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二次函数解题技巧与方法总结二次函数在数学中扮演着重要的角色，广泛应用于各个领域。
掌握二次函数的解题技巧和方法对于学习和解决实际问题至关重要。
本文将总结一些二次函数解题的技巧和方法，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
一、基本概念回顾在进入具体的解题技巧之前，我们先回顾一下二次函数的基本概念。
二次函数一般由形如y = ax^2 + bx + c的函数表示，其中a、b、c是已知常数，a ≠ 0。
此外，二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由参数a的正负决定。
二、二次函数解题技巧1. 求二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，也是函数的极值点。
求顶点的方法是通过平移变换，将二次函数表示成顶点式y = a(x - h)^2 + k的形式，其中(h, k)即为顶点坐标。
2. 求二次函数的零点二次函数的零点是函数与x轴相交的点，也就是函数的解。
可以通过因式分解、配方法、求根公式等多种方法求解二次函数的零点。
其中，求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a是最常用的方法之一。
3. 确定二次函数的图像通过观察二次函数的a、b、c的值，我们可以大致确定二次函数图像的特点。
当a > 0时，抛物线开口朝上，顶点为最低点；当a < 0时，抛物线开口朝下，顶点为最高点。
通过对图像的判断，可以更好地理解和解决二次函数的问题。
4. 利用二次函数的性质解题二次函数还有一些性质，如对称性、奇偶性等，我们可以利用这些性质来解题。
例如，偶函数的图像关于y轴对称，利用这一性质可以简化一些计算步骤；而奇函数的图像关于原点对称，可以帮助我们确定函数的性质。
三、二次函数解题方法除了掌握解题技巧，还需要了解一些常见的解题方法。
以下是一些常用的二次函数解题方法。
1. 利用已知条件列方程在解题过程中，我们通常会遇到一些已知条件，例如函数的顶点坐标、零点等。
我们可以根据这些已知条件列方程，并利用方程解题求解未知数。
二次函数动点问题的解题技巧
以下是 8 条关于二次函数动点问题的解题技巧：
1. 大胆设未知数呀！比如在一个直角坐标系里，有个二次函数图像上有个动点 P，那咱就大大方方设它的坐标为(x,y)，这样不就能更好地分析啦！就像给这个动点取了个名字，好指挥它呀！
2. 把条件都用上呀！可别漏了，像找到某个线段长度与动点坐标的关系，哎呀呀，这可是关键呢！比如已知一个线段的长度是 5，和动点 P 的横坐标有关，那可不能放过这个线索，得好好挖掘挖掘！
3. 找等量关系呀！这就好比寻宝，到处去找那些能关联起来的等量哦。
比如说一个三角形面积和另一个图形面积相等，这不就找到宝贝线索啦！
4. 注意特殊位置呀！嘿，动点有时候会跑到一些特殊的点呢，那可有意思啦。
比如它跑到对称轴上时，那说不定会有惊喜发现呢！像突然发现一些对称关系，多神奇呀！
5. 画画图呀！通过图形能更直观地看到动点的运动呀，这就像给你一双眼睛看着它怎么跑。
看看它跑到不同地方时整个图形发生的变化，多好玩呀！
6. 多试试分类讨论呀！有时候动点的情况不唯一呢，那咱就别怕麻烦，一种一种来。
难道还能被它难住不成？像动点在不同区间时可能有不同的结果，咱就一个个算清楚嘛！
7. 利用函数解析式呀！这可是个好宝贝，通过它能知道很多信息呢。
比如知道了二次函数的解析式，那动点在上面的一些性质不就清楚啦？
8. 要敢想敢做呀！别犹豫，大胆去尝试各种方法。
不试试看怎么知道行不行呢？就像冒险一样，多刺激呀！
总之，面对二次函数动点问题，别怕！勇敢地去探索，一定能找到答案的！。
中学数学二次函数压轴题解题技巧二次函数是中学数学中重要的概念之一。
在解题过程中，掌握一些解题技巧能够帮助我们更轻松地解决二次函数的压轴题。
以下是一些解题技巧的总结：1. 定义二次函数首先，我们需要清楚二次函数的定义和一般形式。
二次函数的一般形式是：$$f(x) = ax^2 + bx + c$$，其中a、b、c为常数，且$a \neq 0$。
了解二次函数的定义和形式，有助于我们在解题过程中准确理解题目和相关知识。
2. 寻找顶点二次函数的图像是一个抛物线，其中的最高点或最低点被称为顶点。
寻找顶点是解题过程中的关键步骤之一。
顶点的横坐标为$x = -\frac{b}{2a}$，纵坐标为$f\left(-\frac{b}{2a}\right)$。
通过计算这两个值，我们能够确定抛物线的位置和形状。
