北京市西城区14中2016-2017学年高二下期中考试数学(理)试题+Word版含解析

北京市第十四中学2016—2017学年度第二学期高二 数学（理）期中试题 2017年4月一、选择题：(每小题3分，共12小题，共36分） 1．已知i 为虚数单位，复数11i-的虚部是（ )．A ．12B ．12-C ．1i 2D ．1i 2- 【答案】A 【解析】11i 11i 1i (1i)(1i)22+==+--+,则其虚部为12， 故选A ．2．曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程是（ ）．A ．74y x =+B ．4y x =-C ．72y x =+D ．2y x =- 【答案】D【解析】曲线4y x x 3=-，可得243y x '=-，在点(1,3)--处的切线的斜率为:431-=， 所求的切线方程为：31y x +=+， 即2y x =-， 故选D ．3．函数()f x 的定义域为开区间(,)a b ，导函数()f x '在(,)a b 内的图像如图所示，则函数()f x 在开区间(,)a b 内有极小值点（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A【解析】设导函数()f x '在(,)a b 内的图像与x 轴的交点（自左向右）分别为1x ，2x ，3x ，4x ，其中12340x xx x <<=<，则由导函数的图像可得: 当1(,)x a x ∈时，()0f x '>，12(,)x x x ∈时，()0f x '<且1()0f x '=，所以1x 是函数()f x 的极大值点； 当12(,)x x x ∈时，()0f x '<，23(,)x x x ∈时，()0f x '>且2()0f x '=,所以2x 是函数()f x 的极小值点， 当23(,)x x x ∈或34(,)x x x ∈时，()0f x '>，故3x 不是函数()f x 的极值点；当34(,)x x x ∈时，()0f x '>，而当4(,)x x b ∈时，()0f x '<，且4()0f x '=,所以4x 是函数()f x 的极大值点，综上可知：()f x 在(,)a b 内有1个极小值点， 故选A ．4．一点沿直线运动，如果由起点起经过t秒后距离32112132s t t t =--+，那么速度为零的时刻是（ )．A ．1秒末B ．2秒末C ．3秒末D ．4秒末 【答案】B【解析】32112132S t t t =--+，1220V S t t ==--=，解得2t =或1-（舍去）， 故选B ．5．函数32()1f x x x x =+-+在区间[]2,1-上的最小值（ ）．A ．2227 B ．2 C ．1- D ．4-【答案】C【解析】2321(31)(1)y x x x x '=+-=-+，令0y '>，解得13x >或1x <-．再y '<，解得113x -<<，所以1x =-,13x =分别是函数的极大值点和极小值点，所以(1)2f -=，(1)2f =，122327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(2)1f -=-，所以最小值为1-， 故选C ．6．如图，阴影部分的面积是（ )．A． B．- C ．353 D ．323【答案】D【解析】123(32)d S x x x-=--⎰，3213133x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，323=，故选D ．7．函数1sin sin33y a x x =+在π3x =处有极值，在a 的值为( ）．A ．6-B ．6C ．2-D ．2 【答案】D【解析】cos cos3y a x x '=⋅+，∵1sin sin33y a x x =⋅+在π3x =处有极值， ∴π3x =时，πcos cos π03y a '=⋅+=，∴2a =, 故选D ．8．若复数z 满足i 1iz=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ）． A ．1i - B ．1i + C ．1i -- D ．1i -+ 【答案】A【解析】2i (1i)i i 1i z =⋅-=-=+,故1i 1i z z ==+=-， 故选A ．9．若2a >，则方程321103x ax -+=在(0,2)上恰好有（ )．A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根 【答案】B【解析】令321()13f x x ax =-+,则2()2f x xax'=-，∴2a >，故当(0,2)x ∈时,()0f x '<, 即()f x 在(0,2)上为减函数，又∵(0)10f =>，11(2)403f a =-<， 故函数321()13f x x ax =-+在(0,2)上有且只有一零点，即方程321103x ax -+=在(0,2)上恰好有1个根,故选B ．10．函数ln x y x=的图象大致是( ）．A．xB．C． D．【答案】C 【解析】ln ||()x f x y x==，则ln ||()()x f x f x x-=-=-， 因此()f x 是奇函数,排除B ，x >时，21ln ()xf x x -'=，0ex <<时，21ln 0xx ->，函数单调递增；ex >时，21ln 0xx -<,函数单调递减．故选C ．11．函数()f x 的定义域为R ,(1)2f -=,对任意x ∈R ,()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ )．A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．(,)-∞+∞ 【答案】B【解析】()240f x x -->， 令()()24F x f x x =--, 则()()20F x f x ''=->， 故()F x 是增函数，又因为(1)(1)2(1)40F f -=--⨯--=， 故()0F x >解集为(1,)-+∞， 故选B ．12．已知二次函数2()f x axbx c=++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)(0)f f ' 的最小值为（ ）．A ．3B ．52C ．2D ．32【答案】C【解析】()2f x ax b '=+，(0)0f b '=>． 由()0f x ≥可知：a b >，240b ac ∆=-=,故(1)12(0)f a b c f b ++==≥,故选C ．二、填空题:(每小题4分，共6小题，共24分）13．已知321(2)33y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是__________． 【答案】12b -≤≤ 【解析】即2(2)4(2)0b b ∆=-+≤，解得12b -≤≤．14．已知a ,b 是不相等的正数,x =，y x ，y 的大小关系是__________． 【答案】x y <【解析】2x=,22a b a by a b +++=+=，∵)a b a b +>≠，∴22xy <，∵x ，0y >, ∴x y <．15．1)d x x =⎰__________．【答案】π142+ 【解析】1x⎰表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，∴11π4x =⎰，∴110)d d x x x x x=+⎰⎰⎰，11π42=+．16．已知322()3f x x ax bx a =+++在1x =-时有极值0,则a b +=__________．【答案】11【解析】由题知(1)0(1)0f f -=⎧⎪⎨'-=⎪⎩，且2()36f x x ax b'=++，所以2130360a b a a b ⎧-+-+=⎨-+=⎩，得1a =或2a =，①当1a =时,3b =，此时，22()3633(1)0f x x x x '=++=+≥,所以函数()f x 单调递增无极值, 舍去．②当2a =时,9b =,此时2()31293(1)(3)f x xx x x '=++=+⋅+,1x =-是函数的极值点，符合题意，∴11a b +=．17．若Rt ABC △中两直角边为a ,b ，斜边c 上的高为h ，则222111h a b =+，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P ABC -,PO为棱锥的高，记21M PO =，222111N PA PB PC =++，那么M ,N 的大小关系是__________．C BAP O【答案】M N =【解析】在Rt ABC △中，222c a b =+①,由等面积法得ch ab =，∴2222ch a b ⋅=⋅②，①÷②整理得,222111h a b=+，类比知：2222ABCPAB PBC PACS S S S =++△△△△③，由等体积法得12ABCS PO PA PB PC ⋅=⋅⋅△,∴2222214ABCS PO PA PB PC ⋅=⋅⋅△④，③÷④得M N =,故答案为M N =．18．已知直线()y mx m =∈R 与函数121e ,(0)()1,(0)x x x f x x x -⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥的图象恰有三个不同的公共点,则实数m 的取值范围是__________．【答案】)+∞【解析】212(0)2()11(0)2xx f x x x ⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪+>⎪⎩≤与y mx =的图象恰好有三个不同的公共点，在同一坐标系中，画出直线y mx =与()f x 的图象．则由图象可得，当直线y mx =和21(0)2y x x =>， 相交时，直线y mx =和()f x 有3个交点, 由2112y mx y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩，得2220x mx -+=,又2480m∆=->,得m >m <，∴m >三、解答题：（每小题10分，共4小题，共40分）19．已知函数1()ln x f x x x-=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程．（Ⅱ）求()f x 的单调区间．（Ⅲ）求()f x 在1,e 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【答案】见解析【解析】解：（I ）∵22111()xf x x x x-'=-=， ∴122f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，11ln 22f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以切线方程为:11ln 222y x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，即：22ln 2y x =-+． （2）21()x f x x -'=，令()0f x '>，得1x <； 令()0f x '<，得1x >．∴()f x 单调增区间为(0,1)， 单调减区间为(1,)+∞． （3）1,e 4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 在[]1,e 上单调递减． ∴max()(1)0f x f ==,1ln 434f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1(e)e f =-． ∴1ln 43e-<-，∴min 1()ln 434f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．20．已知函数321()(0)3f x ax x a =+>．（Ⅰ)求函数()y f x =的极值． (Ⅲ）若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-,使得01()2f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围．【答案】见解析【解析】(I ）2()2f x axx '=+， 令()0f x '=得20x =，32x a =-，∴()y f x =的极大值为222122433f a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 极小值为(0)0f =．（II ）若存在0111,,022x ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得01()2f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则由(1）可以知道，需要21,221,1(1).2a af f ⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪⎛⎫-<-⎪ ⎪⎝⎭⎩或3122a a -<-<-．解得1847a <<或46a <<，故实数a的取值范围为18,4(4,6)7⎛⎫ ⎪⎝⎭．21．用数学归纳法证明：求证：1111111234(21)212n n n n n n +++=+++⨯⨯-⨯+++．*()n ∈N ． 【答案】见解析【解析】解：①当1n =时， 左边11122==⨯, 右边12=,等式成立．②设当n k =时，等式也成立,即：1111111234(21)212k k k k k k +++=+++⨯⨯-⋅+++， 则当1n k =+时, 11112(21)2(21)(22)k k k k +++⨯-⋅+⋅+， 1111(21)(22)k k k k k =+++++++， 11111121221k k k k k k =++++-+++++, 111122122k k k k k =++++++++, 11111111k k k k k =++++++++++，得证．∴1n k =+时，成立，故等式成立．22．已知函数2()e (1)x f x x ax =++．（Ⅰ）当a ∈R 时,讨论()f x 的单调性． (Ⅱ）若实数a 满足1a -≤，且函数32()43(4)6(2)()g x xb x b x b =++++∈R 的极小值点与()f x 的极小值点相同．求证：()g x 的极小值小于等于0．【答案】见解析【解析】解：（I)2()e (2)1x f x x a x a '⎡⎤=++⋅++⎣⎦， e (1)(1)x x x a =⋅+⋅++，由()0f x '=，得1x =-或1x a =--． ①当0a =时，2()e(1)0x f x x '=⋅+≥， ()f x 在(,)-∞+∞上为增函数．②当0a >时,()f x 在(1,1)a ---上为减函数； ()f x 在(,1)a -∞--，(1,)-+∞上为减函数． ③当0a <时，()f x 在(1,1)a ---上为减函数; ()f x 在(,1)-∞-，(1,)a --+∞上为增函数． （II)∵1a -≤， ∴11a -->-．又2()e (2)1x f x x a x a '⎡⎤=⋅++⋅++⎣⎦， []e 1(1)x x a x =⋅++⋅+， ∴()f x 的极小值是1x a =--， 从而()g x 的极小值是1x a =--． 又2()12(1)2b g x x x +⎛⎫'=+⋅+ ⎪⎝⎭， ∴212b a +-=--，即2b a =．∵1a -≤， 故2()(1)(1)(42)0g x g a a a =--=-+-极小值≤，【注意有文字】 即()g x 的极小值为0．。

