二次函数综合题解题方法与技巧

C xxy yA OBED A CB CD G图1图2 APOBEC xy 压轴题解题技巧练习引言：解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。

审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。

解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。

认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。

一、动态：动点、动线1．如图，抛物线与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，且x 1＞x 2，与y 轴交于点C (0，4)，其中x 1、x 2是方程x 2－2x －8＝0的两个根．(1)求这条抛物线的解析式；(2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作PE∥AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．二、圆2．如图10，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙Ａ与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙Ａ的切线l.（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式；（2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙Ａ的切线DE ，E 为切点，求此切线长；（3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与EAD △相似时，求出BF 的长．2点C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为(3，0)，OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝ 13．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、N ，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径长度；(3)如图2，若点G (2，y )是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上的一动点，当点P 运动到什么位置时，△AGP 的面积最大？求此时点P 的坐标和△AGP 的最大面积．4、在平面直角坐标系中，已知A (－4，0)，B (1，0)，且以AB 为直径的圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 作圆的切线交x 轴于点D ．（1）求点C 的坐标和过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；（2）求点D 的坐标；（3）设平行于x 轴的直线交抛物线于E ，F 两点，问：是否存在以线段EF 为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．四、比例比值取值范围5．图9是二次函数k m x y2)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4).（1）求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MABPABSS45,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(bb x y与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.yxOCDBA1－46．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，82OA cm ， OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．（1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时，抛物线214yxbx c 经过B 、P 两点，过线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y axbxc 与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(30)，，若将经过A C 、两点的直线y kx b 沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线2x ．（1）求直线AC 及抛物线的函数表达式；（2）如果P 是线段AC 上一点，设ABP 、BPC 的面积分别为ABP S、BPCS，且:2:3A B PB P CSS，求点P 的坐标；（3）设Q 的半径为l ，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在Q 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为r ，圆心Q 在抛物线上运动，则当r 取何值时，⊙Q 与两坐轴同时相切？五、探究型．BAPxCQOy 第26题图8. 如图，直线33xy 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C（3,0）.⑴求抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.9．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (－3，0)、B 两点，与y 轴相交于点C(0，3)．当x ＝－4和x ＝2时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数值y 相等，连结AC、BC ．A DBCEOxyy O xCNBPM AyxOCBA（1）求实数a ，b ，c 的值；（2）若点M 、N 同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA 、BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将△BMN 沿MN 翻折，B点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得以B ，N ，Q 为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．六、最值类11．如图11，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y2的图象与x 轴交于A 、B 两点，A点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /C ，那么是否存在点P ，使四边形POP /C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在请说明理由．（3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.12. 如图，抛物线y =21x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）．⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM+DM 的值最小时，求m 的值．第12题图。

数学二次函数解题技巧作为一种经典的数学模型，在中学阶段二次函数是数学学科的重要组成部分。

二次函数是求解各种数学问题的基础，在学习二次函数的过程中，考学生们需要学习它的定义、性质、问题解决技巧等，从而更深入地理解二次函数的本质和应用背景。

本文将介绍数学二次函数解题技巧，为学生们提供实用的指导。

一、二次函数的定义二次函数是指方程y=a(x-h)^2+k(a≠0) 的解析式，也就是y=ax^2+bx+c(a≠0)。

其中，a、b、c都是实数，称为二次函数的系数，h、k分别为二次函数的横坐标和纵坐标的坐标轴截距。

二次函数定义需要掌握的关键点如下：1. 二次函数的形式可以根据a的正负性质分为两种形式：开口上的二次函数和开口下的二次函数；2. 当a=0时，二次函数变为一元一次函数，其形状为一条水平直线；3. 当a>0时，二次函数的最小值为k；4. 当a<0时，二次函数的最大值为k。

二、二次函数的图像学习二次函数时，了解图像是非常重要的，因为它有助于直观地理解形状和性质。

二次函数的图像并不难绘制，只需要知道函数的系数a、h、k即可。

当a>0时，二次函数的开口向上，最小值为k，在(h,k)处有一个最小值点。

当a<0时，二次函数的开口向下，最大值为k，同样也在(h,k)点有最大值点。

当a=0时，它是一条水平直线，它的坐标轴截距为k。

三、二次函数的解题技巧1. 常规方法.求最值最常见的二次函数问题是求解最值（最大值和最小值），最好的方法是计算其导数，当导数等于0时计算极值点，然后再确定最大值和最小值。

