九年级华师大《二次函数》全章教案

课题 二次函数的概念 课型 新授

教学目标 1．使学生理解二次函数的概念．

2．使学生掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围．

3．为分散后面教学的难点，可在本节解决较简单的用待定系数法确定二次函数解析式的问题．

重点和难点 重点：对二次函数概念的理解．

难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围．

教具准备 投影片

师 生 活 动 过 程 备注

一、情景创设

1．什么叫函数？它有几种表示方法？

2．什么叫一次函数？(y=kx+b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k≠0的条件？ k值对函数性质有什么影响？(复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较．)

二、实践与探索

函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数．看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系．

例1 正方形的边长是x，面积y与边长x之间的函数关系如何表示？

解：函数关系式是y=x2(x＞0)(写在黑板上)

例2 农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？

解：函数关系式是y=50(1＋x)2，即y=50x2+100x+50(写在黑板上)

由以上两例，启发学生归纳出(1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有共同的特征)．(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)．

三、讲解新课

二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数．

巩固对二次函数概念的理解：

1．强调“形如”，即由形来定义函数名称．二次函数即y是关于x的二次多项式．

2．在y=ax2＋bx＋c中自变量是x，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值．如例1中，x＞0．

3．在y=50x2＋100x＋50中， a=50， b=100， c=50．

4．为什么二次函数定义中要求a≠0？(若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了)

5．b和c是否可以为零？由例1可知，b和c均可为零．

若b=0，则y=ax2＋c；若c=0，则y=ax2＋bx；若b=c=0，则y=ax2．

以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式．

四、巩固新课

例1 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，指出a、b、c．

(1)y=1-3x2；(2)y=x(x-5)； (3)y=3x(2-x)＋3x2； (4)y＝(x＋2)(2-x)；

(5)y=x4＋2x2＋1．(可指出y是关于x2的二次函数)

例2．m取哪些值时，函数)1()(22mmxxmmy是以x为自变量的二次函数？

分析 若函数)1()(22mmxxmmy是二次函数，须满足的条件是：02mm．

解 若函数)1()(22mmxxmmy是二次函数，则 02mm．解得 0m，且1m．因此，当0m，且1m时，函数)1()(22mmxxmmy是二次函数．

回顾与反思 形如cbxaxy2的函数只有在0a的条件下才是二次函数．

探索 若函数)1()(22mmxxmmy是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？

延伸：已知函数72)3(mxmy是二次函数，求m的值．

例3．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．

（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；

（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；

（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；

（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．

例4． 篱笆墙长30m，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m2)与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．

例5． 已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a、b、c，并写出函数解析式．

五、布置作业

1．在长20cm，宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余下木板的面积y(cm2)与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围．

2．已知二次函数y=4x2＋5x＋1，求当y=0时的x的值．

3．已知二次函数y=x2-kx-15，当x=5时，y=0，求k．

4．已知二次函数y=ax2＋bx＋c中，当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；当x=2时，y=-4，试求a、b、c的值

5. 当k为何值时，函数1)1(2kkxky为二次函数？

课题 二次函数的图象与性质（1）——二次函数y=ax2的图象 课型 新授 教学目标 1．使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象．

2．使学生进一步理解二次函数和抛物线的有关知识．

3．进行由特殊到一般的辩证唯物主义认识论的教育．

重点和难点 重点：会用描点法画二次函数y=ax2的图象，掌握它的性质．

难点：渗透数形结合思想．

教具准备 投影片

师 生 活 动 过 程 备注

一 、情境导入

我们已经知道，一次函数12xy，反比例函数xy3的图象分别是 、 ，那么二次函数2xy的图象是什么呢？

（1）描点法画函数2xy的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？

（2）观察函数2xy的图象，你能得出什么结论？

二、新课

例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？

（1）22xy （2）22xy

共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．

不同点：22xy的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．

22xy的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．

回顾与反思 ：在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．

例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．

（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；

（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；

（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．

分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．

解 （1）由题意，得)0(1612CCS．

列表：

C 2 4 6 8 …

2161CS 41 1 49 4 …

描点、连线，图象如图26．2．2．

（2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm．

（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4 cm2．

回顾与反思

（1）此图象原点处为空心点．

（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．

（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．

补充例题

1．已知点M(k，2)在抛物线y=x2上，

(1)求k的值．

(2)点N(k，4)在抛物线y=x2上吗？

(3)点H(-k，2)在抛物线y=x2上吗？

2．已知点A(3，a)在抛物线y=x2上，

(1)求a的值．

(2)点B(3，-a)在抛物线y=x2上吗？

三、小结

1．抛物线y=ax2(a≠0)的对称轴是y轴，顶点是原点．

2．a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上． 3．a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下．

四、作业：

1、已知函数72)3(mxmy是二次函数，求m的值．

2、已知二次函数2axy，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．

3、已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x为3，求此时的y．

4、用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．

五、教学注意问题

1．注意渗透分类讨论思想．比如在y=ax2中a＞0时，y=ax2的图象开口向上；当a＜0时，y=ax2的图象开口向下，等等．

2．注意训练学生对比联想的思维方法．

课题 二次函数的图象与性质（2）—二次函数kaxy2的图象 课型 新授

教学目标 会画出kaxy2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． 重点和难点 重点：通过画图得出二次函数性质

难点：识图能力的培养

教具准备 投影片

师 生 活 动 过 程 备注

一、情境导入

同学们还记得一次函数xy2与12xy的图象的关系吗？

你能由此推测二次函数2xy与12xy的图象之间的关系吗？

，那么2xy与22xy的图象之间又有何关系？ ．

二、实践与探索

例1．在同一直角坐标系中，画出函数22xy与222xy的图象．

解 列表．

描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．

回顾与反思 当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？

探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同

的？又有哪些不同？你能由此说出函数22xy与222xy的图象之间的关系吗？

例2．在同一直角坐标系中，画出函数12xy与12xy的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12xy得到抛物线12xy．

回顾与反思 抛物线12xy和抛物线12xy分别是由抛物线2xy向上、向下平移一个单位得到的． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

22xy … 18 8 2 0 2 8 18 …

222xy … 20 10 4 2 4 10 20 …