【真题】15年福建省泉州市南安市龙泉中学高三(上)数学期中试卷含答案(文科)

南安一中2015～2016学年度上学期期中考高三数学（文）试卷注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。

按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4．保持答题纸纸面清洁，不破损。

考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回. 5．柱体体积公式V Sh =其中S 为底面面积，h 为高锥体公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积、体积公式24S πR =，343V πR =，其中为球的半径．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合{11}A x x =-≤≤，{02}B x x =≤≤，则AB =（ ）A. [1,0]-B. [1,2]-C. [0,1]D. (,1][2,)-∞+∞2．设复数1z i =+（是虚数单位），则2z=（ ） A. 1i - B. 1i +C. 1i --D. 1i -+31,2==a b ，且⊥a b ，则||+a b 为（ ）C. D.4．下列函数中，是奇函数且在区间（0,1）内单调递减的是（ ）A ．12log y x = B ．1y x=C ．3y x = D ．x y tan =5．角的终边过点(1,2)P -，则sin α等于（ ）A ．． 6． 已知等比数列{}n a 的公比2q =，前项和为n S ,若372S =，则6S 等于（ ）A ．312 B ．632 C ．63 D ．12727．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A ．2+B ．2+C ．43D ．238．函数sin()y x ωϕ=+的部分图像如图，则()2f π=（ ）A ．12-B ．12C ． D9．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象是（ ）10. 将sin(2)4y x π=-的图像上所有点向左平移4π后得到)(x f y =的图像，则)(x f y =在[2π，0]上的最小值为（ ） A. 1- B. 22-C.0D. 23- 11．已知双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相交， 则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．C ．(2,)+∞D ．(1,2) 12.已知2()3y f x x =+的图象关于原点对称，若(2)3f =函数()()3g x f x x =-，则(2)g -的值（ ）A ．12B ．-12C ．-27D ． -21 二、填空题：每小题5分，共20分，请将答案填在横线上.13.已知函数()()()20lg 0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()(1)f f -=___________. 14．已知y x ,满足约束条件10,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则y x z 2+=的最大值为 ．15、已知两圆的圆心均在直线0x y c ++=上，且两圆相交于()()1,3,,1A B m -两点， 则= ．16、底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。

福建省惠安一中等三校2015届高三上学期期中联考文科数学试卷（解析版）一、选择题1．集合2{|20}A x x x =-≤，{|lg(1)}B x y x ==-，则AB 等于（ ）A ．{|01}x x <≤B ．{|12}x x ≤<C ．{|12}x x <≤D ．{|01}x x ≤< 【答案】D ． 【解析】试题分析：由题意可知：]2,0[=A ，)1,(-∞=B ，∴={|01}x AB x ≤<．考点：1．一元二次不等式；2．对数函数的定义域；3．集合的交集．2．已知平面向量(1,2)a =，(2,)a k =-，若a 与b 共线，则|3|a b +=（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．5 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵a 与b 共线，∴⇒=-⨯-⨯0)2(21k 4-=k ，∴3(1,2)a b +=，|3|5a b +=．考点：1．平面向量共线的坐标表示；2．向量模的计算．3．已知等差数列{}n a 满足32=a ，171=-n a ，)2(≥n ，100=n S ，则n 的值为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．11 【答案】A ． 【解析】试题分析：∵等差数列}{n a ，∴10101002)(2)(121=⇒=⇒⋅+=⋅+=-n n na a n a a S n n n ．考点：1．等差数列的前n 项和；2．等差数列的性质．4．在给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若b a >，则221ab-＞”的否命题为“若a b ≤，则221ab≤-”；③“2,11x R x ∀∈+≥”的否定是“2,11x R x ∃∈+≤”；④在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B ＞”的充要条件．其中不正确的命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C ． 【解析】试题分析：①：p 和q 只需至少有一个假命题，∴①错误；②根据否命题的定义，可知②正确；③：否定应是R x ∈∃，112<+x ，∴③错误；④：根据正弦函数的单调性，可知④正确，故选C ．考点：命题及其关系．5．已知10<<a ，1>b ，且1>ab ，则b M a 1log =，b N a log =，bP b 1log =，则这三个数的大小关系为（ ）A ．M N P <<B ．M P N <<C ．P M N <<D ．N M P << 【答案】B ． 【解析】试题分析：∵01a <<，1>ab ，∴1lo g 1lo g =>=a b M a a，1log log 1a a N b a=<=-， 又∵1log 1bP b==-，∴N P M << 考点：对数的性质．6．对于平面α，β，γ和直线a ，b ，m ，n ，下列命题中真命题是（ ） A ．若a m ⊥，a n ⊥，m α⊂，n α⊂，则a α⊥ B ．若//αβ，a αγ=，b βγ=，则//a bC ．若//a b ，b α⊂，则//a αD ．若a β⊂，b β⊂，//a α，//b α，则//βα 【答案】B ． 【解析】试题分析：A ：根据线面垂直的判定，还需a ，b 相交才有相应的结论，∴A 错误；B ：根据线面平行的性质，可知B 正确；C ：根据线面平行的判定可知，还需a α⊄才有相应的结论，∴C 错误；D ：根据面面平行的判定，还需a ，b 相交才有相应的结论，∴D 错误． 考点：空间中点线面的位置关系．7．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）A ．203π B ．6π C ．163π D ．103π 【答案】D ． 【解析】试题分析：根据三视图可知，此几何体为一半圆锥与半圆柱的组合，故体积221110(2221)233V πππ=⋅⋅+⋅⋅=． 考点：1．三视图；2．空间几何体的体积．8．如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB CD =，对角线AC ，DB 相交于点O ，若,,AD a AB b OC ===（ ）A ．36a b - B ．36a b + C ．233a b + D ．233a b - 【答案】B ． 【解析】试题分析：由题意得，BD AD AB a b =-=-，又∵CDOABO ∆∆，∴12C O D O C D O AO B A B ===， ∴22()33BO BD a b ==-，221()333AO AB BO b a b a b=+=+-=+，∴111236O C A O ab==+． 考点：平面向量的线性运算．9．函数()sin()f x x ωφ=+（其中||2πφ<）的图象如图所示，为了得到sin y x ω=的图象，只需把)(x f y =的图象上所有点（ ）个单位长度．A ．向右平移6π B ．向右平移12π C ．向左平移6π D ．向左平移12π 【答案】A ．【解析】试题分析：由图可得，7241234T T ππππω=-=⇒=⇒=，又∵()f x 过点7(,1)12π-，∴7sin(2)112πφ⋅+=-，∴3πφ=，∴()sin()sin(2)sin[2()]36f x x x x ππωφ=+=+=+，∴选A ．考点：sin()y A x ωφ=+的图象和性质．()f x 的解析式可以是（ ）B ．cos ()xf x x=C ．()cos f x x x =D ．3()()()22f x x x x ππ=--【答案】C ． 【解析】试题分析：A ：'()1cos 0f x x =+≥，∴()f x 在R 上单调递增，∴A 错误；B ：当0x →时，()f x →∞，∴B 错误；D ：()f x 不是奇函数，∴D 错误，只有C 符合图象中的信息，∴选C ．考点：函数图象判断．11．已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．(,2]-∞-C ．D ．(,1][2,)-∞+∞【答案】D ． 【解析】 试题分析：x ≤：()11x f x m x m m +=⇒+=⇒≤；0x >：1()2x f x m x m m x+=⇒+=⇒≥， 即实数m 的取值范围是(,1][2,)-∞+∞． 考点：函数与方程．12．定义域为[,]a b 的函数()y f x =图象的两个端点为A 、B ，(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中(1)x a b λλ=+-，[0,1]λ∈．已知向量(1)ON OA OB λλ=+-，若不等式||MN k ≤恒成立，则称函数()f x 在[,]a b 上“k 阶线性近似”．若函数1y x x=-在[1,2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为（ ）A ．[0,)+∞B ．1[,)12+∞C ．3[)2+∞D ．3[)2+∞【答案】D ．【解析】试题分析：由题意可知，(1,0)A ，3(2,)2B ，1(2,2)2M λλλ----，3(2,(1))2N λλ--，∴331331213|||(2)||(2)|||222222222MN λλλλλλλλ-≤---+=---+=+----，∵2122λλ-+≥=-2122λλ-=-，2λ=成立，又∵[0,1]λ∈，∴2[1,2]λ-∈，∴213222λλ-+≤-，∴m a x 2133||2222λλ-+-=--，即实数k 的取值范围是3[)2+∞．考点：1．新定义；2．基本不等式求最值；3．恒成立问题．二、填空题13．若函数：2232(03)293(3)(3)t t s t t ⎧+≤<⎪=⎨+-≥⎪⎩，则函数在1t =的切线方程为 ． 【答案】61s t =-． 【解析】试题分析：当03t ≤<时，'6s t =，∴1'|6t s ==，1t =时，5s =，∴切线方程为56(1)61s t s t -=-⇒=-．考点：导数的运用．14．某人玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子， ，第n 次走n 米放2n颗石子，当此人一共走了36米时，他投放石子的总数是 ． 【答案】510． 【解析】试题分析：由题意得，考虑到123836+++⋅⋅⋅+=，∴石子总数为812382(21)222251021-+++⋅⋅⋅+==-．考点：等比数列的前n 项和．15．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12x =对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= ．【答案】0． 【解析】试题分析：∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()()f x f x =--，又∵()f x 的图象关于直线12x =对称， ∴()(1)()(2)()(2)f x f x f x f x f x f x =-=--=--⇒=+，在()(1)f x f x =-中，令0x =，∴(0)(1)0f f ==，∴(0)(f f f ==⋅⋅⋅==，∴(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f ++++=．考点：奇函数的性质．16．已知菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则AM AN ⋅的最大值为 ． 【答案】9． 【解析】试题分析：如图，建立平面直角坐标系，设(,)N x y ，则A ，1()2M -，∴1()2AM =-，()AN x y =，∴1922AM AN x y ⋅=-+，作直线l ：0y +=，平移直线l ，可知，当x =，0y =时，mi n )9y +=-，∴m a x 99()922AM AN ⋅=+=．考点：1．平面向量数量积；2．线性规划．三、解答题17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n = （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若对任意的*∈N n ，m T n <恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()*∈-=N n n a n 12；（2）⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21． 【解析】试题分析：（1）考虑到⎩⎨⎧≥-==-2 ,1,11n S S n S a n n n ，因此可得111==S a ，2≥n 时，12)1(221-=--=-=-n n n S S a n n n ，从而通项公式()*∈-=N n n a n 12；（2）由（1）可知数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列，因此考虑利用裂项相消求其前n 项和：)12112171515131311(21+--++-+-+-=n n T n 111(1)2212n =-<+，从而可知实数m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21．试题解析：（1）1=n 时，111==S a ， 2分2≥n 时，12)1(221-=--=-=-n n n S S a n n n ，4分1a 适合上式，∴()*∈-=N n n a n 12； 6分（2）)121121(21)12)(12(111+--=+-=+n n n n a a n n 8分∴)12112171515131311(21+--++-+-+-=n n T n 11(1)221n =-+， 10分 ∵*∈N n ,∴21<n T 若对任意的*∈N n ，m T n <恒成立，则21≥m ，∴m 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21． 12分 ．考点：1．数列的通项公式；2．裂项相消法求数列的和．18．（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A ，B ，C ，所对的边长分别为a ，b ，c ,()cos ,cos m A C =，()32n c b =-，且m n ⊥．（1）求角A 的大小；（2）若a b =，且BC 边上的中线AM 求边a 的值． 【答案】（1）6A π=；（2）2a =． 【解析】试题分析：（1）根据平面向量数量积的坐标表示，由0m n ⋅=可得C a A c b c o s 3c o s )32(=-，再由正弦定理，将所得的表达式统一为角之间所满足的关系式：(2sin )cos cos B C A A C =，进一步化简可得2s i n si nc 3s i nc o 3s i n (B A C A A C +，从而c o s A =，6A π=；（2）由（1）可得6A π=，23C π=，设A C x =,则12MC x =，AM =在A M C ∆中，由余弦定理得：222c o s A C M CA C M C C A M+-⋅=，即2222()2c (7)22x x x x π+-⋅=，解得2x =，即2a =． 试题解析：（1）∵0m n ⋅=，∴C a A c b cos 3cos )32(=-， 2分∴(2sin )cos cos B C A A C =， 4分2sin cos cos cos )B A A C C A A C +，则2sin cos B A B =， 6分∴cos 2A =，∴6A π=； 8分（2）由（1）知6A π=，又∵b a =，∴23C π=， 9分 设AC x =，则12MC x =，AM =AMC ∆中，由余弦定理得：2222cos AC MC AC MC C AM +-⋅=， 11分 即2222()2cos 223x x x x π+-⋅=，解得2x =，即2a =． 12分考点：1．三角恒等变形；2．正余弦定理解三角形．19．（本小题满分12分）在直三棱柱（侧棱垂直底面）111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（1）求证：1BC A B ⊥；（2）若AD ，2AB BC ==，P 为AC 的中点，求三棱锥1P A BC -的体积．【答案】（1）详见解析；（2）1P A BC V -= 【解析】试题分析：（1）首先根据直三棱柱111ABC A B C -可得1A A BC ⊥，再由条件AD ⊥平面1A BC 易得AD BC ⊥，从而根据线面垂直的判定可证BC ⊥平面1A AB ，即有1BC A B ⊥；（2）根据条件中给出的数据可得60ABD ∠=，因此可得1122222ABC S AB BC ∆=⋅=⨯⨯=，再由P 为AC 的中点，因此可将1P A BC V -转化为求1A BCP V -，从而可得11111133P A BC A BCP BCP V V S AA --∆==⋅=⨯⨯．试题解析：（1）∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1A A ⊥平面ABC ，又∵BC ⊂平面ABC ，∴1A A BC ⊥，∵AD ⊥平面1A BC ，且BC ⊂平面1A BC ，∴AD BC ⊥，又∵1AA ⊂平面1A AB ，AD ⊂平面1A AB ,1A A AD A =, ∴BC ⊥平面1A AB ，又∵1A B ⊂平面1A BC ，∴1B C A B ⊥； 5分（2）在直三棱柱111ABC A B C - 中，1A A AB ⊥， ∵AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上，∴1AD A B ⊥，在Rt ABD ∆中，AD =2AB BC ==,sin AD ABD AB ∠==60ABD ∠=， 在1Rt ABA ∆中，1tan6023AA AB =⋅= 8分由（1）知BC ⊥平面1A A B ，AB ⊂平面1A A B ，从而B C A B⊥，1122222ABC S AB BC ∆=⋅=⨯⨯=， ∵P 为AC 的中点，112BCP ABC S S ∆∆==， 10分∴11111133P A BC A BCP BCP V V S AA --∆==⋅=⨯⨯=12分 考点：1．线面垂直的性质与判定；2．空间几何体的体积．20．（本小题满分12分）二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==，且最小值是14-． （1）求()f x 的解析式；（2）实数0a ≠，函数22()()(1)g x xf x a x a x =++-，若()g x 在区间(3,2)-上单调递减，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2()f x x x =-；（2）(,9][6,)-∞-+∞． 【解析】试题分析：（1）根据条件(0)(1)0f f ==可设()(1)(0)f x a x x a =-≠，配方可得221()()24a f x ax ax a x =-=--，再由()f x 的最小值是14-，从而144a -=-，即有1a =，2()f x x x=-；（2）2232222322()()(1)g x xf x a x a x x x ax x a x x ax a x =++-=-++-=+-，从而22'()32(3)()g x x ax a x a x a =+-=-+，因此()g x 存在两个极值点3a x =或x a =-，再由条件()g x 在区间(3,2)-上单调递减，因此需对3a和a -的大小关系进行分类讨论，即可得到关于a 的不等式组， 当3a a >-，即0a >时，由'()0g x <，得3a a x -<<， ∴()g x 的减区间是(,)3a a -，又∵()g x 在区间(3,2)-上单调递减，∴3623a a a -≤-⎧⎪⇒≥⎨≥⎪⎩（满足0a >），当3a a <-，即0a <时，由'()0g x <，得3ax a <<-， ∴()g x 的减区间是(,)3a a -，又∵()g x 在区间(3,2)-上单调递减，∴3932a a a ⎧≤-⎪⇒≤-⎨⎪-≥⎩（满足0a <），即实数a 的取值范围为(,9][6,)-∞-+∞．试题解析：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==，设()(1)(0)f x ax x a =-≠， 2分则221()()24a f x ax ax a x =-=--，又∵()f x 的最小值是14-，故144a -=-，解得1a =，∴2()f x x x =-； 6分 ；（2）2232222322()()(1)g x xf x a x a x x x ax x a x x ax a x =++-=-++-=+-， 7分∴22'()32(3)()g x x ax a x a x a =+-=-+，由'()0g x =，得3ax =或x a =-，又∵0a ≠，故3a a ≠-， 8分 当3a a >-，即0a >时，由'()0g x <，得3a a x -<<， ∴()g x 的减区间是(,)3aa -，又∵()g x 在区间(3,2)-上单调递减，∴3623a a a -≤-⎧⎪⇒≥⎨≥⎪⎩（满足0a >）， 10分 当3a a <-，即0a <时，由'()0g x <，得3ax a <<-， ∴()g x 的减区间是(,)3aa -，又∵()g x 在区间(3,2)-上单调递减，∴3932aa a ⎧≤-⎪⇒≤-⎨⎪-≥⎩（满足0a <），综上所述得9a ≤-，或6a ≥，∴实数a 的取值范围为(,9][6,)-∞-+∞． 12分 ．考点：1．二次函数的解析式；2．导数的运用． 21．（本小题满分12分）如图，已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，边BC 在直线MN 上，E 是线段BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ，其中2AE =，记FEN α∠=，EFC ∆的面积为S ．（1）求S 与α之间的函数关系；（2）当角α取何值时S 最大？并求S 的最大值．【答案】（1）22sin cos 2sin S ααα=-，04πα≤≤；（2）当8πα=时，EFC ∆的面积S1．【解析】 试题分析：（1）过点F 作FH MN ⊥，H 为垂足，易证ABE EHF ∆≅∆，从而EAB FEH α∠=∠=，进一步可得2s 2sin EC BC EB co αα=-=-，FH BE =2sin α=，cos 2cos BC AB AE αα===，因此21(2s 2s i n)2s i n 2s i n2S c o αααααα=-⋅=-，其中04πα≤≤；（2）由题意可知，问题等价于求22sin cos 2sin S ααα=-在04πα≤≤下的最大值，利用二倍角的降幂变形，将S变形，从而可知22sin cos 2sin sin 2cos 21)14S παααααα=-=+-=+-，故当8πα=时，EFC ∆的面积S 1．试题解析：（1）过点F 作FH MN ⊥，H 为垂足，易得易证ABE EHF ∆≅∆，∴EAB FEH α∠=∠=，FH BE =， 2 分 在Rt ABE ∆中，sin 2sin EB AE αα==，cos 2cos BC AB AE αα===，∴2s 2sin EC BC EB co αα=-=-， 4 分 ∴FCE ∆的面积21(2s 2sin )2sin 2sin cos 2sin 2S co αααααα=-⋅=-，其中04πα≤≤； 6分（2）由（1）可知22sin cos 2sin sin 2cos 21)14S παααααα=-=+-=+-，9分由04π≤α≤，得32444ππ≤α+≤π，∴当1242παπ+=，即8πα=时，max 1S =， 11分∴当8πα=时，EFC ∆的面积S 1． 12 分考点：1．三角函数的运用；2．三角函数的最值． 22．（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x x =-+． （1）求函数()f x 的最大值； （2）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点， （ⅰ）求实数a 的值；（ⅱ）若对于121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()f x 的最大值为(1)1f =-；（2）（i ）1a =；（ii ）34(,2ln3](1,)3-∞-++∞．【解析】试题分析：（1）考虑通过求导判断函数()f x 的单调性求其最大值：22(1)(1)()2x x f x x x x+-'=-+=-，从而可知()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数，因此()f x 的最大值为(1)1f =-；（2）（i ）根据条件函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点，即'()f x 与'()g x 有相同的零点，从而由（1）(1)10g a '=-=，即有1a =；（ii ）首先根据前述问题可知1[,3]x e ∀∈，min max ()(3)92ln3,()(1)1f x f f x f ==-+==-，1[,3]x e ∀∈，min max 10()(1)2,()(3)3g x g g x g ====，而要使不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立，故需对k 的取值进行分类讨论，从而可得①当10k ->，即1k >时，对于121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立12max 1[()()]k f x g x ⇔-≥-12max [()()]1k f x g x ⇔≥-+，∵12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-，∴312k ≥-+=-，又∵1k >，∴1k >，②当10k -<，即1k <时，对于121,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()11f x g x k -≤-，12min 1[()()]k f x g x ⇔-≤-12min [()()]1k f x g x ⇔≤-+，∵121037()()(3)(3)92ln32ln333f xg x f g -≥-=-+-=-+，∴342ln33k ≤-+，又∵1k <，∴342ln33k ≤-+， 即实数k 的取值范围为34(,2ln3](1,)3-∞-++∞． 试题解析：（1）22(1)(1)()2(0)x x f x x x x x +-'=-+=->， 1分 由()00f x x '>⎧⎨>⎩得01x <<， 由()00f x x '<⎧⎨>⎩得1x >，∴()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数， 3分∴函数()f x 的最大值为(1)1f =-； 4分（2）∵()a g x x x =+，∴2()1ag x x'=-， （i ）由（1）知，1x =是函数()f x 的极值点，又∵函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点， ∴ 1x =是函数()g x 的极值点，∴(1)10g a '=-=，解得1a =， 7分 经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意； 8分（ⅱ）∵211()2f e e=--，(1)1f =-，(3)92ln 3f =-+， ∵2192ln321e -+<--<-， 即1(3)()(1)f f f e<<，∴1[,3]x e∀∈，min max ()(3)92ln3,()(1)1f x f f x f ==-+==-， 9分由（ⅰ）知1()g x x x =+，∴21()1g x x '=-，当1[,1)x e∈时，()0g x '<，当(1,3]x ∈时，()0g x '>，故()g x 在1[,1)e 为减函数，在(1,3]上为增函数，∵11110(),(1)2,(3)333g e g g e e =+==+=，而11023e e <+<，∴1(1)()(3)g g ge <<，∴1[,3]x e∀∈，min max 10()(1)2,()(3)3g x g g x g ====， 10分①当10k ->，即1k >时，对于121,[,3]x x e∀∈，不等式12()()11f x g x k -≤-恒成立12max 1[()()]k f x g x ⇔-≥-12max [()()]1k f x g x ⇔≥-+，∵12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-，∴312k ≥-+=-，又∵1k >，∴1k >， 12分②当10k -<，即1k <时，对于121,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()11f x g x k -≤-，12min 1[()()]k f x g x ⇔-≤-12min [()()]1k f x g x ⇔≤-+，∵121037()()(3)(3)92ln32ln333f xg x f g -≥-=-+-=-+， ∴342ln33k ≤-+，又∵1k <，∴342ln33k ≤-+， 综上，所求的实数k 的取值范围为34(,2ln3](1,)3-∞-++∞． 14分 考点：1．导数的运用；2．恒成立问题．。

