第九篇 解析几何第1讲 直线的方程

第九章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程班级__________ 姓名_________ 【概念自查】一．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”，并举反例)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．()(2)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．() 【知识梳理】参考《优化方案》P1451．直线的倾斜角与直线的斜率(1)直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α。

注：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°(2)直线l倾斜角α的范围是．(3)直线的倾斜角α与斜率k的关系：①．②．（数形结合来解释）2．直线方程的五种形式例1 (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A.[)0，πB.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎦⎤0，π4D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π(2)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点， 则直线l 斜率的取值范围为 ．【解析】 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，故选B .(2)如图，因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以直线l 的斜率k ∈(]－∞，－3∪[)1，＋∞. 【答案】 (1)B (2)(]－∞，－3∪[)1，＋∞【考点突破】考点2 求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5，10)，且与原点的距离为5.【解】 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α＜π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋10－5k ＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.【考点突破】 考点3 直线方程的综合问题例3 已知O 为坐标原点，过点()1,0M 的直线l 与抛物线C ：22(0)y px p =>交于A ，B 两点，且3OA OB u u u r u u u r⋅=-． 求抛物线C 的方程；例4 已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值．【解】 如图，作出y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)的图象(曲线段AB )，则y ＋3x ＋2表示定点P (－2，－3)和曲线段AB 上任一点(x ，y )的连线的斜率k ，连接P A ，PB ，则k P A ≤k ≤k PB .易得A (1，1)，B (－1，5)，所以k P A ＝1－（－3）1－（－2）＝43，k PB ＝5－（－3）－1－（－2）＝8，所以43≤k ≤8，故y ＋3x ＋2的最大值是8，最小值是43.1．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝03x ＋y ＋3＝0.2．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab >0，bc <0 B ．ab >0，bc >0 C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0解析：选A.由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－ab x－c b .易知－a b <0且－cb>0，故ab >0，bc <0. 3．两直线x m －y n ＝a 与x n －ym＝a (其中a 为不为零的常数)的图象可能是( )解析：选B.直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．4．(2019·广东惠州质检)直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k 的取值范围是( )A ．－1＜k ＜15B ．－1<k <12C ．k ＞15或k ＜－1D ．k ＜－1或k >12解析：选D.设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12.5．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( ) A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C.令x ＝0，得y ＝b2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．6．过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为________．解析：设所求直线的斜率为k ，依题意 k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0. 答案：3x ＋4y ＋15＝07．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是________． 解析：由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a .所以a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：－2或18．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值． 所以b 的取值范围是[－2，2]． 答案：[－2，2]9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： (1)过定点A (－3，4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3，3k ＋4，由已知，得(3k＋4)×⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6， 所以b ＝±1.所以直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.已知直线l 过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．【解】 法一：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，将点P (3，2)代入得3a ＋2b＝1≥26ab，得ab ≥24，从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.所以△ABO 的面积的最小值为12，所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 则A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0，2－3k )， S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋（－9k ）＋4－k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2（－9k ）·4－k＝12×(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立．此时直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.所以△ABO 的面积的最小值为12，所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.。