2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（文科）试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分，考试时间120分钟。

卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1. 复数i-12= A. 2+2i B. 22+22i C. 1-i D. 1+i2. 下列求导正确的是A. （3x 2-2）'=3xB. （log 2x ）'=2ln 1⋅xC. （cosx ）'=sinxD. （xln 1）'=x 3. 曲线y=x·e x在x=1处切线的斜率等于A. 2eB. eC. 2D. 14. 设a>0，b>0，则“a>b”是“lna>lnb”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件5. 函数f （x ）=3+xlnx 的单调递增区间为A. （0，e1） B. （e ，+∞） C. （e1，+∞） D. （e1，e ） 6. 在复平面内，复数ii+-12（i 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限7. 命题“∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0-1”的否定是A. ∃x 0∈（0，+∞），lnx 0≠x 0-1B. ∃x 0∉（0，+∞），1nx 0=x 0-1C. ∀x∈（0，+∞），lnx≠x -1D. ∀x ∉（0，+∞），lnx=x-18. 已知f （x ）=1+（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）n，则f'（0）=A. nB. n-1C.2)1(-n n D. )1(21+n n 9. 函数f （x ）=x 3+ax 2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是A. （-1，2）B. （-3，6）C. （-∞，-3）∪（6，+∞）D. （-∞，-1）∪（2，+∞）10. 方程x 2=xsinx+cosx 的实数解个数是A. 3B. 0C. 2D. 1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2016-2017学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）复数等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i2．（5分）已知函数f（x）＝e﹣x，则f'（﹣1）＝（）A．B．C．e D．﹣e3．（5分）甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为．现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A．a＜f'（1）＜f'（2）B．f'（1）＜a＜f'（2）C．f'（2）＜f'（1）＜a D．f'（1）＜f'（2）＜a5．（5分）直线y＝x与抛物线y＝x2所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．6．（5分）用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（）A．16个B．12个C．9个D．8个7．（5分）函数在区间[0，π]上的最大、最小值分别为（）A．π，0B．C．D．8．（5分）5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．（5分）曲线y＝在x＝2处的切线的斜率为．10．（5分）展开式中的常数项是．11．（5分）离散型随机变量ξ的分布列为：且Eξ＝2，则p1＝；p2＝．12．（5分）某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有种．13．（5分）若函数f（x）＝ax3﹣ax2+x在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，则a的取值范围是．14．（5分）已知，对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立．①若a＝e，则b的最大值为；②在所有符合题意的a，b中，a﹣b的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在数列{a n}中，a1＝1，，其中n＝1，2，3，…．（Ⅰ）计算a2，a3，a4，a5的值；（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．16．（13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率．17．（13分）已知函数f（x）＝x3+3ax2．（Ⅰ）若a＝﹣1，求f（x）的极值点和极值；（Ⅱ）求f（x）在[0，2]上的最大值．18．（13分）一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（Ⅰ）用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值．（直接写出n的值）（Ⅱ）若n＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（14分）已知函数f（x）＝ax2+bx和g（x）＝lnx．（Ⅰ）若a＝b＝1，求证：f（x）的图象在g（x）图象的上方；（Ⅱ）若f（x）和g（x）的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝（x﹣1）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当a＞0时，方程f（x）＝a在区间（1，+∞）上只有一个解；（Ⅲ）设h（x）＝f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，其中a＞0．若h（x）≥0恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）复数等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：复数＝．故选：A．2．（5分）已知函数f（x）＝e﹣x，则f'（﹣1）＝（）A．B．C．e D．﹣e【解答】解：根据题意，函数f（x）＝e﹣x，则f′（x）＝﹣e﹣x，则f′（﹣1）＝﹣e﹣（﹣1）＝﹣e；故选：D．3．（5分）甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为．现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设事件A表示“甲射击命中目标”，事件B表示“乙射击命中目标”，则P（A）＝，P（B）＝，目标被击中的对立事件是甲、乙二人都没有击中，∴目标被击中的概率：p＝1﹣[1﹣P（A）][1﹣P（B）]＝1﹣＝．∴目标被击中的概率是．故选：C．4．（5分）已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A．a＜f'（1）＜f'（2）B．f'（1）＜a＜f'（2）C．f'（2）＜f'（1）＜a D．f'（1）＜f'（2）＜a【解答】解：由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越开越大，∵，∴f′（1）＜a＜f′（2），故选：B．5．（5分）直线y＝x与抛物线y＝x2所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：由，可得交点的坐标为（0，0），A（1，1），∴所求的封闭图形的面积为S＝（x﹣x2）dx＝（x2﹣x3）＝﹣＝，故选：C．6．（5分）用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（）A．16个B．12个C．9个D．8个【解答】解：根据题意，要求的四位数比2000大，则其首位数字必须是2、3、4中一个，则分3种情况讨论：①、首位数字为2时，其个位数字必须为4，将1、3全排列，安排在中间两个数位，有A22＝2种情况，即此时有2个比2000大的偶数，②、首位数字为3时，其个位数字必须为2或4，有2种情况，将剩下的2个数字全排列，安排在中间两个数位，有A22＝2种情况，即此时有2×2＝4个比2000大的偶数，③、首位数字为4时，其个位数字必须为2，将1、3全排列，安排在中间两个数位，有A22＝2种情况，即此时有2个比2000大的偶数，则一共有2+4+2＝8个比2000大的偶数，故选：D．7．（5分）函数在区间[0，π]上的最大、最小值分别为（）A．π，0B．C．D．【解答】解：函数，∴f′（x）＝1﹣cos x；令f′（x）＝0，解得cos x＝，又x∈[0，π]，∴x＝；∴x∈[0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（，π]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；且f（）＝﹣sin＝﹣1，f（0）＝0，f（π）＝π；∴函数f（x）在区间[0，π]上的最大、最小值分别为π和﹣1．故选：C．8．（5分）5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个【解答】解：5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）曲线y＝在x＝2处的切线的斜率为﹣．【解答】解：∵y＝∴y′＝﹣则y′＝﹣∴曲线y ＝在x ＝2处的切线的斜率为﹣． 故答案为：﹣ 10．（5分）展开式中的常数项是 24 ． 【解答】解：展开式的通项公式为 T r +1＝•24﹣r•（﹣1）r •x 4﹣2r，令4﹣2r ＝0，求得r ＝2，可得常数项是24， 故答案为：24．11．（5分）离散型随机变量ξ的分布列为：且E ξ＝2，则p 1＝；p 2＝．【解答】解：∵E ξ＝2，∴由离散型随机变量ξ的分布列，得：，解得，P 2＝．故答案为：，．12．（5分）某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有 42 种．【解答】解：根据题意，节目甲不能排在第一个，则甲必须排在第二、三、四、五的位置， 分2种情况讨论：①、若甲排在第二、三、四的位置， 甲的排法有3种，由于节目甲必须和节目乙相邻，乙可以排在甲之前或之后，有2种情况，对于剩下的3个节目，进行全排列，安排在剩余的3个空位中，有A 33＝6种情况， 则此时有3×2×6＝36种编排方案；②、若甲排在第五的位置，甲的排法只有1种，由于节目甲必须和节目乙相邻，乙只能排在甲之前，即第四个位置，有1种情况，对于剩下的3个节目，进行全排列，安排在前面3个空位中，有A33＝6种情况，则此时有1×1×6＝6种编排方案；则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有36+6＝42种；故答案为：42．13．（5分）若函数f（x）＝ax3﹣ax2+x在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，则a的取值范围是（﹣∞，﹣）．【解答】解：由题意，f′（x）＝3ax2﹣2ax+1，a＝0显然不成立；a≠0时，对称轴为x＝∉（﹣1，0），f′（x）在（﹣1，0）为单调函数，当f′（﹣1）f′（0）＜0即5a+1＜0时，函数f（x）在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，解得：a＜﹣，a∈（﹣∞，﹣），故答案为：（﹣∞，﹣）．14．（5分）已知，对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立．①若a＝e，则b的最大值为0；②在所有符合题意的a，b中，a﹣b的最小值为﹣．【解答】解：①若a＝e，则对于任意x∈R，e x≥ex+b均成立，即为b≤e x﹣ex恒成立，由y＝e x﹣ex的导数为y′＝e x﹣e，当x＞1时，y′＞0，函数y递增；当x＜1时，y′＜0，函数y递减．可得x＝1处，函数y取得最小值，且为0，则b≤0，即b的最大值为0；②对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立，即有b≤e x﹣ax恒成立，由y＝e x﹣ax的导数为y′＝e x﹣a，当a≤0时，y′＞0恒成立，函数y递增，无最小值；当a＞0时，当x＞lna时，y′＞0，函数y递增；当x＜lna时，y′＜0，函数y递减．可得x＝lna处，函数y取得最小值，且为a﹣alna，则b≤a﹣alna，即a﹣b≥alna，由f（a）＝alna的导数为f′（a）＝lna+1，可得a＞时，f′（a）＞0，f（a）递增；0＜a＜时，f′（a）＜0，f（a）递减．可得a＝时，f（a）取得最小值﹣．则a﹣b的最小值为﹣．故答案为：0，﹣．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在数列{a n}中，a1＝1，，其中n＝1，2，3，…．（Ⅰ）计算a2，a3，a4，a5的值；（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n}中，a1＝1，，则a2＝×a1+1＝4，a3＝×a2+1＝9，a4＝×a3+1＝16，a5＝×a4+1＝25，（Ⅱ）有（Ⅰ）可以猜测：a n＝n2，用数学归纳法证明：①、当n＝1时，a1＝12＝1，即n＝1时，a n＝n2成立，②、假设n＝k（k≥1）时，结论成立，即a k＝k2，n＝k+1时，a k+1＝×a k+1＝（k+1）2，即n＝1时，结论也成立，根据①②可得：a n＝n2成立．