25B . 0.35C . 0.45D . 0.555. （2分）(2017·孝义模拟) 现有三张卡片，正面分别标有数字1，2，3，背面完全相同，将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是（）A .B .C .D .6. （2分）若函数的图象向左平移个单位得到的图象，则（）A .B .C .D .7. （2分）若是△的一个内角，且，则的值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二下·温州期中) 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），其部分图象如图所示，点P，Q分别为图象上相邻的最高点与最低点，R是图象与x轴的交点，若P点的横坐标为，f（）= ，PR⊥QR，则函数f（x）的解析式可以是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二上·邹平期中) 方程2x+x=0的根所在的区间是（）A . （﹣1，﹣）B . （﹣，0）C . （0，）D . （，1）10. （2分）频率分布直方图中最高小矩形的中间位置所对数据的数字特征是（）A . 中位数B . 众数C . 平均数D . 标准差11. （2分） (2019高三上·深州月考) 设，，，则（）A .B .C .D .12. （2分）设函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x，g（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1，把f（x）的图象向右平移m个单位后，图象恰好为函数g（x）的图象，则m的值可以是（）A . πB . πC .D .二、填空题 (共6题；共7分)13. （1分） (2017高三下·长宁开学考) 从0，1，2，…，9这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f（x）=ax2+bx+c的系数，则使得∈Z的概率为________．14. （1分）(2013·江西理) 函数y= 最小正周期T为________．15. （1分） (2016高一上·和平期中) 数的定义域为________．16. （1分）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为________（把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分）．17. （2分）已知函数y=asinx+2b（a＞0）的最大值为4，最小值为0，则a+b=________；此时函数y=bsinax 的最小正周期为________．18. （1分）已知sin2α=，则cos2（α+）=________三、解答题 (共5题；共50分)19. （10分） (2016高一下·新乡期末) 化简求值：（1）（2）tan20°+4sin20°．20. （15分） (2016高一下·龙岩期中) 为了培养学生的安全意识，某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动，共有800 名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100 分）进行统计，得到如下的频率分布表，请你根据频率分布表解答下列问题：序号（i）分组（分数）组中值（Gi）频数（人数）频率（Fi）1[60，70）65①0.102[70，80）7520②3[80，90）85③0.204[90，100）95④⑤合计501（1）求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值；（2）为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识，成绩不低于85分的学生能获奖，请估计在参加的800名学生中大约有多少名学生获奖？（3）在上述统计数据的分析中，有一项指标计算的程序框图如图所示，则该程序的功能是什么？求输出的S 的值．21. （5分）某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：t03691215182124y10139.97101310.1710经过长期观测，y=f（t）可近似的看成是函数y=Asinωt+b（1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式；（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？22. （5分）在10立方米的沙子中藏有一个玻璃球，假定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可能的，若取出1立方米的沙子．求取出的沙子中含有玻璃球的概率．23. （15分）(2020·华安模拟) 已知函数在区间上的最小值为3，（1）求常数的值；（2）求的单调增区间；（3）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象向右平移个单位，得到函数，求函数的解析式.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共7分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共5题；共50分) 19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、23-1、23-2、23-3、。
2019-2020年高一数学下学期期中试卷（含解析）一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题3分，共36分）1．（3分）（2015春•太原校级期中）若锐角α、β满足cosα＞sinβ则下列各式正确的是（）A．α+β＜B．α+β=C．α+β＞D．α＞β2．（3分）（2015春•太原校级期中）直线y=1与函数f（x）=cos（2x﹣）的图象相交，则相邻两交点间的距离是（）A． B．πC．2πD． 4π3．（3分）（2009秋•工农区校级期末）若α是第一象限角，则下列各角中第四象限的角是（）A．90°﹣αB．90°+αC．360°﹣αD．180°+α4．（3分）（2015春•太原校级期中）﹣π化为角度应为（）A．345°B．﹣345°C．235°D．﹣435°5．（3分）（2012•福建）函数f（x）=sin（x﹣）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=﹣D． x=﹣6．（3分）（2012秋•内江期末）用“五点法”作y=2sin2x的图象是，首先描出的五个点的横坐标是（）A．B．C．0，π，2π，3π，4πD．7．（3分）（2015春•瑞安市期中）sin600°=（）A．B．C．﹣D．﹣8．（3分）（2015春•瑞安市期中）已知角α，β均为锐角，且cosα=，tan（α﹣β）=﹣，tanβ=（）A．B． C． D． 39．（3分）（2015•九江一模）已知tanα=﹣，则sin2α=（）A． B．﹣C．﹣D．10．（3分）（2013•潼南县校级模拟）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第几象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．（3分）（2015春•保山校级期中）在△ABC中，已知a2+b2=c2﹣ab，则∠C=（）A．30°B．45°C．150°D．135°12．（3分）（2013•安徽模拟）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A，ω，ϕ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π；②将f（x）的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数；③f（0）=1；④；⑤．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①④⑤D．②③⑤二、填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）（2015春•太原校级期中）已知||=2，||=3，，的夹角为60°，则|2﹣|=．14．（4分）（2015春•太原校级期中）已知向量，满足||=1，||=3，|2+|=，则与的夹角为．15．（4分）（2015•崇川区校级一模）已知函数f（x）=sin（2x+）若y=f（x﹣φ）（0＜φ＜）是偶函数则φ= ．16．（4分）（2015春•太原校级期中）设f（x）=sin，则：f（1）+f（2）+f（3）+…+f （2012）= ．三、解答题（共48分，写出必要的证明、推理、计算过程）17．（8分）（2015春•太原校级期中）已知=（1，0），=（2，3），求（2﹣）•（+）的值．18．（10分）（2015春•娄底期末）已知向量、满足：||=1，||=4，且、的夹角为60°．（1）求（2﹣）•（+）；（2）若（+）⊥（λ﹣2），求λ的值．19．（10分）（2015春•太原校级期中）已知函数f（x）=sinx+cosx．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的最值及取到最小值的x的集合．20．（10分）（2011秋•保定校级期末）已知α为第三象限角，．（1）化简f（α）；（2）若，求f（α）的值．21．（10分）（2015春•太原校级期中）已知函数f（x）=（sinωx+cosωx）2﹣1（其中ω＞0），且函数f（x）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．2014-2015学年山西省太原市外国语学校高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题3分，共36分）1．（3分）（2015春•太原校级期中）若锐角α、β满足cosα＞sinβ则下列各式正确的是（）A．α+β＜B．α+β=C．α+β＞D．α＞β考点：正弦函数的单调性；三角函数线．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式以及正弦函数的单调性推出结果即可．解答：解：锐角α、β满足cosα＞sinβ，可得sin（）＞sinβ．可得，∴α+β＜．故选：A．点评：本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的单调性的应用，考查计算能力．2．（3分）（2015春•太原校级期中）直线y=1与函数f（x）=cos（2x﹣）的图象相交，则相邻两交点间的距离是（）A． B．πC．2πD． 4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用三角函数的最值，求解函数的周期即可．解答：解：函数f（x）=cos（2x﹣）的最大值为1，直线y=1与函数f（x）=cos（2x ﹣）的图象相交，相邻两交点间的距离是函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期，T=．故选：B．点评：本题考查三角函数的周期的应用，周期的求法，考查转化思想以及计算能力．3．（3分）（2009秋•工农区校级期末）若α是第一象限角，则下列各角中第四象限的角是（）A．90°﹣αB．90°+αC．360°﹣αD．180°+α考点：象限角、轴线角；终边相同的角．专题：常规题型．分析：由α所在的象限判断出﹣α所在的象限是第四象限，再由任意角的定义判360°π﹣α所在的象限．解答：解：∵α是第一象限的角，∴﹣α是第四象限角，则由任意角的定义知，360°﹣α是第四象限角．故选C．点评：本题考查象限角和任意角的定义还有终边相同的角，主要是对定义的理解，注意符号与角的旋转方向有关，本题是一个基础题．4．（3分）（2015春•太原校级期中）﹣π化为角度应为（）A．345°B．﹣345°C．235°D．﹣435°考点：象限角、轴线角．专题：三角函数的求值．分析：根据弧度和角度之间的关系进行转化即可．解答：解：∵πrad=180°，∴﹣π=﹣×180°=﹣345°，故选：B．点评：本题主要考查弧度制和角度值之间的转化，比较基础．5．（3分）（2012•福建）函数f（x）=sin（x﹣）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=﹣D． x=﹣考点：正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：将内层函数x﹣看做整体，利用正弦函数的对称轴方程，即可解得函数f（x）的对称轴方程，对照选项即可得结果解答：解：由题意，令x﹣=kπ+，k∈z得x=kπ+，k∈z是函数f（x）=sin（x﹣）的图象对称轴方程令k=﹣1，得x=﹣故选 C点评：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，三角复合函数对称轴的求法，整体代入的思想方法，属基础题6．（3分）（2012秋•内江期末）用“五点法”作y=2sin2x的图象是，首先描出的五个点的横坐标是（）A．B．C．0，π，2π，3π，4πD．考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据“五点法”作图，只需令2x=0，，π，，2π，即可解得答案．解答：解：由“五点法”作图知：令2x=0，，π，，2π，解得x=0，，，，π，即为五个关键点的横坐标，故选B．点评：本题考查”五点法”作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，y=sinx的第一个周期内五个关键点：（0，0），（，1），（π，0），（，﹣1），（2π，0）．7．（3分）（2015春•瑞安市期中）sin600°=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：sin600°=sin（480°+120°）=sin120°=sin（180°﹣60°）=﹣sin60°=﹣，故选：D．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．8．（3分）（2015春•瑞安市期中）已知角α，β均为锐角，且cosα=，tan（α﹣β）=﹣，tanβ=（）A．B． C． D． 3考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得 tanα的值，再根据tan（α﹣β）=﹣，利用两角差的正切公式求得tanβ的值．解答：解：∵角α，β均为锐角，且cosα=，∴sinα=，tanα=，又tan（α﹣β）===﹣，∴tanβ=3，故选：D．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式的应用，属于基础题．9．（3分）（2015•九江一模）已知tanα=﹣，则sin2α=（）A． B．﹣C．﹣D．考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：应用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可化简，代入已知即可求值．解答：解：∵，故选：B．点评：本题主要考察了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．10．（3分）（2013•潼南县校级模拟）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第几象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：由题意，推导出，确定α的象限，然后取得结果．解答：解：∵P（tanα，cosα）在第三象限，∴，由tanα＜0，得α在第二、四象限，由cosα＜0，得α在第二、三象限∴α在第二象限．故选B．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．11．（3分）（2015春•保山校级期中）在△ABC中，已知a2+b2=c2﹣ab，则∠C=（）A．30°B．45°C．150°D．135°考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理表示出cosC，把已知等式变形后代入求出cosC的值，即可确定出C 的度数．解答：解：∵在△ABC中，a2+b2=c2﹣ab，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC==﹣，则∠C=135°．故选：D．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．12．（3分）（2013•安徽模拟）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A，ω，ϕ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π；②将f（x）的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数；③f（0）=1；④；⑤．