解析几何中的直线方程解析几何是数学中的一门重要分支，它是研究几何图形的性质以及它们的运动与变形规律的学科。

在解析几何的学习中，直线方程是非常重要的基本知识，本文将对几何解析中的直线方程作出详细解析。

一、直线方程的定义直线方程是用数学符号表达直线所满足的条件或者性质，通常用代数方程或不等式式表示。

在平面直角坐标系中，如果直线的斜率已知，则使用一般式方程y = kx + b表示；而如果直线的两个点的坐标已知，则使用两点式表示。

二、斜率表示的直线方程如果直线的斜率已知，则使用一般式方程y = kx + b进行表示。

在该式子中，k代表直线的斜率，b代表直线与y轴相交的截距。

因此，斜率k和截距b的数值都非常关键，它们可以帮助我们准确地标定一条直线。

需要注意的是，斜率k的值可能是正的、负的或零，它所代表的意义与数学实际意义也不相同。

当k>0时，直线向右上方倾斜；当k<0时，直线向右下方倾斜；当k=0时，直线水平。

此外，当斜率不存在时（例如垂直于x轴），方程中的k会出现分母为零的问题。

三、两点表示的直线方程如果直线过两个已知点，则可以使用两点式表示。

两点式是直线方程的一种，它可以通过任意两个不同的点来确定一条直线。

与斜率表示的方程不同，两点式可以准确地表示出一条经过具体坐标点的直线，因此在实际问题中得到了广泛的应用。

具体而言，两点式的表达式为：(y2 – y1) / (x2 – x1) = k。

在该式子中，k表示直线的斜率，(x1,y1)和(x2,y2)分别表示直线所经过的两个点的坐标。

这个方程式等价于将k带入一般式方程，即可得到与直线有关的其它参数。

四、斜截式表示的直线方程当直线经过y轴时，我们可以采用斜截式表示的方程表示它。

在此种情况下，方程的表达式一般为:y = kx + b。

此处的k为斜率，而b则代表截距。

这种表示方式比较直观，因为它可以清楚地显示出直线与y轴的截距，不需要进一步计算。

需要指出的是，表达式中的k和b的值会随着直线的不同而发生变化，因此我们需要根据实际的数据和信息来计算这两个变量的值，进而作出正确的判断和决策。

第1节 直线的方程考试要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知 识 梳 理1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π). 2.直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan__α. (2)计算公式：①经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. ②若直线的方向向量为a ＝(x ，y )(x ≠0)，则直线的斜率k ＝y x. 3.直线方程的五种形式名称 几何条件 方程适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率 y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 纵、横截距x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线[常用结论与微点提醒]1.直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：α 0 0<α<π2π2 π2<α<π kk >0 不存在k <02.截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( )解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k 1＝－1，k 2＝1，k 1＜k 2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(老教材必修2P89B5改编)若过两点A (－m ，6)，B (1，3m )的直线的斜率为12，则直线的方程为________.解析 由题意得3m －61＋m ＝12，解得m ＝－2，∴A (2，6)，∴直线AB 的方程为y －6＝12(x －2)， 整理得12x －y －18＝0. 答案 12x －y －18＝03.(老教材必修2P101B2改编)若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是________.解析 由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以A ≠0且B ≠0. 答案 A ≠0且B ≠04.(2020·西安调研)直线x －y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.30°B.45°C.120°D.150°解析 由题意得，直线y ＝x ＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°. 答案 B5.(2020·昆明诊断)已知直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点(m ∈R )，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析 直线l 的斜率k ＝1－m 22－1＝1－m 2，因为m ∈R ，所以k ∈(－∞，1]，所以直线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.答案 B6.(2020·合肥调研)过点(－3，4)，在x 轴上的截距为负数，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为______.解析 由题设知，横、纵截距均不为0，设直线的方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9(舍).故所求直线的方程为4x －y ＋16＝0.答案 4x －y ＋16＝0考点一 直线的倾斜角与斜率典例迁移【例1】 (一题多解)(经典母题)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________.解析 法一 设PA 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线PA 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3].故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 法二 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(－3－k )≤0，即(k －1)(k ＋3)≥0，解得k ≥1或k ≤－ 3.即直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)【迁移1】 若将例1中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围. 解 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 【迁移2】 若将例1中的B 点坐标改为B (2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围.解 由例1知直线l 的方程kx －y －k ＝0，∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(2k ＋1－k )≤0， 即(k －1)(k ＋1)≤0，解得－1≤k ≤1.即直线l 倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.规律方法 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上并不是单调的.2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为π2时，直线斜率不存在.【训练1】 如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2. 答案 D考点二 直线方程的求法【例2】 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P (1，2)，倾斜角α的正弦值为45；(2)(一题多解)经过点P (2，3)，并且在两坐标轴上截距相等；(3)经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v ＝(－3，2). 解 (1)由题可知sin α＝45，则tan α＝±43，∵直线l 经过点P (1，2)，∴直线l 的方程为y －2＝±43(x －1)，即y ＝±43(x －1)＋2，整理得4x －3y ＋2＝0或4x ＋3y －10＝0.(2)法一 ①当截距为0时，直线l 过点(0，0)，(2，3)， 则直线l 的斜率为k ＝3－02－0＝32，因此，直线l 的方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.②当截距不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋y a＝1. 因为直线l 过点P (2，3)，所以2a ＋3a＝1，所以a ＝5.所以直线l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0. 法二 由题意可知所求直线斜率存在， 则可设y －3＝k (x －2)，且k ≠0.令x ＝0，得y ＝－2k ＋3.令y ＝0，得x ＝－3k＋2.于是－2k ＋3＝－3k ＋2，解得k ＝32或k ＝－1.则直线l 的方程为y －3＝32(x －2)或y －3＝－(x －2)，即直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得x ＝1，y ＝1，∴直线过点(1，1)，∵直线的方向向量v ＝(－3，2)， ∴直线的斜率k ＝－23.则直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.规律方法 1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).【训练2】 (1)求经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程； (2)求经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. 解 (1)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3). 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.考点三 直线方程的综合应用 多维探究角度1 直线过定点问题【例3－1】 已知k ∈R ，写出以下动直线所过的定点坐标： (1)若直线方程为y ＝kx ＋3，则直线过定点________； (2)若直线方程为y ＝kx ＋3k ，则直线过定点________； (3)若直线方程为x ＝ky ＋3，则直线过定点________. 