变量与函数第二课时 (2)

八年级下数学教案-变量与函数(2) 一、课程目标通过本课程的学习，学生将会达到以下的学习目标：1.掌握变量用字母表示的方法；2.熟练掌握变量在代数式中的应用；3.熟练掌握常量与变量的区别；4.掌握函数的概念以及函数表达式的表示方法；5.掌握函数与变量的关系；二、教学重点和难点重点1.变量表示方法；2.变量在代数式中的应用；3.函数定义与函数表达式。

难点1.理解函数的概念；2.理解函数与变量的关系；3.掌握函数表达式的表示方法。

三、教学步骤1. 导入新知识1.引入变量概念并让学生用字母表示变量；2.让学生举一些例子来解释变量；3.引入常量的概念并让学生解释常量和变量的区别；4.引入函数概念并解释函数的定义。

2. 理解变量在代数式中的应用1.让学生用字母表示式子中的变量；2.让学生举例出一个代数式然后带入数值计算。

3. 函数的定义与表示方法1.解释函数的定义；2.引入函数表达式的表示方法。

4. 函数与变量的关系1.让学生理解函数和变量的关系；2.解释函数表达式中的变量；3.让学生用变量来表示函数表达式。

5. 练习1.带入实际问题，让学生解决问题并运用所学知识。

四、教学方法1.课堂讲授；2.学生练习；3.互动式教学。

五、学习评估1.教师布置作业，让学生运用所学知识解决实际问题；2.在课堂上让学生表现所学知识；3.监测学生在学习过程中的表现。

六、教学资源1.课件PPT；2.试卷模板；3.教学实例。

以上是本节课程的完整教案，希望能够给各位教师在日常教学中提供一些参考。

加强教育良好的教学教案，提高教学效果，使学生受益。

14.1.1(2)变量与函数学习目标：1、通过探索具体问题中的数量关系和变化规律来了解常量、变量的意义；2、学会用含一个变量的代数式表示另一个变量；3、结合实例，理解函数的概念以及自变量的意义；在理解掌握函数概念的基础上，确定函数关系式；4、会根据函数解析式和实际意义确定自变量的取值范围。

学习重点：了解常量与变量的意义；理解函数概念和自变量的意义；确定函数关系式。

学习难点：函数概念的理解；函数关系式的确定学习过程：一、自学解决问题问题一：一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时．２．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．３．试用含t的式子表示s．__s=_________________t的取值范围是这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程．二、深入探究，得出结论（一）问题探究：问题二：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．•怎样用含x的式子表示y ?１．请同学们根据题意填写下表：2．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．３．试用含x的式子表示y．__y=_________________x的取值范围是这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程．问题三：在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm•，•每1kg•重物使弹簧伸长0．5cm，设重物质量为mkg，受力后的弹簧长度为L cm,怎样用含m的式子表示L？2．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．３．试用含m的式子表示L．__L=_________________m的取值范围是这个问题反映了_________随_________的变化过程．问题四：圆的面积和它的半径之间的关系是什么？要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？30 cm2呢?怎样用含有圆面积Ｓ的式子表示圆半径r？关系式：________２．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．３．试用含s的式子表示r．__r=_________________s的取值范围是这个问题反映了___ _ 随_ __的变化过程．问题五：用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形的长度，观察矩形的面积怎样变化．记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律。