3. 判断开口方向通过观察二次函数的二次项系数a的正负，我们可以判断抛物线的开口方向。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
这一点在解题中很重要，因为它影响到抛物线与坐标轴的交点和极值。
4. 求解零点解题时，我们通常需要求二次函数的零点，即$f(x) = 0$的解。
求解零点的方法有两种：因式分解和配方法。
对于简单的二次函数问题，我们可以利用因式分解直接求解零点；对于复杂的问题，可以使用配方法。
5. 判断函数值的变化通过计算二次函数的值$f(x)$，我们可以判断函数在不同区间内的变化趋势。
当a大于0时，二次函数在顶点处取得最小值，且随着x增大或减小，函数值逐渐变大；当a小于0时，二次函数在顶点处取得最大值，且随着x增大或减小，函数值逐渐变小。
6. 利用对称性二次函数具有对称性，即关于顶点对称。
这一点在解题中经常用到。
通过利用对称性，我们可以快速求得函数的某些值，或者根据已知的函数值推导出其他函数值。
7. 注意特殊情况解题过程中，我们应该注意特殊情况的处理。
例如，当a等于零时，二次函数变为一次函数；当顶点坐标为整数时，我们可以在图像上快速标出顶点和其他点。
解题高招初中数学解题技巧助你迎战二次函数题二次函数作为初中数学的重要知识点之一，在解题过程中常常会给学生们带来困扰。
然而，只要我们掌握一些解题高招和技巧，就能够轻松迎战二次函数题。
本文将为大家介绍几种实用的解题方法，帮助大家有效地解决二次函数题。
一、利用图像进行观察法要解决二次函数题，首先要对二次函数的图像形状有一定的了解。
我们可以通过观察二次函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴等信息来解决问题。
例如，当给出一个二次函数图像，并且需要求解它的最值，我们可以通过观察图像的开口方向和顶点坐标来判断最值的位置。
二、配方法配方法是解决二次函数题的一种常用的技巧。
通过选择适当的配方法，我们可以将一个二次函数转化为一个完全平方的形式，从而更加方便地进行计算和求解。
常见的配方法有以下几种：1. 完全平方公式：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以利用完全平方公式进行配方法，将其转化为 f(x) = a(x + m)^2 + n 的形式。
2. 合并同类项：有时，我们可以将二次函数的各项进行合并，通过合并同类项的方式简化计算，进而求解问题。
三、求解交点法当我们需要求解二次函数与直线或其他二次函数的交点时，可以利用求解交点法。
具体的方法是，我们将给定的直线或二次函数与二次函数相交的点的横坐标代入二次函数中，从而得到对应的纵坐标，从而求得交点的坐标。
四、利用因式分解法因式分解法是解决二次函数题的另一种常用的方法。
当我们需要对二次函数进行因式分解时，可以利用以下方法进行求解。
首先，我们将二次函数用因式分解的形式表示，即将其写成两个一次多项式的乘积。
然后，我们仔细观察二次函数的各项系数和常数项，找到可以进行因式分解的特殊情况。
通过因式分解，我们可以更加简化二次函数的形式，从而方便地进行计算和求解。
五、利用导数法利用导数法是解决二次函数题的一种高级技巧。
当我们需要求解二次函数的最值或拐点时，可以利用导数法进行求解。
初中数学二次函数解题技巧初中数学中，二次函数是一个比较难理解的知识点。
它的定义是一个形如y=ax²+bx+c 的二次函数，其中a,b,c 是常数，而x 和y 则是变量。
它常用于物理、工程学等领域中的问题求解。
当然，许多同学都觉得二次函数非常难，但它其实并不难。
只要我们了解一些解题技巧，就能够轻松地应对二次函数的题目。
接下来，本文将为大家详细介绍一些初中数学二次函数解题技巧。
一. 推导二次函数通式首先，我们需要熟悉二次函数的形式以及相应的技巧。
我们来探讨一下怎样推导二次函数的通式。
一般地，我们常用相加相除的方法消去x²再化简。
利用与二次函数有关的图像来找到具有相关性的量之间的关系，可以帮助我们推导出二次函数的通式。
通式为：y=a(x-p)²+q，其中 a 是抛物线的开口方向，p 是抛物线的顶点，q 是抛物线与y 轴的交点。
二、使用因式分解法其次，因式分解法是二次函数中的一种应用方法。
你可以用它来快速解决二次函数题目。
在使用因式分解法时，只需找到方程式中可以分解为两个值的因数。
因式分解法在解决有些年级的数学问题时非常有用。
例如，对于y=2x²+4x+2的问题，我们只需要将2x²+4x+2 进行因式分解，即可得到y=2(x+1)²-2。
三、更深入的考虑单根或两个实根的情况在解决二次函数相关的问题时，我们还必须注意所涉及的方程式的单根或两个实根的情况。
许多同学常常会遇到这种问题，但不知道怎样应对。
实际上，这种情况需要你更深入地思考。
例如，如果二次函数为y=ax²+bx+c，你需要先计算出它的根。