解析 (1)当x ＝0时，y ＝3，所以直线过定点(0，3). (2)直线方程可化为y ＝k (x ＋3)，故直线过定点(－3，0). (3)当y ＝0时，x ＝3，所以直线过定点(3，0). 答案 (1)(0，3) (2)(－3，0) (3)(3，0)规律方法 1.直线过定点问题，可以根据方程的结构特征，得出直线过的定点坐标. 2.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.角度2 与直线方程有关的多边形面积的最值问题【例3－2】 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2(2－a )＋12×2(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，又0<a <2，所以当a ＝12时，面积最小.答案 12规律方法 1.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.2.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.【训练3】 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.(1)证明 直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1. ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1).(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0； 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞). (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0，1＋2k ).依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.A 级 基础巩固一、选择题1.(2020·安阳模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A.1±2或0 B.2－52或0 C.2±52D.2＋52或0解析 由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.答案 A2.(2020·广东七校联考)若过点P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是( ) A.(－2，1) B.(－1，2)C.(－∞，0)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 由题意知2a －1－a 3－1＋a <0，即a －12＋a <0，解得－2<a <1.答案 A3.(2020·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，结合选项知B 符合，其他均不符合. 答案 B4.(2020·成都诊断)过点(2，1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( ) A.x ＝2 B.y ＝1 C.x ＝1D.y ＝2解析 直线y ＝－x －1的倾斜角为3π4，则所求直线的倾斜角为π2，故所求直线斜率不存在，又直线过点(2，1)，所以所求直线方程为x ＝2. 答案 A5.已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( ) A.y ＝3x ＋2 B.y ＝3x －2 C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2解析 因为直线x －2y －4＝0的斜率为12，所以直线l 在y 轴上的截距为2，所以直线l 的方程为y ＝3x ＋2.答案 A6.(2020·湖北四地七校联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4解析 由f ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以a ＝－b ，由直线ax －by ＋c ＝0知其斜率k ＝a b ＝－1，所以直线的倾斜角为3π4，故选D.答案 D7.直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π解析 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.又sin α∈[－1，1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.答案 B8.(2020·东北三省四校调研)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12B.[－1，0]C.[0，1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析 由题意知，y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则在点P 处的切线的斜率k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.答案 A 二、填空题9.直线l 的倾斜角为60°，且在x 轴上的截距为－13，则直线l 的方程为________.解析 由题意可知，直线l 的斜率为3，且该直线过⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，∴直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，即3x －3y ＋1＝0. 答案 3x －3y ＋1＝010.已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________.解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.答案 x ＋13y ＋5＝011.设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________. 解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值.所以b 的取值范围是[－2，2].答案 [－2，2]12.若经过两点A (4，2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角是直线4x －3y ＋2 020＝0的倾斜角的一半，则y 的值为________.解析 因为直线4x －3y ＋2 020＝0的斜率为43，所以由倾斜角的定义可知直线4x －3y ＋2 020＝0的倾斜角α满足tan α＝43，因为α∈[0，π)，所以α2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，所以2tanα21－tan 2α2＝43，解得tan α2＝12，由已知及倾斜角与斜率的关系得2y ＋1＋34－2＝12，所以y ＝－32.答案 －32B 级 能力提升13.(2019·湖南长郡中学月考)已知点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，56πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，34π解析 因为点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，所以(－a －2＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫33a －0＋1>0，即(a ＋1)(a ＋3)<0，所以－3<a <－1，又知直线l 的斜率k ＝a ，即－3<k <－1，又因为直线倾斜角的范围是[0，π)，所以直线l 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，34π，故选D. 答案 D14.(2020·兰州模拟)若直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A.ab >0，bc <0 B.ab >0，bc >0 C.ab <0，bc >0D.ab <0，bc <0解析 易知直线的斜率存在，则直线方程可化为y ＝－a b x －cb ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－ab <0，－cb >0，所以ab >0，bc <0.答案 A15.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线x n ＋1＋y n＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 解析 由a n ＝1n （n ＋1）可知a n ＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 又知S n ＝910，所以1－1n ＋1＝910，所以n ＝9.所以直线方程为x 10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45.答案 4516.(2020·豫北名校调研)直线l 过点P (6，4)，且分别与两坐标轴的正半轴交于A ，B 两点，当△ABO 的面积最小时，直线l 的方程为________.解析 设直线l 的方程为y －4＝k (x －6)(k ≠0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫6－4k，0，B (0，4－6k )，由题意知k <0，则S △ABO ＝12×|OA |·|OB |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫6－4k ·(4－6k )＝24－18k －8k ，∵k <0，∴－18k >0，－8k >0，∴－18k －8k≥2（－18k ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k ＝24，当且仅当－18k ＝－8k ，即k 2＝49，也即k ＝－23时取得等号，所以△ABO 的面积的最小值为48，此时直线l 的方程为y －4＝－23(x －6)，即2x ＋3y －24＝0.答案 2x ＋3y －24＝0C 级 创新猜想17.(多填题)设点A (－2，3)，B (3，2)，已知直线l 的方程为ax ＋y ＋2＝0，则直线l 过定点________，若直线l 与线段AB 没有交点，则实数a 的取值范围是________.解析 直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ，∵k MA ＝3－（－2）－2－0＝－52，k MB ＝2－（－2）3－0＝43，结合题意可知－a >－52，且－a <43，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52.答案 (0，－2) ⎝⎛⎭⎪⎫－43，52。