19.1.1 变量与函数（第2课时）教学反思1、数学概念的教学一般要经历：概念的引入、概念的形成、概念的定义、概念的应用和巩固．整个概念的生成过程都必须在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括．2、在学生对概念认识的起始阶段，给学生提供的问题情境应该以正例为主，数量要恰当，难度要适宜，不然就会影响概念的形成．在对概念的应用、巩固中，可以通过适当的反例让学生辨析概念，达到对概念内涵和外延的掌握．3、教学过程要以学生熟悉的生活实际问题为主线，引领学生通过问题，抽象、概括数学结论，要充分体现学生在学习过程中的主体性，增强学生学习数学的积极性、主动性，培养学生喜欢数学，爱学数学.4、在对问题情境的筛选、设计上，要紧扣课题，凸显课堂教学质量和教学效果，主要要考虑以下几点：（1）、有启发性，有助于创造生动愉悦的情境，产生学习的内驱力，形成理想的教学氛围，激发学生逐步进入思维的高潮，为后阶段的能力拓展创造条件；（2）、呈阶梯式，用已知为新知作辅垫，使学生的认知沿教师设置好的阶梯拾级而上，在符合学生的认知心理的前提下，能有效地引导学生的思维向纵深发展；（3）、要多角度，概念的引入和形成，要从“特殊”到“一般”，应用概念要从“一般”到“特殊”，强化概念又要从“特殊”到“一般”，通过多加反复，促使学生对概念的理解更加严密，强化教学效果；（4）、要立足生活，密切数学与生活的联系，增加数学概念教与学的实用性、生动性，使学生真切认识到数学来源于生活，又能服务于生活，感觉到数学的美无处不在. （5）、要重成效，在数学概念学习、运用的过程中，让学生觉得自己所学的数学知识学有所用，学有所值的同时，也要感觉到：要解决现实问题，运用已有的知识是远远不够的，激发学习潜能，提高课堂教学的成效.5、学生的课堂学习既包括学也包括练，课堂练习一方面能使学生将刚刚理解的知识加以应用，在应用中加深对所学知识的理解；另一方面能及时暴露学生对新知识理解和应用中的不足。

第二课时变量与函数教学目标：1、知识与技能：使学生进一步理解函数的定义，熟练地列出实际问题的函数关系式，理解自变量取值范围的含义，能求函数关系式中自变量的取值范围。

2、过程与方法：会由自变量的值求函数值。

3、情感态度与价值观：经历从具体实例中抽象出函数的过程，发展抽象思维的能力，感悟运动变化的观点。

教学重、难点：1、重点：在具体情景中分清哪个是变量，哪个是自变量，谁是谁的函数。

2、难点：会由自变量的值求出函数的值。

教学过程一、复习1．填写如右图(一)所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向加数用y表示，试写出y关于x的函数关系式。

2．如图(二)，请写出等腰三角形的顶角y与底角x之间的函数关系式．3．如图(三)，等腰直角三角形ABC边长与正方形MNPQ的边长均为l0cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合。

试写出重叠部分面积y与长度x之间的函数关系式．二、求函数自变量的取值范围1．实际问题中的自变量取值范围问题1：在上面的联系中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗?如果有．各是什么样的限制?问题2：某剧场共有30排座位，第l排有18个座位，后面每排比前一排多1个座位，写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式，自变量的取值有什么限制。

从右边的分析可以看出，第n排的排数座位数座位 l 18一方面可以用18＋(n－1)表 2 18＋13 18＋2示，另一方面可以用m表示，所以……m＝18＋(n－1) n 18＋(n－1)n的取值怎么限制呢?显然这个n也应该取正整数，所以n取1≤n≤30的整数或0<n<31的整数。

