微分几何期末1

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订。

线。

济宁学院继续教育学院《微分几何》考试试卷一、填空题（每小题4分，共20分）1、 曲面上的曲纹坐标网是渐进网的充分必要条件是 .2、平面族1sin sin cos =-+αααz y x 的包络面是 .3、N M L ,,是曲面的第二类基本量，则02=-M LN 的点是曲面上的 .4、球面{}θϕθϕθsin ,sin cos ,cos cos R R R r =→的第二基本形式为 . 5、圆柱螺线{}bt t a t a r ,sin ,cos =→的自然参数表示式为 .二、选择题（每小题2分，共20分）6、下列属于曲面内蕴量的是 （ ）A 、主方向B 、共轭方向C 、高斯曲率D 、渐近方向7、空间曲线在一点的密切平面上的投影近似于 （ ）A 、直线B 、半立方抛物线C 、立方抛物线D 、抛物线8、空间曲面在抛物点邻近的形状近似于 （ ）A 、双曲抛物面B 、立方抛物线C 、椭圆抛物面D 、圆锥面9、曲线()r r t =r r在点()P t 处的挠率 （ ）A 、可正可负B 、一定为负C 、不可为负D 、 一定为正10、下列概念中,能刻画曲面上一点在某一方向上的弯曲性的是 （ ）A 、高斯曲率B 、曲率C 、挠率D 、法曲率11、曲面在一点处的高斯曲率a K =,平均曲率)(2a b b H ≥=,则曲面在该点处的主曲率为 ( )A 、a b b -+2B 、a b b --2C 、a b b -+2, a b b --2D 、无法知道 12、下列不是曲面的第一类基本量的是 （ ）A 、u u r r E →→⋅=B 、v u r r F →→⋅=C 、v v r r F →→⋅=D 、uv r n M →→⋅=13、曲面(,)r r u v =r r的曲纹坐标网的微分方程是 （ ）A 、0du dv -=B 、0du dv +=C 、0dudv =D 、220du dv -= 14、单位向量函数)(t r →关于t 的旋转速度等于 （ ）A 、)(t r →'B 、)(t r →'C 、)(t r →D 、)(t r →15、过2C 类空间曲线上一点最贴近曲线的平面是 （ ）A 、切平面B 、从切平面C 、密切平面D 、法面三、计算题（每小题10分，共20分）16、(10分)求曲面 22()z a x y =+在点(0,0)的主曲率.17、(10分)求双曲面axy z =在点0==y x 的平均曲率和高斯曲率。

Ｃ. ；Ｄ. 。
5.直线的曲率k为()
Ａ.–１；Ｂ.０；Ｃ.１；Ｄ.２。
6.关ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ平面曲 线的曲率 , 为自然参数,不正确的是()
Ａ. ；Ｂ. ， 为的旋转角 ；
Ｃ. ；Ｄ. 。
7.设曲线在P (s)点的基本向 量是 ,则下列论述不正确的是()
Ａ. 均为单位向 量；Ｂ. ；
Ｃ. ；Ｄ. 。
7.曲线在点的 切线与轴关 系为()
34.已知曲面的 第二类基本 量L、M、N，则曲面上渐 近曲线的微 分方程是。
35.若曲面的第 一基本形式 为 ，曲面在一点 的切向与u -线的夹角为 ,则曲面在这 点沿切方向 的测地曲率 =。
36.挠率的曲线其副 法向量是常向量。
37.曲线在点的 主法向量是 ，则曲线在P点的从切平 面方程是。
38.曲面上的曲 纹坐标网是 渐近网的充 要条件是
50．法曲率的最大值和最小值正好是曲面的曲率,使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的方向.
51．距离单位球面球心距离为d(0<d<1)的平面与球面的交线的曲率为，法曲率为。
52．在脐点处曲面的第一、第二类基本量满足,把第二类基本量L=M=N=0的脐点称为。
53．法曲率的最大值和最小值正好是,使法曲率达到最大值和最小值的方向是方向.
29.曲面上一族 坐标曲线是 测地线，另一族为它 的正交轨线的坐标网是。
31.已知曲面的 第一类基本 量为E、F、G，则两方向du:dv与垂直 的充要条件 是。
32.对曲面 有 ,则曲面上曲 线u=u(t),v=v(t)从 到t(t> )的弧长s=。
33.若曲面 在(0，1)点处的第二 基本形式 ，则在(0，1)点处， 。其中为曲面 的单位法向 量。