当然，为了简化计算，我们也可以尝试化简方程或者直接考虑图像形式。

2. 定位顶点对于二次函数，最简单的方法是确定其顶点，因为顶点描述了函数的变化趋势。

我们可以用数学方法找到顶点，也可以通过观察二次函数的图像提取关键信息找到顶点，并使用顶点来帮助解决一些问题。

3. 转换成顶点形式在某些情况下，将二次函数转换为顶点形式是很有用的。

二次函数综合题解题方法二次函数是高中数学中的重要内容，掌握二次函数的解题方法对于学生来说至关重要。

下面将从不同角度对二次函数的综合题解题方法进行详细介绍，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们来看一下二次函数的基本形式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。

在解题时，我们通常会遇到以下几种情况：1. 求二次函数的顶点坐标，二次函数的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))来求得，其中f(x)=ax^2+bx+c。

这个公式的推导可以通过配方法或者求导数来得到，根据具体题目的要求，我们可以选择合适的方法来求解顶点坐标。

2. 求二次函数与坐标轴的交点，当我们需要求二次函数与x轴或y轴的交点时，可以通过令y=0或x=0来解方程，从而得到交点的坐标。

这个方法在解题过程中经常会被用到，需要我们熟练掌握。

3. 求二次函数的图像，通过化简二次函数的标准形式，我们可以得到二次函数的图像特征，包括开口方向、顶点坐标、对称轴方程等。

这些信息对于绘制二次函数的图像非常重要，也是解题过程中的关键一步。

4. 求二次函数的最值，通过求解二次函数的导数，我们可以得到二次函数的增减性和极值点的信息，从而求得二次函数的最值。

这个方法在优化问题中经常会被用到，需要我们熟练掌握求导数和解方程的技巧。

5. 求二次函数的零点，通过利用一元二次方程的求根公式或者配方法，我们可以求得二次函数的零点，也就是方程y=ax^2+bx+c=0的解。

这个方法在解题过程中经常会被用到，需要我们熟练掌握求根公式和配方法的运用。

以上就是关于二次函数综合题解题方法的详细介绍，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

在解题过程中，我们需要根据具体题目的要求灵活选择合适的方法，同时也需要多加练习，提高解题的能力和水平。

希望大家能够在学习中取得更好的成绩，加油！。

高一二次函数解题技巧一、掌握二次函数的概念：1、二次函数是指未知数是二次的函数，形式为y=ax²+bx+c，其中中a、b、c是常数，且a≠0。

2、在二次函数中，自变量x的取值范围通常为全体实数。

二、理解二次函数的表达式：1、二次函数的表达式通常由一元二次方程给出，这个方程可以用来描述二次函数的性质。

2、例如，二次函数的顶点式y=a(x-h)²+k可以表示出函数的顶点坐标(h,k)。

三、掌握二次函数的图形特征：1、二次函数的图形是一个抛物线，其顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h，开口方向由a的符号决定。

2、当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

四、掌握二次函数的对称轴及顶点：1、二次函数的对称轴是x=h，顶点坐标是(h,k)。

2、在解题时，可以根据对称轴和顶点坐标快速找到函数的最值或单调区间。

五、了解二次函数的增减性及最值：1、二次函数的增减性取决于a的符号。

2、当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。

3、当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小。

4、最值是指函数在某个区间内的最大值或最小值。

5、对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，当x=-b/2a时，取得最值(4ac-b²)/4a。

