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十种二次函数解析式求解方法二次函数是一个形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a不为0。
解析式是一种表示函数的方式，它可以用来求解函数的性质和方程的解。
下面是十种二次函数解析式求解方法：1. 一般式：二次函数的一般式为y = ax^2 + bx + c。
通过将函数写成一般式，可以快速识别出a、b和c的值，进而求解一些重要的性质，如顶点、轴对称线、开口方向等。
2.标准式：二次函数的标准式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点的坐标。
通过将一般式转化为标准式，可以直观地找出顶点的坐标及与x轴的交点。
3.因式分解：有时候，二次函数的解析式可以通过因式分解的方式得到。
例如，对于函数y=x^2-5x+6，我们可以将其因式分解为y=(x-2)(x-3)，从而得到x=2和x=3是方程的解。
4.完全平方：如果二次函数的解析式可以表示为一个完全平方的形式，那么我们可以通过提取出完全平方的方式得到方程的解。
例如，对于函数y=x^2-4x+4，我们可以将其写成y=(x-2)^2的形式，从而得到x=2是方程的解。
5. 配方法：对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过配方法将其转化为一个完全平方的形式。
通过配方法，我们可以找到一个常数k使得ax^2 + bx + c = a(x + p)^2 + k，从而得到方程的解析式。
6.求导方法：通过对二次函数求导，我们可以得到函数的导数。
导数可以帮助我们找到函数的最值点和切线，进而求解其他问题。
7.顶点公式：二次函数的顶点公式为(h,k)，其中h=-b/(2a)，k=f(h)。
通过顶点公式，我们可以快速找到二次函数的顶点，进而求解一些重要的性质。
8. 零点公式：二次函数的零点公式为x = (-b ± √(b^2 -4ac))/(2a)。
通过零点公式，我们可以求解二次函数的零点或解方程。
9. 判别式：二次函数的判别式为Δ = b^2 - 4ac。
二次函数五种解析式五种二次函数解析式的文章一、一般式解析式二次函数是代数学中的重要内容之一，其解析式的形式有多种。
其中，一般式解析式是最常见的一种形式。
一般式解析式的形式为：f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
在这个解析式中，a决定了二次函数的开口方向和形状。
当a大于0时，二次函数的开口向上，形状为一个向上的弧形；当a小于0时，二次函数的开口向下，形状为一个向下的弧形。
而b则决定了二次函数的位置。
当b大于0时，二次函数向左平移；当b小于0时，二次函数向右平移。
c则决定了二次函数的纵轴截距。
当c大于0时，二次函数与纵轴的交点在纵轴上方；当c小于0时，二次函数与纵轴的交点在纵轴下方。
二、顶点式解析式顶点式解析式是另一种常见的二次函数解析式形式。
顶点式解析式的形式为：f(x) = a(x-h)^2 + k。
其中，a、h、k为常数，且a不等于0。
在这个解析式中，(h, k)表示二次函数的顶点坐标。
当a大于0时，二次函数的开口向上，顶点坐标为(h, k)；当a小于0时，二次函数的开口向下，顶点坐标也为(h, k)。
顶点式解析式的优点在于能够直接读取二次函数的顶点坐标，从而更加方便地确定二次函数的位置和形状。
三、描点式解析式描点式解析式是一种较为灵活的二次函数解析式形式。
描点式解析式的形式为：f(x) = (x-x1)(x-x2)。
其中，x1和x2为已知的两个点的横坐标，且x1不等于x2。
在这个解析式中，二次函数的两个零点为x1和x2。
通过这两个已知点，可以确定二次函数的形状和位置。
描点式解析式的优势在于能够直接读取二次函数的零点，从而更加方便地确定二次函数的位置和形状。
四、焦点式解析式焦点式解析式是一种特殊的二次函数解析式形式。
焦点式解析式的形式为：f(x) = a(x-h)^2 + k。
其中，a、h、k为常数，且a不等于0。
在这个解析式中，(h, k)表示二次函数的焦点坐标。
二次函数解析式的三种形式
二次函数也被称为平方函数，是数学中最常见的函数之一，其解析式有三种形式。
在本文中，我们将概述这三种形式以及它们的特点和应用。
首先让我们介绍第一种形式，即一般形式。
一般形式的二次函数是y=ax2+bx+c的形式，其中a是一个不为零的常数，b和c也是常数。
我们可以通过这个函数得到如抛物线和双曲线等曲线的二次函数。
此外，我们可以通过求解一元二次方程来求解该函数。
这种常见的二次函数的应用非常广泛，可以在金融、物理等领域中使用它以解决一些复杂的问题。
接下来，我们讨论另一种常见的二次函数，即标准形式。
标准形式的二次函数是y=a(x-h)2+k的形式，其中a是一个不为零的数，h
和k是常数。
我们可以通过这个函数得到上下颠倒或者平移的二次函数。
此外，标准形式的二次函数具有较强的可视性和模型可控性，因此它被广泛应用在几何学和数学中，以帮助我们更好地研究问题及其实际应用。
最后，我们要介绍的是另一种常见的二次函数，即展开形式。
展开形式的二次函数是y=a(x-p)(x-q)的形式，其中a是一个不为零的常数，p和q是常数。
我们可以通过这个函数得到同时包含p和q两个数字的二次函数。
此外，展开形式的二次函数特点是可以进行多算术运算，从而有助于解决很多可以简化成二次函数的复杂问题。
综上所述，二次函数解析式有三种常见的形式，分别为一般形式、
标准形式和展开形式。
它们各自具有特定的特点和应用，可以很好地帮助我们解决一些复杂的问题。
因此，了解这三种形式非常重要，有助于我们更好地理解和应用二次函数。
