2017年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题11.3 概率分布与数学期望、方差(测).doc

【最新考纲解读】内容要求备注A B C概率统计离散型随机变量及其分布列√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.超几何分布√条件概率及相互独立事件√n次独立重复试验的模型及二项分布√离散型随机变量的均值与方差√【考点深度剖析】1. 江苏高考中，一般考古典概型、相互独立、二项概型基础上的随机变量的分布，期望与方差。

2. 随机变量的概率分布及期望，内容多，处理方式灵活，可以考查其中一块，可以内部综合，可以作为问题的背景与其他内容结合考，复习时要注重基础，以不变应万变.【课前检测训练】【判一判】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( )(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( ) (3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X 服从两点分布．( ) (4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( ) (5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( ) (6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( ) (7)条件概率一定不等于它的非条件概率．( ) (8)相互独立事件就是互斥事件．( )(9)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( )(10)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .( )(11)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率．( )(12)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133－1＝49.( )(13)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．( )(14)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( )(15)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．( )(16)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( )(17)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．( )1. √2. √3. ×4. √5. ×6. √7. ×8. ×9. ×10. ×11. √12. ×13. √14. √15. √16. √17. × 【练一练】1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( ) A ．至少取到1个白球 B ．至多取到1个白球 C ．取到白球的个数 D ．取到的球的个数 答案 C2．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X ，那么随机变量X 可能取得的值有( )A ．17个B ．18个C ．19个D ．20个 答案 A解析 X 可能取得的值有3,4,5，…，19共17个． 3．随机变量X 的分布列如下：X －1 0 1Pa b c其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于( ) A.16 B.13 C.12 D.23 答案 D解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.4．随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，则n ＝________. 答案 10解析 P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1n ＋1n ＋1n ＝3n＝0.3，得n ＝10.5．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为______． 答案27220解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球， 故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.6．袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为( ) A.38 B.27 C.28 D.37 答案 B解析 第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，所以再摸到红球的概率为27.7．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A ．0.8 B ．0.75 C ．0.6 D ．0.45 答案 A8.如图，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8，0.8，则系统正常工作的概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576 答案 B解析 方法一 由题意知K ，A 1，A 2正常工作的概率分别为P (K )＝0.9，P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.8，∵K ，A 1，A 2相互独立，∴A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96.∴系统正常工作的概率为P (K )＝0.9×0.96＝0.864. 方法二 A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为1－P (A 1A 2)＝1－(1－0.8)(1－0.8)＝0.96，故系统正常工作的概率为P (K )＝0.9×0.96＝0.864.9．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． 答案 35解析 设该队员每次罚球的命中率为p ，则依题意有1－p 2＝1625，即p 2＝925.又0<p <1，故p ＝35.10．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．答案 1211．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ 7 8 9 10Px 0.10.3y已知ξ的均值E (ξ)＝8.9，则y 的值为( ) A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.9 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9，可得y ＝0.4.12．设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( ) A ．1＋a,4 B ．1＋a,4＋a C ．1,4 D ．1,4＋a答案 A 解析x 1＋x 2＋…＋x 1010＝1，y i ＝x i ＋a ，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为1＋a ，方差不变仍为4.故选A.13．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)则D (X )等于( )A ．5B ．8C ．10D ．16 答案 B14．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.答案 25解析 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.15．抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________． 答案509解析 抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为46×46＝49，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1－49＝59，用X 表示10次试验中成功的次数，则X ～B (10，59)，E (X )＝10×59＝509.【题根精选精析】考点1 离散型随机变量及其分布列【1-1】随机变量X 的概率分布规律为P （X ＝n ）＝(1)an n + （n ＝1,2,3,4），其中a 是常数，则P （12＜X ＜52）的值为 . 【答案】56【1-2】若随机变量X 的分布列如下表，且EX=6.3， 则表中a 的值为 .【答案】7【解析】由11.05.0=++b 得4.0=b ，()3.64.091.05.04=⨯+⨯+⨯=a X E ，解7=a 【1-3】口袋中有n(n ∈N *)个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X ＝2)＝730，则n 的值为 .【答案】7【解析】由题意知，当2X =时，即第一次取到红球，其概率为33n +，且不放回；第二次取到白球，其概率为2n n +，则37(2)3230n P X n n ==⋅=++，可解得7n =或67n =（舍），即7n =.【1-4】在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量15≥毫克时为优质品.（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）； （Ⅱ）从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品数ξ的分布列及数学期望()E ξ.【1-5】甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个，700个，1050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验.（1）从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这两个零件都不是甲车床加工的，求其中至少有一个是乙车床加工的零件；（2）从抽取的6个零件中任意取出3个，记其中是乙车床加工的件数为X，求X的分布列和期望.【解析】（Ⅰ）由抽样方法可知，从甲、乙、丙三个车床抽取的零件数分别为1，2，3．从抽取的6个零件中任意取出2个，记事件“已知这两个零件都不是甲车床加工点”为A，事件“其中至少有一个是乙车床加工的”为B，则2526()CP AC=，225326()C CP ABC-=，所求概率为225325()(|)0.7()C CP ABP B AP A C-===．【基础知识】1．离散型随机变量的分布列 (1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η等表示． (2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． 若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中,a b 是常数，则η也是随机变量. 2.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为X 0 1P 1p -p其中01p <<，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布．其中()1p P X ==称为成功概率． (2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X k =}发生的概率为()k n kM N MnNC C P X k C --==，0,1,2,,k m =，其中{}min ,m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈，称分布列为超几何分布列.X 01 … m(3)设离散型随机变量可能取得值为1，2，…，i ，…n ，取每一个值i (,n )的概率为()i i P X x p ==，则称表为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列．有时为了表达简单，也用等式()i i P X x p ==，1,2,,i n =表示X 的分布列．分布列的两个性质 ①0i p ≥，1,2,,i n =；②121n p p p +++=.【思想方法】1. 求分布列的三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(1)可设出随机变量Y ，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n 次独立重复试验有k 次发生的概率求离散型随机变量的分布列． 2. 求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量X 的所有可能取值x i (i ＝1,2,3，…，n )； (2)求出各取值的概率P (X ＝x i )＝p i ；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确． 3. 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路 (1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值． (3)根据分布列和期望、方差公式求解．注意 解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．【温馨提醒】求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率. 考点2 二项分布及应用【2-1】【盐城2015调研】袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是 . 【答案】12【2-2】已知在一次试验中，()0.7P A =，那么在4次独立重复试验中，事件A 恰好在前两次发生的概率是 . 【答案】0441.0【解析】因为()0.7P A =，所以在4次独立重复试验中，事件A 恰好在前两次发生的概率()()0441.03.07.022==P ．【2-3】设服从二项分布(,)B n p 的随机变量X 的期望和方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数,n p 的值为 . 【答案】6,0.4n p ==【解析】由二项分布的期望和方差得()⎩⎨⎧=-=44.114.2p np np ，解的⎩⎨⎧==64.0n p【2-4】【2015四川模拟】一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200-分）.设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 【解析】试题分析：（1）由()(1)k k n kn n P k C p p -=-得，1331(200),(10),(20),(100)8888P X P X P X P X =-=======.所以X 的分布列为X -2001020100p18 38 38 18【2-5】【北京市西城区2015模拟】在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品. 寿命（天） 频数频率[)100,200 20 0.10 [)200,300 30 a[)300,400 700.35 [)400,500 b 0.15 [)500,600500.25合计200 1（1）根据频率分布表中的数据，写出a 、b 的值； （2）某人从灯泡样品中随机地购买了()n n N*∈个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按三．．个等级分层抽样．．．．．．．所得的结果相同，求n 的最小值； （3）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望.【解析】（1）0.15a =，30b =. （2）由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个， 所以优等品、正品和次品的比例为50:100:501:2:1=. 所以按分层抽样法，购买灯泡数()24n k k k k k N *=++=∈， 所以n 的最小值为4；【基础知识】 1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号()/p B A 来表示，其公式为()()()/p AB p B A P A =.在古典概型中，若用()n A 表示事件A 中基本事件的个数，则()()()/n AB p B A n A =.(2)条件概率具有的性质： ①()0/1p B A ≤≤；② 如果B 和C 是两互斥事件，则()()()///p B C A p B A p C A =+．2．相互独立事件(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则()()/p B A p B =，()()()()()/p AB p B A P A P A P B =⋅=⋅．(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)若()()()p AB P A P B =⋅，则A 与B 相互独立． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为k ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()()1n kkkn P X k C p p -==-(0,1,2,,k n =)，此时称随机变量X 服从二项分布，记作(),XB n p ，并称p 为成功概率．【思想方法】 1. 条件概率的求法(1)定义法：先求()P A 和()p AB ，再由()()()/p AB p B A P A =，求()/p B A ；(2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数()n A ，再求事件AB 所包含的基本事件数()n AB ，得()()()/n AB p B A n A =. 