第九篇 解析几何第1讲 直线的方程基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为________．解析 直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为α∈[0，π)，所以α＝π3. 答案 π32．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.则直线l 的方程为________． 解析 由点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)， 即3x ＋4y －14＝0. 答案 3x ＋4y －14＝03．(2014·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析 ∵k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案 44．(2014·泰州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________.解析 令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k3. 则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24. 答案 －245．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m ＝________.解析 由题意可知2m 2＋m －3≠0，即m ≠1且m ≠－32，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，解得m ＝2或－12. 答案 2或－126．(2014·佛山调研)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足________．①ab >0，bc <0；②ab >0，bc >0；③ab <0，bc >0；④ab <0，bc <0.解析 由题意，令x ＝0，y ＝－c b >0；令y ＝0，x ＝－ca >0.即bc <0，ac <0，从而ab ＞0. 答案 ①7．(2014·淮阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴的截距为－3，此时k ＝12，满足条件的直线l 的斜率范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞8．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析 设所求直线的方程为x a ＋yb ＝1， ∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得(1)⎩⎨⎧ a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎨⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程． 答案 x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 二、解答题9．(2014·临沂月考)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，当然相等．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， 得a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴⎩⎨⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎨⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0.∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]．10．已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，是否存在使△ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 存在．理由如下：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )，△AOB的面积S ＝12(1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋(－4k )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4.当且仅当－4k＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立，故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·北京海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为________．解析 |AB |＝(cos α＋1)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33. 答案 y ＝33x ＋33或y ＝－33x －332．若直线l ：y ＝k x －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是________．解析 如图，直线l ：y ＝k x －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k P A ＝33，则直线P A 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π23．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．解析 直线方程可化为x2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12，由于0≤b ≤1， 故当b ＝12时，ab 取得最大值12. 答案 12 二、解答题4．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x ， 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。

《平面解析几何》-------直线的方程知识梳理1．直线的斜率（1）斜率的定义：已知两点),(),,(2211y x Q y x P ，如果21x x ≠,那么直线PQ 的斜率为______=k ；如果21x x =,那么直线PQ 的斜率___________.（2）直线的斜率与直线的方向的对应关系：（1）定义:在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为 ；倾斜角的范围为 ．3．斜率k 与倾斜角α的关系：5.直线l 与x 轴交点的横坐标叫做 ； 与y 轴交点的纵坐标叫做 ； 当直线经过原点时，直线在x 轴和y 轴上的截距都为 ．6.（1）线段的中点坐标公式：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点M 的坐标为 ． （2）平面上1122(,),(,)P x y Q x y 两点间的距离d = ． （3）点00(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离d = ．（4）两条平行直线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间的距离d = ．诊断自测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )2．经过两点(,2),(,21)A m B m m --的直线的倾斜角为60∙，则m 的值为 ． 3．直线x sin α－y ＋1＝0（R ∈α）的倾斜角的取值范围是 ．4．若直线l 过点P (－4，－1)，且横截距是纵截距的2倍，则直线l 的方程是 ．考点一 直线的倾斜角与斜率(典例迁移)[例1] (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是：_______________[例1] (2)(经典母题)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[迁移探究1] 若将本题(2)中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围．[迁移探究2] 若将本例(2)中的B 点坐标改为B (2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的范围．三、典型例题：反思： 例1．（1）已知两点)6,4(),2,1(B A ，则直线AB 斜率为_________；（2）已知直线l 的倾斜角为120，则l 的斜率为__________.【变式拓展】（1）已知两点)2,(),2,1(+a a B A ，求直线AB 斜率；（2）已知直线l 倾斜角的正弦值是23，求l 的斜率.例2．已知直线l 的倾斜角⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈3,6ππα，求l 的斜率的取值范围.【变式拓展】（1）已知直线l 的倾斜角⎪⎭⎫⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈65,22,4ππππα，求l 的斜率的取值范围；（2）已知直线l 的斜率k 存在，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,33k ，求l 的倾斜角的取值范围.例3．已知直线l 过)3,1(-P ，且与以)3,3(),2,2(--B A 为端点的线段相交，求l 的倾斜角和斜率的取值范围.【变式拓展】已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点， 则k 的取值范围是________．四、课堂反馈：1．直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点.则直线l 的倾斜角的取值范围为 ． 2．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是 ．3．已知点A (－1，－5)，B (3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的2倍， 则直线l 的斜率为 ．4．（1）若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为 ．（2）直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是 ．五、课后作业： 学生姓名：___________1．经过两点(,6),(1,3)A m B m -的直线的斜率是14，则m 的值为 ． 2．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是________．3．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π则k 的取值范围是________． 4．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是________． 5．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝ ．6．（1）直线2x cos α－y －3＝0(α∈[π6，π3])的倾斜角的取值范围 ． （2）已知直线l 的斜率k 存在，且11k -≤≤，则l 的倾斜角α∈ ． 7．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 ．8．函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为________． 9．已知点A (2，3)，B (－5，2)，若直线l 过点P (－1，6)，且与线段AB 相交， 求直线l 倾斜角的取值范围． 10．已知线段PQ 两端点的坐标分别为(1,1),(2,2)-，若直线:0l x my m ++=与线段PQ 有交点，求实数m 的取值范围.11．已知曲线14+=x e y 上任意一点P 处的切线的倾斜角为α，求α的取值范围.12．某实验室某一天的温度（单位：C ︒）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()9sin1212f t t t ππ=-，[)0,24t ∈．（1）求实验室这一天里，温度降低的时间段；（2）若要求实验室温度不高于10C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？。