求二次函数解析式的三种基本方法四川 倪先德二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0)依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0)又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。
求二次函数解析式的方法
一、利用顶点坐标求解析式。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
因此，我们可以通过已知的顶点坐标来求解析式。
例如，如果已知
顶点坐标为(2, 3)，则可以列出方程组：
a2^2+b2+c=3。
a2+b=0。
通过解方程组，即可求得二次函数的解析式。
二、利用描点法求解析式。
描点法是通过已知的函数图像上的点来求解析式的一种方法。
如果已知二次函数上的两个点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，
则可以列出方程组：
ax1^2+bx1+c=y1。
ax2^2+bx2+c=y2。
通过解方程组，即可求得二次函数的解析式。
三、利用配方法求解析式。
对于一般的二次函数y=ax^2+bx+c，我们可以利用配方法将其写成完全平方的形式。
例如，对于函数y=x^2+2x+1，我们可以将其写成(y+1)=(x+1)^2的形式，从而得到解析式y=(x+1)^2-1。
四、利用判别式求解析式。
二次函数的判别式Δ=b^2-4ac可以用来判断二次函数的解的情况。
当Δ>0时，函数有两个不相等的实数根；当Δ=0时，函数有两个相等的实数根；当Δ<0时，函数没有实数根。
因此，我们可以通过判别式来求解析式。
以上是几种常用的求二次函数解析式的方法，当然还有其他一些方法，如利用导数、利用函数的对称性等。
通过这些方法，我们可以灵活地求得二次函数的解析式，从而更好地理解和应用二次函数。
求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数。
常见的四种方法求二次函数解析式包括配方法、因式分解法、求根公式法和完成平方法。
1.配方法：配方法适用于二次函数的系数不为1时，即a≠1的情况。
步骤：a) 将二次函数写成完全平方的形式，即通过将ax^2+bx+c中的b项分拆成两个相等的项得到。
例如：y=x^2+6x+5可以写成y=(x+3)^2-4b)化简得到二次函数的解析式。
例如：在上述例子中，化简得到y=x^2+6x+5=（x+3)^2-42.因式分解法：因式分解法适用于二次函数可以被因式分解的情况，即可以找到两个一次因式的乘积形式。
步骤：a) 将二次函数写成完全平方的形式，即通过将ax^2+bx+c中的b项分拆成两个相等的项得到。
例如：y=x^2+6x+5可以写成y=(x+1)(x+5)。
b)化简得到二次函数的解析式。
例如：在上述例子中，化简得到y=x^2+6x+5=(x+1)(x+5)。
3.求根公式法：求根公式法适用于二次函数的解存在有理根的情况。
步骤：a) 根据二次函数的系数a、b、c，计算出二次函数的判别式Δ=b^2-4ac。
b)根据判别式Δ的数值，判断方程的解的情况：-如果Δ>0，则有两个不相等的实根；-如果Δ=0，则有两个相等的实根（重根）；-如果Δ<0，则没有实根，但可能有两个虚根。
c)根据求根公式x=(-b±√Δ)/(2a)，求出实根或复根。
4.完成平方法：完成平方法适用于二次函数的系数为1时，即a=1的情况。
步骤：a)将二次函数进行配方，将其转化成完全平方的形式。
例如：y=x^2+6x+___，需要找到一个数来补全。
根据(b/2)^2的性质，可以将6/2=3得到的平方数补全，即y=x^2+6x+9b)化简得到二次函数的解析式。
例如：在上述例子中，化简得到y=x^2+6x+9=(x+3)^2通过以上四种方法，可以根据具体的二次函数形式，选择适合的方式来求得二次函数的解析式。
求二次函数解析式的三种基本方法四川 倪先德二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0)依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0)又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。
1．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．2．（2013•牡丹江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．3．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E．（1）求此抛物线的解析式．（2）若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．4．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式．5．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，﹣1）、B（0，2）、C（1，3）；（1）求二次函数的解析式；（2）画出二次函数的图象．6．已知二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），（2，﹣5），且与x轴交于A、B两点．（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由．7．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）①求该函数的关系式；②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．8．