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①④⑤D．②③⑤考点：命题的真假判断与应用．专题：压轴题；三角函数的图像与性质．分析：根据已知中函数y=Asin（ωx+ϕ）（ω＞0）的图象，可分析出函数的最值，确定A 的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，﹣2）代入解析式，可求出ϕ值，进而求出函数的解析式，最后对照各选项进行判断即可．解答：解：由图可得：函数函数y=Asin（ωx+ϕ）的最小值﹣|A|=﹣2，令A＞0，则A=2，又∵=﹣，ω＞0∴T=π，ω=2，∴y=2sin（2x+ϕ）将（，﹣2）代入y=2sin（2x+ϕ）得sin（+ϕ）=﹣1即+ϕ=+2kπ，k∈Z即ϕ=+2kπ，k∈Z∴f（x）=2sin（2x+）．∴f（0）=2sin=，f（x+）=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）．f（）=2sin（+）=1．对称轴为直线x=，一个对称中心是（，0），故②③不正确；根据f（x）=2sin（2x+）的图象可知，④正确；由于f（x）=2sin（2x+）的图象关于点（，0）中心对称，故⑤正确．综上所述，其中正确的是①④⑤．故选C．点评：本题考查的知识点正弦型函数解析式的求法，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出A，ω和φ值．二、填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）（2015春•太原校级期中）已知||=2，||=3，，的夹角为60°，则|2﹣|=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用模的平方化简所求模的表达式，然后开方求解即可．解答：解：||=2，||=3，，的夹角为60°，则|2﹣|2=4﹣4•+=4×4+9=13．∴|2﹣|=．故答案为：．点评：本题考查平面向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．14．（4分）（2015春•太原校级期中）已知向量，满足||=1，||=3，|2+|=，则与的夹角为．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据向量数量积的公式求出•即可．解答：解：∵|2+|=，∴平方得4||2+4•+||2=10，即4+4•+18=10，∴•=﹣3，则与的夹角θ，满足cosθ==，则θ=，故答案为：点评：本题主要考查向量的数量积的应用，根据数量积的公式求出•是解决本题的关键．15．（4分）（2015•崇川区校级一模）已知函数f（x）=sin（2x+）若y=f（x﹣φ）（0＜φ＜）是偶函数则φ= ．考点：正弦函数的奇偶性．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求得f（x﹣φ）=sin（2x﹣2φ+），由y=f（x﹣φ）是偶函数，可得﹣2φ+=k，k∈Z，即可根据φ的范围解得φ的值．解答：解：∵f（x）=sin（2x+）∴y=f（x﹣φ）=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x﹣2φ+）∵y=f（x﹣φ）是偶函数∴﹣2φ+=k，k∈Z从而解得：φ=﹣，k∈Z∵0＜φ＜∴可解得：φ=．故答案为：．点评：本题主要考查了正弦函数的奇偶性，由y=f（x﹣φ）是偶函数得到﹣2φ+=k，k∈Z是解题的关键，属于基础题．16．（4分）（2015春•太原校级期中）设f（x）=sin，则：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）= ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由三角函数的周期公式求很粗f（x）的周期，并求出一个周期内的所有函数值，利用周期性求出式子的值．解答：解：由题意得，函数f（x）的周期T==6，∴f（1）=sin=，f（2）=sin=，f（3）=sinπ=0，f（4）=sin=﹣，f（5）=sin=﹣，f（6）=sin2π=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）=0，∵2012=335×6+2，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=f（1）+f（2）=+=，故答案为：．点评：本题考查利用函数的周期性求函数值，以及三角函数的周期公式，属于基础题．三、解答题（共48分，写出必要的证明、推理、计算过程）17．（8分）（2015春•太原校级期中）已知=（1，0），=（2，3），求（2﹣）•（+）的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利于已知条件求出2﹣，+，然后利用坐标运算求解即可．解答：解：∵=（1，0），=（2，3），∴2﹣=（0，﹣3），+=（3，3），∴（2﹣）•（+）=﹣9．点评：本题考查平面向量的数量积的运算，向量的坐标运算，基本知识的考查．18．（10分）（2015春•娄底期末）已知向量、满足：||=1，||=4，且、的夹角为60°．（1）求（2﹣）•（+）；（2）若（+）⊥（λ﹣2），求λ的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）由条件利用两个向量的数量积的定义，求得的值，可得（2﹣）•（+）的值．（2）由条件利用两个向量垂直的性质，可得，由此求得λ的值．解答：解：（1）由题意得，∴．（2）∵，∴，∴，∴λ+2（λ﹣2）﹣32=0，∴λ=12．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．19．（10分）（2015春•太原校级期中）已知函数f（x）=sinx+cosx．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的最值及取到最小值的x的集合．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用辅助角公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ），然后直接代入周期公式求周期；（2）函数的定义域为R，则函数的最大值为A，最小值为﹣A，由ωx+φ=+2kπ（k∈Z）求解使函数取得最小值时的x的集合．解答：解：（1）f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），∴T==2π；（2）由（1）可知，f（x）最大值=2，f（x）最小值=﹣2．由2sin（x+）=﹣2，即sin（x+）=﹣1．∴x+=+2kπ，k∈Z．解得x=+2kπ，k∈Z．∴f（x）取到最小值的x的集合为{x|x=+2kπ，k∈Z}．点评：本题考查了两角和与差的三角函数，考查了三角函数的周期性及其求法，训练了三角函数的最值得求法，解答的关键是y=asinθ+bcosθ的化积问题，是中档题．20．（10分）（2011秋•保定校级期末）已知α为第三象限角，．（1）化简f（α）；（2）若，求f（α）的值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：（1）直接利用诱导公式化简求解即可．（2）通过，求出sinα，然后求出cosα，即可得到f（α）的值．解答：解：（1）（2）∵∴从而又α为第三象限角∴即f（α）的值为．点评：本题是基础题，考查三角函数的诱导公式的应用，函数值的求法，注意角的范围的应用．21．（10分）（2015春•太原校级期中）已知函数f（x）=（sinωx+cosωx）2﹣1（其中ω＞0），且函数f（x）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（2）+1，由三角函数的周期性及其求法即可得解．（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+）+1，当x∈[﹣，]时，可求2x+∈[﹣，]，由正弦函数的性质即可得解．解答：解：（1）因为f（x）=（sinωx+cosωx）2﹣1=（sin2ωx+3cos2ωx+2sinωxcosωx）﹣1=2cos2ωx+sin2ωx （2分）=cos2ωx+（4分）=2sin（2）+1，（6分）因为函数f（x）的最小正周期为π，所以2ω=，所以ω=1；（8分）（2）由（1）知，函数f（x）=2sin（2x+）+1，当x∈[﹣，]时，2x∈[﹣，]，2x+∈[﹣，]，所以当x=﹣时，函数取得最小值f（﹣）=﹣，（11分）当x=时，函数取得最大值f（）=3．（13分）点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．。
2019学年山西省高一下期中文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 的值等于（________ ）A．_________ B．_________ C．______________________ D．2. 与函数相同的函数是（________ ）A．_______________________________ B．C．____________________________ D．且3. 下列结论一定正确的是（________ ）A．圆心角为弧度的扇形的弧长都相等B．角是第四象限角，则C．第二象限的角比第一象限的角大D．第一象限的角是锐角4. 下列函数是偶函数的是（________ ）A．______________ B．______________ C．______________ D．5. 如图所示，程序框图的输出结果是（________ ）A．3______________ B．8______________ C．5______________ D．46. 设角的终边上一点的坐标是，则等于（________ ）A．___________________ B．_________________ C．________________ D．7. 掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是（________ ）A．_________________ B．___________________ C．________________ D．8. 向高为的水瓶中匀速注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系如下面左图所示，那么水瓶的形状是（________ ）9. 如图所示，在中，，若，，则（________ ）A．______________ B．______________ C．______________ D．10. 已知函数，下列结论中正确的是（________ ）A．的最小正周期是______________________________ B．的一条对称轴是C．的一个对称中心是______________ D．是奇函数11. 函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于（________ ）A．_________ B． 3 _________________ C． 6____________________ D． 912. 在中，点在线段上，且满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则（________ ）A．是定值，定值为2___________ B．是定值，定值为3C．是定值，定值为2______________ D．是定值，定值为 3二、填空题13. 已知 , 与的夹角为，则在上的射影为____________________ .14. 已知，，且，则____________________ .15. 已知，， ,则____________________ .16. 已知三点的坐标分别是，，若，则____________________ .三、解答题17. 已知，， .（1）求的值；（2）求证：与互相垂直.18. 已知，，其中都是锐角.求（1）的值；（2）的值.19. 设平面三点 .（1）试求向量的模；（2）试求向量与夹角的余弦值；（3）试求与垂直的单位向量的坐标.20. 已知函数的部分图象如图所示：（1）求函数的解析式；（2）求出函数的单调递增区间.21. 已知函数 .（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，求函数的最大值和最小值.22. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，三点满足 . （1）求证：三点共线；（2）求的值；（3）已知，，，的最小值为，求实数的值.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
山西省忻州市2019-2020学年高一数学下学期4月网上联考试题（含解析）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：必修4第一章和第三章.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.512π=（ ） A. 85° B. 80°C. 75°D. 70°【答案】C 【解析】 【分析】 根据180π=代入512π换算，即可得答案； 【详解】180π=，∴75512121805π=⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查弧度制与角度制的换算，考查运算求解能力，属于基础题. 2.cos750︒=（ ）A. 12-B.12C. D.2【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式可得cos750cos30=，利用特殊角三角函数值，即可得答案；【详解】cos 750cos(72030)cos303=+==. 故选：D.【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题. 3.已知角α的终边过点()cos2,tan 2，则角α为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】根据cos20,tan20<<，即可得答案； 【详解】cos20,tan20<<，∴点()cos2,tan 2在第三象限，∴角α为第三象限角.故选：C.【点睛】本题考查三角函数在各个象限的符号，考查运算求解能力，属于基础题.4.为了得到函数cos3y x =的图象，只需把函数cos 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）A. 向左平移6π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度 C. 向右平移6π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】对比两个函数中自变量x 的变化情况，再结合“左加右减”的平移原则，即可得答案； 【详解】cos 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移12π单位可得cos 3(cos34)12y x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，故选：B.【点睛】本题考查三角函数的平移变换，考查对概念的理解，属于基础题.5.已知334απ=-,则角α的终边与单位圆的交点坐标是( )A. ⎝⎭B. ⎛ ⎝⎭C. 22⎛-- ⎝⎭D. 12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】可分析角α的终边与4π-的终边重合,利用三角函数的定义求解即可 【详解】由题,33844πππ-=--,所以角α的终边与4π-的终边重合,因为单位圆的半径为1,则cos 42y π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,sin 42x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, 故选：A【点睛】本题考查终边相同的角的应用,考查三角函数的定义的应用 6.