2014-2015学年福建省泉州市南安市龙泉中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）已知全集U={﹣1，0，1，2，集合A={﹣1，2}，B={0，2}，则（∁U A）∩B等于（）A．{0}B．{2}C．{0，1，2}D．∅2．（5分）在复平面上，复数z=i（1+3i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0 D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞04．（5分）已知向量=（1，3），=（﹣2，m），“则m=”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知α为第二象限角，，则sin2α=（）A．B．C．D．6．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）7．（5分）已知数列{a n}为等差数列，且a1+a7+a13=π，则tan（a2+a12）的值为（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A． B． C． D．9．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．10．（5分）函数y=x﹣的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称12．（5分）函数y=f（x）有f（x）=﹣f（x+1），且x∈[﹣1，1]时f（x）=1﹣x2．函数g（x）=则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，4]内的零点个数为（）A．7 B．8 C．9 D．10二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13．（4分）已知=（3，﹣1），=（1，﹣2），则与的夹角为．14．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B=．15．（4分）曲线y=xlnx在x=e处的切线方程是．16．（4分）对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：其中为凸集的是（写出所有凸集相应图形的序号）．三、解答题（共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知角α的终边过点P（4，﹣3）（1）求sinα的值；（2）求•的值．18．（12分）已知x=2是函数f（x）=mx3+nx2（m≠0）的一个极值点（1）用含m的代数式表示n．（2）求函数f（x）的单调区间．19．（12分）已知数列{a n}是公差d=2的等差数列，且a2，a3，a4+1成等比（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=a n+2n，求数列{b n}前n项和S n．20．（12分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）21．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=0且a=4，b+c=5．求△ABC的面积．22．（14分）已知函数f（x）=e x﹣kx，（k∈R，x∈R）（1）当k=e时．求函数f（x）的极小值；（2）若k＞0，且对于任意x≥0总有f（x）＞0恒成立．求实数k的取值范围；（3）令g（x）=e x﹣3lnx，若至少存在一个实数x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0）成立．求实数k的取值范围．2014-2015学年福建省泉州市南安市龙泉中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）已知全集U={﹣1，0，1，2，集合A={﹣1，2}，B={0，2}，则（∁U A）∩B等于（）A．{0}B．{2}C．{0，1，2}D．∅【解答】解：∵全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，B={0，2}，∴∁U A={0，1}，则（∁U A）∩B={0}．故选：A．2．（5分）在复平面上，复数z=i（1+3i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：化简可得z=i（1+3i）=i+3i2=﹣3+i，∴复数z对应的点为（﹣3，1），在第二象限．故选：B．3．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0 D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞0【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”，∴命题的否定是“∃x∈R，x2﹣2x+4＞0”故选：B．4．（5分）已知向量=（1，3），=（﹣2，m），“则m=”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若⊥，则•=0，即﹣2+3m=0，解得m=，则m=是⊥的充分必要条件，故选：C．5．（5分）已知α为第二象限角，，则sin2α=（）A．B．C．D．【解答】解：因为α为第二象限角，，所以cosα=﹣=﹣．所以sin2α=2sinαcosα==．故选：A．6．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）【解答】解：由函数的解析式可得log2x≠0，∴，故函数的定义域（0，1）∪（1，+∞），故选：D．7．（5分）已知数列{a n}为等差数列，且a1+a7+a13=π，则tan（a2+a12）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴a1+a13=a2+a12=2a7，∵a1+a7+a13=π，∴3a7=π，解得．则tan（a2+a12）==﹣．故选：B．8．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A． B． C． D．【解答】解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）∵，∴取k=0，得φ=﹣故选：A．9．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴+=（+）+（+）=+=（+）=，故选：A．10．（5分）函数y=x﹣的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：令y=f（x）=x﹣x，∵f（﹣x）=﹣x+=﹣（x﹣）=﹣f（x），∴y=f（x）=x﹣x为奇函数，∴其图象关于原点成中心对称，故可排除C，D；又x=1时，y=1﹣1=0，当x＞1时，不妨令x=8，y=8﹣8=6＞0，可排除B，故选：A．11．（5分）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称【解答】解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得y=sin（x+）=cosx．即f（x）=cosx．∴f（x）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；∵cos=cos（﹣）=0，∴y=f（x）的图象关于点（﹣，0）、（，0）成中心对称．故选：D．12．（5分）函数y=f（x）有f（x）=﹣f（x+1），且x∈[﹣1，1]时f（x）=1﹣x2．函数g（x）=则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，4]内的零点个数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵函数y=f（x）有f（x）=﹣f（x+1），∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），∴f（x）是周期为2的函数，∵x∈[﹣1，1]时f（x）=1﹣x2．函数g（x）=画图如下；∴函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，4]内的零点个数7，二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13．（4分）已知=（3，﹣1），=（1，﹣2），则与的夹角为45°．【解答】解：因为已知=（3，﹣1），=（1，﹣2），所以cos==，所以与的夹角为45°；故答案为：45°．14．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B=或．【解答】解：∵在△ABC中，A=，a=1，b=，∴由正弦定理=得：sinB===，∵a＜b，∴A＜B，∴B=或．故答案为：或．15．（4分）曲线y=xlnx在x=e处的切线方程是y=2x﹣e．【解答】解：求导函数f′（x）=lnx+1，∴f′（e）=lne+1=2∵f（e）=elne=e∴曲线f（x）=xlnx在x=e处的切线方程为y﹣e=2（x﹣e），即y=2x﹣e故答案为：y=2x﹣e．16．（4分）对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：其中为凸集的是②③（写出所有凸集相应图形的序号）．【解答】解：①中取最左边的点和最右边的点的连线，不在集合中，故不为凸集；④中取两圆的公切线，不在集合中，故不为凸集；②③显然符合．故答案为：②③．三、解答题（共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知角α的终边过点P（4，﹣3）（1）求sinα的值；（2）求•的值．【解答】解：（1）∵角α的终边过点P（4，﹣3），∴sinα==﹣；（2）由三角函数的定义知，cosα==，tanα==﹣，∴原式===．18．（12分）已知x=2是函数f（x）=mx3+nx2（m≠0）的一个极值点（1）用含m的代数式表示n．（2）求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（1）f′（x）=3mx2+2nx；∵x=2是f（x）的一个极值点；∴12m+4n=0；∴n=﹣3m；（2）f（x）=mx3﹣3mx2，f′（x）=3mx2﹣6mx；令f′（x）=0得x=0，或2；①若m＞0，则x∈（﹣∞，0），和（2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（0，2）时，f′（x）＜0；∴f（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）上单调递增，这两个区间是f（x）的单调增区间；f（x）在[0，2]上单调递减，该区间是f（x）的单调递减区间；②若m＜0，则x∈（﹣∞，0），和（2，+∞）时，f′（x）＜0；x∈（0，2）时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）上单调递减，这两个区间是f（x）的单调递减区间；f（x）在[0，2]上单调递增，该区间是f（x）的单调递增区间．19．（12分）已知数列{a n}是公差d=2的等差数列，且a2，a3，a4+1成等比（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=a n+2n，求数列{b n}前n项和S n．【解答】解：（1）∵a2，a3，a4+1成等比数列，∴，∴=（a1+2）（a1+3×2+1），解得a1=2．∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（2）∵b n=a n+2n=2n+2n，∴数列{b n}前n项和S n==n2+n﹣2+2n+1．20．（12分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160（单位：元）【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：16021．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=0且a=4，b+c=5．求△ABC的面积．【解答】解：（1）函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣1，则：函数的最小正周期：T=令：（k∈Z）解得：（k∈Z）则：函数f（x）的单调递增区间为：[]（k∈Z）（2）由（1）得：f（x）=sin（2x﹣）﹣1，则：由于：0＜A＜π所以：解得：A=由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA解得：bc=322．（14分）已知函数f（x）=e x﹣kx，（k∈R，x∈R）（1）当k=e时．求函数f（x）的极小值；（2）若k＞0，且对于任意x≥0总有f（x）＞0恒成立．求实数k的取值范围；（3）令g（x）=e x﹣3lnx，若至少存在一个实数x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0）成立．求实数k的取值范围．【解答】解：（1）k=e时，f（x）=e x﹣ex，f′（x）=e x﹣e，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，∴f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）min=f（1）=0；（2）∵f′（x）=e x﹣k，k＞0令f′（x）＞0，解得：x＞lnk，令f′（x）＜0，解得：x＜lnk，∴f（x）在[0，lnk）递减，在（lnk，+∞）递增，∴f（x）min=f（lnk）=k﹣klnk＞0，解得：0＜k＜e，（3）若f（x）＜g（x），则e x﹣kx＜e x﹣3lnx，∴lnx ＜x ，令m （x ）=lnx ，n （x ）=x ，画出函数m （x ），n （x ）的图象，如图示：，由题意得：只需m （x ）的最小值小于g （x ）的最大值即可， ∴0＜，解得：k ＞0，赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。

准考证号 姓名（在此卷上答题无效）保密★启用前泉州市2015届普通中学高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：s =，其中x 为样本平均数； 柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列所给的函数中，定义域为),0[+∞的是A ．xy 1= B ．21x y = C ．x y -=3 D ．x y lg =2．下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是A ．B ．C ．D ．3．若集合}1{<=x x A ，}02{2<-=x x x B ，则=B AA ．)2,1(-B ．)1,0(C ． )2,0(D ．)2,1(4．若2tan =α，则ααααcos sin cos sin -+等于A ．3-B ．31-C ．31D ．35．若向量a ，b 不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是A ．2-a b 与2-+a bB ．35-a b 与610-a bC ．2-a b 与57+a bD ．23-a b 与1324-a b6．已知函数313,0,()log ,0,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 则方程()1f x =-解的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 7．“1a =”是“直线(2)30ax a y +-+=与20x ay --=垂直”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的结果为21，则判断框中应填入A ．3?n >B ．3?n <C ．4?n <D ．4?n >9．若双曲线122=-y x 与椭圆122=+y tx 有相同的焦点，则椭圆122=+y tx 的离心率为A ．23 B ．32 C ．36D ．33210．已知,a b 为两条互不垂直．．．．．．的异面直线，a α⊂，b β⊂. 下列四个结论中，不可．．能．成立的是A ．//b αB ．b α⊥C ．//βαD ．βα⊥11．函数()y f x =的图象如图所示，则函数()f x 有可能是A ．21sin x x ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．21cos x x ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．221sin x x ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．221cos x x ⎛⎫⎪⎝⎭12．直线()y k x m =-（,k m ∈R 且0k ≠）与圆221x y +=交于,A B 两点，记以Ox 为始边（O 为坐标原点），,OA OB 为终边的角分别为,αβ，则()sin αβ+的值 A ．只与m 有关 B ．只与k 有关， C ．与m ，k 都有关 D ．与m ，k 都无有关第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卷的相应位置． 13．复数ii-+11等于__________．（i 是虚数单位） 14．已知ABC ∆中，3=AB ，5=AC ，120=A ，则BC 等于__________．15．若实数y x ,满足约束条件4,1,360,x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪--≥⎩则x y 的取值范围是 ．16．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验．借鉴其原理，我们也可以采用计算机随机数模拟实验的方法来估计π的值：先由计算机产生1200对01之间的均匀随机数,x y ；再统计两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值. 假如统计结果是340=m ，那么可以估计π≈_____________．（精确到0.001）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知：等差数列{}n a 中，35a =，59a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2n an b =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，试求满足2015n S >的最小正整数n ．18.（本题满分12分）某校为了解高一年段学生的体重情况，先按性别分层抽样获取样本，再从样本中提取男、女生体重数据，最后绘制出如下图表. 已知男生体重在)62,50[的人数为45．（Ⅰ）根据以上图表，计算体重在[56,60)的女生人数x 的值；（Ⅱ）若从体重在[66,70)的男生和体重在[56,60)的女生中选取2人进行复查，求男、女生各有一人被选中的概率；（Ⅲ）若体重在[50,54)，[54,58)，[58,62)的男生人数比为7:5:3，试估算高一年段男生的平均体重．19．（本小题满分12分）已知函数()2cos 2sin 1222x x xf x =-+． （Ⅰ）若()65f α=，求cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）把函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移m ()0m >个单位，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，求m 的最小值．20．（本题满分12分）在如图1所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，ED ⊥平面ABCD ，//ED FC ，FC ED 21=，M 是AF 的中点． （Ⅰ）求证：//EM 平面ABCD ； （Ⅱ）求证：平面AEF ⊥平面FAC ；（Ⅲ）若图2是该多面体的侧视图，求四棱锥CDEF A -的体积．21．（本题满分12分）已知抛物线G ：()220y px p =>的焦点到准线的距离为2，过点()(),00Q a a >的直线l 交抛物线G 于,A B 两点（如图所示）． （Ⅰ）求抛物线G 的方程；（Ⅱ）有人发现，当点Q 为抛物线的焦点时，11QA QB+的值与直线l 的方向无关．受其启发，你能否找到一个点Q ，使得2211QAQB+的值也与直线l 的方向无关．22．（本小题满分14分）已知函数b ax x f -=)(，xx g e =)(（R ∈b a ,），)(x h 为)(x g 的反函数．图2图1（Ⅰ）若函数)()(x g x f y -=在1=x 处的切线方程为2)1(--=x y e ，求b a ,的值； （Ⅱ）当0b =时，若不等式()()f x h x >恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）当b a =时，若对任意]0,(0-∞∈x ，方程)()()(0x g x h x f =-在],0(e 上总有两个不等的实根，求a 的最小值．泉州市2015届普通中学高中毕业班质量检查文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，或受篇幅限制、或考虑问题还不够周全，遇多种解法时，一般提供最能体现试题考查意图的最常规和最典型的解法.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．B 2．D 3．B 4．D 5．C 6．C7．A 8．A 9．C 10．B 11．A 12．B 部分试题考查意图说明：第5题 考查基底概念——不共线，平面向量的运算. 第6题 考查分段函数、分类整合思想、对数运算.第7题 考查直线与直线位置关系和充要每件概念,考查运算求解能力. 第8题 考查程序框图、对数运算，考查运算求解能力与推理论证能力. 第9题 考查椭圆与双曲线的方程和性质，考查运算求解能力.第10题 考查空间线面位置关系及异面直线的概念，考查空间想象能力和推理论证能力. 第11题 考查三角函数和函数的奇偶性、单调性，考查推理论证和抽象概括能力，考查创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想等. 根据图象的对称性和函数的奇偶性先排除C ，D 选项；当→+∞x 时，210→x 且210>x，21cos1→x ，21cos ⎛⎫→→+∞ ⎪⎝⎭x x x ，排除B.也可根据单调性，确定A 或排除B. 第12题 显性考查直线与圆的位置关系，隐性考查三角函数的定义以及两角和的三角函数公式，考查推理论证和抽象概括能力以及创新意识，考查数形结合思想、特殊与一般思想、分类与整合思想等. 可考察直线1=-y x k 与圆的交点，得到sin 2+αβ与cos 2+αβ的表达式；可考虑按k 定m 变与k 变m 定分类，特殊化地考察()sin αβ+的值；也可通过作图，分析,αβ与倾斜角θ的关系判断答案.二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.13．i ； 14．7； 15．]23,41[； 16. 3.133. 部分试题考查意图说明：第16题 本题综合考查线性规划、随机模拟方法、几何概型等知识，体现对数据处理能力的考查，体现对以频率估计概率的统计思想的考查，体现对必然与或然思想的考查。

