江西名校学术联盟2020届高三年级教学质量检测考试(一)理科数学卷

第6小题图江西省重点中学盟校2020届高三第一次联考试卷 理科数学主命题：余江一中 严银斌 辅命题：景德镇一中 方哲 临川二中: 王晶第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分．每小题所给出的四个选项只有一项是符合题意) 1.已知集合}02|{2>--=x x x A ，集合}1)21(|{>=xx B ，则=B A IA ．(－∞,0)B ．),2(+∞C ．)1,(--∞D ．),0(+∞2．i 为虚数单位，a 为正实数，若复数21-+-=i a i a z 为纯虚数，则=a A.1B.2C.3D.23.已知实数，，，则，，的大小关系是A. B. C. D.4.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间[110，120]内； ③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．45. 现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置）,俯视图分别为图1、 图2、图3,则至少存在．．．．一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的编号是A. ① ②B. ① ③C.① ② ③D.② ③ 6.执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为A. 0B. 2C. 4D. 2-7.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给 5个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少的 一份面包个数为A. 46B. 12C. 11D. 28.已知F 1、F 2为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，直线3y x =与双曲线C 的一个交点P 在以线段F 1F 2为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为A. 31+B.525+C. 423+D.32+ 9.函数()ϕ+=x y 2cos 的图像左移4π个单位后关于直线34π=x 对称，则ϕ的最小值为 A.3πB.4πC.6π D.2π 10.在下列选项中，选出一个“对于R ∈∀x ，都有012≥+-x ax 恒成立”的充分不必要条件A.41≤aB.1≥aC.41≥aD.0≥a11.在平面区域2200x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩内任取一点(),Px y ，则存在R α∈，使得点P 的坐标(),x y 满足()2cos +sin 20x y αα--=的概率为A ．316π B ．3116π- C ．434π- D ．116π-12.已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ，在ABC ∆中，6AB =，8AC =，AB AC ⊥，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =，球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为π44，则球O 的表面积为 A. 72πB. 86πC. 112πD. 128π第Ⅱ卷 （非选择题 共90分） 二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13.已知向量，的夹角为，且，，则_______．14.在二项式的展开式中，其常数项是15，如图所示，阴影部分是由曲线和圆及轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为______．15.过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且A 、C 位于x 轴同侧，若|AC|＝2|AF|，记|BF|=m , |AF|=n ,则nm等于________． 16.已知数列{}n a 满足：1321===a a a ，2111--++=n n n n a a a a （n ≥3，*n ∈N ）,数列{}n b 满足： 12+++=n n n n a a a b （*n ∈N ）．则nn b b -+1的取值范围是__________．三．解答题：(本大题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos 1A B a b c+=． 第14小题图（1）证明：,,a c b 成等比数列 （2）若3=c ，且4sin()cos 16C C π-=，求ABC ∆的周长。

江西省名师联盟2020届高三理数入学调研考试试卷一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）已知集合M={x|x2+x−2≤0}，N={−1,0,1,2}，则M∩N的子集个数为（）A．2B．4C．8D．162．（2分）已知复数z=2+i，则z̅1+i在复平面上对应的点所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2分）在等差数列{a n}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A．﹣5B．﹣7C．﹣9D．﹣114．（2分）下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（）A．f(x)=x3+x B．f(x)=3x−1C．f(x)=−1xD．f(x)=log3|x| 5．（2分）中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（）A．15B．14C．13D．126．（2分）设α,β是两平面，a,b是两直线.下列说法正确的是（）①若a//b，a//c，则b//c②若a⊥α，b⊥α，则a//b③若a⊥α，a⊥β，则α//β④若α⊥β，α∩β=b，a⊂α，a⃗⊥b⃗，则a⊥βA．①③B．②③④C．①②④D．①②③④7．（2分）下图是一程序框图，若输入的A=12，则输出的值为（）A ．25B ．512C ．1229D ．29608．（2分）函数 f(x)=Asin(ωx +φ) （其中 A >0 ， ω>0 ， |φ|<π2 ）的图象如图所示，为了得到 y =f(x) 的图象，只需把 g(x)=12sinωx −√32cosωx 的图象上所有点（ ）A ．向左平移 π6 个单位长度 B ．向左平移 π3 个单位长度 C ．向右平移 π6 个单位长度D ．向右平移 π3 个单位长度9．（2分）(1+2x −y 2)8的展开式中x 2y 2项的系数是（ ）A ．420B ．﹣420C ．1680D ．﹣168010．（2分）太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗 …… ，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为 A ={(x,y)|x 2+(y −1)2≤1或{x 2+y 2≤4x 2+(y +1)2≥1x ≤0} ，设点 (x,y)∈A ，则 z =x +2y 的取值范围是 ( )A ．[−2−√5 ， 2√5]B ．[−2√5 ， 2√5]C ．[−2√5 ， 2+√5]D ．[−4 ， 2+√5]11．（2分）已知双曲线 C:x 2a 2−y 2b 2=1 （ a >0,b >0 ）的右焦点为 F,A,B 是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点， AF⇀⋅BF ⇀=0 且线段 AF 的中点 M 落在另一条渐近线上，则双曲线 C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√512．（2分）已知函数 f(x)=(e −a)e x −ma +x ，（ m,a 为实数），若存在实数 a ，使得 f(x)≤0 对任意 x ∈R 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A ．[−1e,+∞)B ．[−e,+∞)C ．[1e,e]D ．[−e,−1e]二、填空题 (共4题；共4分)13．（1分）平面内不共线的三点 O,A,B ，满足 |OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ， |OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2 ，点 C 为线段 AB 的中点，若 |OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32，则 ∠AOB = . 