如果根是实根，就需要用它来推导出二次函数的通式。
如果根为单根，则需要用一些组合公式来进一步解决问题。
有一些像求解二次函数的极值等问题，也需要用到组合公式。
四、使用二次函数图像最后，这是一种相对简单的解决二次函数问题的方法。
我们可以根据二次函数的图像来推导出相应的通式。
11.1班沈阳 14号初中二次函数的解题方法首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式：一般式：y=a x2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a,4ac-b²/4a) ;顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线,即b^2-4ac≥0] ：由一般式变为交点式的步骤：∵X1+x2=-b/ax1·x2=c/a ∴y=ax²+bx+c=a(x²+b/ax+c/a)=a[﹙x²;-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)重要概念：。
1.二次函数图像是轴对称图形。
对称轴为直线x = h或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0);a,b同号，对称轴在y轴左b=0,对称轴是y轴;a,b异号，对称轴在y轴右侧2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 当h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。
h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数图像向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
有时也可以考虑图像的整体性质、特殊点的位置及二次方程的联系，结合韦达定理和判别式定理确定a,b,c,△及系数的代数符号。
常见问题1、抛物线中特殊点组成的三角形问题：抛物线线中的特殊三角形主要有两类：（1）、抛物线与x轴的两个交点和与y轴的交点所组成的三角形；（2）、抛物线与x轴的两个交点和顶点所组成的三角形。
初中二次函数参数取值范围的解题思路和方法二次函数参数取值范围的解题思路和方法主要包括以下几个步骤：1. 理解二次函数的基本形式：二次函数的一般形式为 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a \neq 0$。
2. 确定参数与函数性质的关系：开口方向：由 $a$ 决定。
当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
对称轴：由 $b$ 决定。
对称轴为 $x = -\frac{b}{2a}$。
顶点：坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$。
与坐标轴的交点：令 $f(x) = 0$ 解得与 $x$ 轴的交点；令 $x =0$ 解得与 $y$ 轴的交点。
3. 根据题目要求求解参数范围：求最值：如果题目要求二次函数的最大值或最小值，可以通过顶点坐标或对称轴来求解。
求交点：如果题目要求二次函数与坐标轴的交点，可以令 $f(x) = 0$ 或 $x = 0$ 来求解。
求参数范围：根据题目给出的条件，如函数在某个区间上的单调性、与坐标轴的交点位置等，列出不等式或方程来求解参数的范围。
4. 验证解的有效性：解出参数后，需要代入原函数进行验证，确保解满足题目的所有条件。
下面是一个具体的例子：例：已知二次函数 $f(x) = x^2 - 2mx + m^2 + m - 2$，求 $m$ 的取值范围，使得函数在区间 $[1, 3]$ 上单调递减。
解：1. 确定对称轴：二次函数 $f(x) = x^2 - 2mx + m^2 + m - 2$ 的对称轴为$x = m$。
2. 判断单调性：由于二次项系数 $a = 1 > 0$，抛物线开口向上。
因此，函数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增。
3. 求解参数范围：要使函数在区间 $[1, 3]$ 上单调递减，需要对称轴 $x = m$ 在区间 $[1, 3]$ 的右侧，即 $m \geq 3$。
初中二次函数题型及解题方法【主题】：初中二次函数题型及解题方法1. 介绍在初中数学中，二次函数是一个非常重要的知识点，涉及到了函数的图像、性质、方程与不等式等内容。
通过学习初中二次函数的题型及解题方法，可以帮助学生更深入地理解函数的性质和应用，从而提高数学解题能力。
