【规范解答】(1)ab2+bc2+ca2-(a2b+b2c+c2a) =a(b2-c2)+b(c2-a2)+c(a2-b2) =a(b2-c2)+b(c2-b2+b2-a2)+c(a2-b2) =a(b2-c2)+b(c2-b2)+b(b2-a2)+c(a2-b2） =（c2-b2)(b-a)+(b2-a2)(b-c) =(b-a)(c-b)［c+b-(b+a)］ =(b-a)(c-b)(c-a).
【思路点拨】分析不等式左边的特点结合已知条件，利用平均 值不等式证明该不等式.
【规范解答】方法一：左边=（a 1 ) 2 (b 1 ) 2
a 2 b2 4 ( 1 1 2) 2 a b
2
a
b
a2 b2 2b b 2 a 2 2a 4 a 2 b2 1 2 2 1 a a b b b a b2 a 2 4 a 2 b 2） 2 （ ） 2 2 ） （ 2 （ a b a b 2 （a b ） b a b a 4 2 2 2 2 2 a b a b 1 25 4 242 , 2 2
考向 4
用反证法证ห้องสมุดไป่ตู้不等式
【典例4】若a3+b3=2，求证:a+b≤2. 【思路点拨】直接证明a+b≤2比较困难，可考虑从反面入手， 运用反证法，导出矛盾，从而证得结论.
【规范解答】方法一:假设a+b＞2, 而 a 2 ab b 2 (a 1 b) 2 3 b 2 0.
方法二：1 ab 1 1 3 ,
4 4
当且仅当a=b时，等号成立.
9 25 2 1 ab , 1 ab 1 , 16 16 2 1 （1 ab） 1 25 25 又 4， 4 ， ab ab 16 4 a 2 b 2 2ab 2 25 1 1 25 ， a ）（b ） （ . ab 4 a b 4 1 1 25 方法三： a )(b ) （ a b 4 2 2 a 1 b 1 25 a b 4 4a 2 b 2 33ab 8 （1 4ab）（8 ab） 0， 4ab 4ab 1 1 25 a ）（b ） （ . a b 4
1 1 . a 1 b 1 （3）错误. b 1 b a b , ≧b>a>0,≨a-b<0,a(a+1)>0, a 1 a a a 1 b 1 b ≨s<t. , a 1 a
（4）错误.该不等式无论用求差法还是求商法都不好证明，最
好用分析法.
主要适用于积、商、 幂、对数、根式形式 的不等式证明
2.综合法与分析法 (1)分析法 证明命题时，从所要证明的结论入手向已知条件反推，直至达 执果索 到已知条件为止，这种证法称为分析法，这是一种“_______
因 ___”的证明方法.
(2)综合法 一般地，从已知条件出发，利用不等式的性质（或已知证明过 的不等式），推出所要证明的结论，这种证明不等式的方法称 由因寻果法 为综合法.综合法又叫“___________”.
2
1 2 2
x
3
y
1 3 3
,
只需证(x2+y2)3>(x3+y3)2， 即证x6+3x4y2+3x2y4+y6>x6+2x3y3+y6， 即证3x4y2+3x2y4>2x3y3, ≧x>0,y>0,≨x2y2>0. 即证3x2+3y2>2xy,≧3x2+3y2>x2+y2≥2xy, ≨3x2+3y2>2xy成立，≨ x y
答案：（1）× （2）√ （3）× （4）×
考向 1
比较法证明不等式
【典例1】（1）设c>b>a,证明：a2b+b2c+c2a<ab2+bc2+ca2. （2）当a,b∈(0,+∞)时，a b ab
a b a b 2
.
【思路点拨】(1)不等式两端均为多项式且次数相同时可考虑 用求差法证明. (2)不等式两端为幂指数型的不等式可考虑用求商比较法证明.
