第2课时不等式的性质学习目标1.掌握不等式的性质及其成立的条件.(数学抽象、数学建模)2.能利用不等式的性质比较大小、证明不等式.(逻辑推理、数学运算)【必备知识·自主学习】导思不等式有哪些性质?不等式的性质名称式子表示性质1 对称性a>b⇔b<a性质2 传递性a>b,b>c⇒a>c性质3 可加性a>b⇔a+c>b+c性质4 可乘性a>b,c>0⇒ac>bca>b,c<0⇒ac<bc性质5 同向不等式可加a>b,c>d⇒a+c>b+d性质6同向同正不等式可乘⇒ac>bd 性质7 正数不等式乘方a>b>0⇒a n>b n(n∈N,n≥1)性质8 正数不等式开方a>b>0⇒>(n∈N,n≥2)若a,b∈R,a>b,那么a3>b3一定成立吗?提示:一定成立,因为函数f(x)=x3在R上是增函数,所以a>b时,a3>b3.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)若a>b,则ac2>bc2. ( )(2)若a>b,c>d,则ac>bd. ( )(3)若a>b,则a n>b n(n∈N,n≥1).( )提示:(1)×.当c=0时不成立.(2)×.同向同正不等式可乘.(3)×.当a>b>0时成立.2.已知a>b,c>d,且cd≠0,则( )A.ad>bcB.ac>bcC.a-c>b-dD.a+c>b+d【解析】选D.a,b,c,d的符号未确定,排除A,B两项;同向不等式相减,结果未必是同向不等式,排除C项,故选D项.3.(教材二次开发:习题改编) 若|a|<|b|,则(n∈N且n>1).【解析】因为|b|>|a|≥0,所以由不等式的性质可得<.答案:<【关键能力·合作学习】类型一利用不等式的性质判断不等式(逻辑推理、数学建模)1.下列命题中,正确的是( )A.若a>b,c>d,则a>cB.若ac>bc,则a>bC.若<,则a<bD.若a>b,则|a|>|b|2.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( )A.<B.a2>b2C.>D.a|c|>b|c|3.若<<0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b中,正确的不等式有个.【解析】1.选C.因为<,又c2>0,所以a<b.2.选C.若a>b,且ab>0,则<,A中少条件ab>0,故A不成立.若a>b>0,则a2>b2,B中少条件b>0,故B不成立.因为a>b,且>0,所以>,故C成立.D中少条件c≠0,故D不成立.3.由<<0,得a<0,b<0,故a+b<0且ab>0,所以a+b<ab,即①正确;由<<0,得>,两边同乘|ab|,得|b|>|a|,故②错误;由①②知|b|>|a|,a<0,b<0,那么a>b,故③错误.答案:1运用不等式的性质判断真假的技巧(1)首先要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能凭想当然随意捏造性质.(2)解决有关不等式选择题时,也可采用特值法进行排除,注意取值一定要遵循以下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.【补偿训练】1.若a<b<0,则下列结论正确的是( )A.a2<b2B.ab<b2C.<D.ac>bc【解析】选C.当a<b<0时,a2>b2,故A错误,当a<b<0时,ab>b2,故B错误,当a<b<0时,0<<1,>1,则<成立,当c=0时,ac>bc不成立,故D错误.2.设a>1>b>-1,b≠0,则下列不等式中恒成立的是( )A.<B.>C.a>b2D.a2>2b【解析】选C.当a=2,b=-时,满足条件.但<不成立,故A错误;当a>1>b>0时,<,故B错误;因为1>b>-1,b≠0,所以0<b2<1,则a>b2,故C正确;当a=1.1,b=0.9时,满足条件,但a2>2b不成立,故D错误.类型二利用不等式的性质证明不等式(逻辑推理、数学运算)【典例】已知c>a>b>0,求证:>.四步内容理解题意条件:c>a>b>0;结论:>.思路探求思路1:①如何证明<?②由<怎样得到<?思路2:要证>可先证明哪一个不等式.书写方法一:因为c>a>b>0,表达所以c-a>0,c-b>0.由⇒<,⇒⇒>;方法二:由c>a>b>0得c-b>c-a>0,又a>b>0,所以a(c-b)>b(c-a)>0,又>0,得>.题后证明本题关键是分母怎样变换出来,第一步先证明什么.