直线的方程(解析版)直线的方程(解析版)直线是几何学中的基本元素，也是数学中的重要概念之一。

直线的方程是研究直线性质和解决相关问题的基础。

在本文中，我们将详细讨论直线的方程及其解析表示方法。

一、直线的定义直线是由无数个点组成的，这些点满足连接其中任意两点的线段都完全在这条线上。

直线可以用来描述两个平面上的对应点之间的关系。

直线是平面几何学中最基本的图形之一。

二、直线方程的基本形式直线方程的基本形式是y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。

斜率用来描述直线的倾斜程度，截距则表示直线与y轴的交点。

三、一般形式求解直线方程1. 已知两点求直线方程假设已知直线上的两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，我们可以通过以下步骤求解直线方程：(1) 计算斜率k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)；(2) 根据其中一个点和斜率，使用点斜式方程得到直线方程：y - y₁ = k(x - x₁)；(3) 化简得到一般形式：y = kx - kx₁ + y₁。

2. 已知斜率和截距求直线方程假设已知直线的斜率k和截距b，我们可以通过以下步骤求解直线方程：(1) 使用斜截式方程：y = kx + b。

四、直线方程的特殊情况1. 垂直于x轴的直线对于垂直于x轴的直线，斜率为无穷大，因此直线方程可以简化为x = a的形式，其中a为直线与x轴的交点的横坐标。

2. 垂直于y轴的直线对于垂直于y轴的直线，斜率为0，因此直线方程可以简化为y = b的形式，其中b为直线与y轴的交点的纵坐标。

五、直线方程的性质1. 斜率直线的斜率用来描述直线的倾斜程度。

斜率为正表示直线向右上方倾斜，斜率为负表示直线向右下方倾斜，斜率为0表示直线水平。

2. 平行和垂直两条直线平行的条件是它们的斜率相等，两条直线垂直的条件是它们的斜率互为负倒数。

六、实例分析以下是一些实例，展示了如何根据已知条件来确定直线的方程。

专题九平面解析几何【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、直线的方程1.理解直线的倾斜角和斜率的概念、掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.从近几年高考情况来看,直线和圆主要考查方程的求法,常以选择、填空题的形式出现;对于圆锥曲线,基础题目主要考查定义与方程、几何性质,特别是双曲线的几何性质(离心率、渐近线)及抛物线的几何性质.解答题通常以椭圆及抛物线为背景,考查直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系、弦中点问题、定点问题、定值问题、轨迹问题、取值范围问题、证明问题及直线过定点问题.特别注意近两年高考将此综合题前移,难度降低.1.直线与圆的问题求解一定要注意数形结合的方法,充分利用圆的几何性质解题.2.恰当选择直线和曲线方程形式,简化计算.3.合理运用消元技巧,涉及直线与圆锥曲线的交点坐标问题,常常“设而不求”,利用韦达定理解题.4.合理运用“同理可得”进行类比计算.5.圆锥曲线的弦中点问题的解题技巧:代点相减法(点差法).6.直线与椭圆或直线与抛物线为基本题型,考查曲线的弦长,动点的轨迹方程和有关几何量的求解等.掌握基本解题方法:先联立方程(二次方程和一次方程),再几何条件代数化,结合函数、不等式等知识,解决求值、范围、最值等问题.近几年这类题的呈现形式为:(1)第一问,往往是求曲线的方程(待定系数和求轨迹方程)问题;(2)第二问,往往是直线与圆锥曲线相结合的问题.常常需要应用韦达定理和判别式,关键词是弦长、最值、定值、定点等.二、两直线的位置关系1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、会求两条平行直线间的距离.三、直线、圆的位置关系1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程和一般方程.2.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.3.能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系.四、椭圆、双曲线、抛物线1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质.【真题探秘】§9.1 直线方程与圆的方程基础篇固本夯基【基础集训】考点一 直线方程1.过不重合的A(m 2+2,m 2-3),B(3-m-m 2,2m)两点的直线l 的倾斜角为45°,则m 的值为( ) A.-1 B.-2 C.-1或2 D.1或-2 答案 B2.已知角α是第二象限角,直线2x+ytan α+1=0的斜率为83,则cos α等于( ) A.35B.-35C.45D.-45答案 D3.经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为 . 答案 4x-3y+9=04.已知A(1,-2),B(5,6),直线l 经过AB 的中点M 且在两坐标轴上的截距相等,则直线的方程为 . 答案 x+y-5=0或2x-3y=0考点二 圆的方程5.已知点A(-2,-1),B(1,3),则以线段AB 为直径的圆的方程为( ) A.(x -12)2+(y+1)2=25 B.(x +12)2+(y-1)2=25C.(x -12)2+(y+1)2=254D.(x +12)2+(y-1)2=254答案 D6.若a ∈{-2,0,1,34},则方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0表示的圆的个数为( )A.0B.1C.2D.3 答案 B7.