将曲线2sin 45y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的对称中心为( )A. (),0210k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭B. (),0210k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭C. (),010k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭D. (),010k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由图像变换原则可得新曲线为2sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,令()25k x k Z ππ=∈+求解即可【详解】将曲线2sin 45y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线2sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令()25k x k Z ππ=∈+,得()102k x k Z ππ=-+∈ 故选：A【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查正弦型函数的对称中心7.已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ） A.14B.12或2 C. 1 D.14或1 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧长公式及扇形的面积公式得到方程组，计算可得.【详解】解：由题意得212,18,2l r lr =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得8,2,r l =⎧⎨=⎩或4,4,r l =⎧⎨=⎩故14l r α==或1l r α==.故选：D【点睛】本题考查弧长公式及扇形的面积公式的应用，属于基础题. 8.已知4sin 77πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则5cos 14πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ）A. 7-C. 47-D.45【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式，可求得答案. 【详解】55()71421427ππππππαααα++-=⇒-=-+， ∴54cos cos[()]sin 142777ππππααα⎛⎫⎛⎫-=-+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查诱导公式的应用求值，考查运算求解能力，求解时注意符号的正负. 9.若α为第二象限角，下列结论错误的是（ ） A. sin cos αα> B. sin tan αα> C. cos tan 0αα+< D. sin cos 0αα+>【答案】D 【解析】 【分析】根据角所在象限,判断三角函数符号,即可判断选项. 【详解】因为α为第二象限角, 所以sin 0α>,cos 0α<,tan 0α< A,B,C 对,D 不一定正确. 故选:D【点睛】本题考查了三角函数在第二象限的符号,属于基础题. 10.函数()cos sin xf x x x=-的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数为奇函数和(1)f 的正负，即可得答案； 【详解】()f x 的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，且()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数，排除B ，D ；cos1(1)01sin1f =>-，排除A ；故选：C.【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数图象，考查数形结合思想，求解时注意函数性质的运用.11.函数()sin()(0,0)f x xωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示,BC∥x轴当70,12xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,若不等式()sin2f x m x-恒成立,则m的取值范围是( )A.3⎫+∞⎪⎪⎣⎭B.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 3,)+∞ D. [1,)+∞【答案】A【解析】【分析】根据,B C两点的对称性求得()f x的一条对称轴方程，由此结合()f x的周期性求得ω的值，结合π,03⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ，进而求得()f x的解析式，利用分离常数法化简()sin2f x m x-，结合三角函数值域的求法，求得m的取值范围.【详解】因为//BC x,所以()f x的图像的一条对称轴方程为2723212xπππ+==,71212344ππππω-==⨯,所以2ω=.由于函数()f x图像过π,03⎛⎫⎪⎝⎭，由23kπϕππ⨯+=+,k Z∈,且0ϕπ<<,得3πϕ=,所以()sin23f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭.()sin2f x m x-，等价于()sin2f x x m-,令()sin 2sin 23g x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()sin 2coscos 2sinsin 2cos 2336g x x x x x πππ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭. 由70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得42,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,()g x 的最大值为32,所以32m . 故选：A【点睛】本小题主要考查根据三角函数的图像求三角函数的解析式，考查三角函数最值的求法，考查三角恒等变换，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 12.已知函数()()sin f x x ππ=-与()()114g x x =-的图象所有交点的横坐标为12,,,n x x x ，则12n x x x +++=（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B 【解析】 【分析】作出两个函数的图象，利用函数的对称中心为(1,0)，即可得答案； 【详解】作出两个函数的图象，易得共有7个交点，即127,,,x x x不妨设127x x x <<<，127S x x x =+++，两个函数均以(1,0)为对称中心，∴71625342,2,2,1x x x x x x x +=+=+==，∴3217S =⨯+=.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的对称中心求函数零点和，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.已知5sin 13α=，2παπ<<，则cos 6tan αα-=______. 【答案】4126【解析】 【分析】根据同角三角函数关系式及角的范围,可求得cos ,tan αα,代入即可求解.【详解】由同角三角函数关系式,可知 因为5sin 13α=,2παπ<<, 所以12cos 13α==-,5sin 513tan 12cos 1213ααα===--,所以12541cos 6tan 6131226αα⎛⎫-=--⨯-= ⎪⎝⎭. 故答案为:4126【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,属于基础题. 14.已知()sin10sin3sin80cos1070m ︒︒+︒-=︒，角α的终边经过点()P m ，则cos α=_________.【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系可得1m =，再利用三角函数的定义即可求解. 【详解】因为()22sin10sin370sin80cos10sin 10cos 101m ︒=+-=︒︒+︒︒=︒，2r ==，所以cos 2α=-. 故答案为：【点睛】本题考查了诱导公式、同角三角函数的基本关系以及三角函数的定义，属于基础题. 15.已知tan 3α=，则2cos sin 2αα+=__________. 【答案】710【解析】 【分析】由正弦二倍角角公式化简，作出分母为1的分式，分母1用22sin cos αα+代换化为关于sin ,cos αα的二次齐次式，再化为tan α求值．【详解】22222cos 2sin cos 12tan 7cos sin 2cos sin 1tan 10ααααααααα+++===++. 故答案为：710． 【点睛】本题考查正弦的二倍角公式和同角间的三角函数关系．考查“1”的代换．解题时注意关于sin ,cos αα的齐次式的化简求值方法．16.函数()12cos 123f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在()0,2020π的零点个数为____________．【答案】1009 【解析】 【分析】将函数的零点转化为求方程()0f x =的根，再计算根在区间()0,2020π的个数，即可得到答案. 【详解】函数()12cos 123f x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭在区间()0,2020π的零点，等价于方程11cos 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在区间()0,2020π根的个数；∴12233x k πππ+=+或12233x k πππ+=-， ∴4x k π=或44,3x k k Z ππ=-∈，当1k =时，14x π=⨯或4143x ππ=⨯-；当2k =时，24x π=⨯或4243x ππ=⨯-；当504k =时，5044x π=⨯或450443x ππ=⨯-； 当505k =时，450543x ππ=⨯-； ∴函数()12cos 123f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在()0,2020π的零点个数为504211009⨯+=.故答案为：1009.【点睛】本题考查三角函数的零点个数问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知角α为第一象限角，且sin α． （1）求cos tan αα、的值； （2）求()()3sin 2cos cos 2παπαπα--+⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)1cos tan 52αα==;(2)7 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系、商数关系，即可得答案；（2）利用诱导公式进行化简得到关于sin α，cos α的式子，再转化成关于tan α的式子，即可得答案； 【详解】（1）角α为第一象限角，且sin α，∴cos 5α===，∴sin 1tan cos 2ααα==.（2）原式323sin 2cos 3tan 2271sin tan 2ααααα+++====. 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系、诱导公式化简求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.18.某同学用“五点法”画函数()()sin f x A x =+ωϕ在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并求出函数()f x 的解析式;(2)把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移3π个单位长度,得到函数()y g x =的图象,求236g π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)见解析,()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)-1【解析】 【分析】（1）由表格中数据,可得5122113122ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,即可求得23ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩,由sin 22A π=可得2A =,则()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,进而补全表格即可； （2）由图像变换原则可得()2sin g x x =,进而将236x π=代入求解即可【详解】解:(1)根据表中已知数据,可得5122113122ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得23ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩,又sin22A π=,所以2A =,所以()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.数据补全如下表:(2)由(1)知()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭, 把()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像,再把得到的图像向左平移3π个单位长度,得到2sin sin 33y x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭的图像,即()2sin g x x =,所以23232sin 2sin 1666g πππ⎛⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查由三角函数性质求解析式,考查三角函数的图像变换,考查运算能力 19.已知函数()()sin 0,0f x A x b A ωω=+>>的部分图象如图所示．（1）求()f x 的解析式；（2）设,MOx NOx αβ∠=∠=，求()sin αβ+的值． 【答案】（1）()4sin 18xf x π=-；（2）5665. 【解析】 【分析】（1）观察图象得到b 的值，再利用函数的周期、振幅求得函数的解析式；（2）分别求出sin ,cos ,sin ,cos ααββ的值，再代入两角和的正弦公式，即可得答案； 【详解】（1）易得3(5)12b +-==-， ∴3(1)4A =--=，∴()4sin 1f x x ω=-，281628T T ππωω=⇒==⇒=， ∴()4sin 18xf x π=-.（2）由图象得：34512sin ,cos ,sin ,cos 551313ααββ====， ∴()3124556sin cos cos sin 51351365sin αβαβαβ+=⨯=+=+⨯.【点睛】本题考查三角函函数的图象与性质、两角和正弦公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.20.已知函数()3(0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值以及相应的x 的值；（3）若()f x =，求25cos cos 63x x ππωω⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【答案】（1）2；（2）最小值-512x π=；最大值3，0x =；（3）1916【解析】 【分析】（1）由正弦函数的周期2T ωπ=，代入求解即可；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再求函数的值域即可； （3）由已知有1cos 264x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又25cos 2cos 263x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 2626x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，再结合诱导公式化简求值即可.【详解】解：（1）因为函数()(0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，由2T ππω==，得2ω=.（2）()26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而1cos 262x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.于是，当26x ππ+=，即512x π=时，()f x 取得最小值- 当266x ππ+=，即0x =时，()f x 取得最大值3.