本文将针对初中二次函数的常见题型及解题方法进行全面分析和讨论。
2. 二次函数的基本形式二次函数的基本形式为：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定。
在解题时，可以通过分析二次函数的图像特点来进行求解。
3. 初中二次函数题型及解题方法3.1 求解二次函数的最值问题当二次函数表示的是某个实际问题中的规律时，往往需要求解函数的最值。
通过对二次函数图像的分析，可以利用顶点公式求解函数的最值，并结合实际问题进行解答。
3.2 求解二次函数与直线的交点通过构建二次函数和直线的联立方程，可以求解二次函数与直线的交点，从而解决相关的几何问题或应用题。
3.3 解决二次函数不等式二次函数的不等式问题是初中数学中的重点之一，通过对二次函数图像的分析，可以将不等式转化为对应的区间表示，进而求解不等式的解集合。
3.4 求解二次函数的零点通过因式分解、配方法、求根公式等方法，可以求解二次函数的零点，即方程y=ax^2+bx+c=0的解。
4. 个人观点和理解初中二次函数是数学中一个非常重要的内容，对学生的数学思维能力和解题能力都有很大的提升作用。
在学习过程中，要重视对二次函数图像的理解和分析，掌握几何意义、代数意义和应用意义，并善于运用各种方法进行解题。
还要注重培养数学建模能力，将二次函数运用到实际问题中去解决实际问题。
5. 总结通过本文的介绍和讨论，我们对初中二次函数的题型及解题方法有了更深入的理解。
在学习过程中，要注重对图像的分析、函数性质的运用以及解题方法的灵活运用，从而提高数学解题能力。
在这篇文章中，我全面阐述了初中二次函数的题型及解题方法，希望能帮助你更深入地理解这一数学知识点。
All great actions and thoughts have a trivial beginning.勤学乐施积极进取（页眉可删）初中数学二次函数解题技巧初中数学二次函数解题技巧，初中数学二次函数有怎么样的解题思路?下面我们就来学习二次函数解题方法哦!I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y 为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c(a，b，c为常数，a0)顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P(h，k)] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-bb^2;-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线 x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
当-b/2a=0时，P在y轴上;当= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。
２０２４年４月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀初中数学二次函数解题方法与技巧◉宁夏回族自治区固原市西吉县兴平乡中心小学㊀王建勤㊀㊀基于中考数学试题的研究可以发现,二次函数的知识点在初中数学试卷中所占比例较大,内容较多,题目较复杂,考题难度较大．特别是二次函数问题经常会在中考压轴题中出现．下面对有关二次函数的常见题型及解题方法进行总结．１解析式问题找㊁代㊁解在求解二次函数解析式的问题中,教师可以引导学生遵循 找㊁代㊁解 的解题思路,解决与二次函数有关的实际问题．图１例１㊀如图１所示,对称轴为直线x ＝１２的抛物线经过B (２,０),C (０,４)两点,抛物线与x 轴的另一为点A ,求抛物线的解析式．找:找出题目中抛物线上的相应坐标信息．如B (２,０),C (０,４),对称轴直线x ＝１２．代:代入到二次函数y ＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０)．解:进一步求解二次函数解析式．注:解析式问题需要学生具有较为扎实的二次函数学习基础．为此,在开展解析式问题教学前,教师可以利用对分课堂教学模式,引导学生梳理二次函数基本知识,提高学生的做题效果和课堂教学效率．２动点问题设㊁找㊁论有关动点问题,主要有x 轴上的动点问题㊁二次函数对称轴上的动点问题以及抛物线上的动点问题三种情况．求解时,首先假设出动点的坐标,由题干中的隐藏关系找出相应的等式,最后根据情况分类讨论,并根据合理性解出正确的结果．例２㊀已知抛物线y ＝－２x ２＋２x ＋４与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,若P 为抛物线第一象限内的一点,设四边形C O B P 的面积为S ,求S 的最大值．