14．（1分）已知数列 {a n } 中， a 1=1 ，且 a n+1+2a n +3=0 ， n ∈N ∗ ，数列 {a n } 的前 n项和为 S n ，则 S 6= .15．（1分）已知直线 l 经过抛物线 C:y =x 24的焦点 F ，与抛物线交于 A 、 B ，且 x A +x B =8 ，点 D 是弧 AOB （ O 为原点）上一动点，以 D 为圆心的圆与直线 l 相切，当圆 D 的面积最大时，圆 D 的标准方程为 ．16．（1分）已知正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 的侧面积为12，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线 AC 1 与 B 1C 所成角的余弦值等于 .三、解答题 (共7题；共60分)17．（10分）在 ΔABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若 tanB =12， tan(C −A)=2 .（1）（5分）求 A ；（2）（5分）当 a =2√2 时，求 ΔABC 的面积.18．（10分）如图，正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 的所有棱长都是2， D,E 分别是 AC,CC 1 的中点.（1）（5分）求证：平面AEB⊥平面A1BD；（2）（5分）求二面角D−BE−A1的余弦值.19．（10分）已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，圆O:x2+y2=c2（|F1F2|=2c）与椭圆有且仅有两个交点，点(√63,√63)在椭圆上.（1）（5分）求椭圆的标准方程；（2）（5分）过y正半轴上一点P的直线l与圆O相切，与椭圆C交于点A,B，若PA⃗⃗⃗⃗⃗ = AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线l的方程.20．（10分）随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整，调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：某税务部门在某公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：（1）（5分）若某员工2月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请计算一下调整后该员工的实际收入比调整前增加了多少?（2）（5分）现从收入在 [3000,5000) 及 [5000,7000) 的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用 x 表示抽到作为宣讲员的收入在 [3000,5000) 元的人数， y 表示抽到作为宣讲员的收入在 [5000,7000) 元的人数，设随机变量 X =|x −y| ，求 X 的分布列与数学期望.21．（5分）已知函数 f(x)=x 2−alnx −1 ，（ a ∈R ）.（Ⅰ）若函数 f(x) 有且只有一个零点，求实数 a 的取值范围；（Ⅱ）设 g(x)=e x +x 2−ex −f(x)−1 ，若 g(x)≥0 ，若函数对 x ∈[1,+∞) 恒成立，求实数 a 的取值范围.（ e 是自然对数的底数， e =2.71828⋅⋅⋅ ）22．（5分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是{x =8k1+k2y =3(1−k 2)1+k 2（k 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ+π4)=2√2 .（Ⅰ）曲线C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C 上的点到直线 l 的距离的取值范围.23．（10分）设函数 f(x)=|2x −1|+|2x −a| ， x ∈R ．（1）（5分）当 a =4 时，求不等式 f(x)>9 的解集；（2）（5分）对任意 x ∈R ，恒有 f(x)≥5−a ，求实数 a 的取值范围．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解:解二次不等式x2+x−2≤0得(x+2)(x−1)≤0，解得−2≤x≤1,即M={x|−2≤x≤1},又N={−1,0,1,2},所以M∩N= {−1,0,1},即M∩N的子集个数为23= 8,故答案为：C.【分析】先解二次不等式可得M={x|−2≤x≤1}，再由集合的交集的运算M∩N= {−1,0,1},再由n元集合的子集个数为2n，代入运算即可得解.2．【答案】D【解析】【解答】∵z=2+i，∴z̅1+i=2−i1+i=12−32i，在复平面对应的点的坐标为(12,−32)，所在象限是第四象限.故答案为：D【分析】利用复数的运算法则算出z̅1+i即可3．【答案】B【解析】【解答】数列{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∵a3＝5，S4＝24，∴a1+2d＝5，4a1+ 4×32d＝24，联立解得a1＝9，d＝﹣2，则a9＝9﹣2×8＝﹣7．故答案为：B.【分析】由a3＝5，S4＝24用通项公式和前n项和公式列出关于a1, d的方程，得到{a n}的通项公式，从而求出答案.4．【答案】A【解析】【解答】解：对于A，f(x)=−f(−x)恒成立，且f′(x)=3x2+1>0，即函数f(x)为奇函数且为增函数，对于B，f(x)≠−f(−x)，则函数f(x)不为奇函数，对于C，f′(x)=1x2>0，函数f(x)的增区间为(−∞,0),(0,+∞)，函数在(−∞,0)∪(0,+∞)不为增函数，对于D，f(x)≠−f(−x)，则函数f(x)不为奇函数，故答案为：A.【分析】考查A ，检验 f(x)=−f(−x) 是否恒成立，再利用导数来判断函数的单调性即可；考查B ， f(1)≠−f(−1) ,即 f(x)=−f(−x) 不恒成立，即函数 f(x) 不为奇函数，考查C ，函数 f(x) 的增区间为 (−∞,0),(0,+∞) ，则函数在定义域上不单调，考查D ， f(3)≠−f(−3) ,即 f(x)=−f(−x) 不恒成立，即函数 f(x) 不为奇函数，得解.5．【答案】D【解析】【解答】从五种不同属性的物质中随机抽取2种，共 C 52=10 种，而相生的有5种，则抽到的两种物质不相生的概率 P =1−510=12故答案为：D【分析】总共有10种结果，其中相生的有5种，由古典概型的计算公式计算出概率即可6．【答案】D【解析】【解答】由平行公理知①对，由线面垂直的性质定理知②对，垂直于同一直线的两个平面平行，故③对， 由面面垂直性质定理知④对. 故答案为：D【分析】根据平行和垂直的有关定理逐一判断即可7．【答案】C【解析】【解答】运行程序框图， A =25 ， k =2 ； A =512， k =3 ； A =1229 ， k =4>3 ， 输出 A =1229. 故答案为：C【分析】依次列出此程序框图的运行步骤即可8．【答案】B【解析】【解答】由题意知 A =1 ，由于T 4=7π12−π3=π4 ，故 T =2πω=π ，所以 ω=2 ， f(x)=sin(2x +φ) ，由 f(π3)=sin(2π3+φ)=0 ，求得 φ=π3 ，故 f(x)=sin(2x +π3)=sin[2(x +π6)] ，g(x)=12sinωx −√32cosωx =sin[2(x −π6)] ，故需将 g(x) 图像上所有点向左平移 π3 个单位长度得到 f(x) .故答案为：B【分析】先由图象求出 f(x) 的解析式，然后根据三角函数的平移变换选出答案即可9．【答案】A【解析】【解答】解： (1+2x −y 2)8 表示8个因式 1+2x −y 2 的乘积，要得到展开式中含x 2y 2的项，则故其中有2个因式取2x ，有2个因式取﹣ y2 ，其余的4个因式都取1，可得含x 2y 2的项．故展开式中x 2y 2项的系数是 C 82 •22• C 62 • (−12)2• C 44 ＝420， 故答案为：A ．【分析】由题意根据乘方的意义，组合数的计算公式，求得展开式中x 2y 2项的系数.10．【答案】C【解析】【解答】如图，作直线 x +2y =0 ，当直线上移与圆 x 2+(y −1)2=1 相切时， z =x +2y 取最大值， 此时，圆心 (0,1) 到直线 z =x +2y 的距离等于1，即 |2−z|5=1 ， 解得 z 的最大值为： 2+√5 ，当下移与圆 x 2+y 2=4 相切时， x +2y 取最小值， 同理|−z|5=2 ，即 z 的最小值为： −2√5 ， 所以 z ∈[−2√5,2+√5] ． 