第四章随机解释变量问题

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第四章随机解释变量问题

1
所以参数OLS估计量 ˆ 0 , ˆ 1 仍然是无偏一致估计量
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(4-12) (4-13) （4-14）
分三种不同情况：
2．如果X与同期不相关而异期相关，得到的参数OLS估计量有偏，但却
是一致的。由(4-12)式易知，尽管X
t与
t 同期无关，但对任一
t ，k
1
zi yi zi xi
zi
(1xi
zi xi
i
)
1
zi i
zi xi
于是
E(1)1E(
zii )
zixi
（4-23）
（4-24）
因
Z
和
X
都是随机变量，在一般情况下E(
zi i zi xi
)
0
，故
E(1) 1
（4-25）
上式说明工具变量法估计量一般不具有无偏性。
现在您浏览到是十八页，共二十一页。
0 ( 1 ) 1 ( 1 ) Y t C t 1 t t 1 （4-9）
在该模型中，作为解释变量的C t 1 不仅是一个随机解释变量，而且与模型的
随机干扰项 t t1 高度相关(因为C t 1 与 t 1 高度相关)，属于随机解释变量
与随机干扰项同期相关的情况。
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第二节随机解释变量的影响
计量经济学模型一旦出现随机解释变量，且与随机干扰项相关的话，如果仍采用普通最小二乘法估计模型参数，则不同性质的随机解释变量问题会产生不同的后果。
以一元线性回页。
图4-1
从图形 (图4-1)上看，如果随机解释变量与随机干扰项正相关，则在抽取样本时，容易出现X值较小的点在总体回归线下方，而X值较大的点在总体回归线上方的情况，因此，拟合的样本回归线则可能低估(underestimate) 了截距项，而高估(overestimate)斜率项。反之，如果随机解释变量与随机干扰项负相关，则往往导致拟合的样本回归线高估截距项，而低估斜率项。

计量经济学随机解释变量问题

P134.第四章习题第 2 题：一元线性回归模型 Yi = β0 + β 1 X i + µi；已知 var ( µi ) = σ i2 ,
Yi β 0 X i µi 1 模型： + β1 + ，对其进行以权变换得二元模型： = σi σi σi σi σi OLS 估计，证明该模型随机干扰项满足同方差，并求此估计，干扰项满足同方差，估计量。模型中的 β 1 估计量。
λC t -1 − λµt -1 − λβ0 = β1Yt -1
e
随机解释变量问题. 模型存在随机解释变量问题
随机解释变量问题对模型参数估计的影响
1. 不相关时，当随机解释变量 X 2 与随机干扰项 µt 不相关时，估计仍然无偏。模型的 OLS 估计仍然无偏。 2.当 cov ( X 2 , µ ) ≠ 0时 , 模型的 OLS 估计是一定是有偏的，估计是一定是有偏的，
* * Yi* = β0 X 1 + β1 X 2 + µ* (为二元线性回归模型 ) i
(
ˆ Y − Yi*
* i
) = ∑(
2
ˆ * ˆ * Y − β0 X 1 − β 1 X 2
* i
)
2
∂ ∑ e i2 =0 ˆ * ˆ * * 2∑ Yi* − β0 X 1 − β1 X 2 X 1 = 0; ∂β0 ⇒ 2 ˆ * ˆ * * ∂ ∑ ei 2∑ Yi* − β0 X 1 − β1 X 2 X 2 = 0; =0 ∂β 1
S4.4随机解释变量问题随机解释变量问题
当单方程计量经济学模型的解释变量不是假设当中的确定性变量，量不是假设当中的确定性变量，而是随机变量，并且与随机误差项相关时，机变量，并且与随机误差项相关时，这种情形我们称之为随机解释变量问题随机解释变量问题。种情形我们称之为随机解释变量问题。

计量经济学分章习题与答案

计量经济学分章习题与答案第一章导论一、名词解释1、截面数据2、时间序列数据3、虚变量数据4、内生变量与外生变量二、单项选择题1、同一统计指标按时间顺序记录的数据序列称为（）A 、横截面数据B 、虚变量数据C 、时间序列数据D 、平行数据2、样本数据的质量问题，可以概括为完整性、准确性、可比性和（）A 、时效性B 、一致性C 、广泛性D 、系统性3、有人采用全国大中型煤炭企业的截面数据，估计生产函数模型，然后用该模型预测未来煤炭行业的产出量，这是违反了数据的哪一条原则。

