高考数学冲刺小题狂练：03函数与导数(二)

压轴大题突破练——函数与导数（二）１．设函数f（x）＝a e x＋错误!＋b（a>0）．（１）求f（x）在[0，＋∞）内的最小值；（２）设曲线y＝f（x）在点（２，f（２））处的切线方程为y＝错误!x，求a，b的值．解（１）f′（x）＝a e x—错误!，当f′（x）>0，即x>—ln a时，f（x）在（—ln a，＋∞）上递增；当f′（x）<0，即x<—ln a时，f（x）在（—∞，—ln a）上递减．１当0<a<１时，—ln a>0，f（x）在[0，—ln a）上递减，在（—ln a，＋∞）上递增，从而f（x）在[0，＋∞）内的最小值为f（—ln a）＝２＋b；２当a≥１时，—ln a≤0，f（x）在[0，＋∞）上递增，从而f（x）在[0，＋∞）内的最小值为f（0）＝a＋错误!＋b.（２）依题意f′（２）＝a e２—错误!＝错误!，解得a e２＝２或a e２＝—错误!（舍去）．所以a＝错误!，代入原函数可得２＋错误!＋b＝３，即b＝错误!.故a＝错误!，b＝错误!.２．已知函数f（x）＝a ln x—bx２.（１）当a＝２，b＝错误!时，求函数f（x）在[错误!，e]上的最大值；（２）当b＝0时，若不等式f（x）≥m＋x对所有的a∈[0，错误!]，x∈（１，e２]都成立，求实数m的取值范围．解（１）由题知，f（x）＝２ln x—错误!x２，f′（x）＝错误!—x＝错误!，当错误!≤x≤e时，令f′（x）>0得错误!≤x<错误!；令f′（x）<0，得错误!<x≤e，∴f（x）在[错误!，错误!）上单调递增，在（错误!，e]上单调递减，∴f（x）max＝f（错误!）＝ln ２—１．（２）当b＝0时，f（x）＝a ln x，若不等式f（x）≥m＋x对所有的a∈[0，错误!]，x∈（１，e２]都成立，则a ln x≥m＋x对所有的a∈[0，错误!]，x∈（１，e２]都成立，即m≤a ln x—x，对所有的a∈[0，错误!]，x∈（１，e２]都成立，令h（a）＝a ln x—x，则h（a）为一次函数，m≤h（a）min.∵x∈（１，e２]，∴ln x>0，∴h（a）在[0，错误!]上单调递增，∴h（a）min＝h（0）＝—x，∴m≤—x对所有的x∈（１，e２]都成立．∵１<x≤e２，∴—e２≤—x<—１，∴m≤（—x）min＝—e２.３．已知函数f（x）＝x３—２x＋１，g（x）＝ln x.（１）求F（x）＝f（x）—g（x）的单调区间和极值；（２）是否存在实常数k和m，使得x>0时，f（x）≥kx＋m且g（x）≤kx＋m？若存在，求出k 和m的值；若不存在，说明理由．解（１）由F（x）＝x３—２x＋１—ln x（x>0），得F′（x）＝错误!（x>0），令F′（x）＝0得x＝１，易知F（x）在（0,１）上单调递减，在（１，＋∞）上单调递增，从而F（x）的极小值为F（１）＝0．（２）易知f（x）与g（x）有一个公共点（１,0），而函数g（x）在点（１,0）处的切线方程为y＝x—１，下面只需验证错误!都成立即可．设h（x）＝x３—２x＋１—（x—１）（x>0），则h′（x）＝３x２—３＝３（x＋１）（x—１）（x>0）．易知h（x）在（0,１）上单调递减，在（１，＋∞）上单调递增，所以h（x）的最小值为h（１）＝0，所以f（x）≥x—１恒成立．设k（x）＝ln x—（x—１），则k′（x）＝错误!（x>0）．易知k（x）在（0,１）上单调递增，在（１，＋∞）上单调递减，所以k（x）的最大值为k（１）＝0，所以g（x）≤x—１恒成立．故存在这样的实常数k＝１和m＝—１，使得x>0时，f（x）≥kx＋m且g（x）≤kx＋m.４．已知定义在正实数集上的函数f（x）＝错误!x２＋２ax，g（x）＝３a２ln x＋b，其中a>0．设两曲线y＝f（x），y＝g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．（１）用a表示b，并求b的最大值；（２）求证：f（x）≥g（x）．（１）解f′（x）＝x＋２a，g′（x）＝错误!，由题意知f（x0）＝g（x0），f′（x0）＝g′（x0），即错误!由x0＋２a＝错误!，得x0＝a或x0＝—３a（舍去）．即有b＝错误!a２＋２a２—３a２ln a＝错误!a２—３a２ln a.令h（t）＝错误!t２—３t２ln t（t>0），则h′（t）＝２t（１—３ln t）．于是当t（１—３ln t）>0，即0<t<e错误!时，h′（t）>0；当t（１—３ln t）<0，即t>e错误!时，h′（t）<0．故h（t）在（0，e错误!）上为增函数，在（e错误!，＋∞）上为减函数，于是h（t）在（0，＋∞）上的最大值为h（e错误!）＝错误!e错误!，即b的最大值为错误!e错误!.（２）证明设F（x）＝f（x）—g（x）＝错误!x２＋２ax—３a２ln x—b（x>0），则F′（x）＝x＋２a—错误!＝错误!（x>0）．故F′（x）在（0，a）上为减函数，在（a，＋∞）上为增函数．于是F（x）在（0，＋∞）上的最小值是F（a）＝F（x0）＝f（x0）—g（x0）＝0．故当x>0时，有f（x）—g（x）≥0，即当x>0时，f（x）≥g（x）．。