16．（13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意，甲投球2次，都没有命中的概率为•＝，故甲至少命中1次的概率为1﹣＝．（Ⅱ）∵乙投球2次均未命中的概率为（1﹣p）•（1﹣p）＝，∴p＝．若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次，则甲只有一次没有命中、乙2次全部命中，或乙只有一次没有命中、甲2次全部命中．而甲只有一次没有命中、乙2次全部命中的概率为••（1﹣）•＝，而乙只有一次没有命中、甲2次全部命中的概率为••＝，故两人共命中3次的概率为+＝．17．（13分）已知函数f（x）＝x3+3ax2．（Ⅰ）若a＝﹣1，求f（x）的极值点和极值；（Ⅱ）求f（x）在[0，2]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）a＝﹣1时，f（x）＝x3﹣3x2，f′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；故x＝0是极大值点，极大值是f（0）＝0，x＝2是极小值点，极小值是f（2）＝﹣4；（Ⅱ）f′（x）＝3x2+6ax＝3x（x+2a），a≥0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，2]递增，故f（x）max＝f（2）＝12a+8；﹣1＜a＜0时，﹣2＜2a＜0，令f′（x）＞0，解得：x＞﹣2a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜﹣2a，故f（x）在[0，﹣2a）递减，在（﹣2a，2]递增，若a＝﹣时，f（x）max＝0；若﹣1＜a＜﹣时，f（0）＞f（2），可得f（x）max＝f（0）＝0；若﹣＜a＜0时，f（0）＜f（2），可得f（x）max＝f（2）＝12a+8；a≤﹣1时，2a≤﹣2，f（x）在[0，2]递减，故f（x）max＝f（0）＝0．18．（13分）一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（Ⅰ）用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值．（直接写出n的值）（Ⅱ）若n＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）依题意有个黑球，记“摸出的2球都是黑球”为事件A，则P（A）＝＝＝∴P（A）最小时n＝5．（Ⅱ）依题意有＝6个黑球，设袋中白球的个数为x个，记“从袋中任意摸出两个球到少得到一个白球”为事件B，则P（B）＝1﹣＝，整理，得：x2﹣29x+120＝0，解得x＝5或x＝24（舍），∴袋中红球的个数为4个，机变量X的取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝，∴X的分布列为：EX＝．19．（14分）已知函数f（x）＝ax2+bx和g（x）＝lnx．（Ⅰ）若a＝b＝1，求证：f（x）的图象在g（x）图象的上方；（Ⅱ）若f（x）和g（x）的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：若a＝b＝1，即有f（x）＝x2+x，令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2+x﹣lnx，h′（x）＝2x+1﹣＝＝，x＞0，当x＞时，h′（x）＞0，h（x）递增；当0＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）递减．可得h（x）在x＝处取得极小值，且为最小值，且h（）＝+﹣ln＞0，即有h（x）＞0恒成立，则f（x）的图象在g（x）图象的上方；（Ⅱ）设P的坐标为（m，n），f（x）＝ax2+bx的导数为f′（x）＝2ax+b，g（x）＝lnx的导数为g′（x）＝，可得2am+b＝，且n＝am2+bm＝lnm，消去b，可得am2+1﹣2am2＝lnm，可得a＝（m＞0），令u（m）＝（m＞0），则u′（m）＝，当m＞时，u′（m）＞0，u（m）递增；当0＜m＜时，u′（m）＜0，u（m）递减．可得u（m）在m＝处取得极小值，且为最小值，且u（）＝＝﹣，则a≥﹣，故a的取值范围是[﹣，+∞）．20．（14分）已知函数f（x）＝（x﹣1）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当a＞0时，方程f（x）＝a在区间（1，+∞）上只有一个解；（Ⅲ）设h（x）＝f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，其中a＞0．若h（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知f′（x）＝e x+（x﹣1）e x＝xe x，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣a＝（x﹣1）e x﹣a，a＞0，g′（x）＝xe x，由（Ⅰ）知，函数g（x）在区间（0，+∞）递增，且g（1）＝﹣a＜0，g（a+1）＝ae a+1﹣a＝a（e a+1﹣1）＞0，故g（x）在（1，+∞）上只有1个零点，方程f（x）＝a在区间（1，+∞）上只有1个解；（Ⅲ）设h（x）＝f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，a＞0，h（x）的定义域是{x|x＞1}，h′（x）＝xe x﹣﹣a＝[（x﹣1）e x﹣a]，令h′（x）＝0，则（x﹣1）e x﹣a＝0，由（Ⅱ）得g（x）＝（x﹣1）e x﹣a在区间（1，+∞）上只有1个零点，是增函数，不妨设g（x）的零点是x0，则（x0﹣1）﹣a＝0，故h′（x），h（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：∴函数h（x）的最小值是h （x0），h（x 0）＝（x0﹣1）﹣aln（x0﹣1）﹣ax0，由（x0﹣1）﹣a＝0，得x0﹣1＝，故h（x0）＝•﹣aln＝a﹣alna，由题意h（x0）≥0，即a﹣alna≥0，解得：0＜a≤e，故a的范围是（0，e]．。

2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分，考试时间120分钟卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1. 复数i-12= A. 2+2i B . 22+22i C. 1-iD. 1+i2. 下列求导正确的是A. （3x 2-2）'=3xB. （log 2x ） '=2ln 1⋅xC. （cosx ） '=sinxD. （xln 1）'=x 3. 曲线y=x ·e x在x=1处切线的斜率等于 A. 2eB. eC. 2D. 14.⎰421dx x等于 A. -21n 2 B. 21n 2 C. -ln 2 D. ln 2 5. 函数f （x ）=3+x lnx 的单调递增区间为 A. （0，e 1） B. （e ，+∞） C. （e 1，+∞） D. （e1，e] 6. 在复平面内，复数ii+-12（i 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限7. 函数f （x ）=216x x+在区间[0，3]的最大值为 A. 3B. 4C. 2D. 58. 已知f （x ）=1+（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）n，则f '0）= A. nB. n-1C.2)1(-n n D. 21n （n+1） 9. 函数f （x ）=x 3+ax 2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 A. （-1，2）B. （-3，6）C. （-∞，-3）∪（6，+∞）D. （-∞，-1）∪（2，+∞）10. 方程x 2=xsinx+cosx 的实数解个数是A. 3B. 0C. 2D. 1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 复数（2+i ）·i 的模为__________.12. 由曲线y=x 2,y=x 3围成的封闭图形的面积为__________.13. 若曲线y=x 3+x-2上的在点P 0处的切线平行于直线y=4x-1，则P 0坐标为__________. 14. 如下图，由函数f （x ）=x 2-x 的图象与x 轴、直线x=2围成的阴影部分的面积为__________.15. 已知S n =11+n +21+n +…+n 21，n ∈N*，利用数学归纳法证明不等式S n >2413的过程中，从n=k 到n=k+l （k ∈N*）时，不等式的左边S k+1=S k +__________. 16. 对于函数y=f （x ），x ∈D ，若对于任意x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得))((21x x f =M ，则称函数f （x ）在D 上的几何平均数为M. 那么函数f （x ）=x 3-x 2+1，在x ∈[1，2]上的几何平均数M=____________. f(x)=x 2-x三、解答题：本大题共2小题，共20分. 17. 设函数f （x ）=lnx-x 2+x. （I ）求f （x ）的单调区间； （II ）求f （x ）在区间[21，e]上的最大值. 18. 已知函数f （x ）=11222+-+x a ax ，其中a ∈R . （I ）当a=1时，求曲线y=f （x ）在原点处的切线方程； （II ）求f （x ）的极值.卷（II ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 1. 若f （x ）=-21x 2+bln （x+2）在（-1，+∞）上是减函数，则实数b 的取值范围是 A. [-1，+∞） B. （-1，+∞） C. （-∞，-1] D. （-∞,-1） 2. 观察（x 1）'=-21x，（x 3）'=3x 2，（sinx ）'=cosx ，由归纳推理可得：若函数f （x ）在其定义域上满足f （-x ）=-f （x ），记g （x ）为f （x ）的导函数，则g （-x ）=A. -f （x ）B. f （x ）C. g （x ）D. -g （x ）3. 若i 为虚数单位，设复数z 满足| z |=1，则|z-1+i|的最大值为 A. 2-1 B. 2-2 C. 2+1 D. 2+2二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.4. 曲线y=x n在x=2处的导数为12，则正整数n=__________.5. 设函数y=-x 2+l 的切线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为__________.6. 对于函数①f （x ）=4x+x 1-5，②f （x ）=|log 2 x|-（21）x，③f （x ）=cos （x+2）-cosx ，判断如下两个命题的真假：命题甲：f （x ）在区间（1，2）上是增函数；命题乙：f （x ）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x 1，x 2，且x 1x 2<1. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是_____________.三、解答题：本大题共2小题，共20分 7. 已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+a 2.（I ）若f （x ）在x=1处有极值10，求a ，b 的值；（II ）若当a=-1时，f （x ）<0在x ∈[1，2]恒成立，求b 的取值范围 8. 已知函数f （x ）=x 3-3ax+e ，g （x ）=1-lnx ，其中e 为自然对数的底数.（I ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线l ：x+2y=0垂直，求实数a 的值；（II ）设函数F （x ）=-x[g （x ）+21x-2]，若F （x ）在区间（m,m+1）（m ∈Z ）内存在唯一的极值点，求m 的值；（III ）用max{m ，n}表示m ，n 中的较大者，记函数h （x ）=max{f （x ），g （x ）}（x>0）. 若函数h （x ）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a 的取值范围.参考答案 卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 DBADCDADCC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 11 512 121 13 （1，0）或（-1，-4）14115221121+-+k k 165三、解答题：本大题共2小题，共20分. 17. （本小题满分8分）解：（I ）因为f （x ）=lnx-x 2+x 其中x>0 所以f '（x ）=x 1-2x+1=xx x )12)(1(+- 所以f （x ）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）. （II ）由（I ）f （x ）在[21，1]单调递增，在[1，e]上单调递减， ∴f （x ）max =f （1）=0 f （x ）max =f （1）=a-1 18. （本小题满分12分） （I ）解：当a=1时，f （x ）=122+x x，f '（x ）=-222)1()1)(1(+-+x x x …………2分由f '（0）=2，得曲线y=f （x ）在原点处的切线方程是2x-y=0. …………4分 （II ）解：f '（x ）=-21)1)((2+-+x ax a x . ……………6分 ①当a=0时，f '（x ）=122+x x. 