2. 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解． 3. 二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的． (2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． (4)随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数． 4.二项展开式的通项与二项分布的概率公式的“巧合”一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中()0p A p =>.我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验．在n 次独立重复试验中，每次试验事件A 发生的概率均为()01p p <<，即()p A p =，()1p A p q =-=.由于试验的独立性，n 次试验中，事件A 在某指定的k 次发生，而在其余n k -次不发生的概率为kn kp q-.而在n 次试验中，事件A 恰好发生()0k k n ≤≤次的概率为()k k n kn n P k C p q -=，0,1,2,,k n =.它恰好是()np q +的二项展开式中的第1k +项．5. 牢记且理解事件中常见词语的含义： (1) A 、B 中至少有一个发生的事件为A B ；(2) A 、B 都发生的事件为AB ； (3) A 、B 都不发生的事件为AB ； (4) A 、B 恰有一个发生的事件为AB AB ； (5) A 、B 至多一个发生的事件为ABABAB .【温馨提醒】这些都是二项分布问题，关键是正确求出随机变量的分布列，可直接使用公式求解. 因此牢记公式()kkn kn n P k C p q-=，0,1,2,,k n =，并深刻理解其含义．考点3 离散型随机变量的均值与方差【3-1】设随机变量X ～B （n ，p ），且E （X ）＝1.6，D （X ）＝1.28，则,n p 的值为 . 【答案】n ＝8，p ＝0.2【3-2】设服从二项分布X～B（n，p）的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n、p的值分别是 .【答案】60，【解析】由二项分布X～B（n，p）的均值与方差可知E(X)=np=15,D(X)=np(1-p)=,解得n=60,p=,所以【3-3】变量X的概率分布列如右表，其中,,a b c成等差数列，若1()3E X=，则()D X=_________.【答案】95【解析】由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⨯+-+==++3121cbacabcba，解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===213161cba，因此()9521311313161311222=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫⎝⎛--=XD.【3-4】【常州2015调研】某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球.活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金.（1）求员工甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？ξ的分布列为：11711 =0+30+60+240=34 241515120Eξ⨯⨯⨯⨯(2)由(1)可得乙一次抽奖中中奖的概率为1113 =1-=2424 P四次抽奖是相互独立的，所以中奖次数13(4,)24Bη故131114342424144Dη=⨯⨯=.【3-5】【无锡2015模拟】在2014年俄罗斯索契冬奥会某项目的选拔比赛中，A,B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员,A队队员是A1,A2,A3,B队队员是B1,B2,B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为．（1)求A队得分为1分的概率；（2）求的分布列；并用统计学的知识说明哪个队实力较强．于是 124140121570123105105105105105E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=, ∵ 3ξη+=, ∴ 1583105E E ηξ=-=.由于E E ηξ>, 故B 队比A 队实力较强. 【基础知识】 1．均值若离散型随机变量X 的分布列为X 1x 2x … i x … n x P1p2p …i p …n p称1122i i n n p 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．．若Y aX b =+，其中,a b 为常数，则Y 也是随机变量，且()()E aX b aE X b +=+. 若X 服从两点分布，则()E X p =； 若(),XB n p ，则()E X np =.2.方差若离散型随机变量X 的分布列为X 1x 2x … i x … n x P1p2p …i p …n p则()i x E X -描述了i x (1,2,,i n =)相对于均值()E X 的偏离程度，而()()()21ni i i D X x E X p ==-∑为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值()E X 的平均偏离程度．称()D X 为随机变量X 的方差，X 的标准差．若Y aX b =+，其中,a b 为常数，则Y 也是随机变量，且()()2D aX b a D X +=． 若X 服从两点分布，则()()1D X p p =-． 若(),XB n p ，则()()1D X np p =-．【思想方法】1. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数a b ηξ=+的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．2. 求离散型随机变量均值的步骤(1)理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值； (2)求X 的每个值的概率； (3)写出X 的分布列； (4)由均值定义求出()E X ． 3. 六条性质(1) ()E C C = (C 为常数)(2) ()()E aX b aE X b +=+ (,a b 为常数) (3) ()()()1212E X X E X E X +=+(4)如果12,X X 相互独立，则()()()1212E X X E X E X ⋅=⋅ (5) ()()()()22D XE XE X =-(6) ()()2D aX b a D X +=4. 均值与方差性质的应用若X 是随机变量，则()f X η=一般仍是随机变量，在求η的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算． 【温馨提醒】求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率. 【易错问题大揭秘】1.随机变量取值不全致误典例 (12分)盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同)．记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ.求随机变量ξ的可能取值及其分布列．易错分析 由于随机变量取值情况较多，极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误． 规范解答故随机变量ξ的分布列为ξ 2 3 4 6 7 10 P0.090.240.160.180.240.09温馨提醒 (1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式．(2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面． (3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.2.独立事件概率求解中的易误点典例 (12分)某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．易错分析 解本题第(2)问易因不明独立事件与独立重复试验的区别，误认为是n 次独立重复试验，可导致求得P ＝C 35(23)3×(13)2＝80243这一错误结果． 规范解答解 (1)设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，23.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为P (X ＝2)＝C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝40243.(3)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3)．由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.P (ξ＝0)＝P (A 1A 2A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127； P (ξ＝1)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×23×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝29； P (ξ＝2)＝P (A 1A 2A 3)＝23×13×23＝427； P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827； P (ξ＝6)＝P (A 1A 2A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827. 所以ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 6温馨提醒(1)正确区分相互独立事件与n次独立重复试验是解决这类问题的关键．独立重复试验是在同一条件下，事件重复发生或不发生．(2)独立重复试验中的概率公式P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k表示的是n次独立重复试验中事件A 发生k次的概率，p与1－p的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A有k次不发生的概率了.1掌握离散型随机变量的分布列，须注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．2．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立．3．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意“恰好”与“至多(少)”的关系，灵活运用对立事件．4．在没有准确判断分布列模型之前不能随便套用公式．5．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．。

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十一章 概率 11.2 古典概型 文1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)所有的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件的发生都是等可能的．3．如果1试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是 ，如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝ .4．古典概型的概率公式P(A)＝.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　×　)(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　×　)(3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．(　×　)(4)(教材改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.(　√　)(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.(　√　)(6)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为.(　√　)1．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是________．答案　解析　基本事件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，所以所求概率P＝＝.2．(2014·陕西改编)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．答案　解析　取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为＝.3．(2015·课标全国Ⅰ改编)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为________．答案　解析　从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10种不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.4．(教材改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．答案　解析　掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36种可能的结果，其中点数相同的结果共有6个，所以点数不同的概率P＝1－＝.5．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________．答案　解析　从6个数字中任取2个数字的可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，其中和为偶数的情况有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6种，所以所求的概率是.题型一　基本事件与古典概型的判断例1　袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解　(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．思维升华　一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．　下列试验中，是古典概型的个数为__________________________________．①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．答案　1解析　①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型．②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型．③符合古典概型的特点，是古典概型问题．题型二　古典概型的求法例2　(1)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________________________________．答案　0.6解析　5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，结果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10种．恰有一件次品的结果有6种，则其概率为P＝＝0.6.(2)(2015·江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．答案　解析　设取出的2只球颜色不同为事件A.基本事件有：(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)共6种，事件A包含5种．故P(A)＝.(3)(2014·四川)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.①求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；②求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．解　①由题意知，(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．所以P(A)＝＝.因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.②设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．所以P(B)＝1－P()＝1－＝.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.引申探究1．本例(2)中，将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2,3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率．解　基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种，所以P(A)＝＝.2．本例(2)中，条件不变改为有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率．解　基本事件：(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，共16种，其中颜色相同的有6种，故所求概率为P＝＝.思维升华　求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．　