设:设P (n ,－２n ２＋２n ＋４)(０＜n ＜２)．找:如图２,过点P 作x 轴㊁y 轴的垂线,垂足分别为F ,E ,连接O P ．由此可知S ＝S әC O P ＋S әP O B ＝１２O C n ＋１２O B (－２n ２＋２n ＋４)＝－２(n －１)２＋６．图２论:当且仅当n ＝１时,S 取得最大值,且最大值为６．注:动点问题需要学生耐心思考,找出题干中的关系式,这也是二次函数动点问题的重难点所在．为此,教师要引导学生克服解决动点问题时的恐惧心理,运用二次函数动点问题的三部解题法加强训练．３面积问题找㊁拆㊁设面积问题常以求解三角形面积或四边形面积的形式出现,主要考查求解三角形面积㊁求解两个三角形交点的坐标位置㊁求解三角形或四边形面积最大时的动点坐标这三大问题．图３例３㊀如图３所示,在平面直角坐标系中,抛物线y ＝－x ２＋５x ＋６与x 轴相交于A ,B 两点,与y 轴相交于点C ,且直线y ＝x －６过点B ,与y 轴交于点D ,点C 与点D 关于x 轴对称,已知P 是线段O B 上的一个动点,过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ,交直线B D 于点N ．当әMD B 的面积最大时,求点P 的坐标．根据题干,可以发现本道题在考查面积的基础上,进一步提出了求点P 的坐标．但仍需先求出әMD B 面积的最大值,再从中寻找答案．找:找出әMD B 的面积关系．已知在әMD B 中,B 和D 是定点,M 是抛物线上的一个动点,可以使用铅垂模型求解,即线段MN 将әMD B 分割为有公共底边的两个三角形әMN D 和әMN B ．拆:根据上述陈述,可以得到S әM D B ＝S әMN D ＋S әMN B ＝１２MN |x B －x D |．设:设点P 坐标为(m ,０),则M (m ,－m ２＋５m ＋６),N (m ,m －６),于是MN ＝－m ２＋４m ＋１２,所以S әM D B ＝１２MN |x B －x D |＝－３m ２＋１２m ＋３６＝－３(m －２)２＋４８,当且仅当m ＝２时,S әM D B 有最大值,且最大值为４８,此时点P 的坐标为(２,０)．注:教师在开展有关二次函数面积问题题型训练１７解法探究２０２４年４月下半月㊀㊀㊀时,首先要引导学生学习如何找出面积关系．教师可以引导学生复习求面积的方法,如割补法㊁铅垂法等,从而提高学生的学习效率[１]．其次,利用面积求解方法引导学生灵活解决面积问题．４几何图形存在性问题找㊁解㊁论中考有关二次函数几何图形存在性问题,主要考查三角形和四边形的存在性,且以考查特殊三角形和四边形居多．通常几何图形会与面积最值或动点问题搭配考查,灵活性较高,难度较大．图４例４㊀如图４所示,已知二次函数y ＝x ２＋２x －３的图象与x 轴相交于点A 和B ,其中点A 的坐标为(－３,０),且过点B 作一条直线与抛物线相交于点D (－２,－３)．过x 轴上的点E (a ,０)(点E 在点B 的右侧)作直线E F ʊB D ,且与该抛物线相交于点F ,试分析是否存在实数a ,使得四边形B D F E 为平行四边形若存在,请求出满足条件的实数a ;若不存在,请说明理由．找:根据题干内容,学生能够轻松求出直线B D 的解析式为y ＝x －１,则直线E F 的解析式为y ＝x －a ．根据 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 这一定理可知,若想四边形B D F E 为平行四边形,只需满足D F 与x 轴平行即可．解:若D F 与x 轴平行,则点D 和点F 的纵坐标相等,即点F 的纵坐标为－３．而F 为直线E F 与抛物线的交点,设F 的横坐标为m ,根据B E ＝D F ,可得a －１＝m ＋２,即m ＝a －３,则F (a －３,－３)．论:将F (a －３,－３)代入y ＝x ２＋２x －３,可以解出a １＝１,a ２＝３．当a ＝１时,点E (１,０)与点B 重合,不符合题意,舍去;当a ＝３时,点E (３,０)符合题意．所以,当且仅当a ＝３时,四边形B D F E 为平行四边形．注:关于二次函数几何图形存在性问题的内容较为丰富,出题方式较为灵活,因此,学生需要加强训练,把握解决二次函数几何图形存在性问题的解题思路,提高解题效率和解题质量．５最值问题设㊁找㊁论最值问题是二次函数的常考题型,最值问题通常与面积问题一同出现．因此,在面对这一问题时,教师可以引导学生运用割补法或铅垂(铅垂高,水平宽)法求出几何图形的面积,再通过数式关系求出最大值或最小值．例５㊀如图５,已知抛物y ＝a x ２－２a x ＋c 经过点C (１,２),与x 轴交于A ,B 两点,其中A 点坐标图５为(－１,０)．