所以f （x ）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减. ………………7分当a ≠0，f '（x ）=-2a 1)1)((2+-+x a x a x . ②当a>0时，令f '（x ）=0，得x 1=-a ，x 2=a1，f （x ）与f '（x ）的情况如下:x （-∞，x 1） x 1 （x 1,x 2） x 2 （x 2,+∞） f '（x ） - 0 + 0 - f （x ）↘f （x 1）↗f （x 2）↘故f （x ）的单调减区间是（-∞，-a ）,（a 1,+∞）；单调增区间是（-a ，a1）. f （x ）有极小值f （-a ）=-1，有极大值f （a1）=a 2………10分 ③当a<0时，f （x ）与f '（x ）的情况如下： x （-∞，x 2） x 2 （x 2,x 1） x 1 （x 1,+∞） f '（x ） + 0 - 0 + f （x ）↗f （x 2）↘f （x 1）↗所以f （x ）的单调增区间是（-∞，a 1）；单调减区间是（-a1，-a ），（-a,+ ∞）. f （x ）有极小值f （-a ）=-1，有极大值f （a1）=a 2………………12分 综上，a>0时，f （x ）在（-∞，-a ），（a 1，+∞）单调递减；在（-a,a1）单调递增. a=0时，f （x ）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减，f （x ）有极小值f （-a ）=-1，有极大值f （a 1）=a 2；a<0时，f （x ）在（-∞,a 1），（-a,+∞）单调递增；在（a1，-a ）单调递减，f （x ）有极小值f （-a ）=-1，有极大值f （a1）=a 2. 卷（II ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 题号 1 2 3 答案 CCC二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 题号 4 56 答案3934 ①②三、解答题：本大题共2小题，共20分. 7. （本小题满分8分）解：（I ）f '（x ）=3x 2+2ax+b ，由题设有f '（1）=0，f （1）=10即⎩⎨⎧=+++=++1010232a b a b a 解得⎩⎨⎧=-=33b a 或⎩⎨⎧-==114b a 经验证，若⎩⎨⎧=-=33b a 则f '（x ）=3x 2-6x+3=3（x-1）2当x>1或x<1时，均有f '（x ）>0，可知 此时x=1不是f （x ）的极值点，故⎩⎨⎧=-=33b a 舍去⎩⎨⎧-==114b a 符合题意，故⎩⎨⎧-==114b a . （II ）当a=-1时，f （x ）=x 3-x 2+bx+l 若f （x ）<0在x ∈[1，2]恒成立，即 x 3-x 2+bx+1<0在x ∈[1，2]恒成立即b<x x x 123-+-在x ∈[1，2]恒成立令g （x ）=xx x 123-+-，则g '（x ）=2232)1()23(x x x x x x -+--+-=22312x x x ++-（法一：由g '（x ）=0解得x=1…）（法二）由-2x 3+x 2+1=1-x 3+x 2（1-x ） 可知x ∈[1，2]时g '（x ）<0即g （x ）=xx x 123-+-在x ∈[1，2]单调递减（g （x ））max =g （2）=-25∴b<-25时，f （x ）<0在x ∈[1，2]恒成立 8. （本小题满分12分）解：（I ）易得，f '（x ）=3x 2-3a ，所以f '（1）=3-3a ， 依题意，（3-3a ）（-21）=-1，解得a=31; ………3分 （II ）因为F （x ）=-x[g （x ）+21x-2]=-x[（1-lnx ）+21x-2]=xlnx-21x 2+x, 则F'（x ）=lnx+l-x+l=lnx-x+2. 设t （x ）=lnx-x+2，则t '（x ）=x 1-1=xx -1. 令t '（x ）=0，得x=1.则由t '（x ）>0，得0<x<1，F '（x ）为增函数； 由t '（x ）<0，得x>1，F '（x ）为减函数； 而F '（21e ）=-2-21e +2=-21e <0，F '（1）=1>0. 则F '（x ）在（0，1）上有且只有一个零点x 1， 且在（0，x 1）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数； 在（x 1，1）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数. 所以x 1为极值点，此时m=0.又F '（3）=ln3-1>0，F '（4）=21n2-2<0, 则F '（x ）在（3，4）上有且只有一个零点x 2， 且在（3，x 2）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数； 在（x 2，4）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数. 所以x 2为极值点，此时m=3.综上m=0或m=3. …………………9分（III ）（1）当x ∈（0，e ）时，g （x ）>0，依题意，h （x ）≥g（x ）>0，不满足条件； （2）当x=e 时，g （e ）=0，f （e ）=e 3-3ae+e ，①若f （e ）=e 3-3ae+e≤0，即a≥312+e ，则e 是h （x ）的一个零点；②若f （e ）=e 3-3ae+e>0，即a<312+e ，则e 不是h （x ）的零点；（3）当x ∈（e ，+∞）时，g （x ）<0，所以此时只需考虑函数f （x ）在（e,+∞）上零点的情况.因为f '（x ）=3x 2-3a>3e 2-3a ，所以①当a≤e 2时，f '（x ）>0，f （x ）在（e ，+∞）上单调递增. 又f （e ）=e 3-3ae+e ，所以（i ）当a≤312+e 时，f （e ）≥0，f （x ）在（e ，+∞）上无零点；（ii ）当312+e <a≤e 2时，f （e ）<0，又f （2e ）=8e 3-6ae+e≥8e 3-6e 3+e>0，所以此时f （x ）在（e ，+∞）上恰有一个零点；②当a>e2时，令f '（x）=0，得x=±a.由f '（x）<0，得e<x<a；由f '（x）>0，得x>a；所以f（x）在（e，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增. 因为f（e）=e3-3ae+e<e3-3e3+e<0，f（2a）=8a3-6a2+e>8a2-6a2+e=2a2+e>0，所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；综上，a>312e. …………12分。

北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）2017.7试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 曲线1y x=在2x =处切线的斜率为______. 10. 4)12(xx -展开式中的常数项是_______.（用数字作答）11. 离散型随机变量ξ的分布列为:且2=ξE ，则1p =_________；2p = _________.12. 某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_____种．13. 若函数32()f x ax ax x =-+在区间(1,0)-上恰有一个极值点，则a 的取值范围是_____．14. 已知，对于任意x ∈R ，e xax b ≥+均成立.①若e a =，则b 的最大值为__________；②在所有符合题意的b a ,中，a b -的最小值为_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，11=a ，121++=+n n a nn a ，其中1,2,3,n =.(Ⅰ) 计算2a ，3a ，4a ，5a 的值；(Ⅱ) 根据计算结果，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16．（本小题满分13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161. (Ⅰ)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(Ⅱ)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率.17．（本小题满分13分）已知函数32()3f x x ax =+.(Ⅰ) 若1-=a ，求)(x f 的极值点和极值； (Ⅱ) 求)(x f 在[0,2]上的最大值.18．（本小题满分13分）一个袋中装有黑球，白球和红球共n (*n ∈N )个,这些球除颜色外完全相同. 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52. 现从袋中任意摸出2个球. (Ⅰ) 用含n 的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n 的值.（直接写出n 的值）(Ⅱ) 若15=n ，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是74，设X 表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 19．（本小题满分14分）已知函数2()f x ax bx =+和x x g ln )(=.(Ⅰ) 若1==b a ，求证：()f x 的图象在()g x 图象的上方；(Ⅱ) 若()f x 和()g x 的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知函数()(1)e xf x x =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当0>a 时，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解；（Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，其中0>a .若()0h x ≥恒成立，求a 的取值范围.北京市西城区2016 — 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2.D ；3. C ；4. B ；5. C ；6. D ；7. C ；8. B . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 41-； 10. 24； 11. ,4211； 12. 42； 13. 1(,)5-∞-； 14. 0；1e-. 注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解： (Ⅰ) 根据已知，24a =；99a =；416a =；525a =. …………… 4分 (Ⅱ)猜想2n a n =. …………… 6分证明：① 当1=n 时，由已知11=a ；由猜想，2111a ==，猜想成立. …………… 8分 ②假设当k n =（k ∈*N ）时猜想成立，即2k a k =， ……………10分 则1+=k n 时， 221)1(1212+=+⨯+=++=+k k kk a k k a k k . 所以，当1n k =+时，猜想也成立. ……………12分 由①和②可知，2n a n =对任意的*n ∈N 都成立. ……………13分 16.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件A ，则11(),()22P A P A ==. …………… 2分故甲投球2次至少命中1 次的概率为31()1()()4P A A P A P A -⋅=-=. …………5分(Ⅱ) 设“乙投球一次命中”为事件B .由题意得1()(1)(1)16P B B p p ⋅=--=， ……………7分解得43=p 或45(舍去)， 所以31(),()44P B P B ==. ……………8分甲、乙两人各投球2次共命中3次有两种情况：甲中两次，乙中一次；甲中一次，乙中两次. ……………9分甲中两次，乙中一次的概率为1211313()()()()2224432P A P A C P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…11分 甲中一次，乙中两次的概率为1211339()()()()2224432C P A P A P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…12分事件“甲中两次，乙中一次”与“甲中一次，乙中两次”是互斥的，所以，所求事件概率为93332328+=. 所以甲、乙两人各投2次，共命中3次的概率为38. ……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 当1-=a 时，32()3f x x x =-，2()36f x x x '=-. ……………2分令2()360f x x x '=-=，得0x =或2x =.……………4分所以，函数)(x f 的极大值点为0x =，极大值为0；极小值点为2x =，极小值为4-.……………6分(Ⅱ) 2()363(2)f x x ax x x a '=+=+. ……………7分①当0a =时，()0f x '≥（仅当0x =时，()0f x '=），函数)(x f 是增函数，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)8128f a =+=. ……………8分②当0a >时，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数)(x f 是增函数.)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. ……………10分③当0a <时，()f x '与()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：……………11分此时，(0)0f =，(2)812f a =+. 当8120a +>，即203a -<<时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. 12分 当8120a +≤，即23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(0)0f =. ………13分 综上，当23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为0；当23a >-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为812a +.18.（本小题满分13分） 解：(Ⅰ) 依题意有n 52个黑球. 记“摸出的2球都是黑球”为事件A ， 则225222(1)41055()(1)2525n n C n n n P A C n n n --===--. ……………4分()P A 最小时5=n . ……………5分(Ⅱ) 依题意有21565⨯=个黑球. ……………6分 设袋中白球的个数为x (个)，记“从袋中任意摸出两个球至少得到一个白球”为事件B ，则2152154()17xC P B C -=-=，整理得2291200x x -+=，解得5x =或24x =（舍）. ……………8分 所以袋中红球的个数为4(个).