微分几何期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪一项不是微分几何的研究对象？A. 流形B. 曲线C. 曲面D. 代数方程2. 在微分几何中，下列哪个概念是用来描述曲线的弯曲程度？A. 切线B. 曲率C. 法向量D. 微分3. 给定一个曲面上的点，其邻域内的所有点都可以通过该点的哪种向量场来到达？A. 切向量B. 法向量C. 零向量D. 任意向量4. 以下哪个是微分几何中研究曲面局部性质的重要概念？A. 拓扑B. 度量C. 群论D. 线性代数5. 在曲面上，高斯曲率的计算公式是什么？A. K = R/(2π)B. K = R^2/(2π)C. K = det(II - e^(-2u) * I)D. K = det(I - e^(-2u) * II)6. 以下哪个是微分几何中研究曲面全局性质的重要概念？A. 曲率B. 度量C. 测地线D. 向量场7. 给定一个流形，其上的每一个点都有一组局部坐标，这组坐标被称为该点的什么？A. 切向量B. 法向量C. 坐标图D. 邻域8. 在微分几何中，哪种类型的曲面可以通过一个平面曲线的旋转来生成？A. 圆柱面B. 抛物面C. 双曲面D. 椭球面9. 以下哪个是微分几何中研究曲面上最短路径的概念？A. 测地线B. 切线C. 法线D. 曲率10. 微分几何中的“黎曼几何”主要研究的是什么类型的几何结构？A. 欧几里得空间B. 黎曼流形C. 仿射空间D. 射影空间二、简答题（每题10分，共40分）11. 请简述什么是流形，并给出一个具体的例子。

12. 解释什么是度量张量，并说明它在微分几何中的作用。

13. 描述一下什么是测地线，并说明它在曲面上的性质。

14. 阐述高斯绝妙定理（Gauss's Theorema Egregium）的意义及其在微分几何中的重要性。

三、解答题（每题15分，共30分）15. 给定一个曲面上的两点A和B，证明通过A点的任意一条测地线都可以延伸到B点。

1、等距变换一定是保角变换（×）2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√）3、二阶微分方程A(u,v)du2B(u,v)dudv B(u,v)dv0总表示曲面上两族曲线。

（×）224、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的（×）5、坐标曲线网是正交网的充要条件是F0,这里F是第一基本量（√）6、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。

（√ )7、空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。

(×）8、在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向.（√ )9、LN-M2不是内蕴量。

(×）10、高斯曲率恒为零的曲面一定是可展的。

(√）11、曲线r=....r（s）为一般螺线的充要条件为（r，r,r）=0（√）12、主法向量正向总是指向曲线凹入的方向.(√）13、不存在两条不同曲线,使得一条曲线的主法线都是另一曲线的主法线.（×)14、曲面上平点对应的杜邦指标线是一条直线。

（× )15、每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线的切线曲面。

（√）16、椭圆的曲率和挠率特征为k=1,τ=0。

(×)17、若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线。

(√ )18、球面曲线的主法线必过球心（×）19、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0。

（×)20、曲面上的渐进网一定存在。

（×）21、在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一.（√)22、圆的曲率、挠率特征是：k=常数，τ=0. (×）23、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。

（√）24、高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量. (×)25、曲面上连接两点的最短线一定是测地线。

(×)26、在空间曲线的非逗留点处,密切平面存在且唯一。

（√ )27、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。

微分几何复习题及其答案微分几何是数学中研究曲线、曲面以及更一般流形的微分性质的分支。

以下是一些微分几何的复习题及其答案，供学习者参考。

题目 1：曲线的切线和法线给定空间曲线 \( r(t) = (x(t), y(t), z(t)) \)，求曲线在点\( t_0 \) 处的切线和法线。

答案 1：曲线的切线方向由速度向量 \( r'(t) \) 给出。

在点 \( t_0 \) 处，切线的方向向量是 \( r'(t_0) \)。

法线是切线的正交补空间中的一个向量，可以通过求 \( r'(t_0) \) 的向量积来得到。

题目 2：曲线的曲率已知曲线 \( r(t) = (t^2, t^3, t^4) \)，求其在 \( t = 1 \) 时的曲率。

答案 2：首先计算速度向量 \( r'(t) = (2t, 3t^2, 4t^3) \) 和加速度向量\( r''(t) = (2, 6t, 12t^2) \)。