推理运算：二次函数的图象经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣1，0）．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移个单位，使得该图象的顶点在原点．9．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围．10．已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移个单位．11．已知二次函数y=x2+2x+c的图象经过点（1，﹣5）．（1）求c的值；（2）求函数图象与x轴的交点坐标．12．已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标．13．二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．（1）求C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值．14．已知抛物线y=ax2+bx+c经过（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．15．已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标．16．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（0，1），B（2，﹣1）两点．（1）求b和c的值；（2）试判断点P（﹣1，2）是否在此抛物线上．17．已知一个二次函数的图象经过点（1，﹣1），（0，1），（﹣1，13），求这个二次函数的解析式．18．己知二次函数y=x2+bx+c，当x=1时y=3；当x=﹣1时，y=1，求这个二次函数的解析式．19．已知二次函数的图象经过点（﹣1，﹣5），（0，﹣4）和（1，1）．求这个二次函数的解析式．20．已知一个二次函数的图象经过A（3，0）、B（0，﹣3）、C（﹣2，5）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）画出这个二次函数的图象（草图），设它的顶点为P，求△ABP的面积．21．已知一个二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（2，5），（﹣2，﹣3），（1，0）三点．求这个函数的解析式，并写出此抛物线的顶点坐标．22．已知一个二次函数的图象经过（0，﹣3），（3，0），（4，5）三点，求这个函数的解析式．23．已知一个二次函数的图象经过（0，﹣3），（﹣2，5），（﹣1，0）三点，求这个二次函数的解析式，并写出函数图象的对称轴和顶点坐标．24．通过配方，确定抛物线y=﹣2x2﹣5x+7的开口方向、对称轴和顶点坐标．25．已知二次函数y=x2﹣6x+4．（1）用配方法将其化为y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）写出它的图象的顶点坐标、对称轴．26．如图，已知二次函数y=ax2﹣bx﹣c的图象与x轴交于A、B两点，当时x=1，二次函数取得最大值4，且|OA|=﹣+2，（1）求二次函数的解析式．（2）已知点P在二次函数的图象上，且有S△PAB=8，求点P的坐标．27．已知抛物线经过一直线y=3x﹣3与x轴、y轴的交点，并经过（2，5）点．求：（1）抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点坐标及对称轴；（3）当自变量x在什么范围内变化时，函数y随x的增大而增大？（4）在坐标系内画出抛物线的图象．28．已知，二次函数y=ax2﹣5x+c的图象如图．（1）求这个二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标；（2）观察图象，回答：何时y随x的增大而增大；何时y随x的增大而减小．29．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过0（0，0），A（1，﹣1），B（﹣2，14）和C（2，m）四点．求这个函数的解析式及m的值．30．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，0）与（2，5）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y=x2+bx+c解析式的题目，使所求得的二次函数与（1）的相同．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2013•湖州）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．∴抛物线的解析式为；y=﹣（x﹣3）（x+1），即y=﹣x2+2x+3，（2）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．2．（2013•牡丹江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3；（2）∵当y=0时，x2+2x﹣3=0，解得：x1=﹣3，x2=1；∴A（1，0），B（﹣3，0），∴AB=4，设P（m，n），∵△ABP的面积为10，∴AB•|n|=10，解得：n=±5，当n=5时，m2+2m﹣3=5，解得：m=﹣4或2，∴P（﹣4，5）（2，5）；当n=﹣5时，m2+2m﹣3=﹣5，方程无解，故P（﹣4，5）（2，5）；3．（2013•黑龙江）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E．（1）求此抛物线的解析式．