随机变量X 的取值为0,1,2. ……………9分21121511(0)21C P X C ===；1141121544(1)105C C P X C ===；242152(2)35C P X C ===. X…………12分数学期望114428012211053515EX =⨯+⨯+⨯=. ……………13分19.（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 当1==b a 时，2()f x x x =+.设2()ln h x x x x =+-，0x >. ……………1分则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x +--+'=+-==， ……………2分所以，在区间1(0,)2上()0h x '<，()h x 是减函数；在区间1(,)2+∞上()0h x '>，()h x 是增函数. ……………4分所以，()h x 的最小值为1()2h =31ln 42-，又31ln 042->，所以()0h x >恒成立. 即()f x 的图象在()g x 图象的上方. ……………5分 (Ⅱ) 设00(,)P x y ，其中00x >.由已知()2f x ax b '=+，1()g x x'=. 因为在点P 处的切线相同， 所以2000000012,,ln ax b y ax bx y x x +==+=. ……………7分 消去0,b y 得200ln 10ax x +-=.根据题意，方程200ln 10ax x +-=有解. ……………8分设2()ln 1F x ax x =+-，则()F x 在(0,)+∞上有零点.2121()2ax F x ax x x+'=+=， 当0a ≥时，()0F x '>，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增. 当1a ≥时，(1)10F a =-≥，110F =+-=≤，()F x 有零点.当01a ≤<时，(1)10F a =-≤，22(e )e 10F a =+>，()F x 有零点. …11分 当0a <时，令()0F x '=，解得x =()F x '与()F x 在区间(0,)+∞上的情况如下：令3ln 02≥，得 312e a ≥-.此时(1)10F a =-<.所以()F x 有零点. ……………13分 综上，所求a 的取值范围为31[,)2e-+∞. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知()e (1)e e x x x f x x x '=+-=. ……………2分所以，在区间(,0)-∞上()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. ……………4分 （Ⅱ）设()()(1)e x g x f x a x a =-=--，0a >. ……………5分()e x g x x '=，由（Ⅰ）知，函数()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.且(1)0g a =-<，11(1)e (e 1)0a a g a a a a +++=-=->.所以，()g x 在区间(1,)+∞上只有一个零点，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解. ……………8分 （Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，0>a ，()h x 定义域为}1|{>x x ，()e (e )[(1)e ]111x x x a a x h x x a x x a x x x '=--=-=-----， ……………9分 令()0h x '=，则(1)e 0x x a --=，由（Ⅱ）知，()(1)e x g x x a =--在区间(1,)+∞上只有一个零点，是增函数， 不妨设()g x 的零点为0x ，则00(1)e 0x x a --=， ……………11分 所以，()h x '与()h x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，函数()h x 的最小值为0()h x ，00000()(1)e ln(1)x h x x a x ax =----，由00(1)e 0x x a --=，得001e x ax -=，所以00000()e ln ln e e x x x a ah x a ax a a a =⋅--=-. ……………13分依题意0()0h x ≥，即ln 0a a a -≥，解得0e a <≤，所以，a 的取值范围为(0,e]. ……………14分。

北京市海淀区2016-2017学年高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）一、选择题：1、复数1﹣i的虚部为（）A、iB、1C、D、﹣2、xdx=（）A、0B、C、1D、﹣3、若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A、﹣2B、2C、﹣2iD、2i4、若a，b，c均为正实数，则三个数a+ ，b+ ，c+ 这三个数中不小于2的数（）A、可以不存在B、至少有1个C、至少有2个D、至多有2个5、定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A、只有三个极大值点，无极小值点B、有两个极大值点，一个极小值点C、有一个极大值点，两个极小值点D、无极大值点，只有三个极小值点6、函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A、1B、﹣C、D、或﹣7、函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A、B、C、D、8、为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：①甲同学没有加入“楹联社”；②乙同学没有加入“汉服社”；③加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；④加入“汉服社”的那名同学在高一年级；⑤乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A、楹联社B、书法社C、汉服社D、条件不足无法判断二、填空题：9、在复平面内，复数对应的点的坐标为________．g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是________；函数f（g（x））在x=2处的导数值是________．11、如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是________．12、如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：(1)________ ；(2)f′（6）________f′（10）．13、已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么• =x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么• =x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么• =________．14、函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是________．（写出所有正确的结论的序号）三、解答题：15、已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16、已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n= ﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17、已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18、设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．答案解析部分一、<b >选择题：</b>1、【答案】D【考点】复数的基本概念【解析】【解答】解：复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．【分析】直接由虚部定义得答案．2、【答案】B【考点】定积分【解析】【解答】解：xdx= x2| = ，故选：B【分析】根据定积分的计算法则计算即可．3、【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A【分析】利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．4、【答案】B【考点】反证法与放缩法【解析】【解答】解：假设a+ ，b+ ，c+ 这三个数都小于2，∴a+ +b+ +c+ ＜6∵a+ +b+ +c+ =（a+ ）+（b+ ）+（c+ ）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，可以确定至少有一个不小于2，从而可以得结论．5、【答案】C【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．【分析】根据函数的单调性结合函数的图象判断函数的极值点的个数即可．6、【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：由题意，f′（x）= ，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a= ，故选C．【分析】求导数，利用函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，即可求出实数a的值．7、【答案】A【考点】函数的图象【解析】【解答】解：y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x 时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x= ，∴f（x）只有1个零点x= ，当x 时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x 时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．【分析】判断函数的单调性，计算函数与坐标轴的交点坐标即可得出答案．8、【答案】A【考点】进行简单的合情推理【解析】【解答】解：假设乙在高一，则加入“汉服社”，与②矛盾，所以乙在高二，根据③，可得乙加入“书法社”，根据①甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．【分析】确定乙在高二，加入“书法社”，根据①甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社．二、<b >填空题：</b>9、【答案】（﹣1，﹣1）【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：复数= =﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．10、【答案】y=3x﹣1；12【考点】导数的运算，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；12【分析】求出f′（1）=3，f（1）=2，即可求出曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．利用复合函数的导数公式，可得函数f（g（x））在x=2处的导数值，11、【答案】π+2【考点】定积分在求面积中的应用【解析】【解答】解：由图象可得S= （1+sinx）dx=（x﹣cosx）| =π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+2【分析】由图象可得S= （1+sinx）dx，再根据定积分的计算法则计算即可．12、【答案】（1）＞（2）＜【考点】函数的图象【解析】【解答】解：（1.）由函数图象可知= ，= =2，∴．（2.）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．【分析】（1）代入函数值计算或根据平均变化率的几何意义比较割线的斜率；（2）根据导数的几何意义比较切线的斜率即可．13、【答案】a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：由题意可知• =a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．【分析】根据平面向量和空间向量数量积的计算公式归纳得出结论．14、【答案】①②③【考点】命题的真假判断与应用【解析】【解答】解：对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．【分析】求出f（x）的导数，设出切点（m，f（m）），可得切线的斜率，由已知切线的方程可得a，m，的方程，求得m=1，a=0，即可判断①；求出f（x）的导数，运用指数函数的值域和不等式的性质可得导数大于0，即可判断②；由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，即可判断③．三、<b >解答题：</b>15、【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导数的方程，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）在闭区间的最小值即可．16、【答案】解：（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1= ，a3+a2= ﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2= ﹣1，a3= ﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，a n= ﹣，当n=1时，由a1=1= ﹣，猜想成立．假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即a k= ﹣则由a k+1+a k= ﹣，得a k+1= ﹣，即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{a n}的通项公式为a n= ﹣【考点】数列递推式，数学归纳法，数学归纳法【解析】【分析】（Ⅰ）由数列{a n}的递推公式依次求出a2，a3，a4；（Ⅱ）根据a2，a3，a4值的结构特点猜想{a n}的通项公式，再用数学归纳法①验证n=1成立，②假设n=k 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立【题型解答题17、【答案】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx﹣，函数f′（x）= ≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+ = ，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间，证明结论即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．18、【答案】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，因为f′（1）=0，且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0. ；令，则，故g（x）单调递增．又g（1）=0，当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值，判断即可；（Ⅱ）求出函数的导数，令，根据函数的单调性证明即可．。