故答案为： C ．【分析】结合图形，平移直线 z =x +2y ，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值．11．【答案】C【解析】【解答】解：由双曲线 C:x 2a 2−y 2b 2=1 ，则其渐近线方程为 y =±bax ，因为 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 由图可知：AO =BO =FO =c不妨设A (−a,b) ,则B (a,−b) ,又 F(c,0) ，可得AF 的中点坐标为 M (c−a 2,b 2) ，所以 b 2=b a ×c−a 2，解得： e =ca =2 ，故答案为：C.【分析】先由已知条件求出 AF 的中点 M 的坐标，再代入到另一条渐近线方程中求解即可.12．【答案】A【解析】【解答】 f(x)=(e −a)e x −ma +x ，则 f ′(x)=(e −a)e x +1 ，若 e −a ≥0 ，可得 f ′(x)>0 ，函数 f(x) 为增函数，当 x →+∞ 时， f(x)→+∞ ， 不满足 f(x)≤0 对任意 x ∈R 恒成立；若 e −a <0 ，由 f ′(x)=0 ，得 e x =1a−e ，则 x =ln1a−e，∴ 当 x ∈(−∞,ln 1a−e ) 时， f ′(x)>0 ，当 x ∈(ln 1a−e,+∞) 时， f ′(x)<0 ， ∴f(x)max=f(ln 1a−e )=(e −a)e ln1a−e −ma +ln 1a−e =−1−ma +ln 1a−e ，若 f(x)≤0 对任意 x ∈R 恒成立，则 −1−ma +ln 1a−e≤0(a >e) 恒成立， 若存在实数 a ，使得 −1−ma +ln 1a−e≤0 成立， 则 ma ≥−1+ln1a−e ， ∴m ≥−1a −ln(a−e)a(a >e) ， 令 F(a)=−1a −ln(a−e)a， 则 F ′(a)=1a 2−a a−e −ln(a−e)a2 =(a−e)ln(a−e)−e a 2(a−e) . ∴ 当 a <2e 时， F ′(a)<0 ，当 a >2e 时， F ′(a)>0 ，则 F(a)min =F(2e)=−1e.∴m ≥−1e .即实数 m 的取值范围是 [−1e ,+∞) .故答案为：A【分析】先求出 f(x) 的单调性，得出 −1−ma +ln 1a−e ≤0 ，即 m ≥−1a −ln(a−e)a(a >e) ，然后求出右边的最小值即可13．【答案】120°【解析】【解答】 ∵ 点 C 为线段 AB 的中点， ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14(1+4+2×1×2×cos∠AOB) ， 解得 cos∠AOB =−12，∴∠AOB =120° . 故答案为： 120°【分析】由 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 平方即可算出 cos∠AOB =−12 ，然后即可得出答案 14．【答案】−48【解析】【解答】因为 a n+1=−2a n −3 ，所以 a n+1+1=−2(a n +1) ，因为 a 1+1=2≠0 ，所以数列 {a n +1} 是以2为首项，以 −2 为公比的等比数列， 所以 a n +1=2×(−2)n−1 ，即 a n =2×(−2)n−1−1 ，S n =23(1−(−2)n )−n ，所以 S 6=23(1−26)−6=−48 .故答案为： −48【分析】由 a n+1=−2a n −3 得 a n+1+1=−2(a n +1) ，即数列 {a n +1} 是以2为首项，以 −2 为公比的等比数列，即可求出 a n ，进而求得 S 615．【答案】(x −4)2+(y −4)2=5【解析】【解答】抛物线的标准方程为 x 2=4y ，抛物线的焦点坐标为 F(0,1) ，直线 AB 的斜率 k =y A −y B x A −x B =14(x A 2−x B 2)x A −x B =x A +x B 4=2 ，所以，直线 l 的方程为 y =2x +1 ，即 2x −y +1=0 .当点 D 到直线 l 的距离最大时，圆 D 的面积最大，如下图所示：设点 D(t,t 24) ， ∵ 点 D 在直线 l 的下方，则 2t −t 22+1>0 ，点 D 到直线 l 的距离为 d =2t−t 24+1√5=5−14(t−4)2√5，当 t =4 时， d 取最大值 √5 ， 此时，点 D 的坐标为 (4,4) ，因此，圆 D 的标准方程为 (x −4)2+(y −4)2=5 . 故答案为： (x −4)2+(y −4)2=5 .【分析】作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线 AB 的斜率，可得出直线 l 的方程，再利用当点 D 到直线 l 的距离最大时，圆 D 的面积最大，由此求出点 D 的坐标，并计算出点 D 到直线 l 的距离，作为圆 D 的半径，由此可得出圆 D 的标准方程.16．【答案】514【解析】【解答】设正三棱柱的底面边长为 a ，高为 ℎ ，球的半径为 R ，由题意知 3aℎ=12 ，即 aℎ=4 ， 底面外接圆半径 r =a 2sin π3=a√3，由球的截面圆性质知R2=r2+ℎ24≥aℎ√3=4√3，当且仅当a=√32ℎ时取等号，将三棱柱补成一四棱柱，如图，知AC1//DB1，即∠DB1C为异面直线AC1与B1C所成角或补角，B1C=DB1=√a2+ℎ2，DC=√3a，所以cos∠DB1C=2(a2+ℎ2)−3a22(a2+ℎ2)=514.故答案为：514【分析】设正三棱柱的底面边长为a，高为ℎ，球的半径为R，先得出aℎ=4，然后R2=r2+ℎ24≥aℎ√3=4√3，即a=√32ℎ时其外接球的表面积取最小值。

2020届江西名师联盟高三第一次模拟考试卷理 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|25}A x x =-<<，{1,3,6}B =，{6}M =，则M =（ ） A ．A B IB ．A B UC ．()A B R I ðD ．()A B R I ð2．若复数z 满足(1)(i 1)i z --=，则2z =（ ）A ．43i2+-B ．43i2- C ．34i2+-D ．34i2- 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，33a =，714S =，则公差d =（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1-4．已知1525a =，256b =，652c =，则（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<班级 姓名 准考证号 考场号 座位号5．函数22log (1)()x f x x-=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设x ，y 满足约束条件2632x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则y z x =的最大值是（ ）A ．1-B ．0C ．12D ．27．在ABC △中，23BD BC =u u u r u u u r ，E 为AD 的中点，则CE =u u u r（ ）A ．1263AB AC -u u ur u u u rB ．2136AB AC -u u ur u u u rC ．1536AB AC -u u ur u u u rD ．5163AB AC -u u ur u u u r8．若存在π[0,]2x ∈，使2πsin(2)03x x m +-+<成立，则m的取值范围为（ ） A ．()+∞ B ．(,1-∞-- C．(,-∞ D ．(1)--+∞9．在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（ ）AB ．12C ．13D ．1410．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A．3B．3C． D．11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅u u u r u u u u r取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为1S ，2S ，则21S S =（ ） A ．4 B ．8 C．D．12．设函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数，且(0,)x ∀∈+∞，(())x f f x e x e -+=． 