将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率．解　由题意，先后抛掷2次，向上的点数(x，y)共有n＝6×6＝36种等可能结果，为古典概型．(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，记为.∵事件包含的基本事件数m＝3×3＝9.∴P()＝＝，则P(B)＝1－P()＝，因此，两数中至少有一个奇数的概率为.(2)点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部记为事件C，则表示“点(x，y)在圆x2＋y2＝15上或圆的外部”．又事件C包含基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种．∴P(C)＝＝，从而P()＝1－P(C)＝1－＝.∴点(x，y)在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率为.题型三　古典概型与统计的综合应用例3　(2015·天津)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．解　(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2. (2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．因此，事件A发生的概率P(A)＝＝.思维升华　有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点．概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．　(2014·山东)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区A B C数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解　(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×＝1,150×＝3,100×＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.六审细节更完善典例　(14分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．(1)基本事件为取两个球↓(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)把取两个球的所有结果列举出来↓{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}↓两球编号之和不大于4(注意：和不大于4，应为小于4或等于4)↓{1,2}，{1,3}↓利用古典概型概率公式求解P＝＝(2)两球分两次取，且有放回↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示)基本事件的总数可用列举法表示↓(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)↓(注意细节，m是第一个球的编号，n是第2个球的编号)n<m＋2的情况较多，计算复杂↓(将复杂问题转化为简单问题)计算n≥m＋2的概率↓n≥m＋2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4)↓P1＝↓(注意细节，P1＝是n≥m＋2的概率，需转化为其,对立事件的概率)n<m＋2的概率为1－P1＝.规范解答解　(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有{1,2}，{1,3},2个．因此所求事件的概率P＝＝.[6分](2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．[8分]又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝.[12分]故满足条件n<m＋2的事件的概率为1－P1＝1－＝.[14分]温馨提醒　(1)本题在审题时，要特别注意细节，使解题过程更加完善．如第(1)问，注意两球一起取，实质上是不分先后，再如两球编号之和不大于4，即两球编号之和小于或等于4等；第(2)问，有先后顺序．(2)在列举基本事件空间时，可以利用列举、画树状图等方法，以防遗漏．同时要注意细节，如用列举法，第(1)问写成{1,2}的形式，表示无序，第(2)问写成(1,2)的形式，表示有序．(3)本题解答时，存在格式不规范，思维不流畅的严重问题．如在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件．在第(2)问中，由于不能将求事件n<m＋2的概率转化成先求n≥m＋2的概率，导致数据复杂、易错．所以按要求规范解答是做好此类题目的基本要求．[方法与技巧]1．古典概型计算三步曲第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．2．确定基本事件的方法(1)当基本事件总数较少时，可列举计算；(2)列表法、树状图法．3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算．[失误与防范]1．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的．2．概率的一般加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A∪B的概率，当A∩B＝∅时，A、B互斥，此时P(A∩B)＝0，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(2)要计算P(A∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件A∩B，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．A组　专项基础训练(时间：40分钟)1．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为________．答案　解析　从15个球中任取一球有15种抽法，抽到白球有6种，所以抽到白球的概率P＝＝.2．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．答案　解析　由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P＝.3．2015年暑假里，甲乙两人一起去游泰山，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是________．答案　解析　最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有6种，所以P＝＝.4．连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是__________．答案　解析　∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，∴m>n.基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．∴P＝＝.5．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．答案　解析　a n＝(－3)n－1，∴a2＝－3，a3＝9，a4＝－27，…，小于8的项共有a1，a2，a4，a6，a8，a10，共6项．所以所求概率为＝.6．(2014·浙江)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．答案　解析　设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种，所以P(A)＝＝.7．用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是________．答案　解析　由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2，若只用一种颜色有111；222.若用两种颜色有122；212；221；211；121；112.所以基本事件共有8种．又相邻颜色各不相同的有2种，故所求概率为.8．连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m＝________.答案　7解析　1＋1＝2,1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6,1＋6＝7,2＋1＝3,2＋2＝4,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,2＋6＝8……依次列出m的可能的值，知7出现次数最多．9．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．解　(1)由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36种．a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2种：(3,1)，(6,2)，所以事件a⊥b的概率为＝.(2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10，共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6种，其概率为＝. 10．有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别A B C D E人数5010015015050(1)为了调查大众评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干名大众评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表.组别A B C D E人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的大众评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的大众评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解　(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别A B C D E人数5010015015050抽取人数36993(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B 组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝.B组　专项能力提升(时间：25分钟)11．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于________．答案　解析　如图所示，从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C 共15种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A、D，B、E，C、F，共3种，故其概率为＝.12．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是________．答案　解析　易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为＝.13．一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．答案　解析　基本事件数为6×6＝36，编号之和为4的有：10种，所求概率为＝.14．甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2,3))，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由．解　(1)方片4用4′表示，则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为：(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)共12种不同的情况．(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为.(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况．甲胜的概率为P1＝，乙胜的概率为P2＝.因为<，所以此游戏不公平．15．(2014·福建)根据世行2013年新标准，人均GDP低于1 035美元为低收入国家；人均GDP为1 035～4 085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4 085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：行政区区人口占城市人口比例区人均GDP(单位：美元)A25%8 000 B30% 4 000C15% 6 000D10% 3 000E20%10 000(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．解　(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为(8 000×0.25a＋4 000×0.30a＋6 000×0.15a＋3 000×0.10a＋10 000×0.20a)＝6 400.因为6 400∈[4 085,12 616)，所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个，所以所求概率为P(M)＝.。

第十一章 计数原理、随机变量及其分布 第6讲 离散型随机变量的均值与方差练习 理基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.(2016·茂名模拟)若离散型随机变量X 的概率分布为则X 的数学期望E (X )＝解析 由概率分布的性质，a 2＋a 22＝1，∴a ＝1.故E (X )＝12×0＋12×1＝12.答案 122.已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值分别为________，________.解析 由二项分布X ～B (n ，p )及E (X )＝np ，V (X )＝np ·(1－p )得2.4＝np ，且1.44＝np (1－p )，解得n ＝6，p ＝0.4. 答案 6 0.43.罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X 为取得红球的次数，则X 的方差V (X )的值为________.解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，X 为取得红球(成功)的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，35，∴V (X )＝4×35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝2425.答案24254.口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的数学期望E (X )的值是________. 解析 由题意知，X 可以取3，4，5，P (X ＝3)＝1C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝610＝35，所以E (X )＝3×110＋4×310＋5×35＝4.5.答案 4.55.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________. 解析 记“不发芽的种子数为Y ”，则Y ～B (1 000，0.1)，所以E (Y )＝1 000×0.1＝100， 而X ＝2Y ，故E (X )＝E (2Y )＝2E (Y )＝200. 答案 2006.已知X 的概率分布为设Y ＝2X ＋1，则Y 解析 由概率分布的性质，a ＝1－12－16＝13，∴E (X )＝－1×12＋0×16＋1×13＝－16，因此E (Y )＝E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝23.答案 237.(2016·青岛模拟)设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则P (X ＝2)等于________.解析 由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，E (X )＝2，得np ＝13n ＝2，∴n ＝6， 则P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝80243.答案 802438.(2014·浙江卷)随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则V (ξ)＝________.解析 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以V (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.答案 25二、解答题9.(2016·常州调研)某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元(不足一小时的部分按一小时计算).甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为14，12，一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过三小时.(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布与数学期望E (ξ). 解 (1)甲、乙两人所付车费用相同即为2，4，6元.由题意知甲、乙超过两小时还车的概率分别为1－14－12＝14，1－12－14＝14.都付2元的概率为P 1＝14×12＝18，都付4元的概率为P 2＝12×14＝18，都付6元的概率为P 3＝14×14＝116，故所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝18＋18＋116＝516.