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梯形八年级数学教案教学建议知识结构梯形知识归纳1. 梯形的定义及其有关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.平行的两边叫做梯形的底，其中长边叫下底；不平行的两边叫腰；两底间的距离叫梯形的高.一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，两腰相等的梯形叫等腰梯形.2. 梯形的性质及其判定梯形是特殊的四边形，它具有四边形所具有的一切性质，此外它的上下两底平行.一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形，但要判断另一组对边不平行比较困难，一般用一组对边平行且不相等的四边形是梯形来判断.3. 等腰梯形的性质和判定性质：等腰梯形在同一底上的两个角相等，两腰相等，两底平行，两对角钱相等，是轴对称图形，只有一条对称轴，底的中垂线就是它的对称轴.判定：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角钱相等的梯形是等腰梯形.梯形重难点分析本节的重点是等腰梯形的性质和判定•梯形仍是具有特殊条件的四边形，它与平行四边形同属于特殊的四边形，它只有一组对边平行，而另一组对边不平行，但平行四边形两组对边分别平行•而等腰梯形又是特殊的梯形，它的许多性质和判定方法与矩形、菱形、正方形这些特殊的平行四边形有一定的相似性和可比性.本节的难点也是等腰梯形的性质和判定.由于等腰梯形又是特殊的梯形，它的许多性质和判定方法与矩形、菱形、正方形这些特殊的平行四边形有一定的相似性和可比性，虽然学生在小学时已经接触过等腰梯形，在认识和理解上有一定的基础，但还是容易同特殊的平行四边形混淆，再加上梯形问题往往要转化成平行四边形和三角形来处理，经常需要添加辅助线，学生难免会有无从下手的感觉，往往会有对题目一讲就明白但自己不会分析解答的情况发生，教师在教学中要加以注意.梯形的教学建议1•关于梯形的引入生活中有许多梯形的例子，小学又接触过梯形内容，学生对梯形并不陌生，梯形的引入可从下面几个角度考虑：①从生活实例引入，如防洪堤坝、飞机机翼，别致窗户、音箱外形等等；②从小学学习过的旧知识复习引入；③从发现的角度引入，比如给出一组图形，告诉学生这就是梯形，然后寻找这些图形的共同点，根据共同点对梯形进行定义以及性质、判定的研究；④可用问题式引入，开始时设计一系列与梯形概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出梯形的定义和性质.2•关于梯形的概念梯形的相关概念小学就已经接触过，但并不深入，在研究梯形的概念时可设计如下问题加深对梯形相关概念的理解：①一组对边平行的四边形是不是梯形？②一组对边平行一组对边相等的图形是不是梯形？③一组对边相等的图形是不是梯形？④一组对边相等一组对边不相等的图形是不是梯形？⑤对角线相等的图形是不是梯形？⑥有两个角是直角的梯形是不是直角梯形？⑦两个角相等的梯形是不是等腰梯形?⑧对角线相等的梯形是不是等腰梯形？一、教学目标1. 掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念.2. 掌握等腰梯形的两个性质：等腰梯形同一底上的两个角相等；两条对角线相等.3. 能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析能力和计算能力.4. 通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想二、教法设计小组讨论，引导发现、练习巩固三、重点、难点1. 教学重点：等腰梯形性质.2. 教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）.四、课时安排1课时五、教具学具准备多媒体，小黑板，常用画图工具六、师生互动活动设计教师复习引入，学生阅读课本；学生在教师引导下探索等腰梯形的性质，归纳小结梯形转化的常见的辅助线七、教学步骤【复习提问】1. 什么样的四边形是平行四边形？平行四边形有什么性质？2. 小学学过的梯形是什么样的四边形.（让学生动手画一个梯形，并找3名同学到黑板上来画，并指出上、下底和腰，然后由学生总结出梯形的概念）.【引入新课】（板书课题）梯形同样是一个特殊的四边形，与平行四边形一样，它也有它的特殊性，今天我们就重点来研究这个问题.1. 梯形及梯形的有关概念(1)梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(2)底：平行的一组对边叫做梯形的底(通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底).(3)腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰.(4)高：两底间的距离叫做梯形高.(5)直角梯形：一腰垂直于底的梯形.(6)等腰梯形：两腰相等的梯形.(以上这一过程借助多媒体或投影仪演示)提醒学在注意：①梯形与平行四边形同属于特殊的四边形，因为它们具有不同的特殊条件，所以必然有不同的性质.②平行四边形的对边平行且相等，而梯形中，平行的一组对边不能相等 (让学生想一想，为什么不能相等).③上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是指位置来说的.2. 等腰梯形的性质例1如图，在梯形中，，求证：分析：我们学过等腰三角形两底角相等”，如果能将等腰梯形在同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，问题就容易解决了.证明：（略）由此得出等旧梯形的性质定理：等腰梯形在同一高上的两个角相等.例2如图，求证：等腰梯形的两条对角线相等.已知：在梯形中，，求证：分析：要证，只要用等腰梯形的性质定理得出，然后再利用，即可得出证明过程：（略）.由此得到多腰梯形的第一条性质：等腰梯形的两条对角线相等.除此之外，等腰梯形还是轴对称图形，对称轴是过两底中点的直线.3. 解决梯形问题常用的方法在证明梯形性质定理时，我们采取的方法是过点作交于，从而把梯形问题转化成三角形来解，实质上是相当于把采取平行移动到的位置，这种方法叫做平行移动(也可移对角线)，这是解决梯形问题常用的方法之一(让学生想一想，还可以用什么样的方法作辅助线来解决梯形问题，多找几名学生回答，然后教师总结，可借助多媒体演示见图).(1)作高”使两腰在两个直角三角形中.(2)移对角线”使两条对角线在同一个三角形中.(3)延腰”构造具有公共角的两个等腰三角形.(4)等积变形”连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形.综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决.【总结、扩展】小结：(以提问的方式总结)(1)梯形的有关概念.(2)梯形性质(①—③).(3)解决梯形问题的基本思想和方法.(4)解决梯形问题时，常用的几种辅助线.八、布置作业教材P179中2、3、4九、板书设计十、随堂练习教材P176中1、3。
初二数学梯形冀教版【本讲教育信息】一、教学内容：梯形1. 了解梯形的意义及分类．2. 学会把梯形分割成熟悉的图形．3. 掌握等腰梯形的特征．二、知识要点： 1. 梯形的定义（1）一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形． （2）一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形． （3）两腰相等的梯形叫做等腰梯形．B CB CDB2. 梯形的识别（1）一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形． （2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形． 3. 等腰梯形的性质（1）等腰梯形同底上的两个内角相等． （2）等腰梯形的对角线相等．（3）等腰梯形是轴对称图形，对称轴是通过两底边中点的直线，不是中心对称图形． 4. 等腰梯形的识别（1）两腰相等的梯形是等腰梯形．（2）同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形． （3）对角线相等的梯形是等腰梯形．三、重点难点：重点是探究等腰梯形的特征及识别；难点是灵活把梯形分割成熟悉的图形，并借助熟悉的图形特征与识别来解决问题．【典型例题】例1. 平行四边形是不是特殊的梯形？为什么？分析：平行四边形的两组对边分别平行，而只有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形才是梯形．解：不是，因为一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，而平行四边形的两组对边分别平行．评析：忽视“另一组对边不平行”这一条件是常犯的错误．例2. 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是BC 延长线上的点，且CE ＝AD ，试判断△BDE 的形状，并说明理由．ABCDE分析：由等腰梯形ABCD 易知AC ＝BD ，由CE ∥AD 且CE ＝AD 可得四边形ACED 是平行四边形，则AC ＝DE ，问题得以解决．解：△BDE 是等腰三角形．理由： 因为AD ∥CE ，AD ＝CE ，所以四边形ACED 是平行四边形， 所以AC ＝DE ．又因为四边形ABCD 是等腰梯形， 所以AC ＝BD ，所以BD ＝DE ，所以△BDE 是等腰三角形．评析：DE 可以看作是由AC 平移得到的，在梯形中，我们常利用平移，轴对称的思想解决问题．