若不等式()()f x f x ax '+≥对(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(,2]e -∞-B ．(,1]e -∞-C ．(,23]e -∞-D ．(,21]e -∞-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，()cos πx f x x =+，则4π()3f = ．14．已知22962100012100(1)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -+=+++++++L ，则210012100222a a a +++=L ．15．已知函数()ln(||1)cos 2f x x a x =+++只有一个零点，则a = ．16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD △为等边三角形，若四棱锥P ABCD -的体积与四棱锥P ABCD -棱锥P ABCD -的表面积为 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知26sin cossin 2Aa Bb A =． （1）求cos A ；（2）若a =5b c +=，求ABC △的面积．18．（12分）某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售，不低于100箱则有以下两种优惠方案：①以100箱为基准，每多50箱送5箱；②通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概率为0.6，以优惠6%成交的概率为0.4．（1）甲、乙两单位都要在该厂购买150箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；（2）某单位需要这种零件650箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算?19．（12分）如图，在四面体ABCD 中，AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC，2AB BC AC ==，且4AD BC +=．（1）证明：BC ⊥平面ABD ；（2）设E 为棱AC 的中点，当四面体ABCD 的体积取得最大值时，求二面角C BD E --的余弦值．EBACD20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点1)2-倍．（1）求椭圆C 的方程；（2）若A ，B 是椭圆C 上的两个动点（A ，B 两点不关于x 轴对称），O 为坐标原点，OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，问是否存在非零常数λ，使12k k λ⋅=时，AOB △的面积S 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数ln ()xx af x e+=． （1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）设()x g x xe a -=-，对任意12,(0,)x x ∈+∞都有11112()()xx e f x ax g x ->成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2431x t a y t ⎧=+⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为21||cos 2sin x a y a θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）． （1）求l 和C 的普通方程；（2）将l 向左平移(0)m m >后，得到直线l '，若圆C 上只有一个点到l '的距离为1，求m ．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()|||4|(0)f x x a x a =-+-≠． （1）当1a =时，求不等式()f x x <的解集；（2）若4()1f x a≥-恒成立，求a 的取值范围．2020届江西名师联盟高三第一次模拟考试卷理科数学答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】∵{|2A x x =≤-R ð或5}x ≥，∴(){6}A B =R I ð． 2．【答案】B【解析】因为i 2i 11i 1i 1z -=+=--，所以234i 43i 2i 2z ---==-． 3．【答案】D【解析】∵74714S a ==，∴42a =，∴431d a a =-=-． 4．【答案】A【解析】255a =，256b =，258c =，故a b c <<． 5．【答案】C【解析】由函数22log (1)()x f x x -=，得定义域为(,1)(1,)-∞-+∞U ，且有()()f x f x -=-成立，所以函数22log (1)()x f x x-=的图象关于原点对称，且与x 轴交于(和两点．当x >222log (1)log (21)0x ->-=，所以在内函数图象在x 轴下方，在)+∞内函数图象在x 轴上方，再用对称性得到完整的函数图象．6．【答案】D【解析】yz x=的几何意义是可行域内的点(,)x y 与原点(0,0)连线的斜率， 画出可行域（图略），得z 的最大值为2． 7．【答案】A【解析】11111112()22262663CE CA CD CA CB CA AB AC AB AC =+=+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ．8．【答案】C【解析】记2ππ()sin(2)cos(2)36f x x x m x m =+-+=-+，因为存在π[0,]2x ∈，使2πsin(2)03x x m +-+<成立，所以只需当π[0,]2x ∈时，min π()()02f x f m ==+<，即m <． 9．【答案】C【解析】如图，连接BQ ，则由椭圆的对称性易得PBF QBF ∠=∠，EAB EBA ∠=∠， 所以EAB QBF ∠=∠，所以ME BQ ∥．因为PME PQB ~△△，所以||||||||PE PM EB MQ =． 因为PBF EBO ~△△，所以||||||||OF EP OB EB =，从而有||||||||PM OF MQ OB =． 又因为M 是线段PF 的中点，所以||||1||||3c OF PM e a OB MQ ====．10．【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥A BCD -，F 为BD 的中点， 外接球球心O 在过CD 的中点E 且垂直于平面BCD 的直线l 上，又点O 到A ，B ，D 的距离相等，所以O 又在过左边正方体一对棱的中点M ，N 所在直线上，在OEN △中，由NF MF NE OE =，即223OE=，得3OE =，所以三棱锥A BCD -外接球的球半径R===3V =． DCEFBNMAO11．【答案】A【解析】由2ce a==，得2c a =，b=， 故线段MN 所在直线的方程为)y x a =+，又点P 在线段MN上，可设()P m +，其中[,0]m a ∈-， 由1(,0)F c -，2(,0)F c ，即1(2,0)F a -，2(2,0)F a ，得1(2,)PF a m =--u u u r ，2(2,)PF a m =-u u u u r，所以222212313464()44PF PF m ma a m a a ⋅=+-=+-u u u r u u u u r ． 由于[,0]m a ∈-，可知当34m a =-时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r 取得最小值，此时21134)24S a a a =⨯-+=，当0m =，12PF PF ⋅u u u r u u u u r 取得最大值，此时22142S a =⨯=，所以214S S =．12．【答案】D【解析】由于()f x 是单调函数，则()x f x e x -+为定值， 不妨设()x f x e x t -+=，则()x f x e x t =-+．又()t f t e t t e =-+=，解得1t =，则()1x f x e x =-+，()1x f x e '=-，所以2xe x ax -≥，即21xe a x≤-． 设2()1x e g x x =-，则22(1)()x e x g x x -'=， 易知()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 则min ()(1)21g x g e ==-，所以21a e ≤-．