(2)依题意知，ξ的可能取值为4，6，8，10，12.P (ξ＝4)＝14×12＝18， P (ξ＝6)＝14×14＋12×12＝516， P (ξ＝8)＝14×14＋12×14＋12×14＝516， P (ξ＝10)＝14×14＋12×14＝316，P (ξ＝12)＝14×14＝116.故ξ的概率分布为所求数学期望E (ξ)＝4×8＋6×16＋8×16＋10×16＋12×16＝2.10.(2016·南京、盐城模拟)某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生.若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的. (1)求恰有2人申请A 大学的概率；(2)求被申请大学的个数X 的概率分布与数学期望E (X ). 解 (1)记“恰有2人申请A 大学”为事件A ， P (A )＝C 24×2234＝2481＝827.即恰有2人申请A 大学的概率为827.(2)X 的所有可能值为1，2，3.P (X ＝1)＝334＝127，P (X ＝2)＝C 24×A 23＋C 24A 23A 2234＝4281＝1427， P (X ＝3)＝C 24×A 3334＝3681＝49.X 的概率分布为所以X 的数学期望E (X )＝1×27＋2×27＋3×9＝27.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则V (X )＝________.解析 由题意，X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫5，3m ＋3， 又E (X )＝5×3m ＋3＝3，∴m ＝2，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，35，故V (X )＝5×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝65. 答案 6512.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0，1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为________.解析 设投篮得分为随机变量X ，则X 的分布列为依题意，E (X )＝3a ＋2b ＝2，又∴2＝3a ＋2b ≥26ab ，则ab ≤16，当且仅当3a ＝2b ，即a ＝13，b ＝12时上式取等号.答案 1613.(2016·青岛调研)某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a 1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的数学期望为________元. 解析 由概率分布性质a 1＋2a 1＋4a 1＝1， ∴a 1＝17，从而2a 1＝27，4a 1＝47.因此获得资金ξ的概率分布为∴E (ξ)＝700×17＋560×7＋420×7＝500(元).答案 50014.(2016·苏北四市质检)某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的背诵正确的概率为p ＝23，背诵错误的概率为q ＝13，现记“该班级完成n 首背诵后总得分为S n ”.(1)求S 6＝20且S i ≥0(i ＝1，2，3)的概率； (2)记ξ＝|S 5|，求ξ的概率分布及数学期望.解 (1)当S 6＝20时，即背诵6首后，正确4首，错误2首，若第一首和第二首正确，则其余4首可任意背诵对2首；若第一首正确，第二首背诵错误，则第三首背诵正确，其余3首可任意背诵对2首.故所求的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232·C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋23·13·23·C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝1681.(2)因为ξ＝|S 5|的取值为10，30，50. 所以P (ξ＝10)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝4081； P (ξ＝30)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝3081； P (ξ＝50)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235＋C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝1181.所以ξ的概率分布为所以E (ξ)＝10×4081＋30×81＋50×81＝81.。

第十一章 计数原理、随机变量及其分布 第3讲 二项式定理练习 理基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.(2015·广东卷)在(x －1)4的展开式中，x 的系数为________.解析 T r ＋1＝C r 4·(x )4－r ·(－1)r ，令r ＝2，则C 24(－1)2＝6. 答案 6 2.(2016·苏州质检)若二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝________. 解析 T r ＋1＝C r 7·(2x )7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r＝27－r C r 7a r ·1x 2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a ＝1.答案 13.(2016·江西八校联考)若(1＋x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是________.解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝－2，又a 0＝C 071720＝1，a 8＝C 77(－2)7＝－128，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2－1－(－128)＝125.答案 1254.(2015·天津卷)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________. 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式的通项 T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x r ＝C r6⎝ ⎛⎭⎪⎫－14rx 6－2r ， 当6－2r ＝2时，r ＝2，所以x 2的系数为C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝1516. 答案 15165.(2016·河南八校三联)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x n的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________.解析 由已知条件第五项和第六项二项式系数最大，得n ＝9，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 9展开式的第四项为T 4＝C 39·(x )6·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＝212. 答案 2126.二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是________.解析 依题意n ＝10，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 210的通项公式T r ＋1＝C r 10(x )10－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝2r C r 10x 5－52r . 令5－52r ＝0，得r ＝2. ∴展开式中的常数项T 3＝22C 210＝180.答案 1807.(2014·浙江卷改编)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝________.解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 34＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120.答案 1208.(2015·全国Ⅱ卷)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________.解析 设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，①令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.答案 3二、解答题 9.已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n 的展开式中各项的系数和为256. (1)求n ；(2)求展开式中的常数项.解 (1)由题意得C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝256，∴2n ＝256，解得n ＝8.(2)该二项展开式中的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 8(3x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 8·x 8－4r 3， 令8－4r 3＝0，得r ＝2，此时，常数项为T 3＝C 28＝28. 10.已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n. (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.解 (1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0.∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5. ∴T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352， T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70， 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432. (2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0.∴n ＝12或n ＝－13(舍去).设第r ＋1项的系数最大， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C r 124r ≥C r －1124r －1，C r 124r ≥C r ＋1124r ＋1. ∴9.4≤r ≤10.4，∴r ＝10. ∴展开式中系数最大的项为第11项，T 11＝C 1012·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·210·x 10＝16 896x 10. 能力提升题组(建议用时：25分钟)11.设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝________.解析 由题意得：a ＝C m 2m ，b ＝C m 2m ＋1，所以13C m 2m ＝7C m 2m ＋1，∴13·（2m ）！m ！·m ！＝7·（2m ＋1）！m ！·（m ＋1）！， ∴7（2m ＋1）m ＋1＝13，解得m ＝6，经检验为原方程的解.答案 612.(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________(用数字作答). 解析 由二项展开式公式可知，含x 2y 7的项可表示为x ·C 78xy 7－y ·C 68x 2y 6，故(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为C 78－C 68＝C 18－C 28＝8－28＝－20. 答案 －2013. (2014·安徽卷)设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n.若点A i (i ，a i )(i ＝0，1，2)的位置如图所示，则a ＝________.解析 由题意知A 0(0，1)，A 1(1，3)，A 2(2，4). 故a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.又⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的通项公式T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a r(r ＝0，1，2，…，n ).故C 1n a ＝3，C 2n a 2＝4，解得a ＝3. 答案 314.(2016·盐城一模)已知f (x )＝(2＋x )n ，其中n ∈N *.(1)若展开式中含x 3项的系数为14，求n 的值；(2)当x ＝3时，求证：f (x )必可表示成s ＋s －1(s ∈N *)的形式.(1)解 因为T r ＋1＝C r n 2n －r x r 2，所以r ＝6，故x 3项的系数为C 6n ·2n －6＝14，解得n ＝7. (2)证明 由二项式定理可知，(2＋3)n ＝C 0n 2n (3)0＋C 1n 2n －1(3)1＋C 2n 2n －2(3)2＋…＋C n n 20(3)n， 设(2＋3)n ＝x ＋3y ＝x 2＋3y 2，而若有(2＋3)n ＝a ＋b ，a ，b ∈N *， 则(2－3)n ＝a －b ，a ，b ∈N *.因为(a ＋b )·(a －b )＝(2＋3)n ·(2－3)n ＝1，所以令a ＝s ，s ∈N *，则必有b ＝s －1.所以f (x )必可表示成s ＋s －1的形式，其中s ∈N *.。

江苏省2017年高考一轮复习专题突破训练统计与概率一、填空题1、（2016年江苏高考） 已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.2、（2016年江苏高考）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .3、（2015年江苏高考）已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数是__6________。

4、（2014年江苏高考）在底部周长]130,80[ 的树木进行研究，频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.5、（2015年江苏高考）袋中有大小形状都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中随机摸出2只球，这2只球颜色不同的概率为________________。

6、（南京市2016届高三三模）甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是▲________．7、（南京市2016届高三三模）从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是▲________．8、（南通、扬州、泰州三市2016届高三二模）为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h ）如下表：根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡只数是▲．9、（南通、扬州、泰州三市2016届高三二模）电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是▲．10、（南通市2016届高三一模）从1，2，3，4这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是11、（南通市2016届高三一模）为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间]4500,0[上，其频率分布直方图如下图所示，则被调查的10000户家庭中，有户月消费额在1000元以下12、（苏锡常镇四市2016届高三一模）一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频致和频率分别为40，0.125．则n的值为．13、（苏锡常镇四市2016届高三一模）为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是14、（苏锡常镇四市市2016届高三二模）从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差2s=▲．15、（苏锡常镇四市市2016届高三二模）同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为▲．16、（镇江市2016届高三一模）箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为________．17、（南通市海安县2016届高三上期末）用大小完全相同的黑、白两种颜色的正六边形积木拼成如图所示的图案，按此规律再拼5个图案，并将这8 个图案中的所有正六边形积木充分混合后装进一个盒子中，现从盒子中随机取出一个积木，则取出黑色积木的概率是；18、（苏州市2016届高三上期末）连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为 ▲ ．19、（泰州市2016届高三第一次模拟）甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为15，甲乙下成和棋的概率为25，则乙不输棋的概率为 ▲20、（扬州市2016届高三上期末）从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 ▲二、解答题1、（苏锡常镇四市市2016届高三二模）一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止． （1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布列．2、（苏州市2016届高三上期末） 一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．已知该网民购买A 种商品的概率均为34，购买B 种商品的概率均为23，购买E 种商品的概率为12．假设该网民是否购买这三种商品相互独立． （1）求该网民至少购买2种商品的概率；（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．3、（无锡市2016届高三上期末）甲乙丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,(01)2a a a <<，三人各射击一次，击中目标的次数为ξ（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()(0,1,2,3)P i i ξ==中，若(1)P ξ=的值最大，求实数a 的取值范围。

