常见非线性回归模型

非线性回归模型概述

在统计学和机器学习领域中，回归分析是一种重要的数据建模技术，用于研究自变量和因变量之间的关系。在实际问题中，很多情况下自变量和因变量之间的关系并不是简单的线性关系，而是呈现出复杂的非线性关系。为了更准确地描述和预测这种非线性关系，非线性回归模型应运而生。

一、什么是非线性回归模型

非线性回归模型是指自变量和因变量之间的关系不是线性的数学模型。在非线性回归模型中，因变量的变化不是随着自变量的线性变化而变化，而是通过非线性函数的变化来描述二者之间的关系。非线性回归模型可以更好地拟合实际数据，提高模型的预测准确性。

二、非线性回归模型的形式

非线性回归模型的形式可以是各种各样的，常见的非线性回归模型包括多项式回归模型、指数回归模型、对数回归模型、幂函数回归模型、逻辑回归模型等。这些非线性回归模型可以通过引入非线性函数来描述自变量和因变量之间的关系，从而更好地拟合数据。

1. 多项式回归模型

多项式回归模型是一种常见的非线性回归模型，其形式为：

$$

y = \beta_0 + \beta_1x + \beta_2x^2 + \beta_3x^3 + ... + \beta_nx^n + \varepsilon

$$

其中，$y$为因变量，$x$为自变量，$\beta_0, \beta_1,

\beta_2, ..., \beta_n$为回归系数，$n$为多项式的阶数，$\varepsilon$为误差。

2. 指数回归模型

指数回归模型是描述因变量和自变量之间呈指数关系的非线性回归模型，其形式为：

$$

y = \beta_0 + \beta_1e^{\beta_2x} + \varepsilon

$$

其中，$y$为因变量，$x$为自变量，$\beta_0, \beta_1, \beta_2$为回归系数，$e$为自然对数的底，$\varepsilon$为误差。

1

多项式回归、非线性回归模型

关键词：回归方程的统计检验、拟合优度检验、回归方程的显著性检验、F检验、回归系数的显著性检验、残差分析、一元多项式回归模型、一元非线性回归模型

一、回归方程的统计检验

1. 拟合优度检验

1. 概念介绍

SST总离差平方和total

SSR回归平方和regression

SSE剩余平方和error

niiiniiiniiiniiiyyyyyyyyR121212122)()ˆ()()ˆ(1

2. 例题1

存在四点(-2,-3)、(-1,-1)、(1,2)、(4,3)求拟合直线与决定系数。

2. 回归方程的显著性检验

)2/()2/()ˆ()ˆ(1212nSSESSAnyyyyFniiiniii

例6（F检验）

在合金钢强度的例1中，我们已求出了回归方程，这里考虑关于回归方程的显著性检验，经计算有：

表5 X射线照射次数与残留细菌数的方差分析表

来源 平方和 自由度 均方 比 值

回归 34.327RS 184.94 0.0000

残差

总计

这里值很小，因此，在显著性水平0.01下回归方程是显著的。

3. 回归系数的显著性检验

4. 残差分析

二、一元多项式回归模型 Fp1Rf34.327RMS72.17eS10ef77.1eMS06.345TS11Tf2

模型如以下形式的称为一元多项式回归模型：

0111axaxaxaynnnn

例1（多项式回归模型）

为了分析X射线的杀菌作用，用200千伏的X射线来照射细菌，每次照射6分钟，用平板计数法估计尚存活的细菌数。照射次数记为t，照射后的细菌数为y见表1。试求：

（1）给出y与t的二次回归模型。

（2）在同一坐标系内作出原始数据与拟合结果的散点图。

（3）预测16t时残留的细菌数。

（4）根据问题的实际意义，你认为选择多项式函数是否合适？

第２５卷第１期　２０１３年３月　湖南文理学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ａｒｔｓ　ａｎｄ　Ｓｃｉｅｎｃｅ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ＿０１．２５　ＮＯ．１　Ｍａｒ．２Ｏ１３　

ｄｏｉ：１０．３９６９￣．ｉｓｓｎ．１６７２－６１４６．２０１３．０１．００３　

部分非线性回归模型的非线性度量　

肖　兵　

（湖南文理学院数学与计算科学学院，湖南常德，４１５０００）　

摘要：利用传统曲率理论度量回归模型的非线性程度，分析其缺陷，并对几类实例模型进行探讨，进而提　出基于局部近似的新度量方法，在一定程度上弥补了传统方法的缺陷；还研究了模型参数基于局部线性近似　