北京市第四十四中学2016-2017学年度第二学期期中测试高二数学试卷（理科）一、选择题：每题只有一个正确答案，每题5分，共40分．1．某一射手所得环数的分布列如下：A ．0.09B ．0.79C ．0.88D ．以上都不对【答案】C【解析】(6)0.090.280.290.22P x >=+++，0.88=，选C ．2．在复平面内，复数12i -对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】12i2i21i 2i (2i)(2i)555++===+--+，第一象限，选A ．3．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ）．A ．160B ．160-C ．480D ．480-【答案】B【解析】66216C 2(1)rr r r r T x --+=⋅⋅-⋅，令620r -=，3r =，∴常数为336C 2(6)160⋅⋅-=-，选B ．4．已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，那么()f x 的图象最有可能的是（）．A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】2x <-时，()0f x '<，()f x 单减，20x -<<时，()0f x '>，()f x 单增，0x ≥，()0f x '<，()f x 单减，选A ．5．从7名同学（其中4男3女）中选出4名参加环保知识竞赛，若这4人中既有男生又有女生，则不同选法的种数为（ ）．A ．25B ．28C ．31D ．34【答案】D【解析】共有47C 35=种， 不可能仅有女生，仅有男生有1种情况，∴47C 134-=， 选D ．6．极坐标方程(1)(π)0(0)ρθρ--=≥表示的图形是（ ）．A ．两个圆B ．一个圆和一条射线C ．两条直线D ．一条直线和一条射线 【答案】B【解析】(1)(π)0ρθ--=，∴1ρ=或πθ=，1ρ=为圆，πθ=为射线，选B ．7．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着．现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直线第3次才取得卡口灯泡的概率为（ ）．A ．2140B ．1740C ．310D ．7120【答案】D 【解析】从中取一只螺口概率为310， 再取一只螺口概率为29， ∵有8只灯泡，有一只螺口和7只卡口灯泡， ∴从中取一只卡口灯泡的概率是78． 到第3次才取得卡口灯泡， 32771098120P =⨯⨯=， 选D ．8．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有（ ）．A ．(0)(2)2(1)f f f +<B ．(0)(2)2(1)f f f +>C ．(0)(2)2(1)f f f +≥D ．(0)(2)2(1)f f f +≤【答案】C【解析】1x ≥时，()0f x '≥，()f x 在(1,)+∞上单增， 1x <时，()0f x '≤，()f x 在(,1)-∞上单减，1x =时，()f x 取得极小值，也为最小值，∴(0)(1)f f ≥，(2)(1)f f ≥，∴(0)(2)2(1)f f f +≥，选C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数(2i)i z =-的虚部是__________．【答案】2【解析】2i 1z =+，虚部为2．10．若3230123(21)x a a x a x a x +=+++，则该展开式的二项式系数之和为__________；0123a a a a -+-+ 的值为__________．【答案】1【解析】328=，令1x =-，有01231()a a a a -=-++-，∴01231a a a a =-+-+．11．若120()d 0x mx x +=⎰，则m =__________． 【答案】23- 【解析】120()d x mx x +⎰，310132mx x 2=+， 10032m =+-=， ∴132m =-， ∴23m =-．12．若圆C 的参数方程为3cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆C 的圆心坐标为__________，圆C 与直线30x y +-=的交点个数为__________．【答案】(1,0)C 2【解析】22(1)9x y -+=，3r =，(1,0)C ．3C AB d →=，有2交点．13．已知()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数，且()()f x xf x '>恒成立，则不等式21()0x f f x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为__________（结果写成集合或区间形式）．【答案】{}|1x x > 【解析】()()f x F x x =，2()()()xf x f x F x x '-'=， ∵()()f x f x x '>⋅，∴()0F x '<，∴()F x 为定义域上减函数， 由21()0x f f x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭， 得1()1f f x x xx⎛⎫ ⎪⎝⎭>， ∴1x x<， ∴1x >，{}|1x x >．14．函数()e ln x f x a x =+的定义域设为D ，关于函数()f x 给出下列命题：①对于任意(0,)a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数．②对于任意(,0)a ∈-∞，函数()f x 存在最小值．③存在(0,)a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈,都有()0f x >成立．④存在(,0)a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点．其中正确命题的序号是__________．（写出所有正确命题的序号）【答案】②④ 【解析】()e x a f x x'=+， ①()e x a f x x'=+在(0,)a ∈+∞时，(0,)x ∈+∞恒大于零，()0f x '>， ∴①错误．②对(,0)a ∀∈-∞，00x ∃>使000()e 0x a f x x '=+=且函数()f x 在0(0,)x 上单减， 在0(,)x +∞单增，则函数()f x 存在最小值0()f x ，②正确．③当(0,)a ∈+∞，画出e x y =，ln y a x =，可看出，0x →时，()f x →-∞，③错误．④当(,0)a ∈-∞时，由（2）知，()f x 存在，最小值0()f x ，存在a 使得000()e ln 0x f x a x =+<，当0x →时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞，所以()f x 有两零点，④对，综上：②④对．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．已知二次函数2()3f x x mx =+-在点(0,3)-处的切线与直线2y x =-平行．（Ⅰ）求实数m 的值．（Ⅱ）求()()4g x xf x x =+的单调区间和极值．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）2()3f x x mx =+-，()2f x x m '=+，由(0)2f '=-，得2m =-，∴2()23f x x x =--．（Ⅱ）32()()4234g x xf x x x x x x =+=--+，322x x x =-+，∴2()341(31)(1)g x x x x x '=-+=--，令()0g x '=，得11x =，213x =．∴1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，(1,)+∞为单调增区间， 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递减区间， 在1x =，有极小值0，13x =有极大值427．16．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．（Ⅰ）求进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买的概率．（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种概率．（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．【答案】见解析【解析】记A 为进入的1位买甲， B 为进入的1位买乙，C 为进入的1位买甲、乙中的一种，D 为进入的1位顾客至少购买甲、乙两种中的一种．（Ⅰ）C A B A B =⋅+⋅，()()()()P C P A B B A P A B P A B =⋅+⋅=⋅+⋅，()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅，0.50.40.50.6=⨯+⨯，0.5=．（Ⅱ）D A B =-，()()()()0.50.4P D P A B P A P B =⋅=⋅=⨯，0.2=，()1()0.8P D P D =-=．（Ⅲ）~(3,0.8)B ξ，3(0)0.20.008P ξ===，123(1)C 0.80.20.096P ξ==⨯⨯=，223(2)C 0.80.20.384P ξ==⨯⨯=，3(3)0.80.512P ξ===，00.00810.09620.38430.512ξ=⨯+⨯+⨯+⨯，2.4=．17．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格． （Ⅰ）求甲、乙两人考试合格的概率分别是多少？（Ⅱ）求乙答对试题数ξ的概率分布及数学期望？【答案】见解析【解析】（Ⅰ）A ={甲合格}，B ={乙合格}，213646310C C C 60202()C 1203P A ⋅++===， 213828310C C C 565614()C 12015P B ⋅++===． （Ⅱ）ξ可取1，2，3，1282310C C 8(1)C 120P ξ⋅===， 2182310C C 56(2)C 120P ξ⋅===， 38310C 56(3)C 120P ξ===，123120120120ξ=⨯+⨯+⨯．18．已知1x =是函数2()1e xax bx f x +=+的极值点． （Ⅰ）求实数a 的值．（Ⅱ）试讨论()f x 的单调性．【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）2()1e xax bx f x +=+， 21()[(2)]ex f x ax a b x b '=-+-+， 而1x =为极点，∴2(1)0e a a b b f -+-+'==， ∴0a =．（Ⅱ）∵()1e xbx f x =+， 1()(1)e xf x b x '=⋅-， 当0b =时，()1f x =为常函数， 当0b >时，0b >时，()f x 在(,1)-∞单增(1,)+∞单减，0b <时，()f x 在(,1)-∞单减，(1,)+∞单增．19．已知椭圆2214xC y +=:，点A 的坐标为(0,)m 直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N （均异于点A ）． （Ⅰ）若直线l 的方程为2y x =+，求线段MN 的长．（Ⅱ）若直线l 过点(1,0)，点M 、N 均在经点A 为圆心的圆上，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）22442x y y x ⎧+=⎨=+⎩， 2516120x x ++=，||MN ==（Ⅱ）设:(1)l y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ，∵M ，N 在以A 为圆心圆上，∴||||MA NA =，，∴1212121212()()()()2()0x x x x y y y y m y y +-+-+--=，∵12x x ≠，∴121212121212()20y y y y x x y y m x x x x --++⋅+-⋅=--， 而1212y y k x x -=-，11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， ∴原式为21212(2)20x x k x x km +++--=，222222212244(14)84408(1)14x y k x k x k k y k x x x k ⎧+=+-+-=⎪⎨=-+=⎪+⎩， ∴22222882201414k k k mk k k ⎛⎫+⋅--= ⎪++⎝⎭， ∴化简有233311444k m k k k ===++，当且仅当12k =时等号成立， 当k 不存在时显然34m ≤时满足题意， 综上：34m ≤． 