例3. 如图所示，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，过点C 作CE ⊥AC 且与AB 的延长线交于点E ，试说明四边形AECD 是等腰梯形．ABCDE分析：显然CD ∥AE ，只要说明AD ＝CE 就能得出四边形AECD 是等腰梯形．而AD ＝BC ，问题就转化成了证明△BCE 的两边长相等．解：在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB ＝60°， 所以∠CAB ＝30°，∠CBE ＝60°． 又CE ⊥AC ，所以∠E ＝60°，所以△CBE 是等边三角形，所以CE ＝CB ＝AD. 又DC ∥AB ，所以四边形AECD 是等腰梯形．例4. 如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝80°，∠C ＝50°，BC ＝10cm ，AD ＝4cm ，试求AB 的长．ABCDE分析：过点D 作腰AB 的平行线，将梯形ABCD 分割为平行四边形ABED 和△DEC ，利用平行四边形、三角形的知识解决．解：过点D 作DE ∥AB ，交BC 于点E ，则四边形ABED 为平行四边形． 由DE ∥AB ，可得∠DEC ＝∠B ＝80°．又∠C ＝50°，则∠EDC ＝180°－∠DEC －∠C ＝50°， 所以∠C ＝∠EDC ，所以DE ＝EC.由四边形ABED 为平行四边形，可得AB ＝DE ，BE ＝AD ＝4cm ， 所以EC ＝BC －AD ＝6cm ，从而有DE ＝6cm ，所以AB ＝DE ＝6cm ． 评析：解决梯形问题的基本思路是将梯形转化为三角形或平行四边形加以解决，本例采用了平移一腰AB 的方法，还可以采用平移另一腰CD 来解决，更简单．例5. 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BD ＝BC ，AC 、BD 相交于点O ．试说明CO ＝CD.ABC DE FO分析：由图中可以看出CO 、CD 在同一个三角形中，因此只需求出∠CDO ＝∠DOC ，利用等角对等边就可得出CO ＝CD.解：分别过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，DF ⊥BC ，垂足为F ． 因为AD ∥BC ，所以AE ＝DF ． 因为∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，所以∠ACB ＝45°，AE ＝EC ＝DF ＝12BC.因为BC ＝BD ，所以∠BDC ＝∠BCD ，所以DF ＝12BD ，所以∠DBC ＝30°．所以∠BDC ＝180°－∠DBC2＝75°，∠DOC ＝∠ACB ＋∠DBC ＝75°，所以∠BDC ＝∠DOC ，所以CO ＝CD.评析：本题考查的知识点有：①等边对等角和等角对等边；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③平行线间的距离处处相等．例6. 如图①，在直角梯形纸片ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝90°，CD ＞AD ，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ．连接EF 并展开纸片．（1）判断四边形ADEF 的形状； （2）取线段AF 的中点G ，连接EG ，如果BG ＝CD ，试说明四边形GBCE 是等腰梯形．EB①EB②分析：要说明四边形GBCE 是等腰梯形，只需BC ＝GE ，可以考虑把BC 和GE 转化成两全等三角形的对应边，或平行四边形的对边，或等腰三角形的两腰，等，或用其他中间线段代换．解：（1）因为四边形ABCD 是直角梯形， 所以∠A ＝∠ADC ＝90°由折叠知∠DEF ＝90°，AD ＝DE ． 所以四边形ADEF 是正方形．（2）连结DG ，因为G 是AF 的中点， 在△ADG 和△FEG 中，AD ＝FE ，∠A ＝∠EFG ＝90°，AG ＝FG ， 所以△ADG ≌△FEG ，所以DG ＝EG ． 在直角梯形ABCD 中，BG ＝CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形，所以DG ＝BC ， 所以EG ＝BC. 所以四边形GBCE 是等腰梯形．【方法总结】1. 本节学习了梯形、等腰梯形和直角梯形的有关概念以及梯形和等腰梯形的特征，在学习过程中注意它们之间的区别．2. 掌握解决有关梯形问题中经常引辅助线的方法．如图所示：A BCDE(1)A BCD(2)E ABCD(3)EA BCD(4)A BCD(5)E ABCD (6)EFABCD(7)MN【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则一个底角是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°*2. 