函数与导数导数的应用不管文科还是理科一般作为高考的压轴题出现，出现在21题，难度比较大。

一般主要考查题型为证明不等式，恒成立问题，能成立问题，隐零点问题，双变量问题，求取值范围问题以及极值点偏移问题等，属于理解层次，对函数以及导数性质要求比较高。

类型一：利用导数解不等式例题1．1．已知()()ln 1f x ax x a x =+-，R a ∈．(1)若函数()f x 在()()22f ,处的切线的斜率为1ln 2+，求出()f x 的单调区间；(2)已知1a =，()()212g x f x x =-，求证：当1x >时，()()()211e 11x g x x x -'+-->-⎡⎤⎣⎦．【答案】(1)单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)证明见解析.【解析】(1)函数()f x 的定义域为()0,∞+，()ln 1f x a x '=+，()2ln 211ln 2f a '=+=+，∴1a =，可得()ln 10f x x '=+>，1e x >，可得函数()f x 的单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，()ln 10f x x '=+<，∴10e x <<，函数()f x 的单调递减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，可得函数()f x 的单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭．(2)由（1）可得，当1a =时，()()2211ln 22g x f x x x x x =-=-，所以()ln 1g x x x '=-+，所以要证当1x >时，()()()211e 11x g x x x -'+-->-⎡⎤⎣⎦，即证()()21e1ln 1x x x -->-，只需证1e 111ln x x x x--->-，设()()11ln x F x x x -=>，∴()21ln 1ln x x F x x-+'=，设()()1ln 11m x x x x=-+>，∴()221110x m x x x x -'=-=>，∴()m x 在区间()1,+∞上是增函数，∴()()10m x m >=，即()0F x '>，∴()F x 在()1,+∞上是增函数．∵()()11e 11e1ln x x x F F x x x ----=>=-，∴只需证1e x x ->，设()()1e 1x G x x x -=->，∴()1e 10x G x -'=->，∴()G x 在()1,+∞上是增函数，∴()()10G x G >=，∴1e x x ->，∴()()()211e 11x g x x x -'+-->-⎡⎤⎣⎦．类型二：恒成立问题例题2已知函数()()1e xf x x ax =--．(1)当0a =时，求()f x 的极值；(2)若对[)0,x ∞∀∈+，()32f x a ≥-恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)极小值(0)1f =-，无极大值(2)22e 2⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】(1)当0a =时，()(1)e x f x x =-，()e x f x x '=．当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．所以()f x 有极小值(0)1f =-，无极大值．(2)由题得()e x f x x a '=-，[0,+)x ∈∞．①当0a ≤时，e 0x x >，0a -≥，故()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞上单调递增．所以min 3()(0)12f x f a ==-≥-，解得23a ≥（舍去）．②当0a >时，(0)0f a '=-<，()(e 1)0a f a a '=->，令()()e x g x f x x a '==-，则()()1e 0xg x x '=+>所以()'f x 在[)0,+∞上单调递增，故()'f x 在[)0,+∞上有唯一零点0(0,)x a ∈，且00e x a x =．当0[0)x x ∈，，()0f x '<，()f x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增．所以0min 0000000013()()(1)e (1)12xa f x f x x ax x ax a x a x x ⎛⎫==--=--=--≥- ⎪⎝⎭，即001312x x --≥-，解得0122x ≤≤．又因为00e x a x =在01,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以22e 2a ≤≤．综上，a的取值范围为22e ⎤⎥⎣⎦．类型三：能成立问题（存在使成立）例题3已知函数()(1)e 1x f x x ax =---.(1)当0a >时，证明函数()f x 在区间(0,)+∞上只有一个零点；(2)若存在x ∈R ，使不等式()e 1f x <--成立，求a 的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2){0|a a <或}e a >【解析】(1)证明：当0a >时，()()e ,0,xf x x a x ∞'=-∈+，令()()()(),1e 0xg x f x g x x =+''=>，∴()e xf x x a '=-在(0,)+∞上为增函数，∵()()00,e 0af a f a a a ''=-<=->，∴()00,x a ∃∈，使()000e 0xf x x a '=-=，∴当()00,x x ∈时，()0f x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0f x ¢>，因此，()f x 在()00,x 上为减函数，()f x 在0(,)x +∞上为增函数，当()00,x x ∈时，()()020f x f <=-<，当x >时，()()()211120f x x x ax x ax >-+--=-->，故函数op 在(0,)+∞上只有一个零点．(2)：当0a >时，()e ,x f x x a '=-，由（1）可知，()00f x '=，即00e x a x =，∴当0x x <时，()0f x '<，()f x 在0(,)x -∞上为减函数，当0x x >时，()0f x ¢>，()f x 在0(,)x +∞上为增函数，∴()()()()()0000220000000min 1e 11e e 11e 1x x x x f x f x x ax x x x x ==---=---=-+--，由00e xa x =，知00x >，设()()()21e 10xh x x x x =-+-->，则()()()2e 00x h x x x x '=--<>，∴()h x 在(0,)+∞上为减函数，又()1e 1h =--，∴当001x <<时，()0e 1f x >--，当01x >时，()0e 1f x <--，∴存在0x R ∈，使不等式()01f x e <--成立，此时00e e x a x =>；当0a =时，由（1）知，()f x 在(,0)∞-上为减函数，()f x 在(0,)∞+上为增函数，所以()()02e 1f x f ≥=->--，所以不存在x ∈R ，使不等式()e 1f x <--成立，当0a <时，取e 10x a+<<，即e 1ax -<--，所以()1e 1e 1xx ax ---<--，所以存在x ∈R ，使不等式()1f x e <--成立，综上所述，a 的取值范围是{0|a a <或}e a >．类型四：函数零点问题例题4已知函数()ln cos 2xf x x =+．求证：(1)()2212xf x x '>-；(2)当()0,πx ∈时，()f x 有且仅有2个零点．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)函数()ln cos 2xf x x =+定义域为(0,)+∞，求导得：()1sin 2f x x x '=-，令22()(12)2(sin )y xf x x x x x '=--=-，0x >，令()sin g x x x =-，0x >，则()1cos g x x =-'，当()0,x ∈+∞时，()0g x '≥，当且仅当2(N )x k k π*=∈时取“=”，()g x 在()0,∞+上单调递增，则当()0,x ∈+∞时，()()00g x g >=，即sin x x >，22()(12)2(sin )0xf x x x x x '--=->，所以()2212xf x x '>-.(2)记()()1sin 2x f x x xϕ'==-，则()21cos 2x x x ϕ'=--，当π(0,)2x ∈时，()0x ϕ'<，()f x '在π(0,)2上单调递减，π1()102πf '=-<，π31(06π2f '=->，则ππ(,62α∃∈，使得()0f α'=，则当(0,)x α∈时，()0f x '>，()f x 在(0,)α上单调递增，当π(,2x α∈时，()0f x '<，()f x 在π(,)2α上单调递减，π1π(ln 0222f =>，π1π(ln 06262f =+>，44(e )2cose 0f --=-+<，即41π(e ,)6x -∃∈，使得()10f x =，当π(,π)2x ∈时，令()21()cos 2h x x x x ϕ'==--，31()sin 0h x x x '=+>，则()x ϕ'在π(,π)2上单调递增，而π()02ϕ'<，()π0ϕ'>，则π(,π)2β∃∈，使得()0ϕβ'=，当π2x β<<时，()0x ϕ'<，当πx β<<时，()0x ϕ'>，则有()f x '在π(,)2β上递减，在(),πβ上递增，()π(02f f β''<<，()π0f '>，则(),πγβ∃∈，使得()0f γ'=，当π2x γ<<时，()0f x '<，当πx γ<<时，()0f x '>，即()f x 在π(,)2γ上递减，在(),πγ上递增，而π(02f >，()()π0f f γ<<，于是2π(,)2x γ∃∈，使得()20f x =，所以，当()0,πx ∈时，()f x 有且仅有2个零点.类型五：双变量问题例题5．已知函数()()261cos 2f x x x π=--+，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．(1)求()f x 的最小值；(2)证明：[]0,1m ∀∈，,2n ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式2(1cos )cos()1m n mn -+≥恒成立．【答案】(1)()min 0f x =(2)证明见解析【解析】(1)由题可知6()sin 22sin ,,2f x x x x πππ⎡⎤'=-+-∈⎢⎥⎣⎦．令()()g x f x '=，则2()2cos 22cos 2(12cos cos )2(2cos 1)(1cos )g x x x x x x x '=-+=-+=+-．令()0g x '=，得23x π=，当2,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，即()f x '单调递增当2,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减，即()f x '单调递减．则()max 2336032f x f ππ⎛⎫''==⎪⎝>⎭，又6202f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭>，()60f ππ'=-<，所以存在02,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增当()0,x x π∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，又02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，()0f π=，故()min 0f x =．(2)由（1）知，()261cos 20nn π--+≥对任意的,2n ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，即()261cos 2nn π-≥-对任意的,2n ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．要证2(1cos )cos()1n mn -+≥，只需证()62cos 10n m mn π⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭．令()()62cos 1n h n m mn π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，,2n ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()6sin 0h n m mn π⎛⎫'=-≥ ⎪⎝⎭，即()h n 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()cos122m h n h m ππ⎛⎫≥=+- ⎪⎝⎭．令()cos12m m m πϕ=+-，[]0,1m ∈.则()1sin 22m m ππϕ'=-．令()1sin 22m k m ππ=-，[]0,1m ∈.则()2cos 042m k m ππ'=-≤在[]0,1上恒成立，则()1sin 22m k m ππ=-在[]0,1上单调递减，即()m ϕ'在[]0,1上单调递减．又()010ϕ'=>，()1102πϕ'=-<，所以()00,1m ∃∈，使得()00m ϕ'=．所以当()00,m m ∈时，()0m ϕ'>，()m ϕ在()00,m 上单调递增；当()0,1m m ∈时，()0m ϕ'<，()m ϕ在()0,1m 上单调递减．又因为()()010ϕϕ==，所以()0m ϕ≥，即cos102m m π+-≥在[]0,1上恒成立，即cos 1022m h m ππ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()()62cos 10n h n m mn π⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭恒成立故[]0,1m ∀∈，,2n ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式2(1cos )cos()1m n mn -+≥恒成立．【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.类型六：极值点偏移问题例6已知函数1()(0)exa xf x x --=>（e 为自然对数的底数，a ∈R ）．(1)求()f x 的单调区间和极值；(2)若存在12x x ≠，满足()()12f x f x =42aa >+．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】(1)解：()1e e 11()()e ex x xx a x f x x a -⨯---=-'=.当0a ≤时，()0f x ¢³，所以()f x 在()0,+∞上单调增，无极值；当0a >时，令1()()0e xf x x a '=-=，得x a =，当()0,∈x a 时，()0f x ¢<；当(),x a ∈+∞时，()0f x ¢>；所以()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞单调递增．所以函数()f x 的极小值为()1e af a =-，无极大值.(2)解：由题（1）可知，当0a >时才存在12x x ≠，满足()()12f x f x =，不妨设120x a x <<<，设()()()(2)0g x f x f a x x a =--<<，则211()e ex a xa x x a g x -----=-()()()()222211e e e e e a x x a x a x g x x a a x x a -+⎛⎫-=-+-=- ⎪⎝⎭'，因为(0,)x a ∈，所以220,e e 0a x x a -<->，所以()0g x '<，所以()g x 在(0,)a 上单调递减，所以()()10g x g a >=，所以11()(2)0f x f a x -->，即11()(2)f x f a x >-故()()()2112f x f x f a x =>-，因为21,2x a a x a >->，又()f x 在(,)a +∞上单调递增，所以212x a x >-，所以122x x a +>，下面证明：2422a a a ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭；因为()()()()222222282242=0222a a a a a a a a a a ⎡⎤+--⎛⎫⎣⎦-≥ ⎪+⎝⎭++42a a ≥+，所以42aa >+42a a >+，得证.例7．已知函数1(),f x x a a a R x=--+∈.(1)若f （1）=2，求a 的值；(2)若存在两个不相等的正实数12,x x ，满足12()()f x f x =，证明：①1222x x a <+<；②2211x a x <+.【答案】(1)2；(2)证明过程见解析.【解析】(1)由(1)112f a a =--+=，化简得：13a a -=-，两边平方，解得：2a =.(2)不妨令12x x <，①当x a >时，11()f x x a a x x x=--+=-在()0,∞+上单调递增，故不能使得存在两个不相等的正实数12,x x ，满足12()()f x f x =，舍去；当x a =时，1()f x a a=-为定值，不合题意；当x a <时，1()2f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由对勾函数知识可知：当1a ≤时，1()2f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,a 上单调递增，1()f x x x=-在(),a +∞上单调递增，两个分段函数在x a =处函数值相同，故函数()f x 在()0,∞+上单调递增，不能使得存在两个不相等的正实数12,x x ，满足12()()f x f x =，舍去；当1a >时，函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，且11()2f a a a a a a ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，即分段函数在x a =处函数值相等，要想存在两个不相等的正实数12,x x ，满足12()()f x f x =，则12,x x 有三种类型，第一种：1201x x a <<<<，显然122x x a +<，令()()()2h x f x f x =--，则()10h =，当()0,1x ∈时，()()()()()2221122222202222h x f x f x x x x x x x '''=+-=-++>-+>-+=--+-⎛⎫⎪⎝⎭，即()h x 在()0,1x ∈单调递增，所以()()10h x h <=，即()()2f x f x <-，由于()10,1x ∈，所以()()112f x f x <-，又因为12()()f x f x =，所以()()212f x f x <-，因为211,21x x >->，而()f x 在()1,+∞上单调递减，所以212x x >-，即122x x +>，综上：1222x x a <+<；第二种情况：1201x a x <<<<，显然满足122x x +>，接下来证明122x x a +<，令()()()2g x f x f a x =--，则()0g a =，当()1,x a ∈时，()()()2221221101g x f x f a x x xx ''='=+-=-+++>，即()()()2g x f x f a x =--在()1,x a ∈单调递增，所以()()()()20g x f x f a x g a =--<=，又()11,x a ∈，所以()()112f x f a x <-，又12()()f x f x =，所以()()212f x f a x <-，因为2x a >，12a x a ->，()f x 在(),a +∞上单调递增，所以212x a x <-，即122x x a +<，综上：1222x x a <+<；第三种情况：1301x a x <<<<，由第一种情况可知满足122x x +>，由第二种情况可知：122x x a +<，则1222x x a <+<，综上：1222x x a <+<，证毕.②由①可知：当120x x a <<<时，由12()()f x f x =得：12121122a x a x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：22121211x x x x ++=，即222222211111111x x a a x x x ++=<<+++；当120x a x <<<时，2121112x a x x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，整理得：1221112x x a x x +=+-，整理得：()()222112212122212222111244x a x a x x a x x x ax x x ---⎛⎫=--++=-+++≤+ ⎪⎝⎭，因为10x a <<，所以()2122114x a a -+<+，综上：2211x a x <+，证毕.类型七：导数隐零点问题例题8已知函数()()e ,ln xf x axg x ax x =-=-，其中a ∈R .(1)若0x >时，()()0f x g x ⋅>恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若函数()()()F x f x g x =+的最小值为m ，试证明：函数()eln x mG x x -=-有且仅有一个零点.【答案】(1)1e ea <<(2)证明见解析(1)由题意得e −B B −ln >0，因为当0x >时e >ln ，所以原不等式等价于e ln x ax x >>，当e x y =与=B 相切时，设切点(0,0)，则'=e ，所以切线的斜率=e 0=，又0=e 0，0=B 0，联立解得0=1，所以切线斜率e a=，同理当=ln 与=B 相切时，可求得切线斜率=1e ，因为e ln x ax x >>，所以1e ea <<(2)=+=e −ln ，则'(p =e −1，″e +12>0，所以'(p 在(0,)+∞上为增函数，又'(1)=e −1>0,'=e −2<0，所以'(p 在(0,)+∞上存在唯一零点0x ，且0∈1，此时'(0)=e 0−1=0，即e 0=1，当∈0,0时，()0F x '<，则()F x 为减函数，当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>，则()F x 为增函数，所以()F x 的最小值为=o 0)=e 0−ln 0=e 0−ln1e 0=1+0>2，令=e K −ln =0，整理得e −e ln =0，令op =e−eln ，则'(p =e−e，在(0,)+∞上为增函数，因为>2，所以'(1)=e −e <0,'(p =e −e=e 1−>0，所以'(p 在(0,)+∞上存在唯一零点1x ，且1∈1,，'(1)=e 1−e 1=0当∈0,1时，'(p <0，op 为减函数，当∈1,+∞时，'(p >0，op 为增函数，所以o 1)=e 1−e ln 1，因为e 1=e 1，所以1=−ln 1，即=1+ln 1，又=e 0−ln 0=1+ln 1，所以1+ln 1=1+ln 1，又函数=+ln 在(0,)+∞上为增函数，所以1=10，所以o 1)=e 1−eln 1=e 10−eln 1=e 10−0⋅ln1=e 10−1⋅e 10⋅ln1=10⋅e 10⋅0−=1⋅e 10⋅0+ln 0因为0+ln 0=0，所以o 1)=0，则o 1)≥0在(0,)+∞上恒成立，所以op =0有且仅有一个根=1，所以函数()eln x mG x x -=-有且仅有一个零点.解题技巧：1.函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．2.解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有:（1）方程法：直接解方程得到函数的零点；（2）图象法：直接画出函数的图象分析得解；（3）方程与图象法：令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解.3.利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由=0分离变量得出=，将问题等价转化为直线y a =与函数=的图象的交点问题.2极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。