然后计算切线方向的单位向量\( \hat{T} = \frac{r'(t)}{\|r'(t)\|} \)。

曲率 \( \kappa \) 由下式给出：\[ \kappa = \frac{\| r'(t) \times r''(t) \|}{\|r'(t)\|^3} \]在 \( t = 1 \) 时，代入具体数值计算即可得到曲率。

题目 3：曲面的第一基本形式给定曲面 \( S \) 由方程 \( F(x, y, z) = 0 \) 定义，求 \( S \) 在点 \( P \) 上的第一基本形式。

答案 3：第一基本形式由曲面的度量张量给出，其元素为 \( E \), \( F \),和 \( G \)，定义为：\[ E = \left\langle \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u},\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \right\rangle \]\[ F = \left\langle \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u},\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right\rangle \]\[ G = \left\langle \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v},\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right\rangle \]其中，\( \mathbf{r}(u, v) \) 是曲面 \( S \) 在参数 \( u \) 和\( v \) 下的参数化表示。

2020年上学期《微分几何》期末考试试卷课程名称：1.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.答案：C.解析：无.2.(单选题)(本题1.0分)A.B.10C.答案：A.解析：无.3.(单选题)(本题1.0分)A.可去奇点B.本性奇点C.m级极点D.小于m级的极点4.(单选题)(本题1.0分)A.5B.4C.3D.25.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.解析：无.6.(单选题)(本题1.0分)A.1B.2C.3D.4答案：D.解析：无.7.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.答案：A.解析：无.8.(单选题)(本题A.1B.2C.D.9.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.10.(单选题)(本题1.0分)A.等于0B.等于1C.等于iD.不存在11.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.12.(单选题)下列级数中，绝对收敛的级数为（）。

(本题1.0分)A.B.C.D.答案：D.解析：无.13.(单选题)(本题1.0分)A.有界区域B.无界区域C.有界闭区域D.无界闭区域14.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.答案：C.解析：无.15.(单选题)(本题1.0分)A.不存在的B.唯一的C.纯虚数D.实数16.(单选题)(本题1.0分)A.8iB.-8iC.16iD.-16i17.(单选题)下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）。

(本题1.0分)A.B.C.D.答案：B.解析：无.18.(单选题)实数m=（），复数(本题1.0分)A.4B.3C.2D.519.(单选题)。

(本题1.0分)A.B.C.D.答案：D.解析：无.20.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.答案：C.解析：无.21.(单选题)(本题1.0分) A.B.C.D.答案：A.解析：无.22.(单选题)下列数中，为实数的是（）。

(本题1.0分)A.B.C.D.答案：B.解析：无.23.(单选题)(本题1.0分)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件也非必要条件答案：B.解析：无.24.(单选题)。

6、曲面的第一基本形式 ds 2
du2 dv2 (u 2 v2 C)2
，则 122
__________________________
7、曲面
r
(u, v, u 2
v2
) 在 P(1,1, 2)
处的主方向为________________________________
得分 评阅人
二、判断题：（共 5 题，每题 3 分，在括号里填写正确或错误）
1、（10
分）已知曲面
S：
r
r (u,
v)
的高斯曲率和平均曲率分别为
K
和
H，则曲面
S
的三
个基本形式满足：
KI－2HⅡ+Ⅲ＝0 .
第 2 页(共 3 页)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
C：
r
(t,
sin
t,(t
))
的主法线与
yOz
平面平行，是确定 (t
)
.
2、 （8 分）找出双曲面 z axy 上的曲率线.
第 1 页(共 3 页)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------