（） A 、一致性 B 、准确性 C 、可比性 D 、完整性4、判断模型参数估计量的符号、大小、相互之间关系的合理性属于什么检验？（）A 、经济意义检验B 、统计检验C 、计量经济学检验D 、模型的预测检验5、对下列模型进行经济意义检验，哪一个模型通常被认为没有实际价值？（）A 、i C （消费）5000.8i I =+（收入）B 、di Q （商品需求）100.8i I =+（收入）0.9i P +（价格）C 、si Q （商品供给）200.75i P =+（价格）D 、i Y （产出量）0.60.65i K =（资本）0.4i L （劳动）6、设M 为货币需求量，Y 为收入水平，r 为利率，流动性偏好函数为012M Y r βββμ=+++，1?β和2β分别为1β、2β的估计值，根据经济理论有（） A 、1β应为正值，2β应为负值 B 、1?β应为正值，2β应为正值 C 、1?β应为负值，2?β应为负值 D 、1?β应为负值，2?β应为正值三、填空题1、在经济变量之间的关系中，、最重要，是计量经济分析的重点。

2、从观察单位和时点的角度看，经济数据可分为、、。

3、根据包含的方程的数量以及是否反映经济变量与时间变量的关系，经济模型可分为、、。

四、简答题1、计量经济学与经济理论、统计学、数学的联系是什么？2、模型的检验包括哪几个方面？具体含义是什么？五、计算分析题1、下列假想模型是否属于揭示因果关系的计量经济学模型？为什么？（1）t S =112.0+0.12t R ,其中t S 为第t 年农村居民储蓄增加额（单位：亿元），t R 为第t 年城镇居民可支配收入总额（单位：亿元）。

计量经济学随机解释变量的问题

合理预期的消费函数模型
合理预期理论认为消费是由对收入的预期所决定的，或者说消费是有计划的，而这个计划是根据对收入的预期制定的。于是有：
Ct 0 1Yt e t
C t 1 0 1Yt e 1 t 1
e Y 其中 t 表示 t 期收入预期值。
而预期收入与实际收入之间存在差距，表现为：
0 (1 ) 1 (1 )Yt Ct 1 t t 1
在该模型中，作为解释变量的Ct-1不仅是一个随机解释变量，而且与模型的随机误差项(t-t-1)高度相关（因为Ct-1与t-1高度相关）。属于上述第3种情况。
二、随机解释变量的后果
三、工具变量法 Instrumental Variables Method
1、工具变量的选取
工具变量：在模型估计过程中被作为工具使用，以替代模型中与随机误差项相关的随机解释变量。
选择为工具变量的变量必须满足以下条件：（1）与所替代的随机解释变量高度相关；（2）与随机误差项不相关；（3）与模型中其它解释变量不相关，以避免出现多重共线性。
此时，我们即可认为， a,b1,b2,b3这些参数的估计准确度基本不受影响。
• 如果将i换成时间t，则表示的是同一块土地上每年的要素投入量，试想一下，前面的 “同期不相关”指的是什么意思？
• 2.如果随机解释变量与随机扰动项之间，随着样本数量的增多，而渐渐地不相关，那么估计出的参数满足一致性。 • 例如，国家统计局的数据统计一年比一年精确，那么如果用年度数据进行模型估计，就会出现渐近不相关的现象。
• （二）对显著性假设检验的影响
仪器 : T
i 0 2
SSTi (1 Ri2 )