（3）因为()262f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以1cos 264x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 故25cos cos 63x x ππωω⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25cos 2cos 263x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 2626x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2cos 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 21cos 266x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111()44=+-- 1916=. 【点睛】本题考查了三角函数的周期，重点考查了三角函数的最值的求法及给值求值问题，属中档题.21.已知函数()2sin (sin cos )2f x x x x a =++-的图像经过点π(,1)4. （1）求a 的值以及()f x 的单调递减区间； （2）当[,]22x ππ∈-时，求使()1f x <成立的x 的取值集合. 【答案】（1）a=1, ()f x 的单调递减区间为37[,],88k k k Z ππππ++∈；（2）{|}24x x ππ-<< 【解析】 【分析】（1）根据函数f （x ）的图象过点,14π⎛⎫⎪⎝⎭求出a 的值，再化f （x ）为正弦型函数，求出它的单调递减区间；(2) 由()1f x <，得sin 242x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭,结合正弦函数图像，解三角不等式即可. 【详解】解：（1）因为函数()()2sin sin cos 2f x x x x a =++-的图像经过点,14π⎛⎫⎪⎝⎭，所以122a =+-，解得1a =又()()22sin sin cos 12sin 2sin cos 1f x x x x x x x =+-=+-1cos2sin2124x x x π⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭,由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得37,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 故()f x 的单调递减区间为37,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由()1f x <，得sin 24x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭ 当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，532444x πππ-≤-≤故52444x πππ-<-<，解得：24x ππ-<< 故使()1f x <成立的x 的取值集合为{|}24x x ππ-<<.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是基础题．22.已知函数()2sin 24x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求()f x 的图象的对称中心；（2）若5,24x m π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 的值域为[]1,2-，求m 的取值范围； （3）设函数()()2f xg x n =-，若存在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦满足()03g x ≤≤，求n 的取值范围．【答案】（1）(,0),28k k Z ππ-∈;（2）11248m ππ≤≤;（3）542n -≤≤【解析】 【分析】（1）直接解方程sin 204x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可得到对称中心；（2）作出函数()2sin 24x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象如图所示，观察图象可得m 的取值范围； （3）将问题转化为()()2,23,f x f x n n ⎧≤⎪⎨≥-⎪⎩在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解问题，求出函数的最值，即可得答案； 【详解】（1）sin 204x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴2,4x k kZ ππ+=∈，即,28k x k Z ππ=-∈，∴()f x 的图象的对称中心(,0),28k k Z ππ-∈. （2）作出函数()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象如图所示，当2sin 214x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，∴246B x ππ+=-或7246Cx ππ+=， 可得524B x π=-，2141C x π=， 当2sin 224x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，∴8G x π=，∴11248m ππ≤≤.（3）由题意得：()023f x n ≤-≤在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解， ∴()()2,23,f x f x n n ⎧≤⎪⎨≥-⎪⎩在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解， 552,22424643x x πππππ⎡⎤∈-⇒-≤+≤⎢⎥⎣⎦，∴()[1,2]f x ∈-，∴()max [2]4f x =，()min 5[23]2f x -=-， ∴542n -≤≤. 【点睛】本题考查三角函的图象与性质、不等式有解问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意借助图形的直观性进行分析.。
山西高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列符号判断正确的是（）A．B．C．D．2.设向量满足，则（）A．B．C．D．3.已知向量，若为实数，，则（）A．2B．1C．D．4.在中，，若点满足，则（）A．B．C．D．5.边长为的正三角形中，设，则等于（）A．0B．1C．3D．-36.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度7.已知，且，那么等于（）A．B．C．D．8.已知非零向量与满足，且，则为（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．三边均不相等的三角形9.函数的单调增区间是（）A．B．C．D．10.已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（）A．B．C．D．11.的值是（）A．B．C．D．12.已知点，，，，则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．二、填空题1.已知，则__________．2.已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为__________．3.已知向量与的夹角为，且，若，且则实数的值为__________．4.如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则下列结论正确的是__________．①和都是锐角三角形②和都是钝角三角形③是钝角三角形，是锐角三角形④是锐角三角形，是钝角三角形三、解答题1.设两个非零向量与不共线.（1）若，求证：三点共线（2）试确定实数，使和反向共线.2.已知向量，设函数.（Ⅰ）求的最小正周期.（Ⅱ）求在上的最大值和最小值.3.已知向量，函数，且的图像过点和点. （1）求的值；（2）将的图像向左平移个单位后得到函数的图像，若图像上各最高点到点（0,3）的距离的最小值为1，求的单调递增区间.4.已知函数的最小正周期为（1）求的值；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围5.函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，为图象与轴的交点，且为正三角形.（Ⅰ）求的值及函数的值域；（Ⅱ）若，且，求的值.6.已知向量，且.（1）求及；（2）若的最小值为，求正实数的值.山西高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.下列符号判断正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，所以，故A错；由，所以,故B错；由，所以，故C正确；由，，故D错.故选C.2.设向量满足，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，∴，∴，故选B.3.已知向量，若为实数，，则（）A．2B．1C．D．【答案】C【解析】向量，所以有，又，，所以，解得，故选C.4.在中，，若点满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，，5.边长为的正三角形中，设，则等于（）A．0B．1C．3D．-3【答案】D【解析】∵在边长为的正三角形ABC中，设，∴且，∴由向量数量积的定义可得则.故选D.6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】B【解析】函数的图象向左平移个单位长度,有,故选B.7.已知，且，那么等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，又，所以，，所以，故选B.8.已知非零向量与满足，且，则为（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．三边均不相等的三角形【答案】A【解析】因为，所以的平分线与垂直，三角形是等腰三角形，又因为，所以，所以为等边三角形，故选A.点睛：在向量运算中，即为“向量单位化”，即将向量变为同向长度为1的向量，那么两个长度一样的向量相加即有高线、中线、角平分线重合.9.函数的单调增区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】的单调增区间即为的减区间，令,解得故选C.点睛：本题属于易错题型，在研究函数的单调区间是，基本思路是将看作整体，利用的单调性求解即可，而在本题中，中的系数是负的，所以用复合函数的单调性解释的化应该为“同增异减”，即需要将负号提出，得到，进而研究函数的单减区间才行.10.已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为原来函数即为，令，则，令，又因为若相邻交点距离的最小值为，则以正弦函数为研究对象，取符合要求的两角：，对应有，此时，所以.【考点】辅助角公式，正弦函数的图像，三角函数的周期公式.11.的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】故选D.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.12.已知点，，，，则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，，所以向量在方向上的投影为，故选A．【考点】平面向量的数量积的运算及向量的投影的概念．二、填空题1.已知，则__________．【答案】【解析】上下同时除以即得.点睛：在三角化简求值中，含有正弦、余弦、正切时一般有两个思路：（1）“切化弦”，即将题目中的正切利用关系化为正余弦的运算；（2）构建分式齐次式，如果是一次齐次式，分子分母同时除以，如果是二次齐次式分子分母同时除以，一次类推，转化为正切的运算.2.已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为__________．【答案】5【解析】以D为原点建系，设长为，，最小为5【考点】向量运算3.已知向量与的夹角为，且，若，且则实数的值为__________．【答案】【解析】因为，所以，解得【考点】向量数量积4.如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则下列结论正确的是__________．①和都是锐角三角形②和都是钝角三角形③是钝角三角形，是锐角三角形④是锐角三角形，是钝角三角形【答案】④【解析】因为的三个内角的正弦值均大于0，所以的三个内角的余弦值也均大于0,则是锐角三角形。
山西省忻州市第一中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π-C ．23π D ．23π-2．已知角α的终边经过点P （﹣3，1），则cos 2α＝（ ） A ．35B ．35-C ．45D ．45-3．cos70sin 50cos 200sin 40︒︒︒︒-的值为（ ）A ．BC ．12-D ．124．已知平面向量a v ,b v 是非零向量,|a v |=2,a v ⊥(a v +2b v ),则向量b v在向量a v方向上的投影为( ) A ．1B ．-1C ．2D ．-25．0>ω函数()sinsin22xxf x ωπω+=在[]43ππ-,上单调递增，则ω的范围是 A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,2D ．[)2,+∞6．已知向量(1,0)a =r ，b =r ，则与2a b -r r共线的单位向量为( )A ．1,2⎛ ⎝⎭B ．12⎛- ⎝⎭C ．221⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭或221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ．1,22⎛-⎝⎭或1,22⎛- ⎝⎭7．已知()0,απ∈，3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．2425B ．2425-C ．725 D ．725-8．已知1e u r ，2e u u r 分别为直角坐标系xOy 的,x y 轴正上方上单位向量，1243AC e e =-u u u r u r u u r，1268BD e e =+u u u r u r u u r，则平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．25B ．50C ．75D ．1009．设42ππx ≤≤=（ ） A ．2sin xB ．2cos xC ．2sin x -D ．2cos x -10．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =-u u u v u u u v ，则OC =u u u v（）A ．1233AB AC -+u u uv u u u v B ．2133AB AC -u u u v u u u vC ．1233AB AC-u u uv u u u vD ．2133AB AC -+u u uv u u u v11．将函数()2cos 2f x x x =-向左平移6π个单位，得到()g x 的图象，则()g x 满足（ ） A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根 12．已知函数22log (1),0()4,0x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，则函数()()1g x f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数为( ) A ．4B ．7C ．8D ．913．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，弧田的面积__________．14．已知向量()()4,2,,1a b λ==r r ，若a r 与b r的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______. 15．若sin 211cos 23αα=-，()tan 21βα-=，则()tan αβ-=______．16．