六、掌握二次函数的交点及与X轴的交点坐标：1、二次函数的交点是指与x轴交点的横坐标。

2、当函数与x轴相交时，交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根。

3、注意判别式b²-4ac的符号，当b²-4ac>0时，与x轴有两个交点；当b²-4ac=0时，与x轴有一个交点；当b²-4ac<0时，与x轴没有交点。

七、熟悉二次函数的平移规则：1、平移规则是指通过平移抛物线来改变其形状和位置。

初三数学二次函数秒杀技巧
二次函数是初中数学的重要内容，同时也是中考的重点和难点。

以下是一些解题技巧：
1.抛物线中的开口问题、对称轴问题、交点问题等是二次函数的基础，学生需要对这些知识点进行深入理解和掌握。

2.二次函数的解题灵活多变，涉及的知识点较多，因此需要进行大量的练习以提高解题能力。

3.对于二次函数与坐标轴的交点问题，可以通过公式法或配方法进行求解。

4.当二次函数与x轴有两个交点A和B时，如果有一点P满足PA⊥PB，那么点P的纵坐标是一个定值-1/a。

这个结论可以帮助学生快速解决一部分压轴题。

数学二次函数解题技巧大全众所周知，二次函数的函数式是y = ax2 + bx + c，观察其函数式非常的简单，而与其对应的抛物线图像却比较容易发生变形。

下面是小编为大家整理的关于初中数学二次函数解题技巧，希望对您有所帮助。

欢迎大家阅读参考学习!1初中数学二次函数解题技巧画出图示教形结合。

函数是表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量"。

函数自产生就和图形结下了不解之缘。

其实，我们现在研究函数也要依据函数的图像，由图像看性质、由性质看图像，无论是函数概念还是性质的教学都离不开图像，都需要图像的支撑，因为函数和它的图像是分不开的一个整体。

所以函数知识的教学中，教师一定要帮助学生养成未解题，先作图的习惯，函数概念教学中，教师可以借助于几何画板，图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作通过计算机演绎各种函数的变化过程，使学生从直观状态下，发现函数的各种性质，并且，强烈的视觉效果引发的学习积极性，可以使记忆保持得更持久。

函数概念的教学过程中，在教学方式的选择上除了重点之处教师必不可少地讲解之外，而对于学生容易认识不清的地方，教师可以创设适当的情境后，让学生采用合作学习的方式，进行充分的交流与讨论，凸现出问题，以便能及时发现学生思想上的错误认识，澄清是非，帮助学生更好地学习和理解函数。

关注函数模型解题。

在利用数学解答实际问题的教学中，我们在进行行之有效的训练，并掌握各种类型问题的基础上，应及时总结应用问题与数学问题的联系，归纳其归属哪类问题。

例如现实生活中，广泛存在的用料最省，造价最低，利润最大等最优化问题归于函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法解决。

当然初中学生现有的水平还很低，但可以通过与生活的结合，让学生充分领会到函数在实践中的作用，就能激发学生的学习兴趣，对以后的数学学习会有一个好的导向。

教师在学科融合过程中，应该处理好特定学科领域知识之间的整合，对几类知识进行再组织，从教育规律出发对学科内容进行的融合，旨在解决如何教的问题。

中学数学二次函数解题技巧数学二次函数解题技巧，各位同学知道怎么简单的节函数吗?看看下面吧!大家不需要看到函数就怕怕，其实有技巧的哦!初中数学函数解题技巧1、注重类比思想不同的事物往往具有一些相同或相似的属性，人们正是利用相似事物具有的这种属性，通过对一事物的认识来认识与它相似的另一事物，这种认识事物的思维方法就是类比法。

初中学习的正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数在概念的得来、图象性质的研究、及基本解题方法上都有着本质上的相似。

因此阳光学习网刘老师指出，采用类比的方法不但省时、省力，还有助于学生的理解和应用。

是一种既经济又实效的教学方法。

2、注重数形结合思想数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。

而数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。

它包含以形助数和以数解形两个方面，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长。

函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法本身就体现着函数的数形结合。

函数图象就是将变化抽象的函数拍照下来研究的有效工具，函数教学离不开函数图象的研究。

3、注重自变量的取值范围自变量的取值范围，是解函数问题的难点和考点。

正确求出自变量取值范围，正确理解问题，并化归为解不等式或不等式组。

这需要学生掌握函数的思想，不等式的实际应用，全面考虑取值的实际意义。

4、注重实际应用问题学习函数的主要目的之一就是在复杂的实际生活中建立有效的函数模型，利用函数的知识解决问题。

这也是新课标所倡导的学习，因此新教材大力倡导函数与实际的应用。

初中掌握数学解题方法和技巧很重要，在德智教育网一线名师将在线对我们进行一对一辅导数学函数，让同学们能够掌握函数的基本知识点，效地形成类比和数形结合等数学思想，从而形成自己的在数学函数方面的解题方法和技巧。