南财计量经济学第四章随机解释变量问题

一、单项选择题 1 、 C 2、 D 3 、 D 4 、 A 5 、 D 6 、 D 7 、 A 8、 D 9、D 10、D 二、多项选择题 ABD AC AC BD BC 三、判断题 1、× 2、× 3、√ 4、×5、×6、×7、×8、 × 9、× 10、× 11、× 12、√
2 答： • 基本思路：工具变量法就是当随机解释变量与随机误差项相关时，寻找一个与随机解释变量高度相关，但与随机误差项不想管的变量，用该变量替代模型中的随机解释变量，进行模型的参数估计。 • 选择原则：工具变量Z与所替代的随机解释变量X高度相关，即；工具变量与随机干扰项不相关，即；工具变量与模型中其他解释变量不相关，以避免出现多重共线性。
3 •
•
答：随机解释变量来源：由于经济变量的不可控，使得解释变量的观测值具有随机性；由于随机干扰项中包括了ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ型中略却的解释变量，而略去的解释变量与模型中的解释变量往往是相关的，结果造成随机干扰项与模型中的解释变量相关。随机解释变量带来何种后果取决于它与随机干扰项是否相关，以及相关的性质。有三种情形：（1）如果二者不相关，采用OLS得到的参数估计量仍是无偏估计量；（2）如果二者同期不相关，异期相关，此时参数的OLS估计量在小样本下是有偏的，在大样本下具有一致性；（3）如果二者同期相关，则无论是小样本还是大样本，所得的参数估计量均是有偏且非一致的。
五、计算分析题 1、解： • （1）由于地方政府往往是根据过去的经验、当前的经济状况以及期望的经济发展前景来定制地区最低限度工资水平的，而这些因素没有反映在上述模型中，而是被归结到了模型的随机扰动项中，因此 MIN1 与不仅异期相关，而且往往是同期相关的，这将引起OLS估计量的偏误，甚至当样本容量增大时也不具有一致性。 • （2）全国最低限度的制定主要根据全国国整体的情况而定，因此MIN基本与上述模型的随机扰动项无关。 • （3）由于地方政府在制定本地区最低工资水平时往往考虑全国的最低工资水平的要求，因此MIN1与MIN具有较强的相关性。结合（2）知MIN可以作为MIN1的工具变量使用。

随机解释变量问题

三、工具变量法估计量的性质
1．工具变量法估计量是有偏估计量
2．工具变量法估计量是一致估计量
1．工具变量法估计量是有偏估计量
用工具变量法所求的参数估计量 1 与总体参数真值之间的关系为 1
1

zy zx z ( x zx
i i i i i 1 i i i
于是
以一元线性回归模型为例进行说明。
图4-1
从图形 (图4-1)上看，如果随机解释变量与随机干扰项正相关，则在抽取样本时，容易出现X值较小的点在总体回归线下方，而X值较大的点在总体回归线上方的情况，因此，拟合的样本回归线则可能低估(underestimate) 了截距项，而高估(overestimate)斜率项。反之，如果随机解释变量与随机干扰项负相关，则往往导致拟合的样本回归线高估截距项，而低估斜率项。
C ov(Z i , X i ) 0
2．工具变量法估计量是一致估计量
如果工具变量 Z 选取恰当，则由（4-16）、（4-17）有
P lim 1 n P lim 1
C ov(Z i , i ) 0

zi xi C o v ( Z i , X i ) 0 zi i C ov ( Z i , i ) 0
按照工具变量的选择条件选择 z为 X 的工具变量得正规方程组：
ˆ ˆ Y n X i 0 1 i 2 ˆ ˆ X iYi 0 X i 1 X i
Yi n 0 1 X i Z iYi 0 Z i 1 Z i X i
(4-6)
该模型表示，耐用品的存量 Q t 由前一个时期的存量 Q t 1 和当期收入 Y t 共同决定。这是一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。但是，如果模型不存在随机干扰项的序列相关性，那么随机解释变量 Q t 1只与 t 1 相关，与 t 不相关，属于随机解释变量与随机干扰项同期无关，但异期相关的情况。

第四章4随机解释变量问题

由于：居民人均消费支出（CONSP）与人均国内生产总值（GDPP）相互影响，因此，
容易判断GDPP与同期相关（往往是正相关）， OLS估计量有偏并且是非一致的（低估截距项而高估计斜率项）。
OLS估计结果：
(13.51) (53.47) R2=0.9927 F=2859.23 DW=0.5503 SSR=23240.7
工具变量法是GMM的一个特例。 6、要找到与随机扰动项不相关而又与随机解释变量相关的工具变量并不是一件很容易的事
可以用Xt-1作为原解释变量Xt的工具变量。
五、案例——中国居民人均消费函数
例4.4.1 在例2.5.1的中国居民人均消费函数的估计中，采用OLS估计了下面的模型：
CONSP 0 1GDPP
如果用GDPPt-1为工具变量，可得如下工具变量法估计结果：
(14.84) (56.04) R2 =0.9937 F=3140.58 DW=0.6691 SSR=18366.5
• 如果1个随机解释变量可以找到多个互相独立的工具变量，人们希望充分利用这些工具变量的信息，就形成了广义矩方法（GMM）。在GMM中，矩条件大于待估参数的数量，于是如何求解成为它的核心问题。
一元回归中，工具变量法估计量为
~1
zi (1xi
zi xi
i )
1
zi i
zi xi
两边取概率极限得：
P
lim( ~1 )
1
P lim P lim
1 n
1 n
zi i
zi xi
如果工具变量Z选取恰当，即有
P lim 1
n
zi i cov(Zi , i ) 0
P lim 1
n
zi xi cov(Zi , X i ) 0