请同学们试着写出上面第2、3两个问题中自变量的取值范围。

2．用数学式子表示的函数的自变量取值范围例1．求下列函数中自变量x的取值范围(1)y=3x－l (2)y＝2x2＋7 (3)y=1x＋2(4)y=x－2分析：用数学表示的函数，一般来说，自变量的取值范围是使式子有意义的值，对于上述的第(1)(2)两题，x取任意实数，这两个式子都有意义，而对于第(3)题，(x＋2)必须不等于0式子才有意义，对于第(4)题，(x－2)必须是非负数式子才有意义．3．函数值例2．在上面的练习(3)中，当MA＝1cm时，重叠部分的面积是多少?请同学们求一求在例1中当x=5时各个函数的函数值．三、课堂练习课本第28页练习的第1、2、3题四、小结五、作业课本第29页的第3、4、5、6题．六、教后反思：通过本节课的学习，一方面，我们进一步认识了如何列函数关系式，对于几何问题中列函数关系式比较困难，有的题目的自变量的取值范围也很难确定，只有通过一定量的练习才能做到熟练地解决这个问题；另一方面，对于用数学式子表示的函数关系式的自变量的取值范围，考虑两个方面，其一是分母不能等于0，其二是开偶次方的被开方数是非负数．2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，边长为2的菱形ABCD中，∠A=60º，点M是边AB上一点，点N是边BC上一点，且∠ADM=15º，∠MDN=90º，则点B到DN的距离为( )A．2B．2C．3D．22．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①a<0；②a-b+c<0；③b2-4ac>0；④2a+b＞0，其中正确的是（）A．①②③④B．②③④C．①②③D．①②④3．如图，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=-x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为（）A．y=-x+2 B．y=x+2 C．y=x-2 D．y=-x-24．已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（）A．经过第一、二、四象限B．与x轴交于（1，0）C．与y轴交于（0，1）D．y随x的增大而减小5．下列运算正确的是（）A ．523－＝B ．82+＝4C ．279＝3 D ．2714⨯＝6．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确．．．的是（ ）．A ．当AB ＝BC 时，它是菱形 B ．当AC ＝BD 时，它是正方形 C ．当∠ABC ＝90º时，它是矩形 D ．当AC ⊥BD 时，它是菱形7．若平行四边形中两个相邻内角度数比为1:2，则其中较大的内角是（ ） A ．90°B ．60°C ．120°D ．45°8．点 A (2, - 3)关于原点的对称点的坐标是( ) A ．(- 2, - 3) B ．(2, 3) C ．(- 2, 3) D ．(- 3, - 2)9．一次函数y kx b =+与y bx k =+的图像在同一坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列函数，y 随x 增大而减小的是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题 11．若关于x 的方程226111k x x x -=+--有增根，则k 的值为_____． 12．如图，在ABC ∆中，o o 9030C B AD ∠=∠=，，是ABC ∆的角平分线，DE AB ⊥，垂足为E ，1DE =，则ABC∆的周长为________．13．计算：﹣94＝_____．14．已知关于x的方程2x ax2-+=1的解是负值，则a的取值范围是______．15．平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线将AD边分成的两部分的长分别为2和3，则平行四边形ABCD的周长是_____．16．如图所示的围棋盘放在平面直角坐标系内，黑棋A的坐标为（1，2），那么白棋B的坐标是_____．17．小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是________．三、解答题18．如图，正方形ABCD和正方形CEFC中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，EH与CF交于点O．（1）求证：HC＝HF．（2）求HE的长．19．（6分）小红同学根据学习函数的经验，对新函数62yx=+的图象和性质进行了如下探究，请帮她把探究过程补充完整.第一步：通过列表、描点、连线作出了函数62yx=+的图象x…-6 -5 -4 -3 -1 0 1 2 …y…-1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 …第二步：在同一直角坐标系中作出函数6y x=的图象（1）观察发现：函数62y x =+的图象与反比例函数6y x=的图象都是双曲线，并且形状也相同，只是位置发生了改变.小红还发现，这两个函数图像既是中心对称图形，又是轴对称图形，请你直接写出函数62y x =+的对称中心的坐标. （2）能力提升：函数62y x =+的图象可由反比例函数6y x =的图象平移得到，请你根据学习函数平移的方法，写出函数62y x =+的图象可由反比例函数6y x=的图象经过怎样平移得到？（3）应用：在所给的平面直角坐标系中画出函数62y x =-的图像，若点()11,x y ，()22,x y 在函数62y x =-的图像上，且122x x <<时，直接写出1y 、2y 的大小关系. 20．（6分）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点求两点的坐标在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象； 根据图像回答：当时，的取值范围是 .21．