一、填空题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知一组数据8,10,9,12,11，那么这组数据的方差为_______. 【答案】2【解析】先算平均值：8+10+9+12+11=105，再算方差：22222(810)+(1010)+(910)+(1210)+(1110)=25-----.2. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_______.3. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】春风商店对某类商品销售数量(单位：个)进行统计，统计时间是9月1日至9月30日，每5天一组分组统计，绘制了如图的销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的此类商品数(单位：个)为 ．【答案】1200【解析】由直方图得12003146432180=+++++⨯.4. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知实数]10,0[∈a ，则函数3)4()(--=x a x f 在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为________． 【答案】52【解析】因4)4(3)('---=x a x f ，故当)(x f 在区间(0，＋∞)内为增函数时，04<-a ，即4<a ，因]10,0[∈a ，故所求概率为52104==P . 5. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】 已知一组数据：8,10,,12,11a 的方差为2，那么相对应的另一组数据：17,21,21,25,23a +的方差为_______. 【答案】8【解析】由题意得：所求方差为222=8.⨯6. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】袋中有形状、大小都相同的五只球，其中2只红球，3只白球，从中一次随机摸出2只球，则至少有1只白球的概率为_______. 【答案】910【解析】从五只球中一次随机摸出2只球共有10种基本事件，其中全是红球包含1种基本事件，因此至少有1只白球的概率为191=.1010-7. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】分别在集合{1234}A =，，，和集合{5678}B =，，，中各取一个数相乘，则乘积为偶数的概率为_______.8. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为_______.【答案】13【解析】从中4个球中任取两个球共有6种基本事件，其中两个球颜色相同包含两种基本事件，故概率为21=63.9. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】一汽车检测站对100辆汽车在一个时段经过某一雷达测速区进行测试，并将这些汽车运行时速绘制成频率分布直方图，则从图中可以看出时速超过h km /60的汽车数目约为 辆．km/h0。

１．基本事件的特点（１）任何两个基本事件是互斥的．（２）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．２．古典概型（１）（２）概率计算公式：P（A）＝错误!.[小题体验]１．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为________．解析：同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次所得的结果有8种，有两枚硬币正面向上的结果有３种，有三枚硬币正面向上的结果有１种，则至少有两枚硬币正面向上的结果有４种，从而至少有两枚硬币正面向上的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!２．从１,２,３,４,５中任意取出两个不同的数，其和为５的概率是________．解析：两数之和等于５有两种情况（１,４）和（２,３），总的基本事件有（１,２），（１,３），（１,４），（１,５），（２,３），（２,４），（２,５），（３,４），（３,５），（４,５），共１0种．所以所求概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!３．小明忘记了微信登录密码的后两位，只记得最后一位是字母A，a，B，b中的一个，另一位是数字４,５,6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登录的概率是________．解析：开机密码有（４，A），（４，a），（４，B），（４，b），（５，A），（５，a），（５，B），（５，b），（6，A），（6，a），（6，B），（6，b），共１２种可能，所以小明输入一次密码能够成功登录的概率是错误!.答案：错误!在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视它们是否是等可能的．[小题纠偏]１．从分别标有１,２，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取２次，每次抽取１张，则抽到的２张卡片上的数奇偶性不同的概率是________．解析：由题意得，所求概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!２．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，直线l１：ax＋by＝４，直线l２：x＋２y＝２，则l１∥l２的概率为________．解析：把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，共有３6种结果．要使直线l１：ax＋by＝４与直线l２：x＋２y＝２平行，则有a＝１，b＝２或a＝３，b＝6，即（１,２），（３,6），共２种结果，所以两条直线平行的概率是错误!＝错误!.答案：错误!错误!错误![题组练透]１．抛一枚硬币３次，恰好２次正面向上的概率为________．解析：抛一枚硬币３次的基本事件有8种，恰好２次正面向上的基本事件有３种，则恰好２次正面向上的概率为错误!.答案：错误!２．（２0１9·启东中学月考）现有５支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这５支彩笔中任取２支不同颜色的彩笔，则取出的２支彩笔中含有红色彩笔的概率为________．解析：从５支不同颜色的彩笔中任取２支的取法有１0种，取到含有红色彩笔的取法有４种，故所求概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!３．（２0１8·苏州测试）现有五条线段，其长度分别为２,３,４,５,7．现任取三条，则这三条线段可以构成三角形的概率是________．解析：从长度分别为２,３,４,５,7的五条线段中任取三条，有（２,３,４），（２,３,５），（２,３,7），（２,４,５），（２,４,7），（２,５,7），（３,４,５），（３,４,7），（３,５,7），（４,５,7）共１0个基本事件，记“这三条线段可以构成三角形”为事件A，则事件A包含（２,３,４），（２,４,５），（３,４,５），（３,５,7），（４,５,7）共５个基本事件，所以这三条线段可以构成三角形的概率是错误!.答案：错误!４．从错误!—错误!＝１（其中m，n∈{—１,２,３}）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为________．解析：当方程错误!—错误!＝１表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m＜0，n＞0，所以方程错误!—错误!＝１表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的（m，n）有（２，—１），（３，—１），（２,２），（３,２），（２,３），（３,３），（—１，—１），共7种，其中表示焦点在x轴上的双曲线时，则m＞0，n＞0，有（２,２），（３,２），（２,３），（３,３），共４种，所以所求概率P＝错误!.答案：错误![谨记通法]１．求古典概型概率的步骤（１）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（２）分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（３）利用公式P（A）＝错误!，求出事件A的概率．２．基本事件个数的确定方法错误!错误![锁定考向]古典概型常与平面向量、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高．常见的命题角度有：（１）古典概型与平面向量相结合；（２）古典概型与直线、圆相结合；（３）古典概型与统计相结合．[题点全练]角度一：古典概型与平面向量相结合１．从集合{２,３,４,５}中随机抽取一个数a，从集合{１,３,５}中随机抽取一个数b，则向量m＝（a，b）与向量n＝（１，—１）垂直的概率为________．解析：由题意可知m＝（a，b）所有基本事件有４×３＝１２种情况，m⊥n，即m·n＝0．所以a×１＋b×（—１）＝0，即a＝b，满足条件的有（３,３），（５,５），共２种情况，所以所求概率为错误!.答案：错误!角度二：古典概型与直线、圆相结合２．（２0１9·扬州调研）已知A，B∈{—３，—１,１,２}且A≠B，则直线Ax＋By＋１＝0的斜率小于0的概率为________．解析：由题意知，所有的基本事件（A，B）为（—３，—１），（—３,１），（—３,２），（—１,１），（—１,２），（１,２），（—１，—３），（１，—３），（２，—３），（１，—１），（２，—１），（２,１），共１２种，其中（—３，—１），（１,２），（—１，—３），（２,１）这４种能使直线Ax＋By＋１＝0的斜率小于0，所以所求的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!３．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆（x—２）２＋y２＝２有公共点的概率为________．解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组（a，b）有（１,１），（１,２），（１,３），…，（6,6），共３6种，其中满足直线ax＋by＝0与圆（x—２）２＋y２＝２有公共点，即满足错误!≤ 错误!，即a≤b，则当a＝１时，b＝１,２,３,４,５,6，共有6种，当a＝２时，b＝２,３,４,５,6，共５种，同理当a＝３时，有４种，a＝４时，有３种，a＝５时，有２种，a＝6时，有１种，故共6＋５＋４＋３＋２＋１＝２１种，因此所求的概率等于错误!＝错误!.答案：错误!角度三：古典概型与统计相结合４．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为7５分．用x n表示编号为n（n＝１,２，…，6）的同学所得成绩，且前５位同学的成绩如下：编号n１２３４５成绩x n70767２707２（１）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s.（２）从前５位同学中，随机地选２位同学，求恰有１位同学成绩在区间（68,7５）中的概率．解：（１）因为这6位同学的平均成绩为7５分，所以错误!（70＋76＋7２＋70＋7２＋x6）＝7５，解得x6＝90,这6位同学成绩的方差s２＝错误![（70—7５）２＋（76—7５）２＋（7２—7５）２＋（70—7５）２＋（7２—7５）２＋（90—7５）２]＝４9，所以标准差s＝7．（２）从前５位同学中，随机地选出２位同学的成绩有（70,76），（70,7２），（70,70），（70,7２），（76,7２），（76,70），（76,7２），（7２,70），（7２,7２），（70,7２），共１0种结果，恰有１位同学成绩在区间（68,7５）中的有（70,76），（76,7２），（76,70），（76,7２），共４种结果，故所求的概率P＝错误!＝错误!，即恰有１位同学成绩在区间（68,7５）中的概率为错误!.[通法在握]求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：[演练冲关]１．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则椭圆错误!＋错误!＝１的离心率e＞错误!的概率是________．解析：同时掷两颗骰子，得到的点数所形成的数组共有３6种情况，当a＞b时，e＝错误!＞错误!⇒错误!＜错误!⇒a＞２b，符合a＞２b的情况有：当b＝１时，有a＝３,４,５,6四种情况；当b＝２时，有a＝５,6两种情况．总共有6种情况，则概率是错误!＝错误!.同理当a＜b时，e＞错误!的概率也为错误!.综上可知e＞错误!的概率为错误!.答案：错误!２．（２0１8·苏北四市联考）某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的３00名学生中以班为单位（每班学生５0人），每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三（１）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：（２）已知其余五个班学生视力的平均值分别为４．３,４．４，４．５，４．6,４．8．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0．２的概率．解：（１）高三（１）班学生视力的平均值为错误!＝４．7，故用上述样本数据估计高三（１）班学生视力的平均值为４．7．（２）从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有１５种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0．２的取法有：（４．３,４．５），（４．３,４．6），（４．３,４．7），（４．３,４．8），（４．４,４．6），（４．４,４．7），（４．４,４．8），（４．５,４．7），（４．５,４．8），（４．6,４．8），共有１0种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0．２的概率为P＝错误!＝错误!.一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．从２个黄球，３个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是________.解析：由列举法得，基本事件共１0个，满足条件的事件共6个，所以概率为错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·苏锡常镇一模）从集合{１,２,３,４}中任取两个不同的数，则这两个数的和为３的倍数的概率为________．解析：从集合{１,２,３,４}中任取两个不同的数，基本事件总数n＝6，这两个数的和为３的倍数包含的基本事件有（１,２），（２,４），共２个，所以这两个数的和为３的倍数的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!３．（２0１9·盐城模拟）从１,２,３,４,５,6这六个数中一次随机地取出２个数，则所取２个数的和能被３整除的概率为________．解析：从１,２,３,４,５,6这六个数中一次随机地取出２个数，基本事件总数n＝１５，所取２个数的和能被３整除包含的基本事件有（１,２），（１,５），（２,４），（３,6），（４,５），共５个，所以所取２个数的和能被３整除的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!４．（２0１8·苏北四市一模）现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是________.解析：把这三张卡片排序有“中国梦”，“中梦国”，“国中梦”，“国梦中”，“梦中国”，“梦国中”，共有6种，能组成“中国梦” 的只有１种，故所求概率为错误!.答案：错误!５．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数（m＋n i）（n—m i）为实数的概率为________．解析：因为（m＋n i）（n—m i）＝２mn＋（n２—m２）i，所以要使其为实数，须n２＝m２，即m＝n.由已知得，事件的总数为３6，m＝n，有（１,１），（２,２），（３,３），（４,４），（５,５），（6,6）共6个，所以所求的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!6．（２0１8·苏州期末）连续２次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字１,２,３,４,５,6），则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为________．解析：设基本事件为（a，b），其中a，b∈{１,２,３,４,５,6}，共有6×6＝３6个．满足a＋b＝7的解有6组：（１,6），（２,５），（３,４），（４,３），（５,２），（6,１），所以P＝错误!＝错误!.答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１8·南通调研）１00张卡片上分别写有１,２,３，…，１00．从中任取１张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率为________．