微分几何期末复习题答案1. 曲面上的切向量和法向量的定义是什么？答：曲面上的切向量是与曲面在某点相切的向量，而法向量是垂直于该点切平面的向量。

2. 描述高斯曲率和平均曲率的计算方法。

答：高斯曲率是曲面上某点的主曲率的乘积，平均曲率是主曲率的平均值。

3. 什么是黎曼曲率张量？答：黎曼曲率张量是描述流形曲率的数学对象，它通过测量无穷小测地线之间的偏差来定义。

4. 请解释什么是测地线？答：测地线是在曲面或流形上两点间的最短路径，它是连接这两点的局部最小化曲线。

5. 什么是平行移动？答：平行移动是指在曲面或流形上沿着曲线移动一个向量，使得该向量在移动过程中保持不变。

6. 描述Christoffel符号的作用。

答：Christoffel符号用于描述在曲面或流形上如何沿着曲线平行移动向量，它们是黎曼几何中的基本组成部分。

7. 什么是度量张量？答：度量张量是一个对称张量，它定义了曲面或流形上两点间的距离和角度。

8. 请解释什么是联络形式？答：联络形式是描述在曲面或流形上如何平行移动向量的一种数学工具，它们与Christoffel符号紧密相关。

9. 什么是外微分？答：外微分是一种将微分几何中的函数或形式映射到更高阶形式的操作。

10. 描述Hodge星算子的作用。

答：Hodge星算子是一种将微分形式映射到其对偶形式的线性映射，它在微分几何和拓扑学中有着重要应用。

11. 什么是流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子？答：拉普拉斯-贝特拉米算子是定义在流形上的一个微分算子，它推广了欧几里得空间中的拉普拉斯算子。

12. 请解释什么是特征类？答：特征类是拓扑不变量，它们通过将流形上的向量丛与某些代数结构联系起来，提供了关于流形拓扑性质的信息。

13. 描述什么是测地线曲率？答：测地线曲率是描述测地线如何偏离直线的量度，它是衡量流形曲率的一种方式。

14. 什么是全纯曲线？答：全纯曲线是复流形上的一类特殊曲线，它们在复坐标系下保持全纯性。

《微分几何》结业考试试卷一、判断题：（正确打√，错误打×。

每题2分，共10分））1、等距变换一定是保角变换. （ ）2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （ ）3、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （ ）4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. （ ）5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. （ ）二、填空题：（每空3分，共33分）1、 已知33{cos ,sin ,cos2}r x x x =，02x π<<，则α= ，β= ，γ= ，κ= ，τ= .2、已知曲面{c o s ,s i n ,6}r u v u v v =，0u >，02v π≤<，则它的第一基本形式为 ，第二基本形式为 ，高斯曲率K = ，平均曲率 H = ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv =的法曲率 ，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为 。

三、计算题（每小题12分，共24分） 1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率.密线封层次报读学校专业姓名四、综合题：（每小题11分，共33分）1、设空间两条曲线Γ和C的曲率处处不为零，若曲线Γ和C可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C在对应点的切线夹固定角.2、给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.3、问曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线Γ是测地线吗？为什么？《微分几何》参考答案一、判断题：1. √ 2. √ 3. ⨯ 4. ⨯ 5. √ 二、填空题：① 1{3cos ,3sin ,4}5x x -- ②{sin ,cos ,0}x x③1{4cos ,4sin ,3}5x x -- ④625sin 2x⑤825sin 2x⑥ 222(36)du u dv ++⑦dv⑧2236(36)u -+ ⑨ 0⑩○11 66,3737- 三、计算题：1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.解 设33{,,}r u v u v =-则 2{1,0,3}u r u =，2{0,1,3}v r v =-，2243,3,1}||9u v u v r r n u v r r u ⨯==-⨯{0,0,6}uu r u =，0uv r =，{0,0,6}vv r v =-uu L n r =⋅=0uv M n r =⋅=，vv N n r =⋅=（6分）因渐近曲线的微分方程为2220Ldu Mdu dv Ndv ++=即22udu vdv =0=∴ 渐近曲线为331u v C =+或332()u v C -=+ （12分）2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地 曲率.解 E G v ==，0F =，0u G =，1v E=（4分）u-线的测地曲率ug κ==（8分） v-线的测地曲率0vg κ== （12分）四、综合题：1. 设空间两条曲线Γ和C 的曲率处处不为零，若曲线Γ和C 可以建立一一 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.证 设 :()r r s Γ=，:()r r s **Γ=，则由//ββ*知ββ*=±，从而0αβ*⋅=，0αβ*⋅=，()0d ds ds dsαακβακαβ*****⋅=⋅+⋅= ∴ constant αα*⋅=，即 cos ,C αα*=这表明曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角. （11分）2. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的 法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.证 设 :(,)r r u v ∑=，:(),()u u s v v s Γ==，其中s 是Γ的自然参数，记,r n θ=，则cos r n θ⋅=，两边求导，得d 0d nn rsτβ-⋅+=， （4分） 由Γ为曲率线知d //d n r ，即d d //d d n r s s α=， 因此d d 0d d n n r n r r s sτβκ⋅=⋅=-⋅= 。