（6分）已知23x =-，23y +＝，求代数式22x y -的值．22．（8分）如图，ABCD 中，E 是AD 边上一点，45A ∠=︒，3BE CD ==，2ED =，点P ，Q分别是BC ，CD 边上的动点，且始终保持45EPQ ∠=︒．（1）求AE 的长；（2）若四边形ABPE 为平行四边形时，求CPQ 的周长；（3）将CPQ 沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，求线段BP 的长． 23．（8分）阅读材料：在实数范围内，当0a >且0b >时 ，我们由非负数的性质知道20a b ≥，所以0a ab b -≥， 即:2a b ab +≥，当且仅当a =b 时，等号成立，这就是数学上有名的“均值不等式”，若a 与b 的积为定值(0)p p >. 则+a b 有最小值2p 请问： 若 0x >， 则当x 取何值时，代数式82x x+取最小值？ 最小值是多少？ 24．（10分）已知ABC △的三边长分别为()221,2,a 11a a a -+>，求证：ABC △是直角三角形. 25．（10分）某校为奖励学习之星，准备在某商店购买A 、B 两种文具作为奖品，已知一件A 种文具的价格比一件B 种文具的价格便宜5元，且用600元买A 种文具的件数是用400元买B 种文具的件数的2倍． （1）求一件A 种文具的价格；（2）根据需要，该校准备在该商店购买A 、B 两种文具共150件．①求购买A、B两种文具所需经费W与购买A种文具的件数a之间的函数关系式；②若购买A种文具的件数不多于B种文具件数的2倍，且计划经费不超过2750元，求有几种购买方案，并找出经费最少的方案，及最少需要多少元？参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．B【解析】【分析】连接BD，作BE⊥DN于E，利用菱形的性质和已知条件证得△ABD和△BCD是等边三角形，从而证得BD=AB=AD=2，∠ADB=∠CDB=60°，进而证得△BDE是等腰直角三角形，解直角三角形即可求得点B 到DN的距离．【详解】解：连接BD，作BE⊥DN于E，∵边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，∴△ABD和△BCD是等边三角形，∴BD=AB=AD=2，∠ADB=∠CDB=60°∵∠A=60°，∴∠ADC=180°-60°=120°，∵∠ADM=15°，∠MDN=90°，∴∠CDN=120°-15°-90°=15°，∴∠EDB=60°-15°=45°，∴BE=22BD=2222=∴点B到DN2，故选：B ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等，作出辅助线，构建等腰直角三角形是解题的关键． 2．C 【解析】分析：根据抛物线开口方向得a ＜0，可对①进行判断；把x=-1代入y=ax 2+bx+c ，可对②进行判断;根据抛物线与x 轴的交点可对③进行判断，根据抛物线的对称轴小于1，可对④进行判断. 详解：抛物线开口向下:a<0, 故①正确; 当x=-1时,y=a-b+c<0, 故②正确; 抛物线与x 轴有两个交点, ∴b 2-4ac >0, 故③正确, 由图象知2ba-<1,则2a+b<0,故④错误.故选C. 点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定. 3．B 【解析】 【分析】 【详解】解：设一次函数的解析式y=kx+b （k≠0），∵一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y=-x 的图象交于点B ， ∴在直线y=-x 中，令x=-1，解得：y=1，则B 的坐标是（-1，1）． 把A （0，1），B （-1，1）的坐标代入一次函数的解析式y=kx+b得：2{1b k b =-+=，解得2{1b k ==， 该一次函数的表达式为y=x+1． 故选B ． 4．C 【解析】 【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．【详解】将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=x﹣1+2=x+1，A、直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误；B、直线y=x+1与x轴交于（﹣1，0），错误；C、直线y=x+1与y轴交于（0，1），正确；D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误，故选C．【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律以及一次函数的图象和性质是解题的关键．5．D【解析】【分析】根据二次根式的加法、减法、乘法、除法法则分别进行计算即可.【详解】A. 不是同类二次根式，不能进行合并，故A选项错误；B. B选项错误；C.，故C选项错误；D. ，正确，故选D.【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式加法、减法、乘法、除法的运算法则是解题的关键.6．B【解析】分析：A、根据菱形的判定方法判断，B、根据正方形的判定方法判断，C、根据矩形的判定方法判断，D、根据菱形的判定方法判断.详解：A、菱形的判定定理，“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，故A项正确；B、由正方形的判定定理，“对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形”可知，对角线仅相等的平行四边形是矩形，故B项错误；C、矩形的判定定理，“一个角是直角的平行四边形是矩形”，故C项正确；D、菱形的判定定理，“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，故D项正确。