对下列命题：（1）若向量a r 与b r 同向，且||||a b >r r ，则a b >r r ；（2）若向量||||a b =r r ，则a r 与b r的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量||||a b =r r，若a r 与b r的方向相同，则a b =r r；（4）由于0r 方向不确定，故0r 不与任意向量平行；（5）向量a r 与b r平行，则向量a r 与b r方向相同或相反．其中正确的命题的个数为________17．已知，cos α=，()sin αβ-=，且α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求：（1）cos(2)αβ-的值；（2）β的值.18．如图,点C 是点B 关于点A 的对称点,点D 是线段OB 的一个靠近点B 的三等分点,设,AB a AO b ==u u u v u u u v vv .(1)用向量a v 与b v表示向量,OC CD u u u v u u u v;(2)若45OE OA =u u u v u u u v,求证:C ,D ,E 三点共线.19．为了践行习总书记提出的“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念，我市在经济速发展同时，更注重城市环境卫生的治理，经过几年的治理，市容市貌焕然一新，为了调查市民对城区环境卫生的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度统计成如图所示的频率分布直方图，其中2a b ＝．（1）求,a b 的值；（2）若按照分层抽样的方式从[)[)50,60,60,70中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50，)60的概率． 20．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,()()sin 002g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示.(1)求()g x 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象; (2)若对于任意的46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围. 21．已知点A 、B 、C 的坐标分别为()3,0A 、()0,3B 、()cos ,sin C αα，3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若AC BC =u u u v u u u v，求角α的值；（2）若1AC BC ⋅=-u u u v u u u v ，求22sin sin21tan ααα++的值.22．已知函数24()(0,1)2x x a af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．B 【解析】 【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-. 故选：B 【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】根据三角函数定义得到cos α=，再利用二倍角公式计算得到答案. 【详解】∵角α的终边经过点P （﹣3，1），∴cos α==，则cos 2α＝2cos 2α﹣1＝2910⨯-145=， 故选：C . 【点睛】本题考查了三角函数定义，二倍角公式，意在考查学生的计算能力. 3．B 【解析】 【分析】根据诱导公式化简到角是锐角，再用正弦和差角公式求解. 【详解】由已知得()()()cos 9020sin 9040cos 18020sin 40︒︒︒︒︒+---o o=sin 20cos 40cos 20sin sin 4060︒︒︒︒︒+== 故选B. 【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和正弦和差角公式. 4．B 【解析】 【分析】先根据向量垂直得到a r g (a r +2b r ),=0，化简得到a r g b r=﹣2，再根据投影的定义即可求出． 【详解】∵平面向量a r ,b r 是非零向量,|a r |=2,a r ⊥(a r +2b r),∴a r g (a r +2b r),=0，即()2·20a a b +=vv v即a r g b r=﹣2∴向量b r 在向量a r 方向上的投影为·22a b a -=vv v =﹣1，故选B ． 【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式． 5．B 【解析】 【分析】先化简函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质分析得到ω的不等式组，解之即得解. 【详解】由题得111()=sincos sin x 222f x wx wx w =， 所以函数的最小正周期为2T wπ=, 因为函数()sin sin 22x x f x ωπω+=在[]43ππ-,上单调递增，所以24w 324w4ππππ⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤-⎪⎩，又w ＞0，所以302w <≤. 故选B 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．D 【解析】 【分析】根据题意得，(2=1a b -r r 设与2a b -r r共线的单位向量为(),x y ，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出,x y 即可得出答案. 【详解】因为(1,0)a =r，b =r ，则()22,0a =r，所以(2=1a b -r r， 设与2a b -r r共线的单位向量为(),x y ，则221y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以与2a b -r r 共线的单位向量为1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或1,22⎛- ⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义. 7．B 【解析】 【分析】根据余弦的二倍角公式先利用sin 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭求得2cos 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭.再由诱导公式求出sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭,再利用同角三角函数关系中的平方关系求得cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.根据角的取值范围,舍去不合要求的解即可. 【详解】因为3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭由余弦二倍角公式可得22237cos 212sin 1233525ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 而2cos 2cos 2sin 23626ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以27sin 2cos 26325ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由同角三角函数关系式可得24cos 2625πα⎛⎫+==± ⎪⎝⎭ 因为()0,απ∈ 则4,333πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,而3sin 035πα⎛⎫+=> ⎪⎝⎭ 所以,33ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭则,33ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以22,233ππαπ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32,3262ππππα⎛⎫⎛⎫+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即32,662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭又因为7sin 20625πα⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭,所以32,62ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故cos 206πα⎛⎫+< ⎪⎝⎭所以24cos 2625πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 故选:B 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式及诱导公式的化简应用,三角函数恒等变形及角的范围确定,综合性较强,属于中档题. 8．A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积定义可证明AC BD ⊥uuu r uu u r，可知行四边形ABCD 对角线互相垂直，结合平面向量模的求法可得,AC BD u u u r u u u r，即可求得平行四边形ABCD 的面积.【详解】由题意可知1e u r ，2e u u r 分别为直角坐标系xOy 的,x y 轴正上方上单位向量，1243AC e e =-u u u r u r u u r，1268BD e e =+u u u r u r u u r，则()()221212112243682414240AC BD e e e e e e e e ⋅=-⋅+=+⋅-=u u u r u u u r u r u u r u r u u r u r u r u u r u u r ，∴AC BD ⊥uuu r uu u r ，则平行四边形ABCD 对角线垂直，5AC ==u u u r ，10BD ==u u u r ，所以面积为1510252⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算与几何意义，平面向量数量积的运算，属于基础题. 9．A 【解析】 【分析】由x 的范围，和三角函数线得sin cos x x >. 【详解】 因为42ππx ≤≤，由三角函数线的图像可知sin cos x x >，则==sin cos sin cos 2sin x x x x x =++-=故选：A 【点睛】本题考查利用同角三角函数关系和二倍角的正弦公式化简，还考查了判断三角函数值的大小，属于简单题. 10．A 【解析】【分析】根据已知关系式及向量的加减法运算计算即可．【详解】Q ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =-u u u r u u u r ，如图所示：由22AO DO OD =-=u u u r u u u r u u u r，且D 为BC 的中点，所以O 为AD 的三等分点靠近点D ， 且2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，∴()2133AO AD AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，又2133BO BD BA =+u u u r u u u r u u u r ， 从而2OD OB OC =+u u u r u u u r u u u r ，即AO OB OC =+u u u r u u u r u u u r ， 所以OC AO OB AO BO =-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()13AB AC +u u u r u u u r +2133BD BA +u u u r u u u r =()()111123333333BC AC AB AC AB AB AC BA AB AC AB --+++=++-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A【点睛】本题考查向量的加减法运算，三角形中线的性质应用，平面向量基本定理的应用，属于中档题．11．C【解析】【分析】由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得()g x 的解析式，结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项.【详解】函数()2cos 2f x x x =-， 则()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移6π个单位， 可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由正弦函数的性质可知，()g x 的对称中心满足2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，所以A 、B 选项中的对称中心错误； 对于C ，()g x 的对称轴满足22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，所以图象关于直线6x π=对称；当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数性质可知[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1，所以C 正确； 对于D ，最小正周期为22ππ=，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的图象与性质可知，2sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时仅有一个解为0x =，所以D 错误； 综上可知，正确的为C ，故选：C.【点睛】本题考查了三角函数式的化简，三角函数图象平移变换，正弦函数图象与性质的综合应用，属于中档题.12．B【解析】【分析】令()f x t =，求得()1f t =的根，再求()f x t =的根，则问题得解.【详解】令()f x t =，则可得()1f t =，当0t ≤时，即可得()2log 11t -=，解得1t =-；当0t >时，即可得241t t -+=，解得2t =则()1f x =-，或()2f x =()2f x =当0x ≤时，令()2log 11x -=-，解得12x =，不满足题意；令()2log 12x -=2120x =-≤，满足题意；令()2log 12x -=2120x =-≤，满足题意. 当0x >时，令241x x -+=-，解得2x =+2x =舍)；令242x x -+=+，整理得2420x x -++=，解得2x =+或2x =满足题意；令242x x -+=，整理得2x =+2x =满足题意.综上所述，函数零点有2212?222,?222--±± 共计7个.故选：B.【点睛】本题考查函数零点的求解，涉及对数运算，属基础题.13．12π-【解析】【分析】先求得圆心角，再根据扇形面积公式，即可求得结果.【详解】设圆弧AB 所对圆心角的弧度为α，由题可知64απ⨯= 解得23πα=.故扇形AOB 的面积为1122l r π⨯⨯=，三角形AOB 的面积为212sin 623π⨯⨯=故弧田的面积为12π-故答案为：12π-【点睛】本题考查扇形的面积公式、弧长的计算公式，属综合基础题.14．()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由a r 与b r 的夹角为锐角，则0a b ⋅>r r ，列出不等式解出λ，要去掉使a r 与b r 同向（a r 与b r 的夹角为0）的λ的取值.【详解】∵a r 与b r 的夹角为锐角∴0a b ⋅>r r ，即420λ+>，解得12λ>-， 当2λ=时，a r 与b r 同向，∴实数λ的取值范围是()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭故答案为：()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查的知识点是向量数量积的性质及运算律，将夹角转化为数量积与0的关系是解题的关键，属于中档题.15．2【解析】【分析】先求出tan α，再由()2αβαβα-=---结合两角差的正切公式可求()tan αβ-.【详解】 因为sin 211cos 23αα=-，故22sin cos 112sin tan 3αααα==即tan 3α=，所以()tan 3α-=- ()()()()()()()tan tan 2tan tan 21tan tan 2αβααβαβααβα----=⎡---⎤=⎣⎦+-- ()312131--==+-⨯. 故答案为：2.