（2）若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，∴，解得：，故抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）根据题意得：，解得：，，∴D（4，5），对于直线y=x+1，当x=0时，y=1，∴F（0，1），对于y=x2﹣2x﹣3，当x=0时，y=﹣3，∴E（0，﹣3），∴EF=4，过点D作DM⊥y轴于点M．∴S△DEF=EF•DM=8．4．（2013•安徽）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式．【解答】解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1（a≠0），∵函数图象经过原点（0，0），∴a（0﹣1）2﹣1=0，解得a=1，∴该函数解析式为y=（x﹣1）2﹣1．5．（2011•佛山）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，﹣1）、B（0，2）、C（1，3）；（1）求二次函数的解析式；（2）画出二次函数的图象．【解答】解：（1）根据题意，得，解得，，∴所求的解析式是y=﹣x2+2x+2；（2）二次函数的图象如图所示：6．（2010•双鸭山）已知二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），（2，﹣5），且与x轴交于A、B两点．（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c；∵二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），（2，﹣5），则有：，解得；∴y=﹣x2﹣2x+3．（2）∵﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=﹣4+4+3=3，∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上，∵﹣x2﹣2x+3=0，∴x1=﹣3，x2=1；∴与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0），∴S△PAB=×4×3=6．7．（2008•徐州）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）①求该函数的关系式；②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【解答】解：（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位故A'（2，4），B'（5，﹣5）∴S△OA′B′=×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．8．（2008•镇江）推理运算：二次函数的图象经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣1，0）．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移5个单位，使得该图象的顶点在原点．【解答】解：（1）设y=ax2+bx﹣3，（1分）把点（2，﹣3），（﹣1，0）代入得，（2分）解方程组得∴y=x2﹣2x﹣3；（3分）（也可设y=a（x﹣1）2+k）（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，（4分）∴函数的顶点坐标为（1，﹣4）；（5分）（3）|1﹣0|+|﹣4﹣0|=5．（6分）9．（2010•梧州）如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围．【解答】解：（1）由于A（﹣1，0）在一次函数y1=﹣x+m的图象上，得：﹣（﹣1）+m=0，即m=﹣1；已知A（﹣1，0）、B（2，﹣3）在二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上，则有：，解得；∴二次函数的解析式为y2=x2﹣2x﹣3；（2）由两个函数的图象知：当y1＞y2时，﹣1＜x＜2．10．（2010•金华）已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移4个单位．【解答】解：（1）由已知，有，即，解得∴所求的二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）∵﹣=1，=﹣4．∴顶点坐标为（1，﹣4）．∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，∴应把图象沿y轴向上平移4个单位．11．（2008•清远）已知二次函数y=x2+2x+c的图象经过点（1，﹣5）．（1）求c的值；（2）求函数图象与x轴的交点坐标．【解答】解：（1）∵点（1，﹣5）在y=x2+2x+c的图象上，∴﹣5=1+2+c，∴c=﹣8．答：c的值为﹣8．（2）由（1）得函数的解析式为y=x2+2x﹣8，令y=0，则x2+2x﹣8=0，解方程得：x1=﹣4，x2=2．故函数与轴的交点坐标为（﹣4，0），（2，0）．12．（2007•天津）已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c；由已知，抛物线过A（﹣2，0），B（1，0），C（2，8）三点，得；解这个方程组，得a=2，b=2，c=﹣4；∴所求抛物线的解析式为y=2x2+2x﹣4．（2）y=2x2+2x﹣4=2（x2+x﹣2）=2（x+）2﹣，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣）．