变量与函数第二课时《函数》教学设计上节课我们学习了常量和变量，在学习的过程中，我们已经充分的感受到世界万物皆变，在每一个变化过程中，往往都蕴含着量的变化（变量），那么这节课我们接着研究变量之间的关系，这是我们把握运动变化规律的关键之所在。

也就是这节课我们将要学习的19.1.2函数那么到底什么是函数呢?首先从我们身边最熟悉的一些变化过程中来研究：一、观察思考，分析变化问题1.在下列(1)—(4)的每个变化过程中是否各有两个个变量？在同一变化过程中的两个变量之间有什么联系呢？(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h，填写下表，s的值随t 的值的变化而变化吗？问题①这个变化过程大家一定都很熟悉，那么在这个变化过程中有几个变量？分别是什么？②那么这两个变量到底存在怎样的相互关系呢？③t值得变化是怎样影响s值得变化呢？总结：S=60t或t=s/60------这是s与t之间的数量关系，从填表可以看出：s的值由t的值来决定，也就是说t取一个值时，s也能得到一个值，并且得到唯一一个值，即：总结：（1）有两个变量，分别是s和t，t取定一个值时，s都有唯一确定的值与之对应.如果对于类似的变化过程，你们也能进行类似的分析吗？老师给你们准备的下面三个变化过程，要求：（1）请大家依次思考分析并写出来，当然也可以把你得到的结论与同桌交流一下；（2）现在我们全班进行大讨论，请同学说说（2）---（4）中你有什么发现？（2）电影票售价为10元/张.第一场售出票150张票，第二场售出票205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收入y元.问题①在这个变化过程中有几个变量？分别是什么？②那么这两个变量到底存在怎样的相互关系呢？学生回答：通过思考分析发现有两个变量，分别是y和x，满足关系式y=10x，y随x的增大而增大，当x=10，y=100；x=100，y=1000，也就是说：y的值由x的值来决定，x取一个值时，y也能得到一个值，并且得到唯一一个值，即：总结：（2）有两个变量，分别是y和x，x取定一个值时，y都有唯一确定的值与之对应. （3）你见过水中涟漪吗，如图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径r分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积 S 分别为多少？问题：①圆的面积公式：_______.当r=10cm时，S=____________；当r=20cm时，S=____________；当r=30cm时，S=____________.②在以上这个过程中，变化的量是：______________________；不变化的量是：___________.这个问题反映了圆的面积____随圆的半径____的变化过程.③在这个变化过程中有几个变量？分别是什么？那么这两个变量到底存在怎样的相互关系呢？学生回答：通过思考、计算填空、分析发现：有两个变量，分别是s和r，满足关系式S=πr2，s随r的增大而增大，当r=1，y=π；r=2，s=4π，也就是说：s的值由r的值来决定，r取一个值时，s也能得到一个值，并且得到唯一一个值，即：总结：（3）有两个变量，分别是s和r，r取定一个值时，s都有唯一确定的值与之对应. （4）用10m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长x分别为3m，3.5m，4m，4.5m时，它的邻边长y分别为多少？①请同学们根据题意填写下表：x/m33.544.5y/m②在以上这个过程中，变化的量是：__________________；不变化的量是：_________.③试用含x的式子表示y：_______.这个问题反映了矩形的一邻边长___随另一边长___的变化过程.④在这个变化过程中有几个变量？分别是什么？那么这两个变量到底存在怎样的相互关系呢？学生回答：通过填表填空发现：有两个变量，分别是y和x，满足关系式y=5-x，y随x的增大而减小，当x=1，y=4；x=2，y=3，也就是说：y的值由x的值来决定，x取一个值时，y 也能得到一个值，并且得到唯一一个值，即：总结：（4）有两个变量，分别是y和x，x取定一个值时，y都有唯一确定的值与之对应.现在我们继续研究：这四个变化过程都有什么共同的特点？要求：请先把你发现的结论写出来，然后大家再共同讨论，教师通过巡视发现，大部分同学都非常认真，总结好的同学请举手！分析变化，归纳总结这四个变化过程都蕴含着：（1）有两个变量；（2）其中一个变量取定一个值时，另一个变量都有唯一确定的值与之对应.接下来请大家再看下面一些用图象和表格表达的问题中，是否也能看到两个变量之间具有上面的特点呢？观察思考，再次概况问题(5)如图是泰安市某天的气温变化图，其中图上点的横坐标t表示时间，纵坐标T表示气温，你能根据图象说出某一时刻t的气温T吗？对于t的每一个确定的值，T都有唯一确定的值与其对应值吗？问题①在这个变化过程中有几个变量？分别是什么？②那么这两个变量到底存在怎样的相互关系呢？学生回答：通过观察分析发现：有两个变量，分别是T和t，当t=10，T=-9；t=1，T=-13，也就是说：T的值由t的值来决定，当t取一个值时，T也能得到一个值，并且得到唯一一个值.师生共同分析：现在请大家想一想这个变化过程及其获取确定值的方式是不是与前面的四个有不一样的地方？当给你一个时间时，气温是从表格中看到的？还是用关系式计算得来的？还是直接从图象上得到呢？很明显，是直接从图象中得到，也就是说虽然得到的方式不一样，但是还是具备前面的那两个特点。