计量经济学随机解释变量问题

（4-16）
不相关，即
（4-17）
C o vZ ( i, 0 i)
3. 工具变量 Z 与模型中其他解释变量不相关，以避免出现多重共线性。
二、工具变量的应用（以一元回归模型为例说明）
记一元线性回归模型如下：
Y X i 0 1 i i
用普通最小二乘法估计模型(4-18)式得正规方程组：得正规方程组：
于是（4-20）
于是
ˆ1
xy x
i 2 i
i
1
z y zx
i
i
（4-21）
i i
二、工具变量的应用（以多元线性回归模型为例说明）
其矩阵形式为
YX β
采用参数估计量得到的正规方程组为
1 = ( Z X ) Z Y
采用工具变量法得到的正规方程组为
Z Y= Z X
以一元线性回归模型为例进行说明。
图4-1
从图形 (图4-1)上看，如果随机解释变量与随机干扰项正相关，则在抽取样本时，容易出现X值较小的点在总体回归线下方，而X值较大的点在总体回归线上方的情况，因此，拟合的样本回归线则可能低估(underestimate) 了截距项，而高估(overestimate)斜率项。反之，如果随机解释变量与随机干扰项负相关，则往往导致拟合的样本回归线高估截距项，而低估斜率项。
通常，对于没有选择另外的变量作为工具变量的解释变量，可以认为用自身作为工具变量。于是Z称为工具变量矩阵。
（4-22）
Z
其中
1 Z1 X 21 X k1
1 Z2 X 22 X k2
1 Zn X 2n X kn
三、工具变量法估计量的性质

§4.4 随机解释变量与误差项相关

§4.4 随机解释变量与误差项相关CLRM 中关于解释变量与误差项相关关系的假设：如果解释变量为非随机变量，则()cov ,ε=0X 总是成立；如果解释变量为随机变量，则要求()cov ,ε=0X ，即解释变量与误差项无关。

()()cov ,cov ,0 for ,1,...,; 1,...,ki j X i j n k K ε⇔====0εX4.4.1 随机解释变量与误差项相关一、随机解释变量与误差项相关的含义解释变量为随机变量，且与误差项相关，即()cov ,ε≠0X 。

至少存在某个{}2,...,k K ∈使得：()()cov ,0ki i ki i X E X εε=≠。

当解释变量与误差项相关时，称其为内生解释变量。

动态模型和联立方程组中常常存在内生解释变量。

二、随机解释变量，及与误差项相关的几种情况许多经济现象中，解释变量非随机假定不符合实际，因为许多经济变量不能用控制的方法进行观测，所以作为模型中的解释变量取值就不可能在重复抽样中得到相同和确定的数值，其取值很难精确控制，解释变量成为随机变量。

解释变量与误差项相关的几种情况：（1）模型设定误差。

如果随机误差项ε 包含了模型中略去的解释变量，而略去的解释变量往往同模型中的解释变量相关，因而就很有可能在X 是随机变量的情况下与随机误差项ε 相关。

（2）解释变量存在测量误差。

（3）动态模型。

模型包含有滞后因变量，且随机误差项又序列相关。

（4）联立方程模型等。

例如，在包含有滞后因变量模型中，如果误差项是序列相关的，那么滞后因变量与误差项相关。

例如，固定资产投资与国民收入的关系满足如下模型：0121t t t t I Y I βββε-=+++， 1, 1t t t v ερερ-=+<()()()10112211112cov ,cov ,...cov ,.........t t t t t t t t t I Y I v εεβββερεερερσ-------=++++=++=++4.4.2 随机解释变量与误差项相关的后果对一元回归模型i i i Y X αβε=++，如果()i i E X εγ=和()()22var i i i X E X εσ=有限，由Lindberg–Levy 中心极限定理，则有limi in X p nεγ→∞=∑。