福建省泉州市南安三中2015-2016学年高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．若集合A={x|0≤x＜1}，B={x|x2＜2x}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x≤1}2．复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列命题中正确的结论个数是（）①“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件②命题“若ab=0，则a=0或b=0”的否命题是“若ab≠0，则a≠0且b≠0”③∃x0∈R，使．A．0 B．1 C．2 D．34．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（+λ）∥，则λ=（）A．B．C．1 D．25．在等差数列{a n}中，a9=，则数列{a n}的前11项和S11等于（）A．24 B．48 C．66 D．1326．已知等于（）A．B．C．D．7．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．8．下列函数中，既是奇函数又在区间[﹣2，2]上单调递增的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=a x+a﹣x（a＞0，a≠1）C．f（x）=ln D．f（x）=a x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）9．已知数列{a n}通项a n=10n（n∈N*），，则数列{b n}前n项和为（）A．B．C．D．10．直线y=与曲线y=2sin（x+）cos（x﹣）在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则|等于（）A．6πB．7πC．12π D．13π11．已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．（0，1] B．[1，] C．[1，2] D．[，2]12．已知函数f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数 b的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．求曲线所围成图形的面积．14．设f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数，g（x）=是奇函数，那么a+b的值为．15．已知点P是边长为4的正三角形ABC的边BC上的中点，则•（+）= ．16．已知y=sinx+cosx，给出以下四个命题：①若x∈[0，π]，则；②直线是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴；③在区间上函数y=sinx+cosx是增函数；④函数y=sinx+cosx的图象可由的图象向右平移个单位而得到．其中正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log2，S n=b1+b2+…b n，求使 S n﹣2n+1+47＜0 成立的正整数n的最小值．18．在用“五点法”画函数f（x）=Asinx（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一周期内的图象时，列表并填人了部分数据，如表：ωx+φ0 π2πx ①2π②5π③Asin（ωx+φ） 0 2 ④﹣2 0（1）请将上表中①②③④处数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g（x）的图象，求g（x）在z∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间．19．若函数在点P（2，f（2））处的切线为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）讨论方程f（x）=k实数解的个数．20．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=．D为AC延长线上一点，且CD=+1．（Ⅰ）求∠BCD的大小；（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积．21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在数列{b n}中，b1=5，b n+1=b n+a n，求数列{log9（b n﹣4）}的前n项和T n．22．已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f （x2）|成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年福建省泉州市南安三中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．若集合A={x|0≤x＜1}，B={x|x2＜2x}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即B={x|0＜x＜2}，∵A={x|0≤x＜1}，∴A∩B={x|0＜x＜1}．故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由z•i=3﹣i，得，∴复数z对应的点的坐标为（﹣1，﹣3），位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．下列命题中正确的结论个数是（）①“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件②命题“若ab=0，则a=0或b=0”的否命题是“若ab≠0，则a≠0且b≠0”③∃x0∈R，使．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】证明题．【分析】根据复合命题真假判断的真值表，可判断①的真假；根据否定命题即否定条件，也否定结论，及“p或q”的否定是“￢p且￢q”，可判断②；判断方程x2+2x+3=0根的个数，可判断③，进而可得答案【解答】解：①中，“p且q为真命题”⇒p，q都为真命题，⇒“p或q为真命题”，反之“p或q为真命题”时，⇒p，q至少一个为真命题，不一定⇒“p且q为真命题”，故“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故①错误；②中命题“若ab=0，则a=0或b=0”的否命题是“若ab≠0，则a≠0且b≠0”，故②正确；③方程x2+2x+3=0的△=4﹣12＜0，故方程无实数根，命题③错误；综上所述，三个命题中正确的命题个数为1．故选B【点评】本题考查的知识点是复合命题真假判断的真值表，四种命题，特称命题，难度不大，属于基础题型．4．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（+λ）∥，则λ=（）A．B．C．1 D．2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】根据所给的两个向量的坐标，写出要用的+λ向量的坐标，根据两个向量平行，写出两个向量平行的坐标表示形式，得到关于λ的方程，解方程即可．【解答】解：∵向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．∴=（1+λ，2）∵（+λ）∥，∴4（1+λ）﹣6=0，∴故选B．【点评】本题考查两个向量平行的坐标表示，考查两个向量坐标形式的加减数乘运算，考查方程思想的应用，是一个基础题．5．在等差数列{a n}中，a9=，则数列{a n}的前11项和S11等于（）A．24 B．48 C．66 D．132【考点】数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】根据数列{a n}为等差数列，a9=，可求得a6，利用等差数列的性质即可求得数列{a n}的前11项和S11．【解答】解：∵列{a n}为等差数列，设其公差为d，∵a9=，∴a1+8d=（a1+11d）+6，∴a1+5d=12，即a6=12．∴数列{a n}的前11项和S11=a1+a2+…+a11=（a1+a11）+（a2+a10）+…+（a5+a7）+a6=11a6=132．故选D．【点评】本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式，求得a6的值是关键，考查综合应用等差数列的性质解决问题的能力，属于中档题．6．已知等于（）A．B．C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；三角函数的求值．【分析】利用平方关系化弦为切，代入tanα=2求值．【解答】解：∵tanα=2，∴====．故选：A．【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的应用，关键是化弦为切，是基础题．7．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】函数f（x）=1+asinax的图象是一个正弦曲线型的图，其振幅为|a|，周期为，周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象．【解答】解：对于振幅大于1时，三角函数的周期为：，∵|a|＞1，∴T＜2π，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π．对于选项A，a＜1，T＞2π，满足函数与图象的对应关系，故选D．【点评】由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期，故振幅与周期相互制约，这是本题的关键．8．下列函数中，既是奇函数又在区间[﹣2，2]上单调递增的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=a x+a﹣x（a＞0，a≠1）C．f（x）=ln D．f（x）=a x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】证明题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】分别判断四个答案中是否满足既是奇函数又在[﹣2，2]上单调递增，易得到答案【解答】解：A．sinx在[]上单调递减；B．f（0）=2≠0，∴f（x）不是奇函数；C．f（﹣x）=ln=﹣ln=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，设x1，x2∈[﹣2，2]，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=ln﹣ln=ln，∵x1＜x2，∴3+x1＜3+x2，3﹣x2＜3﹣x1，∴＜1，∴ln＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在区间[﹣2，2]上单调递增，D．f′（x）=（a x+a﹣x）lna；∴0＜a＜1时，lna＜0，f′（x）＜0；∴f（x）单调递减．故选：C．【点评】（1）若奇函数经过原点，则必有f（0）=0，这个关系式大大简化了解题过程，要注意在解题中使用．（2）对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解．可导函数则可以利用导数解之．（3）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注．9．已知数列{a n}通项a n=10n（n∈N*），，则数列{b n}前n项和为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【专题】计算题；转化思想；消元法；等差数列与等比数列．【分析】通过数列{a n}通项公式及对数运算法则，裂项可知b n=（﹣），进而并项相加即得结论．【解答】解：∵数列{a n}通项a n=10n（n∈N*），，∴b n==（﹣），∴数列{b n}前n项和为（1﹣+﹣+…+﹣）=（1+﹣﹣），故选：C．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，利用裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．10．直线y=与曲线y=2sin（x+）cos（x﹣）在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则|等于（）A．6πB．7πC．12π D．13π【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知y=sin2x，依题意可求得M1，M2，M3，…M13的坐标，从而可求||的值．【解答】解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2cosxsinx=sin2x，∴由题意得：sin2x=，∴2x=2kπ+或2x=2kπ+，∴x=kπ+或x=kπ+，k∈Z，∵正弦曲线y=sin2x与直线y=在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，∴得M1（，0），M2（，0），M3（π+），M4（π+），…M13（6π+，0），∴=（6π，0），∴||=6π．故选A．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，着重考查正弦函数的性质，求得M1，M13的坐标是关键，属于中档题．11．已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．（0，1] B．[1，] C．[1，2] D．[，2]【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】画出函数的图象，令y=2求出临界值，结合图象，即可得到a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=的图象如下图所示：∵函数f（x）的值域是[0，2]，∴1∈[0，a]，即a≥1，又由当y=2时，x3﹣3x=0，x=（0，﹣舍去），∴a∴a的取值范围是[1，]．故选：B．【点评】本题考查分段函数及运用，考查函数的单调性及应用，考查数形结合的数学思想，是一道中档题．12．已知函数f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数 b的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，）【考点】导数的运算．【专题】导数的综合应用．【分析】求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，故可求实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=f（x）=，x＞0，∴f′（x）==，∴f（x）+xf′（x）=﹣=，∵存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，∴1+2x（x﹣b）＞0∴b＜x+，设g（x）=x+，∴b＜g（x）max，∴g′（x）=1﹣=，当g′（x）=0时，解的x=，当g′（x）＞0时，即＜x≤2时，函数单调递增，当g′（x）＜0时，即≤x＜2时，函数单调递减，∴当x=2时，函数g（x）取最大值，最大值为g（2）=2+=故选：B．【点评】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查函数的最值，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．求曲线所围成图形的面积．【考点】定积分．【分析】先由解的x的值，再利用定积分即可求得面积．【解答】解：由，解得x=0，1．∴曲线所围成图形的面积===．故答案是．【点评】利用定积分求图形的面积是通法，一定要熟练掌握其方法步骤．14．设f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数，g（x）=是奇函数，那么a+b的值为．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】由题意可得f（﹣x）=f（x）对任意的x都成立，代入整理可求a，由g（x）=是奇函数，结合奇函数的性质可知g（0）=0，代入可求b，从而可求a+b【解答】解：∵f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数∴f（﹣x）=f（x）对任意的x都成立∴lg（10x+1）+ax=lg（10﹣x+1）﹣ax∴=lg（10x+1）﹣x∴（2a+1）x=0∴2a+1=0即∵g（x）=是奇函数∴g（0）=1﹣b=0∴b=1故答案为：【点评】本题主要考查了奇偶函数的定义的应用，解题中要善于利用奇函数的性质f（0）=0（0在该函数的定义域内）可以简化基本运算．15．已知点P是边长为4的正三角形ABC的边BC上的中点，则•（+）= 24 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】整体思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由中点的向量表示形式可得=（+），再由向量数量积的定义和性质，化简整理即可得到所求值．【解答】解：由P为边长为4的正三角形ABC的边BC上的中点，可得=（+），•=||•||•cosA=4×4×=8，则•（+）=（+）2=（2+2+2•）=×（16+16+16）=24．故答案为：24．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的中点的表示形式，以及运算能力，属于基础题．16．已知y=sinx+cosx，给出以下四个命题：①若x∈[0，π]，则；②直线是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴；③在区间上函数y=sinx+cosx是增函数；④函数y=sinx+cosx的图象可由的图象向右平移个单位而得到．其中正确命题的序号为②④．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．【专题】计算题；综合题．【分析】函数y=sinx+cosx化为sin（x+），然后分别求解①②③④，判断它们的正误，即可得到选项．【解答】解：函数y=sinx+cosx=sin（x+），x∈[0，π]，y∈[﹣1．，]①错误；直线是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴，②正确；在区间上函数y=sinx+cosx是减函数，③不正确；④函数y=sinx+cosx的图象可由的图象向右平移个单位而得到．正确；故答案为：②④【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，正弦函数的对称性，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log2，S n=b1+b2+…b n，求使 S n﹣2n+1+47＜0 成立的正整数n的最小值．【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，根据2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项，建立方程组，从而可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）=2n﹣n，求出S n=b1+b2+…b n，再利用，建立不等式，即可求得使成立的正整数n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，依题意，∵2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项∴由①得 q2﹣3q+2=0，解得q=1或q=2．当q=1时，不合题意舍；当q=2时，代入（2）得a1=2，所以a n=2n．…．…（6分）（Ⅱ）=2n﹣n．…．…（7分）所以S n=b1+b2+…b n=（2+22++2n）﹣（1+2+…+n）=2n+1﹣2﹣﹣n2…．…（10分）因为，所以2n+1﹣2﹣﹣n2﹣2n+1+47＜0，即n2+n﹣90＞0，解得n＞9或n＜﹣10．…．…（12分）故使成立的正整数n的最小值为10．…．（13分）【点评】本题考查等比数列的通项，考查数列的通项与求和，考查解不等式，解题的关键是确定数列的通项与和，属于中档题．18．在用“五点法”画函数f（x）=Asinx（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一周期内的图象时，列表并填人了部分数据，如表：ωx+φ0 π2πx ①2π②5π③Asin（ωx+φ） 0 2 ④﹣2 0（1）请将上表中①②③④处数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g（x）的图象，求g（x）在z∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据用五点法作函数f（x）=Asinx（ωx+φ）的图象，求得表中①②③④处数据，并直接写出函数f（x）的解析式．（2）由条件利用 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）=2sin（x+），再根据整弦函数的单调性求得g（x）在z∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间．【解答】解：（1）由表格可得A=2，再根据ω•2π+φ=，ω•5π+φ=，求得ω=，φ=﹣，令x﹣=0，求得x=故①为．令x﹣=π，求得x=，Asin0=0，故②为，④为0．令x﹣=2π，求得x=，故③为．函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x﹣），（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到y=2sin（x﹣），再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g（x）=2sin[（x+π）﹣]=2sin（x+）的图象．由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，求得4kπ﹣≤x≤4kπ+，k∈Z，故g（x）在z∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间为[﹣，]．【点评】本题主要考查用五点法作函数f（x）=Asinx（ωx+φ）的图象，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．19．若函数在点P（2，f（2））处的切线为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）讨论方程f（x）=k实数解的个数．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；转化思想；分类法；导数的概念及应用．【分析】（1）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点，解方程可得a，b，进而得到f（x）的解析式；（2）求出f（x）的导数，求得单调区间和极值，结合图象，即可得到方程解的情况．【解答】解：（1）∵函数，f'（x）=x2+2ax﹣b，根据题意得f'（2）=4，即4a﹣b=0，又，即有+4a﹣2b+4=8﹣，解得，∴；（2）∵，∴f'（x）=x2+x﹣2=（x+2）（x﹣1），令f'（x）＞0解得x＜﹣2或x＞1，f'（x）＜0解得﹣2＜x＜1，即有f（x）的增区间为（﹣∞，﹣2），（1，+∞），减区间为（﹣2，1），即有x=1处取得极小值，且为，x=﹣2处取得极大值，且为．则当k＜或k＞时，方程k=f（x）有一个解；当k=或k=时，方程k=f（x）有两个解；当＜k＜时，方程k=f（x）有三个解．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查数形结合的思想方法，以及运算能力，属于中档题．20．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=．D为AC延长线上一点，且CD=+1．（Ⅰ）求∠BCD的大小；（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积．【考点】余弦定理的应用．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理求出∠BCD的正弦函数值，然后求出角的大小；（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可求BD的长，然后求出AC的长，即可求解△ABC的面积．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，，由正弦定理可得，即，所以．因为∠ACB为钝角，所以．所以．…（6分）（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可知BD2=CB2+DC2﹣2CB•DC•cos∠BCD，即，整理得BD=2．在△ABC中，由余弦定理可知BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA，即，整理得．解得．因为∠ACB为钝角，所以AC＜AB=2．所以．所以△ABC的面积．…．（13分）【点评】本题考查余弦定理的应用，解三角形，考查基本知识的应用．21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在数列{b n}中，b1=5，b n+1=b n+a n，求数列{log9（b n﹣4）}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）利用递推公式、等比数列的前n项和公式即可得出．（II）利用“累加求和”、等比数列与等差数列的前n项和公式、对数的运算性质即可得出．【解答】解：（I）∵S n=﹣1（n∈N*），∴当n=1时，a1=﹣1，解得a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：a n=3a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为3．∴a n=2•3n﹣1．（II）∵b n+1=b n+a n，∴b n+1﹣b n=2×3n﹣1．∴b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=2×（3n﹣2+3n﹣3+…+3+1）+5=2×+5=3n﹣1+4．∴log9（b n﹣4）==．∴数列{log9（b n﹣4）}的前n项和T n==．【点评】本题考查了递推关系的应用、“累加求和”、等比数列与等差数列的前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f （x2）|成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f （x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0又∵f（）=2ln=2﹣2ln2∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=，当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0 得 0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x）＜0 得 0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0 得＜x＜﹣；当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0，综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3++6a]=﹣4a+（a﹣2）ln3，∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3整理得ma＞﹣4a，∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m≤﹣．【点评】考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类讨论的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属难题．。

泉州市2015届普通中学高中毕业班质量检查文 科 数 学参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：s =，其中x 为样本平均数；柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列所给的函数中，定义域为),0[+∞的是A ．x y 1= B ．21x y = C ．x y -=3 D ．x y lg =2．下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是3．若集合}1{<=x x A ，}02{2<-=x x x B ，则=B AA ．)2,1(-B ．)1,0(C ． )2,0(D ．)2,1(4．若2tan =α，则ααααcos sin cos sin -+等于A ．3-B ．31-C ．31D ．35．若向量a ，b 不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是A ．2-a b 与2-+a bB ．35-a b 与610-a bC ．2-a b 与57+a bD ．23-a b 与1324-a b 6．已知函数313,0,()log ,0,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 则方程()1f x =-解的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．“1a =”是“直线(2)30ax a y +-+=与20x ay --=垂直”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的结果为21，则判断框中应填入A ．3?n >B ．3?n <C ．4?n <D ．4?n > 9．若双曲线122=-y x 与椭圆122=+y tx 有相同的焦点，则椭圆122=+y tx 的离心率为A ．23B ．32C ．36 D ．332 10．已知,a b 为两条互不垂直．．．．．．的异面直线，a α⊂，b β⊂. 下列四个结论中，不可能．．．成立的是A ．//b αB ．b α⊥C ．//βαD ．βα⊥11．函数()y f x =的图象如图所示，则函数()f x 有可能是A ．21sin x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．21cos x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．221sin x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．221cos x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．直线()y k x m =-（,k m ∈R 且0k ≠）与圆221x y +=交于,A B 两点，记以Ox 为始边（O 为坐标原点），,OA OB 为终边的角分别为,αβ，则()sin αβ+的值A ．只与m 有关B ．只与k 有关，C ．与m ，k 都有关D ．与m ，k 都无有关第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卷的相应位置．13．复数i i-+11等于__________．（i 是虚数单位）14．已知ABC ∆中，3=AB ，5=AC ， 120=A ，则BC 等于__________．15．若实数y x ,满足约束条件4,1,360,x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪--≥⎩则xy 的取值范围是 ．16．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验．借鉴其原理，我们也可以采用计算机随机数模拟实验的方法来估计π的值：先由计算机产生1200对01 之间的均匀随机数,x y ；再统计两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值. 假如统计结果是340=m ，那么可以估计π≈_____________．（精确到0.001）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知：等差数列{}n a 中，35a =，59a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2n an b =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，试求满足2015n S >的最小正整数n ．18.（本题满分12分）某校为了解高一年段学生的体重情况，先按性别分层抽样获取样本，再从样本中提取男、女生体重数据，最后绘制出如下图表. 已知男生体重在)62,50[的人数为45．（Ⅰ）根据以上图表，计算体重在[56,60)的女生人数x 的值；（Ⅱ）若从体重在[66,70)的男生和体重在[56,60)的女生中选取2人进行复查，求男、女生各有一人被选中的概率；（Ⅲ）若体重在[50,54)，[54,58)，[58,62)的男生人数比为7:5:3，试估算高一年段男生的平均体重．19．（本小题满分12分）已知函数()2cos 2sin 1222xxxf x =-+．（Ⅰ）若()65f α=，求cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）把函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移m ()0m >个单位，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，求m 的最小值．20．（本题满分12分）在如图1所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，ED ⊥平面ABCD ，//ED FC ，FC ED 21=，M 是AF 的中点．（Ⅰ）求证：//EM 平面ABCD ；（Ⅱ）求证：平面AEF ⊥平面FAC ；（Ⅲ）若图2是该多面体的侧视图，求四棱锥CDEF A -的体积．21．（本题满分12分）已知抛物线G ：()220y px p =>的焦点到准线的距离为2，过点()(),00Q a a >的直线l 交抛物线G 于,A B 两点（如图所示）．（Ⅰ）求抛物线G 的方程；（Ⅱ）有人发现，当点Q 为抛物线的焦点时，11QA QB +的值与直线l 的方向无关．受其启发，你能否找到一个点Q ，使得2211QA QB +的值也与直线l 的方向无关．22．（本小题满分14分）已知函数b ax x f -=)(，x x g e =)(（R ∈b a ,），)(x h 为)(x g 的反函数．（Ⅰ）若函数)()(x g x f y -=在1=x 处的切线方程为2)1(--=x y e ，求b a ,的值； （Ⅱ）当0b =时，若不等式()()f x h x >恒成立，求a 的取值范围；泉州市2015届普通中学高中毕业班质量检查文科数学试题参考解答及评分标准一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1．B 2．D 3．B 4．D 5．C 6．C7．A 8．A 9．C 10．B 11．A 12．B 部分试题考查意图说明：第5题 考查基底概念——不共线，平面向量的运算.第6题 考查分段函数、分类整合思想、对数运算.第7题 考查直线与直线位置关系和充要每件概念,考查运算求解能力.第8题 考查程序框图、对数运算，考查运算求解能力与推理论证能力.第9题 考查椭圆与双曲线的方程和性质，考查运算求解能力.第10题 考查空间线面位置关系及异面直线的概念，考查空间想象能力和推理论证能力. 第11题 考查三角函数和函数的奇偶性、单调性，考查推理论证和抽象概括能力，考查创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想等. 根据图象的对称性和函数的奇偶性先排除C ，D 选项；当→+∞x 时，210→x 且210>x ，21cos 1→x ，21cos ⎛⎫→→+∞ ⎪⎝⎭x x x ，排除B.也可根据单调性，确定A 或排除B.第12题 显性考查直线与圆的位置关系，隐性考查三角函数的定义以及两角和的三角函数公式，考查推理论证和抽象概括能力以及创新意识，考查数形结合思想、特殊与一般思想、分类与整合思想等. 可考察直线1=-y x k 与圆的交点，得到sin 2+αβ与cos 2+αβ的表达式；可考虑按k 定m 变与k 变m 定分类，特殊化地考察()sin αβ+的值；也可通过作图，分析,αβ与倾斜角θ的关系判断答案.二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.13．i ； 14．7； 15．]23,41[； 16. 3.133.部分试题考查意图说明：第16题 本题综合考查线性规划、随机模拟方法、几何概型等知识，体现对数据处理能力的考查，体现对以频率估计概率的统计思想的考查，体现对必然与或然思想的考查。