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】116【解析】∵4π4π4111()cos 333326f 4-=-+=--=-，所以4π11()36f =． 14．【答案】0【解析】令1x =-，可得00a =；令1x =，可得2100296012100222(11)(11)0a a a a ++++=-+=L ，所以2100121002220a a a +++=L ．15．【答案】2-【解析】因为函数()f x 为偶函数，且函数()f x 只有一个零点， 故(0)0f =，所以2a =-．16．【答案】8+【解析】如图，连接AC ，BD 交于点1O ，取AD 的中点为N ，连接PN ． 设四棱锥P ABCD -外接球的球心为O ，等边三角形PAD 外接圆的圆心为2O ，则2O 为PAD △的重心，则22||||3PO PN =，正方形ABCD 外接圆的圆心为1O ． 因为PN AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PN ⊥平面ABCD ，所以1OO PN ∥， 所以四边形12OO NO 为矩形，所以21OO NO =．设正方形ABCD 的边长为2x ，则||PN =，所以2||PO =，2||OO x=， 所以四棱锥P ABCD -外接球的半径为2222227||||||3PO PO OO x =+=，所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积为228π3S x =球， 四棱锥P ABCD -的体积为231433P ABCD V x x -=⨯=，所以P ABCD V S -=球=，解得1x =， 所以正方形ABCD 的边长为2，所以PAD S =△，2PAB S =△，2PDC S =△，PCB S =△，4ABCD S =正方形，所以四棱锥P ABCD -的表面积为8O O 1DCBAN O 2P三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）23-；（2【解析】（1）∵26sin cossin 2A a B b A =，∴26cos 2A ab ba =，∴21cos 26A =， 故22cos 2cos123A A =-=-． （2）∵2222cos a b c bc A =+-，又a =，5b c +=，∴24221()22533b c bc bc bc =+-+=-，∴6bc =．由（1）可知sin 3A =，从而ABC △的面积1sin 2S bc A ==18．【答案】（1）0.76；（2）选择方案①更划算．【解析】（1）因为甲单位的优惠比例低于乙单位的优惠比例的概率为0.40.60.24⨯=， 所以甲单位的优惠比例不低于乙单位的优惠比例的概率为10.240.76-=． （2）设在折扣优惠中每籍零件的价格为X 元，则184X =或188．X 的分布列为则1840.61880.4EX =⨯+⨯=若选择方案②，则购买总价的数字期望为185.6650120640⨯=元．若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱， 从而购买总价为200600120000⨯=元．因为120640120000>，所以选择方案①更划算．19．【答案】（1）证明见解析；（2）6． 【解析】（1）因为AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD I 平面ABC AB =，AD ⊂平面ABD ，所以AD ⊥平面ABC ． 因为BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥．因为AB BC AC ==，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥．因为AD AB A =I ，所以BC ⊥平面ABD ． （2）设(04)AD x x =<<，则4AB BC x ==-，四面体ABCD 的体积232111()(4)(816)(04)326V f x x x x x x x ==⨯-=-+<<．211()(31616)(4)(34)66f x x x x x '=-+=--，当403x <<时，()0f x '>，()V f x =单调递增； 当443x <<时， ()0f x '<，()V f x =单调递减， 故当43AD x ==时，四面体ABCD 的体积取得最大值． 以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，8(0,,0)3A ，8(,0,0)3C ，84(0,,)33D ，44(,,0)33E ．设平面BCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0BC BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ，即80384033x y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令2z =-，得(0,1,2)=-n ．同理可得平面BDE 的一个法向量为(1,1,2)=-m ，则cos ,==m n由图可知，二面角C BD E --为锐角，故二面角C BD E --的余弦值为6．20．【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，14λ=-，1AOB S =△．【解析】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点1)2-，所以223114a b +=，c =，从而22224a b c b =+=．联立方程组222231144a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）设存在这样的常数λ，使12k k λ⋅=，AOB △的面积S 为定值． 设直线AB 的方程为y kx m =+，点11(,)A x y ，点22(,)B x y ， 则由12k k λ⋅=知12120y y x x λ-=，1212()()0kx m kx m x x λ++-=，所以221212()()0k x x km x x m λ-+++=①．联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=．所以122814km x x k -+=+②，21224414m x x k-⋅=+③，又点O 到直线AB 的距离d =则AOB △的面积121||||||22m S AB d x x =⋅=⋅-= 将②③代入①得222222()(44)8(14)0k m k m m k λ---++=，化简得224()14k m λλ-=-⑤，将⑤代入④得22224222222422(41)4()(14)16()64(644)41()2(14)(41)1681(14)S k k k k k k k k λλλλλλλλ+⋅-----++-==⋅-+++-， 要使上式为定值，只需26464441681λλλ-+-==，即需2(41)0λ+=，从而14λ=-， 此时21()24S =，1S =，所以存在这样的常数14λ=-，此时1AOB S =△．21．【答案】（1）()f x 的极大值为1(1)f e =，无极小值；（2）2(,)e+∞．【解析】（1）当1a =时，ln 1()xx f x e +=，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 所以1ln ()xx x xf x xe--'=，且0x xe >， 令()1ln h x x x x =--，所以当01x <<时，10x ->，ln 0x x <，所以()1ln 0h x x x x =-->． 又()2ln h x x '=--，所以当1x >时，()2ln 0h x x '=--<， 所以()h x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0h x h <=．同理当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)是单调递增，在(1,)+∞单调递减，所以当1x =时，()f x 的极大值为1(1)f e =，无极小值．（2）令()()x m x xe f x ax =-，因为对任意12,(0,)x x ∈+∞都有11112()()xx e f x ax g x ->成立，所以1min 2max ()()m x g x >．因为()()ln x m x xe f x ax x x =-=，所以()1ln m x x '=+．令()0m x '>，即1ln 0x +>，解得1x e >；令()0m x '<，即1ln 0x +<，解得10x e <<．