解析：从１00张分别写有１,２,３，…，１00的卡片中任取１张，基本事件总数n＝１00，所取这张卡片上的数是6的倍数包含的基本事件有１×6,２×6，…，１6×6，共１6个，所以所取卡片上的数是6的倍数的概率为错误!＝错误!.答案：错误!２．在正六边形的6个顶点中随机选择４个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为________．解析：如图，在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择４个顶点，共有１５种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!３．（２0１9·张家港模拟）若先后抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，点P（m，n）落在区域|x—２|＋|y—２|≤２内的概率为________．解析：由题意可得，基本事件n＝３6．当m＝１时，１≤n≤３，故符合条件的基本事件有３个；当m＝２时，１≤n≤４，故符合条件的基本事件有４个；当m＝３时，１≤n≤３，故符合条件的基本事件有３个；当m＝４时，n＝２，故符合条件的基本事件有１个．故符合条件的基本事件共１１个，所以所求概率为错误!.答案：错误!４．（２0１8·南京一模）甲盒子中有编号分别为１,２的２个乒乓球，乙盒子中有编号分别为３,４,５,6的４个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出１个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为________．解析：由题意得，从甲、乙两个盒子中随机地各取出１个乒乓球，共有２×４＝8种情况，编号之和大于6的有（１,6），（２,５），（２,6），共３种，所以取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为错误!.答案：错误!５．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时，称该三位自然数为“凹数”（如２１３,３１２等），若a，b，c∈{１,２,３,４}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是________．解析：由１,２,３组成的三位自然数为１２３,１３２,２１３,２３１,３１２,３２１，共6个；同理由１,２,４组成的三位自然数共6个；由１,３,４组成的三位自然数也是6个；由２,３,４组成的三位自然数也是6个．所以共有４×6＝２４个．当b＝１时，有２１４,２１３,３１２,３１４,４１２,４１３，共6个“凹数”；当b＝２时，有３２４,４２３，共２个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!6．已知函数f（x）＝错误!x３＋ax２＋b２x＋１，若a是从１,２,３三个数中任取的一个数，b是从0,１,２三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为________．解析：对函数f（x）求导可得f′（x）＝x２＋２ax＋b２，要满足题意需x２＋２ax＋b２＝0有两个不等实根，即Δ＝４（a２—b２）＞0，即a＞b.又（a，b）的取法共有9种，其中满足a＞b的有（１,0），（２,0），（２,１），（３,0），（３,１），（３,２），共6种，故所求的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!7．有红心１,２,３,４和黑桃５这五张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌均为红心的概率是________．解析：从红心１,２,３,４和黑桃５这五张扑克牌中随机抽取两张，基本事件为：（１,２），（１,３），（１,４），（１,５），（２,３），（２,４），（２,５），（３,４），（３,５），（４,５），共１0种不同的取法，抽到的牌均为红心的事件为：（１,２），（１,３），（１,４），（２,３），（２,４），（３,４），共6种不同的取法，则所求的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!8．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A１，A２，A３，B１，B２，C１，C２表示，其中A１，A２，A的数学成绩优秀，B１，B２的物理成绩优秀，C１，C２的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩３优秀者各１名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A１和B１不全被选中的概率为________．解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各１名，所有可能的结果组成的１２个基本事件为：（A１，B１，C１），（A１，B１，C２），（A１，B２，C１），（A１，B２，C２），（A２，B１，C１），（A２，B１，C２），（A２，B２，C１），（A２，B２，C２），（A３，B１，C１），（A３，B１，C２），（A３，B２，C１），（A３，B，C２）．２设“A１和B１不全被选中”为事件N，则其对立事件错误!表示“A１和B１全被选中”，由于错误!＝{（A，B１，C１），（A１，B１，C２）}，所以P（错误!）＝错误!＝错误!，由对立事件的概率计算公式得P（N）１＝１—P（错误!）＝１—错误!＝错误!.答案：错误!9．（２0１9·南通调研）某奶茶公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的奶茶共５杯，其颜色完全相同，并且其中３杯为A奶茶，另外２杯为B奶茶，公司要求此员工一一品尝后，从５杯奶茶中选出２杯奶茶．若该员工２杯都选A奶茶，则评为优秀；若２杯选中１杯A奶茶，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A和B两种奶茶没有鉴别能力．（１）求此人被评为优秀的概率；（２）求此人被评为良好及以上的概率．解：（１）假设３杯A奶茶为A１，A２，A３,２杯B奶茶为B１，B２，则从五杯奶茶中任选两杯的所有可能结果为：A１A２，A１A３，A１B１，A１B２，A２A３，A２B１，A２B２，A３B１，A３B２，B１B２，共１0种结果.记“此人被评为优秀”为事件M，则事件M包含的所有结果为：A１A２，A１A３，A２A３，共３种结果，所以此人被评为优秀的概率P（M）＝错误!.（２）记“此人被评为良好及以上”为事件N，则事件N包含的所有结果为：A１A２，A１A３，A１B１，A１B２，A２A３，A２B１，A２B２，A３B１，A３B２，共9种结果，所以此人被评为良好及以上的概率P（N）＝错误!.１0．一个均匀的正四面体四个面上分别涂有１,２,３,４四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c.（１）记z＝（b—３）２＋（c—３）２，求z＝４的概率；（２）若方程x２—bx—c＝0至少有一根a∈{１,２,３,４}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解：（１）因为是投掷两次，因此基本事件（b，c）共有４×４＝１6种．当z＝４时，（b，c）的所有取值为（１,３），（３,１），共２种，所以z＝４的概率P＝错误!＝错误!.（２）１若方程一根为x＝１，则１—b—c＝0，即b＋c＝１，不成立．２若方程一根为x＝２，则４—２b—c＝0，即２b＋c＝４，所以b＝１，c＝２．３若方程一根为x＝３，则9—３b—c＝0，即３b＋c＝9，所以b＝２，c＝３．４若方程一根为x＝４，则１6—４b—c＝0，即４b＋c＝１6，所以b＝３，c＝４．综上所述，（b，c）的所有可能取值为（１,２），（２,３），（３,４）．所以方程为“漂亮方程”的概率P＝错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．从集合A＝{—２，—１,２}中随机选取一个数记为a，从集合B＝{—１，１,３}中随机选取一个数记为b，则直线ax—y＋b＝0不经过第四象限的概率为________．解析：从集合A，B中随机选取后组合成的数对有（—２，—１），（—２,１），（—２,３），（—１，—１），（—１,１），（—１,３），（２，—１），（２,１），（２,３），共9种，要使直线ax—y＋b＝0不经过第四象限，则需a＞0，b＞0，共有２种满足，所以所求概率P＝错误!.答案：错误!２．设集合A＝{0,１,２}，B＝{0,１,２}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上一个点P（a，b），设“点P（a，b）落在直线x＋y＝n上”为事件C n（0≤n≤４，n∈N），若事件C n的概率最大，则n的值为________．解析：由题意知，点P的坐标的所有情况为（0,0），（0,１），（0,２），（１,0），（１,１），（１,２），（２,0），（２,１），（２,２），共9种．当n＝0时，落在直线x＋y＝0上的点的坐标为（0,0），共１种；当n＝１时，落在直线x＋y＝１上的点的坐标为（0,１）和（１,0），共２种；当n＝２时，落在直线x＋y＝２上的点的坐标为（１,１），（２,0），（0,２），共３种；当n＝３时，落在直线x＋y＝３上的点的坐标为（１,２），（２,１），共２种；当n＝４时，落在直线x＋y＝４上的点的坐标为（２,２），共１种．因此，当C n的概率最大时，n＝２．答案：２３．（２0１9·昆山检测）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：１若xy≤３，则奖励玩具一个；２若xy≥8，则奖励水杯一个；３其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．（１）求小亮获得玩具的概率；（２）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解：用数对（x，y）表示儿童参加活动两次记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{（x，y）|x∈N，y∈N,１≤x≤４,１≤y≤４}一一对应，因为S中元素个数是４×４＝１6，所以基本事件总数n＝１6．（１）记“xy≤３”为事件A.则事件A包含的基本事件共有５个，即（１,１），（１,２），（１,３），（２,１），（３,１）．所以P（A）＝错误!，即小亮获得玩具的概率为错误!.（２）记“xy≥8”为事件B，“３＜xy＜8”为事件C.则事件B包含的基本事件共有6个，即（２,４），（３,３），（３,４），（４,２），（４,３），（４,４）．所以P（B）＝错误!＝错误!.事件C包含的基本事件共有５个，即（１,４），（２,２），（２,３），（３,２），（４,１），所以P（C）＝错误!.因为错误!＞错误!，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．。

专题11.3 概率分布与数学期望、方差【最新考纲解读】【考点深度剖析】1. 江苏高考中，一般考古典概型、相互独立、二项概型基础上的随机变量的分布，期望与方差。

2. 随机变量的概率分布及期望，内容多，处理方式灵活，可以考查其中一块，可以内部综合，可以作为问题的背景与其他内容结合考，复习时要注重基础，以不变应万变.【课前检测训练】【判一判】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( )(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( )(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．( )(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．( )(5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( )(6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( ) (7)条件概率一定不等于它的非条件概率．( ) (8)相互独立事件就是互斥事件．( )(9)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( )(10)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .( )(11)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率．( )(12)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133－1＝49.( )(13)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．( )(14)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( )(15)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．( )(16)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( )(17)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．( )1. √2. √3. ×4. √5. ×6. √7. ×8. ×9. ×10. ×11. √12. ×13. √14. √15. √16. √17. × 【练一练】1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( ) A ．至少取到1个白球 B ．至多取到1个白球 C ．取到白球的个数 D ．取到的球的个数 【答案】C2．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X ，那么随机变量X 可能取得的值有( )A ．17个B ．18个C ．19个D ．20个【答案】A【解析】X 可能取得的值有3,4,5，…，19共17个． 3．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于( ) A.16 B.13 C.12 D.23 【答案】D【解析】∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.4．随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，则n ＝________. 【答案】10【解析】P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1n ＋1n ＋1n ＝3n＝0.3，得n ＝10.5．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为______． 【答案】272206．袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为( ) A.38 B.27 C.28 D.37 【答案】B【解析】第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，所以再摸到红球的概率为27.7．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A ．0.8 B ．0.75 C ．0.6 D ．0.45 【答案】A【解析】已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P ＝0.60.75＝0.8.8.如图，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8，0.8，则系统正常工作的概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576 【答案】B9．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． 【答案】35【解析】设该队员每次罚球的命中率为p ，则依题意有1－p 2＝1625，即p 2＝925.又0<p <1，故p＝35. 10．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________． 【答案】1211．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的均值E (ξ)＝8.9，则y 的值为( ) A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.9 【答案】A【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9，可得y ＝0.4.12．设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( ) A ．1＋a,4 B ．1＋a,4＋a C ．1,4 D ．1,4＋a【答案】A 【解析】x 1＋x 2＋…＋x 1010＝1，y i ＝x i ＋a ，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为1＋a ，方差不变仍为4.故选A.13．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)则D (X )等于( )A ．5B ．8C ．10D ．16 【答案】B【解析】∵E (X )＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，∴D (X )＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.14．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.【答案】25【解析】设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.15．抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________． 【答案】509【题根精选精析】考点1 离散型随机变量及其分布列【1-1】随机变量X 的概率分布规律为P （X ＝n ）＝(1)an n + （n ＝1,2,3,4），其中a 是常数，则P （12＜X ＜52）的值为 . 