的最小二乘估计的渐进性质及其求法中迭代初值的选取和改进方向．　关键词：非线性度量；固有曲率；参数效应曲率；局部曲率　中图分类号：Ｏ　２１２．１　文章编号：１６７２．６１４６（２０１３）０１．００１０．０４　

Ａ　ｍｅａｓｕｒｅ　ｏｆ　ｎｏｎ－—ｌｉｎｅａｒｉｔｙ　ｏｆ　ｐａｒｔｉａｌｌｙ　ｎｏｎ・－ｌｉｎｅａｒ　ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ　ｍｏｄｅｌｓ　

ＸＩＡＯ　Ｂｉｎｇ　

（Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｕｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆＡｒｔｓ　ａｎｄ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｃｈａｎｇｄｅ　４１５０００，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｃｌａｓｓｉｃａｌ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｎｏｎ—ｌｉｎｅａｒｉｔｙ　ｐｒｏｐｅ￣ｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｎｏｎ－ｌｉｎｅａｒｉｔｙ　ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ　ｍｏｄｅｌ，ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｉｔｓ　ｌｉｍｉｔａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｍａｄｅ．Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｐｒｏｍｏｔｅｓ　ａ　ｎｅｗ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｂｏｕｔ　ｌｏｃａｌ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ｔｈｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆ　ｓｏｍｅ　ｍｏｄｅｌｓ，ｗｈｉｃｈ　ｒｅｍｅｄｙ　ｔｈｅ　ｄｅｆｅｃｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ　ｗａｙｓ．Ｔｈｅ　ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ　ｏｆ　ｌｅａｓｔ　ｓｑｕａｒｅ　ｅｓｔｉｍａｔｏｒ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｉｔｅｒａｔｉｖｅ　ｉｎｉｔｉａｌ　ｖａｌｕｅ　ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ　ａｒｅ　ｓｔｕｄｉｅｄ．Ａｎｄ　ａ　ｎｅｗ　ｔｒｅｎｄ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　

回归分析非线性回归

回归分析是一种用于研究自变量与因变量之间关系的统计分析方法。在回归分析中，我们使用自变量来解释因变量的变化，并建立一个数学模型来描述这种关系。

通常情况下，我们假设自变量与因变量之间是线性关系。因此，在大多数回归分析应用中，我们使用线性回归模型。然而，有时候我们可能会发现实际数据不符合线性关系的假设。这时，我们就需要使用非线性回归模型来更好地解释数据。

非线性回归分析是一种通过建立非线性模型来描述自变量和因变量之间关系的方法。在这种情况下，模型可以是各种形式的非线性函数，如指数函数、对数函数、多项式函数等。非线性回归模型的形式取决于实际数据。

非线性回归模型的建立通常包括以下几个步骤：

1.数据收集：首先需要收集与自变量和因变量相关的数据。这些数据应该能够反映出二者之间的关系。

2.模型选择：根据实际情况选择合适的非线性模型。常见的非线性模型有指数模型、对数模型、幂函数等。

3.参数估计：使用最小二乘法或其他拟合方法来估计模型中的参数。这些参数描述了自变量和因变量之间的关系。

4.模型检验：对估计得到的模型进行检验，评估模型的拟合程度。常见的检验方法有残差分析、F检验、t检验等。 5.模型解释与预测：解释模型的参数和拟合程度，根据模型进行预测和分析。

非线性回归分析的主要优点是可以更准确地描述自变量和因变量之间的关系。与线性回归不同，非线性回归可以拟合一些复杂的实际情况，并提供更准确的预测。此外，非线性回归还可以帮助发现自变量和因变量之间的非线性效应。

然而，非线性回归模型的建立和分析相对复杂。首先，选择适当的非线性模型需要一定的经验和专业知识。其次，参数估计和模型检验也可能更加困难。因此，在进行非线性回归分析时，需要谨慎选择合适的模型和方法。

最后，非线性回归分析还需要考虑共线性、异方差性、多重共线性等统计问题。这些问题可能影响到模型的稳定性和可靠性，需要在分析过程中加以注意。