初中数学二次函数做题技巧I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax +bx+c(a，b，c为常数，a 0，且a决定函数的开口方向，a 0时，开口方向向上，a 0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y 为x的二次函数。

中考数学解题技巧（五）、两大类八模型———二次函数综合应用题(马铁汉)函数的表示方法有表格法、解析式法和图像法三种方法。

因此，二次函数综合应用题，题干图文并茂，内容丰富多彩，有时还有表格插入；由于题目较长，文字较多，数量复杂，光审题就是件困难的事。

审题一定要仔细。

读题时，篇幅较大的背景文字了解即可，重点阅读有用的数量信息；为了弄清楚重要信息，可把各个量用不同记号标注出来，加深印象，以免搞糊涂。

哪些是常量，哪些是变量；哪个是自变量，哪个是自变量的函数；有时还有参数渗入，它是什么含义，都要搞准确。

二次函数综合应用题，涉及的知识面较广（一次函数、二次函数，不等式，一元一次方程、一元二次方程、分式方程等）。

解答此题，需要具备数形结合思想、方程思想、函数思想，建模思想等数学思想；需要扎实的基础知识和熟练的基本技能，然后做到稳扎稳打，层层分析，逐步解决。

二次函数综合应用题，考查方式有两大类八个模型。

1、考查函数最值类：求实际问题中函数最值。

有下面四个模型：①求二次函数顶点纵坐标，即为实际问题的最值；②求区间内函数最值，即为实际问题的最值；③求函数整数点最值，即为实际问题的最值；④分段函数，需比较各区间函数最值后，确定实际问题的最值。

2、考查自变量范围类：求自变量取值范围或求复合函数中参数范围。

有下面四种模型：①由函数增减性，结合函数值要求，求自变量取值范围；②复合函数，由函数增减性，结合对称轴位置，求参数；③复合函数，由函数增减性，结合对称轴位置，确定区间最值，求参数；④复合函数，由二次函数顶点坐标，求参数。

模型一、求二次函数顶点纵坐标，即为实际问题的最值例1、（2022武汉.22.）（本小题满分10分）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处.小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表.小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间t 之间成二次函数关系.（1）直接写出v 关于t 的函数解析式和y 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）（2）当黑球减速后运动距离为64cm 时，求它此时的运动速度；（3）若白球一．直．以2cm/s 的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由. 解：（1）1102v t =-+，21104y t t =-+. （2）解：依题意，得2110644t t -+=.∴2402560t t -+=. 解得，18t =，232t =.当18t =时，6v =；当232t =时，6v =-（舍）. 答：黑球减速后运动64cm 时的速度为6cm/s . （3）解：设黑白两球的距离为cm w .270218704w t y t t =+-=-+ 21(16)64t =-+. ∵104>，抛物线开口向上， ∴当16t =时，w 的值最小为6. （在取值范围内，顶点纵坐标即为实际问题的最值） ∴黑、白两球的最小距离为6cm ，大于0，黑球不会碰到白球.另解1：当0w =时，2187004r t -+=，判定方程无解. 另解2：当黑球的速度减小到2cm/s 时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球。

二次函数与几何图形综合题解题技巧一、求二次函数解析式。

根据y=mx+b，把一元二次方程mx+b=0化为ax+by+c=0的系数a=b，然后通过解方程得出y=mx+b的值，由于不知道b、 a的具体值，可以通过函数与几何图形的综合分析来得到它们的大致范围。

例如，已知点（ 1， 1），（ 3， -3），直线（ x， -3），（ 4， 2）;在(-3， 4)、(-1， 1)处画出一个坐标平面内关于坐标轴对称的二次函数解析式;（ 5， 2）处画出一个关于坐标轴对称的抛物线，使其解析式为y=x+b。