微分几何期末试题数信学院2000级数学与应用数学专业《微分几何》期终考试题（A ）2003/01班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____一、填空题（每空1分, 共20分）1. 正则曲面在其上任一点处的单位法向量z b y a x 2//2222=+=n ，正则曲线在其上任一点处的切线方程为 ?=??=?+11222222z y x z y x . 2. 第一基本形式为22222)(C v u dv du I +++=(其中C 为常数)的曲面与平面 (选填等距或共形)微分同胚, 该曲面的Gauss 曲率为 .3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的方向.4. 距离单位球面球心距离为的平面与球面的交线的法曲率为 )10(<<="" d="" p="" 测地曲率为="" ，="">5. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是 , 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是 .6. 曲面上向量的Levi-Civita 平行移动与道路无关的曲面是曲面，曲面上测地线的切向量在Levi-Civita 平行移动意义下是平行的吗？ .7. 是否存在曲面分别以()和作为它的第一、第二基本型? 22dv du ?dudv 2，简述理由 .8. 根据曲线论的基本定理，在可以相差一个空间位置的情况下，唯一决定一条空间曲线的两个不变量是曲线的和 .9. 脐点处，曲面的第一、第二类基本量满足关系，脐点的等距微分同胚像仍是脐点吗？ .10.按椭圆点，双曲点，抛物点进行分类，可展曲面上的点都是点. 极小曲面上的点是点.二、单项选择题（每题2分，共16分）1. 下面各量中, 不是内蕴量的是 ( )A . 曲面上曲线的曲率B . 曲面上曲线的测地曲率C . 曲面上测地三角形的内角和D . 曲面的高斯曲率2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 ( )A . 球面与柱面B . 柱面与平面C . 平面与伪球面D . 伪球面与可展曲面3. 下列曲面不是可展曲面的是 ( )A . r },sin ,cos {),(b au u v u v v u +=B . 曲线r },sin ,cos {)(bt t a t a t =的切线曲面C . 高斯曲率恒为0的无平点曲面D . 与平面等距等价的曲面4. 设曲线C 的曲率为,挠率为k τ,设是C 关于坐标原点的对称曲线,其曲率和 *C 挠率分别记为和，则（）*k *τA . k =，*k τ= B . =-，*τk *k τ=*τC . =，k *k τ=- D . =-，*τk *k τ=-*τ5. 曲线的下列各量中,是参数变换和坐标变换的不变量的是 ( )A . 曲率B . 挠率C . 弧长D . 以上全是6. 设曲面的第一,第二基本型分别是,则曲面 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= 的两个主曲率分别是 ( )A ．G N k E L k ==21,B . NG k L E k ==21, C . v E G k k ==ln 2121 D . u G Ek k ??==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 ( )k g k n k A ．k =+ B . =+ C . D .g k n k g k k n k 222n g k k k +=222n g k k k +=8. 曲面上一点处的两个主方向之间的夹角θ为 ( )A . 2/πθ=B . 0=θC . πθ=D . 不确定三、多项选择题（每题4分，共20分）1.下面关于特殊曲面的正确的结论是( )A.可展曲面(局部地)或为柱面，或为锥面，或为切线面（等距等价意义下）B.常曲率曲面(局部地)或为平面，或为球面，或为伪球面（等距等价意义下）C.全脐点曲面必为球面或平面（或它们的一部分）D.极小曲面必为面积最小的曲面E. 直纹面必与平面等距等价2.下面说法正确的是( )A. 欧氏合同的两曲面必等距等价B. 等距等价的两曲面必欧氏合同C. 欧氏合同的两曲面具有相同的内蕴量和内蕴性质D. 等距等价的曲面具有相同的内蕴量和内蕴性质E. 等距等价的两曲面在对应点具有相同高斯曲率，反之亦成立3.下列关于特殊曲线的论断，正确的是( )A.若曲线上有无穷多个点处曲率为零，则曲线必为直线B.平面曲线的密切平面即曲线所在平面本身C.法截线的曲率反映曲面沿法截线方向的弯曲程度D.柱面螺线的特征是曲率和挠率成定比E.曲面上若含有直线，则直线同时是测地线，渐近曲线，曲率线4.下列关于曲面的主方向和渐近方向，正确的说法是( )A. 曲面上任一点处，至少有两个主方向B. 曲面上任一点处，至多有两个渐近方向C. 除脐点处外，主方向是正交的D. 平面上任何方向既是主方向又是渐近方向F.球面上任何方向既是主方向又是渐近方向5.下列关于测地线，正确的说法是（）A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线B. 测地线具有等距不变性C. 旋转曲面的子午线一定是测地线D. 平面上测地线必是直线E. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小三、计算题（每题10分，共20分）1. 求空间正则参数曲线 r )(t ={}的曲率和挠率. t t t 2cos ,sin ,cos 332. 设单位球面的参数方程为r }sin ,sin cos ,cos {cos ),(u v u v u v u =.是球面上由两条纬线Σ0 ,4/==u u π和两条经线2/ ,0π==v v 所围成的区域。