若平面内两定点A,B 间的距离为2,动点P 与A 、B 距离之比为√2,当P,A,B 不共线时,△PAB 面积的最大值是( ) A.2√2 B.√2 C.2√23D.√23答案 A8.已知△ABC 三个顶点是A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),则△ABC 外接圆的方程为 . 答案 (x+3)2+(y-1)2=25综合篇知能转换【综合集训】考法一 求直线的倾斜角和斜率1.(2018陕西延安期中,5)直线a 2x-b 2y=1(其中a,b ∈R ,且ab ≠0)的倾斜角的取值范围为( )A.(0,π2) B.(π4,3π4) C.(π2,3π4) D.(π2,π)答案A2.(2018湖北黄冈模拟,4)直线x-ysin θ+1=0的倾斜角的取值范围是()A.[π4,3π4] B.[0,π4]∪[3π4,π)C.[0,π4] D.[π4,π2)∪(π2,3π4]答案A考法二求直线的方程3.(2018江西九江月考,5)经过点A(1,2)且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为()A.y=2x或x-y+1=0B.y=2x或x+y-3=0C.x+y-3=0或x-y+1=0D.y=2x或x+y-3=0或x-y+1=0答案D4.(2019江西抚州七校联考)过点(2,1)且与直线3x-2y=0垂直的直线方程为()A.2x-3y-1=0B.2x+3y-7=0C.3x-2y-4=0D.3x+2y-8=0答案B5.(2019四川眉山仁寿一中第一次调研)已知实数m,n满足2m-n=1,则直线mx-3y+n=0过定点.答案(-2,-13)考法三对称问题6.(2018重庆模拟,8)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=4,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为()A.(x+2)2+(y-2)2=4B.(x-2)2+(y+2)2=4C.(x+2)2+(y+2)2=4D.(x-2)2+(y-2)2=4答案B7.(2019豫南九校第四次联考,14)已知△ABC的一个顶点A(2,-4),且∠B,∠C的平分线所在直线的方程分别为x+y-2=0,x-3y-6=0,则BC边所在直线的方程为.答案x+7y-6=08.(2018豫北六校联考,15)已知点P在直线l:3x-y-1=0上,A(4,1),B(0,4),则||PA|-|PB||最大时点P的坐标为.答案(2,5)考法四求圆的方程9.(2019广东七校联考,7)以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为()A.(x-1)2+(y-1)2=5B.(x+1)2+(y+1)2=5C.(x-1)2+y2=5D.x2+(y-1)2=5答案A10.(2019福建漳州八校期中联考,14)已知圆心在直线x-2y-3=0上,且圆经过点A(2,-3),B(-2,-5),则该圆的方程为.答案x2+y2+2x+4y-5=0(或(x+1)2+(y+2)2=10)11.(2019湖北1月联考)过点A(0,1)和B(1,2),且与x轴相切的圆的方程为.答案(x-1)2+(y-1)2=1或(x+3)2+(y-5)2=2512.(2018四川峨眉山第七教育发展联盟适应性考试(节选))圆C 与x 轴相切于点T(2,0),与y 轴正半轴相交于两点M,N(点M 在点N 的下方),且|MN|=3.则圆C 的方程为 . 答案 (x-2)2+(y -52)2=254【五年高考】1.(2016课标Ⅱ,4,5分)圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( ) A.-43 B.-34 C.√3 D.2答案 A2.(2018天津,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 . 答案 x 2+y 2-2x=03.(2016浙江,10,6分)已知a ∈R ,方程a 2x 2+(a+2)y 2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 . 答案 (-2,-4);54.(2019浙江,12,6分)已知圆C 的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C 相切于点A(-2,-1),则m= ,r= . 答案 -2;√55.(2019北京,11,5分)设抛物线y 2=4x 的焦点为F,准线为l.则以F 为圆心,且与l 相切的圆的方程为 . 答案 (x-1)2+y 2=46.(2018课标Ⅱ,19,12分)设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过F 且斜率为k(k>0)的直线l 与C 交于A,B 两点,|AB|=8. (1)求l 的方程;(2)求过点A,B 且与C 的准线相切的圆的方程.解析 (1)由题意得F(1,0),l 的方程为y=k(x-1)(k>0), 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).由{y =k(x -1),y 2=4x 得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0. Δ=16k 2+16>0,故x 1+x 2=2k 2+4k 2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x 1+1)+(x 2+1)=4k 2+4k 2.由题设知4k 2+4k 2=8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l 的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则 {y 0=-x 0+5,(x 0+1)2=(y 0-x 0+1)22+16.