【点睛】三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．16．1【解析】【分析】根据向量的定义以及相关概念，对选项进行逐一分析即可.【详解】（1）向量不可比较大小，故（1）错误；（2）向量的模长相等，不能确定方向的关系，故（2）错误；（3）当向量模长相等，且方向相同时，则向量相等，故（3）正确；（4）0r 与任意向量平行，故（4）错误；（5）若a r 与b r 有一个向量是零向量，则方向不确定，故（5）错误.故正确的命题个数为1.故答案为：1.【点睛】本题考查向量的定义、性质和相关概念，属基础题.17．（1）10；（2）4πβ=. 【解析】【分析】（1）由同角三角函数的关系可以得出sin α与()cos αβ-的值，再将()()cos 2cos αβααβ⎡⎤-=+-⎣⎦根据两角和的余弦公式展开，根据已知代入计算即可得出此式的正确结果；（2）()cos cos 2βααβ⎡⎤=--=⎣⎦，结合β的范围可得β的取值. 【详解】（1）因为α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又因为()sin 10αβ-=，则()cos 10αβ-=，而sin 5α=，()()()()cos 2cos cos cos sin sin 10αβααβααβααβ⎡⎤-=+-=---=⎣⎦，（2）()()()cos cos cos cos sin sin 2βααβααβααβ⎡⎤=--=-+-=⎣⎦， 又0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，4πβ∴=.【点睛】 本题考查利用两角和与差的余弦公式求值以及给值求角的问题，同时也考查了同角三角函数平方关系的应用，在处理给值求角的问题，要计算出所求角的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.18．(1)OC b a =--u u u v v v ,5133CD a b =+u u u v v v ;(2)证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据题意，利用向量的加法与减法的几何意义，得出OC OA AC =+u u u r u u u r u u u r ，CD CB BD =+u u u r u u u r u u u r ，即可用a r 、b r表示； （2）由45OE OA =u u u r u u u r ，只需找到CD uuu r 与CE u u u r 的关系，即可得证. 【详解】解：(1)∵AB a =u u u r r ,AO b =u u u r r ,∴OC OA AC b a =+=--u u u r u u u r u u u r r r , 11151()2()33333CD CB BD CB BO CB BA AO a a b a b =+=+=++=+-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r . (2)证明: 45OE OA =u u u r u u u r Q ()413555CE OE OC b a b a b CD ∴=-=-++=+=u u u r u u u r u u u r r r r r r u u u r , ∴CE u u u r 与CD uuu r 平行, 又∵CE u u u r 与CD uuu r 有共同点C ,∴C ，D ，E 三点共线.【点睛】本题考查了平面向量的加法与减法的几何意义以及向量共线的应用问题，属于基础题． 19．（1）a ＝0.030，b ＝ 0.015．（2）710【解析】【分析】（1）由频率分布直方图列出方程组，由此能求出,a b ．（2）[)[)50,60,60,70两段频率比为0.1:0.152:3=，按照分层抽样的方式从[)[)50,60,60,70中随机抽取5人，分数在[)50,60中抽取2人，记为12,a a ，分数在[)60,70中抽取3人，记为1b ，2b ，3b ，从这5人中随机抽取2人，利用列举法能求出至少有1人的分数在[)50,60的概率．【详解】解：（1）由频率分布直方图得：(0.010.0350.01)101a b ++++⨯=， 0.045a b ∴+=，又2a b =，解得0.030a =，0.015b =．（2）[50Q ，60)，[60，70)两段频率比为0.1:0.152:3=，∴按照分层抽样的方式从[50，60)，[60，70)中随机抽取5人，分数在[50，60)中抽取2人，记为1a ，2a ，分数在[60，70)中抽取3人，记为1b ，2b ，3b ，∴从这5人中随机抽取2人的所有情况为：1(a ，2)a ，1(a ，1)b ，1(a ，2)b ，1(a ，3)b ，2(a ，1)b ，2(a ，2)b ，2(a ，3)b ，1(b ，2)b ，1(b ，3)b ，2(b ，3)b ，共10个，其中，至少有1人的分数在[50，60)包含的基本事件有7个，∴至少有1人的分数在[50，60)的概率710P =． 【点睛】 本题考查古典概型概率的求法，考查频率分布直方图、列举法、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力．20．(1)()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,变换见解析;(2)12⎛-- ⎝⎭，. 【解析】【分析】（1）先根据图象求出()g x 的解析式；再结合图象变化规律说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象；（2）先结合正弦函数的性质求出()f x 的范围；再结合恒成立问题即可求解.【详解】(1)由图得112A ω==，, 因为203π⎛⎫-⎪⎝⎭，为函数递增区间上的零点, 所以21232k k Z πϕπ-⋅+=∈，,即23k k Z πϕπ=+∈，. 因为2πϕ<,所以3πϕ=,即()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移3π个单位长度可得()g x ； (2)因为46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,所以2632x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，, 所以当263x ππ+=-时,()f x取最小值, 当262x ππ+=时,()f x 取最大值1,因为()2f x m -<恒成立,即()22m f x m -+<<+恒成立,所以212m m ⎧-+<⎪⎨⎪<+⎩即12m ⎛∈- ⎝⎭，. 【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，诱导公式，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，以及恒成立问题，属于中档题.21．（1）54π；（2）95- 【解析】【分析】（1）根据两向量的模相等，利用两点间的距离公式建立等式求得tan α的值，根据α的范围求得α；（2）根据向量的基本运算根据 1AC BC ⋅=-u u u v u u u v ，求得sin α和cos α的关系式，然后用同角和与差的关系可得到52sin cos 9αα=-，再由化简可得22sin sin 2 2sin cos 1tan ααααα+=+，进而可确定答案． 【详解】（1）∵AC BC =u u u r u u u r ，化简得tan 1α=， ∵3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴54πα=． （2）∵ 1AC BC ⋅=-u u u v u u u v ，∴()()cos 3,sin cos ,sin 31αααα-⋅-=-，∴2sin cos 3αα+=，∴52sin cos 9αα=-， ∴()22sin cos sin cos 2sin sin 25 2sin cos 1tan sin cos 9ααααααααααα++==-++＝． 【点睛】本题主要考查两角和与差的基本关系和三角与向量的综合题，属于中档题.22．（1）2a =（2）()1,1-（3）(10,3)+∞ 【解析】【分析】（1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可.【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=- 即：242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
2019-2020学年山西省忻州市第一中学北校高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．下列角α位于第三象限的是（ ） A ．3α= B ．23πα=C ．210α=-︒D ．3α=-【答案】D【解析】根据第三象限角度的范围，结合选项，进行分析选择. 【详解】第三象限的角度范围是32,2,2k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭. 对A ：18033172απ⎛⎫==⨯︒≈︒ ⎪⎝⎭，是第二象限的角，故不满足题意； 对B ：23πα=是第二象限的角度，故不满足题意； 对C ：210α=-︒是第二象限的角度，故不满足题意； 对D ：18033172απ⎛⎫=-=-⨯︒≈-︒ ⎪⎝⎭，是第三象限的角度，满足题意. 故选：D. 【点睛】本题考查角度范围的判断，属基础题. 2．若2παπ<<，则点(cos ,sin )Q αα位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由角在第二象限知，余弦小于零，正弦大于零，因此对点来说横坐标小于零纵坐标大于零，故可以确定点位于第二象限 【详解】2απ<<πQcos <0sin 0αα∴>，∴点Q 在第二象限. 故选:B .【点睛】本题考查三角函数值的符号,难度容易. 3．下列说法正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．若a b ≠r r，则a b ≠r rC ．若a b r r ＝，则//a b r rD ．若a b ≠r r ，则a b ≠r r【答案】D【解析】根据向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，即可判断各选项. 【详解】对于A ，单位向量的大小都相等，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，所以A 错误；对于B ，两个向量不相等，可以大小相等，方向不同，因而当a b ≠r r时可能a b r r ＝，所以B 错误；对于C ，两个向量的模相等，但方向可以不同，因而当a b r r ＝时a r 和b r不一定平行，所以C 错误；对于D ，若两个向量的模不相等，则两个向量一定不相同，所以若a b ≠r r ，则a b ≠r r成立，所以D 正确.综上可知，D 为正确选项， 故选：D 【点睛】本题考查了向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，属于基础题. 4．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当[0,)x ∈+∞时，()2020x f x =，若()10.32(ln 3),0.2,3a f e b f c f -⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．<b a c <B ．<c b a <C ．<b c a <D ．<c a b <【答案】C【解析】根据()f x 是定义在R 上的偶函数，结合指数函数与对数函数的图像与性质化简,a c ，即可由[0,)x ∈+∞时，函数()f x 的单调性比较大小. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数所以1233322c f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由对数的运算及对数函数的图像与性质可知ln31ln32e =+> 由指数函数的图像与性质可知0.300.21<< 因而0.300.ln 2332e <<< 当[0,)x ∈+∞时，()2020x f x =为递增函数所以()10.320.2(ln 3)3f f f e -⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即<b c a < 故选：C 【点睛】本题考查了偶函数的图像与性质，指数函数与对数函数图像与性质应用，中间值法比较大小，属于基础题.5．已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0， ω＞0，0ϕ＜≤2π)的图象如下，则点(,)P ωϕ的坐标是( )A ．(13，6π) B ．(13，3π) C ．(3π，6π) D ．(3π，3π) 【答案】C【解析】由函数f （x ）的部分图象求得A 、T 、ω和φ的值即可． 【详解】由函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的部分图象知， A ＝2，T ＝2×（4﹣1）＝6， ∴ω23T ππ==， 又x ＝1时，y ＝2，∴3π+φ2π=+2k π，k ∈Z ； ∴φ6π=+2k π，k ∈Z ；又0＜φ2π≤，∴φ6π=，∴点P （3π，6π）．故选C ． 【点睛】已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min maxmin,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.6．平面上有三点A ，B ，C ，设m AB BC =+u r u u u r u u u r ，n AB BC =-r u u u r u u u r ，若m u r 与n r的长度恰好相等，则有( )A ．,,ABC 三点必在同一直线上 B ．ABC ∆必为等腰三角形且B Ð为顶角 C ．ABC ∆必为直角三角形且90B ∠=︒D ．ABC ∆必为等腰直角三角形 【答案】C【解析】根据向量的模相等及向量表示形式，平方后化简即可得0AB BC ⋅=u u u r u u u r，即可判断选项. 【详解】m AB BC =+u r u u u r u u u r ，n AB BC =-r u u u r u u u r ，若m u r 与n r的长度恰好相等 即m n =u r r所以AB BC AB BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r两边同时平方，展开可得222222AB AB BC BC AB AB BC BC +⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r即0AB BC ⋅=u u u r u u u r所以ABC ∆必为直角三角形且90B ∠=︒ 故选：C【点睛】本题考查了平面向量模的求法，平面向量数量积的定义，属于基础题.7．执行如图的程序框图，依次输入123451719202123x x x x x =====，，，，，则输出的S 值及其意义分别是（ ）A ．4S =，即5个数据的方差为4B ．4S =，即5个数据的标准差为4C ．20S =，即5个数据的方差为20D ．20S =，即5个数据的标准差为20 【答案】A【解析】根据程序框图，输出的S 是123451719202123x x x x x =====，，，，这5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可． 【详解】根据程序框图，输出的S 是123451719202123x x x x x =====，，，，这5个数据的方差，∵15x =（17+19+20+21+23）＝20， ∴由方差的公式得S ＝15[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4． 故选：A ． 【点睛】本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．8．设函数sin()0,,22y x ππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为π，且其图象关于直线12x π=对称，则在下面结论中正确的个数是（ ）①图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数；④在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；⑤由()()120f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍. A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】根据最小正周期及对称轴，可求得函数解析式，由正弦函数的图象与性质即可判断选项. 