反思利用不等式的性质证明不等式的两注意(1)记准、记熟:利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上, 记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)注意条件:应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.1.a>b>0,c<0求证:>.【证明】因为a>b>0,所以ab>0,>0.于是a·>b·,即>.由c<0,得>.2.已知a>b>0,c<d<0,e<0.求证:>.【证明】因为c<d<0,所以-c>-d>0,又因为a>b>0,所以a+(-c)>b+(-d)>0,即a-c>b-d>0,所以0<<,又因为e<0,所以>.【拓展延伸】利用不等式性质求代数式的范围要注意的问题(1)恰当设计解题步骤,合理利用不等式的性质.(2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件,如由a>b 及c>d,推不出ac>bd;由a>b,推不出a2>b2等.【拓展训练】若a>b>0,c<d<0,e<0,求证:>.【解题指南】结合不等式的性质化简证明.【证明】因为c<d<0,所以-c>-d>0,又a>b>0,所以a-c>b-d>0,则(a-c)2>(b-d)2>0,即<,又e<0,所以>.【补偿训练】若bc-ad≥0,bd>0,求证:≤.【证明】⇒≥⇒+1≥+1⇒≥⇒≤.类型三利用不等式的性质求范围(逻辑推理、数学运算)角度1 利用性质直接求范围【典例】已知-1<a<b<1,则a-b的取值范围是.【思路导引】利用不等式的性质构造a-b求范围.【解析】因为-1<a<1,-1<b<1,所以-1<-b<1,所以-1-1<a-b<1+1,所以-2<a-b<2,又a<b,所以a-b<0.答案:(-2,0)将本例的条件改为“-≤a<b≤”,试求的取值范围.【解析】因为-≤a<b≤,所以-≤<,-<≤,所以-≤-<,所以-≤<.又a<b,所以<0,所以-≤<0.角度2 整体构造求范围【典例】已知π<α+β<,-π<α-β<-,则2α-β的取值范围是.【思路导引】利用α+β,α-β表示出2α-β后求范围.【解析】令2α-β=x(α+β)+y(α-β),即2α-β=(x+y)α+(x-y)β,所以解得因为<<,-<<-,所以-π<2α-β<.答案:利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.1.若α,β满足-<α<β<,则2α-β的取值范围是( )A.-π<2α-β<0B.-π<2α-β<πC.-<2α-β<D.0<2α-β<π【解析】选C.因为-<α<,所以-π<2α<π,又-<β<,所以-<-β<,所以-<2α-β<.又α-β<0,α<,所以2α-β<.故-<2α-β<.2.若-2≤x+y≤2且-1≤x-y≤1,则z=4x+2y的范围是.【解析】设4x+2y=a(x+y)+b(x-y)=(a+b)x+(a-b)y,则,解得a=3,b=1,即4x+2y=3(x+y)+(x-y),因为-2≤x+y≤2且-1≤x-y≤1,所以-6≤3(x+y)≤6且-1≤x-y≤1,则-7≤3(x+y)+(x-y)≤7.答案:[-7,7]【课堂检测·素养达标】1.若a>b且c∈R,则下列不等式中一定成立的是( )A.ac>bcB.a2>b2C.a+c>b+cD.ac2>bc2【解析】选C.对于A,当c<0时不成立;对于B,当0>a>b时不成立;对于D,当c=0时不成立;C正确.2.已知-<A<,-π<B<,则2A-B的取值范围是.【解析】因为-<A<,所以-π<2A<π.因为-π<B<,所以-<-B<.所以-<2A-B<.答案:3.(教材二次开发:练习改编)若a>b>0,c>d>0,则.【解析】因为a>b>0,c>d>0,所以ac>bd,所以-=>0,则>.答案:>4.已知1≤a≤3,-4<b<2,则a+|b|的取值范围是.【解析】因为-4<b<2,故0≤|b|<4,又1≤a≤3,所以1≤a+|b|<7.答案:[1,7)【新情境·新思维】已知实数a,b满足等式2 017a=2 018b,下列关系式不可能成立的是( ) A.0<a<b B.a<b<0 C.0<b<a D.a=b【解析】选A.分别画出y=2 017x,y=2 018x的函数图象, 如图所示:实数a,b满足等式2 017a=2 018b,可得a>b>0,a<b<0,a=b=0.而0<a<b不可能成立.。