解得{x 0=3,y 0=2或{x 0=11,y 0=-6. 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.方法总结 有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.7.(2017课标Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y 2=2x,过点(2,0)的直线l 交C 于A,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆. (1)证明:坐标原点O 在圆M 上;(2)设圆M 过点P(4,-2),求直线l 与圆M 的方程.解析 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系. (1)证明:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),l:x=my+2. 由{x =my +2,y 2=2x 可得y 2-2my-4=0,则y 1y 2=-4. 又x 1=y 122,x 2=y 222,故x 1x 2=(y 1y 2)24=4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y1x 1·y 2x 2=-44=-1,所以OA ⊥OB.故坐标原点O 在圆M 上.(2)由(1)可得y 1+y 2=2m,x 1+x 2=m(y 1+y 2)+4=2m 2+4. 故圆心M 的坐标为(m 2+2,m),圆M 的半径r=√(m 2+2)2+m 2.由于圆M 过点P(4,-2),因此 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故(x 1-4)(x 2-4)+(y 1+2)(y 2+2)=0, 即x 1x 2-4(x 1+x 2)+y 1y 2+2(y 1+y 2)+20=0. 由(1)可得y 1y 2=-4,x 1x 2=4. 所以2m 2-m-1=0,解得m=1或m=-12.当m=1时,直线l 的方程为x-y-2=0,圆心M 的坐标为(3,1),圆M 的半径为√10,圆M 的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-12时,直线l 的方程为2x+y-4=0,圆心M 的坐标为(94,-12),圆M 的半径为√854,圆M 的方程为(x -94)2+(y +12)2=8516.解后反思 直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x 1,y 1)、(x 2,y 2)表示:(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0.教师专用题组1.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy 中,A(-12,0),B(0,6),点P 在圆O:x 2+y 2=50上.若PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20,则点P 的横坐标的取值范围是 . 答案 [-5√2,1]2.(2016江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M:x 2+y 2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4). (1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x=6上,求圆N 的标准方程; (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B,C 两点,且BC=OA,求直线l 的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M 上的两点P 和Q,使得TA⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求实数t 的取值范围.解析 圆M 的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N 在直线x=6上,可设N(6,y 0). 因为圆N 与x 轴相切,与圆M 外切, 所以0<y 0<7, 于是圆N 的半径为y 0, 从而7-y 0=5+y 0,解得y 0=1.因此,圆N 的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l ∥OA,所以直线l 的斜率为4-02-0=2.设直线l 的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0, 则圆心M 到直线l 的距离 d=|2×6-7+m|√5=|m+5|√5. 因为BC=OA=√22+42=2√5,而MC 2=d 2+(BC 2)2,所以25=(m+5)25+5,解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 因为A(2,4),T(t,0),TA ⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以{x 2=x 1+2-t,y 2=y 1+4.①因为点Q 在圆M 上,所以(x 2-6)2+(y 2-7)2=25.②将①代入②,得(x 1-t-4)2+(y 1-3)2=25.