微分几何期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 曲线在点处的切线方程为，若，则该点处的曲率是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 若函数在点处可微，则在该点处的切平面方程为（）。

A.B.C.D.答案：D3. 曲面在点处的法向量为，若，则该点处的高斯曲率是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的曲率是（）。

A.B.C.D.答案：A5. 若函数在点处的梯度为，则在该点处的方向导数是（）。

A.B.C.D.答案：B6. 曲面在点处的主曲率分别为，则该点处的平均曲率是（）。

A.B.C.D.答案：A7. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的挠率是（）。

A.B.C.D.答案：B8. 若函数在点处的Hessian矩阵为，则在该点处的二阶偏导数是（）。

A.B.C.D.答案：D9. 曲面在点处的切平面方程为，则该点处的法向量是（）。

A.B.C.D.答案：C10. 若函数在点处的Jacobi矩阵为，则在该点处的偏导数是（）。

A.B.C.D.答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 曲线在点处的挠率定义为______。

答案：曲线在点处的挠率定义为。

2. 若函数在点处的偏导数为0，则称该点为函数的______。

答案：临界点。

3. 曲面在点处的高斯曲率定义为______。

答案：曲面在点处的高斯曲率定义为。

4. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的切向量为______。

答案：曲线在点处的切向量为。

5. 若函数在点处的梯度为，则在该点处的方向导数为______。

答案：函数在点处的方向导数为。

三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知曲线的参数方程为，求曲线在点处的切线方程。

答案：首先求出曲线的导数，然后利用点斜式方程求得切线方程。

2. 已知函数在点处的梯度为，求在该点处沿向量方向的方向导数。

答案：首先求出向量的单位向量，然后利用方向导数的定义求得结果。

2020年上学期《微分几何》期末考试试卷课程名称:装泡二1.（单选题） 1.0 分） A.C.伏一1）4_1lx •答案：C. 解析：无.2E A. B. 102.（单选题）积分也4~7龙二（/T（本题L0分）（本题C.答案：A. 解析：无.W阳与g（M上二。

为必奇螭机ffl*，贴“为麟佗）姆）的（）。

窜=。

为画数丁的阴级极点，那么加=（）。

4.（单选题）Z Sm Z（本题1.0 分）A.5B.4C.3D.21Re^[z*07~\z] = （）&5.（单选题）（本题1. 0分）3.（单选题）1. 0 分）A.可去奇点B.本性奇点 C.m级极点D.小于m级的极点（本题B.6 c.D.答案：B.解析：无.C.3D.4答案：D.解析：无.21Re 更h cos —JX]=7.（单选题）N2一———3A.——z 3 D.答案：A. 解析：无.• ・~6.（单选题）函数簧在"1=2内的奇点个数为1.0分）A. 1B.2（本题（本题1. 0分）「工sin —a r 4fc幕级数（令”的收敛半径K =（8.（单选题）'1 株 2 '（本题1.0分)1. 18. 2+00 D.函数在z 处的泰勒展开式为（9.（单选题）21.0 分）£ LG 0—与东A.（本B.5=L2…),则血i4=(・I乂+4«+Dk(--选分Oli在典O于于于存111.等等等不10题A.B.CD.）。