求这些二次函数的表达式。

1。

设二次函数解析式为y=mx+b。

分析：二次函数与一元二次方程有密切联系，解一元二次方程是解二次函数的基础。

设一元二次方程为x+b=0，则根据对称性可得，函数解析式为x+b=mx+c。

2。

设二次函数解析式为y=ax+by+c。

分析： a、 b、 c都是实数，且a>0，b>0。

设函数解析式为x+b=ax+by+c，代入上式可得， y=x+b/c=mx+c/c。

求出二次函数的解析式，即可求出a、 b、 c的值。

3。

设二次函数解析式为y=ax+by+c。

分析：根据对称性，可得y=bx+c， a、 b、c均为实数，且a>0， b>0。

设函数解析式为x+b=bx+c，代入上式可得， y=x+b/c=mx+c/c。

4。

设二次函数解析式为y=ax+by+c。

分析：解方程得y=mx+c，由对称性，得x+c=y+b，代入上式，可得， y=x+b/c。

二、用几何图形解题。

二、用几何图形解题，最好能画出这些图形的图像，再列式解答。

因为几何图形看似复杂，但并不难，常见的如圆的周长、扇形面积、矩形的面积等等。

以下是应用这两种方法解二次函数综合题的例子，供同学们参考： 1。

求出二次函数的解析式，画出抛物线y=mx+b。

分析：首先将点（ 1， 1），（ 3， -3），直线（ x， -3），（ 4， 2） ;在(-3， 4)、(-1， 1)处画出一个坐标平面内关于坐标轴对称的二次函数解析式；再设函数解析式为x+b=mx+c，代入上式得y=mx+c/c。