于是点P(x 1,y 1)既在圆M 上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5≤√[(t +4)-6]2+(3-7)2≤5+5, 解得2-2√21≤t ≤2+2√21.因此,实数t 的取值范围是[2-2√21,2+2√21].【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共45分)1.(2019湖南衡阳八中10月月考,3)已知直线l 的倾斜角为θ且过点(√3,1),其中sin (θ-π2)=12,则直线l 的方程为( ) A.√3x-y-2=0 B.√3x+y-4=0 C.x-√3y=0 D.√3x-3y-6=0 答案 B2.(2019重庆綦江中学模拟,9)已知圆C:x 2+y 2=1,点P 为直线x+2y-4=0上一动点,过点P 向圆C 引两条切线PA,PB 且A,B 分别为切点,则直线AB 经过定点( ) A.(12,14) B.(14,12) C.(√34,0) D.(0,√34)答案 B3.(2019辽宁丹东模拟,3)圆心为(2,0)的圆C 与圆x 2+y 2+4x-6y+4=0外切,则C 的方程为( ) A.x 2+y 2+4x+2=0 B.x 2+y 2-4x+2=0 C.x 2+y 2+4x=0 D.x 2+y 2-4x=0 答案 D4.(2018甘肃兰州模拟,7)已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点,且A(2a,2),B(-4,a),C(2a+2,2),则△ABC 的外接圆的方程是( )A.x2+(y-3)2=5B.x2+(y+3)2=5C.(x-3)2+y2=5D.(x+3)2+y2=5 答案D5.(2018湖北四地七校联考,6)已知函数f(x)=asin x-bcos x(a≠0,b≠0),若f(π4-x)=f(π4+x),则直线ax-by+c=0的倾斜角为()A.π4B.π3C.2π3D.3π4答案D6.(2018豫西五校联考,7)在平面直角坐标系xOy中,以点(0,1)为圆心且与直线x-by+2b+1=0相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为()A.x2+(y-1)2=4B.x2+(y-1)2=2C.x2+(y-1)2=8D.x2+(y-1)2=16答案B7.(2019河北九校第二次联考,4)圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为()A.x2-y2-2x-3=0B.x2+y2+4x=0C.x2+y2-4x=0D.x2+y2+2x-3=0答案C8.(2019河南中原名校联盟第三次联考,9)设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=2√3,则直线l的方程为()A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0C.4x-3y+9=0或x=0D.3x+4y-12=0或x=0答案D9.(2020届山东夏季高考模拟,6)已知点A为曲线y=x+4x(x>0)上的动点,B为圆(x-2)2+y2=1上的动点,则|AB|的最小值是() A.3 B.4 C.3√2 D.4√2答案A二、多项选择题(每题5分,共10分)10.(改编题)过点P(2,4)引圆(x-1)2+(y-1)2=1的切线,则切线方程为()A.x=-2B.x=2C.4x-3y+4=0D.4x+3y-4=0答案BC11.(改编题)已知圆M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1,直线l:y=kx,下列命题中为真命题的是()A.对任意实数k与θ,直线l和圆M相切B.对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点C.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l和圆M相切D.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l和圆M相切答案BD三、填空题(每题5分,共10分)12.(2019豫北名校2月期初调研,14)直线l过点P(6,4),且分别与两坐标轴的正半轴交于A,B两点,当△ABO的面积最小时,直线l的方程为.答案2x+3y-24=013.(2020届百师联盟期中联考)已知圆心在直线x-3y=0上的圆C 与y 轴的正半轴相切,且截x 轴所得弦长为4√2,则圆C 的方程为 ,点P(6,5)到圆C 上动点Q 的距离最大值为 . 答案 (x-3)2+(y-1)2=9;8四、解答题(共10分)14.(2018广东深圳3月联考,19)如图,直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(-2,0),直角顶点B 的坐标为(0,-2√2),顶点C 在x 轴上,点P 为线段OA 的中点. (1)求BC 边所在直线的方程;(2)若M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心,求圆M 的方程;(3)在(2)的条件下,若动圆N 过点P 且与圆M 内切,求动圆N 的圆心的轨迹方程.解析 (1)易知k AB =-√2,AB ⊥BC, ∴k CB =√22,∴BC 边所在直线的方程为y=√22x-2√2.(2)由(1)及题意得C(4,0), 易知AC 为圆M 的直径, ∴M(1,0),AM=3,∴外接圆M 的方程为(x-1)2+y 2=9. (3)∵圆N 过点P(-1,0), ∴PN 是动圆的半径, 又∵动圆N 与圆M 内切, ∴MN=3-PN,即MN+PN=3,∴点N 的轨迹是以M,P 为焦点,长轴长为3的椭圆. ∵P(-1,0),∴c=1, 又a=32,∴b=√a 2-c 2=√54, ∴所求轨迹方程为x 294+y 254=1,即4x 29+4y 25=1.。