所以()m x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，所以min 11()()m x m e e ==-．因为()x g x xe a -=-，所以()(1)x g x x e -'=-，当0x >时0x e ->，令()0g x '>，即10x ->，解得01x <<；令()0g x '<，即10x -<，解得1x >． 所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max 1()(1)g x g a e ==-， 所以11a e e ->-，所以2a e >，即实数a 的取值范围为2(,)e +∞．22．【答案】（1）3470x y --=，22(1)(2)1x y -++=；（2）2m =．【解析】（1）由题意可得||1a =，故l 的参数方程为4131x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），消去参数t ，得l 的普通方程为3470x y --=，消去参数θ，得C 的普通方程为22(1)(2)1x y -++=． （2）l '的方程为37()44y x m =+-，即34370x y m -+-=，因为圆C 上只有一个点到l '的距离为1，圆C 的半径为1，所以(1,2)C -到l '的距离为2， 即|3837|25m ++-=，解得2m =（1403m =-<舍去）．23．【答案】（1）(3,5)；（2）(,0)[1,)-∞+∞U ．【解析】（1）当1a =时，52,1()3,1425,4x x f x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，故不等式()f x x <的解集为(3,5)．（2）∵()|||4||()(4)||4|f x x a x x a x a =-+-≥---=-， ∴44|4|1aa a a --≥-=，当0a <或4a ≥时，不等式显然成立；当04a <<时，11a ≤，则14a ≤<．故a 的取值范围为(,0)[1,)-∞+∞U ．。

2020届江西省名师联盟高三入学调研考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2|20,{1,0,1,2}M x x x N =+-≤=-，则M N ⋂的子集个数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．162．已知复数2z i =+，则1zi+在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在等差数列{a n }中，若a 3＝5，S 4＝24，则a 9＝（ ） A ．﹣5B ．﹣7C ．﹣9D ．﹣114．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ） A ．3()f x x x =+ B ．()31x f x =- C ．1()f x x=-D ．3()log ||f x x =5．中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．126．设,αβ是两平面，,a b 是两直线.下列说法正确的是（ ） ①若//a b ，//a c ，则//b c ②若a α⊥，b α⊥，则//a b ③若a α⊥，a β⊥，则//αβ ④若αβ⊥，b αβ=，a α⊂，a b ⊥，则a β⊥A ．①③B ．②③④C ．①②④D ．①②③④7．如图是一程序框图，若输入的12A =，则输出的值为（ ）A ．25B ．512C ．1229D ．29608．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()y f x =的图象，只需把()1sin 22g x x x ωω=-的图象上所有点（ ）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度9．8212y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中22x y 项的系数是（ ） A ．420B ．-420C ．1680D ．-168010．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗⋯⋯，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()()()2222224,11110x y A x y x y x y x ⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+-≤++≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎪⎪⎪⎩⎩⎭或，设点(,)∈x y A ，则2z x y =+的取值范围是( )A ．[2-B ．[-C ．[-2D ．[4-，211．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的右焦点为,,F A B 是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF ⋅=且线段AF 的中点M 落在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为A B C ．2D 12．已知函数()()xe a e xf m x a =--+，（,m a 为实数），若存在实数a ，使得()0f x ≤对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[,)eC ．1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦二、填空题13．平面内不共线的三点,,O A B ，满足1OA =，2OB =，点C 为线段AB 的中点，若3OC =AOB ∠=__________. 14．已知数列{}n a 中，11a =，且1230n n a a +++=，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则6S =__________.15．已知直线l 经过抛物线2:4x C y =的焦点F ，与抛物线交于A 、B ，且8A B x x +=，点D 是弧AOB （O 为原点）上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为_____．16．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧面积为12，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线1AC 与1BC 所成角的余弦值等于__________.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1tan 2B =，tan()2C A -=. （1）求A ；（2）当a =ABC ∆的面积.18．如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点.（1）求证：平面AEB ⊥平面1A BD ； （2）求二面角1D BE A --的余弦值.19．已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，圆222:O x y c+=()122F F c =与椭圆有且仅有两个交点，点⎝⎭在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）过y 正半轴上一点P 的直线l 与圆O 相切，与椭圆C 交于点A ，B ，若PA AB =，求直线l 的方程.20．随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整，调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：某税务部门在某公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表： （1）若某员工2月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请计算一下调整后该员工的实际收入比调整前增加了多少?（2）现从收入在[3000,5000)及[5000,7000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用x 表示抽到作为宣讲员的收入在[3000,5000)元的人数，y 表示抽到作为宣讲员的收入在[5000,7000)元的人数，设随机变量X x y =-，求X 的分布列与数学期望.21．