（本题段阳在肌械H:R《-水对懈解开卷I ；q（z-z『,c加Yf醵确心一条正解单触缘舷£号心（卜11.（单选题）2%（本题L0分）2位j A.2mc.B.2 mc,C. .2 M4）12.（单选题）下列级数中，绝对收敛的级数为（）o （本题L0分）B.® 产y—Itl，2C.1答案：D.解析：无.满足不打目4 2的所有点速成的集合是（）. 13.（单选题）匕+ “（本题L0分） A .有界区域 B.无界区域 C .有界闭区域 D.无界闭区域设园=依虫1）=乎，则2等于（）。

大学数学微分几何期末试卷含参考答案求曲线的曲率与挠率。

(10分)解：，，， ,,(4分)，(6分) .(10分)二、证明：若曲线的所有切线通过定点，则此曲线是直线。

(10分)证明：切线方程为：，不妨设定点为原点，则存在函数使得（4分）求导得：所以，（8分）因此即该曲线是直线。

（10分）三、证明曲线是平面曲线。

(10分)解：设，，，，，(6分)，即平面曲线。

(10分)或，，（这是一次方程，即平面方程，说明曲线22()(sin cos ,cos )r t t t t t =22(2sin cos sin ),2cos sin )(sin 22,sin 2)r t t t t t t t t t '=--=-2(cos 2,2,cos 2)r t t t ''=-4(sin 2,2,sin 2)r t t t '''=-22(1,0,1)r r '''⨯=--||2r '=3||2||r r k r '''⨯=='2(,,)0||r r r r r τ''''''=='''⨯)()(s T s rλρ+=)(s λ)()()(0s T s s rλ+=)()()()()()(0s N s k s s T s s Tλλ+'+=0)()(,0)(1=='+s k s s λλ0)(,)(0=⇒-=s k s s s λ22,4x z y z⎧=⎨=⎩2(,2,)r t t t =±(1,2,2)r t '=±(0,0,2)r ''=)0,0,0(='''r 0),,(=''''''r r r2(,,)0||r r r r r τ''''''=='''⨯224x y =2y x =±是平面曲线）曲面是否是可展曲面？说明理由。

微分几何期末考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个不是微分几何中的基本概念？A. 流形B. 向量场C. 微分形式D. 群论2. 给定一个光滑曲线 \(\gamma: [a, b] \rightarrow\mathbb{R}^3\)，其参数化形式为 \(\gamma(t)\)，该曲线的切向量是：A. \(\gamma(t)\)B. \(\frac{d\gamma}{dt}\)C. \(\gamma'(t)\)D. 以上都不是3. 曲率（Curvature）是描述曲线局部性质的一个重要概念，以下哪个是曲率的正确定义？A. 曲线在某点的切向量的变化率B. 曲线在某点的法向量的变化率C. 曲线在某点的切线的变化率D. 曲线在某点的法线的变化率4. 在微分几何中，度量张量是用来描述空间的内在度量性质。

以下哪个是度量张量的属性？A. 正定性B. 反对称性C. 线性D. 以上都是5. 黎曼曲率张量是描述黎曼流形的内在曲率性质的量，以下哪个是黎曼曲率张量的属性？A. 对称性B. 反对称性C. 张量性D. 以上都是二、简答题（每题10分，共30分）1. 描述什么是流形的切空间，并给出一个具体的例子。

2. 解释什么是联络，并简述其在微分几何中的重要性。

3. 描述什么是测地线，并解释它在广义相对论中的应用。

三、计算题（每题25分，共50分）1. 给定一个二维黎曼流形 \((M, g)\)，其度量张量 \(g\) 在局部坐标系 \((x^1, x^2)\) 下的分量为 \(g_{11} = 1, g_{12} = 0,g_{22} = x^1\)。