20．已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．（Ⅱ）当0a >时，函数()f x 在[]1,e 上的最小值为2-，求实数a 的取值范围． （Ⅲ）若对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x <，且1122()2()2f x x f x x +<+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）1a =时，2()3ln f x x x x =-+，1()23f x x x'=-+， (1)1f '=，(1)2f =-，∴2y =-．（Ⅱ）2()(2)ln f x ax a x x =-++定义域为(0,)+∞，当0a >时，212(2)1()2(2)ax a x f x ax a x x-++'=-++=，0x >， 令()0f x '=，1()(21)(1)0f x x ax x'=--=， ∴12x =或1a ， 当101a<≤，即1a ≥时，()f x 在[1,e]单增， ∴min (1)2f f ==-， 当11e a <<时，()f x 在[1,e]上最小为1(1)2f f a ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，舍去， 当1e a≥时，()f x 在[1,e]上单减， ∴()f x 在[1,e]上最小为(e)(1)2f f <=-舍去，综上：1a ≥．（Ⅲ）设2()()2ln g x f x x ax ax x =+=-+，原条件等价为()g x 在(0,)+∞单增，221()ax ax g x x-+'=， 当0a =时，1()0g x x'=>，合题， 当0a ≠时，只需()0g x '≥在(0,)+∞恒成立，而(0,)x ∈+∞，只要2210ax ax -+≥，则要0a ≥，而221y ax ax =-+过(0,1)，104n x =>， 只要280a a ∆=-≤，即08a <≤．综上，08a ≤≤．。

北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）2017.7试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9.曲线1y x=在2x =处切线的斜率为______. 10.4)12(xx -展开式中的常数项是_______.（用数字作答）11.离散型随机变量ξ的分布列为:且2=ξE ，则1p =_________；2p =_________.12.某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下:节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_____种．13.若函数32()f x ax ax x =-+在区间(1,0)-上恰有一个极值点，则a 的取值范围是_____．14.已知，对于任意x ∈R ，e xax b ≥+均成立.①若e a =，则b 的最大值为__________；②在所有符合题意的b a ,中，a b -的最小值为_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，11=a ，121++=+n n a nn a ，其中1,2,3,n = . (Ⅰ)计算2a ，3a ，4a ，5a 的值；(Ⅱ)根据计算结果，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16．（本小题满分13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161. (Ⅰ)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(Ⅱ)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率.17．（本小题满分13分）已知函数32()3f x x ax =+.(Ⅰ)若1-=a ，求)(x f 的极值点和极值； (Ⅱ)求)(x f 在[0,2]上的最大值.18．（本小题满分13分）一个袋中装有黑球，白球和红球共n (*n ∈N )个,这些球除颜色外完全相同.已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52.现从袋中任意摸出2个球. (Ⅰ)用含n 的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n 的值.（直接写出n 的值）(Ⅱ) 若15=n ，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是74，设X 表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 19．（本小题满分14分）已知函数2()f x ax bx =+和x x g ln )(=.(Ⅰ)若1==b a ，求证：()f x 的图象在()g x 图象的上方；(Ⅱ)若()f x 和()g x 的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知函数()(1)e x f x x =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当0>a 时，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解；（Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，其中0>a .若()0h x ≥恒成立，求a 的取值范围.北京市西城区2016 — 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2.D ；3. C ；4. B ；5. C ；6. D ；7. C ；8.B . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.41-； 10.24； 11.,4211； 12.42； 13.1(,)5-∞-； 14. 0；1e-. 注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解： (Ⅰ) 根据已知，24a =；99a =；416a =；525a =. …………… 4分 (Ⅱ)猜想2n a n =. …………… 6分证明：① 当1=n 时，由已知11=a ；由猜想，2111a ==，猜想成立. …………… 8分 ②假设当k n =（k ∈*N ）时猜想成立，即2k a k =，……………10分 则1+=k n 时， 221)1(1212+=+⨯+=++=+k k kk a k k a k k . 所以，当1n k =+时，猜想也成立. ……………12分 由①和②可知，2n a n =对任意的*n ∈N 都成立. ……………13分 16.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件A ，则11(),()22P A P A ==.…………… 2分 故甲投球2次至少命中1次的概率为31()1()()4P A A P A P A -⋅=-=. …………5分 (Ⅱ) 设“乙投球一次命中”为事件B .由题意得1()(1)(1)16P B B p p ⋅=--=， ……………7分 解得43=p 或45(舍去)， 所以31(),()44P B P B ==. ……………8分甲、乙两人各投球2次共命中3次有两种情况：甲中两次，乙中一次；甲中一次，乙中两次. ……………9分甲中两次，乙中一次的概率为1211313()()()()2224432P A P A C P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…11分 甲中一次，乙中两次的概率为1211339()()()()2224432C P A P A P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…12分事件“甲中两次，乙中一次”与“甲中一次，乙中两次”是互斥的，所以，所求事件概率为93332328+=. 所以甲、乙两人各投2次，共命中3次的概率为38. ……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)当1-=a 时，32()3f x x x =-，2()36f x x x '=-.……………2分令2()360f x x x '=-=，得0x =或2x =.(f '……………4分所以，函数)(x f 的极大值点为0x =，极大值为0；极小值点为2x =，极小值为4-.……………6分(Ⅱ)2()363(2)f x x ax x x a '=+=+.……………7分①当0a =时，()0f x '≥（仅当0x =时，()0f x '=），函数)(x f 是增函数，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)8128f a =+=. ……………8分②当0a >时，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数)(x f 是增函数.)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. ……………10分③当0a <时，()f x '与()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：……………11分此时，(0)0f =，(2)812f a =+. 当8120a +>，即203a -<<时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. 12分当8120a +≤，即23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(0)0f =. ………13分 综上，当23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为0；当23a >-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为812a +.18.（本小题满分13分） 解：(Ⅰ) 依题意有n 52个黑球. 记“摸出的2球都是黑球”为事件A ， 则225222(1)41055()(1)2525n n C n n n P A C n n n --===--. ……………4分()P A 最小时5=n . ……………5分(Ⅱ) 依题意有21565⨯=个黑球.……………6分 设袋中白球的个数为x (个)，记“从袋中任意摸出两个球至少得到一个白球”为事件B ，则2152154()17xC P B C -=-=，整理得2291200x x -+=，解得5x =或24x =（舍）. ……………8分 所以袋中红球的个数为4(个).随机变量X 的取值为0,1,2. ……………9分21121511(0)21C P X C ===；1141121544(1)105C C P X C ===；242152(2)35C P X C ===. X…………12分数学期望114428012211053515EX =⨯+⨯+⨯=. ……………13分 19.（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 当1==b a 时，2()f x x x =+.设2()ln h x x x x =+-，0x >. ……………1分则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x +--+'=+-==， ……………2分所以，在区间1(0,)2上()0h x '<，()h x 是减函数；在区间1(,)2+∞上()0h x '>，()h x 是增函数. ……………4分所以，()h x 的最小值为1()2h =31ln 42-，又31ln 042->，所以()0h x >恒成立. 即()f x 的图象在()g x 图象的上方. ……………5分 (Ⅱ) 设00(,)P x y ，其中00x >.由已知()2f x ax b '=+，1()g x x'=. 因为在点P 处的切线相同， 所以2000000012,,ln ax b y ax bx y x x +==+=. ……………7分 消去0,b y 得200ln 10ax x +-=.根据题意，方程200ln 10ax x +-=有解. ……………8分设2()ln 1F x ax x =+-，则()F x 在(0,)+∞上有零点.2121()2ax F x ax x x+'=+=， 当0a ≥时，()0F x '>，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增. 当1a ≥时，(1)10F a =-≥，110F =+-=≤，()F x 有零点.当01a ≤<时，(1)10F a =-≤，22(e )e 10F a =+>，()F x 有零点. …11分 当0a <时，令()0F x '=，解得x =(F '与在区间上的情况如下：令302≥，得 312e a ≥-.此时(1)10F a =-<.所以()F x 有零点. ……………13分 综上，所求a 的取值范围为31[,)2e -+∞. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知()e (1)e e x x x f x x x '=+-=. ……………2分所以，在区间(,0)-∞上()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. ……………4分 （Ⅱ）设()()(1)e x g x f x a x a =-=--，0a >. ……………5分()e x g x x '=，由（Ⅰ）知，函数()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.且(1)0g a =-<，11(1)e (e 1)0a a g a a a a +++=-=->.所以，()g x 在区间(1,)+∞上只有一个零点，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解. ……………8分 （Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，0>a ，()h x 定义域为}1|{>x x ，()e (e )[(1)e ]111x x x a a x h x x a x x a x x x '=--=-=-----， ……………9分 令()0h x '=，则(1)e 0x x a --=，由（Ⅱ）知，()(1)e x g x x a =--在区间(1,)+∞上只有一个零点，是增函数， 不妨设()g x 的零点为0x ，则00(1)e0x x a --=， ……………11分所以，()h x '与()h x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，函数()h x 的最小值为0()h x ，00000()(1)e ln(1)x h x x a x ax =----，由00(1)e 0xx a --=，得001e x a x -=，所以00000()e ln ln e e x x x a ah x a ax a a a =⋅--=-. ……………13分依题意0()0h x ≥，即ln 0a a a -≥，解得0e a <≤，所以，a 的取值范围为(0,e]. ……………14分。