【详解】因为函数sin()0,,22y x ππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为π， 则22πωπ==，所以sin(2)y x ϕ=+ 函数图象关于直线12x π=对称，则2,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈则,3k k Z πϕπ=+∈因为,22ππϕ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以当0k =时得3πϕ=，即sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 由正弦函数的图像与性质可知，对称中心为2,3x k k Z ππ+=∈，解得,26k x k Z ππ=-∈ 当1k =时，,3xπ=所以对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭，故②正确，①错误； 由正弦函数的图像与性质可知，当222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z 时，函数单增， 解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，当0k =时，单调递增区间为5,,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦因为5,,,3121212ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦⊆51212,,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以④正确，③错误； 因为最小正周期为π，若()()120f x f x ==，可得12x x -必是2π的整数倍，所以⑤错误.综上可知，正确的为②④， 故选：C 【点睛】本题考查了函数解析式的求法，正弦函数图象与性质的综合应用，属于基础题. 9．如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，我们把1x叫做α的正割，记作sec α；把1y 叫做α的余割，记作csc α. 则22seccsc 33ππ÷= （ ）A 3B ．3C 3D ．3【答案】B【解析】分析：由题意结合新定义的知识整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合新定义的知识可得：1sec tan 1csc yx x xyαα===， 则2233sec csc ππ÷2tan 33π==-本题选择B 选项.点睛：本题主要考查三角函数的定义，三角函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．已知5sin()cos(2)sin 2()3cos()cos 2f ππαπαααππαα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭，则253f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12-B ．12C． D【答案】B【解析】由已知利用诱导公式化简，代入即可求得. 【详解】()()5sin()cos(2)sin sin cos cos 2()cos 3cos sin cos()cos 2cos c 252513332os f f ππαπαααααααπααπααπππ⎛⎫--- ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=⎪ ⎪--⎛ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎫--- ⎪⎝⎭∴⎭Q 故选：B . 【点睛】本题考查诱导公式的运用，三角函数求值，难度较易.11．平行四边形ABCD 中，若点,M N 满足BM MC =u u u u v u u u u v ，2DN NC =u u u v u u u v，设MN AB AD λμ=+u u u u v u u u v u u u v，则λμ-=（ ）A ．56B ．56-C ．16D ．16-【答案】B【解析】画出平行四边形ABCD ，在CD 上取点E ，使得13DE DC =u u u v u u u v ，在AB 上取点F ，使得23AF AB =u u u v u u u v，由图中几何关系可得到()11122223MN FD FA AD AB AD ⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，即可求出,λμ的值，进而可以得到答案． 【详解】画出平行四边形ABCD ，在CD 上取点E ，使得13DE DC =u u u v u u u v，在AB 上取点F ，使得23 AF AB=u u u v u uu v，则()11112112222332MN BE FD FA AD AB AD AB ADu u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v⎛⎫===+=-+=-+⎪⎝⎭，故13λ=-，12μ=，则56λμ-=-.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，考查了平行四边形的性质，属于中档题．12．已知函数()()22,12ln1,1xxf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，若()()()223F x f x af x=-+的零点个数为4个时，实数a的取值范围为（）A．2657,333⎛⎤⎛⎫⎥ ⎪⎝∞⎦+⎭⎝U B．6373⎛⎫⎪⎪⎝⎭C．53,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．()265233,⎛⎤+∞⎥⎝⎦U【答案】A【解析】作出函数()f x的大致图象，令()f x t=，由图可知，当0t<时，()f x t=无解，当0t=时，()f x t=有一解，当01t<≤，或2t>时，()f x t=有两解，当12t<≤时，()f x t=有3解，由题意可得223t at-+=有两不相等的非零实根，设为1t，()212t t t<，则1201t t<<≤或122t t<<或101t<≤,22t>，再结合二次函数图象分类讨论即可得出结论．【详解】解：作出函数()f x的大致图象得，令()f x t =，由图可知， 当0t <时，()f x t =无解， 当0t =时，()f x t =有一解，当01t <≤，或2t >时，()f x t =有两解， 当12t <≤时，()f x t =有3解， ∵函数()()()223F xfx af x =-+有4个零点， ∴2203t at -+=有两不相等的非零实根，设为1t ，()212t t t <， 则1201t t <<≤或122t t <<或101t <≤,22t >， 令()223g t t at =-+，()3002g =>，①当1201t t <<≤时，由图可知()100120g a ⎧≥⎪⎪<<⎨⎪∆>⎪⎩，即22103012803a a a ⎧-+≥⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪->⎪⎩，解得26533a <≤； ②当122t t <<时，由图可知()2022ga⎧>⎪⎪>⎨⎪∆>⎪⎩，即2242032283aaa⎧-+≥⎪⎪⎪>⎨⎪⎪->⎪⎩，无解；③当101t<≤，22t>时，由图可知()()1020gg⎧≤⎪<⎨⎪∆>⎩，即221032420383aaa⎧-+≤⎪⎪⎪-+<⎨⎪⎪->⎪⎩，解得73a>，综上：2657,,33a⎛⎤⎛⎫∈⋃+∞⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，故选：A．【点睛】本题主要考查复合函数的零点问题，二次方程根的分布问题，数形结合思想的应用，属于难题．二、填空题13．向量,a brr在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则以向量,a brr为邻边的平行四边形的面积是_________.【答案】3【解析】将向量平移至相同的起点，写出向量对应的坐标，计算向量的夹角，从而求得面积.根据题意，将两个向量平移至相同的起点，以起点为原点建立坐标系如下所示：则()()2,1,1,2a b ==r r，故4,?555a b cos a b a b⋅===⨯r r r rr r. 又两向量的夹角为锐角，故3,?5sin a b =r r ，则该平行四边形的面积为3,?5535S a b sin a b ==⨯⨯=r rr r . 故答案为：3. 【点睛】本题考查用向量解决几何问题的能力，涉及向量坐标的求解，夹角的求解，属基础题. 14．函数的定义域为________.【答案】【解析】解不等式即可得定义域.【详解】解:要使函数有意义,则必有,即.结合正弦曲线或单位圆,如图所示,可知当时,.(1) (2) 故函数的定义域为.故答案为:.本题考查函数定义域，是基础题.15．已知函数()2()log 28a f x x ax =-+在区间[1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围是_____.【答案】()[)0,12,3⋃【解析】根据复合函数单调性的性质，结合二次函数单调性与对数定义域要求，分类讨论01a <<与1a >两种情况，即可求得a 的取值范围. 【详解】函数()2()log 28a f x x ax =-+，所以0a >且1a ≠， 令()228t x a a =-+-，则()log a f t t =当01a <<时，因为函数()log a f t t =在()0,∞+内单调递减，而函数()f x 在区间[1,2]上是减函数，由复合函数单调性的性质可知，()228t x a a =-+-在区间[1,2]上是增函数，由二次函数对称轴及单调性可得1a <.且满足对数函数定义域要求，即()11280t a =-+>，解得92a <，所以由以上可得01a <<； 当1a >时，因为函数()log a f t t =在()0,∞+内单调递增，而函数()f x 在区间[1,2]上是减函数，由复合函数单调性的性质可知，()228t x a a =-+-在区间[1,2]上是减函数，由二次函数对称轴及单调性可得2a ≥.且满足对数函数定义域要求，即()24480t a =-+>，解得3a <，所以由以上可得23a ≤<.综上可知，a 的取值范围为()[)0,12,3⋃. 故答案为：()[)0,12,3⋃. 【点睛】本题考查了复合函数单调性性质应用，对数函数定义域要求，二次函数的对称性及单调性，分类讨论思想的综合应用，属于中档题. 16．若1cos sin 4x y +=，则2sin sin x y -的取值范围是_____.【答案】9,116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】根据等式，结合三角函数的值域，可求得3cos 14x -≤≤.由同角三角函数式化简所求整式，即可由二次函数性质求得值域. 【详解】因为1cos sin 4x y +=则1sin cos 4y x =- 因为1sin 1y -≤≤所以11cos 141cos 1x x ⎧-≤-≤⎪⎨⎪-≤≤⎩，解得3cos 14x -≤≤ 所以由同角三角函数关系式，并代入1sin cos 4y x =-化简可得 2sin sin x y -211cos cos 4x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭221cos 1x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，3cos 14x -≤≤ 所以当3cos 4x =-时，2sin sin x y -取得最小值为916-；当1cos 2x =时，2sin sin x y -取得最大值为1； 综上可知，2sin sin x y -的取值范围为9,116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：9,116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了三角函数的值域应用，二次型余弦函数的值域求法，同角三角函数关系式的应用，属于基础题.三、解答题17．已知sin 2cos 0θθ-=. （1）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin θ、cos θ及tan θ的值； （2）求21cos 2sin cos θθθ+的值.【答案】(1)255cos si tan 255n =θθθ==，，;(2)1 . 【解析】（1）根据同角三角函数关系求解出sin θ、cos θ及tan θ的值；（2）利用同角三角函数的基本关系化简，即可求出. 【详解】（1）sin 2cos 0tan 2θθθ-=∴=Q 又因为22sin cos 1θθ+=，25cos =021,πθθ⎛⎫∈∴ ⎪⎝⎭Qs 525cos .55in =θθ∴=， (2) 222221sin +cos tan +141==1cos 2sin cos cos 2sin cos 12tan 14θθθθθθθθθθ+==++++【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用,难度较易. 18．如图，已知ABC ∆中，D 为BC 的中点，12AE EC =，AD BE ，交于点F ，设AC a =u u u r r ，AD b =u u u r r ．（1）用,a b r r 分别表示向量AB u u u r ，EB u u u r；（2）若AF t AD =u u u r u u u r，求实数t 的值．【答案】（1）2AB b a =-u u r r u r ，423EB a b -+=u u u r rr ；（2）12t =．【解析】（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用,a b r r 分别表示向量AB u u u r ，EB u u u r； （2）用,a b r r 分别表示向量FB u u u r ，EB u u ur ，由平面向量共线基本定理，即可求得t 的值.【详解】（1）由题意，D 为BC 的中点，12AE EC =，可得13AE AC =u u u r u u u r ，AC a =u u u r r ，AD b =u u u r r ．∵2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ，∴2AB b a =-u u r r u r ，∴–EB AB AE =u u u r u u u r u u u r123b a a =--r r r423a b =-+rr（2）∵AD A tb F t ==u u u u r u u r r ，∴–FB AB AF =u u u r u u u r u u u r()2a t b =-+-r r∵423EB a b -+=u u u r rr ，FB u u u r ，EB u u u r 共线，由平面向量共线基本定理可知满足12423t --=-，解得12t =． 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题. 19．半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．()1根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；()2用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在[)105,115中的概率．【答案】（1）123.6（2）23【解析】⑴用频率分布直方图中的每一组数据的平均数乘以对应的概率并求和即可得出结果；⑵首先可通过分层抽样确定6人中在[)95105，分数段以及[)105115，分数段中的人数，然后分别写出所有的基本事件以及满足题意中“两名同学数学成绩均在[)105115，中”的基本事件，最后两者相除，即可得出结果． 【详解】⑴由频率分布表，估计这50名同学的数学平均成绩为：()101000.0041100.0201200.0281300.0321400.016123.6x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；⑵由频率分布直方图可知分数低于115分的同学有()100.004100.025012⨯+⨯⨯=人，则用分层抽样抽取6人中，分数在[)95105，有1人，用a 表示， 分数在[)105115，中的有5人，用1b 、2b 、3b 、4b 、5b 表示， 则基本事件有()1,a b 、()2,a b 、()3,a b 、()4,a b 、()5,a b 、()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()15,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()25,b b 、()34,b b 、()35,b b 、()45,b b ，共15个，满足条件的基本事件为()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()15,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()25,b b 、()34,b b 、()35,b b 、()45,b b ，共10个，所以这两名同学分数均在[)105115，中的概率为102153P ==． 