(１)求抛物线的解析式;(２)直线y ＝３４x 交抛物线于S ,T 两点,M 为抛物线上A ,T 之间的一个动点,过M 作M E 垂直x 轴于点E ,M F ʅS T 于点F ,求M E ＋M F 的最大值．本题根据解决解析式问题的步骤,可以很快得出抛物线y ＝－１２x ２＋x ＋３２．对于第(２)问,可以通过设㊁找㊁论的步骤求解．设:设点M 的坐标为(t ,－１２t ２＋t ＋３２),直线O T 交M E 于G ,则G (t ,３４t )．找:找出M E ＋M F 的表达式．M E ＝－１２t ２＋t ＋３２,O G ＝５４t ,M G ＝－１２t ２＋１４t ＋３２．由s i n øO G E ＝s i n øM G F ＝４５,得M F ＝４５M G ＝－２５t ２＋１５t ＋６５．所以,可得M E ＋M F ＝－９１０t ２＋６５t ＋２７１０＝－９１０(t －２３)２＋３１１０．论:当且仅当t ＝２３时,M E ＋M F 有最大值,且最大值为３１１０．注:最值问题首先需要学生找到目标函数的表达式,然后化简等式．其次,最值问题需要学生正确计算出数式的答案,保证运算的准确率[２]．综上所述,初中对二次函数的考查内容虽然灵活复杂[３],但是若学生能够利用解析式问题㊁动点问题㊁面积问题㊁几何图形存在性问题和最值问题的解题方法与解题技巧,并进行适当的训练,就能提高有关二次函数的解题能力．参考文献:[１]陆立明．二次函数综合题解题分析与备考策略 以南宁市中考数学二次函数题型为例[J ]．中学教学参考,２０２２(１７):２２Ｇ２４．[２]陈丽黎．类比探究透本质,数形结合双翼飞 二次函数的图象与性质(３) 的教学设计与反思[J ]．中学数学,２０２２(１２):４５Ｇ４６．[３]王国强,华云锋．慢教学:初中生数感培养的课堂新样态 以 二次函数 单元起始课教学为例[J ]．中学数学,２０２２(１０):７Ｇ１０．Z２７。
11.1班沈阳14号初中二次函数的解题方法首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式：一般式：y=a x2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a,4ac-b²/4a) ;顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线,即b^2-4ac≥0] ：由一般式变为交点式的步骤：∵X1+x2=-b/ax1·x2=c/a ∴y=ax²+bx+c=a(x²+b/ax+c/a)=a[﹙x ²;-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)重要概念：。
1.二次函数图像是轴对称图形。
对称轴为直线x = h 或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0);a,b同号，对称轴在y轴左b=0,对称轴是y轴;a,b异号，对称轴在y轴右侧2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 当h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。
h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数图像向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
有时也可以考虑图像的整体性质、特殊点的位置及二次方程的联系，结合韦达定理和判别式定理确定a,b,c, △及系数的代数符号。
常见问题1、抛物线中特殊点组成的三角形问题：抛物线线中的特殊三角形主要有两类：（1）、抛物线与x轴的两个交点和与y轴的交点所组成的三角形；（2）、抛物线与x轴的两个交点和顶点所组成的三角形。
解决策略是：应用平面几何的有关定理，如等腰三角形的三线合一、直角三角形的勾股定理、射影定理、斜边中线定理等结合两点间的距离公式及二次方程的求根公式、判别式定理、韦达定理等知识求解。
用到的数学思想方法有数形结合、分类讨论、转化等。
2、二次函数的定点和动点问题：求动点运动所形成的直线或曲线一般采用消去参数法，即消去参数以后的方程即为动点需满足的函数解析式。
解决定点问题有两个解决办法：（1）特殊值法，即令参数取两个符合条件的特殊值，通过解方程组求解，解即为顶点坐标。
（2）转化为参数为主元的方程问题，即方程有无穷多解，得到系数为零的条件再讨论解决。