第二节
证明不等式的基本方法
求差 求商 1.比较法证明不等式可分为_____比较法和_____比较法两种
求差比较法 a>b⇔______ a-b>0 理论依据 a<b⇔______ a-b<0 a-b=0 a=b⇔______ 适用于具有多项式 适用类型 特征的不等式的证 明 求商比较法
a a>b b>0, 1 ⇒____ b a<b b<0,a 1 ⇒____ b
xy
) ) ) )
（2）已知a>b>-1,则 1 1 . (
a 1 b 1 a a 1
（3）设 t b ,s b 1 (b>a>0)，则s≥t.( （4）证明
10 8 3 1 可用比较法证明.(
【解析】（1）错误.若x-y<0，则有x+2y<x-y. （2）正确.≧a>b>-1,≨a+1>b+1>0,
故（px+qy)2-(px2+qy2)
=-pq(x2+y2-2xy)
=-pq(x-y)2.
由于p,q为正数，故-pq(x-y)2≤0,
故（px+qy)2≤px2+qy2,
当且仅当x=y时，不等式中等号成立.
考向 2
综合法证明不等式
1 a 1 b 25 . 2
【典例2】已知a,b∈R+,且a+b=1,求证： a ) 2 (b ) 2 （
2 1 2 2
x
3
y
1 3 3
.
【拓展提升】1.综合法与分析法的逻辑关系
（1）用综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等
式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.
（2）综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理、清楚，
所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤.
a b 2 2 4a b
a b
2
当且仅当a=b时，等号成立.即原不等式成立.
方法二：≧a，b∈R+，且a+b=1, ab ( a b ) 2 1 ，
2 4
当且仅当a=b时，等号成立.
1 2 1 2 a ）（b ） （ a b 1 1 4 a 2 b 2） 2 2 ） （ （ a b 2 （a b） 2ab 2 4 ［（a b） 2ab］ a 2b2 1 2ab 4 1 2ab） 2 2 （ a b 1 1 2 1 4 25 . 4 1 2 ） （ 4 （1） 2 2 4 1 1 25 (a ) 2 (b ) 2 . a b 2
a b 4
【证明】方法一：≧a，b∈（0，+≦），且a+b=1,
ab 2 1 ) , 当且仅当a=b时，等号成立. 2 4 1 1 b a 1 (a ） ） ab (b a b a b ab b a 1 ( )( ab) 2 2 a b ab 1 25 2 (2 ) 2 2 ， 2 4 1 1 25 (a )(b ) . a b 4 ab (
【提醒】当不等式的两边为对数式时，可用求商比较法证明，
另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜用求差比较法时，
也常用求商比较法.
【变式备选】已知p，q均为正数，且p+q=1,试证明 （px+qy)2≤px2+qy2.
【证明】（px+qy)2-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy ≧p+q=1,≨p-1=-q,q-1=-p.
2
考向 3
利用分析法证明不等式
1 2 2 1 3 3
【典例3】已知x>0,y>0,求证： 2 y ) (x 3 y ) . (x
【思路点拨】待证不等式中含有分数指数幂，不易直接证明,
可考虑用分析法证明.两边六次方，消去分数指数幂，化为整
式不等式后，再进行变形，整理证明即可.
【规范解答】要证明 x y
的性质 ______来证明不等式的方法.
思路：利用图形的直观性数形结合求证.
5.反证法 反证法是通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论 一定成立，其步骤是： 假设 （1）作出否定结论的_____； 矛盾 （2）进行推理，导出_____；
结论 （3）否定假设，肯定_____.
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. （1）若 x 2y 1,则x+2y>x-y.(
综上可知，当a,b∈(0，+≦)时， a b b (ab) 成立. a
a b 2
【互动探究】在本例题（2）的条件下，证明 ab 【证明】
a b ba
a b 2
a b ba .
ab
b 当a b时，( ) ＝； 1 a b ab b a b 当a＞b＞0时， ＜， ＞0，( ) 2 ＜ 0＜ 1 1; a 2 a b ab b a b 当b＞a＞0时， ＞1， ＜0，( ) 2 ＜， 1 a 2 a ab
a b 2
a b 2 a b 2
a
b a 2
b
a b 2