2014-2015学年福建省泉州市南安一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，图中阴影部分所表示的集合为（）A．{3}B．{1，2}C．{4，5}D．{1，2，3，4，5}2．（5分）在复平面上，复数z=对应点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）函数f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间是（）A． B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）4．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积等于（）A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm25．（5分）“m=1”是“直线mx+y+2=0与直线x+my﹣1=0相互平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β7．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值（）A．2 B．C．4 D．88．（5分）已知函数f（x）=log a（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=a x+b的大致图象是（）A． B．C．D．9．（5分）已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|﹣3|等于（）A．3 B．2 C． D．10．（5分）已知，则的值是（）A．B．C．D．11．（5分）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x n的值为（）A．B． C． D．112．（5分）定义运算：=a1b2﹣a2b1，将函数的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13．（4分）若等差数列{a n}的前5项之和S5=25，且a2=3，则a6=．14．（4分）已知实数x，y满足，则Z=2x+3y的最小值是．15．（4分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC 的面积为，则b=．16．（4分）在一次研究性学习中小李同学发现，以下几个式子的值都等于同一个常数M：①sin213°+cos217°﹣sin 13°cos 17°=M；②sin215°+cos215°﹣sin 15°cos 15°=M；③sin218°+cos212°﹣sin 18°cos 12°=M；④sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos 48°=M；⑤sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos 55°=M；请计算出M值，并将该同学的发现推广为一个三角恒等式．．三、解答题：本大题6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）已知三棱柱ADF﹣BCE中，DF⊥平面ABCD，AD=DC，G是DF的中点（Ⅰ）求证：BF∥平面ACG；（Ⅱ）求证：平面ACG⊥平面BDF．18．（12分）已知直线l与直线x+y﹣2=0垂直，且过点（2，1）（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．19．（12分）已知，且f（x）=．（I）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（a+2c）cosB=﹣bcosA 成立，求f（A）的取值范围．20．（12分）等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．（1）求a n与b n；（2）求和：．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，CB=3CG（Ⅰ）求证：PC⊥BC；（Ⅱ）求三棱锥C﹣DEG的体积；（Ⅲ）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；若不存在，说明理由．22．（14分）已知函数f（x）=ax﹣（2a﹣1）lnx+b．（Ⅰ）若f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x，求实数a、b的值；（Ⅱ）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）当a=1时，f（x）在区间上恰有一个零点，求实数b的取值范围．2014-2015学年福建省泉州市南安一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，图中阴影部分所表示的集合为（）A．{3}B．{1，2}C．{4，5}D．{1，2，3，4，5}【解答】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B 中．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U B）∩A，又全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，∵C U B={1，2}，∴（C U B）∩A={1，2}．则图中阴影部分表示的集合是：{1，2}．故选：B．2．（5分）在复平面上，复数z=对应点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：z==2﹣i，对应的点位（2，﹣1），在第四象限．故选：D．3．（5分）函数f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间是（）A． B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：∵连续函数f（x）=log2x+x﹣4在（0，+∞）上单调递增∵f（2）=﹣1＜0，f（3）=log23﹣1＞0∴f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间为（2，3）故选：C．4．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积等于（）A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm2【解答】解：该几何体为圆锥，故其表面积为S=5×6×π+π×32=24π，故选：C．5．（5分）“m=1”是“直线mx+y+2=0与直线x+my﹣1=0相互平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：m=1时，直线mx+y+2=0与直线x+my﹣1=0相互平行，是充分条件，若直线mx+y+2=0与直线x+my﹣1=0相互平行，则m=±1，不是必要条件，故选：A．6．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β【解答】解：若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故A错误；若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故B错误；若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；若l⊥α，l⊥β，则由平面与平面平行的判定定理知α∥β，故D正确．故选：D．7．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值（）A．2 B．C．4 D．8【解答】解：∵a＞0，b＞0，是3a与3b的等比中项，∴，化为3a+b=3，化为a+b=1．则+=（a+b）=2+=4，当且仅当a=b=时取等号，∴+的最小值是4．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=log a（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=a x+b的大致图象是（）A． B．C．D．【解答】解：由函数f（x）=log a（x+b）的图象为减函数可知0＜a＜1，f（x）=log a（x+b）的图象由f（x）=log a x向左平移可知0＜b＜1，故函数g（x）=a x+b的大致图象是B故选：B．9．（5分）已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|﹣3|等于（）A．3 B．2 C． D．【解答】解：∵向量，均为单位向量，且夹角是60°，∴|﹣3|====故选：D．10．（5分）已知，则的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（α﹣）+sinα=cosα+sinα=，∴cosα+sinα=，∴sin（α﹣）=sinαcos﹣cosαsin=﹣（cosα+sinα）=﹣．故选：D．11．（5分）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x n的值为（）A．B． C． D．1【解答】解：对y=x n+1（n∈N*）求导得y′=（n+1）x n，令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=k（x n﹣1）=（n+1）（x n﹣1），不妨设y=0，则x1•x2•x3…•x n=××，故选：B．12．（5分）定义运算：=a1b2﹣a2b1，将函数的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵定义运算：=a1b2﹣a2b1，∴函数==2=2sin（2x+）．∴函数f（x）的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得函数解析式为：g（x）=2sin[2（x+t）+]．∵g（x）=2sin[2（x+t）+]为奇函数，∴g（﹣x）=﹣g（x），∴，k∈Z．∴，k∈Z．∵t＞0，∴t的最小值为．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13．（4分）若等差数列{a n}的前5项之和S5=25，且a2=3，则a6=11．【解答】解：等差数列{a n}的前5项之和S5=25，∴S5===5a3=25，∴a3=5，又∵a2=3，∴公差d=5﹣3=2，∴a6=a3+3d=5+3×2=11故答案为：1114．（4分）已知实数x，y满足，则Z=2x+3y的最小值是9．【解答】解：易判断公共区域为三角形区域，如图所示：三个顶点坐标为A（3，7）、B（3，1）、C（6，4），将B（3，1）代入z=2x+3y得到最大值为9．故答案为：9．15．（4分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则b=．=acsinB，△ABC的面积为，a=3，B=，【解答】解：∵S△ABC∴×3c×=，即c=1，∴a=3，c=1，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=9+1﹣3=7，则b=．故答案为：16．（4分）在一次研究性学习中小李同学发现，以下几个式子的值都等于同一个常数M：①sin213°+cos217°﹣sin 13°cos 17°=M；②sin215°+cos215°﹣sin 15°cos 15°=M；③sin218°+cos212°﹣sin 18°cos 12°=M；④sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos 48°=M；⑤sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos 55°=M；请计算出M值，并将该同学的发现推广为一个三角恒等式．sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinα•cos（30°﹣α）=．【解答】解：由②得常数为，所以由归纳推理可得推广为一般规律的等式：sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin α•cos （30°﹣α）=．故答案为：sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin α•cos（30°﹣α）=．三、解答题：本大题6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）已知三棱柱ADF﹣BCE中，DF⊥平面ABCD，AD=DC，G是DF的中点（Ⅰ）求证：BF∥平面ACG；（Ⅱ）求证：平面ACG⊥平面BDF．【解答】证明：（Ⅰ）设AC、BD相交于点O，连结OG，∵AD=DC∴ABCD为菱形，∴O为BD的中点，∵G是FD的中点，∴OG∥BF；又∵OG⊂平面AGCBF⊄平面AGC，∴BF∥平面ACG…（6分）（Ⅱ）∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又∵DF⊥平面ABCDAC⊂平面ABCD，∴DF⊥AC；又∵BD∩DF=DBD、DF⊂平面BDF，∴AC⊥平面BDF，又∵AC⊂平面ACG，∴平面ACG⊥平面BDF．…（12分）18．（12分）已知直线l与直线x+y﹣2=0垂直，且过点（2，1）（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．【解答】解：（Ⅰ）∵l与x+y﹣2=0垂直，∴斜率k l=1；∵l过点（2，1），∴l的方程y﹣1=（x﹣2），即y=x﹣1．（Ⅱ）设圆的标准方程为（x﹣a）2+y2=r2，由题意可得，解得：a=3，r=2，可得圆的标准方程为（x﹣3）2+y2=4．19．（12分）已知，且f（x）=．（I）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（a+2c）cosB=﹣bcosA 成立，求f（A）的取值范围．【解答】解：（I）f（x）==2cos2x+2sinxcosx=2sin（2x+）+1，故函数的周期为π．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得（sinA+2sinC）cosB=﹣sinBcosA，即sinAcosB+2sinCcosB=﹣sinBcosA，sinAcosB+sinBcosA=﹣2sinCcosB，即sin（A+B）=﹣2sinCcosB，∴cosB=﹣，B=，∴f（A）=2sin（2A+）+1．由于0＜A＜，∴＜2A+＜，＜sin（2A+）≤1，2＜f（A）≤3，故f（A）的取值范围为（2，3]．20．（12分）等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．（1）求a n与b n；（2）求和：．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d为正整数，a n=3+（n ﹣1）d，b n=q n﹣1依题意有①解得，或（舍去）故a n=3+2（n﹣1）=2n+1，b n=8n﹣1（2）S n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）∴===21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，CB=3CG（Ⅰ）求证：PC⊥BC；（Ⅱ）求三棱锥C﹣DEG的体积；（Ⅲ）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC又∵ABCD是正方形∴BC⊥CD∵PD∩CD=D∴BC⊥平面PCD…（3分）又∵PC⊂面PBC（Ⅱ）解：∵BC⊥平面PCD，∴GC是三棱锥G﹣DEC的高…（5分）∵E是PC的中点，∴…（6分）∴…（8分）（Ⅲ）解：连结AC，取AC中点O，连结EO，GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG…（9分）下面证明之∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA，…（10分）又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG∴PA∥平面MEG…（11分）在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，∴△OCG≌△OAM，∴，∴所求AM的长为．…（12分）22．（14分）已知函数f（x）=ax﹣（2a﹣1）lnx+b．（Ⅰ）若f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x，求实数a、b的值；（Ⅱ）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）当a=1时，f（x）在区间上恰有一个零点，求实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）…（1分）依题意，…（2分）（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），=①当时，恒有f'（x）＞0故f（x）的单调递增区间为（0，+∞）…（5分）②当时，，令f'（x）=0得，，…（6分）f（x）及f'（x）的值变化情况如下表：…（8分）故f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为…（9分）（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣lnx+b，由（Ⅱ）知，f（x）在（0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数，∴f（x）的最小值为f（1）=1+b．…（10分）∵，f（e）=e﹣1+b，∴即：…（11分），∵f（x）在区间上恰有一个零点，∴即：…（13分）解得：b=﹣1或…（14分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数图象定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。

卜人入州八九几市潮王学校泉港一中，国光高三年段两校联考二零二零—二零二壹第一学期期中考数学〔文〕试卷〔全卷总分值是150分，考试时间是是120分钟〕一.选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个答案中，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕 1.R 为实数集，M =}02|{2<-x x x ，N =}1|{-=x y x ，那么()R M C N ⋂=()A.}10|{<<x x B.}20|{<<x x C.{|01}x x <≤ D.Φ2.角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点()1,2--P ，那么θ2tan 等于〔〕A.45B.45- C.43D.43- 3.在等差数列{}n a 中，假设2201496a a +=，那么20152015S 的值是〔〕A.24B.48C.96D.106 4.设,x y ∈R ，向量(2,),(,2),(2,4)ax b y c ==-=-且c b c a //,⊥，那么x+y 等于〔〕A.0B.1 C.2D.80,0.a b >>3a 与3b 的等比中项，那么11a b+的最小值为() A.4B.2 C.1D.146.奇函数)(x f 在),(+∞-∞上是增函数,假设122(log 3),log (sin )7a f b f π⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦,0.3(0.2)c f =，那么,,a b c 的大小关系为〔〕A.a b c <<B.c a b <<C.c b a <<D.b c a << 7.以下说法中正确的选项是〔〕A.“(0)0f =〞是“函数()f x 是奇函数〞的充要条件；B.假设p ：0x ∃∈R ，20010x x -->，那么p ⌝：x ∀∈R ，210x x --<；()p q ⌝∧为真,p q 均为真D.“假设6πα=，那么1sin 2α=6πα≠，那么1sin 2α≠〞. 8.一几何体的三视图如下列图，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，那么该几何体的体积为A.168π+B.1683π+ C.1616π+ D.16163π+9.O为ABC∆的外心，AB=2，AC=3，x ＋2y=1，假设)0(≠+=xy AC y AB x AO ，那么BAC ∠cos 的值是〔〕A.43B.47 C.41D.415 10.正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆〔圆心即球心〕上，且点P 在球面上，假设16=-ABCDP V ，那么球O 的体积等于()A.π32B.332π C.π8 D.316π11.函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的局部图象如图示，那么以下说法不正确的选项是．．．．．．．〔〕 A.()sin(2)6f x x π=+B.()x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,125π成中心对称C.()x x f x k+⎪⎭⎫⎝⎛-=122π在R 上单调递增 D.函数()x f 的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于原点对称。