二次函数典型题解题技巧（一）有关角1、已知抛物线 y ax2bx c的图象与 x 轴交于A、B两点（点 A 在点 B 的左边），与y轴交于点C (0，3)，过点 C 作x轴的平行线与抛物线交于点 D ，抛物线的顶点为M ，直线y x 5经过 D、M两点.（1）求此抛物线的解析式；（2）连接AM、AC、BC，试比较MAB 和ACB的大小，并说明你的理由.思路点拨：对于第（ 1）问，需要注意的是CD 和 x 轴平行（过点 C 作x轴的平行线与抛物线交于点 D ）对于第（ 2）问，比较角的大小a、如果是特殊角，也就是我们能分别计算出这两个角的大小，那么他们之间的大小关系就清楚了b、如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角，那么大小关系就确定了c、如果稍难一点，这两个角转化成某个三角形的两个内角，根据大边对大角来判断角的大小d、除了上述情况外，那只有可能两个角相等，那么证明角相等的方法我们学过什么呢，全等三角形、相似三角形和简单三角函数，从这个题来看，很明显没有全等三角形，剩下的就是相似三角形和简单三角函数了，其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的，都是对应边的比相等e、可能还有人会问，这么想我不习惯，太复杂了，那么我再说一个最简单的方法，如何快速的找出题目的结论问题，在本题中，需要用到的点只有 M 、C、 A、 B 这四个点，而这四个点的坐标是很容易求出来的，那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来，再用量角器去量这两个角大大小，你就能得出结论了，得出结论以后你再看 d 这一条解：（ 1）∵ CD ∥ x 轴且点 C（0， 3），∴设点 D 的坐标为 (x， 3) ．∵直线 y= x+5 经过 D 点，∴3= x+5 ．∴ x= － 2．即点 D( －2， 3) ．根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为又∵直线y= x+5 经过 M 点，M（－ 1， y），∴y = － 1+5， y =4 ．即 M （－ 1，4）．2∴设抛物线的解析式为y a( x 1)4．即抛物线的解析式为y x22 x3．⋯⋯⋯⋯3分（2）作 BP ⊥AC 于点 P， MN ⊥AB 于点 N．2由（1）中抛物线y x2x 3 可得∴A B=4 ， AO=CO=3 ， AC= 3 2．∴∠ PAB＝ 45°．∵∠ ABP=45°，∴ PA=PB= 2 2 ．∴PC=AC － PA= 2 ．PB在Rt△ BPC 中， tan∠ BCP= PC =2．在Rt△ ANM 中，∵ M （ -1，4），∴ MN=4 ．∴ AN=2 ．MNtan∠ NAM= AN =2 ．∴∠ BCP＝∠ NAM ．即∠ ACB ＝∠ MAB ．后记：对于几何题来说，因为组成平面图形的最基本的元素就是线段和角（圆分开再说），所以几何的证明无非就是线段之间的关系，角之间的关系，在二次函数综合题里，我主张首先要想到的是利用角之间的关系来解题，其次才是利用线段之间的关系来解题，除非你很快就能看出利用线段之间的关系来解题很简单，因为在直角坐标系里要求两点之间的距离是很麻烦的，尤其是不知道某个点的确切坐标时，那么这个题给了我们一个如果判断角之间关系的基本思路2 、如图，抛物线y ax2bx3与 x轴交于 A, B两点，与y轴交于点C，且OB OC3OA ．（I ）求抛物线的解析式；（II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点P, A, C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由；y 11 x（III ）直线3交y轴于 D 点， E 为抛物线顶点．若DBC，CBE,求的值．思路点拨：（ II ）问题的关键是直角，已知的是AC 边，那么 AC 边可能为直角边，可能为斜边，当 AC 为斜边的时，可知P 点是已 AC 为直径的圆与坐标轴的交点，且不能与A 、 C 重合，明显只有O 点；当 AC 为直角边时，又有两种情况，即 A 、 C 分别为直角顶点，这时候我们要知道无论是 A 或者 C 为直角顶点，总有一个锐角等于∠OCA （或 Rt△ PAC 和 Rt△ OAC 相似），利用这点就可以求出OP 的长度了（I II ）从题目的已知条件看，除了∠ ABC=45 °外没有知道其他角的度数，那么这两个角要么全是特殊角（ 30°， 45°， 60°， 90°），在这种情况下，他们的差才有可能不是特殊的角，很明显，这两个角不是特殊角，那只有一种可能（在没有学反三角函数的前提下），就是他们的差是特殊角，再联系到∠ABC=45 °，可知，这两个角的差就是 45°，那么我们需要证明的就是∠ ABD= ∠ CBE ，再想想上一题所说的，就明白是利用相似三角形来证明了，即证明△ BCE 是一个直角三角形且与△ BAD 相似解：（ I ） 抛物线 yax 2bx 3与 y 轴交 C 点 0, 3，且OBOC 3OA ．A 1,0 , B(3,0)．代入yax 2 bx 3，得a b 3 0 a 19 a 3b 3 0b 2yx 2 2 x 3（ II ）①当PAC 90 时,可证P 1AO∽ACO1Rt P 1 AO 中，t an P 1 AO t an A C O1P 1 (0,1)3 ．3②同理 : 如图当 P 2CA 90 时， P 2 (9,0)③当CP 3 A 90 时， P 3 (0,0)综上，坐标轴上存在三个点P ，使得以点P,A,C为顶点的三角形为直角三角形，分别P (0, 1)P 2 (9,0) ， P 3 (0,0) ．是 13（ III ）由y1x 1, 得 D 0,1 ． 由 y x 22x3，得顶点 E 1, 4 ．3 ∴BC 3 2,CE 2,BE 2 5．BC 2 CE 2BE 2 ,BCE 为直角三角形 ．tanCE 1CB3 ．Rt DOB 中tanOD 1DBO3．DBO又OB．DBOOBC 45 ．（二）线段最值问题引子：初中阶段学过的有关线段最小值的有两点之间线段最短和垂线段最短， 无论是两点之间选段最短还是垂线段最短，它们的本质就是要线段首尾相接，或者说线段要有公共端点，如果我们公共端点， 我们要想办法把它们构造成有公共端点来解决； 有关线段最大值的问题，学过的有三角形三边之间的关系，两边之差小于第三边， 我们可以利用这个来求第三边的最大值，还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值3、抛物线y ax 2bx c a 0交 x 轴于 A 、B 两点， 交 y 轴于点 C ，已知抛物线的对称轴 为直线 x = -1 ，B(1,0) ， C(0,-3). ⑴ 求二次函数yax 2bx c a 0的解析式；⑵ 在抛物线对称轴上是否存在一点 P ，使点 P 到 A 、 C 两点距离之差最大？若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由 .思路点拨： 点 P 到 A 、 C 两点距离之差最大，即求 |PA －PC|的最大值，因 P 点在对称轴上， 有 PA=PB ，也就是求 |PB － PC|，到了这儿，易知当 P 点是 BC 所在直线与对称轴的交点，易知最大值就是线段 BC 的长。