梯形的两底分别为16cm 和8cm ，同一底边上的两个角分别为60°和30°，则较短的腰长为（ ）A. 8cmB. 6cmC. 4cmD. 3cm3. 如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（ ）A. 邻边不等的矩形B. 等腰梯形C. 有一个角是锐角的菱形D. 正方形60°4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CA 平分∠BCD ，CD ＝5，则AD 的长是（ ） A. 6B. 5C. 4D. 3A BCD5. 下列四边形：①等腰梯形，②正方形，③矩形，④菱形的对角线一定相等的是（ ） A. ①②③ B. ①②③④ C. ①② D. ②③**6. 如图，设M ，N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD ，CB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折，M 与N 恰好重合，则AE ∶BE 等于（ ）A. 2∶1B. 1∶2C. 3∶2D. 2∶3二. 填空题1. 等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是________．2. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠B ＝50°，∠C ＝80°，则∠D ＝_______，•∠A ＝________．ABCD3. 等腰梯形有一角为120•°，•腰长为3cm ，•一底边长为4cm ，•则另一底边长为_______．4. 梯形的上下底长分别是2cm 和7cm ，一腰长为3cm ，则另一腰x •的长度的取值范围是_________．*5. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，BC ＝7，E 为CD •的中点，•四边形ABED 的周长与△BCE 的周长相差2，则AB 的长为_________．AB CD E6. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ∥DC ，AB ＝6cm ，则AE ＝__________cm .ABCED*7. 已知菱形ABCD 的面积是12cm 2，对角线AC ＝4cm ，则菱形的边长是__________cm ；等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5cm ，BC ＝9cm ，∠C ＝60°，则梯形的腰长是__________cm ．三. 解答题1. 已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＞CD ，AD ＝BC ，BD 平分∠ABC ，∠A ＝60°，梯形周长是20cm ，求梯形的各边长．A BCD2. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，AB ＝4，BC ＝7，求∠B •的度数．AB CD3. 如图，E 、F 是梯形ABCD 的两底AD 、BC 的中点，且EF ⊥BC ，•试说明梯形ABCD 是等腰梯形．ABCDEF**4. 已知：如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＋CD ＝BC ，M 是AD 的中点，说明：BM ⊥CM ．A BCDM**5. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，E 是DC 的中点，•试说明∠AEB ＝2∠CBE ．ABCD E【试题答案】一. 选择题1. B2. C3. D4. B5. A6. A二. 填空题1. 过上、下底边中点的直线2. 100°，130°3. 1cm或7cm4. 2cm＜x＜8cm（过上底边一端点作一腰的平行线）5. 6 （计算出AB为6或2，但2、3、2和7无法构成一个等腰梯形所以舍去）6. 67. 13，4三. 解答题1. AD＝DC＝BC＝4cm，AB＝8cm提示：证得BC＝CD＝AD，再由周长20cm求各边．2. 60°提示：过A作AE∥CD，得平行四边形AECD，分析可知△ABE为等边三角形．3. 提示：分别过E作EG∥AB交BC于G，EH∥DC交BC•于H，•可证得EG＝•EH，所以梯形ABCD是等腰梯形可得证．4. 提示：延长BM交CD的延长线于点E，可证得△ABM≌△DEM，然后再证△BCE为等腰三角形即可．5. 由于DE＝EC，AD∥BC，如果延长AE交BC的延长线于F，就构造出△ADE和△FCE 全等．从而AE＝EF．这时BE为R t△ABF斜边上的中线．由此知∠EBF＝∠F．由∠AEB ＝∠CBE＋∠F可得结论．。