高考数学小题狂做冲刺训练〔详细解析〕、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的〕 1.点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，那么角α的取值范围是( )A.［0，2π］B.［0，2π〕∪［43π,π) C.［43π,π) D.(2π,43π］解析:∵y′＝3x 2-1,故导函数的值域为［-1，+∞). ∴切线的斜率的取值范围为［-1,+∞〕. 设倾斜角为α,那么tanα≥-1. ∵α∈［0,π),∴α∈［0,2π)∪［43π,π).答案:B2.假设方程x 2+ax+b ＝0有不小于2的实根,那么a 2+b 2的最小值为( )A.3B.516 C.517 D.518 解析:将方程x 2+ax+b ＝0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x 2＝0的方程,那么a 2+b 2的几何意义为l 上的点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d 的最小性知a 2+b 2≥d 2＝211)1(1)100(2224222-+++=+=+++x x x x x x (x ≥2), 令u ＝x 2+1,易知21)(-+=u u u f (u ≥5)在［5,+∞)上单调递增,那么f(u)≥f(5)＝516, ∴a 2+b 2的最小值为516.应选B. 答案:B3.国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的状况,它的计算公式为yxn =(x:人均食品支出总额,y:人均个人消费支出总额),且y ＝2x+475.各种类型家庭情相同的情况下人均少支出75元，那么该家庭属于( )解析:设1998年人均食品消费x 元，那么人均食品支出：x(1-7.5%)＝92.5%x,人均消费支出：2×92.5%x+475，由题意,有2×92.5%x+475+75＝2x+475,∴x＝500. 此时，14005.462475%5.922%5.92=+⨯=x x x ≈0.3304＝33.04%,应选D.答案:D4.(海南、宁夏高考,文4)设f(x)＝xlnx,假设f′(x 0)＝2,那么x 0等于( )2B.eC.22ln 解析:f′(x)＝lnx+1,令f′(x 0)＝2, ∴lnx 0+1＝2.∴lnx 0＝1.∴x 0＝e. 答案:B5.n ＝log n+1 (n+2)(n∈N *).定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的实数k 为奥运桔祥数,那么在区间［1,2 008］内的所有奥运桔祥数之和为( )A.1 004B.2 026C.4 072D.2 044解析:a n ＝log n+1 (n+2)＝)1lg()2lg(++n n ,a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2lg )2lg()1lg()2lg(4lg 5lg 3lg 4lg 2lg 3lg +=++••k k k . 由题意知k+2＝22,23,…,210,∴k＝22-2,23-2,…,210-2.∴S＝(22+23+…+210)-2×9＝20261821)21(49=---. 答案：B6.从2 004名学生中选取50名组成参观团,假设采用下面的方法选取,先用简单随机抽样法从2 004人中剔除4人,剩下的 2 000人再按系统抽样的方法进行,那么每人入选的概率〔 〕A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等且为002125D ．都相等且为401解析：抽样的原那么是每个个体被抽到的概率都相等,所以每人入选的概率为002125. 答案：C7.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列，记第i 个数为a i 〔i ＝1,2,…,6〕,假设a 1≠1,a 3≠3,5≠5,a 1＜a 3＜a 5,那么不同的排列方法种数为〔 〕A ．18B ．30C ．36D ．48 解析：∵a 1≠1且a 1＜a 3＜a 5,∴〔1〕当a 1＝2时，a 3为4或5,a 5为6，此时有12种； 〔2〕当a 1＝3时，a 3仍为4或5，a 5为6，此时有12种； 〔3〕当a 1＝4时，a 3为5，a 5为6，此时有6种. ∴共30种. 答案：B8.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.假设从中任选3人,那么选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为〔 〕A ．511 B ．681 C ．3061 D ．4081 解析：属于古典概型问题,根本领件总数为318C ＝17×16×3,选出火炬手编号为a n ＝a 1＋3〔n －1〕〔1≤n ≤6〕,a 1＝1时,由1,4,7,10,13,16可得4种选法; a 1＝2时,由2,5,8,11,14,17可得4种选法; a 1＝3时,由3,6,9,12,15,18可得4种选法. 故所求概率68131617444444318=⨯⨯++=++=C P . 答案：B9.复数i 3(1+i)2等于( )A.2B.-2 C解析：i 3(1+i)2=-i(2i)=-2i 2=2. 答案：A 10.(全国高考卷Ⅱ,4)函数x xx f -=1)(的图象关于( ) A.y 轴对称 B.直线y ＝-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线y ＝x 对称 解析: x xx f -=1)(是奇函数,所以图象关于原点对称. 答案:C、填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕11.垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x 3+3x 2-5相切的直线方程为___________________.解析：与直线2x-6y+1=0垂直的直线的斜率为k=-3,曲线y=x 3+3x 2-5的切线斜率为y ′=3x 2+6x.依题意,有y ′=-3,即3x 2+6x=-3,得x=-1.当x=-1时，y=(-1)3+3·(-1)2-5=-3.故所求直线过点(-1，-3)，且斜率为-3,即直线方程为y+3=-3(x+1), 即3x+y+6=0. 答案：3x+y+6=0 12.函数13)(--=a axx f (a≠1).假设f(x)在区间(0,1］上是减函数，那么实数a 的取值范围是______________. 解析：由03)1(2)('<--=axa a x f ,⎪⎩⎪⎨⎧<->-②,0)1(2①,03a aax由①,得a ＜x3≤3. 由②,得a ＜0或a ＞1,∴当a ＝3时,f(x)在x∈(0,1)上恒大于0,且f(1)＝0,有f(x)＞f(1). ∴a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3］. 答案:(-∞,0)∪(1,3］ 13.平面上三点A 、B 、C满足3||=AB ,5||=CA ,4||=BC ,那么AB CA CA BC BC AB •+•+•的值等于________________.解析：由于0=++CA BC AB ，∴)(2||||||)(2222AB CA CA BC BC AB CA BC AB CA BC AB •+•+•+++=++0)(225169=•+•+•+++=AB CA CA BC BC AB ,即可求值.答案：-2514.设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验，当p=_________________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为___________________________________.解析：4)2(2n q p n npq D =+≤=ξ,等号在21==q p 时成立，此时Dξ＝25，σξ＝5. 答案：215 15.设z 1是复数,112z i z z -=(其中1z 表示z 1的共轭复数),z 2的实部是-1,那么z 2的虚部为___________________.解析：设z 1=x+yi(x,y ∈R),那么yi x z -=1. ∴z 2=x+yi-i(x-yi)=x-y+(y-x)i. ∵x-y=-1, ∴y-x=1. 答案：1。

