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非线性回归实例

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非线性回归实例

例3.5.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。

根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为

),,(01PPXfQ （3.5.13）

其中，Q为居民对食品的需求量，X为消费者的消费支出总额、1P为食品价格指数，0P为居民消费价格总指数。引入居民消费价格总指数0P的原因，主要在于研究居民其他消费对食品的替代性。

需求理论同时指出，上述需求函数应具有零阶齐次性，即当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变，这就是所谓的消费者无货币幻觉。按照需求函数的这一特征，（3.5.13）式可写为

)/,/(010PPPXfQ （3.5.14）

（3.5.14）式表明，居民对食品的消费需求，取决于居民的实际消费总支出0/PX以及食品的相对价格01/PP。显然，该式具有零阶齐次性。

为了进行比较，我们将同时估计（3.5.13）式与（3.5.14）式。首先确定具体的函数形式。根据恩格尔定律，随着居民消费支出的增加，居民对食品的消费支出也增加，但食品消费支出比例会逐渐下降。因此，居民对食品的消费支出与居民的总支出间呈幂函数的变化关系。同时，为了方便考察需求的价格弹性等相关问题，将（3.5.13）式具体写为

32101PPAXQ （3.5.15）

经对数变换，（3.5.15）式可用如下双对数线性回归模型进行估计：

031210lnlnln)ln(PPXQ （3.5.16）

式中，Aln0。同样地，（3.5.14）式可用如下线性回归模型进行估计：

)/ln()/ln()ln(012010PPPXQ （3.5.17）

采用双对数线性回归模型，能够方便地考察需求函数中零阶齐次性的特征。显然，对（3.5.16）式施加0321的约束，即可化为（3.5.17）式。因此，对（3.5.17）式进行回归，就意味着原需求函数满足零阶齐次性条件。

表3.5.1列出了用当年价测度的中国城镇居民人均消费支出（X）与人均食品消费支出（1X），表中GP表示中国城镇居民消费价格总指数，由于在1995年前没有城镇居民的食品消费价格指数，我们选取城镇食品零售价格指数（FP）作为城镇居民食品消费价格指数的近似替代。由这些数据容易推算出以1990年价测度的城镇居民人均消费支出（XC）、人均食品消费支出（Q），以及城镇居民消费支出价格缩减指数（0P）与城镇居民食品消费支

出价格缩减指数（1P）。

表3.5.1 中国城镇居民消费支出（元）及价格指数

X

(当年价) 1X

(当年价) GP

(上年=100) FP

(上年=100) XC

(1990年价) Q

(1990年价) 0P

(1990=100) 1P

(1990=100)

1981 456.8 420.4 102.5 102.7 646.1 318.3 70.7 132.1

1982 471.0 432.1 102.0 102.1 659.1 325.0 71.5 132.9

1983 505.9 464.0 102.0 103.7 672.2 337.0 75.3 137.7

1984 559.4 514.3

102.7 104.0 690.4 350.5 81.0 146.7

1985 673.2 351.4 111.9 116.5 772.6 408.4 87.1 86.1

1986 799.0 418.9 107.0 107.2 826.6 437.8 96.7 95.7

1987 884.4 472.9 108.8 112.0 899.4 490.3 98.3 96.5

1988 1104.0 567.0 120.7 125.2 1085.5 613.8 101.7 92.4

1989 1211.0 660.0 116.3 114.4 1262.5 702.2 95.9 94.0

1990 1278.9 693.8 101.3 98.8 1278.9 693.8 100.0 100.0

1991 1453.8 782.5 105.1 105.4 1344.1 731.3 108.2 107.0

1992 1671.7 884.8 108.6 110.7 1459.7 809.5 114.5 109.3

1993 2110.8 1058.2 116.1 116.5 1694.7 943.1 124.6 112.2

1994 2851.3 1422.5 125.0 134.2 2118.4 1265.6 134.6 112.4

1995 3537.6 1766.0 116.8 123.6 2474.3 1564.3 143.0 112.9

1996 3919.5 1904.7 108.8 107.9 2692.0 1687.9 145.6 112.8

1997 4185.6 1942.6 103.1 100.1 2775.5 1689.6 150.8 115.0

1998 4331.6 1926.9 99.4 96.9 2758.9 1637.2 157.0 117.7

1999 4615.9 1932.1 98.7 95.7 2723.0 1566.8 169.5 123.3

2000 4998.0 1958.3 100.8 97.6 2744.8 1529.2 182.1 128.1

2001 5309.0 2014.0 100.7 100.7 2764.0 1539.9 192.1 130.8

资料来源：《中国统计年鉴》（1990~2002）

从图3.5.1看，中国城镇居民对食品的消费行为在1981~1995年间表现出了较强的一致性，基本呈现逐年快速增长态势。1995年之后呈现出另外一种变动特征。从城镇居民消费价格指数与食品零售价格指数的变化看，这种转变从1995年就开始了。因此，我们只建立1981~1994年的中国城镇居民对食品的消费需求模型。