3、求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积，关键是用含系数a、b、c的代数式表示出点的坐标或线段长，使面积问题与系数a、b、c 建立联系．4、二次函数与整数问题二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数a、b、c为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等．解题时往往要用到一些整数的分析方法．5、二次函数的最值问题定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值(最大值和最小值)．如果顶点横坐标在区间内，则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值；如果顶点横坐标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值．定义域是开区间时，二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值，否则不存在最值．在初中数学竞赛中，二次函数是解决一些实际问题的有效工具，二次函数本身也蕴含着丰富的内涵，因此，在近几年的全国数学竞赛中，有关二次函数试题频频出现，并有不断拓展和加深的趋势。
例1 抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为(4，－11)，且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负．则a 、b 、c 中为正数的（ ）A 、只有aB 、只有bC 、只有cD 、有a 和b 解：由顶点为(4，－11)，抛物线交x 轴于两点，知a >0．设抛物线与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，即x 1、x 2为方程ax 2+bx +c =0的两个根，由题设x 1x 2<0知a c <0，所以c <0，又对称轴为x =4知－a b 2>0，故b <0．故选(A)．例2 已知二次函数f (x )=ax 2+bx+c 的系数a 、b 、c 都是整数，并且f (19)=f (99)=1999，|c |<1000，则c = ．解：由已知f (x )=ax 2+bx+c ，且f (19)=f (99)=1999，因此可设f (x )=a (x －19)(x －99)+1999，所以ax 2+bx+c =a (x －19)(x －99)+1999=ax 2－(19+99)x +19×99a +1999，故c =1999+1881a ． 因为|c |<1000，a 是整数，a ≠0，经检验，只有a =－1满足，此时c =1999－1881=118．例3 已知a ，b ，c 是正整数，且抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若A 、B 到原点的距离都小于1，求a+b+c 的最小值．解：设A 、B 的坐标分别为A(x 1，0)，B(x 2，0)，且x 1<x 2，则x 1，x 2是方程ax 2+bx+c =0的两个根． ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=+,0,02121a c x x a b x x ∴x 1<0，x 2<0 又由题设可知△=b 2－4ac >0，∴b >2ac ①∵|OA|=|x 1|<1，|OB|=|x 2|<1，即－1<x 1，x 2<0， ∴ac =x 1x 2<1，∴c <a ② ∵抛物线y =ax 2+bx+c 开口向上，且当x =－1时y >0，∴a (－1)2+b (－1)+c >0，即a+c>b ．∵b ，a +c 都是整数，∴a+c ≥b +1 ③由①，③得a+c >2ac +1，∴(c a -)2>1，又由②知， c a ->1，c a >+1，即a >(c +1)2≥(1+1)2=4∴a ≥5，又b >2ac ≥215⨯>4，∴b ≥5取a =5，b =5，c =1时，抛物线y =5x 2+5x +1满足题意． 故a+b+c 的最小值为5+5+1=11．例4 如果y =x 2－(k －1)x －k －1与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4解：由于△=(k －1)2+4(k +1)=(k +1)2+4>0，所以对于任意实数k ，抛物线与x 轴总有两个交点，设两交点的横坐标分别为x 1，x 2，则： |AB|=524)()(221221221++=-+=-k k x x x x x x又抛物线的顶点c坐标是(452,212++--k k k )， 因此S △ABC =52212++k k ·322)52(81452++=++-k k k k因为k 2+2k +5=(k +1)2+4≥4，当k =－1时等于成立，所以，S △ABC ≥14813=，故选A ．