数学高考《函数与导数》试题含答案一、选择题1．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ∀∈有()()22f x f x x +-=，在()0+∞，上()2f x x '<，若()()4168f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)2+∞，B ．[)0+∞，C ．[]22-，D ．(][)22-∞-⋃+∞，， 【答案】A 【解析】 【分析】通过x R ∀∈有()()22f x f x x +-=，构造新函数()()2g x f x x =-，可得()g x 为奇函数；利用()2f x x '<，求()g x 的导函数得出()g x 的单调性，再将不等式()()4168f m f m m --≥-转化，可求实数m 的取值范围.【详解】设()()2g x f x x =-，∵()()()()220g x g x f x x f x x +-=-+--=，∴函数()g x 为奇函数，∵在()0,x ∈+∞上，()2f x x '<，即()20f x x '-<， ∴()()20g x f x x ''=-<，∴函数()g x 在()0,x ∈+∞上是减函数， ∴函数()g x 在(),0x ∈-∞上也是减函数， 且()00g =，∴函数()g x 在x ∈R 上是减函数， ∵()()4168f m f m m --≥-，∴()()()2244168g m m g m m m ⎡⎤⎡⎤-+--+≥-⎣⎦⎣⎦， ∴()()4g m g m -≥， ∴4m m -≤， 即2m ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查运算求解能力、转化与化归的数学思想，是中档题.2．函数()2sin f x x x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】分析函数()y f x =的奇偶性，并利用导数分析该函数在区间()0,+∞上的单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】因为()()()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=----=-=，且定义域R 关于原点对称，所以函数()y f x =为偶函数，故排除B 项；()()2sin sin f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x ='-≥恒成立，所以函数()y g x =单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=， 任取120x x >>，则()()120g x g x >>，所以，()()1122x g x x g x >，()()12f x f x ∴>，所以，函数()y f x =在()0,+∞上为增函数，故排除C 、D 选项.故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、函数零点以及函数值符号，结合排除法得出合适的选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．已知3215()632f x x ax ax b =-++的两个极值点分别为()1212,x x x x ≠，且2132x x =，则函数12()()f x f x -=（ ） A ．1- B ．16C ．1D ．与b 有关【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用韦达定理得到12,,a x x 满足的方程组，解方程组可以得到12,,a x x ，从而可求()()12f x f x -． 【详解】()2'56f x x ax a =-+，故125x x a +=，126x x a =，且225240a a ->，又2132x x =，所以122,3x a x a ==，故266a a =，解得0a =（舎）或者1a =． 此时122,3x x ==， ()3215632f x x x x b =-++， 故()()()()()1215182749623326f x f x -=⨯---+-= 故选B ． 【点睛】如果()f x 在0x 处及附近可导且0x 的左右两侧导数的符号发生变化，则0x x =必为函数的极值点且()00f x =．极大值点、极小值点的判断方法如下：（1）在0x 的左侧附近，有()'0f x >，在0x 的右侧附近，有()'0f x <，则0x x =为函数的极大值点；（2）在0x 的左侧附近，有()'0f x <，在0x 的右侧附近()'0f x >，有，则0x x =为函数的极小值点．4．已知()ln xf x x=，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 在()0,e 上单调递增B ．()()24f f =C ．当01a b <<<时，b a a b <D ．20192020log 20202019>【答案】D 【解析】 【分析】根据21ln (),(0,)xf x x x-'=∈+∞，可得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，进而判断得出结论. 【详解】21ln (),(0,)xf x x x -'=∈+∞Q ∴对于选项A ，可得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，故A 正确；对于选项B ，()2ln 4ln 2ln 24(2)442f f ====，故B 正确；对于选项C ，由选项A 知()f x 在()0,1上也是单调递增的，01a b <<<Q ，ln ln a ba b∴<，可得b a a b <，故选项C 正确； 对于选项D ，由选项A 知()f x 在(),e +∞上单调递减，(2019)(2020)f f ∴>，即ln 2019ln 202022019020>⇒20192020ln 2020log 2020ln 02019219>=， 故选项D 不正确. 故选：D 【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值与最值的应用及方程与不等式的解法，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.5．曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积( ) A ．1 B ．13C ．23D ．12【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求得曲线在点(0,2)处的切线方程，再求得三线的交点坐标，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，曲线21xy e -=+，则22x y e -'=-，所以200|2|2x x x y e -=='=-=-，所以曲线21xy e-=+在点(0,2)处的切线方程为22(0)y x -=--，即220x y +-=，令0y =，解得1x =，令y x =，解得23x y ==， 所以切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积为1211233⨯⨯=，故选B ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两直线的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用()10f <，以及函数的极限思想，可以排除错误选项得到正确答案。