13．（2007•广州）二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．（1）求C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（4，0）∴AO=1，OB=4，AB=AO+OB=1+4=5，∴OC=5，即点C的坐标为（0，5）；（2）解法1：设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c由于这个函数图象过点（0，5），可以得到C=5，又由于该图象过点（﹣1，0），（4，0），则：，解方程组，得∴所求的函数解析式为y=﹣x2+x+5∵a=﹣＜0∴当x=﹣=时，y有最大值==；解法2：设图象经过A、C、B二点的二次函数的解析式为y=a（x﹣4）（x+1）∵点C（0，5）在图象上，∴把C坐标代入得：5=a（0﹣4）（0+1），解得：a=﹣，∴所求的二次函数解析式为y=﹣（x﹣4）（x+1）∵点A，B的坐标分别是点A（﹣1，0），B（4，0），∴线段AB的中点坐标为（，0），即抛物线的对称轴为直线x=∵a=﹣＜0∴当x=时，y有最大值y=﹣=．14．（2005•南通）已知抛物线y=ax2+bx+c经过（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．【解答】解：（1）把（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）代入y=ax2+bx+c，得：解得：；则抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）抛物线的开口方向向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，﹣4）．15．（2005•双柏县）已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标．【解答】解：（1）设这个二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，∵二次函数图象经过三点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8），∴．∴这个二次函数的解析式为：y=﹣x2﹣2x；（2）∵y=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1，∴这个二次函数的对称轴为x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，1）．16．（2003•广东）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（0，1），B（2，﹣1）两点．（1）求b和c的值；（2）试判断点P（﹣1，2）是否在此抛物线上．【解答】解：（1）把（0，1），B（2，﹣1）两点代入y=x2+bx+c，得解得b=﹣3，c=1；（2）由（1）知二次函数为y=x2﹣3x+1 ①把x=﹣1代入①，得y=1+3+1≠2；∴点P在（﹣1，2）不在此函数图象上．17．（1999•河南）已知一个二次函数的图象经过点（1，﹣1），（0，1），（﹣1，13），求这个二次函数的解析式．【解答】解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），把三点分别代入得（1）a+b+c=﹣1，（2）c=1，（3）a﹣b+c=13，（1）（2）（3）联立方程组解得a=5，b=﹣7，c=1，故这个二次函数的解析式y=5x2﹣7x+1．18．（2000•温州）己知二次函数y=x2+bx+c，当x=1时y=3；当x=﹣1时，y=1，求这个二次函数的解析式．【解答】解：将点（1，3），（﹣1，1）代入函数解析式得：，解得；故此函数的解析式为y=x2+x+1．19．（1999•广州）已知二次函数的图象经过点（﹣1，﹣5），（0，﹣4）和（1，1）．求这个二次函数的解析式．【解答】解：设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，（1分）把（﹣1，﹣5），（0，﹣4），（1，1）分别代入，得：（3分），解得；（5分）∴所求的函数的解析式为y=2x2+3x﹣4．（6分）20．（1998•武汉）已知一个二次函数的图象经过A（3，0）、B（0，﹣3）、C（﹣2，5）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）画出这个二次函数的图象（草图），设它的顶点为P，求△ABP的面积．【解答】解：（1）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，将A、B及C坐标代入得：，解得：，则函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，可得对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣4），则OB=3，DP=4，OD=1，OA=3，AD=OA﹣OD=2，画出草图，如图所示：则S△ABP=S梯形BPDO+S△ADP﹣S△AOB=×1×（3+4）+×2×4﹣×3×3=3．21．（1998•海淀区）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（2，5），（﹣2，﹣3），（1，0）三点．求这个函数的解析式，并写出此抛物线的顶点坐标．【解答】解：将（2，5），（﹣2，﹣3），（1，0）代入得：，解得：，∴二次函数解析式为y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；顶点坐标为（﹣1，﹣4）．