李子奈-计量经济学分章习题与解答

第一章导论一、名词解释1、截面数据2、时间序列数据3、虚变量数据4、内生变量与外生变量二、单项选择题1、同一统计指标按时间顺序记录的数据序列称为（）A 、横截面数据B 、虚变量数据C 、时间序列数据D 、平行数据2、样本数据的质量问题，可以概括为完整性、准确性、可比性和（）A 、时效性B 、一致性C 、广泛性D 、系统性3、有人采用全国大中型煤炭企业的截面数据，估计生产函数模型，然后用该模型预测未来煤炭行业的产出量，这是违反了数据的哪一条原则。

（） A 、一致性 B 、准确性 C 、可比性 D 、完整性4、判断模型参数估计量的符号、大小、相互之间关系的合理性属于什么检验？（）A 、经济意义检验B 、统计检验C 、计量经济学检验D 、模型的预测检验5、对下列模型进行经济意义检验，哪一个模型通常被认为没有实际价值？（）A 、i C （消费）5000.8i I =+（收入）B 、di Q （商品需求）100.8i I =+（收入）0.9i P +（价格）C 、si Q （商品供给）200.75i P =+（价格）D 、i Y （产出量）0.60.65i K =（资本）0.4i L （劳动）6、设M 为货币需求量，Y 为收入水平，r 为利率，流动性偏好函数为012M Y r βββμ=+++，1ˆβ和2ˆβ分别为1β、2β的估计值，根据经济理论有（） A 、1ˆβ应为正值，2ˆβ应为负值 B 、1ˆβ应为正值，2ˆβ应为正值 C 、1ˆβ应为负值，2ˆβ应为负值 D 、1ˆβ应为负值，2ˆβ应为正值三、填空题1、在经济变量之间的关系中，因果关系、相互影响关系最重要，是计量经济分析的重点。

2、从观察单位和时点的角度看，经济数据可分为时间序列数据、截面数据、面板数据。

3、根据包含的方程的数量以及是否反映经济变量与时间变量的关系，经济模型可分为时间序列模型、单方程模型、联立方程模型。

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参考答案
第四章随机解释变量问题
一、单项选择题
1 、C 6 、D
2、 D 7、 A
3、D 8、D
4、A 9 、D
5、D 10、D
二、多选题
1、ABD
2、AC
3、AC
4、BD 5、BC
三、判断题
1.× 7.×

2. × 8. ×
3.√ 9.×
4.× 10.√
5. × 11. ×
五、计算分析题
1.（1）由于地方政府往往是根据过去的经验、当前的经济
状况以及期望的经济发展前景来定制地区最低限度工资水平的，而这些因素没有反映在上述模型中，而是被归结到了模型的随机扰动项中，因此 MIN1 与不仅异期相关，而且往往是同期相关的，这将引起OLS估计量的偏误，甚至当样本容量增大时也不具有一致性。（2）全国最低限度的制定主要根据全国国整体的情况而定，因此MIN基本与上述模型的随机扰动项无关。（3）由于地方政府在制定本地区最低工资水平时往往考虑全国的最低工资水平的要求，因此MIN1与MIN具有较强的相关性。结合（2）知MIN可以作为MIN1的工具变量使用。
6. × 12.√
四、简答题
1、什么是参数估计量的一致性？试通过一元模型证明工具变量法得到的斜率
估计量是 Байду номын сангаас的一致估计。
1

2.简述工具变量法的基本思路以及选择工具变量应遵循的原则。
3.随机解释变量产生的原因有哪些？随机解释变量会造成那些后果？随机解释变量来源：由于经济变量的不可控，使得解释变量的观测值具有随机性；由于随机干扰项中包括了模型中略却的解释变量，而略去的解释变量与模型中的解释变量往往是相关的，结果造成随机干扰项与模型中的解释变量相关。随机解释变量带来何种后果取决于它与随机干扰项是否相关，以及相关的性质。有三种情形：（1）如果二者不相关，采用OLS得到的参数估计量仍是无偏估计量；（2）如果二者同期不相关，异期相关，此时参数的OLS估计量在小样本下是有偏的，在大样本下具有一致性；（3）如果二者同期相关，则无论是小样本还是大样本，所得的参数估计量均是有偏且非一致的。
2 、能消除。在基本假设下，X ，X2t 与应是 t不相关的， 1t 由此知，由X1t与X2t估计出的Y t 应与t不相关。
3、

第四章随机解释变量问题

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