高中数学《函数与导数》复习知识点一、选择题1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（ ） ABCD【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <； 当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >. 故()min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.2．3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ） A ．2ln 2 B ．ln 2 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】 【分析】首先根据二项式定理求出a ，把a 的值带入11adx x⎰即可求出结果. 【详解】解题分析根据二项式36ax ⎛- ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4411111d d ln 2ln 2a x x x x x ===⎰⎰.故选：A 【点睛】本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k kk n T a b -+=.属于中等题.3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称.以下关于()f x 的结论：①()f x 是周期函数；②()f x 满足()(4)f x f x =-；③()f x 在(0,2)单调递减；④()cos 2xf x π=是满足条件的一个函数.其中正确结论的个数是( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】题目中条件：(2)()f x f x +=-可得(4)()f x f x +=知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性． 【详解】解：对于①：()()f x f x -=Q ，其图象关于点(1,0)对称(2)()f x f x +=- 所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，∴函数()f x 是周期函数且其周期为4，故①正确；对于②：由①知，对于任意的x ∈R ，都有()f x 满足()(4)f x f x -=-， 函数是偶函数，即()(4)f x f x =-，故②正确．对于③：反例：如图所示的函数，关于y 轴对称，图象关于点(1,0)对称，函数的周期为4，但是()f x 在(0,2)上不是单调函数，故③不正确；对于④：()cos 2xf x π=是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称的一个函数，故④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、对称性和周期性，属于基础题．4．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是 A ．M N N =I B ．()U M N =∅I ð C ．M N U =U D ．()U M N ⊆ð【答案】A 【解析】 【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断． 【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ． 故选A ． 【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．5．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ）A ．7B ．4C ．0D ．﹣4【答案】A 【解析】()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ．6．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2 B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+【答案】D 【解析】由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.7．已知函数()32f x x x x a =--+，若曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，则实数a的取值范围为（ ） A ．11,27⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．()1,+?C ．5,127⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,127⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()32g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】Q 函数()32f x x x x a =--+与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()32g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点.又()2321(31)(1)g x x x x x '=-++=-+-Q ，∴在1,,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x '<；在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0g x '>.∴()15327g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭极小值，()()11g x g ==极大值，5127a ∴-<<. 故选：C 【点睛】本题考查函数的零点及导数与极值的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题.8．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[1,1]- C ．(0,1)(1,)⋃+∞ D ．(1,)-+∞【答案】C 【解析】 【分析】首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2xy t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，2ax ay b t=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限， 则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ， 解得0t >且1t ≠ ，即t 的取值范围是()()0,11,+∞U . 故选：C 【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.9．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（ ）．A B ．C ．2D ．【答案】D 【解析】试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b = 所以lg lg a b =- 所以1a b=，即1ab =，0a b >>22a b a b+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---22()22a b a b ≥-⨯=- 当且仅当2a b a b-=-，即2a b -=时等号成立 所以22a b a b +-的最下值为22故答案选D考点：基本不等式．10．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（ ）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数【答案】D 【解析】 【分析】 由二次函数在区间上有最小值得知其对称轴，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数在区间上的单调性.【详解】 由于二次函数在区间上有最小值，可知其对称轴，.当时，由于函数和函数在上都为增函数，此时，函数在上为增函数；当时，在上为增函数；当时，由双勾函数的单调性知，函数在上单调递增，，所以，函数在上为增函数.综上所述：函数在区间上为增函数，故选D.【点睛】本题考查二次函数的最值，同时也考查了型函数单调性的分析，解题时要注意对的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.11．若点1414(log 7,log 56)在函数()3f x kx =+的图象上，则()f x 的零点为（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．34【答案】B 【解析】 【分析】将点的坐标代入函数()y f x =的解析式，利用对数的运算性质得出k 的值，再解方程()0f x =可得出函数()y f x =的零点．【详解】141414141414log 56log 4log 1412log 212(1log 7)32log 7=+=+=+-=-Q ，2k ∴=-，()2 3.f x x =-+故()f x 的零点为32，故选B.【点睛】本题考查对数的运算性质以及函数零点的概念，解题的关键在于利用对数的运算性质求出参数的值，解题时要正确把握零点的概念，考查运算求解能力，属于中等题．12．函数()3ln xf x x =的部分图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】 【分析】根据奇偶性排除B ，当1x >时，()3ln 0xf x x=>，排除CD ，得到答案. 【详解】()()()33ln ln ,x xf x f x f x x x=-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3ln 0xf x x=>恒成立，排除CD 故答案选A 【点睛】本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键.13．函数()||()af x x a R x=-∈的图象不可能是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】变成分段函数后分段求导，通过对a 分类讨论，得到函数的单调性，根据单调性结合四个选项可得答案. 【详解】,0(),0a x x xf x a x x x ⎧->⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩,∴221,0()1,0a x x f x a x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-+<⎩'⎪.(1)当0a =时,,0(),0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩,图象为A;(2)当0a >时,210ax+>,∴()f x 在(0,)+∞上单调递增,令210ax -+=得x =∴当x <,210ax -+<,当0x <<时,210ax-+>,∴()f x 在(,-∞上单调递减,在(上单调递增,图象为D; (3)当0a <时,210ax-+<,∴()f x 在(,0)-∞上单调递减,令210ax +=得x =∴当x >时,210ax +>,当0x <<,210ax+<,∴()f x 在上单调递减,在)+∞上单调递增,图象为B; 故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数的图像的识别，考查了分类讨论思想，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.14．已知函数())lnf x x =，设()3log 0.2a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =-，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】∵())lnf x x =∴())f x x ==∴())f x x -=∵当0x >1x >；当0x <时，01x <∴当0x >时，())))f x x x x ==-=，())f x x -=；当0x <时()))f x x x ==；()))f x x x -=-=.∴()()f x f x =- ∴函数()f x 是偶函数∴当0x >时，易得())f x x =为增函数∴33(log 0.2)(log 5)a f f ==， 1.1 1.1(3)(3)c f f =-=∵31log 52<<，0.2031-<<， 1.133>∴ 1.10.23(3)(log 5)(3)f f f ->>∴c a b >> 故选D.15．已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A ．12e- B ．2e - C ．1-D ．e【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导得到导函数，代入1x =可求得()11f '=-，从而得到()f x '，代入1x e=求得结果. 【详解】由题意得：()()121f x f x''=+令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=-()12f x x '∴=-+12f e e ⎛⎫'∴=- ⎪⎝⎭本题正确选项：B 【点睛】本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得()1f '，易错点是忽略()1f '为常数，导致求导错误.16．已知定义在R 上的函数(f x ），其导函数为()f x '，若()()3f x f x '-<-，()04f =，则不等式()3x f x e >+的解集是（ ）A ．(),1-∞B ．(),0-∞C ．()0,+∞D ．()1,+∞【答案】B【解析】 不等式()3x f x e >+得()()3311x x xf x f x e e e ->+∴>， ()()()()()330x x f x f x f x g x g x e e --+=∴='<'设， 所以()g x 在R 上是减函数，因为()()()4301001g g x g x -==∴>∴<． 故选B ． 点睛：本题的难点在于解题的思路． 已知条件和探究的问题看起来好像没有分析联系，这里主要利用了分析法，通过分析构造函数，利用导数的知识解答．17．二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式问题的常用方法，数形结合是解决函数问题的基本思想．18．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．56【答案】A【解析】曲线2y x =与直线y x =的交点坐标为()()0,0,1,1 ，由定积分的几何意义可得曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为()1223100111|236x x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰ ，故选A.19．已知函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ） A ．20152016 B ．20162017 C ．20172018 D ．20182019【答案】D【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值．【详解】由()2f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，因为函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直， ()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则()()21111111f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019S =-+-++-=-=L . 故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．20．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A ．16B ．17C ．24D ．25 【答案】D【解析】【分析】由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此得到410003n ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，利用运算法则可知32lg 2lg 3n ≥⨯-，由此计算得到结果. 【详解】记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为43a ，“二次构造”后的折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003n a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， ()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333n n n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭， 即324.0220.30100.4771n ≥≈⨯-，∴至少需要25次构造. 故选：D .【点睛】 本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.。