已知函数2()ln 1()f x x a x a R =--∈（1）若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）若函数2()()10x g x e x ex f x =+---≥对[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是()22281311k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（Ⅰ）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的取值范围. 23．设函数()212f x x x a =-+-，x ∈R ． （1）当4a =时，求不等式()9f x >的解集；（2）对任意x ∈R ，恒有()5f x a ≥-，求实数a 的取值范围．参考答案1．C 【分析】解出集合M 中的不等式即可 【详解】因为{}}{2|2021M x x x x x =+-≤=-≤≤， {1,0,1,2}N =-所以{}1,0,1M N ⋂=-所以M N ⋂的子集个数为328= 故选：C 【点睛】含有n 个元素的集合的子集个数为2n . 2．D 【分析】利用复数的运算法则算出1zi+即可 【详解】2z i =+，2131122z i i i i -∴==-++， 在复平面对应的点的坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，所在象限是第四象限. 故选：D 【点睛】本题考查的是复数的运算及几何意义，较简单. 3．B 【分析】由a 3＝5，S 4＝24用通项公式和前n 项和公式列出关于1a ,d 的方程，得到{}n a 的通项公式，从而求出答案. 【详解】数列{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ， ∵a 3＝5，S 4＝24，∴a 1+2d ＝5，4a 1+432⨯d ＝24， 联立解得a 1＝9，d ＝﹣2， 则a 9＝9﹣2×8＝﹣7． 故选：B . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，属于基础题. 4．A 【分析】依次判断每个函数的单调性和奇偶性得到答案. 【详解】B 中函数非奇非偶，D 中函数是偶函数，C 中函数是奇函数，但不在定义域内递增， 只有A 中函数符合题意：3()f x x x =+，()3()f x x x f x -=--=-，奇函数.2'()310f x x =+>恒成立，故函数单调递增.故选：A . 【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 5．D 【分析】总共有10种结果，其中相生的有5种，由古典概型的计算公式计算出概率即可 【详解】从五种不同属性的物质中随机抽取2种，共2510C =种， 而相生的有5种，则抽到的两种物质不相生的概率511102P =-= 故选：D 【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率，较简单. 6．D 【分析】根据平行和垂直的有关定理逐一判断即可【详解】由平行公理知①对，由线面垂直的性质定理知②对，垂直于同一直线的两个平面平行，故③对， 由面面垂直性质定理知④对. 故选：D 【点睛】本题考查的是空间中平行和垂直有关的定理，属于基础题. 7．C 【分析】依次执行循环，直到3k >结束循环，输出A . 【详解】 由程序框图可知， 第一次执行循环，121522A ==+,1123k =+=≤，继续执行循环； 第二次执行循环，1521225A ==+,2133k =+=≤，继续执行循环；第三次执行循环，112529212A ==+,3143k =+=>，结束循环，输出1229A =. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图的读取，属于基础题. 8．B 【分析】先由图象求出()f x 的解析式，然后根据三角函数的平移变换选出答案即可 【详解】由题意知1A =，由于741234T πππ=-=，故2T ππω==， 所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+，由2sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求得3πϕ=， 故()sin 2sin 236f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()1sin 2x x g x ωω=sin 26x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故需将()g x 图像上所有点向左平移3π个单位长度得到()f x .故选：B 【点睛】本题考查的是根据三角函数的图象求解析式及图象的平移变换，较简单. 9．A 【分析】8212y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示的是8个122y x +-相乘，要得到22x y ，则其中有2个因式取2x ，有两个因式取2y-，其余4个因式都取1，然后算出即可. 【详解】8212y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示的是8个122y x +-相乘， 要得到22x y ，则其中有2个因式取2x ，有两个因式取2y- 其余4个因式都取1所以展开式中22x y 项的系数是44222286124202C C C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本题考查的是二项式定理，属于典型题. 10．C 【分析】结合图形，平移直线2z x y =+，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值． 【详解】如图，作直线20x y +=，当直线上移与圆22(1)1y x +-=相切时，2z x y =+取最大值， 此时，圆心(0,1)到直线2z x y =+的距离等于11=，解得z 的最大值为：2当下移与圆224x y +=相切时，2x y +取最小值，2=，即z 的最小值为：-所以[z ∈-．故选C ． 【点睛】本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力． 11．C 【分析】先由已知条件求出AF 的中点M 的坐标，再代入到另一条渐近线方程中求解即可. 【详解】解：由双曲线2222:1x y C a b-=，则其渐近线方程为by x a=±， 因为0AF BF ⋅= 由图可知：AO BO FO c ===不妨设A (),a b -,则B (),a b -,又(c,0)F ，可得AF 的中点坐标为M ,22c a b -⎛⎫⎪⎝⎭，所以22b bc a a -=⨯， 解得：2ce a==，故选C.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，属中档题. 12．A 【分析】先求出()f x 的单调性，得出11ln 0ma a e --+≤-，即1ln()()a e m a e a a-≥-->，然后求出右边的最小值即可 【详解】()()x e a e x f m x a =--+，则()()1x e e x a f =-+'，若0e a -≥，可得0fx，函数()f x 为增函数，当x →+∞时，()f x →+∞，不满足()0≤f x 对任意x ∈R 恒成立； 若0e a -<，由0fx ，得1x e a e =-，则1ln x a e=-， ∴当1,ln x a e ⎛⎫∈-∞ ⎪-⎝⎭时，0f x，当1ln,x a e ⎛⎫∈+∞ ⎪-⎝⎭时，0f x ，()1ln max1ln ()a e f x f e a e ma a e -⎛⎫∴==-- ⎪-⎝⎭11ln 1ln ma a e a e +=--+--， 若()0≤f x 对任意x ∈R 恒成立，则11ln 0()ma a e a e--+≤>-恒成立， 若存在实数a ，使得11ln0ma a e--+≤-成立， 则11ln ma a e ≥-+-，1ln()()a e m a e a a -∴≥-->， 令1ln()()a e F a a a-=--，则22ln()1()aa e a e F a a a ---'=-2()ln()()a e a e ea a e ---=-. ∴当2a e <时，()0F a '<，当2a e >时，()0F a '>，则min 1()(2)F a F e e==-. 1m e ∴≥-.即实数m 的取值范围是1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：A 【点睛】1.本题考查的是利用导数解决函数的单调性问题，属于较难题2.