人教版数学高二数学人教A版选修2-1学案3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

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精心校对完整版 3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

预习课本P92～94，思考并完成以下问题

1．空间向量基本定理的内容是什么？

2．在空间向量中，基底的定义是什么？应满足什么条件？

[新知初探]

1．空间向量基本定理：

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.

其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．

2．空间向量的正交分解及其坐标表示

(1)单位正交基底：

三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．

(2)空间直角坐标系：

以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz.

(3)空间向量的坐标表示：

对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，即点P的坐标为(x，y，z)．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底( )

(2)向量AP的坐标与点P的坐标一致( )

(3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3( ) 高中数学-打印版

精心校对完整版 答案：(1)× (2)× (3)×

2．已知A(2,3－μ，－1＋ν)关于x轴的对称点是A′(λ，7，－6)，则λ，μ，ν的值为( )

A．λ＝－2，μ＝－4，ν＝－5 B．λ＝2，μ＝－4，ν＝－5

C．λ＝－2，μ＝10，ν＝8 D．λ＝2，μ＝10，ν＝7

答案：D

3．已知向量a，b，c是空间的一个基底，下列向量中可以与p＝2a－b，q＝a＋b构成空间的另一个基底的是______(填序号)．

①2a；②－b；③c；④a＋c

答案：③④

空间向量基本定理的理解

[典例] 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA＝e1＋2e2－e3，OB＝－3e1＋e2＋2e3，OC＝e1＋e2－e3，试判断{OA，OB，OC}能否作为空间的一个基底？

[解] 假设OA，OB，OC共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使OA＝xOB＋yOC成立．

∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)

＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.

∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，

∴e1，e2，e3不共面，∴ －3x＋y＝1，x＋y＝2，2x－y＝－1此方程组无解，

即不存在实数x，y，使OA＝xOB＋yOC成立．

∴OA，OB，OC不共面．

故{OA，OB，OC}能作为空间的一个基底．

判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．

[活学活用]

设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：

①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．

其中可以作为空间的基底的向量组有________个． 高中数学-打印版

精心校对完整版 解析：如图所设a＝AB，b＝AA1，c＝AD，则x＝AB1，y＝AD1，z＝AC，a＋b＋c＝AC1.由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底．

答案：3

空间向量基本定理的应用

[典例] 如图，四棱锥P-OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示：BF，BE，AE，EF.

[解] 连接BO，则BF＝12BP＝12(BO＋OP)＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.

BE＝BC＋CE＝－a＋12CP＝－a＋12(CO＋OP)＝－a－12b＋12c.

AE＝AP＋PE＝AO＋OP＋12(PO＋OC)＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c.

EF＝12CB＝12OA＝12a.

用基底表示向量时：

(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．

(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．

[活学活用]

如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值．

(1) BD＝xAD＋yAB＋zAA；

(2) AE＝xAD＋yAB＋zAA.

解：(1)∵BD＝BD＋DD＝ 高中数学-打印版

精心校对完整版 BA＋BC＋DD＝－AB＋AD＋AA，

又BD＝xAD＋yAB＋zAA，

∴x＝1，y＝－1，z＝1.

(2)∵AE＝AA＋AE＝AA＋12AC

＝AA＋12(AB＋AD)

＝AA＋12AB＋12AD

＝12AD＋12AB＋AA，

又AE＝xAD＋yAB＋zAA，

∴x＝12，y＝12，z＝1.

空间向量的坐标表示

[典例] 如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系， 求向量MN的坐标．

[解] ∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，

∴AB，AD，AP是两两垂直的单位向量．

设AB＝e1，AD＝e2，AP＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系A-xyz.

法一：如图所示，

∵MN＝MA＋AP＋PN

＝－12AB＋AP＋12PC

＝－12AB＋AP＋12(PA＋AC)

＝－12AB＋AP＋12(PA＋AB＋AD)

＝12AD＋12AP＝12e2＋12e3， 高中数学-打印版

精心校对完整版 ∴MN＝0，12，12.

法二：

如图所示，

连接AC，BD交于点O.

则O为AC，BD的中点，

连接MO，ON，

∴MO＝12BC＝12AD，

ON＝12AP，

∴MN＝MO＋ON＝12AD＋12AP＝12e2＋12e3.

∴MN＝0，12，12.

用坐标表示空间向量的方法步骤

[活学活用]

在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝π2，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点．在如图所示的空间直角坐标系中，求DO，AB1的坐标．

解：(1)∵DO＝－OD＝－(OO1＋OD1)

＝－OO1＋12()OA＋OB 高中数学-打印版

精心校对完整版 ＝－OO1－12OA－12OB

＝－4e3－12×4e1－12×2e2

＝－2e1－e2－4e3，

∴DO＝(－2，－1，－4)．

(2)∵AB1＝OB－OA1＝OB－(OA＋AA1)

＝－OA＋OB－AA1＝－4e1＋2e2－4e3，

∴AB1＝(－4,2，－4)．

层级一 学业水平达标

1．已知A(3,2，－3)，则点A关于y轴的对称点的坐标是( )

A．(－3，－2,3)

B．(－3,2，－3)

C．(－3,2,3)

D．(－3，－2，－3)

解析：选C 由对称定义知．

2．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p⇒/ q，q⇒p.

3．在空间直角坐标系O-xyz中，下列说法正确的是( )

A．向量AB的坐标与点B的坐标相同

B．向量AB的坐标与点A的坐标相同

C．向量AB与向量OB的坐标相同

D．向量AB与向量OB－OA的坐标相同

解析：选D 因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；同理B，C都不正确；由于AB＝OB－OA，所以D正确．

4．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则OG等于( )

A.16 OA＋13OB＋13OC B.14( OA＋OB＋OC)

C.13( OA＋OB＋OC) D.16 OB＋13OA＋13OC 高中数学-打印版

精心校对完整版 解析：选B

如图，

OG＝12(OM＋ON)

＝12OM＋12×12(OB＋OC)

＝14OA＋14OB＋14OC

＝14(OA＋OB＋OC)．

5．空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN为( )

A.12a－23b＋12c B．－23a＋12b＋12c

C.12a＋12b－23c D.23a＋23b－12c

解析：选B

MN＝MA＋AB＋BN

＝13OA＋OB－OA＋12(OC－OB)

＝－23OA＋12OB＋12OC

＝－23a＋12b＋12c.

6．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________．

解析：由于{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，

所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)．

答案：a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)

7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.

解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋2λc，

于是有 1＝λx，－1＝λy，1＝2λ，解得 x＝2，y＝－2.

答案：2 －2

8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若EF＋λAD1＝0(λ∈R)，则λ＝________.