求该流形的黎曼曲率张量 \(R\)。

2. 考虑一个三维空间中的曲面 \(S\)，参数化表示为 \(\phi(u, v) = (u \cos v, u \sin v, v)\)。

计算曲面 \(S\) 的第一基本形式和第二基本形式，并求出其高斯曲率和平均曲率。

微分几何期末试题及答案微分几何是数学中的一个重要分支，研究了曲线、曲面的性质和它们之间的关系。

下面是微分几何期末试题及答案，帮助你进行复习和巩固知识。

试题一：1. 什么是曲线的切向量？2. 什么是曲线的弧长？3. 什么是曲面的法向量？4. 什么是曲面的面积？答案一：1. 曲线的切向量是曲线上每一点的切线方向所确定的向量。

2. 曲线的弧长是曲线上两点之间的路径长度。

3. 曲面的法向量是曲面上每一点的法线方向所确定的向量。

4. 曲面的面积是曲面所包围的区域的表面积。

试题二：1. 什么是曲率？2. 利用曲率如何计算曲线的弧长？3. 什么是高斯曲率？4. 高斯-贝克曲率公式是什么？答案二：1. 曲率是描述曲线弯曲程度的一个量。

2. 利用曲率，可以通过积分计算曲线上两点之间的弧长。

3. 高斯曲率是描述曲面弯曲性质的一个量。

4. 高斯-贝克曲率公式是将曲率和高斯曲率联系起来的一个重要公式，表达了曲面的整体几何性质。

试题三：1. 什么是切平面？2. 什么是主曲率？3. 平均曲率和高斯曲率有何关系？4. 平均曲率和主曲率如何影响曲面的性质？答案三：1. 切平面是曲线或曲面上某一点的切线或切平面所确定的平面。

2. 主曲率是曲面上某一点的切平面上曲线的两个主曲率。

3. 平均曲率和高斯曲率有着密切的联系，平均曲率可以通过高斯曲率和主曲率计算得到。

4. 平均曲率和主曲率可以描述曲面在某一点的凹凸性、曲率变化和曲面形状等性质。

试题四：1. 什么是等曲率线？2. 什么是最小曲面？3. 最小曲面的性质有哪些？4. 最小曲面的例子有哪些？答案四：1. 等曲率线是曲面上曲率相等的曲线。

2. 最小曲面是曲面上平均曲率取得最小值的曲面。

3. 最小曲面的性质包括表面张力最小、能够包围最大体积和具有自相似性等。

4. 最小曲面的例子有求解平均曲率为零的旋转曲面、油膜平衡表面等。

通过以上试题及答案，我们对微分几何的基本概念、理论和性质有了初步了解。

微分⼏何期末复习题微分⼏何复习题⼀、填空题1. 向量具有固 ()(,3,)r t t t a =定⽅向，则a = 。

2. ⾮零向量满 ()r t ⾜的充要条 (),,0r r r '''=件是。

3. 若向量函数 ()r t 满⾜()()0r t r t '?=，则具有固定 ()r t 。

4. 曲线的正常 ()r r t =点是指满⾜的点.5. 曲线在任意 3()(2,,)t r t t t e =点的切向量为。

6. 曲线在点的 ()(cosh ,sinh ,)r t a t a t at =0t =切向量为。

7. 曲线在点的 ()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =0t =切向量为。

8. 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由确 ,αβ定的平⾯是曲线在P 点的。

9. 若是曲线的 0()r t ()r r t =正则点，则曲线在的 ()r r t =0()r t 密切平⾯⽅程是。

10. 曲线在点的 ()r r t =0()r t 单位切向量是α，则曲线在点 0()r t 的法平⾯⽅程是。

11. ⼀曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ= 。

12. 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率 (1)τ= 。

13. 曲线x =cos t ，y =sin t , z =t 在t =0处的切线⽅程是。

14. 曲线的主法向量的正向总是指向。

15. 空间曲线为⼀般螺线的充要条件是它的副法向量。

16. 曲线()r t ={t 3-t 2-t , t 2-2t +2, 2}上的点不是正常点的是 t = 。

17. 曲线的曲率 ()r r t =是。

18. 曲线的挠率 ()r r t =是。

19. ⼀般螺线的曲率和挠率的关系是。

20. 曲率为0的曲线是 , 挠率为0的曲线是。

21. 设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当时的切线 1t =⽅程为。