22．（1997•河南）已知一个二次函数的图象经过（0，﹣3），（3，0），（4，5）三点，求这个函数的解析式．【解答】解：设所求二次函数为y=ax2+bx+c，把点（0，﹣3），（3，0），（4，5）代入得，解得所以所求二次函数是y=x2﹣2x﹣3．23．（1997•辽宁）已知一个二次函数的图象经过（0，﹣3），（﹣2，5），（﹣1，0）三点，求这个二次函数的解析式，并写出函数图象的对称轴和顶点坐标．【解答】解：设所求二次函数为y=ax2+bx+c，由已知，函数图象过（0，﹣3），（﹣2，5），（﹣1，0）三点，得．解这个方程组得：，∴所求解析式为y=x2﹣2x﹣3．∵y=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，∴函数图象的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，﹣4）．24．（1997•安徽）通过配方，确定抛物线y=﹣2x2﹣5x+7的开口方向、对称轴和顶点坐标．【解答】解：y=﹣2x2﹣5x+7=﹣2（x2+x）+7=﹣2（x+）2+，∵a=﹣2＜0，∴抛物线开口向下，对称轴是直线x=﹣，顶点坐标为（﹣，）．25．（1997•南京）已知二次函数y=x2﹣6x+4．（1）用配方法将其化为y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）写出它的图象的顶点坐标、对称轴．【解答】解：（1）y=x2﹣6x+4=x2﹣6x+9﹣5=（x﹣3）2﹣5，即y=（x﹣3）2﹣5；（2）顶点坐标为（3，﹣5），对称轴为直线x=3．26．（1997•重庆）如图，已知二次函数y=ax2﹣bx﹣c的图象与x轴交于A、B两点，当时x=1，二次函数取得最大值4，且|OA|=﹣+2，（1）求二次函数的解析式．（2）已知点P在二次函数的图象上，且有S△PAB=8，求点P的坐标．【解答】解：（1）由题意，设二次函数为y=a（x﹣1）2+4，令y=0，解得：x=1±，故A的横坐标为x=1+，即|OA|=﹣+2=1+，解得：a=﹣1，则二次函数的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；（2）令y=0，得A、B坐标为（3，0），（﹣1，0），则|AB|=4，设点P的坐标为（x，y），由题意S△PAB=8，得|y|=4，则y=±4，即4=﹣x2+2x+3或﹣4=﹣x2+2x+3，解得：x=1或x=1±2，故所求点P的坐标为（1，4），（1+2，﹣4），（1﹣2，﹣4）．27．（1997•新疆）已知抛物线经过一直线y=3x﹣3与x轴、y轴的交点，并经过（2，5）点．求：（1）抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点坐标及对称轴；（3）当自变量x在什么范围内变化时，函数y随x的增大而增大？（4）在坐标系内画出抛物线的图象．【解答】解：（1）设所求抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则由直线y=3x﹣3，令y=0，解得x=1，则与x轴交点为（1，0），令x=0，解得y=﹣3，则与y轴交点为（0，﹣3）抛物线又过点（2，5），则，解得：，故所求抛物线为y=x2+2x﹣3；（2）由x=﹣=﹣=﹣1，y===﹣4，则抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），对称轴是直线x=﹣1；（3）∵a=1＞0，∴当x≥﹣1时，函数y的值随x的增大而增大；（4）作图如图：28．（2000•安徽）已知，二次函数y=ax2﹣5x+c的图象如图．（1）求这个二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标；（2）观察图象，回答：何时y随x的增大而增大；何时y随x的增大而减小．【解答】解：（1）根据二次函数y=ax2﹣5x+c的图象可得（2分）解得a=1，c=4；（4分）所以这个二次函数的解析式是y=x2﹣5x+4；（5分）y=x2﹣5x+4=﹣=，（7分）它的图象的顶点坐标（）；（8分）（2）当x＞，y随x的增大而增大；（10分）当x＜，y随x的增大而减小．（12分）注：①顶点坐标如用公式得出同样给分；②对第（2）小题，如回答，函数y=x2﹣5x+4的图象在对称轴右侧部分，y随x的增大而增大；在对称轴的左侧部分，y随x的增大而减小；也视为正确，同样给分．29．（2000•昆明）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过0（0，0），A（1，﹣1），B（﹣2，14）和C（2，m）四点．求这个函数的解析式及m的值．【解答】解：由题意得，解得；故此函数的解析式为y=2x2﹣3x．把C（2，m）代入抛物线中，得：2×4﹣3×2=2，故m=2．30．（2002•包头）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，0）与（2，5）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y=x2+bx+c解析式的题目，使所求得的二次函数与（1）的相同．【解答】解：（1）把点（1，0），（2，5）代入y=x2+bx+c，得，解得所以这个二次函数的解析式为：y=x2+2x﹣3（2）由（1）知：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4∴抛物线的对称轴为：x=﹣1因此题目可设计为：已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（1，0），且对称轴为x=﹣1 求这个二次函数的解析式．。