新数学《函数与导数》复习资料一、选择题1．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ∀∈有()()22f x f x x +-=，在()0+∞，上()2f x x '<，若()()4168f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)2+∞，B ．[)0+∞，C ．[]22-，D ．(][)22-∞-⋃+∞，， 【答案】A 【解析】 【分析】通过x R ∀∈有()()22f x f x x +-=，构造新函数()()2g x f x x =-，可得()g x 为奇函数；利用()2f x x '<，求()g x 的导函数得出()g x 的单调性，再将不等式()()4168f m f m m --≥-转化，可求实数m 的取值范围.【详解】设()()2g x f x x =-，∵()()()()220g x g x f x x f x x +-=-+--=，∴函数()g x 为奇函数，∵在()0,x ∈+∞上，()2f x x '<，即()20f x x '-<， ∴()()20g x f x x ''=-<，∴函数()g x 在()0,x ∈+∞上是减函数， ∴函数()g x 在(),0x ∈-∞上也是减函数， 且()00g =，∴函数()g x 在x ∈R 上是减函数， ∵()()4168f m f m m --≥-，∴()()()2244168g m m g m m m ⎡⎤⎡⎤-+--+≥-⎣⎦⎣⎦， ∴()()4g m g m -≥， ∴4m m -≤， 即2m ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查运算求解能力、转化与化归的数学思想，是中档题.2．3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ） A ．2ln 2 B ．ln 2 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】 【分析】首先根据二项式定理求出a ，把a 的值带入11adx x⎰即可求出结果. 【详解】解题分析根据二项式3ax ⎛- ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4411111d d ln 2ln 2a x x x x x ===⎰⎰.故选：A 【点睛】本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k kk n T a b -+=.属于中等题.3．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()242f x f x x +-=+，设()()22g x f x x =-，若()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】∵()()242f x f x x +-=+，()()22g x f x x =-∴2222()()()2()24242g x g x f x x f x x x x +-=-+--=+-= ∴函数()g x 关于点(0,1)对称∵()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ∴122M m +=⨯= 故选B.4．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ）A ．7B ．4C ．0D ．﹣4【答案】A 【解析】()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ．5．已知()ln xf x x=，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 在()0,e 上单调递增 B ．()()24f f = C ．当01a b <<<时，b a a b < D ．20192020log 20202019>【答案】D 【解析】 【分析】根据21ln (),(0,)xf x x x -'=∈+∞，可得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，进而判断得出结论. 【详解】21ln (),(0,)xf x x x-'=∈+∞Q ∴对于选项A ，可得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，故A 正确；对于选项B ，()2ln 4ln 2ln 24(2)442f f ====，故B 正确；对于选项C ，由选项A 知()f x 在()0,1上也是单调递增的，01a b <<<Q ，ln ln a ba b∴<，可得b a a b <，故选项C 正确； 对于选项D ，由选项A 知()f x 在(),e +∞上单调递减，(2019)(2020)f f ∴>，即ln 2019ln 202022019020>⇒20192020ln 2020log 2020ln 02019219>=， 故选项D 不正确. 故选：D 【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值与最值的应用及方程与不等式的解法，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.6．函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用()10f <，以及函数的极限思想，可以排除错误选项得到正确答案。