【点睛】本题考查了频率分布直方图以及古典概型的相关性质，解决本题的关键是对频率分布直方图的理解以及对古典概型概率的计算公式的使用，考查推理能力，是简单题．20．已知函数()62f x sin x ⎛⎫- ⎝π=-⎪⎭，将函数()f x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，再向左平移6π个单位，再向上平移2个单位，得到函数()g x 的图象.（1）求函数()g x 的解析式； （2）求函数()g x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】（1）()26g x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）1，12-. 【解析】（1）根据函数图像平移伸缩变换，即可求得函数()g x 的解析式； （2）根据自变量的范围，结合正弦函数的图像与性质，即可求得函数()g x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的的最大值和最小值. 【详解】（1）函数()6sin 2f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭π，将函数()f x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，再向左平移6π个单位，再向上平移2个单位，可得()sin 22266g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 化简得()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）∵122x ππ≤≤，可得72366x πππ≤+≤， ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭. 当6x π=时，函数()g x 有最大值1； 当2x π=时，函数()g x 有最小值12-【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换及应用，正弦函数图像与性质的应用，属于基础题. 21．已知函数()Asin()A 0,0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式； （2）当,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式|()|1f x m -≤有解，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) ()2sin(2)3f x x π=+;(2) 03m ≤≤【解析】（1）利用函数的图像得A ，T ，可求出ω得值，代入点(,0)6π-可得函数()y f x =的解析式；（2）当,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，可得()f x 得取值范围，将|()|1f x m -≤化简列出不等式组可得实数m 的取值范围. 【详解】解：(1)由函数图像可得：2A =,41264T πππ=+=,T π=, 由2T ππω==，0>ω，可得=2ω，所以()2sin(2)f x x ϕ=+(||2ϕπ<), 代入点(,0)6π-，可得02sin[2()]6πϕ=⨯-+，可得3πϕ=，故()2sin(2)3f x x π=+；(2) 当,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,52,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, []()1,2f x ∈,由不等式|()|1f x m -≤有解，可得1()1f x m -≤-≤，1()1m f x m -+≤≤+，由[]()1,2f x ∈，可得1112m m +≥⎧⎨-+≤⎩，可得03m ≤≤， 实数m 的取值范围为：03m ≤≤. 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法及利用三角函数的性质求参数，考查计算能力，转化思想.22．已知函数24,02()(2)2,2x x f x x x a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数．（1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围．【答案】（1）2a ≤（2）03a ≤<【解析】（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；（2）分别讨论当0a <，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围． 【详解】（1）由题意，当02x <≤时，4()f x x x=-为减函数， 当2x >时，()()222f x x a x a =-++-，若2a ≤时，()()222f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=，此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件； 若2a >时，()()222f x x a x a =-++-在22,2a +⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则不满足条件． 综上所述，2a ≤．（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==， 当0a <时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件； 当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，对于2x >上，()f x 的最大值为22(2)1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭， 不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，第 21 页 共 21 页 对于2x >上，22(2)(4)123444a a a ----=<-， 不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件；综上所述，03a ≤<．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．。
山西省忻州市2020版高一下学期数学期中考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·十堰模拟) 若夹角为的向量与满足，且向量为非零向量，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知，记，，则M与N的大小关系是（）A . M<NB . M>NC . M=ND . 不能确定3. （2分）如图，将圆沿AB折叠后，圆弧恰好经过圆心，则∠AOB的度数等于（）A . 60°B . 90°C . 120°D . 150°4. （2分）(2020·定远模拟) 在等比数列中，，，且前项和，则此数列的项数等于（）A .B .C .D .5. （2分）(2016·安庆模拟) 在△ABC中，，则sin∠BAC=（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高一下·宜昌期末) 设{an}是公比负数的等比数列，a1=2，a3﹣4=a2 ，则a3=（）A . 2B . ﹣2C . 8D . ﹣87. （2分） (2018高二上·西宁月考) 如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形. 如果三棱柱的体积为，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为（）A .B .C .D .8. （2分）已知向量、满足=+2，=-5+6，=7-2，则一定共线的三点是（）A . A、B、DB . A、B、CC . B、C、DD . A、C、D9. （2分）(2019·南昌模拟) 在中，角，，的对边分别为，，，若，且恒成立，则的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二上·江门月考) 已知数列：，即此数列第一项是，接下来两项是，再接下来三项是，依此类推，……，设是此数列的前项的和，则（）A .B .C .D .11. （2分）已知椭圆C:的左、右焦点分别为，椭圆C上点A满足. 若点P 是椭圆C上的动点，则的最大值为（）A .B .C .D .12. （2分）(2018·枣庄模拟) 设为定义在上的奇函数，当时，为常数），则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一下·武汉期中) 设为实数，且，则下列不等式正确的是________.（仅填写正确不等式的序号）① ；② ；③ ；④ ；⑤14. （1分） (2018高二下·无锡月考) 如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，△BCD是等边三角形，若，则AD的长为________．15. （1分） (2016高一下·大庆期中) 已知函数f（n）=n2sin ），且an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a2016的值为________16. （1分）在△ABC中，已知AB=8，AC=5，△ABC的面积是12，则cos（2B+2C）的值为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高三上·涪城开学考) 已知向量 =（sin（A﹣B），， =（1，2sinB），且• =﹣sin2C，其中A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若，且S△ABC= ，求边c的长．18. （10分）(2013·湖北理) 设n是正整数，r为正有理数．（1）求函数f（x）=（1+x）r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；（参考数据：．（2）证明：；（3）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如．令的值．19. （5分）(2018高二上·莆田月考) 在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.20. （10分） (2017高一下·双流期中) 设．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，若，求△ABC面积的最大值．21. （10分） (2017高二上·玉溪期末) 已知△ABC的周长为 +1，且sinA+sinB= sinC（I）求边AB的长；（Ⅱ）若△ABC的面积为 sinC，求角C的度数．22. （15分）(2017·济南模拟) 设数列{an}的前n项和为Sn ，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，bn=﹣1﹣log2|an|，数列{bn}的前n项和为Tn ， cn= ．（1）求数列{an}的通项公式与数列{cn}前n项和An；（2）对任意正整数m、k，是否存在数列{an}中的项an，使得|Sm﹣Sk|≤32an成立？若存在，请求出正整数n的取值集合，若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。
山西省忻州市2020版高一下学期数学期中考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·佛山模拟) 函数的最小正周期和振幅分别是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·兰州期末) 若A（-2，3），B（3，-2），C（，m）三点共线，则m的值是（）A .B .C .D .3. （2分）已知角α的终边经过点（3a﹣9，a+2），且cosα≤0，sinα＞0，则a的取值范围是（）A . （﹣2，3）B . [﹣2，3）C . （﹣2，3]D . [﹣2，3]4. （2分）如图，平行四边形ABCD中，，点M在AB边上，且,则等于（）A .B .C . -1D . 15. （2分）若，则（）A . f（﹣1）＞f（0）＞f（1）B . f（0）＞f（1）＞f（﹣1）C . f（1）＞f（0）＞f（﹣1）D . f（0）＞f（﹣1）＞f（1）6. （2分） (2020高一下·林州月考) 若函数对任意都有，则的值为（）A .B .C .D . 07. （2分） (2017高一下·瓦房店期末) 已知，，则（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一下·滕州期末) 将函数f（x）=cos（x+φ）的图象上每点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则下列直线中是函数f （x）图象的对称轴的是（）A . x=﹣B . x=C . x=﹣D . x=9. （2分）如图，设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，下列向量组：① 与；② 与；③ 与；④ 与．其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（）．A . ①②B . ③④C . ①③D . ①④10. （2分） (2017高一上·宜昌期末) 在平行四边形ABCD中，点E为CD中点， = ， = ，则等于（）A . ﹣B . ﹣C .D .11. （2分）在ABC中，tanA=,cosB=，则tanC的值是（）A . -1B . 1C .D . 212. （2分）(2016·太原模拟) 向量与向量的夹角为π，，若点A的坐标是（1，2），则点B的坐标为（）A . （﹣7，8）B . （9，﹣4）C . （﹣5，10）D . （7，﹣6）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一下·上海月考) 半径为2，圆心角为的扇形的面积为________．14. （1分） (2018高一下·威远期中) 已知|a|=6,|b|=3,a·b=−12,则向量a在向量b方向上的投影是________15. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知锐角是钝角的两个内角，且的终边过点，则是第________象限角.16. （1分）函数y=Asin（ω•x+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为________．三、解答题 (共5题；共35分)17. （5分）化简 + ．18. （5分） (2017高三上·涪城开学考) 已知向量 =（sin（A﹣B），， =（1，2sinB），且• =﹣sin2C，其中A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若，且S△ABC= ，求边c的长．19. （5分） (2016高三上·承德期中) 已知向量 =（sinx，﹣1）， =（ cosx，﹣），函数f（x）=（）• ﹣2．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T；（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2 ，c=4，且f（A）=1，求A，b和△ABC的面积S．20. （10分） (2016高一下·淄川期中) 已知向量，向量，函数f（x）= ．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数y=f（x）的图象上所有点向右平行移动个单位长度，得函数y=g（x）的图象，求函数y=g （x）在区间[0，π]上的值域．21. （10分） (2020高一上·铜仁期末) 已知，且为第三象限角.（1）求的值；（2）求的值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共35分)17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、。