恒成立问题一般通过分离变量法转化为最值问题. 13．120° 【分析】 由1()2OC OA OB =+平方即可算出1cos 2AOB ∠=-，然后即可得出答案 【详解】点C 为线段AB 的中点，1()2OC OA OB ∴=+， ()222124OC OA OB OA OB =++⋅1(14212cos )4AOB =++⨯⨯⨯∠，解得1cos 2AOB ∠=-，120AOB ∴∠=︒.故答案为：120︒ 【点睛】本题考查的是数量积的有关的运算，较简单. 14．48- 【分析】由123n n a a +=--得()1121n n a a ++=-+，即数列{}1n a +是以2为首项，以2-为公比的等比数列，即可求出n a ，进而求得6S 【详解】因为123n n a a +=--，所以()1121n n a a ++=-+，因为1120a +=≠，所以数列{}1n a +是以2为首项，以2-为公比的等比数列， 所以112(2)n n a -+=⨯-，即12(2)1n n a -=⨯--，()21(2)3nn S n =---，所以()662126483S =--=-. 故答案为：48- 【点睛】本题考查的是数列通项公式及前n 项和的求法，属于基础题. 15．()()22445x y -+-= 【分析】作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线AB 的斜率，可得出直线l 的方程，再利用当点D 到直线l 的距离最大时，圆D 的面积最大，由此求出点D 的坐标，并计算出点D 到直线l的距离，作为圆D 的半径，由此可得出圆D 的标准方程. 【详解】抛物线的标准方程为24x y =，抛物线的焦点坐标为()0,1F ，直线AB 的斜率()221424A BA B A B A B A B x x y y x x k x x x x --+====--，所以，直线l 的方程为21y x =+，即210x y -+=.当点D 到直线l 的距离最大时，圆D 的面积最大，如下图所示：设点2,4t D t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点D 在直线l 的下方，则22102tt -+>，点D 到直线l的距离为()2212154t t t d -+--==，当4t =时，d此时，点D 的坐标为()4,4，因此，圆D 的标准方程为()()22445x y -+-=.故答案为()()22445x y -+-=. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 16．514【分析】设正三棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的半径为R ，先得出4ah =，然后2224h R r =+≥=即2a =时其外接球的表面积取最小值。

江西省2020版高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·海安月考) 若集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·北京模拟) 若复数满足，则等于（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高三上·天津期末) 在中，为的中点，，则（）A .B .C . 3D .4. （2分）(2017·黑龙江模拟) 已知双曲线C：﹣ =1（a＞0，b＞0）的离心率为2，且右焦点到一条渐近线的距离为，双曲线的方程为（）A .B .C .D .5. （2分）△ABC中，AB=， BC=2，sinA=，则sinC=（）A .B .C .D .6. （2分）将5名学生分到A,B,C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有（）A . 18种B . 36种C . 48种D . 60种7. （2分） (2017高一上·陵川期末) 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A . f（x）=lnxB . f（x）=C . f（x）=exD . f（x）=x38. （2分）(2017·舒城模拟) 设k是一个正整数，（1+ ）k的展开式中第四项的系数为，记函数y=x2与y=kx的图象所围成的阴影部分为S，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，则点（x，y）恰好落在阴影区域内的概率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高二上·阜阳月考) 在等比数列中，若，前3项和，则公比的值为（）A . 1B .C . 1或D . 或10. （2分）(2017·安徽模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线（实线和虚线）为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）A . 24πB . 29πC . 48πD . 58π11. （2分） (2016高一下·海南期中) 已知a，b为正实数，且，若a+b﹣c≥0对于满足条件的a，b恒成立，则c的取值范围为（）A .B . （﹣∞，3]C . （﹣∞，6]D .12. （2分） (2019高三上·榕城月考) 设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A .B .C .D .二、填空题. (共4题；共4分)13. （1分） (2018·陕西模拟) 设函数则的值为________．14. （1分） (2019高二上·烟台期中) 已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式________．15. （1分）设p：函数f（x）=2|x﹣a|在区间（4，+∞）上单调递增；q：loga2＜1，如果“￢p”是真命题，“p或q”也是真命题，则实数a的取值范围为________．16. （1分） (2016高二下·静海开学考) 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分）(2018·广元模拟) 设函数.（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；（2）已知中，角的对边分别为，若，，求的最小值.18. （10分）(2017·聊城模拟) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是A1B1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDC1；（2）若AB⊥AC，且AB=AC= AA1 ，求二面角A﹣BD﹣C1的余弦值．19. （10分） (2020高二下·唐山期中) 已知某单位有甲、乙、丙三个部门，从员工中抽取7人，进行睡眠时间的调查．若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（1）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（2）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．20. （5分）(2018·浙江) 如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A ， B满足PA ， PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M ，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+ =1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．21. （10分）(2018·中山模拟) 已知函数．（1）若 ,求函数的单调区间;（2）若对恒成立,求的取值范围．22. （10分）已知直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ2cos2θ=1．（1）以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程；（2）若求直线，被曲线C截得的弦长为，求m的值．23. （10分）(2019·淄博模拟) 已知．（1）当m＝－3时，求不等式的解集；（2）设关于x的不等式的解集为M，且，求实数m的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题. (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。