数学《函数与导数》复习资料一、选择题1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（ ） ABCD【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <； 当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >. 故()min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.2．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[1,1]- C ．(0,1)(1,)⋃+∞ D ．(1,)-+∞【答案】C 【解析】 【分析】首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2xy t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，2ax a y b t=⎧⎨==-⎩ ，即2xy t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限， 则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ， 解得0t >且1t ≠ ，即t 的取值范围是()()0,11,+∞U . 故选：C 【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.3．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣1C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性即可求出答案． 【详解】解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．4．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ） A ．7 B ．4C ．0D ．﹣4【答案】A【解析】()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ．5．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 本题采用排除法:由5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭排除选项D ； 根据特殊值502f π⎛⎫>⎪⎝⎭排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ； 【详解】对于选项D:由题意可得, 令函数()f x = 22cos x xy x x--=-,则5522522522f ππππ--⎛⎫-= ⎪⎝⎭,5522522522f ππππ--⎛⎫=⎪⎝⎭;即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选项D 排除; 对于选项C ：因为55225220522f ππππ--⎛⎫=> ⎪⎝⎭,故选项C 排除;对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时()0f x <.故选项B 排除;故选项:A 【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（ ） A ．()()()0.633log 132f f f -<-<B ．()()()0.6332log 13f f f -<<-C ．()()()0.632log 133f f f <-<- D ．()()()0.6323log 13f f f <-<【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数单调性可得到0.632log 133<<，结合单调性和偶函数的性质可得大小关系. 【详解】()f x Q 为R 上的偶函数，()()33f f ∴-=，()()33log 13log 13f f -=，0.633322log 9log 13log 273<=<<=Q 且()f x 在()0,∞+上单调递增，()()()0.632log 133f f f ∴<<，()()()0.632log 133f f f ∴<-<-.故选：C . 【点睛】本题考查函数值大小关系的比较，关键是能够利用奇偶性将自变量转化到同一单调区间内，由自变量的大小关系，利用函数单调性即可得到函数值的大小关系.7．函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用()10f <，以及函数的极限思想，可以排除错误选项得到正确答案。