2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．（5分）某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=（）A．45 B．54 C．90 D．1262．（5分）如图，两个变量具有相关关系的图是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（2）（3）3．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．144．（5分）“m=1”是“函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）为了研究一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中底部周长大于100cm的株树大约中（）A．3000 B．6000 C．7000 D．80006．（5分）某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k==16，即每16人抽取一个人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是（）A．40 B．39 C．38 D．377．（5分）下列说法中正确的是（）A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大B．事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件8．（5分）如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为（）A．20 B．25 C．22.5 D．22.759．（5分）已知a∈{﹣2，0，1，3，4}，b∈{1，2}，则函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）运行如图所示的程序框图，若输出的S是254，则①应为（）A．n≤5？B．n≤6？C．n≤7？D．n≤8？11．（5分）一只蜜蜂在一个棱长为5的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于2，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A．B． C． D．12．（5分）有10个乒乓球，将它们任意分成两堆，求出这两堆乒乓球个数的乘积，再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积，如此下去，直到不能再分为止，则所有乘积的和为（）A．45 B．55 C．90 D．100二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．14．（5分）设a∈R，则“直线y=a2x+1与直线y=x﹣1平行”的条件是“a=1”．15．（5分）已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是．16．（5分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．18．（12分）2015年7月16日，电影《捉妖记》上映，上映至今全国累计票房已超过20亿，某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示．（1）根据已知条件，补充画完整频率分布直方图，并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；（2）现在从年龄属于[25，30）和[40，45）的两组中随机抽取2人，求他们属于同一年龄组的概率．19．（12分）某地区2006年至2012年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2006年至2012年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2014年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．．20．（12分）已知全集U=R，非空集合A=，B={x|（x﹣1+m）（x﹣1﹣m）≤0}（m＞0）（Ⅰ）当m=1时，求（∁U B）∩A；（Ⅱ）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．21．（12分）某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人参加了5次考试，成绩如下：（Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由；（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．22．（12分）如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．（1）求x，y的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）．2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．（5分）某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=（）A．45 B．54 C．90 D．126【解答】解：A种型号产品所占的比例为=，18，故样本容量n=90．故选：C．2．（5分）如图，两个变量具有相关关系的图是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（2）（3）【解答】解：（1）中两个变量之间是确定的函数关系，（2）中两个变量之间具有相关关系；（3）中两个变量之间具有相关关系；（4）中两个变量之间不具有相关关系；故两个变量具有相关关系的图是（2）（3），故选：D．3．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故选：B．4．（5分）“m=1”是“函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：若函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数，则3m≥3，解得：m≥1，故“m=1”是“函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数”的充分不必要条件，故选：B．5．（5分）为了研究一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中底部周长大于100cm的株树大约中（）A．3000 B．6000 C．7000 D．8000【解答】解：由图可知：底部周长小于100cm段的频率为（0.01+0.02）×10=0.3，则底部周长大于100cm的段的频率为1﹣0.3=0.7那么在这片树木中底部周长大于100cm的株树大约10000×0.7=7000人．故选：C．6．（5分）某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k==16，即每16人抽取一个人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是（）A．40 B．39 C．38 D．37【解答】解：根据系统抽样的原理：应取的数是：7+16×2=39故选：B．7．（5分）下列说法中正确的是（）A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大B．事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件【解答】解：由互斥事件和对立事件的概念知互斥事件是不可能同时发生的事件对立事件是A不发生B就一定发生的事件，故选：D．8．（5分）如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为（）A．20 B．25 C．22.5 D．22.75【解答】解：根据频率分布直方图，得；∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5，0.3+0.08×5=0.7＞0.5；∴中位数应在20～25内，设中位数为x，则0.3+（x﹣20）×0.08=0.5，解得x=22.5；∴这批产品的中位数是22.5．故选：C．9．（5分）已知a∈{﹣2，0，1，3，4}，b∈{1，2}，则函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从集合{﹣2，0，1，3，4}中任选一个数有5种选法，使函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的是a2﹣2＞0解得a＞或者a＜，所以满足此条件的a有﹣2，3，4共有3个，由古典概型公式得函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是；故选：B．10．（5分）运行如图所示的程序框图，若输出的S是254，则①应为（）A．n≤5？B．n≤6？C．n≤7？D．n≤8？【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．∵S=2+22+…+26+27=254，故①中应填n≤7．故选：C．11．（5分）一只蜜蜂在一个棱长为5的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于2，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A．B． C． D．【解答】解：由题知小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为（5﹣2）3=27，故安全飞行的概率为p=．故选：C．12．（5分）有10个乒乓球，将它们任意分成两堆，求出这两堆乒乓球个数的乘积，再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积，如此下去，直到不能再分为止，则所有乘积的和为（）A．45 B．55 C．90 D．100【解答】解：假设每次分堆时都是分出1个球，第一次分完后应该一堆是1个球，另一堆n﹣1个，则乘积为1×（n﹣1）=n﹣1；第二次分完后应该一堆是1个球，另一堆n﹣2个，则乘积为1×（n﹣2）=n﹣2；依此类推最后一次应该是应该一堆是1个球，另一堆1个，则乘积为1×1=1；设乘积的和为T n，则T n=1+2+…+（n﹣1）=n（n﹣1）当n=10时，T10=×10×（10﹣1）=45故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是20．【解答】解：执行程序框图，有a=1，b=1，s=2c=2，s=4不满足条件c＞5，a=1，b=2，c=3，s=7不满足条件c＞5，a=2，b=3，c=5，s=12不满足条件c＞5，a=3，b=5，c=8，s=20满足条件c＞5，退出循环，输出s的值为20．故答案为：20．14．（5分）设a∈R，则“直线y=a2x+1与直线y=x﹣1平行”的充分不必要条件是“a=1”．【解答】解：“直线y=a2x+1与直线y=x﹣1平行”⇔⇔a=±1．∴“直线y=a2x+1与直线y=x﹣1平行”的充分不必要条件是“a=1”．故答案为：充分不必要．15．（5分）已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是1﹣．【解答】解：∵三角形的三边长分别是5，5，6，∴三角形的高AD=4，则三角形ABC的面积S=，则该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2，对应的区域为图中阴影部分，三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的，圆的半径为2，则阴影部分的面积为S1=12﹣=12﹣2π，则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为，故答案为：1﹣．16．（5分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）．【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（45，50），联立得B（30，35），=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率则S△ABC为=，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．【解答】解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16种结果，每种情况等可能出现．（4分）（Ⅰ）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，则A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}．事件A由4个基本事件组成，故所求概率．答：取出的两个球上的标号为相同数字的概率为．（8分）（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}．事件B由7个基本事件组成，故所求概率．答：取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为．（12分）18．（12分）2015年7月16日，电影《捉妖记》上映，上映至今全国累计票房已超过20亿，某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示．（1）根据已知条件，补充画完整频率分布直方图，并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；（2）现在从年龄属于[25，30）和[40，45）的两组中随机抽取2人，求他们属于同一年龄组的概率．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，年龄在[25，30）的频率为1﹣（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.2，∴年龄在[25，30）的小矩形的高为=0.04，补充画完整频率分布直方图如图所示，∴估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为22.5×0.01×5+27.5×0.04×5+32.5×0.07×5+37.5×0.06×5+42.5×0.02×5=33.5；（2）年龄在[25，30）内的频率为0.2，对应的人数为20×0.2=4，记为a、b、c、d；年龄在[40，45）内的频率为0.02×5=0.1，对应的人数为20×0.1=2，记为E、F；现从这6人中随机抽取2人，基本事件是ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF，共15种，属于同一年龄组的基本事件是ab、ac、ad、bc、bd、cd、EF，共7种，所以，所求的概率是P=．19．（12分）某地区2006年至2012年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2006年至2012年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2014年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．．【解答】解：（Ⅰ）由题意得=4，==4.3，==0.5．=4.3﹣0.5×4=2.3即y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）∵线性回归方程为=0.5t+2.3；斜率k=0.5＞0，可知2006年至2012年该地区农村居民家庭人均纯收入逐渐增加，平均增加0.5千元，当t=9时，=0.5×9+2.3=6.8；预测该地区2014年农村家庭人均纯收入为6.8千元．20．（12分）已知全集U=R，非空集合A=，B={x|（x﹣1+m）（x﹣1﹣m）≤0}（m＞0）（Ⅰ）当m=1时，求（∁U B）∩A；（Ⅱ）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（I）由，解得﹣2≤x≤10，可得A=[﹣2，10]．当m=1时，B=[1﹣m，1+m]=[0，2]．∁U B=（﹣∞，0）∪（2，+∞）．∴（∁U B）∩A=[﹣2，0）∪（2，10]．（II）∵m＞0，∴B=[1﹣m，1+m]．∵q是p的必要不充分条件，∴B⊊A．∴，m＞0，且等号不能同时成立．解得0＜m≤3．21．（12分）某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人参加了5次考试，成绩如下：（Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由；（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．【解答】解：（Ⅰ）解法一：依题意有，答案一：∵∴从稳定性角度选甲合适．（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．答案二：∵乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为；乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为．所以选乙合适．（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．从这5次摸底考试中任意选取2次有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种情况．恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA，aB，aC，bA，bB，bC共6种情况．∴5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率．22．（12分）如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．（1）求x，y的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）．【解答】解：（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，65，64，所以x=6，因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5，7，7，19，和为41，所以y=3，（2）甲队中成绩不低于80的有80，82，88；乙队中成绩不低于80的有80，86，88，89，甲乙两队各随机抽取一名，种数为3×4=12，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88．种数为3+1+1=5，所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为p=，（3）因为甲的平均数为：=（64+65+71+71+76+76+77+80+82+88）=75，=[（64﹣75）2+（65﹣75）2+2×（71﹣75）2+2×（76﹣75）所以甲的方差S2甲2+（77﹣75）2+（80﹣75）2+（82﹣75）2+（88﹣75）2]=50.2，=[（56﹣75）2+2×（68﹣75）2+（70﹣75）2+（72﹣75）2+又乙的方差S2乙（73﹣75）2+（80﹣75）2+（86﹣75）2+（88﹣75）2+（89﹣75）2]=100.8，因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定．。

2014-2015学年福建省泉州市南安一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i2．（5分）已知向量=（1，1），=（3，m），∥（+），则m=（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．33．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．34．（5分）设a=log32，b=ln2，c=5，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b5．（5分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x ≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（）A．0.5 B．﹣0.5 C．1.5 D．﹣1.56．（5分）下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“a=2”是“函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件C．若命题P：∃n∈N，2n＞1000，则￢P：∀n∈N，2n≤1000D．命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x”是真命题7．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ω|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=sin3x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的个数（）①若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β；②若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α；③若m⊥β，m⊂α，则α⊥β；④若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10．（5分）已知函数y=f（x）对任意的x满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）A．f（0）＞f（） B．f（0）＜2f（）C．f（﹣）D．f（）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．11．（4分）设数列{a n}是等差数列，a1+a2+a3=﹣24，a19=26，则此数列{a n}前20项和等于．12．（4分）如图，已知幂函数y=x a的图象过点P（2，4），则图中阴影部分的面积等于．13．（4分）若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则角A为．14．（4分）已知，若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是．15．（4分）已知P是函数y=f（x）（x∈[m，n]）图象上的任意一点，M，N该图象的两个端点，点Q满足=，•=0（其中0＜λ＜1，为x轴上的单位向量），若||≤T （T为常数）在区间[m，n]上恒成立，则称y=f（x）在区间[m，n]上具有“T级线性逼近”．现有函数：①y=x+1；②y=；③y=x2；④y=x3．则在区间[1，2]上具有“级线性逼近”的函数的是（填写符合题意的所有序号）．三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=a n﹣n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．17．（13分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值．18．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x+m的图象经过点（，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最大值；（Ⅱ）若f（）=，α∈（0，），求sinα的值．19．（13分）已知=（sinx，2cosx），=（2cosx，﹣cosx），函数f（x）=﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和对称轴的方程；（Ⅱ）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0，求b+c 的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g （x2）的最小值．【选修4-2：矩阵与变换】21．（7分）已知矩阵A=（）的两个特征值为6和1，（Ⅰ）求a，b的值（Ⅱ）求矩阵A﹣1．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（7分）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（θ为参数，r＞0），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为=1，（Ⅰ）写出圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求半径r的值．【选修4-5：不等式选讲】23．选修4﹣2：矩阵与变换若a，b，c为正实数且满足a+2b+3c=6，（1）求abc的最大值；（2）求++的最大值．2014-2015学年福建省泉州市南安一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．2．（5分）已知向量=（1，1），=（3，m），∥（+），则m=（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3【解答】解：因为向量=（1，1），，所以=（4，1+m）；又，所以1×（1+m）﹣1×4=0，解得m=3．故选：D．3．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选：D．4．（5分）设a=log32，b=ln2，c=5，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵1=lne＞b=ln2＞a=log32＞log31=0，，∴a＜b＜c．故选：A．5．（5分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x ≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（）A．0.5 B．﹣0.5 C．1.5 D．﹣1.5【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴可得f（x+4）=f（x），∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．故选：B．6．（5分）下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“a=2”是“函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件C．若命题P：∃n∈N，2n＞1000，则￢P：∀n∈N，2n≤1000D．命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x”是真命题【解答】解：因为命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，所以A正确；由a=2能得到函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数，反之，函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数，a不一定大于2，所以“a=2”是“函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件，所以选项B正确；命题P：∃n∈N，2n＞1000，的否定为￢P：∀n∈N，2n≤1000，所以选项C正确；因为当x＜0时恒有2x＞3x，所以命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x”为假命题，所以D不正确．故选：D．7．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．当x→﹣∞时，y→+∞，排除B，当x→+∞时，x3＜3x﹣1，此时y→0，排除D，故选：C．8．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ω|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=sin3x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：∵选项只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故ω=3，又函数的图象的第二个点是（，0）∴3×φ=π于是，∴函数的图形要向右平移个单位，故选：B．9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的个数（）①若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β；②若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α；③若m⊥β，m⊂α，则α⊥β；④若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：①若m⊥α，m∥n，n∥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故①正确；②若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则由直线与平面平行的判定定理得m∥α，故②正确；③若m⊥β，m⊂α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故③正确；④若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故④错误．故选：D．10．（5分）已知函数y=f（x）对任意的x满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）A．f（0）＞f（） B．f（0）＜2f（）C．f（﹣）D．f（）【解答】解：构造函数g（x）=，则g′（x）==，∵对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（﹣，）单调递增，∵g（0）＜g（），即＜，∴f（0）＜f（），故A错误，∵g（0）＜g（），即＜，∴f（0）＜2f（）．故B正确．∵g（﹣）＜g（﹣），即＜，∴f（﹣）＜f（﹣），故C错误．∵g（）＞g（），即＞，∴f（）＞f（），故D错误，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．11．（4分）设数列{a n}是等差数列，a1+a2+a3=﹣24，a19=26，则此数列{a n}前20项和等于180．【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a2+a3=3a2=﹣24，即a2=﹣8，故a2+a19=﹣8+26=18，由等差数列的求和公式可得：数列{a n}前20项和S20==10（a1+a20）=10（a2+a19）=10×18=180．故答案为：18012．（4分）如图，已知幂函数y=x a的图象过点P（2，4），则图中阴影部分的面积等于．【解答】解：∵幂函数y=x a的图象过点P（2，4），∴4=2a，∴a=2∴幂函数为y=x2，∴阴影部分的面积等于x2dx==故选答案为．13．（4分）若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则角A为30°．【解答】解：∵三角形面积为2，BC=a=2，C=60°，=absinC=×2×b×=2，即b=4，∴S△ABC∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+16﹣8=12，即c=2，∴由正弦定理=得：sinA===，∵a＜c，∴A＜C，∴A=30°．故答案为：30°14．（4分）已知，若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是m．【解答】解：若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立成立只需f（x）min≥g（x）min，∵x1∈[0，2]，f（x）=x2∈[0，4]，即f（x）min=0x2∈[1，2]，g（x）=∈[，]∴g（x）min=∴0∴m故答案为：m15．（4分）已知P是函数y=f（x）（x∈[m，n]）图象上的任意一点，M，N该图象的两个端点，点Q满足=，•=0（其中0＜λ＜1，为x轴上的单位向量），若||≤T （T为常数）在区间[m，n]上恒成立，则称y=f（x）在区间[m，n]上具有“T级线性逼近”．现有函数：①y=x+1；②y=；③y=x2；④y=x3．则在区间[1，2]上具有“级线性逼近”的函数的是①②③（填写符合题意的所有序号）．【解答】解：①M（1，2），N（2，3），设，μ∈[0，1]，则P（1+μ，2+μ）．∵点Q满足=，•=0（其中0＜λ＜1，为x轴上的单位向量），∴Q（1+λ，2+λ），∴μ﹣λ=0．∴=，∴||≤在区间[1，2]上恒成立，即y=x+1在区间[1，2]上具有“级线性逼近”的函数．同理可得②③在区间[1，2]上具有“级线性逼近”的函数．故答案为：①②③．三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=a n﹣n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵S n=2a n﹣1，令n=1，解得a1=1．（2分）∵S n=2a n﹣1，∴…（3分）两式相减得a n=2a n﹣1，…（5分）∴{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，…（6分）∴．…（7分）（Ⅱ）解：∵b n=a n﹣n，，…（8分）=（20+21+…+2n﹣1）﹣（1+2+…+n）…（10分）=…（13分）（说明：等比求和正确得（2分），等差求和正确得1分）17．（13分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接A1C，交C1A于E，则E为A1C的中点，又点D是BC 的中点，所以DE∥A1B，…（3分）又DE⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，故A1B∥平面ADC1．…（5分）（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），C1（0，2，4），…（6分）=（0，2，0）是平面ABA1的一个法向量，…（7分）设平面ADC1的法向量=（x，y，z）．∵=（1，1，0），=（0，2，4），∴．取z=1，得y=﹣2，x=2∴平面ADC1的法向量=（2，﹣2，1），…（9分）平面ADC1与ABA1所成的二面角为θ，∴|cosθ|=||=．…（11分）从而sinθ=，即平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为…（13分）18．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x+m的图象经过点（，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最大值；（Ⅱ）若f（）=，α∈（0，），求sinα的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x﹣cos2x﹣1+m，∴f（）=sin﹣cos﹣1+m=m﹣1=0，即m=1，∴f（x）=sin（2x﹣），∴当2x﹣=+2kπ，即x=+kπ，k∈Z时，f（x）取最大值；（Ⅱ）f（）=sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=，∵α∈（0，），∴α﹣∈（﹣，），∴cos（α﹣）==，∴sinα=sin[（α﹣）+]=[sin（α﹣）+cos（α﹣）]=×（+）=．19．（13分）已知=（sinx，2cosx），=（2cosx，﹣cosx），函数f（x）=﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和对称轴的方程；（Ⅱ）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0，求b+c 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得==．…（2分）故f（x）的最小正周期为π，…（3分）由（k∈Z）得对称轴的方程为．…（4分）（Ⅱ）由f（A）=0得，即，∵，∴，∴，…（6分）由正弦定理得=…（8分）∵，∴，∴，∴b+c的取值范围为（1，2]．…（10分）20．（14分）已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g （x2）的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=x+alnx，∴f′（x）=1+，∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1．（2）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，∵定义域x＞0，∴x+≥2，x+＜b﹣1有解，只需要x+的最小值小于b﹣1，∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．（3）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）==0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1∴g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣）∵0＜x1＜x2，∴设t=，0＜t＜1，令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，则h′（t）=﹣＜0，∴h（t）在（0，1）上单调递减，又∵b≥，∴（b﹣1）2≥，∵0＜t＜1，∴4t2﹣17t+4≥0，∴0＜t≤，h（t）≥h（）=﹣2ln2，故所求的最小值为﹣2ln2．【选修4-2：矩阵与变换】21．（7分）已知矩阵A=（）的两个特征值为6和1，（Ⅰ）求a，b的值（Ⅱ）求矩阵A﹣1．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴矩阵A的特征多项式为：=λ2﹣（b+3）λ+3b﹣2a．∵矩阵的两个特征值为6和1，∴1和6是方程f（λ）=0的两个根．即：λ2﹣（b+3）λ+3b﹣2a=0．∴由韦达定理有，∴．（Ⅱ）∵A=，∴detA=3×4﹣2×3=6，∴A﹣1==．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（7分）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（θ为参数，r＞0），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为=1，（Ⅰ）写出圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求半径r的值．【解答】解：（Ⅰ）由圆C 的参数方程为（θ为参数，r ＞0），利用sin 2θ+cos 2θ=1可得圆C 的普通方程为：，由直线l 的极坐标方程为=1，展开为=1，∴直线l 的直角坐标方程为：x +y ﹣=0．（Ⅱ）圆C 的圆心C到l 的距离d==2，圆C 上的点到l 的距离的最大值为d +r=3． ∴r=1．【选修4-5：不等式选讲】23．选修4﹣2：矩阵与变换若a ，b ，c 为正实数且满足a +2b +3c=6， （1）求abc 的最大值； （2）求++的最大值．【解答】解：（1）∵6=a +2b +3c ≥3，∴abc ≤当且仅当a=2b=3c 即a=2，b=1，c=时等号成立， ∴abc 的最大值为；（2）由柯西不等式，∵×1+×1+×1≤=3，当且仅当a +1=2b +1=3c +1即a=2，b=1，c=时等号成立， ∴++的最大值为3．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。