【答案】56【解析】因为随机变量X 的概率分布规律为()==n X p (1)an n + （n ＝1,2,3,4），所以()()()()==+=+=+=4321X p X p X p X p 45154=⇒=a a ，所以 ()()==+==⎪⎭⎫ ⎝⎛<<212521X p X p X p 65.【1-2】若随机变量X 的分布列如下表，且EX=6.3， 则表中a 的值为 .【答案】7【解析】由11.05.0=++b 得4.0=b ，()3.64.091.05.04=⨯+⨯+⨯=a X E ，解7=a 【1-3】口袋中有n(n ∈N *)个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X ＝2)＝730，则n 的值为 . 【答案】7【1-4】在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：21006542098874286438210乙地甲地规定：当产品中的此种元素含量15≥毫克时为优质品.（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）； （Ⅱ）从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品数ξ的分布列及数学期望()E ξ.【解析】 (I)甲厂抽取的样本中优等品有7件,优等品率为7.10乙厂抽取的样本中优等品有8件,优等品率为84.105= (II)ξ的取值为1，2，3. 12823101(1),15C C P C ξ⋅=== 21823107(2),15C C P C ξ⋅===157)3(3100238=⋅==C C C P ξ 所以ξ的分布列为故的数学期望为17712123.1515155Eξ=⨯+⨯+⨯=（） 【1-5】甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个，700个，1050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验.（1）从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这两个零件都不是甲车床加工的，求其中至少有一个是乙车床加工的零件；（2）从抽取的6个零件中任意取出3个，记其中是乙车床加工的件数为X ，求X 的分布列和期望.X 的期望为()00.210.620.21E x =⨯+⨯+⨯=．【基础知识】1．离散型随机变量的分布列 (1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η等表示． (2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． 若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中,a b 是常数，则η也是随机变量. 2.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为其中01p <<，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布．其中()1p P X ==称为成功概率． (2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X k =}发生的概率为()k n k M N MnNC C P X k C --==，0,1,2,,k m =，其中{}min ,m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈，称分布列为超几何分布列.(3)设离散型随机变量可能取得值为1，2，…，i ，…n ，取每一个值i (,n )的概率为()i i PX x p ==，则称表为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列．有时为了表达简单，也用等式()i i P X x p ==，1,2,,i n =表示X 的分布列．分布列的两个性质 ①0i p ≥，1,2,,i n =；②121n p p p +++=.【思想方法】1. 求分布列的三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(1)可设出随机变量Y ，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n 次独立重复试验有k 次发生的概率求离散型随机变量的分布列． 2. 求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量X 的所有可能取值x i (i ＝1,2, 3，…，n )； (2)求出各取值的概率P (X ＝x i )＝p i ；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确． 3. 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路 (1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值． (3)根据分布列和期望、方差公式求解．注意 解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．【温馨提醒】求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率. 考点2 二项分布及应用【2-1】【盐城2015调研】袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是 . 【答案】12【2-2】已知在一次试验中，()0.7P A =，那么在4次独立重复试验中，事件A 恰好在前两次发生的概率是 . 【答案】0441.0【解析】因为()0.7P A =，所以在4次独立重复试验中，事件A 恰好在前两次发生的概率()()0441.03.07.022==P ．【2-3】设服从二项分布(,)B n p 的随机变量X 的期望和方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数,n p 的值为 .【答案】6,0.4n p ==【解析】由二项分布的期望和方差得()⎩⎨⎧=-=44.114.2p np np ，解的⎩⎨⎧==64.0n p【2-4】【2015四川模拟】一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200-分）.设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 【解析】试题分析：（1）由()(1)k k n kn nP k C p p -=-得，1331(200),(10),(20),(100)8888P X P X P X P X =-=======.所以X 的分布列为【2-5】【北京市西城区2015模拟】在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（1）根据频率分布表中的数据，写出a 、b 的值；（2）某人从灯泡样品中随机地购买了()n n N *∈个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按三．．个等级分层抽样．．．．．．．所得的结果相同，求n 的最小值； （3）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望.所以X 的数学期望()279130123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（注：写出13,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3311144kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0k =、1、2、3. 请酌情给分） 【基础知识】1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号()/p B A 来表示，其公式为()()()/p AB p B A P A =.在古典概型中，若用()n A 表示事件A 中基本事件的个数，则()()()/n AB p B A n A =. (2)条件概率具有的性质： ①()0/1p B A ≤≤；② 如果B 和C 是两互斥事件，则()()()///p B C A p B A p C A =+．2．相互独立事件(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则()()/p B A p B =，()()()()()/p AB p B A P A P A P B =⋅=⋅．(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)若()()()p AB P A P B =⋅，则A 与B 相互独立． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为k ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()()1n kk kn P X k C p p -==-(0,1,2,,k n =)，此时称随机变量X 服从二项分布，记作(),XB n p ，并称p 为成功概率．【思想方法】1. 条件概率的求法(1)定义法：先求()P A 和()p AB ，再由()()()/p AB p B A P A =，求()/p B A ；(2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数()n A ，再求事件AB 所包含的基本事件数()n AB ，得()()()/n AB p B A n A =.2. 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解． 3. 二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的． (2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． (4)随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数． 4.二项展开式的通项与二项分布的概率公式的“巧合”一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中()0p A p =>.我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验．在n 次独立重复试验中，每次试验事件A 发生的概率均为()01p p <<，即()p A p =，()1p A p q =-=.由于试验的独立性，n 次试验中，事件A 在某指定的k 次发生，而在其余n k -次不发生的概率为k n k p q -.而在n 次试验中，事件A 恰好发生()0k k n ≤≤次的概率为()kkn kn n P k C p q-=，0,1,2,,k n =.它恰好是()np q +的二项展开式中的第1k +项．5. 牢记且理解事件中常见词语的含义： (1) A 、B 中至少有一个发生的事件为A B ；(2) A 、B 都发生的事件为AB ； (3) A 、B 都不发生的事件为AB ； (4) A 、B 恰有一个发生的事件为AB AB ； (5) A 、B 至多一个发生的事件为ABABAB .【温馨提醒】这些都是二项分布问题，关键是正确求出随机变量的分布列，可直接使用公式求解. 因此牢记公式()k k n kn n P k C p q-=，0,1,2,,k n =，并深刻理解其含义．考点3 离散型随机变量的均值与方差【3-1】设随机变量X ～B （n ，p ），且E （X ）＝1.6，D （X ）＝1.28，则,n p 的值为 . 【答案】n ＝8，p ＝0.2【解析】因为随机变量X ～B （n ，p ），且E （X ）＝1.6，D （X ）＝1.28，所以()()()8,2.026.116.1==⇒⎩⎨⎧=-===n p p np X D np X E . 【3-2】设服从二项分布X ～B （n ，p ）的随机变量X 的均值与方差分别是15和，则n 、p的值分别是 . 【答案】60，【解析】由二项分布X ～B （n ，p ）的均值与方差可知E(X)=np=15,D(X)=np(1-p)=,解得n=60,p=,所以【3-3】变量X 的概率分布列如右表，其中,,a b c 成等差数列，若1()3E X =，则()D X =_________.【答案】95【3-4】【常州2015调研】某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球.活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金.（1）求员工甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？【3-5】【无锡2015模拟】在2014年俄罗斯索契冬奥会某项目的选拔比赛中，A,B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员,A队队员是A1,A2,A3,B队队员是B1,B2,B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为．（1)求A 队得分为1分的概率；（2）求的分布列；并用统计学的知识说明哪个队实力较强．【基础知识】 1．均值若离散型随机变量X 的分布列为称1122i i n n E X x p x p x p x p =+++++为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．．若Y aX b =+，其中,a b 为常数，则Y 也是随机变量，且()()E aX b aE X b +=+. 若X 服从两点分布，则()E X p =； 若(),XB n p ，则()E X np =.2.方差若离散型随机变量X 的分布列为则()i x E X -描述了i x (1,2,,i n =)相对于均值()E X 的偏离程度，而()()()21ni i i D X x E X p ==-∑为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值()E X 的平均偏离程度．称()D X 为随机变量X X 的标准差．若Y aX b =+，其中,a b 为常数，则Y 也是随机变量，且()()2D aX b a D X +=． 若X 服从两点分布，则()()1D X p p =-． 若(),XB n p ，则()()1D X np p =-．【思想方法】1. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数a b ηξ=+的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．2. 求离散型随机变量均值的步骤(1)理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值； (2)求X 的每个值的概率； (3)写出X 的分布列； (4)由均值定义求出()E X ． 3. 六条性质(1) ()E C C = (C 为常数)(2) ()()E aX b aE X b +=+ (,a b 为常数) (3) ()()()1212E X X E X E X +=+(4)如果12,X X 相互独立，则()()()1212E X X E X E X ⋅=⋅ (5) ()()()()22D XE XE X =-(6) ()()2D aX b a D X +=4. 均值与方差性质的应用若X 是随机变量，则()f X η=一般仍是随机变量，在求η的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算． 【温馨提醒】求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率. 【易错问题大揭秘】1.随机变量取值不全致误典例 (12分)盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同)．记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ.求随机变量ξ的可能取值及其分布列．易错分析 由于随机变量取值情况较多，极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误．温馨提醒 (1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式．(2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面． (3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.2.独立事件概率求解中的易误点典例 (12分)某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．易错分析 解本题第(2)问易因不明独立事件与独立重复试验的区别，误认为是n 次独立重复试验，可导致求得P ＝C 35(23)3×(13)2＝80243这一错误结果．规范解答温馨提醒(1)正确区分相互独立事件与n次独立重复试验是解决这类问题的关键．独立重复试验是在同一条件下，事件重复发生或不发生．(2)独立重复试验中的概率公式P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k表示的是n次独立重复试验中事件A发生k次的概率，p与1－p的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A 有k次不发生的概率了.[失误与防范]1掌握离散型随机变量的分布列，须注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．2．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立．3．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意“恰好”与“至多(少)”的关系，灵活运用对立事件．4．在没有准确判断分布列模型之前不能随便套用公式．5．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．。