高考数学《函数与导数》练习题一、选择题1．函数()2log ,0,2,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x =-+的零点个数是（ ） A ．5B ．4C ．3D ．6 【答案】A【解析】【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．【详解】函数()()()2384g x fx f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点 即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x fx f x =-+有5个零点,故选：A.【点睛】 本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．2．33ax ⎛ ⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ） A ．2ln 2B ．ln 2C ．2D ．1【答案】A【解析】【分析】首先根据二项式定理求出a ，把a 的值带入11a dx x⎰即可求出结果. 【详解】 解题分析根据二项式36ax ⎛- ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=， 则4411111d d ln 2ln 2a x x x x x ===⎰⎰. 故选：A【点睛】本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k k k n T a b -+=.属于中等题.3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称.以下关于()f x 的结论：①()f x 是周期函数；②()f x 满足()(4)f x f x =-；③()f x 在(0,2)单调递减；④()cos2x f x π=是满足条件的一个函数.其中正确结论的个数是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】【分析】题目中条件：(2)()f x f x +=-可得(4)()f x f x +=知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性．【详解】解：对于①：()()f x f x -=Q ，其图象关于点(1,0)对称(2)()f x f x +=-所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=， ∴函数()f x 是周期函数且其周期为4，故①正确；对于②：由①知，对于任意的x ∈R ，都有()f x 满足()(4)f x f x -=-，函数是偶函数，即()(4)f x f x =-，故②正确．对于③：反例：如图所示的函数，关于y 轴对称，图象关于点(1,0)对称，函数的周期为4，但是()f x 在(0,2)上不是单调函数，故③不正确；对于④：()cos2x f x π=是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称的一个函数，故④正确．故选：B ．【点睛】 本题考查函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、对称性和周期性，属于基础题．4．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．4【答案】C【解析】【分析】根据对称性即可求出答案．【详解】解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2，故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2，故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．5．在二项式26()2a x x+的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a +=及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）A ．146π+ B ．146π- C ．4π D ．16【答案】B【解析】【分析】 用二项式定理得到中间项系数，解得a ，然后利用定积分求阴影部分的面积．【详解】（x 2+a 2x ）6展开式中，由通项公式可得122r 162r r r r a T C x x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭, 令12﹣3r ＝0，可得r ＝4,即常数项为4462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得4462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝15，解得a ＝2． 曲线y ＝x 2和圆x 2+y 2＝2的在第一象限的交点为（1，1） 所以阴影部分的面积为()1223100111-x-x |442346dx x x πππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭⎰． 故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．6．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（ ）． A 5B ．3C ．23 D ．22【答案】D【解析】 试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =所以lg lg a b =- 所以1a b=，即1ab =，0a b >> 22a b a b+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---2()22a b a b ≥-⨯=-当且仅当2a b a b-=-，即a b -=时等号成立所以22a b a b+-的最下值为故答案选D考点：基本不等式．7．已知()2ln33,33ln3,ln3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c << 【答案】B【解析】【分析】根据,,a b c 与中间值3和6的大小关系，即可得到本题答案.【详解】 因为323e e <<，所以31ln 32<<， 则3ln3223336,33ln 36,(ln 3)3a b c <=<=<=+>=<， 所以c a b <<.故选：B【点睛】本题主要考查利用中间值比较几个式子的大小关系，属基础题.8．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[1,1]-C ．(0,1)(1,)⋃+∞D ．(1,)-+∞【答案】C【解析】【分析】首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2x y t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，2a x a y b t=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ，解得0t >且1t ≠ ，即t 的取值范围是()()0,11,+∞U .故选：C【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()3221f x f x -=-,且()f x 在[1, )+∞上单调递增,则（ ）A ．()()()0.3 1.130. 20.54f f log f <<B ．()()()0.3 1.130. 240.5f f f log <<C ．()()()1.10.3340.20.5f f f log << D ．()()()0.3 1.130.50.24f log f f << 【答案】A【解析】【分析】由已知可得()f x 的图象关于直线1x =对称.因为0.3 1.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增,即可得解.【详解】解：依题意可得,()f x 的图象关于直线1x =对称.因为()()()0.3 1.1330.20,1,0.5 2 1,,044,8log log ∈=-∈-∈, 则0.3 1.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增,所以()()()0.3 1.130.20.54f f log f <<. 故选:A.【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关系，属中档题.10．若关于x 的不等式220x ax -+>在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．(,-∞C ．(,3)-∞D ．27(,)5-∞ 【答案】D【解析】【分析】把220x ax -+>在区间[]1,5上有解，转化为存在一个[]1,5x ∈使得22x 2ax x a x +>⇒+>，解出()f x 的最大值． 【详解】 220x ax -+>在区间[]1,5上有解，转化为存在一个[]1,5x ∈使得22x 2ax x a x +>⇒+>，设()2f x x x =+，即是()f x 的最大值a >，()f x 的最大值275=，当5x =时取得，故选D 【点睛】11．若点1414(log 7,log 56)在函数()3f x kx =+的图象上，则()f x 的零点为（ ） A ．1B ．32C ．2D ．34 【答案】B【解析】【分析】将点的坐标代入函数()y f x =的解析式，利用对数的运算性质得出k 的值，再解方程 ()0f x =可得出函数()y f x =的零点．【详解】141414141414log 56log 4log 1412log 212(1log 7)32log 7=+=+=+-=-Q ，2k ∴=-，()2 3.f x x =-+故()f x 的零点为32，故选B. 【点睛】本题考查对数的运算性质以及函数零点的概念，解题的关键在于利用对数的运算性质求出参数的值，解题时要正确把握零点的概念，考查运算求解能力，属于中等题．12．函数()3ln x f x x=的部分图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性排除B ，当1x >时，()3ln 0x f x x =>，排除CD ，得到答案. 【详解】 ()()()33ln ln ,x x f x f x f x x x=-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3ln 0x f x x=>恒成立，排除CD 故答案选A【点睛】 本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键.13．函数()||()a f x x a R x=-∈的图象不可能是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】变成分段函数后分段求导，通过对a 分类讨论，得到函数的单调性，根据单调性结合四个选项可得答案.【详解】,0(),0a x x x f x a x x x ⎧->⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩,∴221,0()1,0a x x f x a x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-+<⎩'⎪. (1)当0a =时,,0(),0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩,图象为A; (2)当0a >时,210a x+>,∴()f x 在(0,)+∞上单调递增, 令210a x-+=得x =∴当x <,210a x-+<,当0x <<时,210a x-+>, ∴()f x在(,-∞上单调递减,在(上单调递增,图象为D;(3)当0a <时,210a x -+<,∴()f x 在(,0)-∞上单调递减, 令210a x+=得x =∴当x >时,210a x+>,当0x <<,210a x+<, ∴()f x在上单调递减,在)+∞上单调递增,图象为B;故选：C.【点睛】本题考查了分段函数的图像的识别，考查了分类讨论思想，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.14．已知函数()()2f x x +∈R 为奇函数，且函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，当[]0,1x ∈时，()2020x f x =，则()2020f =（ ） A ．2020B ．12020C ．11010D ．0【答案】D【解析】【分析】 根据题意，由函数()f x 的对称性可得()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，进而可得()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得()()20200f f =，由函数的解析式计算可得答案．【详解】解：根据题意，函数()2f x +为奇函数，即函数()f x 的图象关于点()2,0对称，则有()()4f x f x -=-+，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，则()()2f x f x -=+，变形可得：()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，则有()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，()()()20200505400f f f ∴=+⨯==；故选：D ．【点睛】本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用，难度一般.一般地，若一个奇函数有对称轴（或一个偶函数有对称中心），可分析出函数具有周期性.15．函数()3ln 2x f x x x =+的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．64y x =-B ．75y x =-C ．63=-y xD ．74y x =- 【答案】B【解析】【分析】首先求得切线的斜率，然后求解切线方程即可.【详解】由函数的解析式可得：()221ln '6x f x x x -=+， 则所求切线的斜率()221ln1'16171k f -==+⨯=， 且：()012121f =+⨯=，即切点坐标为()1,2， 由点斜式方程可得切线方程为：()271y x -=-，即75y x =-.本题选择B 选项.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.16．下列求导运算正确的是（ ）A ．()cos sin x x '=B ．()1ln 2x x '=C ．()333log x x e '=D ．()22x x x e xe '= 【答案】B【解析】分析：利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案.详解：()'cos sin x x =-，A 不正确；()'11ln222x x x =⨯= ，B 正确；()'33ln3x x =,C 不正确；()'222x x x x e xe x e =+，D 不正确，故选B.点睛：本题主要考查基本初等函数的导数公式、导数的运算法以及简单的复合函数求导法则，属于基础题.17．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( )A ．17(1)a r +B ．17[(1)(1)]a r r r +-+C ．18(1)a r +D ．18[(1)(1)]a r r r+-+ 【答案】D【解析】【分析】由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n 项和公式求解即可.【详解】解：根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +， 同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +，孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +， ⋯⋯孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，此时将存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数：17171618(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r a S a r a r a r r r r r ++-=++++⋯⋯++==+-++-； 故选：D ．【点睛】本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和，属中档题.18．对于任意性和存在性问题的处理，遵循以下规则：19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥，3()3f x x x =+，则32(2)a f =,31(log )27b f =，c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C【解析】【分析】 利用导数判断3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，再根据自变量的大小得到函数值的大小.【详解】 Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，31(log )(3)(3)27b f f f ∴==-=， 32023<<=<Q ，当0x ≥，'2()330f x x =+>恒成立，∴3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，3231(log )(2)27f f f ∴>>，即b a c >>. 故选：C.【点睛】 本题考查利用函数的性质比较数的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单调区间中.20．已知函数()2ln 2xx f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2x g x e x =+-的零点为2x ，函数()ln 2x h x x=的最大值为3x ，则（ ） A ．123x x x >>B ．213x x x >>C ．312x x x >>D ．321x x x >>【答案】A【解析】【分析】根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ⎛⎫⎛⎫''⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知导函数零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，即()f x 的极值点111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；根据()g x 单调递增且11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知211,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得()max 1124h x e =<，即314x <，从而可得三者的大小关系. 【详解】 ()1x f x e x x'=+-Q 在()0,∞+上单调递增 且1213022f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，14115044f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭ 111,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且11110x e x x +-= Q 函数()2x g x e x =+-在()0,∞+上单调递增 且1213022g e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，14112044g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭ 211,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ 又()()11111211112220x g x e x x x g x x x ⎛⎫=+-=-+-=->= ⎪⎝⎭且()g x 单调递增 12x x ∴>由()21ln 2x h x x -'=可得：()()max 12h x h e e ==，即31124x e =< 123x x x ∴>>本题正确选项：A【点睛】本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难.。

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专题一函数与导数、不等式第2讲不等式问题练习一、选择题1。

（2016·全国Ⅲ卷）已知a＝2错误!，b＝3错误!，c＝25错误!，则( )A.b＜a＜c B。

a＜b＜cC。

b＜c＜a D.c＜a＜b解析a＝2错误!＝错误!，b＝3错误!＝错误!，c＝25错误!＝错误!,所以b＜a＜c.答案A2。

（2016·杭州模拟)已知函数f(x）＝错误!若f（－a）＋f(a)≤2f（1）,则实数a的取值范围是（）A.［0，1]B.[－1，0]C。

［－1，1］D。

[－1，0]解析f（－a)＋f（a）≤2f(1）⇔错误!或错误!即错误!或错误!解得0≤a≤1，或－1≤a＜0。

故－1≤a≤1。

答案C3.（2016·浙江卷）已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A。

（a－1）（b－1)＜0 B.(a－1)(a－b）＞0C。

（b－1）(b－a)＜0 D.(b－1)（b－a)＞0解析由a，b＞0且a≠1，b≠1，及log a b＞1＝log a a可得:当a＞1时，b＞a＞1，当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1,代入验证只有D满足题意.答案D4。