2014-2015学年福建省惠安一中、养正中学、安溪一中联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|y=lg（1﹣x）}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x＜2}2．（5分）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，k），若与共线，则|3+|=（）A．3 B．4 C．D．53．（5分）已知等差数列{a n}满足a2=3，a n﹣1=17，（n≥2），S n=100，则n的值为（）A．8 B．9 C．10 D．114．（5分）给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．15．（5分）已知0＜a＜1，b＞1且ab＞1，则M=log a，N=log a b，P=log b．三数大小关系为（）A．P＜N＜M B．N＜P＜M C．N＜M＜P D．P＜M＜N6．（5分）对于平面α，β，γ和直线a，b，m，n，下列命题中真命题是（）A．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥αB．若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a ∥bC．若a∥b，b⊂α，则a∥αD．若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，则β∥α．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．πB．6πC．πD．π8．（5分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，对角线AC、DB相交于点O．若=，=，=（）A．﹣B．+C．+D．﹣9．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（）个单位长度．A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移10．（5分）函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=x+sinx B．C．f（x）=xcosx D．11．（5分）已知函数，则使方程x+f（x）=m有解的实数m的取值范围是（）A．（1，2） B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）12．（5分）定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b∈[a，b]，已知向量，若不等式恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k 阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置．13．（4分）若函数：s=＜0，则函数在t=1的切线方程为．14．（4分）某人玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子，…，第n次走n米放2n颗石子，当此人一共走了36米时，他投放石子的总数是．15．（4分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=．16．（4分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，T n＜m恒成立，求实数m的取值范围．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，=（cosA，cosC），=（c﹣2b，a），且⊥．（1）求角A的大小；（2）若a=b，且BC边上的中线AM的长为，求边a的值．19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若，AB=BC=2，P为AC的中点，求三棱锥P﹣A1BC的体积．20．（12分）二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0，且最小值是．（1）求f（x）的解析式；（2）实数a≠0，函数g（x）=xf（x）+（a+1）x2﹣a2x，若g（x）在区间（﹣3，2）上单调递减，求实数a的取值范围．21．（12分）如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，边BC在直线MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG，其中AE=2，记∠FEN=α，△EFC的面积为S．（Ⅰ）求S与α之间的函数关系；（Ⅱ）当角α取何值时S最大？并求S的最大值．22．（14分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，（i）求实数a的值；（ii）若对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．2014-2015学年福建省惠安一中、养正中学、安溪一中联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|y=lg（1﹣x）}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x＜2}【解答】解：集合A={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，B={x|y=lg（1﹣x）}={x|x＜1}，所以集合A∩B={x|0≤x＜1}．故选：B．2．（5分）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，k），若与共线，则|3+|=（）A．3 B．4 C．D．5【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣2，k），且与共线，∴k﹣2×（﹣2）=0，解得k=﹣4，∴=（﹣2，﹣4）；∴3+=（3×1﹣2，2×2﹣4）=（1，2），∴|3+|==；故选：C．3．（5分）已知等差数列{a n}满足a2=3，a n﹣1=17，（n≥2），S n=100，则n的值为（）A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：∵等差数列{a n}满足a2=3，a n﹣1=17，（n≥2），S n=100，∵100=，∴n=10故选：C．4．（5分）给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：①若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q 均为假命题；故错；②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得，故命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；正确；③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论：“∀x ∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1；故错；④在△ABC中，根据大边对大角及正弦定理即可得：“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．故正确．其中不正确的命题的个数是：2．故选：C．5．（5分）已知0＜a＜1，b＞1且ab＞1，则M=log a，N=log a b，P=log b．三数大小关系为（）A．P＜N＜M B．N＜P＜M C．N＜M＜P D．P＜M＜N【解答】解：0＜a＜1，b＞1知M＞0．N＜0，P=﹣1＜0代入选择支检（C），（D）被排除；又ab＞1⇒log a ab＜0⇒log a b+log a a＜0log a b＜﹣1，即log a b＜log b（A）被排除．故选：B．6．（5分）对于平面α，β，γ和直线a，b，m，n，下列命题中真命题是（）A．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥αB．若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a ∥bC．若a∥b，b⊂α，则a∥αD．若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，则β∥α．【解答】解：A．由a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，只有当m与n相交时，才能得到a⊥α，因此A不正确；B．由α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，利用两个平面平行的性质定理即可得出a∥b，因此正确；C．由a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α；D．由a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，只有a与b相交时，才能得出β∥α．故选：B．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．πB．6πC．πD．π【解答】解：由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据图中数据可知圆柱与圆锥的底面圆半径为2，圆锥的高为2，圆柱的高为1，∴几何体的体积V=V半圆锥+V半圆柱=××π×22×2+×π×22×1=．故选：C．8．（5分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，对角线AC、DB相交于点O．若=，=，=（）A．﹣B．+C．+D．﹣【解答】解：∵AB∥CD，AB=2CD，∴△DOC∽△BOA且AO=2OC，则=2=，∴=，而=+=+=，∴==（）=，故选：B．9．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（）个单位长度．A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移【解答】解：根据函数的图象：求得：T=π进一步利用：当x=|φ|＜所以：φ=即函数f（x）=要得到f（x）=sin2x的图象只需将函数f（x）=向右平移个单位即可．故选：A．10．（5分）函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=x+sinx B．C．f（x）=xcosx D．【解答】解：依题意函数是奇函数，排除D，函数图象过原点，排除B，图象过（，0）显然A不正确，C正确；故选：C．11．（5分）已知函数，则使方程x+f（x）=m有解的实数m的取值范围是（）A．（1，2） B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【解答】解：方程x+f（x）=m有解，即方程f（x）=m﹣x有解，在同一坐标系中画出和y=m﹣x的图象，根据图象，当x≤0时，m≤1，当x＞0时，m=x+≥2，当且仅当x=1时，等号成立，综上，m≤1，或m≥2故选D．12．（5分）定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b∈[a，b]，已知向量，若不等式恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k 阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．C．D．【解答】解：由题意，M、N横坐标相等，恒成立即k恒大于等于，则k≥的最大值，所以本题即求的最大值．由N在AB线段上，得A（1，0），B（2，）AB方程y=（x﹣1）由图象可知，MN=y1﹣y2=x﹣﹣（x﹣1）=﹣（+）≤（均值不等式）故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置．13．（4分）若函数：s=＜0，则函数在t=1的切线方程为y=6x﹣1．【解答】解：由题意，s=3t2+2，∴s′=6t，∴t=1时，s′=6，s=5，∴函数在t=1的切线方程为y﹣5=6（x﹣1），即y=6x﹣1．故答案为：y=6x﹣1．14．（4分）某人玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子，…，第n次走n米放2n颗石子，当此人一共走了36米时，他投放石子的总数是510．【解答】解：∵1+2+3+4+5+6+7+8=36，∴此人一共走了8次∵第n次走n米放2n颗石子∴他投放石子的总数是2+22+23+…+28==2×255=510故答案为：51015．（4分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0．【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，∴f（﹣x）=﹣f（x），，∴f（﹣x）=f（1+x）=﹣f（x）f（2+x）=﹣f（1+x）=f（x），∴f（0）=f（1）=f（3）=f（5）=0，f（0）=f（2）=f（4）=0，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0故答案为：016．（4分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为9．【解答】解：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，），D（1，），M（2，）．设N（x，y），N为菱形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为菱形ABCD 及其内部区域．因为，=（x，y），则=2x+y，令z=2x+，则，由图象可得当目标函数z=2x+y 过点C（3，）时，z=2x+y取得最大值，此时=9．故答案为9．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，T n＜m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（I）当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n ﹣1，当n=1时适合上式，∴a n=2n﹣1．（n∈N*）．（II）∵==．∴数列{}的前n项和为T n=+…+=，∵任意n∈N*，T n，对任意的n∈N*，T n＜m恒成立，∴．∴实数m的取值范围是．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，=（cosA，cosC），=（c﹣2b，a），且⊥．（1）求角A的大小；（2）若a=b，且BC边上的中线AM的长为，求边a的值．【解答】（本题12分）解：（1）由⊥，∴•=0（2b﹣）cosA=…（2分）所以（2sinB﹣）cosA=…（4分）∴2sinBcosA=，则2sinBcosA=sinB …（6分）所以cosA=，于是A=…（8分）（2）由（1）知A=，又a=b，所以C=（9分）设AC=x，则MC=，AM=，在△AMC中，由余弦定理得AC2+MC2﹣2AC•MCcosC=AM2…（11分）即x2+（）2﹣2x•，解得x=2，即a=2…（12分）19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若，AB=BC=2，P为AC的中点，求三棱锥P﹣A1BC的体积．【解答】解：（Ⅰ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC （2分）∵AD⊥平面A1BC，且BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AB，（5分）又A1B⊂平面A1BC，∴BC⊥A1B；（6分）（Ⅱ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AB．∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．在Rt∠△ABD中，，AB=BC=2，，∠ABD=60°，在Rt∠△ABA1中，．（8分）由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB⊂平面A1AB，从而BC⊥AB，．∵P为AC的中点，（10分）∴=．（12分）20．（12分）二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0，且最小值是．（1）求f（x）的解析式；（2）实数a≠0，函数g（x）=xf（x）+（a+1）x2﹣a2x，若g（x）在区间（﹣3，2）上单调递减，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0．设f（x）=ax（x﹣1）（a≠0），则．又f（x）的最小值是，故．解得a=1．∴f（x）=x2﹣x；…（4分）（2）g（x）=xf（x）+（a+1）x2﹣a2x=x3﹣x2+ax2+x2﹣a2x=x3+ax2﹣a2x．∴g'（x）=3x2+2ax﹣a2=（3x﹣a）（x+a）．…（6分）由g'（x）=0，得，或x=﹣a，又a≠0，故．…（7分）当，即a＞0时，由g'（x）＜0，得．…（8分）∴g（x）的减区间是，又g（x）在区间（﹣3，2）上单调递减，∴，解得，故a≥6（满足a＞0）；…（10分）当，即a＜0时，由g'（x）＜0，得．∴g（x）的减区间是，又g（x）在区间（﹣3，2）上单调递减，∴，解得，故a≤﹣9（满足a＜0）．…（13分）综上所述得a≤﹣9，或a≥6．∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣9]∪[6，+∞）．…（14分）21．（12分）如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，边BC在直线MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG，其中AE=2，记∠FEN=α，△EFC的面积为S．（Ⅰ）求S与α之间的函数关系；（Ⅱ）当角α取何值时S最大？并求S的最大值．【解答】解：（Ⅰ）过点F作FH⊥MN，H为垂足由三角知识可证明∠EAB=∠FEH=α，FH=BE…2 分在Rt△ABE中，EB=AEsinα=2sinα，BC=AB=AEcosα=2cosα所以EC=BC﹣EB=2cosα﹣2sinα…4 分所以△FCE的面积S==2sinαcosα﹣2sin2α，其中…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知S=2sinαcosα﹣2sin2α=…（9分）由，得，∴当，即时，…（11分）因此，当时，△EFC的面积S最大，最大面积为．…12 分22．（14分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，（i）求实数a的值；（ii）若对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）求导函数可得：f′（x）=﹣2x+=﹣（x＞0）由f′（x）＞0且x＞0得，0＜x＜1；由f′（x）＜0且x＞0得，x＞1．∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．∴函数f（x）的最大值为f（1）=﹣1．（Ⅱ）∵g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．（ⅰ）由（Ⅰ）知，x=1是函数f（x）的极值点，又∵函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，∴x=1是函数g（x）的极值点，∴g′（1）=1﹣a=0，解得a=1．（ⅱ）∵f（）=﹣﹣2，f（1）=﹣1，f（3）=﹣9+2ln3，∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜﹣1，即f（3）＜f（）＜f（1），∴x1∈[[，3]时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1由（ⅰ）知g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．当x∈[，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，3]时，g′（x）＞0．故g（x）在[，1）为减函数，在（1，3]上为增函数．∵，g（1）=2，g（3）=，而2＜＜，∴g（1）＜g（）＜g（3）∴x2∈[[，3]时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=①当k ﹣1＞0，即k ＞1时， 对于“x 1，x 2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k ≥[f （x 1）﹣g （x 2）]max +1∵f （x 1）﹣g （x 2）≤f （1）﹣g （1）=﹣1﹣2=﹣3， ∴k ≥﹣2，又∵k ＞1，∴k ＞1． ②当k ﹣1＜0，即k ＜1时， 对于“x 1，x 2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k ≤[f （x 1）﹣g （x 2）]min +1∵f （x 1）﹣g （x 2）≥f （3）﹣g （3）=﹣，∴k ≤．又∵k ＜1，∴k ≤．综上，所求的实数k 的取值范围为（﹣∞，]∪（1，+∞）．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mna a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。

泉州市2015届普通中学高中毕业班单科质量检查文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1．C 2．D 3．D 4．C 5．C 6．C7．B 8．B 9．A 10．A 11．C 12．D部分试题考查意图说明：题3 用代数方法运算量偏大，用几何直观判断比较简单. 向量首先属几何范畴，思考向量问题的解决方法，应首先考虑从几何直观入手；引入坐标表示向量后，才使向量进入代数范畴，体现坐标法思想这一课程本质.本题的位置排序，意在检测解题的数形结合意识，检查对课程价值的认识和对课程本质的把握是否到位.题6 方法一：注意到直线45z x y =+的斜率145k =-，直线34P P 的斜率23k =-，平移直线45z x y =+考察其纵截距的最大值，可判断答案. 方法二：特殊化地取正六边形的边长为1，分别求出各顶点的坐标，代入45z x y =+，再比较大小. 本题考查直线的斜率、线性规划等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想以及特殊与一般思想. 本题有意识地不给出具体的坐标（正六边形边长），意在体现对特殊与一般思想的考查. 题11 本题可再增加一个待定参数（如将圆的方程改为22220x y x Ey +++-=）以进一步提高试题品位，但难度将加大. 直线与圆的位置关系问题，特别强调充分利用平几性质以简化运算.题12 方法一：取焦点(,0)F c ，渐近线b y x a =.则直线:a ac EF y x b b =-+，求得(0,)ac E b ，2(,)a ab M c c ,2(,),(,)ac b ab FE c FM b c c =-=-u u u u r u u u v .得22221c e b e λ==-.再由12λ<<，解得e >方法二：特殊化，令2e =，取焦点(,0)F c ，渐近线y =，求直线:)EF y x c =-，解得4M c x =，由FE FM λ=u u u r u u u u r 得4(),(1,2)43c c c λλ-=-=∈，离心率可以为2，故排除A 、B 、C 选项.二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.13．28； 14．2425-； 15．8； 16. 5 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查统计的基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．解：（Ⅰ）众数：9.4；极差：4.0. ……………4分（Ⅱ）茎叶图如下：……………8分这20名学生视力数据的平均数为 4.71+4.86+4.97+5.04+5.12 4.920x ⨯⨯⨯⨯⨯==, 故这20名学生视力数据的方差为：()()()()()2222212 4.7 4.91+4.8 4.9 4.9 4.97 5.0 4.94 5.1 4.9220s ⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯+-⨯+-⨯⎣⎦２－－６＋ ()1=0.040.0600.040.0820⨯++++0.011=. ……………12分 18．本小题主要考查等比数列以及等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等. 满分12分.解：（Ⅰ）当2n ≥时，2n n S a n =-，①()1121n n S a n --=--，② ……1分由①-②得()1121n n n n S S a a ---=⋅--，整理得121n n a a -=+，……………3分 则2111211111=+++=++---n n n n a a a a . ………5分 所以数列{}1n a +是公比为2的等比数列． ……………6分（Ⅱ）当1n =时，11121S a a ==-，所以11a =. ……………7分由（Ⅰ）知1111(1)222n n n a a --+=+⨯=⨯，所以21n n a =-，…………9分所以()2log 1n n b a n =+=．……………10分 从而()1111111n n b b n n n n +==-⋅⋅++， 所以111111=1+1223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ．……………12分 19．本小题主要考查三角函数与解三角形等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．. 满分12分.解: （Ⅰ）由2cos c b b A -=，得sin sin 2sin cos C B B A -=．① ……………2分 在ABC ∆中，因为()C A B π=-+，所以()sin sin C A B =+． ……………3分 代入①式，得()sin sin =sin cos sin cos sin 2sin cos A B B A B B A B B A +-+-=， 整理得()sin sin A B B -=． ……………6分 因为角C 为钝角，所以,0222A B B -<-<<<πππ，所以A B B -=，故2A B =． ……………7分 （Ⅱ）由正弦定理得sin sin 2sin cos AC BC BC B A B B==⋅． ……………8分 又因为12AC =，所以2cos cos BC AC B B =⋅=． ……………9分 因为角C 为钝角，所以022A B B B <+=+<π，即06B π<<， ……………11分所以cos 12B <<.所以BC的取值范围为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． ……………12分20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等.满分12分.解：（Ⅰ）在面11A C 内过点P 画直线11//MN B C ，MN 与棱1111,A B D C 分别交于点,M N ，再连接,BM CN ．……………2分理由如下：∵四棱柱中11//B C BC ，//MN BC ∴. ,,M N P ∴与BC 共面，即所画的线,,MN BM CN 都与P 和BC 在同一个平面内. ……5分 （Ⅱ）锯开后较大木块为四棱柱11AA MB DD NC -．若P 为11A C 的中点，则M 为棱11A B 的中点． ()11111131412722AA MB AA B B MB B S S S =-=+⋅-⋅⋅=.…6分 取AB 中点H ，连接DH .ABCD Q 是边长为4的菱形，且060DAB ∠=，∴DH ==， ∵222AD AH DH =+，∴且DH AB ⊥． …7分Q 侧面ABCD ⊥底面11ABB A ，且平面I ABCD 底面11ABB A AB =，又DH AB ⊥，DH ⊂平面ABCD ,DH ∴⊥平面11ABB A ，……………11分11111733AA MB DD NC AA MB V S DH -∴=⋅=⋅⋅=．……………12分 21．本小题主要考查圆锥曲线、直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整1A合思想以及特殊与一般思想等．满分12分．解：（Ⅰ）依题意，可知抛物线G 的焦点为()1,0F . …………1分又因为抛物线G 的顶点在原点，所以2p =，抛物线G 的标准方程为24y x =. …………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线的准线方程为1x =-. ………4分设()()1122,,,A x y D x y . 根据抛物线的定义，得121,1AF x DF x =+=+， ………5分 所以1111AB AF BF x x =-=+-=. ……………6分 同理可得2CD x =．方法一：若直线AD 的斜率存在，设直线AD ：()1y k x =-（显然0k ≠）. 由()21,4,y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得()2222240k x k x k -++=， ……………7分 则有121x x ⋅=，从而12||||1AC BD x x ⋅==． ……………8分若直线AD 斜率不存在，则直线:1AD x =，此时121x x ==，亦有12||||1AB CD x x ⋅==．综上可知，||||AB CD ⋅恒为定值，且此定值为1． ……………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当直线AD 斜率存在时，221222244422k k AD AF DF x x a k k++=+=++=+==，……………10分 所以2214k a k +==， 因为()0,0O 到直线AD的距离为d ==，所以1122AOD S d AD a ∆=⋅⋅==； ……………11分当直线AD 斜率不存在时，则121x x ==，1224AD x x =++=，即4a =，此时亦有11422AOD S ∆=⋅⋅==综上，AOD S ∆=……………12分方法二：显然直线AD 的斜率不为零，故设直线AD ：1x my =+.由21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=， ……………7分 则有12124,4y y m y y +=⋅=-，从而1212||||(1)(1)AC BD x x my my ⋅==++221212()14(4)11m y y m y y m m m m =+++=⋅+-+=.即证得||||AB CD ⋅恒为定值，且此定值为1． ……………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，24(1)AD m a ==+=， ……………10分因为()0,0O 到直线AD的距离为d ==， ……………11分所以1122AOD S d AD a ∆=⋅⋅==. ……………12分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，121(||||)2AOD AOF FOD S S S y y ∆∆∆=+=+==………10分又因为24(1)AD m a ==+=， ……………11分所以AOD S ∆= ……………12分22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分. 解：（Ⅰ）因为函数()2(f x a =+()f x '=. ……………2分 设直线1y x =+与函数()y f x =的图象相切于点00(,)x y ，则0002(1,1,y a y x ⎧=+⎪=+⎪⎨⎪=⎪⎩即012(1,x a ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩解得001,2,0.x y a =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 所以所求的0a =． ……………4分 （Ⅱ）记()()()h x f x g x =-，则()ln h x x bx =-，其定义域为{}|0x x >.（i ）函数()()y f x g x =-在定义域内有两个极值点的必要条件是导函数'()h x 在定义域{}|0x x >内有两个零点. ……………5分11()(0)bx h x b x xx -'=--=>．令()0h x '=，得10bx =．令t =，则0t >.所以，'()h x 在定义域{}|0x x >内有两个零点等价于方程210bt t -+=有两个不等的正实根1t ，2t ， ……6分等价于1212140,10,b t t t t b ∆=->⎧⎪⎨=+=>⎪⎩解得104b <<． ……………7分 当104b <<时，设'()h x 在定义域{}|0x x >内的两零点分别为1x ，2x ，且12x x <，则1()bx h x x -'===.因为120,0,0x b x x >><<，所以，当x 1(0,)x ∈时，'()0h x <；当x 12(,)x x ∈时，'()0h x >；当x 2(,)x ∈+∞时，'()0h x <.所以，1x ，2x 都是函数()()()h x f x g x =-的极值点，即函数()()y f x g x =-在定义域内有两个极值点. ……………9分 所以104b <<.（ii ）由（i ）知方程10bx =的两根为1x ，2x ，则=1b=．从而1221x x b ⋅=，212212x x b b+=-=-. ……………10分 因为1211221212()()ln ln ln()()g x g x x bx x bx x x b x x +=+++=⋅++，所以122121()()2ln ()2ln 2g x g x b b b b b b+=-+-=-+-. …………11分 又因为bx x x f x f 222)()(2121=+=+，所以b b b x f x f x g x g --=++ln 21)()()()(2121. ……………12分记11()ln (0)24k b b b b b =--<<.，则()ln 2k b b '=--. 方法一：解()ln 20k b b '=--=，可得211(0,)4e b =∈；解()ln 20k b b '=--<，得2114e b <<；解()ln 20k b b '=-->，得210eb <<. ………13分所以，当21(0,)e b ∈时，()k b 单调递增；当21(,)e b ∈+∞时，()k b 单调递减.所以当21b =e 时，()k b 取得最大值，即max 22111()()2e e k b k ==+，所以211)()()()(22121+≤++e x f x f x g x g 成立． ……………14分方法二：令()ln 20k b b '=--=，可得211(0,)4e b =∈. 当b 变化时，()k b 与()k b '的变化情况如下表：………13分所以当21b =e 时，()k b 取得最大值，即max 22111()()2e e k b k ==+， 所以211)()()()(22121+≤++e x f x f x g x g 成立． ……………14分。

