高中数学优质课件精选人教A版选修2-1课件3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

一、选择题

1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中真命题是( )

A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0

C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c

2．以下四个命题中正确的是( )

A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示

B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量

C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB→·AC→＝0

D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底

3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB→＝3i，AD→＝2j，AA1→＝5k，则AC1→( )

A．i＋j＋k B.13i＋12j＋15k C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k

4．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是( )

A．a B．b C．c D．无法确定

5．给出下列两个命题：

①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；

②O，A，B，C为空间四点，且向量OA→，OB→ ，OC→不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面． 其中正确的命题是( )

A．仅① B．仅② C．①② D．都不正确

6．已知i、j、k是空间直角坐标系O－xyz的坐标向量，并且AB→＝－i＋j－k，则B点的坐标为( )

A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不确定

7．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则(x，y，z)为( )

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2第三章　3.1　课时作业27

一、选择题

1．下列说法中正确的是( )

A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底

B．空间的基底有且仅有一个

C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底

D．基底{a，b，c}中基向量与基底{e，f，g}中基向量对应相等

解析：A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底；B项，空间基底有无数个；

D项中因为基底不唯一，所以D错．故选C.

答案：C　

2．已知i，j，k是空间直角坐标系O－xyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，

且＝－i＋j－k，则点B的坐标为( )AB→

A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k)

C．(1，－1，－1)　D．不确定

解析：＝－i＋j－k，只能确定的坐标为(－1,1，－1)，而点A坐标不确定，所以AB→

AB→

点B坐标也不确定．

答案：D　

3．[2014·黑龙江省哈尔滨九中模考]已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任

意三点不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z的值为( )OA→

BO→

CO→

DO→

A. 1　B. －1

C. 2　D. －2

解析：本题主要考查空间向量基本定理及其应用．由题意知A，B，C，D共面的充要

条件是：对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得＝x1＋y1＋z1且OA→

OB→

OC→

OD→

x1＋y1＋z1＝1，因此，2x＋3y＋4z＝－1，故选B.

答案：B　

4．如右图所示，在空间四边形OABC中，点M为OA中点，N为AB中点，P在CN1

2上，且CP＝PN，若＝a，＝b，＝c，则＝( )12OA→

OB→

OC→

MP→

A．－a＋b＋c131623

B.a＋b－c131623

C．－a－b＋c131623

D.a－b＋c131623

解析：＝＋＋MP→

MO→

OC→

CP→

＝－＋＋12OA→

OC→

13CN→

＝－a＋c＋×(＋)121312CA→

CB→

＝－a＋c＋(－＋－)1216OA→

高二数学选修2-1第三章第1节空间向量及其运算人教新课标A版（理）

一、学习目标：

1. 理解空间向量的概念，了解共线或平行向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量的加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

2. 理解共线向量的定理及其推论．

3. 掌握空间向量的夹角和模的概念及其表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．

4. 掌握空间向量的正交分解，空间向量的基本定理及其坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．

二、重点、难点：

重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律，空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式，点在已知平面内的充要条件，两个向量的数量积的计算方法及其应用，空间向量的基本定理、向量的坐标运算．

难点：由平面向量类比学习空间向量，对点在已知平面内的充要条件的理解与运用，向量运算在几何证明与计算中的应用，理解空间向量的基本定理．

三、考点分析：

本讲知识主要为由平面向量类比学习空间向量的概念及其基本运算，涉及到空间向量中的共线向量和共面向量，以及空间向量的基本定理和空间向量的坐标运算．数量积的运用，是我们学习的重点．

一、空间向量的概念：

模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a．方向相同且模相等的向量称为相等向量．

二、空间向量的加法和减法、数乘运算

1. 求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．

2. 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．

3. 实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算．当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0．a的长度是a的长度的倍．

人教版高中数学选修2-1教学设计

1 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

教学目标：

掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．

教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算．

教学难点：理解空间向量基本定理．

教学过程：

一.复习引入

平面向量基本定理及应用

二.思考分析

在一次消防演习中，一消防官兵特别行动小组接到命令，由此往南500米，再往东400米处的某大厦5楼发生火灾．行动小组迅速赶到现场，经过1个多小时的奋战，终于将大火扑灭．火灾的发源地点是由消防官兵驻地“南500米”“东400米”“5楼”三个量确定．设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．

问题1：这三个向量能作为该空间的一组基底吗？

提示：能．

问题2：若每层楼高3米，请把“发生火灾”的位置由向量p表示出来？

提示：p＝500e1＋400e2＋15e3.

三.抽象概括

1．空间向量基本定理

定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．

2．空间向量的正交分解及其坐标表示

(1)单位正交基底

三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．

(2)空间向量的坐标表示

以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.

对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP―→＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)．

(1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．