例5 已知二次函数y=x 2－x －2及实数(1)函数在－2<x ≤a 的最小值；(2)函数在a ≤x ≤a +2的最小值． 解：函数y=x 2－x －2的图象如图1(1)若－2<a <21， 当x =a 时，y 最小值=a 2－a －2若a ≥21，当x =21时，y 最小值=－49．(2)若－2<a 且a +2<21，即－2<a <－23，当x =a +2时，y最小值=(a +2)2－(a +2)－2=a 2+3a ，若a <21≤a +2，即－23≤a <21，当x =21时，y 最小值=－49．若a ≥21，当x =a 时，y 最小值=a 2－a －2．例6 当|x +1|≤6时，函数y =x |x |－2x +1的最大值是 ．解：由|x +1|≤6，得－7≤x ≤5，当0≤x ≤5时，y=x 2－2x +1=(x 42图1－1)2，此时y最大值=(5－1)2=16．当－7≤x<0，y=－x2－2x+1=2－(x+1)2，此时y最大值=2．因此，当－7≤x≤5时，y的最大值是－16．说明：对于含有绝对值的二次函数，通常是先分区间讨论，去掉绝对值符号，求出各区间的最值，然后通过比较得出整个区间函数的最值．例7、已知二次函数y=x^2+(k+2)x+k+5与x轴的两个不同交点的横坐标都是正的，那么，k的值应为（)A.k＞4或k＜-5B.-5＜k＜-4C.k≥-4或k≤-5D.-5≤k≤-4因为与X轴有2个交点所以b^2-4ac=(k+2)^2-4(k+5)>0 ——(1)设与x轴交点分别为x1，x2则x1+x2=-（k+2）>0 ——（2）x1*x2=k+5>0 ——（3）解得-5<k<-4选B例8.已知二次函数y=x²+bx+c的图像经过点（-1,0），（1，-2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是__[3/4，+∝）__.解析：把点（-1,0），（1，-2）代入二次函数数，可解得b=-3/2 函数的对称轴为x=-（-3/2）/2=3/4a=1＞0，函数开口向上，单调递增区间是[3/4，+∝）.例9.二次函数y=ax^2+bx+c，当x取整数时，y值也是整数，这样的二次函数叫作整点二次函数，请问是否存在a的绝对值小于0.5的整点二次函数，若存在请写出一个，若不存在请说明理由。
解答：（方法1）（反证法）假设存在二次项系数a的绝对值小于0.5的整点二次函数，（a≠0)则当x=0时，y=c，即c为整数，同理，当x=1时，y=a+b+c=m，x=-1时，y=a-b+c=n，其中m、n都应为整数，两式相加，2a+2c=m+n，推知2a也应为整数，而|a|<0.5，即|2a|<1，矛盾。
所以不存在a的绝对值小于0.5的整点二次函数。
（方法2）x＝0时，y＝c是整数x＝1时，y＝a＋b＋c是整数x＝－1时，y＝a－b＋c是整数∴(a＋b＋c)＋(a－b＋c)＝2a＋2c是整数而2c是整数例10.已知y=x²-│x┃-12的图象与x轴交于相异两点A，B另一抛物线y=ax²+bx+c过A,B，顶点为P，且△APB是等腰直角三角形，求a，b，c解答：显然A,B坐标为(-4,0),(4,0).y=ax²+bx+c过A,B,所以b=0,c/a=-16,P点坐标为:(0,-16a)由于APB是等腰直角三角形，所以AB^2=AP^2+BP^2,求出a=±1/4.所以a=1/4,b=0,c=-4或者a=-1/4,b=0,c=4.例11.已知y=x²-│x┃-12的图象与x轴交于相异两点A，B另一抛物线y=ax²+bx+c过A,B，顶点为P，且△APB是等腰直角三角形，求a，b，c解答：显然A,B坐标为(-4,0),(4,0).y=ax²+bx+c过A,B,所以b=0,c/a=-16,P点坐标为:(0,-16a) 由于APB是等腰直角三角形，所以AB^2=AP^2+BP^2,求出a=±1/4.所以a=1/4,b=0,c=-4或者a=-1/4,b=0,c=4.例12 已知a <0，b ≤0，c >0，且ac b 42-=b －2ac ，求b 2－4ac 的最小值．解：令y =ax 2+bx+c ，由于a <0b ≤0，c >0，则△=b 2－4ac >0， 所以，此二次函数的图像是如图2所示的一条开口向下的抛物线，且与x 轴有两个不同的交点A(x 1，0)B(x 2，0)． 因为x 1x 2=ac <0，不妨设x 1<x 2，则x 1<0<x 2，对称轴x =－a b 2≤0，于是 |x 1|=c aac b b a ac b b =--=-+-242422， 故a b ac 442-≥c =a ac b b 242--≥－a ac b 242-∴b 2－4ac ≥4，当a =－1，b =0，c =1时，等号成立． 因此，b 2－4ac 的最小值为4．图2x 图3。
