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Jensen不等式在数学上的应用
Jensen不等式在数学上的应用
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n
n
#xi
# 对&xi∈R
取
p(ξ=xi)=
1 n
,
则
E(ξ)=
i
=
xi
1
1 n
=
i
=1
n
,
n
#xi
i=1
x1+x2+∧+xn
f(E(ξ))=e n =e n ,
#n
E(f(ξ))=
1
xi
e=
ex1+ex2+∧+exn
i=1n
n
由 延 森(
Jensen)
x1+x2+∧+xn
不等式可得: e n ≤
1
文章编号: 1672- 7894( 2008) 03- 185- 01
凸函数: 设 f(x)是定义于区间( a, b) 上的函数, 若对任意的 x1x2
∈(a,b)和 0≤λ≤1, 有:
f(λx1+(1- λ)x2)≤λf(x1)+(1- λ)f(x2)
则称 f(x)是区间( a, b) 上的凸函数。
#b k- 1 i
i=1
i=1
k
’n
*
# ( aibi
+
(i = 1
n
k
+
# (
b k- 1 i
+
)i = 1
,
n ’ ai
# E(f(ξ))= i
=
1
(( )
1
b k- 1 i
k
n
k
k
* #a k- 1
bi
++ = n
k
i i=1
n
k
# # , b k- 1 i
b k- 1 i
i=1
i=1
由 延 森 ( Jensen)
延森( Jensen) 不等式:
设函数 f (x),x∈(a,b) 是一个连续的凸函数, ξ 是取值于集合
x= !x1,x2,∧,xn "的离散型随机变量, 则:
E(f(ξ))≥f(E(ξ))
证明: 我们用数学归纳法对此定理加以证明:
记 p(ξ=xi)=p(xi)(i=1,2,∧,n)注意 到 p(x1)+p(x2)+∧+p(xn)=1
不等式可Βιβλιοθήκη Baidu:
’n
# ( aibi
(i = 1
n
k
# ( b k- 1 i
)i = 1
k
* + +≤ +
,
n
#k ai
i=1
n
k
#b k- 1 i i=1
# $# n
即: aibi≤
n k
ai
i=1
i=1
1
% $k
n
k
# ·
b k- 1 i
i=1
k- 1
%k 。
参考文献: [1]华 东 师 范 大 学 数 学 系 .数 学 分 析 .北 京 :高 等 教 育 出 版 社 ,2003:148. [2] 姜丹. 信息 论 与 编 码 . 合 肥 : 中 国 科 学 技 术 大 学 出 版 社 ,2004:20- 25.
185
当 n=2 时, E(f(ξ))=p(x1)f(x1)+p(x2)f(x2)
≥f(p(x1)x1+p(x2)x2)=f(E(ξ))成 立
设当 n=k 时不等式成立, 则 n=k+1 当时:
E(f(ξ))=p(x1)+f(x1)+p(x2)f(x2)+∧+p(xk+1)f(xk+1)
# =(1-
p(xk+1))
凸函数。设 ci=bik- 1 , xi=
ai
1
并取 p(ξ=xi)=
ci
n
=
b k- 1 i
n
k
b k- 1 i
# # ci
b k- 1 i
i=1
i=1
n
n
# # 则 E (ξ)=
ai · 1
k
b k- 1 i
n
k
aibi
= i=1
n
k
,f (E (ξ))=
b i = 1 k- 1 i
#b k- 1 i
(ex1+ex2+∧+exn)。
n
例 2 设 ai> 0,bi> 0,k> 1 试证明:
1
k- 1
$ n
n
# #k
aibi≤
ai
k
%$n
k
# ·
b k- 1 i
%k
i=1
i=1
i=1
k
k- 2
证明: 设 f(x)=x (x> 0), 则由 f”(x)=k·(k- 1)x > 0 可知 f(x)为
k
k
%
$k+1
# =f
p(xi)xi
i=1
%=f(E(ξ))成立
综合上述可知, 结论成立。
利用延森( Jensen) 不等式可以证明 数 学 上 一 系 列 重 要 的 基 本
不等式, 现举例如下:
x1+x2+∧+xn
例 1 证明: e n ≤ 1 (ex1+ex2+∧+exn) n
x
证明: 设 f(x)=e , 由 f”(x)> 0 可知 f(x)为凸函数。
i
k =
1
1-
p(xi) p(xk+1)
f(xi)+p(xk+1)f(xk+1)
$# ≥( 1- p(xk+1))f
i
k =
1
p(xi) 1- p(xk+1)
xi
%+p (xk+1 )f(x
k+1)
$ # ≥f
(1- p(xk+1))
i
k =
1
p(xi) 1- p(xk+1)
xi+p(xk+1)xk+1
2008.03 ( 上旬刊)
理工科研
J e n s e n 不等式在数学上的应用
□ 刘小琼 刘新乐
( 河南理工大学数学与信息科学学院 河南·焦作 454000)
摘 要 本文主要是利用延森不等式证明了数学上的一些重要不等式。
关键词 凸函数 随机变量 延森不等式 数学不等式
中图分类号: O124
文献标识码: A
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