2014年秋季南侨中学、永春三中、永春侨中、荷山中学、南安三中高中毕业班摸底统一考试文科数学试题考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2.请将各题答案填在试卷后面的答题卡上．3.参考公式： 锥体的侧面积：l c s ⋅=底面周长侧21； 柱体的侧面积：l c s ⋅=底面周长侧 锥体的表面积：；底面积侧表面积s s s += 柱体的表面积：；底面积侧表面积s s s 2+= 锥体的体积公式：13V Sh =； 柱体的体积公式：V=Sh ，其中S 为底面面积，h 为高 第I 卷（选择题 共60分）一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合{}{}|33,|1A x x B x x =-<<=>，则集合A B ⋂为（ ） A ．[0,3) B ．[1,3)C ．(1,3)D ．(-3,1]2.在复平面内，复数21ii-对应的点的坐标为 ( ) A ．（-1，1）B.（1，1）C.（1，-1）D.（-1，-1）3.下列有关命题的说法正确的是 （ ）A.命题“,x R ∀∈, 均有210x x -+>”的否定是：“x R ∃∈, 使得210x x -+<” B.“3x =”是“22730x x -+=”成立的充分不必要条件C.线性回归方程a x b yˆˆˆ+=对应的直线一定经过其样本数据点()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅中的一个点D.若“()p q ∧⌝”为真命题，则“p q ∧”也为真命题 4.已知,a b ∈R ，且b a >,则（ ） A ．22b a > B ．1ab > C ．lg()0a b -> D ．11()()22a b < 5. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5α=,则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ）211俯视图侧视图正视图13A ． －7B ． －71 C ． 7 D ．71 6. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为26，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A.2y x =± B.2y x =± C. x y 22±=D.12y x =±8．函数()21log f x x x=-的零点所在的区间为（ ） A.()0,1B.()1,2C.()2,3D.()3,49．程序框图如图所示：如果上述程序运行的结果S ＝1320，那么判断框中应填入( )A ．K ＜10?B ．K ≤10?C ．K ＜9?D ．K ≤11?10．已知函数()()cos ,0,2f x x x π=∈有两个不同的零点12,x x ，且方程()()0f x m m =≠有两个不同的实根34,x x ，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝( ) A.12B ．－12 C.32D ．－3211．在平面区域002x y x y ⎧≥⎪≥⎨⎪+≤⎩内随机取一点，则所取的点恰好落在圆221x y +=内的概率是（ ）A ．2πB ．4π C ．8πD ．16π12.若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点()5,0A -，()5,0B 距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是．．“好曲线”的是（ ）A ．5x y +=B ．229x y += C ．221259x y += D ．216x y = 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．） 13. 如图是甲、乙两名篮球运动员2013年赛季每场比赛得分的 茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和为 . 14.已知函数()f x 满足()11f =且(1)2()f x f x +=， 则(1)(2)(10)f f f +++…= 15.圆心在曲线3(0)y x x=->上，且与直线3430x y -+=相切 的面积最小的圆的方程是_ 16.如右图，在直角梯形ABCD 中，3,2,,//===⊥AB DC AD AB AD DC AB ,点M 是梯形ABCD 内或边界上的一个动点，点N 是DC 边的中点，则AN AM ⋅的最大值是________三．解答题：本大题共6小题，满分70分。

2015-2016学年湖北省宜昌一中、龙泉中学联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知i是虚数单位，若1+i=z（1﹣i），则z的虚部为( )A．﹣1 B．﹣i C．i D．12．已知R为实数集，M=，，则M∩（∁R N）=( ) A．{x|0≤x＜1} B．{x|﹣1≤x＜1} C．{x|﹣1≤x≤0}D．{x|0≤x≤1}3．设a=log23，，c=3﹣2，则( )A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a4．已知，且，则tanα=( )A． B． C．D．5．下面几个命题中，假命题是( )A．“π是函数y=sinx的一个周期”或“2π是函数y=cosx的一个周期”B．“x2+y2=0”是“xy=0”的必要不充分条件C．“若a≤b，则2a≤2b﹣1”的否命题D．“∀a∈（0，+∞），函数y=a x在定义域内单调递增”的否定6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最小值为( )A．2 B．﹣4 C．﹣1 D．47．将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=对称，则φ的最小值为( )A． B． C． D．8．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，点M在AB边上，且AM=AB，则等于( )A．﹣1 B．1 C．﹣D．9．已知函数f（x）=ax2﹣1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x﹣y+2=0平行，若数列{}的前n项和为S n，则S2015的值为( )A．B．C．D．10．已知正实数x，y满足x+y+2=4xy，若对任意满足条件的x，y都有（x+y）2+1﹣m（x+y）≥0恒成立，则实数m的取值范围为( )A．B．C．D．11．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）单调递减，若数列{a n}是等差数列，且a3＜0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）的值( )A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负12．已知函数，其中a∈R．若对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则k的取值范围为( ) A．k≤0 B．k≥8 C．0≤k≤8D．k≤0或k≥8二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡的相应位置．）13．函数值域为__________．14．三个共面向量两两所成的角相等，且=__________．15．一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为__________．16．已知f（x）=alnx+，若对于∀x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2都有＞4，则a的取值范围是__________．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，且a+c=，．（Ⅰ）求cosB；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．设公差不为0的等差数列{a n}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=1，BC=2，AC⊥BC，D，E，F分别为棱AA1，A1B1，AC 的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面BCC1B1；（Ⅱ）若异面直线AA1与EF所成角为30°时，求三棱锥C1﹣DCB的体积．20．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC 在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．21．设函数f（x）=﹣ax．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若存在x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．22．已知函数f（x）=|x|．（1）解关于x不等式f（x﹣1）≤a（a∈R）；（2）若不等式f（x+1）+f（2x）≤+对任意a∈（0，1）恒成立，求x的取值范围．2015-2016学年湖北省宜昌一中、龙泉中学联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知i是虚数单位，若1+i=z（1﹣i），则z的虚部为( )A．﹣1 B．﹣i C．i D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：1+i=z（1﹣i），∴z====﹣i，∴z的虚部为1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了计算能力，属于基础题．2．已知R为实数集，M=，，则M∩（∁R N）=( ) A．{x|0≤x＜1} B．{x|﹣1≤x＜1} C．{x|﹣1≤x≤0}D．{x|0≤x≤1}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】先化简集合M、N，再求出∁R N，计算M∩（∁R N）即可．【解答】解：R为实数集，M=={y|y≥0}，={x|x≥1}，∴∁R N={x|x＜1}∴M∩（∁R N）={x|0≤x＜1}．故选：A．【点评】本题考查了补集的定义与运算问题，是基础题目．3．设a=log23，，c=3﹣2，则( )A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：a=log23＞1，＜0，0＜c=3﹣2＜1，∴a＞c＞b．故选：B．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知，且，则tanα=( )A． B． C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由，故可由向量共线的条件建立方程，解出角的正切，选出正确选项．【解答】解：，且，∴5cosα=6sinα，∴tanα=，故选：D．【点评】本题考查平面向量共线的坐标表示及三角方程化简求值，解题的关键是熟练掌握向量共线的坐标表示公式，及三角函数的商数关系．5．下面几个命题中，假命题是( )A．“π是函数y=sinx的一个周期”或“2π是函数y=cosx的一个周期”B．“x2+y2=0”是“xy=0”的必要不充分条件C．“若a≤b，则2a≤2b﹣1”的否命题D．“∀a∈（0，+∞），函数y=a x在定义域内单调递增”的否定【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；函数思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】由复合命题的真假判断说明A、D为真命题；利用充分必要条件的判断方法判断B；写出命题的否命题判断C．【解答】解：对于A，“π是函数y=sinx的一个周期”是假命题，“2π是函数y=cosx的一个周期”是真命题，∴π是函数y=sinx的一个周期”或“2π是函数y=cosx的一个周期”是真命题；对于B，由x2+y2=0，得x=y=0，则xy=0，反之，若xy=0，得x=0或y=0，不一定有x2+y2=0，∴x2+y2=0”是“xy=0”的充分不必要条件，故B是假命题；对于C，“若a≤b，则2a≤2b﹣1”的否命题是：“若a＞b，则2a＞2b﹣1”是真命题；对于D，“∀a∈（0，+∞），函数y=a x在定义域内单调递增”为假命题（a=1时y=a x=1），∴其否定为真命题．故选：B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判断方法，考查了命题的否定和否命题，是基础题．6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最小值为( )A．2 B．﹣4 C．﹣1 D．4【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x数形结合可得．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=x﹣z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（0，4）时，目标函数取最小值，代值计算可得z的最小值为﹣4，故选：B．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．7．将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=对称，则φ的最小值为( )A． B． C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的最小值．【解答】解：将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，可得函数y=2sin=2sin（2x+﹣2φ）的图象；再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得函数y=2sin（4x+﹣2φ）的图象；再根据所得图象关于直线x=对称，可得π+﹣2φ=kπ+（k∈z），即φ=﹣k∈z，∴φ的最小值为，故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，点M在AB边上，且AM=AB，则等于( )A．﹣1 B．1 C．﹣D．【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】由题意可得，，代入=（）•（）=，整理可求【解答】解：∵AM=AB，AB=2，AD=1，∠A=60°，∴∴=（）•（）===1+×4=1故选B【点评】本题主要考查了向量得数量积的基本运算、向量的加法的应用，属于向量知识的简单应用．9．已知函数f（x）=ax2﹣1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x﹣y+2=0平行，若数列{}的前n项和为S n，则S2015的值为( )A．B．C．D．【考点】数列的求和；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】数形结合；转化思想；导数的概念及应用；等差数列与等比数列．【分析】函数f（x）=ax2﹣1的图象在点A（1， f（1））处的切线l与直线8x﹣y+2=0平行，可得f′（x）|x=1=（2ax）|x=1=2a=8，解得a．可得f（x）=4x2﹣1，==．利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=ax2﹣1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x﹣y+2=0平行，∴f′（x）|x=1=（2ax）|x=1=2a=8，解得a=4．∴f（x）=4x2﹣1，f（n）=4n2﹣1．∴==．∴数列{}的前n项和为S n=+…+==．则S2015=．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究切线、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知正实数x，y满足x+y+2=4xy，若对任意满足条件的x，y都有（x+y）2+1﹣m（x+y）≥0恒成立，则实数m的取值范围为( )A．B．C．D．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】由（x+y）2+1﹣m（x+y）≥0可得，再令t=x+y，则a恒成立，求出t的范围，问题即转化为求函数a=的最小值问题．【解答】解：因为正实数x，y满足x+y+2=4xy，而4xy≤（x+y）2，代入原式得（x+y）2﹣（x+y）﹣2≥0，解得（x+y）≥2或（x+y）≤﹣1（舍去）由（x+y）2+1﹣m（x+y）≥0恒成立得恒成立，令t=x+y∈∪高h=8，故这个零件的表面积为2S+ch=152，故答案为：152【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．16．已知f（x）=alnx+，若对于∀x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2都有＞4，则a的取值范围是（4，+∞）．【考点】导数的几何意义；导数的运算．【专题】函数思想；导数的概念及应用．【分析】解法一，假设x1＜x2，把＞4化为f（x1）﹣f（x2）＜4（x1﹣x2），构造函数g（x）=f（x）﹣4x，利用g（x）的导数g'（x）＞0，求出a的取值范围．解法二：根据题意，得出f（x）的导数f′（x）＞4，求出a的取值范围．【解答】解：解法一，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∵＞4，f（x1）﹣f（x2）＜4（x1﹣x2），构造函数g（x）=f（x）﹣4x，∴g（x）在（0，+∞）是单调递增函数，∴g'（x）=f′（x）﹣4=﹣4＞0；即+x﹣4＞0；∴a＞（4﹣x）x，设函数t=4x﹣x2=﹣（x﹣2）2+4≤4，∴a＞4；∴a的取值范围是（4，+∞）．解法二：根据题意，f（x）=alnx+，其中x＞0，∴f′（x）=+x=＞4，∴a+x2＞4x，即a＞4x﹣x2=4﹣（x﹣2）2；∵4﹣（x﹣2）2≤4，当且仅当x=2时，取“=”，∴a＞4；∴a的取值范围是（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．【点评】本题考查了导数的概念以及不等式恒成立问题，解题时应根据导数的概念，化为f′（x）＞4，从而使问题得以解答．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，且a+c=，．（Ⅰ）求cosB；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式左边利用同角三角函数间基本关系化简，利用等比数列的性质及正弦定理化简后，求出sinB的值，即可确定出cosB的值；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，把a+c的值代入求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：（Ⅰ）由+=+==①，又∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，由正弦定理化简得：sin2B=sinAsinC，∵在△ABC中有sin（A+C）=sinB，∴代入①式得：=，即sinB=，由b2=ac知，b不是最大边，∴cosB==；（Ⅱ）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得，ac=a2+c2﹣2ac•=（a+c）2﹣ac，∵a+c=，∴ac=5，∴S△ABC=acsinB=2．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．18．设公差不为0的等差数列{a n}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由a2，a5，a14构成等比数列得关于d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得a n；（Ⅱ）由条件可知，n≥2时，=1﹣﹣（1﹣）=，再由（Ⅰ）可求得b n，注意验证n=1的情形，利用错位相减法可求得T n；【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2，a5，a14构成等比数列，∴=a2a14，即（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d=0（舍去），或d=2．∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由已知，，n∈N*，当n=1时，=；当n≥2时，=1﹣﹣（1﹣）=．∴=，n∈N*．由（Ⅰ），知a n=2n﹣1，n∈N*，∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，则T n=++…++．两式相减，得T n=+（++…+）﹣=﹣﹣，∴T n=3﹣．【点评】本题考查等差数列等比数列的综合应用、错位相减法对数列求和，属中档题．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=1，BC=2，AC⊥BC，D，E，F分别为棱AA1，A1B1，AC 的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面BCC1B1；（Ⅱ）若异面直线AA1与EF所成角为30°时，求三棱锥C1﹣DCB的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）要证EF∥平面BCC1B1，可证EF所在平面平行于平面BCC1B1，取AB的中点O，连接FO，EO，由棱柱的性质可得FO∥BC，EO∥BB1，再由面面平行的判定得到平面EFO∥平面BCC1B1，则答案得到证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠FEO异面直线AA1与EF所成角，得到∠FEO=30°，进一步得到BC⊥平面ACC1A1，再由已知求出EO的长度，把三棱锥C1﹣DCB的体积转化为B﹣CDC1的体积求解．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AB的中点O，连接FO，EO，∵E，F分别为棱A1B1，AC的中点，∴FO∥BC，EO∥B B1，FO∩EO=O，BC∩BB1=B，FO，EO⊂平面EFO，BC，BB1⊂平面BCC1B1，∴平面EFO∥平面BCC1B1，又EF⊂平面EFO，∴EF∥平面BCC1B1；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠FEO异面直线AA1与EF所成角，∴∠FEO=30°，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴EO⊥平面ABC，则EO⊥FO，∵，∴，由∵AC⊥BC，CC1⊥BC，∴BC⊥平面ACC1A1，∴=．【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．20．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC 在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】压轴题．【分析】（1）设直线l交v与t的函数图象于D点．由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t，当t=4时，D点坐标为（4，12），OT=4，TD=12，S=×4×12=24（km）；（2）分类讨论：当0≤t≤10时；当10＜t≤20时；当20＜t≤35时；（3）根据t的值对应求S，然后解答．【解答】解：设直线l交v与t的函数图象于D点，（1）由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t，当t=4时，D点坐标为（4，12），∴OT=4，TD=12，∴S=×4×12=24（km）；（2）当0≤t≤10时，此时OT=t，TD=3t（如图1）∴S=•t•3t=当10＜t≤20时，此时OT=t，AD=ET=t﹣10，TD=30（如图2）∴S=S△AOE+S矩形ADTE=×10×30+30（t﹣10）=30t﹣150当20＜t≤35时，∵B，C的坐标分别为，（35，0）∴直线BC的解析式为v=﹣2t+70∴D点坐标为（t，﹣2t+70）∴TC=35﹣t，TD=﹣2t+70（如图3）∴S=S梯形OABC﹣S△DCT=（10+35）×30﹣（35﹣t）（﹣2t+70）=﹣（35﹣t）2+675；（3）∵当t=20时，S=30×20﹣150=450（km），当t=35时，S=﹣（35﹣35）2+675=675（km），而450＜650＜675，∴N城会受到侵袭，且侵袭时间t应在20h至35h之间，由﹣（35﹣t）2+675=650，解得t=30或t=40（不合题意，舍去）．∴在沙尘暴发生后30h它将侵袭到N城．【点评】本题考查的是一次函数在实际生活中的运用，比较复杂，解答此题的关键是根据图形反映的数据进行分段计算，难度适中．21．设函数f（x）=﹣ax．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若存在x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f′（x）=﹣a+在（1，+∞）上恒成立，由此利用导数性质能求出a的最大值；（2）命题“若存在x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”，等价于“当x∈时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由此利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），∵f（x）在（1，+∞）上为减函数，∴f′（x）=﹣a+≤0在（1，+∞）上恒成立，﹣a≤﹣=（﹣）2﹣，令g（x）=（﹣）2﹣，故当=，即x=e2时，g（x）的最小值为﹣，∴﹣a≤﹣，即a≥∴a的最小值为．（Ⅱ）命题“若存在x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”，等价于“当x∈时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（Ⅰ）知，当x∈时，lnx∈，∈，f′（x）=﹣a+=﹣（﹣）2+﹣a，f′（x）max+a=，问题等价于：“当x∈时，有f（x）min≤”，①当﹣a≤﹣，即a时，由（Ⅰ），f（x）在上为减函数，则f（x）min=f（e2）=﹣ae2+≤，∴﹣a≤﹣，∴a≥﹣．②当﹣＜﹣a＜0，即0＜a＜时，∵x∈，∴lnx∈，∵f′（x）=﹣a+，由复合函数的单调性知f′（x）在上为增函数，∴存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）=0且满足：f（x）min=f（x0）=﹣ax0+，要使f（x）min≤，∴﹣a≤﹣＜﹣=﹣，与﹣＜﹣a＜0矛盾，∴﹣＜﹣a＜0不合题意．综上，实数a的取值范围为22．已知函数f（x）=|x|．（1）解关于x不等式f（x﹣1）≤a（a∈R）；（2）若不等式f（x+1）+f（2x）≤+对任意a∈（0，1）恒成立，求x的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）不等式可化为：|x﹣1|≤a，对a分类讨论，求得它的解集．（2）利用基本不等式求得+的最小值为4，问题等价于|x+1|+|2x|≤4．去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．【解答】（1）不等式可化为：|x﹣1|≤a，当a＞0时，解集为{x1﹣a≤x≤1+a}；当a=0时，解集为{x|x=1}；当a＜0时，解集为∅．（2）由f（x+1）+f（2x）≤+得：|x+1|+|2x|≤+．∵0＜a＜1，∴0＜1﹣a＜1，∴+=≥=4，当且仅当a=1﹣a，即a=时取“=”．∴问题等价于|x+1|+|2x|≤4，∴①，或②，或．解得﹣≤x≤1，即x的取值范围是{x|﹣≤x≤1}．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．。