１．事件的相关概念２．频数、频率和概率（１）频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n（A）＝错误!为事件A出现的频率．（２）概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率f n（A）稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率．３．概率的几个基本性质（１）概率的取值范围：0≤P（A）≤１.（２）必然事件的概率为错误!.（３）不可能事件的概率为错误!.（４）概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．（５）对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A＋B为必然事件，P（A＋B）＝１，P（A）＝１—P（B）．[小题体验]１．同时抛掷两枚大小相同的骰子，用（x，y）表示结果，记A为“所得点数之和小于５”，则事件A包含的基本事件有________个．解析：由题意知，事件A包含的基本事件有（１,１），（１,２），（１,３），（２,１），（２,２），（３,１），共6个.答案：6２．如果从不包括大、小王的５２张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是错误!，取到方块的概率是错误!，则取到黑色牌的概率是________．答案：错误!３．一袋中装有１0个大小、形状完全相同的黑球、红球和白球，其中有３个黑球，若从中随机摸出１个球，摸出红球的概率为0．２，则摸出白球的概率为________．解析：法一：设袋中红球的个数为x，则错误!＝0．２，所以x＝２．又黑球共有３个，所以白球有５个，所以摸出白球的概率P＝错误!＝0．５．法二：由题意得，随机摸出１个球，摸出黑球的概率为0．３．由对立事件的概率计算公式可得，摸出白球的概率为１—（0．２＋0．３）＝0．５．答案：0．５１．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．２．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．[小题纠偏]１．某地气象局预报说，明天本地降雨概率为80%，则下列解释正确的是________（填序号）．１明天本地有80%的区域降雨，２0%的区域不降雨；２明天本地有80%的时间降雨，２0%的时间不降雨；３明天本地降雨的可能性是80%；４以上说法均不正确．解析：１２显然不正确．因为80%的概率是说降雨的概率，而不是说80%的区域降雨，更不是说有80%的时间降雨，是指降雨的可能性是80%.答案：３２．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于１60 cm的概率为0．２，该同学的身高在[１60,１7５]（单位：cm）的概率为0．５，那么该同学的身高超过１7５cm的概率为________．解析：由对立事件的概率公式可求得该同学的身高超过１7５cm的概率为１—（0．２＋0．５）＝0．３．答案：0．３错误!错误![题组练透]１．一箱产品中有正品４件，次品３件，从中任取２件．１恰有１件次品和恰有２件次品；２至少有１件次品和全是次品；３至少有１件正品和至少有１件次品；４至少有１件次品和全是正品．以上各组事件中是互斥事件的序号是________．解析：１４中的两事件互斥，２３中的两事件不互斥．答案：１４１“若x∈A，则x∈B”是必然事件；２“若x∉A，则x∈B”是不可能事件；３“若x∈B，则x∈A”是随机事件；４“若x∉B，则x∉A”是必然事件．其中正确的命题有________（填序号）．解析：由真子集的定义可知１３４是正确的命题．答案：１３４３．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．解析：设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．答案：A与B，A与C，B与C，B与D B与D[谨记通法]判断互斥、对立事件的２种方法（１）定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．（２）集合法１由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．２事件A的对立事件错误!所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．错误!错误![题组练透]１．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶４元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶２元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于２５℃，需求量为５00瓶；如果最高气温位于区间[２0,２５），需求量为３00瓶；如果最高气温低于２0 ℃，需求量为２00瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：超过３00瓶的概率为________．解析：当且仅当最高气温低于２５℃时，这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶，由表格数据知，最高气温低于２５℃的频率为错误!＝0．6，所以六月份这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶的概率的估计值为0．6．答案：0．6２．某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：（１）计算表中击中１0环的各个频率；（２）这位射击运动员射击一次，击中１0环的概率为多少？解：（１）由f＝错误!，得击中１0环的频率依次为0．8,0．9５,0．88,0．9２,0．89,0．90４．（２）由（１）知运动员击中１0环的频率在0．9附近浮动，故这位射击运动员射击一次，击中１0环的概率约为0．9．[谨记通法]１．频率与概率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．２．随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．[提醒] 概率的定义是求一个事件概率的基本方法．错误!错误![典例引领]（２0１8·苏州期末）一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0．２，目标未受损的概率为0．４，则目标受损但未完全击毁的概率为________．解析：设“目标受损但未完全击毁”为事件A，则其对立事件错误!是“目标未受损或击毁目标”，所以P（A）＝１—P（错误!）＝１—（0．４＋0．２）＝0．４．答案：0．４[由题悟法]求复杂互斥事件概率的２种方法（１）直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．（２）间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P（A）＝１—P（错误!）求得，即运用逆向思维（正难则反），特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法较简便．[提醒] 应用互斥事件概率的加法公式，一定注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和（或差）．[即时应用]１．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为错误!，乙夺得冠军的概率为错误!，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为错误!＋错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·南京、盐城一模）某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为________．解析：设“甲、乙不在同一兴趣小组”为事件A，则“甲、乙在同一兴趣小组”为事件错误!.因为P （错误!）＝错误!＝错误!，所以P（A）＝１—P（错误!）＝错误!.答案：错误!一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·丹阳检测）已知随机事件A发生的频率为0．0２，事件A出现了１000次，由此可推知共进行了________次试验．答案：５0 000２．（２0１8·常熟期中）甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0．３，乙击中敌机的概率为0．５，敌机被击中的概率为________．解析：敌机被击中的对立事件是甲、乙同时没有击中，设A表示“甲击中”，B表示“乙击中”，由已知得P（A）＝0．３，P（B）＝0．５，∴敌机被击中的概率P＝１—P（错误!）P（错误!）＝１—（１—0．３）·（１—0．５）＝0．6５．答案：0．6５３．（２0１9·常州中学模拟）甲、乙两人下棋，若甲获胜的概率为错误!，甲、乙下成和棋的概率为错误!.则乙不输棋的概率为________．解析：∵甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为错误!，甲、乙下成和棋的概率为错误!，∴乙不输棋的概率P＝１—错误!＝错误!.答案：错误!４．（２0１8·南京学情调研）某单位要在４名员工（含甲、乙两人）中随机选２名到某地出差，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率为________．解析：从４名员工中随机选２名的所有基本事件共有6个，而甲、乙都未被选中的事件只有１个，所以甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率为１—错误!＝错误!.答案：错误!５．如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B发生的概率是0．6４，事件B发生的概率是事件A 发生的概率的３倍，则事件A发生的概率为________．解析：设P（A）＝x，P（B）＝３x，所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝x＋３x＝0．6４．所以P（A）＝x＝0．１6．答案：0．１66．（２0１8·江安中学测试）口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出１个球，摸出红球的概率为0．４２，摸出黄球的概率是0．２8．若红球有２１个，则蓝球有______个．解析：根据对立事件的概率计算公式得“摸出蓝球”的概率为１—0．４２—0．２8＝0．３，口袋内装有红球、黄球和蓝球的总数为错误!＝５0，则蓝球有５0×0．３＝１５（个）．答案：１５二保高考，全练题型做到高考达标１．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是５%和３%，则抽检一件是正品（甲级）的概率为________．解析：记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P（A）＝１—P（B）—P（C）＝１—５%—３%＝9２%＝0．9２．答案：0．9２２．（２0１9·泰州中学调研）某天下课以后，教室里还剩下２位男同学和２位女同学．如果他们依次走出教室，则第２位走出的是男同学的概率为________．解析：已知２位女同学和２位男同学走出的所有可能顺序有（女，女，男，男），（女，男，女，男），（女，男，男，女），（男，男，女，女），（男，女，男，女），（男，女，女，男），所以第２位走出的是男同学的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!３．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出２粒都是黑子的概率为错误!，都是白子的概率是错误!.则从中任意取出２粒恰好是同一色的概率是________．解析：设“从中取出２粒都是黑子”为事件A，“从中取出２粒都是白子”为事件B，“任意取出２粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A＋B，且事件A与B互斥．所以P（C）＝P（A）＋P（B）＝错误!＋错误!＝错误!，即任意取出２粒恰好是同一色的概率为错误!.答案：错误!４．抛掷一枚均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有１,２,３,４,５,6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件A为掷出向上为偶数点，事件B为掷出向上为３点，则P（A＋B）＝________.解析：事件A为掷出向上为偶数点，所以P（A）＝错误!.事件B为掷出向上为３点，所以P（B）＝错误!，又事件A，B是互斥事件，事件（A＋B）为事件A，B有一个发生的事件，所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝错误!.答案：错误!５．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0．6５，摸出黄球或白球的概率是0．6，那么摸出白球的概率是________．解析：设红、黄、白球各有a，b，c个，∵从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0．6５，摸出黄球或白球的概率是0．6，∴错误!∴错误!＝１—0．6＝0．４，错误!＝１—0．6５＝0．３５，∴摸出白球的概率P＝１—0．４—0．３５＝0．２５．答案：0．２５6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P（A）＝0．6５，P（B）＝0．２，P（C）＝0．１，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________．解析：“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，所以所求概率为１—P（A）＝0．３５．答案：0．３５7．若A，B互为对立事件，其概率分别为P（A）＝错误!，P（B）＝错误!，则x＋y的最小值为________．解析：由题意，x＞0，y＞0，错误!＋错误!＝１．则x＋y＝（x＋y）·错误!＝５＋错误!≥５＋２错误!＝9，当且仅当x＝２y时等号成立，故x＋y的最小值为9．答案：98．一只袋子中装有7个红玻璃球，３个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为错误!，取得两个绿球的概率为错误!，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝错误!＋错误!＝错误!.由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P（A）＝１—P（B）＝１—错误!＝错误!.答案：错误!错误!9．某班选派５人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：获奖人数0１２３４５概率0．１0．１6x y0．２z（２）若获奖人数最多４人的概率为0．96，最少３人的概率为0．４４，求y，z的值．解：记事件“在数学竞赛中，有k人获奖”为A k（k∈N，k≤５），则事件A k彼此互斥．（１）因为获奖人数不超过２人的概率为0．５6，所以P（A0）＋P（A１）＋P（A２）＝0．１＋0．１6＋x＝0．５6，解得x＝0．３．（２）由获奖人数最多４人的概率为0．96，得P（A５）＝１—0．96＝0．0４，即z＝0．0４．由获奖人数最少３人的概率为0．４４，得P（A３）＋P（A４）＋P（A５）＝0．４４，即y＋0．２＋0．0４＝0．４４，解得y＝0．２．１0．如图，A地到火车站共有两条路径L１和L２，现随机抽取１00位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间（分钟）１0～２２0～３３0～４４0～５５0～60选择L１的人数6１２１8１２１２选择L２的人数0４１6１6４（２）分别求通过路径L１和L２所用时间落在上表中各时间段内的频率；（３）现甲、乙两人分别有４0分钟和５0分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：（１）共调查了１00人，其中４0分钟内不能赶到火车站的有１２＋１２＋１6＋４＝４４（人），用频率估计概率，可得所求概率为0．４４．（２）选择L１的有60人，选择L２的有４0人，故由调查结果得所求各频率为所用时间（分钟）１0～２２0～３３0～４４0～５５0～60L１的频率0．１0．２0．３0．２0．２L２的频率00．１0．４0．４0．１１２１２记事件B１，B２分别表示乙选择L１和L２时，在５0分钟内赶到火车站．由（２）知P（A１）＝0．１＋0．２＋0．３＝0．6，P（A２）＝0．１＋0．４＝0．５，P（A１）＞P（A２），故甲应选择L１；P（B１）＝0．１＋0．２＋0．３＋0．２＝0．8，P（B２）＝0．１＋0．４＋0．４＝0．9，P（B２）＞P（B１），故乙应选择L２.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．抛掷一枚骰子，当它每次落地时，向上一面的点数称为该次抛掷的点数，可随机出现１到6点中任一结果，连续抛掷两次，第一次出现点数记为a，第二次出现点数记为b，则直线ax＋by＝0与直线x ＋２y＋１＝0有公共点的概率为________．解析：设“直线ax＋by＝0与直线x＋２y＋１＝0有公共点”为事件A，则错误!为“它们无公共点”，因为直线x＋２y＋１＝0的斜率k＝—错误!，所以错误!＝错误!，所以a＝１，b＝２或a＝２，b＝４或a＝３，b＝6，所以P（错误!）＝错误!＝错误!，所以P（A）＝１—错误!＝错误!.答案：错误!２．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且分别为P（A）＝２—a，P（B）＝３a—４，则实数a的取值范围为____________．解析：因为随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且分别为P（A）＝２—a，P（B）＝３a—４，所以错误!即错误!解得错误!＜a≤错误!.答案：错误!３．（２0１8·梁丰中学测试）已知f（x）＝x２＋２x，x∈[—２,１]，给出事件A：f（x）≥a.（１）当A为必然事件时，求a的取值范围；（２）当A为不可能事件时，求a的取值范围．解：因为f（x）＝x２＋２x＝（x＋１）２—１，x∈[—２,１]，所以f（x）min＝—１，此时x＝—１．又f（—２）＝0＜f（１）＝３，所以f（x）max＝３．所以f（x）∈[—１,３]（１）当A为必然事件时，即f（x）≥a恒成立，故有a≤f（x）min＝—１，即a的取值范围是（—∞，—１]．（２）当A为不可能事件时，即f（x）≥a一定不成立，故有a＞f（x）max＝３，则a的取值范围为（３，＋∞）．。