北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）2017.7试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 曲线1y x=在2x =处切线的斜率为______. 10. 4)12(xx -展开式中的常数项是_______.（用数字作答） 11. 离散型随机变量ξ的分布列为:且2=ξE ，则1p =_________；2p = _________.12. 某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_____种．13. 若函数32()f x ax ax x =-+在区间(1,0)-上恰有一个极值点，则a 的取值范围是_____．14. 已知，对于任意x ∈R ，e xax b ≥+均成立.①若e a =，则b 的最大值为__________；②在所有符合题意的b a ,中，a b -的最小值为_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，11=a ，121++=+n n a nn a ，其中1,2,3,n =.(Ⅰ) 计算2a ，3a ，4a ，5a 的值；(Ⅱ) 根据计算结果，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16．（本小题满分13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161. (Ⅰ)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(Ⅱ)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率.17．（本小题满分13分）已知函数32()3f x x ax =+.(Ⅰ) 若1-=a ，求)(x f 的极值点和极值； (Ⅱ) 求)(x f 在[0,2]上的最大值.18．（本小题满分13分）一个袋中装有黑球，白球和红球共n (*n ∈N )个,这些球除颜色外完全相同. 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52. 现从袋中任意摸出2个球. (Ⅰ) 用含n 的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n 的值.（直接写出n 的值）(Ⅱ) 若15=n ，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是74，设X 表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 19．（本小题满分14分）已知函数2()f x ax bx =+和x x g ln )(=.(Ⅰ) 若1==b a ，求证：()f x 的图象在()g x 图象的上方；(Ⅱ) 若()f x 和()g x 的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知函数()(1)e xf x x =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）证明：当0>a时，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解；（Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，其中0>a .若()0h x ≥恒成立，求a 的取值范围.北京市西城区2016 — 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2.D ；3. C ；4. B ；5. C ；6. D ；7. C ；8. B . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 41-； 10. 24； 11. ,4211； 12. 42； 13. 1(,)5-∞-； 14. 0；1e-.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解： (Ⅰ) 根据已知，24a =；99a =；416a =；525a =. …………… 4分 (Ⅱ)猜想2n a n =. …………… 6分证明：① 当1=n 时，由已知11=a ；由猜想，2111a ==，猜想成立. …………… 8分②假设当k n =（k ∈*N ）时猜想成立，即2k a k =， ……………10分则1+=k n 时， 221)1(1212+=+⨯+=++=+k k kk a k k a k k . 所以，当1n k =+时，猜想也成立. ……………12分由①和②可知，2n a n =对任意的*n ∈N 都成立. ……………13分16.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件A ，则11(),()22P A P A ==. …………… 2分故甲投球2次至少命中1 次的概率为31()1()()4P A A P A P A -⋅=-=. …………5分(Ⅱ) 设“乙投球一次命中”为事件B .由题意得1()(1)(1)16P B B p p ⋅=--=， ……………7分解得43=p 或45(舍去)， 所以31(),()44P B P B ==. ……………8分甲、乙两人各投球2次共命中3次有两种情况：甲中两次，乙中一次；甲中一次，乙中两次. ……………9分甲中两次，乙中一次的概率为1211313()()()()2224432P A P A C P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…11分 甲中一次，乙中两次的概率为1211339()()()()2224432C P A P A P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…12分事件“甲中两次，乙中一次”与“甲中一次，乙中两次”是互斥的，所以，所求事件概率为93332328+=. 所以甲、乙两人各投2次，共命中3次的概率为38. ……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 当1-=a 时，32()3f x x x =-，2()36f x x x '=-. ……………2分令2()360f x x x '=-=，得0x =或2x =.……………4分所以，函数)(x f 的极大值点为0x =，极大值为0；极小值点为2x =，极小值为4-.……………6分(Ⅱ) 2()363(2)f x x ax x x a '=+=+. ……………7分①当0a =时，()0f x '≥（仅当0x =时，()0f x '=），函数)(x f 是增函数，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)8128f a =+=. ……………8分②当0a >时，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数)(x f 是增函数.)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. ……………10分③当0a <时，()f x '与()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：……………11分此时，(0)0f =，(2)812f a =+. 当8120a +>，即203a -<<时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. 12分 当8120a +≤，即23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(0)0f =. ………13分 综上，当23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为0；当23a >-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为812a +.18.（本小题满分13分） 解：(Ⅰ) 依题意有n 52个黑球. 记“摸出的2球都是黑球”为事件A ， 则225222(1)41055()(1)2525n n C n n n P A C n n n --===--. ……………4分()P A 最小时5=n . ……………5分(Ⅱ) 依题意有21565⨯=个黑球. ……………6分 设袋中白球的个数为x (个)，记“从袋中任意摸出两个球至少得到一个白球”为事件B ，则2152154()17xC P B C -=-=，整理得2291200x x -+=，解得5x =或24x =（舍）. ……………8分 所以袋中红球的个数为4(个).随机变量X 的取值为0,1,2. ……………9分21121511(0)21C P X C ===；1141121544(1)105C C P X C ===；242152(2)35C P X C ===. X…………12分数学期望114428012211053515EX =⨯+⨯+⨯=. ……………13分19.（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 当1==b a 时，2()f x x x =+.设2()ln h x x x x =+-，0x >. ……………1分则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x +--+'=+-==， ……………2分所以，在区间1(0,)2上()0h x '<，()h x 是减函数；在区间1(,)2+∞上()0h x '>，()h x 是增函数. ……………4分所以，()h x 的最小值为1()2h =31ln 42-，又31ln 042->，所以()0h x >恒成立. 即()f x 的图象在()g x 图象的上方. ……………5分 (Ⅱ) 设00(,)P x y ，其中00x >.由已知()2f x ax b '=+，1()g x x'=. 因为在点P 处的切线相同， 所以2000000012,,ln ax b y ax bx y x x +==+=. ……………7分 消去0,b y 得200ln 10ax x +-=.根据题意，方程200ln 10ax x +-=有解. ……………8分设2()ln 1F x ax x =+-，则()F x 在(0,)+∞上有零点.2121()2ax F x ax x x+'=+=， 当0a ≥时，()0F x '>，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增. 当1a ≥时，(1)10F a =-≥，1ln 1ln 0F =+-=≤，()F x 有零点.当01a ≤<时，(1)10F a =-≤，22(e )e 10F a =+>，()F x 有零点. …11分 当0a <时，令()0F x '=，解得x =()F x '与()F x 在区间(0,)+∞上的情况如下：令3ln 02≥，得 312ea ≥-.此时(1)10F a =-<.所以()F x 有零点. ……………13分 综上，所求a 的取值范围为31[,)2e-+∞. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知()e (1)e e xx xf x x x '=+-=. ……………2分所以，在区间(,0)-∞上()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. ……………4分 （Ⅱ）设()()(1)e xg x f x a x a =-=--，0a >. ……………5分()e x g x x '=，由（Ⅰ）知，函数()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.且(1)0g a =-<，11(1)e(e 1)0a a g a a a a +++=-=->.所以，()g x 在区间(1,)+∞上只有一个零点，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解. ……………8分 （Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，0>a ，()h x 定义域为}1|{>x x ，()e (e )[(1)e ]111x x x a a x h x x a x x a x x x '=--=-=-----， ……………9分 令()0h x '=，则(1)e 0xx a --=，由（Ⅱ）知，()(1)e xg x x a =--在区间(1,)+∞上只有一个零点，是增函数， 不妨设()g x 的零点为0x ，则00(1)e0x x a --=， ……………11分所以，()h x '与()h x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，函数()h x 的最小值为0()h x ，00000()(1)e ln(1)x h x x a x ax =----，由00(1)e 0xx a --=，得001e x a x -=，所以00000()e ln ln e e x x x a ah x a ax a a a =⋅--=-. ……………13分依题意0()0h x ≥，即ln 0a a a -≥，解得0e a <≤，所以，a 的取值范围为(0,e]. ……………14分。