2015-2016学年福建省泉州市南安三中高二（上）期中数学试卷（文科)一．选择题（12*5=60分)1．函数y=x2sinx的导数为（）A．y′=2xsinx+x2cosx B．y′=2xsinx﹣x2cosxC．y′=x2sinx+2xcosx D．y′=x2sinx﹣2xcosx2．命题p：∀x∈R，x2+ax+a2≥0；命题q:∃x∈R，sinx+cosx=2,则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．(￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）3．“sinx="是“x=”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件4．抛物线x2=4y的准线方程是（)A．x=1 B．x=﹣1 C．y=1 D．y=﹣15．已知双曲线=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为3x+4y=0，则双曲线离心率e=()A．B．C．D．6．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0,2) C．（1，+∞）D．（0,1）7．曲线f(x）=x3+x﹣2在点P处的切线与直线x+4y+1=0垂直,则点P的坐标（)A．（1,0）B．(1，0）或（﹣1，﹣4）C．（2，8） D．（2，8）或（﹣1，﹣4)8．函数f（x）=(x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（2，+∞) B．(﹣∞，2）C．（1,4）D．（0，3）9．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点(0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A． B．3 C．D．10．函数f(x)=ax3﹣x在（﹣∞，+∞）内是减函数，则实数a的取值范围是(）A．a≤0 B．a＜1 C．a＜2 D．a＜11．过点(3,﹣2）且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点的椭圆的方程是(）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=112．设f（x)、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时,f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．且g(3）=0．则不等式f（x）g（x）＜0的解集是()A．（﹣3，0)∪（3,+∞）B．（﹣3,0）∪(0,3）C．(﹣∞，﹣3)∪（3，+∞）D．(﹣∞，﹣3)∪(0，3）二．填空题（4*5=20分)13．命题“∀x∈R，x2≥0"的否定是．14．若命题“∃x∈R,x2+ax+1＜0"是真命题，则实数a的取值范围是．15．若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的一个焦点是,则双曲线的方程是．16．函数f（x）=x3+ax2+bx+c,x∈[﹣2，2］,表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线的斜率均为﹣1，有以下命题:①f(x）的解析式是f（x)=x3﹣4x,x∈[﹣2，2］；②f（x）的极值点有且只有1个；③f（x)的最大值与最小值之和为0；其中真命题的序号是．三．解答题（10+12+12+12+12+12=70分)17．给定两个命题，P:对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q:关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题,求实数a的取值范围．18．(Ⅰ）若椭圆上任一点到两个焦点(﹣2,0），（2,0）的距离之和为6，求椭圆的标准方程；(Ⅱ）若椭圆过（2,0），离心率为,求椭圆的标准方程．19．已知函数，f（x)=x3﹣ax2﹣9x+11且f′(1)=﹣12．（I)求函数f（x)的解析式;（II)求函数f(x）的极值．20．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上,且抛物线上有一点P（4,m）到焦点的距离为6．（Ⅰ）求抛物线C的方程;（Ⅱ)若抛物线C与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．21．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ)设直线l：y=x+t（t＞0）与椭圆C交于A，B两点．若原点O在以线段AB为直径的圆内，求实数t的取值范围．22．已知函数f（x)=ax+lnx(a∈R）．（Ⅰ）若a=2,求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；(Ⅱ）求f（x）的单调区间;（Ⅲ)设g(x）=x2﹣2x+2,若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．2015—2016学年福建省泉州市南安三中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（12*5=60分）1．函数y=x2sinx的导数为(）A．y′=2xsinx+x2cosx B．y′=2xsinx﹣x2cosxC．y′=x2sinx+2xcosx D．y′=x2sinx﹣2xcosx【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据导数运算法则计算即可．【解答】解:∵y=x2sinx，∴y′=（x2）′sinx+x2（sinx）′=2xsinx+x2cosx,故选：A．【点评】本题主要考查了导数的运算法则，关键是掌握基本的导数公式，属于基础题．2．命题p：∀x∈R，x2+ax+a2≥0；命题q：∃x∈R,sinx+cosx=2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．(￢p）∨q D．(￢p)∧(￢q）【考点】复合命题的真假．【专题】阅读型．【分析】利用一元二次函数的判别式与三角函数的值域判断命题p、q的真假，再由复合命题真值表逐个判断各选项是否为真命题．【解答】解：∵△=a2﹣4a2=﹣3a2≤0，∴命题p：∀x∈R,x2+ax+a2≥0；是真命题;∵sinx+cosx=sin(x+)≤＜2，∴命题q:∃x∈R，sinx+cosx=2，为假命题；由复合命题真值表得：p∧q是假命题，故A错误;p∨q为真命题,故B正确；￢p∨q是假命题，故C错误；（￢p）∧（￢q)为假命题，故D错误,故选B．【点评】本题借助考查复合命题的真假，考查了三角函数的值域与全称命题、特称命题，判断命题p、q的真假是关键．3．“sinx="是“x=”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若x=满足sinx=,但x=不成立,即充分性不成立，若x=，则sinx=成立，即必要性成立，故“sinx="是“x=”的必要不充分条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数之间的关系是解决本题的关键．4．抛物线x2=4y的准线方程是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．y=1 D．y=﹣1【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=4y，焦点在y轴上；所以:2p=4,即p=2,所以：=1，∴准线方程y=﹣1，故选D．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．5．已知双曲线=1(a＞0,b＞0）的一条渐近线方程为3x+4y=0,则双曲线离心率e=(）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线渐近线方程得b=a，从而可求c,最后用离心率的公式，可算出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为3x+4y=0，∴b=a，∴c==a,∴e==．故选:A．【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程,求双曲线的离心率,着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．6．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞) B．（0，2） C．（1，+∞) D．(0，1）【考点】椭圆的定义．【专题】计算题．【分析】先把椭圆方程整理成标准方程,进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k 的范围．【解答】解:∵方程x2+ky2=2,即表示焦点在y轴上的椭圆∴故0＜k＜1故选D．【点评】本题主要考查了椭圆的定义,属基础题．7．曲线f（x)=x3+x﹣2在点P处的切线与直线x+4y+1=0垂直,则点P的坐标（）A．（1，0） B．(1，0）或(﹣1，﹣4）C．（2,8) D．（2，8)或（﹣1，﹣4）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题;导数的概念及应用．【分析】曲线F在点P处的切线的斜率等于函数f(x）=x3+x﹣2在此点的导数值，就是直线x+4y+1=0斜率的负倒数,先求出点P的横坐标，再代入函数关系式求出纵坐标,可得P的坐标．【解答】解：∵曲线f（x）=x3+x﹣2在点P处的切线与直线x+4y+1=0垂直，∴曲线F在点P处的切线斜率为：4,∵f（x)=x3+x﹣2，∴f′（x）=3x2+1=4∴x=±1，x=1时，y=0,x=﹣1时，y=﹣4∴点P的坐标为（1,0)或（﹣1，﹣4）；故选：B．【点评】本题考查的导数的几何意义、两条直线垂直斜率的关系等基础知识,考查运算求解能力，属于中档题．8．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（2，+∞) B．（﹣∞，2）C．（1，4） D．(0，3）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】令f′（x)＞0，解得即可．【解答】解:f′（x）=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解得x＞2．∴函数f（x）=（x﹣3)e x的单调递增区间是（2，+∞)．故选A．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．9．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A． B．3 C．D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先求出抛物线的焦点坐标,再由抛物线的定义可得d=|PF|+｜PA|≥｜AF|，再求出|AF｜的值即可．【解答】解：依题设P在抛物线准线的投影为P’,抛物线的焦点为F，则，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'｜=｜PF｜,则点P到点A(0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和．故选A．【点评】本小题主要考查抛物线的定义解题．10．函数f（x）=ax3﹣x在（﹣∞，+∞)内是减函数,则实数a的取值范围是（）A．a≤0 B．a＜1 C．a＜2 D．a＜【考点】函数单调性的性质．【专题】转化思想;综合法；函数的性质及应用．【分析】根据f′(x）=3ax2﹣1＜0恒成立，求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f(x)=ax3﹣x在（﹣∞，+∞)内是减函数，故f′(x)=3ax2﹣1＜0恒成立,故有3a≤0，求得a≤0，故选：A．【点评】本题主要考查函数的单调性和导数的关系,利用导数研究函数的单调性，属于基础题．11．过点（3,﹣2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点的椭圆的方程是（)A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=1【考点】椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知椭圆的方程求出其半焦距，再设出待求椭圆方程，根据点（3，﹣2）在椭圆上结合隐含条件联立方程组求得答案．【解答】解：由椭圆4x2+9y2=36，得，∴，设所求椭圆方程为（a＞b＞0)．则，解得：．∴椭圆的方程是:．故选：C．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查方程组的解法，是基础题．12．设f(x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时,f′（x）g(x）+f（x)g′（x）＞0．且g（3）=0．则不等式f（x）g（x)＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪(3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣∞,﹣3）∪(3，+∞) D．(﹣∞，﹣3）∪（0，3）【考点】函数奇偶性的性质;导数的运算；不等式．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据f′（x）g（x）+f（x）g′(x）＞0可确定［f(x）g（x）]’＞0，进而可得到f （x）g(x)在（﹣∞，0）上递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在（0，+∞）上也是增函数，最后根据g（3）=0可求得答案．【解答】解：因f′(x）g(x）+f（x)g′（x）＞0，即［f(x）g(x）］’＞0故f（x）g(x)在（﹣∞，0)上递增，又∵f(x)，g(x)分别是定义R上的奇函数和偶函数，∴f(x）g(x）为奇函数，关于原点对称，所以f（x）g（x）在（0，+∞）上也是增函数．∵f(3）g（3)=0，∴f（﹣3）g(﹣3)=0所以f(x）g(x）＜0的解集为:x＜﹣3或0＜x＜3故选D．【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用，以及导数的运算,不等式的解法等,属于中档题．二．填空题(4*5=20分）13．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是∃x∈R，x2＜0．【考点】命题的否定．【分析】根据一个命题的否定定义解决．【解答】解：由命题的否定义知：要否定结论同时改变量词故答案是∃x∈R,x2＜0【点评】本题考查一个命题的否定的定义．14．若命题“∃x∈R，x2+ax+1＜0"是真命题，则实数a的取值范围是(﹣∞，﹣2）∪（2,+∞）．【考点】特称命题．【专题】计算题；转化思想．【分析】根据所给的特称命题的否定任意实数x，使x2+ax+1≥0，根据命题否定是假命题,得到判别式大于0,解不等式即可．【解答】解：∵命题“存在实数x，使x2+ax+1＜0”的否定是任意实数x，使x2+ax+1≥0，命题否定是假命题，∴△=a2﹣4＞0∴a＜﹣2或a＞2故答案为:（﹣∞,﹣2)∪（2，+∞)．【点评】本题考查命题的真假,命题与命题的否定的真假相反,解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个假命题，得到判别式的情况．15．若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的一个焦点是，则双曲线的方程是．【考点】双曲线的标准方程;双曲线的定义．【专题】计算题．【分析】设双曲线的方程是，又它的一个焦点是，故λ+9λ=10由此可知λ=1，代入可得答案．【解答】解：因为双曲线的渐近线方程为y=±3x,则设双曲线的方程是,又它的一个焦点是故λ+9λ=10∴λ=1,故答案为：【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．16．函数f（x)=x3+ax2+bx+c，x∈［﹣2，2］，表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线的斜率均为﹣1，有以下命题:①f（x）的解析式是f（x)=x3﹣4x，x∈[﹣2,2];②f（x）的极值点有且只有1个;③f（x）的最大值与最小值之和为0;其中真命题的序号是①③．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】压轴题；阅读型．【分析】首先利用导数的几何意义及函数f(x)过原点，列方程组求出f（x）的解析式;然后根据奇函数的定义判断函数f（x)的奇偶性,且由f′（x）的最小值求出k的最大值,则命题①④得出判断；最后令f′（x)=0，求出f（x）的极值点,进而求得f（x)的单调区间与最值,则命题②③得出判断．【解答】解:函数f(x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x)在x=±1处的切线斜率均为﹣1,则有，解得a=0，b=﹣4．所以f（x）=x3﹣4x,f′（x)=3x2﹣4．①可见f（x）=x3﹣4x,因此①正确；②令f′（x)=0，得x=±．因此②不正确;所以f（x）在[﹣，]内递减，且f（x）的极大值为f（﹣）=，极小值为f（)=﹣，两端点处f(﹣2）=f（2）=0，所以f(x）的最大值为M=,最小值为m=﹣，则M+m=0，因此③正确．故答案为：①③．【点评】本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究函数单调性、最值的方法．三．解答题（10+12+12+12+12+12=70分）17．给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题,求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；综合题．【分析】先对两个命题进行化简，转化出等价条件,根据P与Q中有且仅有一个为真命题,两命题一真一假，由此条件求实数a的取值范围即可．【解答】解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔0≤a＜4;关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根;如果P正确，且Q不正确，有；如果Q正确,且P不正确,有．所以实数a的取值范围为．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，求解本题的关键是得出两命题为真命题的等价条件，本题寻找P的等价条件时容易忘记验证二次项系数为0面错，解题时要注意特殊情况的验证．是中档题．18．（Ⅰ）若椭圆上任一点到两个焦点（﹣2，0），（2，0）的距离之和为6，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆过（2，0），离心率为,求椭圆的标准方程．【考点】椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得:c=2,并且得到椭圆的焦点在x轴上，再根据椭圆的定义得到a=3，进而由a，b，c的关系求出b的值得到椭圆的方程．（Ⅱ）由于椭圆的焦点位置未定，故需要进行分类讨论，进而可求椭圆的标准方程．【解答】解：（Ⅰ）∵两个焦点的坐标分别是(﹣2，0）,（2，0）,∴椭圆的焦点在横轴上，并且c=2，∴由椭圆的定义可得:2a=6，即a=3，∴由a，b,c的关系解得b2=32﹣22=5，故椭圆的标准方程为；（Ⅱ）由于离心率e==,得，,当椭圆焦点在x轴上时，a=2，∴b2=1,∴所求椭圆方程为；当椭圆焦点在y轴上时，b=2，∴a2=16，∴所求椭圆方程为．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程与椭圆的定义，以及考查椭圆的简单性质，考查分类讨论的数学思想，此题属于基础题．19．已知函数，f（x）=x3﹣ax2﹣9x+11且f′（1）=﹣12．（I）求函数f（x）的解析式；（II）求函数f(x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值;导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f′（1)=﹣12求出a的值,则函数解析式可求；（Ⅱ）由导函数大于0求出原函数的增区间，由导函数小于0求出原函数的减区间，则极值点可求,把极值点的横坐标代入函数解析式可求得函数的极值．【解答】解：(Ⅰ）由f（x)=x3﹣ax2﹣9x+11，得：f′（x）=3x2﹣2ax﹣9,又f′（1）=3×12﹣2a﹣9=﹣12，∴a=3．则f（x）=x3﹣3x2﹣9x+11；（Ⅱ)由f′（x）=3x2﹣2ax﹣9=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3）．当x＜﹣1或x＞3时,f′（x）＞0，当﹣1＜x＜3时，f′（x）＜0,∴f（x）在(﹣∞,﹣1)，（3，+∞)上为增函数，在（﹣1,3）上为减函数．∴函数f（x）的极大值为f（﹣1）=16，极小值为f（3）=﹣16．【点评】本题考查了导数的运算,考查了利用函数的单调性求函数的极值，连续函数在定义域内某点两侧的单调性不同，则该点为函数的极值点，此题是中档题．20．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上,且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．（Ⅰ)求抛物线C的方程；（Ⅱ）若抛物线C与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k 的值．【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ)由题意设:抛物线方程为y2=2px,其准线方程为x=﹣，根据抛物线的大于可得:4+，进而得到答案．（Ⅱ)联立直线与抛物线的方程得k2x2﹣(4k+8）x+4=0，根据题意可得△=64(k+1)＞0即k＞﹣1且k≠0，再结合韦达定理可得k的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意设抛物线方程为y2=2px,其准线方程为x=﹣，∵P（4，m)到焦点的距离等于A到其准线的距离，∴4+∴p=4∴抛物线C的方程为y2=8x（Ⅱ）由消去y，得k2x2﹣(4k+8）x+4=0∵直线y=kx﹣2与抛物线相交于不同两点A、B，则有k≠0，△=64（k+1）＞0,解得k＞﹣1且k≠0，又=2，解得k=2，或k=﹣1（舍去）∴k的值为2．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程,以及直线与抛物线的位置关系．21．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为．(Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+t（t＞0)与椭圆C交于A，B两点．若原点O在以线段AB为直径的圆内,求实数t的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）依题意,可知m＞1，且，由此可m2=2，从而可得椭圆C的方程；(Ⅱ)设A(x1,y1），B(x2，y2）,则原点O在以线段AB为直径的圆内，等价于x1x2+y1y2＜0，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，可建立不等式，从而可求实数t的取值范围．【解答】解:（Ⅰ)依题意，可知m＞1，且，所以，所以m2=2，即椭圆C的方程为．…(Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）,则原点O在以线段AB为直径的圆内，等价于(A,O，B三点不共线)，也就等价于，即x1x2+y1y2＜0…①…联立，得3x2+4tx+2（t2﹣1）=0，所以△=16t2﹣24（t2﹣1）＞0，即0＜t2＜3…②且…于是代入①式得,,即适合②式…又t＞0，所以解得即求．…【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查向量知识的运用,考查韦达定理，解题的关键是联立方程，运用韦达定理解题．22．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f(x）在x=1处切线的斜率；（Ⅱ）求f(x)的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1］，使得f（x1）＜g（x2),求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x)的导函数,把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间;（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞）,均存在x2∈［0，1]，使得f（x1）＜g(x2），等价于f（x）max ＜g（x）max，分别求出相应的最大值,即可求得实数a的取值范围．【解答】解:（Ⅰ）由已知，则f'（1）=2+1=3．故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3;(Ⅱ）．①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x)＞0所以,f(x)的单调递增区间为（0,+∞）．②当a＜0时,由f’（x）=0，得．在区间上，f'(x）＞0,在区间上f’（x)＜0，所以，函数f（x)的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max，因为g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1)2+1，x∈[0，1]，所以g（x）max=2…由（Ⅱ）知，当a≥0时，f(x）在（0，+∞）上单调递增,值域为R,故不符合题意．当a＜0时，f（x)在（0，﹣)上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减,故f（x）的极大值即为最大值,f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln(﹣a)，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得a＜﹣．【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导数研究函数的单调性,掌握不等式恒成立时所满足的条件,是一道中档题．。

龙泉中学2020届高三上学期期中考试试卷文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1. 已知全集{1,0,1,2}U =-，集合{1,2}A =-，{0,2}B =，则B A C U I )(等于( )A ．{0}B ．{2}C ．{0,1,2}D ．∅2. 在复平面上，复数(13)z i i =+对应的点位于 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.命题“2,240x x x ∀∈-+≤R ”的否定为（ ）A.2,240x x x ∀∈-+≥RB.2,240x x x ∃∈-+>RC.2,240x x x ∀∉-+≤RD. 2,240x x x ∃∉-+>R 4．已知向量(1,3)a =r ，(2,)b m =-r ，“则m =32 ”是“a b ⊥r r ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（ ） A.2524- B.2512- C.2512 D. 2524 6. 函数()xx x f 2log 12-=的定义域为（ ） A.()+∞,0 B.()+∞,1 C.()1,0 D.()()+∞,11,0Y7.已知数列{a n }为等差数列,且a 1＋a 7＋a 13＝π，则tan(a 2＋a 12)的值为 ( )．A. 3 B ．－ 3 C ．－33 D ．± 38.函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别( ）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π9.设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A .AD →B .12AD → C .12BC → D .BC →10.函数13y x x =-的图象大致为( )．11. 将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象， 则下列说法正确的是（ ）A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称 D.y=f （x ）的图象关于点（﹣2π，0）对称12.函数()y f x =有)1()(+-=x f x f ，且x ∈[－1，1]时f (x )＝1－x 2. 函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x （x >0），－1x（x <0）， 则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5，4]内的零点个数为 ( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13. 已知a ρ＝(3，－1)，b ρ＝(1，－2)，则 a ρ 与b ρ 的夹角为14.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知6π=A ，1=a ，3=b ，则=B ________.15. 曲线ln y x x =在x e =处的切线方程是16. 对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）三、解答题 （共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知角α的终边过点①② ③ ④ ()4,3P -（1）求sin α的值；（2）求 的值。