图3.5.1 中国城镇居民人均食品消费

2004006008001000120014001600180082848688909294969800Q

按（3.5.16）式回归，Eviews的输出结果如表3.5.2所示：

表3.5.2 中国城镇居民人均食品消费需求函数

Dependent Variable: LOG(Q)

Sample: 1981 1994

Included observations: 14

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 3.633774 0.402367 9.031001 0.0000

LOG(X) 1.055418 0.041628 25.35381 0.0000

LOG(P0) -0.924927 0.125921 -7.345299 0.0000

LOG(P1) -0.080035 0.035033 -2.284556 0.0454

R-squared 0.998711 Mean dependent var 6.308220

Adjusted R-squared 0.998325 S.D. dependent var 0.439774

S.E. of regression 0.018000 Akaike info criterion -7.799798

Sum squared resid 0.003240 Schwarz criterion -7.617210

Log likelihood 38.73345 F-statistic 2583.276

Durbin-Watson stat 1.504910 Prob(F-statistic)

0.000000

)ln(92.0)ln(08.0)ln(05.163.3)ˆln(01PPXQ (3.5.18)

(9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34)

2R=0.9987 2R=0.9983 DW=1.50 F=2583.28

回归结果表明，在1981~1994年间，Qln变化的99.8%可由其他三个变量的变化来解释。在5%的显著性水平下，自由度n-k-1=10的t统计量的临界值为025.0t(10)=2.23，因此所有的变量参数都显著地异于零，而且Xln与1lnP前参数的符号也是合理的。从Xln前的参数看，在所选取的时间段里，中国城镇居民对食品的消费支出关于总消费支出的弹性略大于1，说明这期间，随着中国城镇居民收入水平与消费支出水平的增加，对食品的消费支出以更快的速度增加；从1lnP前的参数看，食品价格变化对食品的消费需求影响不大，食品价格每增加1%，食品的消费需求仅减小0.08%。0lnP前的参数为负，表明在以名义价格表示的居民消费总支出不变的情况下，居民消费价格总水平的上升会导致实际的居民消费总支出水平下降，所有的消费支出都会减少，其中包括对食品消费支出的减少。当然，其他物品与服务价格的上升，会一定程度地促使居民更多地消费食品。因此，0lnP前的符号主要得看这两种趋势对比的结果，这里显然是前者的力量超过了后者。

各变量的弹性和321ˆˆˆ=0.05，比较接近于零，但不为零。在下一节我们将进一步从统计学的意义上考察，看它是否为零，即估计的需求函数是否满足零阶齐次性特性。

按（3.5.17）式回归，Eviews的输出结果如表3.5.3所示。

表3.5.3 中国城镇居民人均食品消费需求函数

Dependent Variable: LOG(Q)

Sample: 1981 1994

Included observations: 14

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 3.825253 0.050426 75.85914 0.0000

LOG(X/P0) 1.072635 0.020368 52.66229 0.0000

LOG(P1/P0) -0.091225 0.025218 -3.617372 0.0040

R-squared 0.998682 Mean dependent var 6.308220

Adjusted R-squared 0.998442 S.D. dependent var 0.439774

S.E. of regression 0.017359 Akaike info criterion -7.919881

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非线性回归例题

非线性回归例题

例：下表给出了某地区1971—2000年的人口数据（表1）。试用Matlab软件，对该地区的人口变化进行曲线拟合。

表1 某地区人口变化数据

年份 时间变量t=年份-1970 人口y(人)

1971 1 33 815

1972 2 33 981

1973 3 34 004

1974 4 34 165

1975 5 34 212

1976 6 34 327

1977 7 34 344

1978 8 34 458

1979 9 34 498

1980 10 34 476

1981 11 34 483

1982 12 34 488

1983 13 34 513 1984 14 34 497

1985 15 34 511

1986 16 34 520

1987 17 34 507

1988 18 34 509

1989 19 34 521

1990 20 34 513

1991 21 34 515

1992 22 34 517

1993 23 34 519

1994 24 34 519

1995 25 34 521

1996 26 34 521

1997 27 34 523

1998 28 34 525

1999 29 34 525

2000 30 34 527

根据上表中的数据，做出散点图，见图1。 337003380033900340003410034200343003440034500346001970197219741976197819801982198419861988199019921994199619982000年份人口

