山东省临沂市2021届高三数学上学期期中试题
- 格式：doc
- 大小：304.00 KB
- 文档页数：10
1 山东省临沂市2021届高三数学上学期期中试题
(满分150分，考试时间120分钟)
2020．11
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合A＝{x∈Z|－1≤x≤2}，B＝{x|x2＜1}，则A∩B＝( )
A. {－1，0，1} B. {0} C. {－1，0} D. {－1，0，1，2}
2. 若复数z满足2z＋|z|＝2i，则z在复平面上对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 设a，b∈R，则“ln a＞ln b”是“ln
ab＞0”的(
)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知命题p：“∃m∈R，f(x)＝3x－mlog2x是增函数”，则p的否定为( )
A. ∃m∈R，f(x)＝3x－mlog2x是减函数 B. ∀m∈R，f(x)＝3x－mlog2x是增函数
C. ∃m∈R，f(x)＝3x－mlog2x不是增函数 D. ∀m∈R，f(x)＝3x－mlog2x不是增函数
5. 若a＝(2)23，b＝log3e，c＝(1e)－13，则( )
A. a＞b＞c B. c＞a＞b C. a＞c＞b D. c＞b＞a
6. 如图，AB是单位圆O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，则AC→·AD→＝( )
A. 1 B. 32
C. 32 D. 3
2 7. 标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的1010倍．若视力4.2的视标边长为a，则视力5.1的视标边长为
(
)
A. 10－910a B. 10－45a C. 1045a D. 10910a
8. 定义在R上的偶函数f(x)在[0，1]上单调递减，且满足f(x＋1)＝－f(x)，f(π)＝1，f(2π)＝2，则不等式组1≤x≤2，1≤f（x）≤2的解集为( )
A. [1，π2] B. [2π－6，4－π]
C. [π－2，π2] D. [π－2，8－2π]
二、 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9. 下列结论正确的是( )
A. 若AB→·AC→＜0，则△ABC是钝角三角形
B. 若a∈R，则a＋3a≥23
C. ∀x∈R，x2－2x＋1＞0
D. 若P，A，B三点满足OP→＝14OA→＋34OB→，则P，A，B三点共线
10. 在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境(如图)．假设行李包所受重力为G，两个拉力分别为F1，F2.若|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，则下列结论正确的是( )
A. |F1|的最小值为12|G|
B. θ的范围是[0，π]
C. 当θ＝π2时，|F1|＝22|G|
D. 当θ＝2π3时，|F1|＝|G|
11. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝p，2Sn－Sn－1＝2p(n≥2，p为非零常数)，则下列结论正确的是( )
A. {an}是等比数列 B. 当p＝1时，S4＝158 3 C. 当p＝12时，am·an＝am＋n D. |a3|＋|a8|＝|a5|＋|a6|
12. 记函数f(x)与g(x)的定义域的交集为I，若存在x0∈I，使得对任意x∈I，不等式[f(x)－g(x)](x－x0)≥0恒成立，则称(f(x)，g(x))构成“相关函数对”．下列所给的两个函数构成“相关函数对”的有( )
A. f(x)＝ex，g(x)＝x＋1 B. f(x)＝ln x，g(x)＝1x
C. f(x)＝x，g(x)＝x2 D. f(x)＝x，g(x)＝(12)x
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量a＝(1，2)，b＝(4，－7)．若a∥c，a⊥(b＋c)，则|c|＝________．
14. 已知函数f(x)＝acos x，g(x)＝x2＋bx＋2.若曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点(0，m)处有公切线，则a＋b＝________．
15. 如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为Rt△ABC的斜边AB、直角边BC，AC，点N为AC的中点，点D在以AC为直径的半圆上．已知以直角边AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为3，sin∠DAB＝35，则cos∠DNC＝________．
16. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如取正整数6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要共8个步骤变成1(简称为8步“雹程”)．现给出冰雹猜想的递推关系如下：
已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝an2，当an为偶函数时，3an＋1，当an为奇数时.
当m＝13时，试确定使得an＝1需要________步雹程；
若a7＝1，则m所有可能的取值所构成的集合M＝__________．(本题第一空2分，第二空3分)
四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
在①sin B＋3cos B＝2，② cos 2B＋3cos B－2＝0，③ b2－a2＝c2－3ac这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．
问题：已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C.若a＝4，c＝3b，________，求△ABC的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
4
18.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝(3sin ωx＋cos ωx)cos ωx－a(ω＞0)的最小正周期为4π，最大值为1.
(1) 求ω，a的值，并求f(x)的单调递增区间；
(2) 将f(x)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将得到的图象上所有点向右平移π4个单位长度，得到g(x)的图象．若x∈(0，π)，求满足g(x)≥32的x的取值范围．
19.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝－13x3＋ax2＋bx＋ab.
(1) 若f(x)是奇函数，且有3个零点，求b的取值范围；
(2) 若f(x)在x＝1处有极大值－223，求当x∈[－1，2]时f(x)的值域．
5
20.(本小题满分12分)
汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，如图所示．当车速为v(米/秒)，且v∈(0，33.3]时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，k∈[1，2])．
阶段 0.准备 1.人的反应 2.系统反应 3.制动
时间 t0 t1＝0.8秒 t2＝0.2秒 t3
距离 d0＝10米 d1 d2 d3＝v220k米
(1) 请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式d(v)，并求当k＝1，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间(精确到0.1秒)；
(2) 若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？ 6 21. (本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2.
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ln x－mx＋1，g(x)＝x(ex－2)．
(1) 若f(x)的最大值是0，求m的值；
(2) 若对其定义域内任意x，f(x)≤g(x)恒成立，求m的取值范围.
7
2021届高三年级第一学期期中考试(临沂)
数学参考答案及评分标准
1. B 2. B 3. A 4. D 5. B 6. C 7. A 8. D 9. AD 10. ACD 11. ABC 12. BD
13. 25 14. 2 15. 7＋24350 16. 9 {1，8，10，64}
17. 解：选①：由sin B＋3cos B＝2得sin(B＋π3)＝1，所以B＝π6.(2分)
选②：由cos 2B＋3cos B－2＝0得2cos2B＋3cos B－3＝0，
解得cos B＝32，所以B＝π6.(2分)
选③：由b2－a2＝c2－3ac得c2＋a2－b2＝3ac，
得cos B＝a2＋c2－b22ac＝3ac2ac＝32，所以B＝π6.(2分)
因为sin Csin B＝cb＝3，所以sin C＝32.(4分)
所以C＝π3或C＝2π3.(6分)
当C＝π3时，A＝π2.
又a＝4，所以b＝2，c＝23.(7分)
所以面积S＝12×2×23＝23.(8分)
当C＝2π3时，A＝π6，所以A＝B.
又a＝4，所以b＝4.(9分)
所以面积S＝12×4×4×32＝43.(10分)
18. 解：(1) 由题意f(x)＝32sin 2ωx＋12cos 2ωx＋12－a＝sin(2ωx＋π6)＋12－a，(2分)
∴2π2ω＝4π，1＋12－a＝1，解得ω＝14，a＝12，(3分)
∴ f(x)＝sin(x2＋π6)．
令2kπ－π2≤x2＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，
∴ 4kπ－4π3≤x≤4kπ＋2π3，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为[4kπ－4π3，4kπ＋2π3](k∈Z)．(6分)
(2) 由题意得g(x)＝sin(x－π12)．(8分)