从图1可以看出，人口随时间的变化呈非线性过程，而且存在一个与横坐标轴平行的渐近线，故可以用Logistic曲线模型进行拟合。

因为Logistic曲线模型的基本形式为：

tbeay1

Matlab程序如下：

people_model.m

x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

多项式回归、非线性回归模型

多项式回归、非线性回归模型

1

多项式回归、非线性回归模型

关键词：回归方程的统计检验、拟合优度检验、回归方程的显著性检验、F检验、回归系数的显著性检验、残差分析、一元多项式回归模型、一元非线性回归模型

一、回归方程的统计检验

1. 拟合优度检验

1. 概念介绍

SST总离差平方和total

SSR回归平方和regression

SSE剩余平方和error

niiiniiiniiiniiiyyyyyyyyR121212122)()ˆ()()ˆ(1

2. 例题1

存在四点(-2,-3)、(-1,-1)、(1,2)、(4,3)求拟合直线与决定系数。

2. 回归方程的显著性检验

)2/()2/()ˆ()ˆ(1212nSSESSAnyyyyFniiiniii

例6（F检验）

在合金钢强度的例1中，我们已求出了回归方程，这里考虑关于回归方程的显著性检验，经计算有：

表5 X射线照射次数与残留细菌数的方差分析表

来源 平方和 自由度 均方 比 值

回归 34.327RS 184.94 0.0000

残差

总计

这里值很小，因此，在显著性水平0.01下回归方程是显著的。

3. 回归系数的显著性检验

4. 残差分析

二、一元多项式回归模型 Fp1Rf34.327RMS72.17eS10ef77.1eMS06.345TS11Tf2

模型如以下形式的称为一元多项式回归模型：

0111axaxaxaynnnn

例1（多项式回归模型）

为了分析X射线的杀菌作用，用200千伏的X射线来照射细菌，每次照射6分钟，用平板计数法估计尚存活的细菌数。照射次数记为t，照射后的细菌数为y见表1。试求：

（1）给出y与t的二次回归模型。

（2）在同一坐标系内作出原始数据与拟合结果的散点图。

（3）预测16t时残留的细菌数。

（4）根据问题的实际意义，你认为选择多项式函数是否合适？

多元线性回归模型案例

多元线性回归模型案例

我国农民收入影响因素的回归分析

本文力图应用适当的多元线性回归模型,对有关农民收入的历史数据和现状进行分析,探讨影响农民收入的主要因素,并在此基础上对如何增加农民收入提出相应的政策建议。 农民收入水平的度量常采用人均纯收入指标。影响农民收入增长的因素是多方面的，既有结构性矛盾因素，又有体制性障碍因素。但可以归纳为以下几个方面：一是农产品收购价格水平。二是农业剩余劳动力转移水平。三是城市化、工业化水平。四是农业产业结构状况。五是农业投入水平。考虑到复杂性和可行性，所以对农业投入与农民收入，本文暂不作讨论。因此，以全国为例，把农民收入与各影响因素关系进行线性回归分析，并建立数学模型。

一、计量经济模型分析

(一)、数据搜集

根据以上分析，我们在影响农民收入因素中引入7个解释变量。即： 2x-财政用于农业的支出的比重，3x -第二、三产业从业人数占全社会从业人数的比重，4x -非农村人口比重，5x -乡村从业人员占农村人口的比重，6x -农业总产值占农林牧总产值的比重，7x -农作物播种面积，8x—农村用电量。

y x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

年份 78年可比价 比重 % % 比重 比重 千公顷 亿千瓦时

1986 133.60 13.43 29.50 17.92 36.01 79.99 150104.07 253.10

1987 137.63 12.20 31.30 19.39 38.62 75.63 146379.53 320.80

1988 147.86 7.66 37.60 23.71 45.90 69.25 143625.87 508.90

1989 196.76 9.42 39.90 26.21 49.23 62.75 146553.93 790.50

1990 220.53 9.98 39.90 26.41 49.93 64.66 148362.27 844.50

1991 223.25 10.26 40.30 26.94 50.92 63.09 149585.80 963.20

非线性回归

非线性回归

非线性回归

一、可化为线性回归的曲线回归

在实际问题当中，有许多回归模型的被解释变量y与解释变量x之间的关系都不是线性的，其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为线性关系，利用线性回归求解未知参数，并作回归诊断。如下列模型。

xey10-------（1） ppxxxy2210--------（2）

eaeybx--------------------（3） bxaey-------------（4）

对于（1）式，只需令xex即可化为y对x是线性的形式xy10，需要指出的是，新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。

对于（2）式，可以令1x=x,2x=2x,…, px=px,于是得到y关于1x,2x,…,

px的线性表达式ppxxxy22110

对与（3）式，对等式两边同时去自然数对数，得bxaylnln,令

yyln,aln0,b1，于是得到y关于x的一元线性回归模型：

xy10。对于（4）式，当b未知时，不能通过对等式两边同时取自然数对数的方法将回归模型线性化，只能用非线性最小二乘方法求解。

回归模型（3）可以线性化，而（4）不可以线性化，两个回归模型有相同的回归函数bxae，只是误差项的形式不同。（3）式的误差项称为乘性误差项，（4）式的误差项称为加性误差项。因而一个非线性回归模型是否可以线性化，不仅与回归函数的形式有关，而且与误差项的形式有关，误差项的形式还可以有其他多种形式。

乘性误差项模型和加性误差项模型所得的结果有一定差异，其中乘性误差项模型认为ty本身是异方差的，而tyln是等方差的。加性误差项模型认为ty是等方差的。从统计性质看两者的差异，前者淡化了ty值大的项（近期数据）的作用，强化了ty值小的项（早期数据）的作用，对早起数据拟合得效果较好，而后者则对近期数据拟合得效果较好。